Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

a - ®Æt vÊn ®Ò

I-Lêi më ®Çu :

Trong trêng phæ th«ng m«n To¸n cã mét vÞ trÝ rÊt

quan träng. C¸c kiÕn thøc vµ ph¬ng ph¸p To¸n häc lµ

c«ng cô thiÕt yÕu gióp häc sinh häc tèt c¸c m«n häc

kh¸c, ho¹t ®éng cã hiÖu qu¶ trong mäi lÜnh vùc. §ång

thêi m«n To¸n cßn gióp häc sinh ph¸t triÓn nh÷ng

n¨ng lùc vµ phÈm chÊt trÝ tuÖ; rÌn luyÖn cho häc sinh

kh¶ n¨ng t duy tÝch cùc, ®éc lËp, s¸ng t¹o; gi¸o dôc

cho häc sinh t tëng ®¹o ®øc vµ thÈm mü cña ngêi

c«ng d©n.

ë trßng THCS, trong d¹y häc To¸n: cïng víi viÖc

h×nh thµnh cho häc sinh mét hÖ thèng v÷ng ch¾c c¸c

kh¸i niÖm, c¸c ®Þnh lÝ; th× viÖc d¹y häc gi¶i c¸c bµi

to¸n cã tÇm quan träng ®Æc biÖt vµ lµ mét trong

nh÷ng vÊn ®Ò trung t©m cña ph¬ng ph¸p d¹y häc

To¸n ë trêng phæ th«ng. §èi víi häc sinh THCS, cã thÓ

coi viÖc gi¶i bµi to¸n lµ mét h×nh thøc chñ yÕu cña

viÖc häc to¸n.

Cïng víi viÖc h×nh thµnh cho häc sinh mét hÖ

thèng v÷ng ch¾c c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n ®Ó häc sinh

cã thÓ vËn dông vµo lµm bµi tËp th× viÖc båi d ìng

häc sinh kh¸ giái lµ môc tiªu quan träng cña ngµnh

gi¸o dôc nãi chung vµ bËc häc THCS nãi riªng. Do ®ã

viÖc híng dÉn häc sinh kÜ n¨ng t×m tßi s¸ng t¹o trong

qu¸ tr×nh gi¶i to¸n lµ rÊt cÇn thiÕt vµ kh«ng thÓ

thiÕu ®îc.

1

Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

Lµ mét gi¸o viªn trùc tiÕp gi¶ng d¹y m«n to¸n ë

trêng THCS t«i ®i s©u nghiªn cøu néi dung ch¬ng

tr×nh vµ qua thùc tÕ d¹y häc t«i thÊy: trong ch¬ng

tr×nh To¸n THCS "C¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ trong ®¹i

sè" rÊt ®a d¹ng, phong phó vµ thó vÞ, cã mét ý nghÜa

rÊt quan träng ®èi víi c¸c em häc sinh ë bËc häc

nµy.ë THPT ®Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ ®¹i

sè ngêi ta thêng dïng ®Õn "c«ng cô cao cÊp" cña to¸n

häc lµ: ®¹o hµm cña hµm sè. ë THCS,

v× kh«ng cã (hay nãi chÝnh x¸c h¬n lµ kh«ng ®îc

phÐp dïng) "c«ng cô cao cÊp" cña To¸n häc nãi

trªn, nªn ngêi ta ph¶i b»ng c¸c c¸ch gi¶i th«ng minh

nhÊt, t×m ra c¸c biÖn ph¸p h÷u hiÖu vµ phï hîp víi

tr×nh ®é kiÕn thøc ë bËc häc THCS ®Ó gi¶i quÕt c¸c

bµi to¸n lo¹i nµy. ChÝnh v× vËy, c¸c bµi to¸n cùc trÞ

®¹i sè ë THCS kh«ng theo quy t¾c hoÆc khu«n mÉu

nµo c¶, nã ®ßi hái ngêi häc ph¶i cã mét c¸ch suy

nghÜ logic s¸ng t¹o, biÕt kÕt hîp kiÕn thøc cò víi kiÕn

thøc míi mét c¸ch logic cã hÖ thèng.

