SEGMENTOS PROPORCIONALES. TRIÁNGULOS SEMEJANTES. TALES.

María Pizarro Aragonés

TEOREMA DE THALES En dos rectas concurrentes R y S

cortadas por paralelas L1 , L2,

L3 ,los segmentos que se han

creado en una de las rectas son proporcionales a sus

correspondientes en la otra recta.

R S L1L2L3

L1 // L2// L3

Se forman segmentos

proporcionales. Ejemplo: 2 = 7 Productos

4 14 cruzados : 28

R S

L1L2

L3

L1 // L2// L3

2 7 4 14

a b ad = bc c d

R S

L1L2

L3

a b

c d

=

L1 // L2// L3

Calcular el valor de x

3 4

12 x

3 = 4 x = 4•12 = 16 12 x 3

R S

T

R // S // T

m n

s r

e

f

m e m + r f

=

L L//L” m + r L”

Se consideran los segmentos de la recta SIEMPRE desde el VÉRTICE

5

4

10 12

R 5 + 10 = 15 S R//S

5 4 ó 5 1515 12 4 12

= =

x 3 40

9

3 = x L // L” 12 40

12

x = 3 •40 = 10 12

Se forman segmentos proporcionales , pero en la misma recta L // L”

L

L”

x 18

5 10

5 = x 10 18 x = 5 •18 = 9 10

FIGURAS SEMEJANTES

Lados proporcionales y ángulos,respectivos, congruentes.

6

10

3 5

Son rectángulos , luego los ángulos son rectos 3 = 6 5 10Productos cruzados iguales , 30, luego lados proporcionales ,entonces los rectángulos son semejantes.

4

6

3,4

5

AMPLIACIÓN / REDUCCIÓN DE UNA

FIGURA 1 : 2

TRIÁNGULOS SEMEJANTES Dos triángulos son semejantes si : sus ángulos respectivos son iguales; y sus lados respectivos son proporcionales.

20 20 100 60 100 60

5 7

3

10 14

6

5 = 7 = 3 = 1 10 10 6 2 razón entre los lados 1 : 2

20 20 100 60 100 60

5 7

3

10 14

6

C′ C A′

B B′ A

Teorema Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.Tales de Mileto

ABO ∼ A′ B′O

CRITERIOS DE SEMEJANZA

LLL sus 3 lados respectivamente proporcionales LAL 2 lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente. AAA . Si dos de sus ángulos son congruentes. Ya que , si dos ángulos son congruentes el tercero también lo es.

CRITERIO LLL

4 = 6 = 5 = 1 8 12 10 2

CRITERIO AAA también se llama AAPorque bastan dos ángulos

CRITERIO LAL 4 = 12 = 2 6 18 3

Razón de semejanza 2 : 3

8 110 4 x 40 6

10 30

TRIÁNGULOS SEMEJANTES Calcula el valor de x 8 = 4 6 x

x = 3

3 = 2 9 x x x = 6

9 AC // ED

10

8 = x ; 10 15x = 12

En las dos figuras

10 = 8 15 x x = 12

12 48 8

1x + 2x + 3x = 48 6x = 48 x = 8

AP = 8 PR = 16 RB = 24 AB = 48 AP = SP 8 = 12

AB BC 48 y y = 72

y

FIN

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