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UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
iexcliexcliexclPequentildeos y gigantes pueden ser semejantes hellip
Figuras Semejantes
iquestFiguras
Semejantes
Si son semejantes
Dos figuras son semejantes cuando mantienen su ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
FIGURAS SEMEJANTES FIGURAS SEMEJANTES
NO son figuras semejantes
5cm
2cm
Semejanza Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
Ejemplo iquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
1 iquestTienen sus lados homoacutelogos (o respectivos) proporcionales
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los dos
rectaacutengulos son semejantes
2 iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
10cm
4cm
5
10
2
4
Asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales 10 bull2 = 5 bull 4
Asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales 10 bull2 = 5 bull 4
acutePor ser rectaacutengulo todos sus aacutengulos son rectos y
miden 90deg
Por ser rectaacutengulo todos sus aacutengulos son rectos y
miden 90deg
acute
Ejercicios
bull Una fotografiacutea de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco como se muestra en la imagen iquestSon semejantes los rectaacutengulos interior y exterior del marco
bull Determina si estos rectaacutengulos son semejantes
bull Calcula sabiendo que los dos poliacutegonos son semejantes
bull Determina si los siguientes poliacutegonos semejantes
bull iquestson semejantes estos rectaacutengulos
bull Si estos poliacutegonos son semejantes iquestCuanto mide
iquestSeraacuten semejantes estos triaacutengulos
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son congruentes y sus lados homoacutelogos son proporcionales
Congruente= igual medida Homoacutelogo = misma posicioacuten en cada figura() ()
A
Arsquo
B
BrsquoC
Crsquo
rsquo rsquo
rsquo rAC
CA
CB
BC
BA
AB
rsquo rsquo rsquo
TRIAacuteNGULOS SEMEJANTES
Criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de ldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo - aacutengulo)
2 LLL (lado ndash lado - lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Primer criterio
Si los triaacutengulos tienen dos aacutengulos correspondientes
congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
acute
acute
acute
Es decir
Si acute y
acute de lo anterior se deduce que acute )
Entonces Δ ABC ~ Δ AacuteBacuteCacute
AA
Ejemplo 1iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
iexcl Si Porque al tener dos de sus aacutengulos
correspondientes congruentes cumplen con el criterio AA
65deg 35deg
65deg80deg
A
A
B
B
C
C
Segundo criterio LLLSi dos triaacutengulos tienen los tres lados homoacutelogos proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir aaacute = =
ccacute = r
b bacutec
cacute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
bbacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3
= =35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105y
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto
Δ ABC ~ Δ PQR por criterio LLL
Tercer criterio LALSi dos triaacutengulos tienen dos lados homoacutelogos
proporcionales y los aacutengulos comprendido entre ellos congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
AacuteBacute
Crsquo
AB
C
Es decir si
aaacute
aaacute
= ccrsquoacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
Ejemplo iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL se afirma que Δ ABC ~ Δ DEF
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio 1
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
ΔABC 8 cm 10 cm 12 cmΔ PQR 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos ver
la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las razones
65 10 = 65
Ejercicio 2
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces x = 3 3 = 9
= 9
y = 4 3 =12
12 =
z = 5 3 = 15
=15
Representamos la situacioacuten
=x3
=y4
z5 =
31
= 3 x3
= 3
y4
=3
z5
=3
Escala de ampliacioacuten
La razoacuten de semejanza es 3
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
iexcliexcliexclPequentildeos y gigantes pueden ser semejantes hellip
Figuras Semejantes
iquestFiguras
Semejantes
Si son semejantes
Dos figuras son semejantes cuando mantienen su ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
FIGURAS SEMEJANTES FIGURAS SEMEJANTES
NO son figuras semejantes
5cm
2cm
Semejanza Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
Ejemplo iquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
1 iquestTienen sus lados homoacutelogos (o respectivos) proporcionales
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los dos
rectaacutengulos son semejantes
2 iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
10cm
4cm
5
10
2
4
Asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales 10 bull2 = 5 bull 4
Asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales 10 bull2 = 5 bull 4
acutePor ser rectaacutengulo todos sus aacutengulos son rectos y
miden 90deg
Por ser rectaacutengulo todos sus aacutengulos son rectos y
miden 90deg
acute
Ejercicios
bull Una fotografiacutea de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco como se muestra en la imagen iquestSon semejantes los rectaacutengulos interior y exterior del marco
bull Determina si estos rectaacutengulos son semejantes
bull Calcula sabiendo que los dos poliacutegonos son semejantes
bull Determina si los siguientes poliacutegonos semejantes
bull iquestson semejantes estos rectaacutengulos
bull Si estos poliacutegonos son semejantes iquestCuanto mide
iquestSeraacuten semejantes estos triaacutengulos
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son congruentes y sus lados homoacutelogos son proporcionales
Congruente= igual medida Homoacutelogo = misma posicioacuten en cada figura() ()
A
Arsquo
B
BrsquoC
Crsquo
rsquo rsquo
rsquo rAC
CA
CB
BC
BA
AB
rsquo rsquo rsquo
TRIAacuteNGULOS SEMEJANTES
Criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de ldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo - aacutengulo)
2 LLL (lado ndash lado - lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Primer criterio
Si los triaacutengulos tienen dos aacutengulos correspondientes
congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
acute
acute
acute
Es decir
Si acute y
acute de lo anterior se deduce que acute )
Entonces Δ ABC ~ Δ AacuteBacuteCacute
AA
Ejemplo 1iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
iexcl Si Porque al tener dos de sus aacutengulos
correspondientes congruentes cumplen con el criterio AA
65deg 35deg
65deg80deg
A
A
B
B
C
C
Segundo criterio LLLSi dos triaacutengulos tienen los tres lados homoacutelogos proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir aaacute = =
