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Pregunta N.º 1En una biblioteca municipal existen en total 72
libros de matemática y literatura, los que están
en relación de 5 a 3 respectivamente. El número
de libros de literatura que deben agregarse para
que la relación sea de 9 a 10 es:
A) 21 B) 22 C) 23
D) 24 E) 25
Resolución
TemaRazones
Análisis y procedimiento
N.º de libros de
matemática
N.º de libros de literatura
Total de libros
Lo que se tiene
5×(9) 3×(9) 8×(9)=72(Dato)
Se observa que hay lo siguiente:
• 45librosdematemáticay
• 27librosdeliteratura
Luego, si agregamos x libros de literatura, ten-
dríamos:
• 45librosdematemática
• 27+x libros de literatura
Tema P
Matemática
Por condición del problema, tenemos
459
2710
= + x
→ x=23
RespuestaEl número de libros de literatura que deben agregarse es 23.
AlternAtivA C
Pregunta N.º 2Un libro se ofrece en venta recargándose el r por ciento del precio del costo, pero a un estudiante al comprarlo le rebajaron el p por ciento. Si el vendedor no ganó ni perdió, ¿cuánto le rebajaron al estudiante?
A) 100
100 +( )r
B) rr
+100100
C) 100 +( )r
r
D) 1
0 011
, +
r
E) 1
0 011
, −
r
Examen de Admisión UNI 2010-I
2
MAteMátiCA
Resolución
TemaTanto por ciento
Análisis y procedimientoSea
PC: Precio de costo
PF: Precio fijado
Según el enunciado tenemos
Si el vendedor no ganó ni perdió, entonces
(Precio de costo) = (Precio de venta)
Reemplazando, tenemos:
P p r PC C= − +( )%( )%·100 100
1
100100
100100
= − +( ) ( )p r
p
rr
=+
100100
Equivale a
p
r
=+
1
0 011
,
Observación
En el problema piden cuánto le rebajaron al estudiante,
es decir, el p por ciento del precio fijado, para lo cual
se necesita conocer el precio de costo, y no habría
alternativa. Sin embargo, el problema sólo debe pedir
el valor de p. Considerando eso, habría clave.
RespuestaEl valor de p es
1
0 011
, +r
.
AlternAtivA D
Pregunta N.º 3Un deudor tiene que pagar al banco tres letras. La primera de S/.80 000 pagadera dentro de 30 días; la segunda de S/.200 000 pagadera en 60 días y la tercera de S/.400 000 con un plazo de 90 días. ¿Dentro de qué tiempo (en días) debe ser pagada una letra única cuyo valor nominal sea la suma de los valores nominales de las tres letras? Suponga que la tasa de interés es constante.
A) 70 días B) 71 días C) 72 díasD) 73 días E) 74 días
Resolución
TemaRegla de descuento
Análisis y procedimientoDe los datos se tiene
Como el valor nominal de la única letra es igual a la suma de los valores nominales de las tres letras anteriores y todas son descontadas a la misma tasa, aplicamos tiempo de vencimiento común y obtenemos
x =
( )+ ( )+ ( )30 80000 60 200000 90 400000680000
∴ x=74,11...
Observación
Como el problema pide el tiempo en días se considerará 74 días.
3
MAteMátiCA
RespuestaLa única letra que debe pagarse es dentro de
74 días.
AlternAtivA e
Pregunta N.º 4¿En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con tres cifras?
A) 23 B) 24 C) 25D) 26 E) 27
Resolución
TemaNumeración
Análisis y procedimientoSi el número 1234 se escribe con tres cifras en el sistema de numeración de base n, entonces, tenemos
100(n) ≤ 1234 < 1000(n)
→ n2 ≤ 1234 < n3
→ 10 1234 1234 353,... ,...= < ≤ =n
Luego, los valores de n son
11 12 13 35
35 10 25
; ; ; ...;− = números� ��� ���
RespuestaHay 25 sistemas de numeración, en los cuales el número 1234 se escribe con tres cifras.