Trªn thùc tÕ gi¶ng d¹y To¸n 8-9 nh÷ng n¨m qua

t«i nhËn thÊy: phÇn "C¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i

sè" lµ mét trong nh÷ng phÇn träng t©m cña viÖc båi

dìng häc sinh kh¸ giái ë trêng THCS. ThÕ nhng thùc

tr¹ng häc sinh trêng chóng t«i vµ nh÷ng trêng t«i ®·

tõng d¹y lµ: häc sinh kh«ng cã høng thó víi lo¹i to¸n

nµy, bëi lÏ c¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ ®¹i sè ë trêng THCS

kh«ng theo mét ph¬ng ph¸p nhÊt ®Þnh nªn c¸c em rÊt

lóng tóng khi lµm to¸n vÒ cùc trÞ, c¸c em kh«ng biÕt

b¾t ®Çu tõ ®©u vµ ®i theo híng nµo. HÇu hÕt häc

2

Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

sinh rÊt ng¹i khi gÆp c¸c bµi to¸n cùc trÞ vµ kh«ng

biÕt vËn dông ®Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi tËp kh¸c.

Thùc tr¹ng ®ã khiÕn t«i lu«n b¨n kho¨n suy nghÜ:

"Lµm thÕ nµo ®Ó häc sinh kh«ng thÊy ng¹i vµ cã høng

thó víi lo¹i to¸n nµy". Víi tr¸ch nhiÖm cña ngêi gi¸o

viªn t«i thÊy m×nh cÇn gióp c¸c em häc tèt h¬n phÇn

nµy.

T«i ®· dµnh thêi gian ®äc tµi liÖu, nghiªn cøu

thùc tÕ gi¶ng d¹y cña b¶n th©n vµ cña mét sè ®ång

nghiÖp; qua sù t×m tßi thö nghiÖm, ®îc sù gióp ®ì

cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp. §Æc biÖt lµ nh÷ng bµi häc

sau nh÷ng n¨m ë trêng s ph¹m. T«i m¹nh d¹n chän

nghiªn cøu ®Ò tµi: "Híng dÉn häc sinh THCS gi¶i c¸c

bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè".

Víi ®Ò tµi nµy t«i hi väng sÏ gióp häc sinh kh«ng

bì ngì khi gÆp c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè, gióp c¸c em

häc tèt h¬n. §ång thêi h×nh thµnh ë häc sinh t duy

tÝch cùc, ®éc lËp, s¸ng t¹o, n©ng cao n¨ng lùc ph¸t

hiÖn vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò, rÌn luyÖn kh¶ n¨ng vËn

dông kiÕn thøc vµo ho¹t ®éng thùc tiÔn, rÌn luyÖn

nÕp nghÜ khoa häc lu«n mong muèn lµm ®îc nh÷ng

viÖc ®¹t kÕt qu¶ cao nhÊt, tèt nhÊt.

II. Thùc tr¹ng cña vÊn ®Ò nghiªn cøu.

1, §èi víi häc sinh :. Thùc tr¹ng khi nhËn chuyªn

m«n ph©n c«ng d¹y to¸n 8 ë nh÷ng tiÕt ®Çu tiªn t«i

c¶m thÊy hôt hÈng tríc c¸ch häc cña häc sinh.

§Ó Thèng kª n¨ng lùc tiÕp thu bµi cña häc sinh t«i

dïng nhiÒu h×nh thøc ph¸t vÊn tr¾c nghiÖm rót ra

mét hiÖn tîng næi bËt häc sinh tr¶ lêi râ rµng m¹ch l¹c

3

Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

nhng mang tÝnh chÊt häc vÑt chÊp hµnh ®óng nguyªn

b¶n, qu¸ tr×nh d¹y ®Ó kiÓm tra viÖc thùc hµnh øng

dông cña häc sinh t«i ®a ra mét sè vÝ dô th× häc sinh

lóng tóng kh«ng biÕt chøng minh nh thÕ nµo.

Tríc thùc tr¹ng trªn t«i ®· ®iÒu tra häc sinh qua

nhiÒu biÖn ph¸p kÕt qu¶ cho thÊy.

LípSØ

sè

Giái Kh¸ TBYÕu-

kÐm

SL % SL % Sl % SL %

8 49 02 06 31 10

Sau khi kiÓm tra t«i thÊy r»ng häc sinh hiÓu vµ

lµm rÊt m¬ hå, mét s« häc sinh lµm ®îc chØ n»m vµo

mét sè häc sinh kh¸- giái. Sè cßn l¹i chñ yÕu lµ häc

sinh TB, YÕu, kÐm kh«ng biÕt gi¶i thÝch bµi to¸n nh

thÕ nµo.