ccacute = r
b bacutec
cacute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
bbacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3
= =35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105y
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto
Δ ABC ~ Δ PQR por criterio LLL
Tercer criterio LALSi dos triaacutengulos tienen dos lados homoacutelogos
proporcionales y los aacutengulos comprendido entre ellos congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
AacuteBacute
Crsquo
AB
C
Es decir si
aaacute
aaacute
= ccrsquoacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
Ejemplo iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL se afirma que Δ ABC ~ Δ DEF
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio 1
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
ΔABC 8 cm 10 cm 12 cmΔ PQR 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos ver
la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las razones
65 10 = 65
Ejercicio 2
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces x = 3 3 = 9
= 9
y = 4 3 =12
12 =
z = 5 3 = 15
=15
Representamos la situacioacuten
=x3
=y4
z5 =
31
= 3 x3
= 3
y4
=3
z5
=3
Escala de ampliacioacuten
La razoacuten de semejanza es 3
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
Figuras Semejantes
iquestFiguras
Semejantes
Si son semejantes
Dos figuras son semejantes cuando mantienen su ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
FIGURAS SEMEJANTES FIGURAS SEMEJANTES
NO son figuras semejantes
5cm
2cm
Semejanza Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
Ejemplo iquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
1 iquestTienen sus lados homoacutelogos (o respectivos) proporcionales
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los dos
rectaacutengulos son semejantes
2 iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
10cm
4cm
5
10
2
4
Asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales 10 bull2 = 5 bull 4
Asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales 10 bull2 = 5 bull 4
acutePor ser rectaacutengulo todos sus aacutengulos son rectos y
miden 90deg
Por ser rectaacutengulo todos sus aacutengulos son rectos y
miden 90deg
acute
Ejercicios
bull Una fotografiacutea de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco como se muestra en la imagen iquestSon semejantes los rectaacutengulos interior y exterior del marco
bull Determina si estos rectaacutengulos son semejantes
bull Calcula sabiendo que los dos poliacutegonos son semejantes
bull Determina si los siguientes poliacutegonos semejantes
bull iquestson semejantes estos rectaacutengulos
bull Si estos poliacutegonos son semejantes iquestCuanto mide
iquestSeraacuten semejantes estos triaacutengulos
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son congruentes y sus lados homoacutelogos son proporcionales
Congruente= igual medida Homoacutelogo = misma posicioacuten en cada figura() ()
A
Arsquo
B
BrsquoC
Crsquo
rsquo rsquo
rsquo rAC
CA
CB
BC
BA
AB
rsquo rsquo rsquo
TRIAacuteNGULOS SEMEJANTES
Criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de ldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo - aacutengulo)
2 LLL (lado ndash lado - lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Primer criterio
Si los triaacutengulos tienen dos aacutengulos correspondientes
congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
acute
acute
acute
Es decir
Si acute y
acute de lo anterior se deduce que acute )
Entonces Δ ABC ~ Δ AacuteBacuteCacute
AA
Ejemplo 1iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
iexcl Si Porque al tener dos de sus aacutengulos
correspondientes congruentes cumplen con el criterio AA
65deg 35deg
65deg80deg
A
A
B
B
C
C
Segundo criterio LLLSi dos triaacutengulos tienen los tres lados homoacutelogos proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir aaacute = =
ccacute = r
b bacutec
cacute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
bbacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3
= =35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105y
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto
Δ ABC ~ Δ PQR por criterio LLL
Tercer criterio LALSi dos triaacutengulos tienen dos lados homoacutelogos
proporcionales y los aacutengulos comprendido entre ellos congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
AacuteBacute
Crsquo
AB
C
Es decir si
aaacute
aaacute
= ccrsquoacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
Ejemplo iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL se afirma que Δ ABC ~ Δ DEF
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio 1
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
ΔABC 8 cm 10 cm 12 cmΔ PQR 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos ver
la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las razones
65 10 = 65
Ejercicio 2
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces x = 3 3 = 9
= 9
y = 4 3 =12
12 =
z = 5 3 = 15
=15
Representamos la situacioacuten
=x3
=y4
z5 =
31
= 3 x3
= 3
y4
=3
z5
=3
Escala de ampliacioacuten
La razoacuten de semejanza es 3
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
iquestFiguras
Semejantes
Si son semejantes
Dos figuras son semejantes cuando mantienen su ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
FIGURAS SEMEJANTES FIGURAS SEMEJANTES
NO son figuras semejantes
5cm
2cm
Semejanza Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
Ejemplo iquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
1 iquestTienen sus lados homoacutelogos (o respectivos) proporcionales
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los dos
rectaacutengulos son semejantes
2 iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
10cm
4cm
5
10
2
4
Asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales 10 bull2 = 5 bull 4
Asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales 10 bull2 = 5 bull 4
acutePor ser rectaacutengulo todos sus aacutengulos son rectos y
miden 90deg
Por ser rectaacutengulo todos sus aacutengulos son rectos y
miden 90deg
acute
Ejercicios
bull Una fotografiacutea de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco como se muestra en la imagen iquestSon semejantes los rectaacutengulos interior y exterior del marco
bull Determina si estos rectaacutengulos son semejantes
bull Calcula sabiendo que los dos poliacutegonos son semejantes
bull Determina si los siguientes poliacutegonos semejantes
bull iquestson semejantes estos rectaacutengulos
bull Si estos poliacutegonos son semejantes iquestCuanto mide
iquestSeraacuten semejantes estos triaacutengulos
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son congruentes y sus lados homoacutelogos son proporcionales