AlternAtivA C
Pregunta N.º 5Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
I. La suma de un número natural y un número
entero es un número natural.II. Sean a y b dos números enteros, entonces
existe un número c entero tal que a=bc.III. La cantidad de elementos del conjunto de
los números enteros positivos múltiplos de siete, es igual a la cantidad de elementos del conjunto de los números naturales.
A) VVV B) VFF C) FVVD) FFV E) FFF
Resolución
TemaConjuntos
Análisis y procedimientoI. Falsa Porque no cumple en todos los casos. Ejemplo • 4:esunnúmeronatural. • –7:esunnúmeroentero. Entonces
4 7 3+ − = −( )suma��� �� (no es un número natural)
II. Falsa Porque no cumple en todos los casos. Ejemplo Si a=3 y b=6 entonces, reemplazamos en a=b × c. 3=6 × c ∴ c=0,5 (no es entero)
III. Verdadera Como los dos conjuntos son infinitos y
se puede establecer una relación de uno a uno (bionívoca) entre los elementos de ambos conjuntos; por lo tanto, tienen igual cantidad de elementos.
RespuestaLa secuencia correcta de las proposiciones es FFV.
AlternAtivA D
4
MAteMátiCA
Pregunta N.º 6Indique la secuencia correcta después de determi-
nar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F).
I. Si m y n son números enteros no divisibles por
3, entonces la suma o la diferencia de ellos es un
múltiplo de tres.
II. Si m y n son múltiplos de 3 con m > n > 0
entonces el cociente m/n es un múltiplo de tres.
III. Si m y n son múltiplos de tres con m, n > 0
entonces MCD (m, n) es un múltiplo de tres.
A) VVV B) VFV C) VFF
D) FVF E) FFF
Resolución
TemaDivisibilidad
Análisis y procedimiento
I. Como m y n no son divisibles por 3, entonces
(m= 3o +1óm=3
o +2)y(n=3o +1ón=3
o +2)
Analizamos dos casos
(*) Si los residuos son iguales
→ m+n ≠ 3o y m – n=3
o
(*) Si los residuos son diferentes
→ m+n = 3o y m – n≠3
o
Entonces, la suma o diferencia de m y n es un
múltiplo de 3; por lo tanto, la proposición (I)
es verdadera (V).
II. Como m y n son múltiplos de 3 y m > n >0,
tomaremos un ejemplo para analizar si la
proposición es verdadera (V) o falsa (F).
Sean m=42 y n=21 ambos múltiplos de 3
(m > n).
→ = ≠m
n2 3
o
Como se puede observar, el cociente no
resultó 3o.
Por lo tanto, la proposición (II) es falsa (F).
III. Como m y n son múltiplos de tres con m,
n > 0.
→ m=3k y n=3p; (k > p).
Luego, tenemos
MCD(m, n)=MCD(3k; 3p)=3×MCD(k, p)= 3o
por propiedad
→ MCD(m, n)= 3o
Por lo tanto, la proposición (III) es verda
dera (V).
Respuesta
La secuencia correcta de las proposiciones es VFV.
AlternAtivA B
Pregunta N.º 7
Sean los números
N1=63a+1×8a, N2=8a×33a+1
donde la cantidad de los divisores de N1 es igual
a la cantidad de los divisores de N2 aumentado
en 20. Entonces el valor de 2a–1es
A) 1. B) 3. C) 5.
D) 7. E) 9.
Resolución
TemaNúmeros primos y compuestos
5
MAteMátiCA
Análisis y procedimientoPor dato tenemos los números
N1=63a+1×8a y N2=8a×33a+1
Cuyas descomposiciones canónicas son
N1=26a+1×33a+1
N2=23a×33a+1
Además, por condición se tiene que
CD(N1)=CD(N2)+20
→ (6a+2)×(3a+2)=(3a+1)(3a+2)+20
→ 2(3a+1)(3a+2)=(3a+1)(3a+2)+20
→ (3a+1)(3a+2)=20=4×5
4 5
→ 3a+1=4
∴ a=1
Luego, 2a–1=2(1)–1=1.