2, §èi víi gi¸o viªn :

Thùc tr¹ng nµy kh«ng thÓ ®æ lçi cho tÊt c¶ häc

sinh bëi v× ngêi gi¸o viªn lµ ngêi chñ ®éng, chñ ®¹o

kiÕn thøc, còng chØ tu©n theo SGK mµ d¹y bµi to¸n

nµy ®ßi hái häc sinh ph¶i t duy tèt vµ ph¶i th©u tãm

®îc kiÕn thøc ®· häc ®Ó tËn dông vµo lµm bµi tËp .

§«i khi gi¸o viªn ¸p ®Æt gß bã c¸c em ph¶i thª

nµy, ph¶i thÕ nä mµ kh«ng ®a ra thùc tÕ ®Ó c¸c em

nh×n nhËn vÊn ®Ò.

VÒ phÝ häc sinh c¶m thÊy khã tiÕp thu bëi v×

®©y lµ d¹ng to¸n mµ c¸c em rÊt Ýt ®îc gÆp chÝnh v×

lÝ do ®ã mµ ngêi thÇy ph¶i t×m ra PP phï hîp nhÊt

®Ó häc sinh cã høng häc, b íc ®Çu häc sinh lµm quen

víi d¹ng bµi to¸n “ To¸n Cùc chØ” nªn c¶m thÊy m¬ hå

ph©n v©n t¹i sai l¹i ph¶i lµm nh vËy. NÕu kh«ng biÕn

®æi th× cã t×m ®îc kÕt qu¶ kh«ng. Tõ nh÷ng b¨n

4

Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

kho¨n ®ã cña häc sinh gi¸o viªn kh¼ng ®Þnh nÕu

kh«ng biÕn ®æi nh vËy th× kh«ng tr¶ lêi yªu cÇu cña

bµi to¸n.

Sau ®©y t«i xin ®a ra mét sè kinh nghiÖm híng

dÉn häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè 8.

B- gi¶i quyÕt vÊn ®Ò

I - c¸c gi¶i ph¸p thùc hiÖn

1. Kh¸i niÖm vÒ cùc trÞ cña mét biÓu

thøc

Cho biÓu thøc nhiÒu biÕn sè P(x, y, ..., z) víi x,

y, ..., z thuéc miÒn S nµo ®ã x¸c ®Þnh. NÕu víi bé gi¸

trÞ cña c¸c biÕn (x 0, y0, ...z0) S mµ ta cã:

5

Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

P(x0, y0, ...z0) P(x, y, ..., z) hoÆc P(x0, y0, ...z0) P(x,

y, ..., z) th× ta nãi P(x, y, ..., z) lín nhÊt hoÆc nhá

nhÊt t¹i (x0, y0, ...z0) trªn miÒn S.

P(x, y, ..., z) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i (x 0, y0, ...z0)

S cßn gäi lµ P ®¹t cùc ®¹i t¹i (x 0, y0, ...z0) hoÆc Pmax

t¹i (x0, y0, ...z0). T¬ng tù ta cã: P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt

t¹i (x0, y0, ...z0) S cßn gäi lµ P ®¹t cùc tiÓu t¹i (x 0, y0,

...z0) hoÆc Pmin t¹i (x0, y0, ...z0).

Gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña P trªn miÒn x¸c

®Þnh S gäi lµ c¸c cùc trÞ cña P trªn miÒn S.

2. Nguyªn t¾c chung t×m cùc trÞ cña mét

biÓu thøc

T×m cùc trÞ cña mét biÓu thøc trªn mét miÒn x¸c

®Þnh nµo ®ã lµ vÊn ®Ò réng vµ phøc t¹p, nguyªn t¾c

chung lµ:

*) §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc P(x,

y, ..., z) trªn miÒn x¸c ®Þnh S, ta cÇn chøng minh hai

bíc:

- Chøng tá r»ng P k ( víi k lµ h»ng sè ) víi mäi gi¸

trÞ cña c¸c biÕn trªn miÒn x¸c ®Þnh S

- ChØ ra trêng hîp x¶y ra dÊu ®¼ng thøc.