Congruente= igual medida Homoacutelogo = misma posicioacuten en cada figura() ()
A
Arsquo
B
BrsquoC
Crsquo
rsquo rsquo
rsquo rAC
CA
CB
BC
BA
AB
rsquo rsquo rsquo
TRIAacuteNGULOS SEMEJANTES
Criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de ldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo - aacutengulo)
2 LLL (lado ndash lado - lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Primer criterio
Si los triaacutengulos tienen dos aacutengulos correspondientes
congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
acute
acute
acute
Es decir
Si acute y
acute de lo anterior se deduce que acute )
Entonces Δ ABC ~ Δ AacuteBacuteCacute
AA
Ejemplo 1iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
iexcl Si Porque al tener dos de sus aacutengulos
correspondientes congruentes cumplen con el criterio AA
65deg 35deg
65deg80deg
A
A
B
B
C
C
Segundo criterio LLLSi dos triaacutengulos tienen los tres lados homoacutelogos proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir aaacute = =
ccacute = r
b bacutec
cacute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
bbacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3
= =35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105y
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto
Δ ABC ~ Δ PQR por criterio LLL
Tercer criterio LALSi dos triaacutengulos tienen dos lados homoacutelogos
proporcionales y los aacutengulos comprendido entre ellos congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
AacuteBacute
Crsquo
AB
C
Es decir si
aaacute
aaacute
= ccrsquoacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
Ejemplo iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL se afirma que Δ ABC ~ Δ DEF
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio 1
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
ΔABC 8 cm 10 cm 12 cmΔ PQR 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos ver
la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las razones
65 10 = 65
Ejercicio 2
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces x = 3 3 = 9
= 9
y = 4 3 =12
12 =
z = 5 3 = 15
=15
Representamos la situacioacuten
=x3
=y4
z5 =
31
= 3 x3
= 3
y4
=3
z5
=3
Escala de ampliacioacuten
La razoacuten de semejanza es 3
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
Si son semejantes
Dos figuras son semejantes cuando mantienen su ldquoformardquo pero no necesariamente el mismo tamantildeo
FIGURAS SEMEJANTES FIGURAS SEMEJANTES
NO son figuras semejantes
5cm
2cm
Semejanza Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
Ejemplo iquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
1 iquestTienen sus lados homoacutelogos (o respectivos) proporcionales
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los dos
rectaacutengulos son semejantes
2 iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
10cm
4cm
5
10
2
4
Asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales 10 bull2 = 5 bull 4
Asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales 10 bull2 = 5 bull 4
acutePor ser rectaacutengulo todos sus aacutengulos son rectos y
miden 90deg
Por ser rectaacutengulo todos sus aacutengulos son rectos y
miden 90deg
acute
Ejercicios
bull Una fotografiacutea de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco como se muestra en la imagen iquestSon semejantes los rectaacutengulos interior y exterior del marco
bull Determina si estos rectaacutengulos son semejantes
bull Calcula sabiendo que los dos poliacutegonos son semejantes
bull Determina si los siguientes poliacutegonos semejantes
bull iquestson semejantes estos rectaacutengulos
bull Si estos poliacutegonos son semejantes iquestCuanto mide
iquestSeraacuten semejantes estos triaacutengulos
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son congruentes y sus lados homoacutelogos son proporcionales
Congruente= igual medida Homoacutelogo = misma posicioacuten en cada figura() ()
A
Arsquo
B
BrsquoC
Crsquo
rsquo rsquo
rsquo rAC
CA
CB
BC
BA
AB
rsquo rsquo rsquo
TRIAacuteNGULOS SEMEJANTES
Criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de ldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo - aacutengulo)
2 LLL (lado ndash lado - lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Primer criterio
Si los triaacutengulos tienen dos aacutengulos correspondientes
congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
acute
acute
acute
Es decir
Si acute y
acute de lo anterior se deduce que acute )
Entonces Δ ABC ~ Δ AacuteBacuteCacute
AA
Ejemplo 1iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
iexcl Si Porque al tener dos de sus aacutengulos
correspondientes congruentes cumplen con el criterio AA
65deg 35deg
65deg80deg
A
A
B
B
C
C
Segundo criterio LLLSi dos triaacutengulos tienen los tres lados homoacutelogos proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir aaacute = =
ccacute = r
b bacutec
cacute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
bbacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3
= =35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105y
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto
Δ ABC ~ Δ PQR por criterio LLL
Tercer criterio LALSi dos triaacutengulos tienen dos lados homoacutelogos
proporcionales y los aacutengulos comprendido entre ellos congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
AacuteBacute
Crsquo
AB
C
Es decir si
aaacute
aaacute
= ccrsquoacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
Ejemplo iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL se afirma que Δ ABC ~ Δ DEF
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio 1
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
ΔABC 8 cm 10 cm 12 cmΔ PQR 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos ver
la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las razones
65 10 = 65
Ejercicio 2
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces x = 3 3 = 9
= 9
y = 4 3 =12
12 =
z = 5 3 = 15
=15
Representamos la situacioacuten
=x3
=y4
z5 =
31
= 3 x3
= 3
y4
=3
z5
=3
Escala de ampliacioacuten
La razoacuten de semejanza es 3
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
NO son figuras semejantes
5cm
2cm
Semejanza Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
Ejemplo iquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
1 iquestTienen sus lados homoacutelogos (o respectivos) proporcionales
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los dos
rectaacutengulos son semejantes
2 iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
10cm
4cm
5
10
2
4
Asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales 10 bull2 = 5 bull 4
Asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales 10 bull2 = 5 bull 4
