Rectas y ángulos

RECTAS Y ÁNGULOS

Matemáticas

Ámbito Científico-Tecnológico

Rectas y planos en el espacio

El espacio está formado por diversos elementos que, en su conjunto, dan forma a todos los elementos de éste.

Espacio es todo lo que tenemos a nuestro alrededor.

Un paisaje urbano está formado por elementos geométricos diversos.


¿Qué elementos geométricos encontramos aquí?


Por un lado, encontramos edificios que tienen formas geométricas (rectángulos, triángulos, círculos, etc.).

Encontramos diferentes calles y rutas donde existen aceras a ambos lados, paralelas.

Podemos situarnos en cualquier punto para realizar una observación.


1-Punto: Indica una posición en el espacio y no tiene dimensiones, por lo que se dice que en un plano o en una recta existen infinitos puntos.

No tiene grosor.

ELEMENTOS

Rectas y planos en el espacioELEMENTOS

Un punto hecho con un bolígrafo en un

bloc de notas

Puntos hechos en una pizarra

Marca hecha en la playa con el dedo


Todo el espacio está formado por puntos (puntillismo)


Si los puntos coinciden en la misma localización, SON EL MISMO.

Si los puntos no coinciden en la misma localización, SON EXTERIORES.


2-Recta: Se considera que dos puntos determinan una y sólo una línea recta que contiene a dichos puntos.

Limitadas por los dos extremos de la recta.

ELEMENTOS

La sucesión de líneas forman rectas


No tiene grosor ni anchura definido.

Puede tener largas dimensiones.

Todas las formas geométricas poseen rectas, alguna incluso cruzándose.

ELEMENTOS

La sucesión de líneas forman rectas


TIPOS DERECTAS

Rectas Paralelas

• Paralelas: Estas rectas están contenidas en el plano y no tienen ningún punto en común.

• Se encuentran una enfrente a la otra y son similares.

• Una referencia cercana son las aceras de las calles.



TIPOS DERECTAS

Rectas Secantes

• Secantes: Las rectas se cruzan en un mismo plano y tienen un punto en común. Es el punto en donde se cruzan.

• Un ejemplo son las aceras que se cruzan.



TIPOS DERECTAS

Perpendiculares

• Perpendiculares: Son secantes y forman cuatro ángulos rectos.

• En la anterior imagen, serían perpendiculares porque los cruces forman ángulos de 90º.



TIPOS DERECTAS

Semirrectas

• Semirrectas: Existe un punto O que divide a la recta en dos semirrectas. Ese punto O es el origen desde donde comienza cada recta. Su otro extremo es el extremo donde terminaba la recta inicial (sea el izquierdo o el derecho).



3-Plano: Un plano se determina por tres puntos que no estén contenidos en la misma recta.

El plano puede ser evocado a partir de una hoja de papel, la propia superficie de una mesa, la pizarra, etc.

ELEMENTOS

Plano


Aquí podemos incluir lo que queramos

Lo que esté dibujado en la pizarra, está dentro de este “plano”.


Semiplano: Una recta divide a un plano en dos partes. Cada plano recibe el nombre de “semiplano”.

Es como en las rectas, el elemento anterior divide al superior en dos. En el anterior, el punto dividía a la recta en dos.

Dos semiplanos al dividir un plano

ELEMENTOS


El muro de Berlín (recta) dividía a Alemania (plano) en dos repúblicas (dos semiplanos): República Federal Alemana (semiplano 1) y

República Democrática Alemana (semiplano 2)


TIPOS DE PLANOS

Los planos son COINCIDENTES cuando todos sus elementos comparten todos sus puntos.

Si se ponen encima, son coincidentes


Libros encima de otros: Planos coincidentes (si son del mismo

tamaño)

Las páginas encima de otras son planos coincidentes

(normalmente son iguales)


TIPOS DE PLANOS

Los planos son SECANTES si se cortan. Cuando dos planos se cortan lo hacen en una recta.


La parte del suelo y el plano que forman entre las dos columnas corta el “plano” de dicho suelo.


TIPOS DE PLANOS

Los planos son PERPENDICULARES si son secantes y el ángulo que forman es recto (la distancia o inclinación del plano con respecto al otro plano).


En el ejemplo anterior, casualmente los planos forman ángulos de 90º.


TIPOS DE PLANOS

Los planos son PARALELOS si no se cortan en ningún punto.

Si los planos se “pegan”, serán COINCIDENTES. Si no, serán PARALELOS.


Estantería (los estantes están uno encima de otro y coinciden. Sino, podría desequilibrarse).


REPRESENTACIÓN DE PUNTOS EN EL EJE CARTESIANO

• En Geometría, se utiliza para representar puntos de figuras geométricas que formemos, a la hora de unirlos.


REPRESENTACIÓN DE PUNTOS EN EL EJE CARTESIANO

• En el eje de ABSCISAS (línea horizontal) va el punto X.