Respuesta
Por lo tanto, el valor de (2a–1)es1.
AlternAtivA A
Pregunta N.º 8
Determine el valor de a+b–c si se tiene que
(ab)3=1c8ab.
A)–1 B)–2 C)1
D) 2 E) 3
Resolución
TemaPotenciación
Análisis y procedimiento
Por dato
1c8ab=ab 3
Luego, por terminación de cifra,
b ∈ {1; 4; 5; 6; 9} (I)
Tenga en cuenta que si b=0, el numeral termi-
naría en tres ceros.
Además
203 < 1c8ab < 303
→ a=2
Luego
1c82b=2b 3
1c800=2b 3–2b
1c800=(2b–1)×2b×(2b+1)=8
25
o
o
De (I): b=4 → c=3
∴ a+b–c=3
Respuesta
El valor de (a+b–c) es 3.
AlternAtivA e
6
MAteMátiCA
Pregunta N.º 9Dada la siguiente relación:
y–|y|=x–|x|;
diga cuál de las siguientes gráficas es la que le
corresponde:
A) B)
C)
D) E)
Resolución
TemaGráfica de relaciones
Análisis y procedimientoEn la resolución del problema, aplicamos la
definición de valor absoluto.
xx x
x x=
≥− <
;;sisi
00
En el problema nos piden la gráfica de
y–|y|=x–|x| (1)
Caso 1: y ≥ 0
Reemplazamos en 1
y–y=x–|x|→ x=|x|→ x ≥ 0
cuya gráfica será
Caso 2: y < 0
Reemplazamos en 1
y+y=x–|x|→ yx x= −
2
yx
x x=
≥<
0 00
;;sisi
pero como y < 0 → y=x; x < 0
Luego, la gráfica pedida es la unión del gráfico 1
con el gráfico 2.
Respuesta
La gráfica de la relación es
AlternAtivA D
7
MAteMátiCA
Pregunta N.º 10Si las raíces de la ecuación
x2–(a+d)x+ad–bc=0
son x1=3, x2=5; y las raíces de la ecuación
y2–(a3+d3+3abc+3bcd)y+(ad –bc)3=0
son y1, y2. Entonces el valor de y21 y2+y1y2
2 es:
A) 213 000
B) 313 000
C) 413 000
D) 513 000
E) 613 000
Resolución
Tema
Ecuación cuadrática
Análisis y procedimiento
En la ecuación
x2–(a+d)x+ad –bc=0, de raíces x1=3 y x2=5
aplicamos el teorema de Cardano
x1+x2=8=a+d (α)
x1x2=15=ad –bc
En la ecuación
y2–(a3+d 3+3abc+3bcd)y+(ad –bc)3=0, de
raíces y1, y2
aplicamos el teorema de Cardano:
y1 · y2=(ad –bc)3=153=3375
y1+y2=a3+d 3+3abc+3bcd (b)
De (α):
a+d=8, elevamos al cubo
a3+d 3+3ad(a+d)=83
a3+d 3=83–3ad(a+d)
Reemplazamos en (b).
y1+y2=83–3ad(a+d)+3bc(a+d)
= − +( ) −[ ]8 33
8 15
a d ad bc������ ��
y1+y2=83–3(8)(15)=152
Nos piden
y y y y y y y y12
2 1 22
1 2 1 2+ = +( )
y y y y12
2 1 22 3375 152 513 000+ = ( ) =
Respuesta
El valor de y y y y12
2 1 22+ es 513 000.
AlternAtivA D
Pregunta N.º 11Sean A, B conjuntos no-vacíos.
Señale la alternativa que presenta la secuencia
correcta, después de determinar si la proposición
es verdadera (V) o falsa (F).