acutePor ser rectaacutengulo todos sus aacutengulos son rectos y
miden 90deg
Por ser rectaacutengulo todos sus aacutengulos son rectos y
miden 90deg
acute
Ejercicios
bull Una fotografiacutea de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco como se muestra en la imagen iquestSon semejantes los rectaacutengulos interior y exterior del marco
bull Determina si estos rectaacutengulos son semejantes
bull Calcula sabiendo que los dos poliacutegonos son semejantes
bull Determina si los siguientes poliacutegonos semejantes
bull iquestson semejantes estos rectaacutengulos
bull Si estos poliacutegonos son semejantes iquestCuanto mide
iquestSeraacuten semejantes estos triaacutengulos
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son congruentes y sus lados homoacutelogos son proporcionales
Congruente= igual medida Homoacutelogo = misma posicioacuten en cada figura() ()
A
Arsquo
B
BrsquoC
Crsquo
rsquo rsquo
rsquo rAC
CA
CB
BC
BA
AB
rsquo rsquo rsquo
TRIAacuteNGULOS SEMEJANTES
Criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de ldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo - aacutengulo)
2 LLL (lado ndash lado - lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Primer criterio
Si los triaacutengulos tienen dos aacutengulos correspondientes
congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
acute
acute
acute
Es decir
Si acute y
acute de lo anterior se deduce que acute )
Entonces Δ ABC ~ Δ AacuteBacuteCacute
AA
Ejemplo 1iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
iexcl Si Porque al tener dos de sus aacutengulos
correspondientes congruentes cumplen con el criterio AA
65deg 35deg
65deg80deg
A
A
B
B
C
C
Segundo criterio LLLSi dos triaacutengulos tienen los tres lados homoacutelogos proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir aaacute = =
ccacute = r
b bacutec
cacute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
bbacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3
= =35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105y
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto
Δ ABC ~ Δ PQR por criterio LLL
Tercer criterio LALSi dos triaacutengulos tienen dos lados homoacutelogos
proporcionales y los aacutengulos comprendido entre ellos congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
AacuteBacute
Crsquo
AB
C
Es decir si
aaacute
aaacute
= ccrsquoacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
Ejemplo iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL se afirma que Δ ABC ~ Δ DEF
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio 1
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
ΔABC 8 cm 10 cm 12 cmΔ PQR 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos ver
la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las razones
65 10 = 65
Ejercicio 2
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces x = 3 3 = 9
= 9
y = 4 3 =12
12 =
z = 5 3 = 15
=15
Representamos la situacioacuten
=x3
=y4
z5 =
31
= 3 x3
= 3
y4
=3
z5
=3
Escala de ampliacioacuten
La razoacuten de semejanza es 3
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
5cm
2cm
Semejanza Dos figuras son semejantes cuando la razoacuten entre las medidas de sus lados homoacutelogos son proporcionales y sus aacutengulos correspondientes son congruentes
Ejemplo iquestLos siguientes rectaacutengulos son semejantes
1 iquestTienen sus lados homoacutelogos (o respectivos) proporcionales
Al cumplirse las dos condiciones anteriores podemos decir que los dos
rectaacutengulos son semejantes
2 iquestSon sus aacutengulos correspondientes congruentes
10cm
4cm
5
10
2
4
Asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales 10 bull2 = 5 bull 4
Asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales 10 bull2 = 5 bull 4
acutePor ser rectaacutengulo todos sus aacutengulos son rectos y
miden 90deg
Por ser rectaacutengulo todos sus aacutengulos son rectos y
miden 90deg
acute
Ejercicios
bull Una fotografiacutea de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco como se muestra en la imagen iquestSon semejantes los rectaacutengulos interior y exterior del marco
bull Determina si estos rectaacutengulos son semejantes
bull Calcula sabiendo que los dos poliacutegonos son semejantes
bull Determina si los siguientes poliacutegonos semejantes
bull iquestson semejantes estos rectaacutengulos
bull Si estos poliacutegonos son semejantes iquestCuanto mide
iquestSeraacuten semejantes estos triaacutengulos
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son congruentes y sus lados homoacutelogos son proporcionales
Congruente= igual medida Homoacutelogo = misma posicioacuten en cada figura() ()
A
Arsquo
B
BrsquoC
Crsquo
rsquo rsquo
rsquo rAC
CA
CB
BC
BA
AB
rsquo rsquo rsquo
TRIAacuteNGULOS SEMEJANTES
Criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de ldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo - aacutengulo)
2 LLL (lado ndash lado - lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Primer criterio
Si los triaacutengulos tienen dos aacutengulos correspondientes
congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
acute
acute
acute
Es decir
Si acute y
acute de lo anterior se deduce que acute )
Entonces Δ ABC ~ Δ AacuteBacuteCacute
AA
Ejemplo 1iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
iexcl Si Porque al tener dos de sus aacutengulos
correspondientes congruentes cumplen con el criterio AA
65deg 35deg
65deg80deg
A
A
B
B
C
C
Segundo criterio LLLSi dos triaacutengulos tienen los tres lados homoacutelogos proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir aaacute = =
ccacute = r
b bacutec
cacute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
bbacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3
= =35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105y
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto
Δ ABC ~ Δ PQR por criterio LLL
Tercer criterio LALSi dos triaacutengulos tienen dos lados homoacutelogos
proporcionales y los aacutengulos comprendido entre ellos congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
AacuteBacute
Crsquo
AB
C
Es decir si
aaacute
aaacute
= ccrsquoacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
Ejemplo iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL se afirma que Δ ABC ~ Δ DEF
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio 1
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
ΔABC 8 cm 10 cm 12 cmΔ PQR 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos ver
la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las razones
65 10 = 65
Ejercicio 2
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces x = 3 3 = 9
= 9
y = 4 3 =12
12 =
z = 5 3 = 15
=15