*) §Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét biÓu thøc P(x,

y, ..., z) trªn miÒn x¸c ®Þnh S, ta cÇn chøng minh hai

bíc:

- Chøng tá r»ng P k ( víi k lµ h»ng sè ) víi mäi gi¸

trÞ cña c¸c biÕn trªn miÒn x¸c ®Þnh S

- ChØ ra trêng hîp x¶y ra dÊu ®¼ng thøc.

Chó ý r»ng kh«ng ®îc thiÕu mét bíc nµo trong

hai bíc trªn.

6

Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

VÝ dô: Cho biÓu thøc A = x2 + (x - 2)2

Mét häc sinh t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A

nh sau:

Ta cã x2 0 ; (x - 2)2 0 nªn A 0.

VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 0.

Lêi gi¶i trªn cã ®óng kh«ng?

Gi¶i :

Lêi gi¶i trªn kh«ng ®óng. Sai lÇm cña lêi gi¶i trªn

lµ míi chøng tá r»ng A 0 nhng cha chØ ra ®îc trêng

hîp x¶y ra dÊu ®¼ng thøc. DÊu ®¼ng thøc kh«ng x¶y

ra, v× kh«ng thÓ cã ®ång thêi:

x2 = 0 vµ (x - 2)2 = 0 .

Lêi gi¶i ®óng lµ:

A = x2 + (x - 2)2 = x2 + x2 - 4x +4 =

2x2 - 4x + 4

= 2(x2 -2x - +1) + 2 = 2(x - 1)2 + 2

Ta cã: (x - 1)2 0 , x

2(x - 1)2 + 2 2 x

A 2 x

Do ®ã A = 2 x = 1.

VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A b»ng

2 víi x = 1.

3. KiÕn thøc cÇn nhí:

§Ó t×m cùc trÞ cña mét biÓu thøc ®¹i sè, ta

cÇn n¾m v÷ng:

7

Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

a) C¸c tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc, c¸c c¸ch

chøng minh bÊt ®¼ng thøc.

b) Sö dông thµnh th¹o mét sè bÊt ®¼ng thøc

quen thuéc:

* a2 0, tæng qu¸t: a2k 0 (k nguyªn d¬ng)

X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a = 0

* -a2 0, tæng qu¸t: -a2k 0 (k nguyªn d¬ng)

X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a = 0

* . (X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a = 0)

* - . (X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a = 0)

* (X¶y ra dÊu ®¼ng thøc ab 0)

*

(X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a b 0 hoÆc a b

0)

* , a >0 vµ , a <0

* a,b (X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a = b)

* a b, ab >0 (X¶y ra dÊu ®¼ng thøc a

= b)

II - c¸c biÖn ph¸p thùc hiÖn

(Mét sè d¹ng bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè)

Th«ng qua c¸c bµi to¸n trong s¸ch gi¸o khoa (s¸ch

tham kh¶o) t«i tiÕn hµnh ph©n lo¹i thµnh mét sè

8

Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

d¹ng c¬ b¶n nhÊt vÒ c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

ë THCS råi híng dÉn häc sinh t×m kiÕn thøc cã liªn

quan cÇn thiÕt ®Ó gi¶i tõng d¹ng to¸n ®ã. Sau ®©y

lµ mét sè d¹ng c¬ b¶n thêng gÆp:

D¹ng 1 : bµi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt

cña mét biÓu thøc lµ tam thøc bËc hai.

VÝ dô 1 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc.

A(x) = x2- 4x+1

Trong ®ã x lµ biÕn sè lÊy c¸c gi¸ trÞ thùc

bÊt kú.

H íng dÉn gi¶i :

Gîi ý : §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A(x)

ta cÇn ph¶i biÕn ®æi vÒ d¹ng A(x) k (k lµ h»ng sè) víi

mäi gÝa trÞ cña biÕn vµ chØ ra trêng hîp x¶y ra ®¼ng

thøc

Lêi gi¶i : A(x) = x2- 4x+1

= x2- 2.2x+1

= (x2- 2.2x+4)- 3

= (x- 2)2- 3

Víi mäi gi¸ trÞ cña x: (x - 2)2 0 nªn ta cã:

A(x) = (x- 2)2- 3 -3

VËy A(x) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng -3 khi x=2

§¸p sè : A(x)nhá nhÊt = - 3 víi x=2

VÝ dô 2 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc

9

Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

B(x) = -5x2- 4x+1

Trong ®ã x lµ biÕn sè lÊy gi¸ trÞ thùc bÊt kú

H íng dÉn gi¶i :