I. Si
(x, y); (x, z) ∈ f={(x, y) / x ∈ A, y ∈ B} ⊂ A×B
implica que y=z, entonces podemos decir
que f es un función de A en B.
II. Toda función sobreyectiva f: A → B es inyec-
tiva.
III. Toda función inyectiva f: A → B es sobreyec-
tiva.
A) VVV B) VFV C) VFF
D) FFV E) FFF
Resolución
TemaFunciones
8
MAteMátiCA
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contextoPara determinar el valor de verdad recordemos la definición de función.
f es una función de A en B ↔ ∀ x ∈ A, ∃! y ∈ B tal que (x; y) ∈ f
I. Verdadero Pues si (x; y) ∈ f ∧ (x; z) ∈ f implica y=z.
Significa que dos pares ordenados diferentes de f no tienen la misma primera componente. Por lo tanto, f es una función.
II. Falso Pues tenemos la siguiente función constante f : R → {k}, para f(x)=k f es sobreyectiva, pero no es inyectiva.
III. Falso Pues si tenemos la función lineal f : [0; 5] → [0; 6] tal que f(x)=x f es inyectiva, sin embargo, no es sobreyectiva,
pues el Ranf=[0; 5] es diferente al conjunto de llegada B=[0; 6].
RespuestaLa secuencia correcta es VFF.
AlternAtivA C
Pregunta N.º 12Dadas las siguientes proposiciones:I. Las raíces de ein–1=0, pertenecen a un
polígono regular de n lados, ∀ n ∈ N
II. Si eiθ =a+bi y θ ∈ π π4
34
; , entonces
a ∈ − 22
22
; y b ∈ 22
1; .
III. Dados α, b ∈ ⟨0; 2π⟩, tales que b > α, si cos(a)=cos(b), entonces ei(a+b)=1.
Indique cuáles son correctas.
A) solo IB) solo IIC) solo IIID) I y IIE) II y III
Resolución
TemaNúmeros complejos
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contextoEn el problema aplicaremos la definición de exponencial compleja.
Veamos cada una de las afirmaciones:I. Falso Resolvemos ein–1=0 (considerandoe=2,718281... ein=e2kπi y i = −1 ) → n=2kπ; k ∈ Z
Las soluciones de la ecuación no forman un polígono de n lados.
II. Falso Veamos un contraejemplo:
De θ ∈ π π4
34
; tomamos θ π=2
entonces, a=0 y b=1 ∉ 22
1;
9
MAteMátiCA
III. Verdadero
Como a, b ∈ ⟨0; 2π⟩; b > a además, cosa=cosb; entonces, a+b=2π de donde ei(a+b)=ei(2π)=1
RespuestaLa proposición verdadera es solo III.
AlternAtivA C
Pregunta N.º 13Sea S el conjunto solución de la ecuación, en R,
x x x
x
3 27 15 9135
− + − =
log.
Halle la cantidad de elementos de S.
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
Resolución
TemaEcuación logarítmica
Análisis y procedimientoPara determinar el número de soluciones reales usaremos gráficas de funciones. Para ello reduci-mos las expresiones; así:
x x x
x
3 27 15 9135
− + − =
log ∧ x > 0; x ≠ 1
→ −( ) −( ) =
x x x1 3 235
log
f(x) g(x)=
∧ x > 0; x ≠ 1
Graficamos
Se observa que las gráficas se cortan sólo en un punto; entonces, solo tiene una solución real.
RespuestaLa cantidad de elementos de S es 0.
AlternAtivA A
Pregunta N.º 14
Si A =− − −
1 1 10 0 00 0 1
. Calcule S=A42+A55.
A) A =
0 0 10 0 00 0 2
B) A =−
0 0 10 0 00 0 2
C) A =−
0 0 10 0 00 0 2
D) A =−
−
0 0 10 0 00 0 2
E) A =
0 0 10 0 00 0 3
10
MAteMátiCA
Resolución
TemaMatrices
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contextoPara determinar potencias de una matriz, una de las formas es mediante el polinomio característico:
P(x).