Representamos la situacioacuten
=x3
=y4
z5 =
31
= 3 x3
= 3
y4
=3
z5
=3
Escala de ampliacioacuten
La razoacuten de semejanza es 3
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
Ejercicios
bull Una fotografiacutea de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco como se muestra en la imagen iquestSon semejantes los rectaacutengulos interior y exterior del marco
bull Determina si estos rectaacutengulos son semejantes
bull Calcula sabiendo que los dos poliacutegonos son semejantes
bull Determina si los siguientes poliacutegonos semejantes
bull iquestson semejantes estos rectaacutengulos
bull Si estos poliacutegonos son semejantes iquestCuanto mide
iquestSeraacuten semejantes estos triaacutengulos
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son congruentes y sus lados homoacutelogos son proporcionales
Congruente= igual medida Homoacutelogo = misma posicioacuten en cada figura() ()
A
Arsquo
B
BrsquoC
Crsquo
rsquo rsquo
rsquo rAC
CA
CB
BC
BA
AB
rsquo rsquo rsquo
TRIAacuteNGULOS SEMEJANTES
Criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de ldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo - aacutengulo)
2 LLL (lado ndash lado - lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Primer criterio
Si los triaacutengulos tienen dos aacutengulos correspondientes
congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
acute
acute
acute
Es decir
Si acute y
acute de lo anterior se deduce que acute )
Entonces Δ ABC ~ Δ AacuteBacuteCacute
AA
Ejemplo 1iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
iexcl Si Porque al tener dos de sus aacutengulos
correspondientes congruentes cumplen con el criterio AA
65deg 35deg
65deg80deg
A
A
B
B
C
C
Segundo criterio LLLSi dos triaacutengulos tienen los tres lados homoacutelogos proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir aaacute = =
ccacute = r
b bacutec
cacute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
bbacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3
= =35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105y
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto
Δ ABC ~ Δ PQR por criterio LLL
Tercer criterio LALSi dos triaacutengulos tienen dos lados homoacutelogos
proporcionales y los aacutengulos comprendido entre ellos congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
AacuteBacute
Crsquo
AB
C
Es decir si
aaacute
aaacute
= ccrsquoacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
Ejemplo iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL se afirma que Δ ABC ~ Δ DEF
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio 1
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
ΔABC 8 cm 10 cm 12 cmΔ PQR 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos ver
la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las razones
65 10 = 65
Ejercicio 2
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces x = 3 3 = 9
= 9
y = 4 3 =12
12 =
z = 5 3 = 15
=15
Representamos la situacioacuten
=x3
=y4
z5 =
31
= 3 x3
= 3
y4
=3
z5
=3
Escala de ampliacioacuten
La razoacuten de semejanza es 3
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
bull Calcula sabiendo que los dos poliacutegonos son semejantes
bull Determina si los siguientes poliacutegonos semejantes
bull iquestson semejantes estos rectaacutengulos
bull Si estos poliacutegonos son semejantes iquestCuanto mide
iquestSeraacuten semejantes estos triaacutengulos
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son congruentes y sus lados homoacutelogos son proporcionales
Congruente= igual medida Homoacutelogo = misma posicioacuten en cada figura() ()
A
Arsquo
B
BrsquoC
Crsquo
rsquo rsquo
rsquo rAC
CA
CB
BC
BA
AB
rsquo rsquo rsquo
TRIAacuteNGULOS SEMEJANTES
Criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de ldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo - aacutengulo)
2 LLL (lado ndash lado - lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Primer criterio
Si los triaacutengulos tienen dos aacutengulos correspondientes
congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
acute
acute
acute
Es decir
Si acute y
acute de lo anterior se deduce que acute )
Entonces Δ ABC ~ Δ AacuteBacuteCacute
AA
Ejemplo 1iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
iexcl Si Porque al tener dos de sus aacutengulos
correspondientes congruentes cumplen con el criterio AA
65deg 35deg
65deg80deg
A
A
B
B
C
C
Segundo criterio LLLSi dos triaacutengulos tienen los tres lados homoacutelogos proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir aaacute = =
ccacute = r
b bacutec
cacute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
bbacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3
= =35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105y
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto
Δ ABC ~ Δ PQR por criterio LLL
Tercer criterio LALSi dos triaacutengulos tienen dos lados homoacutelogos
proporcionales y los aacutengulos comprendido entre ellos congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
AacuteBacute
Crsquo
AB
C
Es decir si
aaacute
aaacute
= ccrsquoacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
Ejemplo iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL se afirma que Δ ABC ~ Δ DEF
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio 1
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
ΔABC 8 cm 10 cm 12 cmΔ PQR 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos ver
la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las razones
65 10 = 65
Ejercicio 2
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces x = 3 3 = 9
= 9
y = 4 3 =12
12 =
z = 5 3 = 15
=15
Representamos la situacioacuten
=x3
=y4
z5 =
31
= 3 x3
= 3
y4
=3
z5
=3
Escala de ampliacioacuten
La razoacuten de semejanza es 3
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
bull iquestson semejantes estos rectaacutengulos
bull Si estos poliacutegonos son semejantes iquestCuanto mide
iquestSeraacuten semejantes estos triaacutengulos
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son congruentes y sus lados homoacutelogos son proporcionales
Congruente= igual medida Homoacutelogo = misma posicioacuten en cada figura() ()
A
Arsquo
B
BrsquoC
Crsquo
rsquo rsquo
rsquo rAC
CA
CB
BC
BA
AB
rsquo rsquo rsquo
TRIAacuteNGULOS SEMEJANTES
Criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de ldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo - aacutengulo)
2 LLL (lado ndash lado - lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Primer criterio
Si los triaacutengulos tienen dos aacutengulos correspondientes
congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
acute
acute
acute
Es decir
Si acute y
acute de lo anterior se deduce que acute )