Gîi ý : §Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc B(x)

ta cÇn ph¶i biÕn ®æi ®a B(x) vÒ d¹ng B(x) k (k lµ

h»ng sè) víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn khi ®ã gi¸ trÞ lín

nhÊt cña B(x)= k vµ chØ ra khi nµo x¶y ra ®¼ng thøc

Lêi gi¶i : B(x) = -5x2 – 4x+1

= -5 (x2+ x) +1

= -5

=

= -5

= -5

Víi mäi gi¸ trÞ cña x: 0 nªn -5 0

suy ra: B(x)= -5 +

VËy B(x)®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi B(x)= , khi x = -

§¸p sè : B(x) l ín nhÊt = víi x = -

VÝ dô 3 : (Tæng qu¸t)

Cho tam thøc bËc hai P = ax2 +bx + c

10

Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P nÕu a > 0

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P nÕu a < 0

H íng dÉn gi¶i :

Gîi ý : §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt (lín nhÊt) cña P ta

cÇn ph¶i biÕn ®æi sao cho P = a.A2(x) + k. Sau ®ã

xÐt víi tõng trêng hîp a>0 hoÆc a<0 ®Ó t×m gi¸ trÞ

nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt.

Lêi gi¶i :

P = a.A2(x) + k

= a (x2 + x) + c

víi

Do nªn:

+NÕu a>0 th× do ®ã P k

+NÕu a<0 th× do ®ã P k

VËy khi x = - th× P cã gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng k

(nÕu a>0)

hoÆc gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng k (nÕu a<0)

D¹ng 2 : bµi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt,gi¸ tri lín

nhÊt cña ®a thøc bËc cao:

11

Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

VÝ dô4 :

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = (x2 + x + 1)2

H íng dÉn gi¶i :

(?) Ta nhËn thÊy A = (x2 + x + 1)2 0, nhng gi¸ trÞ

nhá nhÊt cña A cã ph¶i b»ng 0 hay kh«ng? V× sao?

Tr¶ lêi : MÆc dï A 0 nhng gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A

kh«ng ph¶i b»ng 0 v×: x2 + x +1 ≠ 0

Do ®ã Amin (x2 + x +1)min

(?) H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x2 + x +1? vµ t×m

gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A?

Tr¶ lêi: Ta cã x2 + x +1 = x2 + 2x. + - + 1

= +

VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x 2 + x + 1 b»ng víi x =

-

Tr¶ lêi: Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng víi x

= -

VÝ dô 5 :

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña

x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 9

H íng dÉn gi¶i :

Gîi ý: -H·y viÕt biÓu thøc díi d¹ng A2(x) + B2(x) 0

12

Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

-XÐt xem x¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi nµo?

Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc b»ng bao nhiªu?

Lêi gi¶i : x4 - 6x3 + 10x2 - 6x +9

= x4 - 2.x2.3x + (3x)2 + x2 - 2x.3 +32

= (x2 - 3x)2 + (x - 3)2 0

X¶y ra ®¼ng thøc khi vµ chØ khi:

x2–3x = 0 x(x-3) = 0 x = 0

x = 3 x =

3

x – 3 = 0 x – 3 = 0 x = 3

VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc b»ng 0 víi x =

3

§¸p sè : Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc b»ng 0

víi x = 3

D¹ng 3 : bµi to¸n T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín

nhÊt cña ®a thøc cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi

VÝ dô6 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x - 1

+ x - 3

H íng dÉn gi¶i :

Gîi ý: Bµi to¸n ®Ò cËp tíi dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi do

®ã chóng ta ph¶i nghØ tíi c¸c kho¶ng nghiÖm vµ

®Þnh nghÜa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét biÓu thøc.

A NÕu A 0

A =

- A NÕu A 0

13

Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

C¸ch 1 : §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A, ta tÝnh

gi¸ trÞ cña A trong c¸c kho¶ng nghiÖm. So s¸nh c¸c

gi¸ trÞ cña A trong c¸c kho¶ng nghiÖm ®ã ®Ó t×m ra

gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A.