• En el eje de ORDENADAS (vertical) va el punto Y.

ACTIVIDADES

http://www3.gobiernodecanarias.org/medusa/contenidosdigitales/programasflash/Medusa/Coordenadas/Coordenadas.swf

ACTIVIDADES

• Actividades 257 y 258, Tema 6: Representación de un punto en el plano. Página 82.

• Actividades 259-263, Tema 6: Puntos, rectas y plano. Página 83.


• 4-Espacio: Se dice que las rectas y los planos son conjuntos de puntos. Se define el espacio como el conjunto de todos los puntos.

• El conjunto de puntos, rectas y planos forman el espacio.

ELEMENTOS

Rectas y planos en el espacioRELACIONES ENTRE LOS ELEMENTOS

Punto -> Recta -> Plano -> Espacio

Una recta se forma por múltiples puntos unidos. Rectas que se unen forman planos (ej: tres rectas forman un

triángulo) y en un espacio puede haber múltiples planos y formas geométricas (por ejemplo, en un parque hay

bancos, árboles, arbustos, puestos de chucherías, etc.).


Un punto está contenido en una recta si la recta pasa por el

punto.

Un punto será exterior a una recta si no está contenida en el plano.


Un punto está contenido en el plano si está dentro del plano

Un punto será exterior a una recta si no está contenido en ella


La recta está contenida en el plano si todos los puntos de la recta pertenecen al plano.

La recta es exterior al plano si no tienen ningún

punto común.

Rectas y planos en el espacioMÁS ELEMENTOS

• Figuras geométricas: Es cualquier conjunto de puntos y rectas que se encuentran en el espacio, formando figuras planas.

• El objetivo de la geometría será describir, clasificar y estudiar las propiedades de las figuras geométricas.


• Segmento AB: Conjunto de puntos comprendido entre los puntos A y B. Son los extremos del segmento AB, dichos puntos.

• Es las figuras planas, equivale a los lados de dichas figuras.


Los ángulos son esas separaciones que hay entre

segmento y segmento

• Ángulo: Es la separación existente que permite formar figuras uniendo vértices y segmentos. Según la rotación o separación que haya entre ambos, la figura tendrá una forma determinada.


MEDIDA DEL ÁNGULO

Transportador (¡traeros uno a clase!)

La unidad de medida que utilizamos para medir los ángulos son los grados.

Utilizamos el transportador para medir los ángulos.


MEDIDA DEL ÁNGULO


TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN LA MEDIDA





• Ángulo convexo: Son los ángulos interiores de las figuras, y suelen ser de entre 0º y 180º.

• Ángulo cóncavo: Son los ángulos exteriores de las figuras u ángulos interinos mayores de 180º.



ACTIVIDADES

Actividades de la página 84, Tema 6: Ángulos.


TIPOS DE ÁNGULOS SEGÚN SU AMPLITUD Y SU POSICIÓN

• Ángulos complementarios son los que suman un recto (90º).

• Se trata de unir los ángulos que forman entre sí tres rectas.

• Son un “complemento” para convertirse en un ángulo recto.



• Ángulos suplementarios: son los que suman un llano (180º).

• Se trata de unir los ángulos que forman entre sí tres rectas.

• Son un “complemento” para convertirse en un ángulo llano.



TIPO DE ÁNGULOS FORMA DE CALCULARLO

Complementario de un ángulo determinado

Restarle a 90º el valor del otro ángulo

Suplementario de un ángulo determinado

Restarle a 180º el valor del otro ángulo

CÁLCULO

ACTIVIDADES

Página 85, Tema 6: Clasificación de ángulos según su amplitud y posición.


Curva: Se define como el conjunto de puntos que un lápiz traza al ser desplazado por el plano sin ser levantado.

No tiene por qué ser “redonda”.

MÁS ELEMENTOS


La curva es simple si el lápiz nunca pasa dos veces por el mismo punto.

Si el lápiz se levanta en el mismo punto en que comenzó a trazar se dice que la curva es cerrada y simple.

MÁS ELEMENTOS

Cuando dibujamos una circunferencia, se cierra en el mismo punto en donde empezó


Se requiere que las curvas tengan un punto inicial y un punto final, por lo que las rectas, semirrecta y ángulos no son curvas.

¿Por qué no las rectas? Las rectas pueden tener valores infinitivos.

MÁS ELEMENTOS


Curva poligonal: Se define como una curva simple formada por segmentos unidos por sus extremos.

Pueden ser abiertas o cerradas.

Forman en su conjunto los polígonos.

MÁS ELEMENTOS


Un diedro es un ángulo formado por dos semiplanos. También podemos decir que un diedro es el espacio

engendrado por dos planos que se cortan en una recta.


Elementos del diedro

• Arista: Es la recta en la que se cortan los semiplanos.

• Cara: Es cada uno de los planos que componen el diedro.


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