Entonces Δ ABC ~ Δ AacuteBacuteCacute
AA
Ejemplo 1iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
iexcl Si Porque al tener dos de sus aacutengulos
correspondientes congruentes cumplen con el criterio AA
65deg 35deg
65deg80deg
A
A
B
B
C
C
Segundo criterio LLLSi dos triaacutengulos tienen los tres lados homoacutelogos proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir aaacute = =
ccacute = r
b bacutec
cacute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
bbacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3
= =35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105y
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto
Δ ABC ~ Δ PQR por criterio LLL
Tercer criterio LALSi dos triaacutengulos tienen dos lados homoacutelogos
proporcionales y los aacutengulos comprendido entre ellos congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
AacuteBacute
Crsquo
AB
C
Es decir si
aaacute
aaacute
= ccrsquoacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
Ejemplo iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL se afirma que Δ ABC ~ Δ DEF
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio 1
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
ΔABC 8 cm 10 cm 12 cmΔ PQR 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos ver
la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las razones
65 10 = 65
Ejercicio 2
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces x = 3 3 = 9
= 9
y = 4 3 =12
12 =
z = 5 3 = 15
=15
Representamos la situacioacuten
=x3
=y4
z5 =
31
= 3 x3
= 3
y4
=3
z5
=3
Escala de ampliacioacuten
La razoacuten de semejanza es 3
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
iquestSeraacuten semejantes estos triaacutengulos
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son congruentes y sus lados homoacutelogos son proporcionales
Congruente= igual medida Homoacutelogo = misma posicioacuten en cada figura() ()
A
Arsquo
B
BrsquoC
Crsquo
rsquo rsquo
rsquo rAC
CA
CB
BC
BA
AB
rsquo rsquo rsquo
TRIAacuteNGULOS SEMEJANTES
Criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de ldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo - aacutengulo)
2 LLL (lado ndash lado - lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Primer criterio
Si los triaacutengulos tienen dos aacutengulos correspondientes
congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
acute
acute
acute
Es decir
Si acute y
acute de lo anterior se deduce que acute )
Entonces Δ ABC ~ Δ AacuteBacuteCacute
AA
Ejemplo 1iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
iexcl Si Porque al tener dos de sus aacutengulos
correspondientes congruentes cumplen con el criterio AA
65deg 35deg
65deg80deg
A
A
B
B
C
C
Segundo criterio LLLSi dos triaacutengulos tienen los tres lados homoacutelogos proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir aaacute = =
ccacute = r
b bacutec
cacute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
bbacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3
= =35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105y
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto
Δ ABC ~ Δ PQR por criterio LLL
Tercer criterio LALSi dos triaacutengulos tienen dos lados homoacutelogos
proporcionales y los aacutengulos comprendido entre ellos congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
AacuteBacute
Crsquo
AB
C
Es decir si
aaacute
aaacute
= ccrsquoacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
Ejemplo iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL se afirma que Δ ABC ~ Δ DEF
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio 1
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
ΔABC 8 cm 10 cm 12 cmΔ PQR 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos ver
la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las razones
65 10 = 65
Ejercicio 2
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces x = 3 3 = 9
= 9
y = 4 3 =12
12 =
z = 5 3 = 15
=15
Representamos la situacioacuten
=x3
=y4
z5 =
31
= 3 x3
= 3
y4
=3
z5
=3
Escala de ampliacioacuten
La razoacuten de semejanza es 3
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
Dos triaacutengulos son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son congruentes y sus lados homoacutelogos son proporcionales
Congruente= igual medida Homoacutelogo = misma posicioacuten en cada figura() ()
A
Arsquo
B
BrsquoC
Crsquo
rsquo rsquo
rsquo rAC
CA
CB
BC
BA
AB
rsquo rsquo rsquo
TRIAacuteNGULOS SEMEJANTES
Criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de ldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo - aacutengulo)
2 LLL (lado ndash lado - lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Primer criterio
Si los triaacutengulos tienen dos aacutengulos correspondientes
congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
acute
acute
acute
Es decir
Si acute y
acute de lo anterior se deduce que acute )
Entonces Δ ABC ~ Δ AacuteBacuteCacute
AA
Ejemplo 1iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
iexcl Si Porque al tener dos de sus aacutengulos
correspondientes congruentes cumplen con el criterio AA
65deg 35deg
65deg80deg
A
A
B
B
C
C
Segundo criterio LLLSi dos triaacutengulos tienen los tres lados homoacutelogos proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir aaacute = =
ccacute = r
b bacutec
cacute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
bbacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3
= =35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105y
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto
Δ ABC ~ Δ PQR por criterio LLL
Tercer criterio LALSi dos triaacutengulos tienen dos lados homoacutelogos
proporcionales y los aacutengulos comprendido entre ellos congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
AacuteBacute
Crsquo
AB
C
Es decir si
aaacute
aaacute
= ccrsquoacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
Ejemplo iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL se afirma que Δ ABC ~ Δ DEF
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio 1
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
ΔABC 8 cm 10 cm 12 cmΔ PQR 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos ver
la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las razones
65 10 = 65
Ejercicio 2
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces x = 3 3 = 9
= 9
y = 4 3 =12
12 =
z = 5 3 = 15
=15
Representamos la situacioacuten
=x3
=y4
z5 =
31
= 3 x3
= 3
y4
=3
z5
=3
Escala de ampliacioacuten
La razoacuten de semejanza es 3
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
Criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de ldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo - aacutengulo)