Si A ∈ Rn×n: P(x)=det(A–xI)
Hallemos el polinomio característico de A.
P(x)=det(A–xI)
Px
xx
x( ) =− − −
−
1 1 10 0 00 0 1
0 00 00 0
Px
xx
x( ) =− −( ) − −
−−( )
1 1 10 00 0 1
P(x)=x–x3
Entonces, P(A)=A–A3=f(f:matriz nula)
↔ A3=A ↔ A3k=A; ∀ k ∈ Z+
Reemplazamos en A42+A55=(A3)14+(A3)18A
=A+(A)A=A+A2
Determinamos
A21 1 10 0 00 0 1
1 1 10 0 00 0 1
1 1 00 0 00 0 1
=− − −
− − −
=
→ A A21 1 10 0 00 0 1
1 1 10 0 00 0 1
+ =
+− − −
=−
0 0 10 0 00 0 2
Respuesta
La matriz A42+A55 es
0 0 10 0 00 0 2
−
AlternAtivA B
Pregunta N.º 15Dado el sistema 2x –y+z=1x+4y+2z=–1¿Cuál de las siguientes ecuacionesI. x–5y –z=2,II. 3x+3y+3z=2,III. 5x+2y+4z=1,puede agregarse al sistema anterior de modo que el conjunto solución no varíe?
A) solo I B) I y II C) I y IIID) solo II E) solo III
Resolución
TemaSistema de ecuaciones lineales
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contextoUna característica de los sistemas es que si sumamos o restamos las ecuaciones en una cantidad finita no se altera el conjunto solución.
11
MAteMátiCA
Del dato: 2x –y+z=1 x+4y+2z=–1
• Alrestarlasecuaciones
2x –y +z=1 x+4y+2z=–1
–
se obtiene x –5y –z = 2. (*)
• Alsumarlasecuaciones
2x –y +z=1 x+4y+2z=–1
+
se obtiene 3x+3y+3z=0. (**)
• Multiplicamospor2alaprimeraecuaciónysumamos con la segunda ecuación.
4x –2y +2z=2 x +4y +2z=–1
+
Se obtiene 5x +2y+4z=1. (***)
Las ecuaciones que se obtienen (*), (**) y (***) son equivalentes a las primeras.
Entonces, podemos indicar que las proposiciones I y III del problema coinciden con (*) y (***); en cambio, II no coincide con (**); entonces, no podemos agregarlo al sistema.
RespuestaPodemos agregar las ecuaciones I y III.
AlternAtivA C
Pregunta N.º 16En relación a un programa lineal, indique la se- cuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):
I. Las condiciones de no negatividad significan que todas las variables de decisión deben ser positivas.
II. El número de puntos extremos de la región admisible es finito.
III. En un programa lineal pueden variarse los coeficientes de la función objetiva y aún mantenerse la solución óptima.
A) VFV B) FFF C) FFVD) FVV E) VFF
Resolución
TemaProgramación lineal
Análisis y procedimientoEn el problema debemos recordar las definiciones
básicas de programación lineal.
I. Falso
Si x, y son variables de decisión, entonces por
la condición de no negatividad se cumple que
x ≥ 0; y ≥ 0
II. Verdadero
Pues el número de vértices de toda región
factible es finito.
III. Verdadero
Pues dada la región factible S y la función
objetivo f(x; y)=ax+by+c. Supongamos
que (x1; y1) ∈ S es la solución óptima del
problema, entonces puede ser también
solución óptima de g(x; y)=cx+dy+k.
12
MAteMátiCA
Respuesta
La secuencia correcta es FVV.