Lêi gi¶i

+ Trong kho¶ng x < 1 th× x - 2 = - (x -2) =

2 - x

x - 5 = - (x - 5) = 5 -

x

A = 2 - x + 5- x = 7 - 2x

Do x < 2 nªn -2x > -4 do ®ã A = 7 - 2x >3

+ Trong kho¶ng 2 x 5 th× x - 2 = x - 2

x - 5 = - (x - 5) = 5 - x

A = x - 2 + 5 - x = 3

+ Trong kho¶ng x > 5 th× x - 2 = x - 2

x - 5 = x - 5

A = x - 2 + x - 5 = 2x - 7

Do x > 5 nªn 2x > 10 do ®ã A = 2x – 7 > 3

So s¸nh c¸c gi¸ trÞ cña A trong c¸c kho¶ng

trªn, ta thÊy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 3 khi vµ

chØ khi 2 x 5

§¸p sè: Amin = 3 khi vµ chØ khi 2 x 5

C¸ch 2 : Ta cã thÓ sö dông tÝnh chÊt: gi¸ trÞ tuyÖt

®èi cña mét tæng nhá h¬n hoÆc b»ng tæng c¸c gi¸

trÞ tuyÖt ®èi.Tõ ®ã t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu

thøc A.

14

Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

Lêi gi¶i: A = x - 2+ = x - 2+

Ta cã: x - 2 + 5 - x x - 2 + 5 - x = 3

x - 2 0

A = 3 (x - 2) (5 - x)

0

5 - x 0

2 x 5

VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 3 khi vµ chØ khi

2 x 5

d¹ng 4 : Bµi to¸n T×m gtnn, gtln cña ph©n thøc cã

tö lµ h»ng sè, mÉu lµ tam thøc bËc hai

VÝ dô 7 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M =

H íng dÉn gi¶i :

Gîi ý : Sö dông tÝnh chÊt a b, ab >0

hoÆc theo quy t¾c so s¸nh hai ph©n sè cïng tö,

tö vµ mÉu ®Òu d¬ng.

Lêi gi¶i:

XÐt M = = =

Ta thÊy (2x - 1)2 0 nªn (2x - 1)2 + 4 4

Do ®ã:

15

Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

Tr¶ lêi: VËy M lín nhÊt b»ng khi 2x – 1 = 0 => x

=

§¸p sè : M l ín nhÊt= víi x =

VÝ dô 8 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B =

H íng dÉn gi¶i :

Ta cã: B = = - = -

V× (x - 1)2 0 => (x + 1)2 + 3 3

=> => - -

VËy B nhá nhÊt b»ng - khi x – 1= 0 => x =1

§¸p sè : Mnhá nhÊt = - víi x = 1

Chó ý: Khi gÆp d¹ng bµi tËp nµy c¸c em thêng

xuyªn lËp luËn r»ng M (hoÆc B) cã tö lµ h»ng sè nªn M

(hoÆc B) lín nhÊt (nhá nhÊt) khi mÉu nhá nhÊt (lín

nhÊt)

LËp luËn trªn cã thÓ dÉn ®Õn sai lÇm, ch¼ng h¹n

víi ph©n thøc

MÉu thøc x2 - 3 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -3 khi x =

0

16

Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

Nhng víi x = 0 th× = - kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ

lín nhÊt cña ph©n thøc

Ch¼ng h¹n víi x = 2 th× = 1 > -

Nh vËy tõ -3 < 1 kh«ng thÓ suy ra - >

VËy tõ a < b chØ suy ra ®îc > khi a vµ b cïng

dÊu .

d¹ng 5 :Bµi to¸n T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cña

ph©n thøc cã mÉu lµ b×nh ph¬ng cña nhÞ thøc

VÝ dô 9 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A =

C¸ch1 :

Gîi ý: H·y viÕt tö thøc díi d¹ng lòy thõa cña x + 1,

råi ®æi biÕn b»ng c¸ch viÕt A d íi d¹ng tæng c¸c

biÓu thøc lµ lòy thõa cña . Tõ ®ã t×m gi¸ trÞ nhá

nhÊt cña A.

Lêi gi¶i : Ta cã: x2 + x + 1 = (x2 + 2x + 1) -

(x +1) + 1

= (x + 1) 2 - (x + 1) +

1

Do ®ã A = = 1 - +

§Æt y= khi ®ã biÓu thøc A trë thµnh: A = 1

- y + y2

17

Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

Ta cã: A = 1 - y + y2 = y2 – 2.y. + ( )2 +

= +

VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng khi vµ chØ khi:

x + 1 = 2

x = 1

§¸p sè : Anhá nhÊt = khi x = 1

C¸ch 2 :

Gîi ý : Ta cã thÓ viÕt A díi d¹ng tæng cña mét sè

víi mét biÓu thøc kh«ng ©m. Tõ ®ã t×m gi¸ trÞ

nhá nhÊt cña A.

