RESULTADOS DE ESTABILIDAD GLOBAL DE UN MODELO SIRS

MotivaciónEl Modelo Matemático

Resultados de Estabilidad Global de un Modelo(SIRS)

Suceptible - Infectados - Inmune - Suceptible

Andrey Mauricio Montoya Jurado

MaestríaBiomatemáticas

Modelos Biomatemáticos IUniversidad del Quindío

Exposición articulo segundo semestre del 2013

Andrey Mauricio Montoya Jurado Estabilidad Global


Contenido

1 MotivaciónIntroducción

2 El Modelo MatemáticoModelo MatemáticoEstabilidad GlobalConclusiones


MotivaciónEl Modelo Matemático Introducción

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Introducción

Aron (1988) ha trabajado la estabilidad de los equilibrios de unsistema tipo SIRS. Sin embargo, el problema de estabilidadglobal en este trabajo ha sido un interrogante.Este problema ha sido abordado utilizando el método directode Liapunov, Bendixon - Dulac como un caso especial. Bajo laasunción de que la duración de la inmunidad es independientede la exposición a la infección.Toda la población es dividida en tres clases. S I R .



Introducción




Introducción




Modelo MatemáticoEstabilidad GlobalConclusiones

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Modelo Matemático

dS

dt=−β

(fI + f ′R

)S+ γR+µ−µS

dI

dt= β

(fI + f ′R

)S− (q+µ) I

dR

dt= qI − (γ +µ)R (1)

β Coeficiente de mezcla.f proporción de infectados que son infecciosos; f ′ proporcióninmunes que son infecciosos.q tasa de recuperación de infectados a inmunes.γ tasa de recuperación de inmunes a susceptibles.µ tasa de muerte o natalidad.S+ I +R = 1 0≤ f ′ ≤ f 0≤ f ≤ 1.




Diagrama de compartimientos

S I Rβ(fI + f ′R)S qI

γR

µ

µS µI µR




Número básico de reproducción

Aron (1988) ha trabajado con el número básico de reproducciónR0, que esta dado por

R0 =β f (γ +µ)+β f ′q

(q+µ)(r +µ)

Si R0 < 1 el equilibrio libre de infección es local yasintoticamente estable y no hay otro equilibrio.Si R0 > 1 existen dos puntos de equilibrio: El equilibrio libre deinfección es localmente inestable y el equilibrio con sentidoepidemiologico es localmente estable.




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Teorema 1

TeoremaSi R0 < 1, la existencia de la estabilidad local implica la estabilidadglobal.




Prueba del Teorema 1

Prueba: Se define una función v positiva

v = (γ +µ) I +β f ′R

Derivando con respecto al tiempo y reemplazando los valores de laecuación 1 tenemos:

dv

dt= (γ +µ)

dI

dt+β f ′

dR

dt= (γ +µ)

[I (q+µ)(R0−1)−β (I +R)

(fI + f ′R

)](2)

como R0 < 1 así queda demostrado el teorema.Ahora si R0 > 1, el equilibrio libre de infección es localmenteinestable.




Teorema 2

TeoremaNo habrá ninguna órbita cerrada alrededor del equilibrio libre deinfección, en la región

A= {I ≥ 0, R ≥ 0, I +R ≤ 0}





Prueba: Sea h(I ,R) = 1obviamente h(I ,R)> 0, si I > 0 y R > 0. Llamemos

k1 = β(fI + f ′R

)(1− I −R)− (q+µ) I

k2 = qI − (γ +µ)R

4(k1,k2) =δ (k1h)

δ I+

δ (k2h)

δR

entonces

h (I ,R)k1 (I ,R) = β(fI + f ′R

)(1− I −R)− (q+µ) I

h (I ,R)k2 (I ,R) = qI − (γ +µ)R





Ahora

4(k1,k2) = β f −2β fI −β fR−β f ′R− (q+µ) (3)

De la ecuación 3 es claro que:Cuando I = 1, R = 0 ⇒ 4(k1,k2)< 0.Cuando I = 0, R = 1 ⇒ 4(k1,k2)< 0.

Por lo tanto, no pueden haber trayectorias cerradas en la región defactibilidad

A= {I ≥ 0, R ≥ 0, I +R ≤ 0}.




Teorema 3

TeoremaEl modelo del sistema 1 no tiene soluciones periódicas, curvashomoclinicas y polígonos de fase orientados dentro de la regióninvariante H.





Prueba: Consideremos la región de factibilidad

H = {S ≥ 0, I ≥ 0, R ≥ 0, S+ I +R ∈ R+3 , S+ I +R = 1}

y definimos H0 = H−{1,0,0}.Sea

g (S , I ,R) = {g1 (S , I ,R) , g2 (S , I ,R) , g3 (S , I ,R)}

Un campo vectorial con subconjuntos compactos contenidos en elinterior de H y que satisfacen las condiciones g ·F = 0 y(curl g) · (1,1,1)< 0 en H0 = H−δH, donde δH es la frontera deH y F (f1, f2, f3)es un campo de Lipschitz continuo en H0.





Entonces el sistema de ecuaciones diferencialesdS

dt= f1,

dI

dt= f2, y

dR

dt= f3 no tienen soluciones periódicas, curvas homoclinicas y

polígonos de fase orientados en H0.Luego

f1 (S , I ) =−β{fI + f ′ (1−S− I )

}S+ γ (1−S− I )+µ−µS

f1 (S ,R) =−β{f (1−S−R)+ f ′R

}S+ γR+µ−µS

f2 (S , I ) = β{fI + f ′ (1−S− I )

}S− (q+µ) I

f2 (I ,R) = β(fI + f ′R

)(1− I −R)− (q+µ) I

f3 (S ,R) = q (1−S−R)− (γ +µ)R

f3 (I ,R) = qI − (γ +µ)R





Sea g = (g1, g2, g3) un campo vectorial, donde:

g1 =f3 (S ,R)

SR− f2 (S , I )

SI=

q

SR− q

R− γ

S−β f − β f ′

I+

β f ′S

I+β f ′

g2 =f1 (S , I )

SI− f3 (I ,R)

IR=−β f − β f ′

I+

β f ′S

I+β f ′+

γ

SI− γ

S+

µ

SI− q

R

g3 =f2 (I ,R)

IR− f1 (S ,R)

SR

=2β f

R− β fI

I− β fS

R−2β f +

β f ′

I− β f ′R

I− q

R− γ

S− µ

SR





Claramente g ·F = 0 en H0, desde que las formas alternativas de f1,f2 y f3 sean equivalentes en H.Ahora

(curl g) · (1,1,1) =−2β f ′−β f ′ (S , I , R)

I 2− q

SR2 −µ

S2R− γ +µ

S2I< 0

desde queS+ I +R = 1.




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Conclusión

Si R0 < 1, el único equilibrio es el libre de infección y este esglobalmente asintoticamente estable, es decir, la enfermedadno persiste cualquiera que sea el número inicial de infectadosen la población.Si R0 > 1 el equilibrio libre de infección es globalmenteinestable y el equilibrio con sentido epidemiologico esglobalmente asintoticamente estable, es decir, la enfermedades endémica en el sentido global.


Bibliografia Lecturas Complementarias

Lecturas Complementarias I

J. L Aron.Acquired immunity dependent upon exposure in an SIRSepidemic model.Math. Biosci., 88: 37-47.

S. Busenberg and V. Driessche.Analysis of a disease transmission model in a population wihtvarying seze.J. Math. Biol., 28:257-270.


Education

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