AlternAtivA D
Pregunta N.º 17Sea la sucesión a1=0, a2=1, a a a3 4 5
12
34
58
= = =, , ;
a a a6 7 81116
2132
4364
= = =; ; ;..., entonces la
sucesión {an} converge a:
A) 712
B) 58 C)
23
D) 1 E) ∞
Resolución
TemaSucesiones reales
Análisis y procedimientoPor dato se tiene a1; a2; a3; a4; a5; a6
0 ; 1; 12
34
58
1116
; ...
Múltipliquemos por 3 y dividimos entre 3 a cada término.v
130 3
32
94
158
3316
; ; ; ; ; ; ...
1302 1
2
2 1
2
2 1
2
2 1
2
2 1
2
1 2
1
3
2
4
3
5
6; ; ; ; ; ; ...
º+ − + − +
Entonces, tenemos la regla de formación
a nn
n
= + −
≥−1
32
12
22
;
Tomando límite:021
32
12
23
lím límn
nn
N
a→+∞ →+∞
−= + −
=
Es decir, {an} converge a 0
23
.
Respuesta
[an] converge a 0
23
AlternAtivA C
Pregunta N.º 18En un colegio el 60% aprobó aritmética, el 32% aprobó álgebra y los que aprobaron aritmética y álgebra representan el 60% de los que no aprobaron ninguno de los dos cursos. Si 42 aprobaron aritmética y álgebra, calcule el número de alumnos del colegio.
A) 340 B) 350 C) 360D) 370 E) 380
Resolución
TemaConjuntos
Análisis y procedimientoLos datos del problema representaremos gráfica-mente mediante los conjuntos.
Por dato 42=60%(8%N+42)∴ N=350
13
MAteMátiCA
RespuestaLa cantidad de alumnos del colegio es 350.
AlternAtivA B
Pregunta N.º 19Dadas las funcionesf={(3;1),(2;–3),(5;0),(4;–4),(1;1)},g={(–4;3),(–2;7),(0;0),(1;5),(2;1)}yh={(1;–4),(3;–2),(5;0),(7;2)}.Determine la función compuesta f o g o h.
A) {(1; 0), (5; 1)}
B){(3;–3),(5;–4)}
C) {(1; 1), (7; 1)}
D){(1;1),(2;–3)}
E){(3;–1),(7;1)}
Resolución
TemaComposición de funciones
Análisis y procedimientoPara la resolución del problema haremos uso del diagrama sagital.
De la figura se deduce que la función
f g ho o = ( ) ( ){ }1 1 7 1; , ;
RespuestaLa función compuesta f o g o h es 1 1 7 1; , ; .( ) ( ){ }
AlternAtivA C
Pregunta N.º 20Considere la ecuación matricial
X1 32 7
4 01 2
=
−
, donde X es una matriz.
Calcule det(X).
A) 6 B) 7 C) 8D) 11 E) 19
Resolución
TemaDeterminantes
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contextoPara la resolución del problema aplicamos la siguiente propiedad:Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces |AB|=|A| · |B|.
Por dato se tiene que
X
1 32 7
4 01 2
=
−
→
=
−
X
1 32 7
4 01 2
X1 32 7
4 01 2
=−
|X|·1=8
\ |X|=8
RespuestaEl determinante de la matriz X es 8.
AlternAtivA C
14
MAteMátiCA
Pregunta N.º 21Halle la medida del ángulo b indicado en la figura
mostrada, donde las rectas L1 y L2 son paralelas.
A) 51º B) 53º C) 55º
D) 57º E) 59º
Resolución
Tema
Ángulos determinados entre rectas paralelas
Análisis y procedimiento
Referencia y/o contexto
Para calcular la medida del ángulo determinado
entre rectas paralelas, podemos citar los siguientes
teoremas:
L L�� ��
1 2// → = +x α β
L L�� ��
1 2 180// º→ + + + =α β θ γ
Dato:
L L�� ��
1 2//
Indicando las medidas de los ángulos en A y B,
aplicamos el teorema:
70º+b+35º+22º=180º
\ b=53º
Respuesta
La medida b es 53º.
AlternAtivA B