Lêi gi¶i:

A= + 2

18

Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng khi x-1=0

x=1

§¸p sè : AnhánhÊt= khi x=1

d¹ng 6 : bµi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cña

mét biÓu thøc ®¹i sè b»ng c¸ch ®a vÒ d¹ng 0

(hoÆc 0)

VÝ dô 10 :

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: M (x) =

(Víi x thuéc tËp hîp sè thùc)

H íng dÉn gi¶i :

Gîi ý : Tõ M (x) = ta cã:

M (x) = =

(?) Ta cã thÓ chia c¶ tö thøc vµ mÉu thøc cña

biÓu thøc cho x2 + 2x + 3 ®îc kh«ng? V× sao?

Tr¶ lêi : V× x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1 + 2 =

(x+1)2 > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña x. nªn sau khi chia c¶ tö

vµ mÉu cho x2 + 2x + 3 ta ®îc

M(x) = 3 +

(?) Bµi to¸n xuÊt hiÖn ®iÒu g× míi?

19

Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

Tr¶ lêi: Bµi to¸n trë thµnh t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

biÓu thøc

(?) H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña tõ ®ã

suy ra gi¸ trÞ lín nhÊt cña M(x)

Tr¶ lêi: V× (x+1)2 0 Víi mäi x

Nªn (x+1)2 + 2 2 víi mäi x

Do ®ã

Tõ ®ã ta cã:

M(x) = 3 + 3 + = 3

DÊu “=” x¶y ra khi x+1=0 hay x=-1

VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña M(x) = 3 khi vµ chØ khi

x=-1

§¸p sè : M(x)Lín nhÊt =3 víi x = -1

20

Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

C. KÕt luËn

1. Thùc tiÔn kh¶o s¸t sau khi ¸p dông.

Sauk hi ¸p dôngc¸c c¸ch gi¶i bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i

sè 8 thùc tÕ häc sinh dÇn dÇn chó träng khi gi¶i to¸n

chø kh«ng lóng tóng nh tríc.

KÕt qu¶ t«i ®· thu ®îc sau khi ¸p dông ®Ò tµi nµy ®-

îc thÓ hiÖn ë b¶ng sau:

LípSØ

sè

Giái Kh¸ TBYÕu-

kÐm

SL % SL % Sl % SL %

8 49 05 10 34 0

2. KÕt qu¶:

Sau khi thùc hiÖn gi¶ng d¹y phÇn “ C¸c bµi to¸n cùc

trÞ trong ®¹i sè 8” theo néi dung ®Ò tµi nµy kÕt

qu¶ mµ t«i thu ®îc kh¸ kh¶ quan.

§Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ ®¹i sè ë líp 8

c¸c em ph¶i biÕn ®æi ®ång nhÊt c¸c biÓu thøc ®aÞ

sè, ph¶i biÕn ®æi vµ sö dông kh¸ nhiÒu c¸c h»ng

®¼ng thøc ®¸ng nhí tõ d¹y ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p.

Ngoµi ra cßn liªn quan mËt thiÕt ®Õn c¸c kiÕn thøc

chøng minh ®¼ng thøc bëi thÕ nãi c¸c bµi to¸n cùc

trÞ ®¹i sè 8 t¹o ra kh¶ n¨ng gióp häc sinh cã ®iÒu

21

Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

kiÖn ®Ó rÌn luyÖn kÜ n¨ng biÕn ®æi ®ång nhÊt c¸c

biÓu thøc ®¹i sè, kÜ n¨ng tÝnh to¸n, kh¶ n¨ng t duy.

§Ò tµi nµy gióp häc sinh gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ

cùc trÞ trong ®¹i sè 8 cã PP h¬n, cã hiÖu qu¶ h¬n vµ

vËn dông vµo gi¶i quyÕt c¸c bµi tËp cã liªn quan kÝch

thÝch ®îc sù ®am mª häc to¸n nãi chung vµ sù say mª

gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ nãi riªng.