2 LLL (lado ndash lado - lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Primer criterio
Si los triaacutengulos tienen dos aacutengulos correspondientes
congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
acute
acute
acute
Es decir
Si acute y
acute de lo anterior se deduce que acute )
Entonces Δ ABC ~ Δ AacuteBacuteCacute
AA
Ejemplo 1iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
iexcl Si Porque al tener dos de sus aacutengulos
correspondientes congruentes cumplen con el criterio AA
65deg 35deg
65deg80deg
A
A
B
B
C
C
Segundo criterio LLLSi dos triaacutengulos tienen los tres lados homoacutelogos proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir aaacute = =
ccacute = r
b bacutec
cacute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
bbacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3
= =35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105y
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto
Δ ABC ~ Δ PQR por criterio LLL
Tercer criterio LALSi dos triaacutengulos tienen dos lados homoacutelogos
proporcionales y los aacutengulos comprendido entre ellos congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
AacuteBacute
Crsquo
AB
C
Es decir si
aaacute
aaacute
= ccrsquoacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
Ejemplo iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL se afirma que Δ ABC ~ Δ DEF
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio 1
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
ΔABC 8 cm 10 cm 12 cmΔ PQR 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos ver
la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las razones
65 10 = 65
Ejercicio 2
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces x = 3 3 = 9
= 9
y = 4 3 =12
12 =
z = 5 3 = 15
=15
Representamos la situacioacuten
=x3
=y4
z5 =
31
= 3 x3
= 3
y4
=3
z5
=3
Escala de ampliacioacuten
La razoacuten de semejanza es 3
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo - aacutengulo)
2 LLL (lado ndash lado - lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Primer criterio
Si los triaacutengulos tienen dos aacutengulos correspondientes
congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
acute
acute
acute
Es decir
Si acute y
acute de lo anterior se deduce que acute )
Entonces Δ ABC ~ Δ AacuteBacuteCacute
AA
Ejemplo 1iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
iexcl Si Porque al tener dos de sus aacutengulos
correspondientes congruentes cumplen con el criterio AA
65deg 35deg
65deg80deg
A
A
B
B
C
C
Segundo criterio LLLSi dos triaacutengulos tienen los tres lados homoacutelogos proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir aaacute = =
ccacute = r
b bacutec
cacute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
bbacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3
= =35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105y
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto
Δ ABC ~ Δ PQR por criterio LLL
Tercer criterio LALSi dos triaacutengulos tienen dos lados homoacutelogos
proporcionales y los aacutengulos comprendido entre ellos congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
AacuteBacute
Crsquo
AB
C
Es decir si
aaacute
aaacute
= ccrsquoacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
Ejemplo iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL se afirma que Δ ABC ~ Δ DEF
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio 1
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
ΔABC 8 cm 10 cm 12 cmΔ PQR 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos ver
la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las razones
65 10 = 65
Ejercicio 2
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces x = 3 3 = 9
= 9
y = 4 3 =12
12 =
z = 5 3 = 15
=15
Representamos la situacioacuten
=x3
=y4
z5 =
31
= 3 x3
= 3
y4
=3
z5
=3
Escala de ampliacioacuten
La razoacuten de semejanza es 3
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Primer criterio
Si los triaacutengulos tienen dos aacutengulos correspondientes
congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
acute
acute
acute
Es decir
Si acute y
acute de lo anterior se deduce que acute )
Entonces Δ ABC ~ Δ AacuteBacuteCacute
AA
Ejemplo 1iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
iexcl Si Porque al tener dos de sus aacutengulos
correspondientes congruentes cumplen con el criterio AA
65deg 35deg
65deg80deg
A
A
B
B
C
C
Segundo criterio LLLSi dos triaacutengulos tienen los tres lados homoacutelogos proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir aaacute = =
ccacute = r
b bacutec
cacute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
bbacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3
= =35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105y
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto
Δ ABC ~ Δ PQR por criterio LLL
Tercer criterio LALSi dos triaacutengulos tienen dos lados homoacutelogos
proporcionales y los aacutengulos comprendido entre ellos congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
AacuteBacute
Crsquo
AB
C
Es decir si
aaacute
aaacute
= ccrsquoacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
Ejemplo iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL se afirma que Δ ABC ~ Δ DEF
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio 1
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
ΔABC 8 cm 10 cm 12 cmΔ PQR 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos ver
la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las razones
65 10 = 65
Ejercicio 2
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces x = 3 3 = 9
= 9
y = 4 3 =12
12 =
z = 5 3 = 15
=15
Representamos la situacioacuten
=x3
=y4
z5 =
31
= 3 x3
= 3
y4
=3
z5
=3
Escala de ampliacioacuten
La razoacuten de semejanza es 3
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
Ejemplo 1iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
iexcl Si Porque al tener dos de sus aacutengulos
correspondientes congruentes cumplen con el criterio AA
65deg 35deg
65deg80deg
A
A
B
B
C
C
Segundo criterio LLLSi dos triaacutengulos tienen los tres lados homoacutelogos proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir aaacute = =
ccacute = r
b bacutec
cacute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
bbacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3
= =35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105y
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto
Δ ABC ~ Δ PQR por criterio LLL
Tercer criterio LALSi dos triaacutengulos tienen dos lados homoacutelogos
proporcionales y los aacutengulos comprendido entre ellos congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