Yªu cÇu vÒ ph¸t huy tÝnh tù gi¸c rÌn luyÖn kh¶ n¨ng

t duy tÝch cùc ®éc lËp, s¸ng t¹o cña häc sinh th«ng

qua ho¹t ®éng gi¶i to¸n ®· ®îc häc.

VÒ mÆt t tëng c¸c bµi to¸n cùc trÞ gióp häc sinh thªm

gÇn gòi víi kݪn thøc thùc tÕ cña ®êi sèng, rÌn luyÖn

nÕp nghØ khoa häc . lu«n mong muèn lµm ®îc nh÷ng

c«ng viÖc ®¹t hiÖu qu¶ cao nh©t, tèt nhÊt.

3. Bµi häc kinh nghiÖm:

Víi ®Ò tµi “ Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c

bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè” T«i ®· cè g¾ng hÖ

thèng mét sè d¹ng c¬ b¶n nhÊt vÒ c¸c bµi to¸n cùc trÞ

trong ®¹i sè 8. Trong mçi giê d¹y t«i cã ®a ra c¬ së lÝ

thuyÕt vµ nh÷ng vÝ dô trong mçi vÝ dô ®ã cã gîi ý vµ

híng dÉn häc sinh c¸ch gi¶i vµ nh÷ng chó ý cÇn thiÕt

®Ó khi gÆp c¸c vÝ dô kh¸c c¸c em cã thÓ gi¶i ®îc.

C¸c d¹ng bµi tËp ®a ra tõ dÔ ®Õn khã, tõ ®¬n

gi¶n ®Õn phøc t¹p nh»m gióp cho häc sinh cã nh÷ng

kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ gi¶i bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

8. Bªn c¹nh ®ã t«i cßn ®a ra c¸c vÝ dô lµ c¸c bµi to¸n

tæng hîp c¸c kiÕn thøc vµ kÜ n¨ng tÝnh to¸n, kh¶

n¨ng t duy ë cÊp häc nµy, qua ®ã lµm cho c¸c em say

mª høng thó häc tËp bé m«n To¸n.

Tuy nhiªn trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vÉn cã rÊt

nhiÒu häc sinh cßn bì ngì trong qóa tr×nh gi¶i c¸c bµi

to¸n cùc trÞ, lËp luËn cha cã c¨n cø, suy diÔn cha hîp

logic vµ ®Æc biÖt lµ mét sè d¹ng cha phï hîp víi häc

sinh trung b×nh, yÕu.

22

Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

MÆc dï cã rÊt nhiÒu cè g¾ng nhng do thêi gian

kh«ng nhiÒu, do tr×nh ®é n¨ng lùc cña b¶n th©n vµ

tµi liÖu tham kh¶o cßn h¹n chÕ l¹i cha cã kinh nghiÖm

trong lÜnh vùc nghiªn cøu khoa häc nªn trong c¸ch

tr×nh bµy kh«ng tr¸nh khái nh÷ng s¬ xuÊt thiÕu sãt .

RÊt mong nhËn ®îc sù gióp ®ì, gãp ý cña c¸c thÇy ,

c« vµ vµ b¹n ®ång nghiÖp ®Ó t«i cã thÓ rót kinh

nghiÖm trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y cña m×nh trong

thêi gian sau.

ThiÖu Minh, ngµy 08 th¸ng 3 n¨m 2009

Ngêi viÕt

NguyÔn ThÞ

HuyÒn

Tµi liÖu tham kh¶o:

1. SGK To¸n 8- NXB Gi¸o dôc- Phan §øc ChÝnh, T«n

Th©n.

2. SBT To¸n 8 – NXB Gi¸o dôc- T«n Th©n chñ biªn

3. To¸n n©ng cao tù luËn vµ tr¾c nghiÖm §¹i sè 8-

NXB Gi¸o dôc- NguyÔn V¨n Léc.

4.To¸n båi dìng häc sinh líp 8 §¹i sè-NXB Gi¸o dôc

TrÇn San

5. §Ó häc tèt ®¹i sè 8- NXB Gi¸o dôc Hoµng Chóng

Chñ biªn

6. C¸c bµi to¸n ®¹i sè hay vµ khã – NXB Gi¸o dôc

NguyÔn §Ô

23

Híng dÉn häc sinh l íp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè

7. PP d¹y häc m«n to¸n – NXB Gi¸o dôc Ph¹m Gia

§øc.

24