AacuteBacute
Crsquo
AB
C
Es decir si
aaacute
aaacute
= ccrsquoacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
Ejemplo iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL se afirma que Δ ABC ~ Δ DEF
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio 1
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
ΔABC 8 cm 10 cm 12 cmΔ PQR 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos ver
la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las razones
65 10 = 65
Ejercicio 2
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces x = 3 3 = 9
= 9
y = 4 3 =12
12 =
z = 5 3 = 15
=15
Representamos la situacioacuten
=x3
=y4
z5 =
31
= 3 x3
= 3
y4
=3
z5
=3
Escala de ampliacioacuten
La razoacuten de semejanza es 3
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
Segundo criterio LLLSi dos triaacutengulos tienen los tres lados homoacutelogos proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de semejanza
Es decir aaacute = =
ccacute = r
b bacutec
cacute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
bbacute
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3
= =35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105y
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto
Δ ABC ~ Δ PQR por criterio LLL
Tercer criterio LALSi dos triaacutengulos tienen dos lados homoacutelogos
proporcionales y los aacutengulos comprendido entre ellos congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
AacuteBacute
Crsquo
AB
C
Es decir si
aaacute
aaacute
= ccrsquoacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
Ejemplo iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL se afirma que Δ ABC ~ Δ DEF
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio 1
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
ΔABC 8 cm 10 cm 12 cmΔ PQR 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos ver
la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las razones
65 10 = 65
Ejercicio 2
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces x = 3 3 = 9
= 9
y = 4 3 =12
12 =
z = 5 3 = 15
=15
Representamos la situacioacuten
=x3
=y4
z5 =
31
= 3 x3
= 3
y4
=3
z5
=3
Escala de ampliacioacuten
La razoacuten de semejanza es 3
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
Ejemplo
Determine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3
= =35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 105y
35 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto
Δ ABC ~ Δ PQR por criterio LLL
Tercer criterio LALSi dos triaacutengulos tienen dos lados homoacutelogos
proporcionales y los aacutengulos comprendido entre ellos congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
AacuteBacute
Crsquo
AB
C
Es decir si
aaacute
aaacute
= ccrsquoacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
Ejemplo iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL se afirma que Δ ABC ~ Δ DEF
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio 1
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
ΔABC 8 cm 10 cm 12 cmΔ PQR 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos ver
la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las razones
65 10 = 65
Ejercicio 2
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces x = 3 3 = 9
= 9
y = 4 3 =12
12 =
z = 5 3 = 15
=15
Representamos la situacioacuten
=x3
=y4
z5 =
31
= 3 x3
= 3
y4
=3
z5
=3
Escala de ampliacioacuten
La razoacuten de semejanza es 3
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
Tercer criterio LALSi dos triaacutengulos tienen dos lados homoacutelogos
proporcionales y los aacutengulos comprendido entre ellos congruentes entonces los triaacutengulos son semejantes
AacuteBacute
Crsquo
AB
C
Es decir si
aaacute
aaacute
= ccrsquoacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces ABC ~ AacuteBacuteCacute
Ejemplo iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL se afirma que Δ ABC ~ Δ DEF
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio 1
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
ΔABC 8 cm 10 cm 12 cmΔ PQR 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos ver
la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las razones
65 10 = 65
Ejercicio 2
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces x = 3 3 = 9
= 9
y = 4 3 =12
12 =
z = 5 3 = 15
=15
Representamos la situacioacuten
=x3
=y4
z5 =
31
= 3 x3
= 3
y4
=3
z5
=3
Escala de ampliacioacuten
La razoacuten de semejanza es 3
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
Ejemplo iquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL se afirma que Δ ABC ~ Δ DEF
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
3 bull 12 = 4 bull 9
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio 1
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
ΔABC 8 cm 10 cm 12 cmΔ PQR 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos ver
la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las razones
65 10 = 65
Ejercicio 2
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces x = 3 3 = 9
= 9
y = 4 3 =12
12 =
z = 5 3 = 15
=15
Representamos la situacioacuten
=x3
=y4
z5 =
31
= 3 x3
= 3
y4
=3
z5
=3
Escala de ampliacioacuten
La razoacuten de semejanza es 3
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio 1
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
ΔABC 8 cm 10 cm 12 cmΔ PQR 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos ver
la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las razones
65 10 = 65
Ejercicio 2
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces x = 3 3 = 9
= 9
y = 4 3 =12
12 =
z = 5 3 = 15
=15
Representamos la situacioacuten
=x3
=y4
z5 =
31
= 3 x3
= 3
y4
=3
z5
=3
Escala de ampliacioacuten
La razoacuten de semejanza es 3
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
Ejercicio 1
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
ΔABC 8 cm 10 cm 12 cmΔ PQR 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos ver
la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 520
65 bull 12 = 10 bull78 = 780
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las razones
65 10 = 65
Ejercicio 2
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces x = 3 3 = 9
= 9
y = 4 3 =12
12 =
z = 5 3 = 15
=15
Representamos la situacioacuten
=x3
=y4
z5 =
31
= 3 x3
= 3
y4
=3
z5
=3
Escala de ampliacioacuten
La razoacuten de semejanza es 3
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
Ejercicio 2
Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces x = 3 3 = 9
= 9
y = 4 3 =12
12 =
z = 5 3 = 15
=15
Representamos la situacioacuten
=x3
=y4
z5 =
31
= 3 x3
= 3
y4
=3
z5
=3
Escala de ampliacioacuten
La razoacuten de semejanza es 3
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
Para calcular la razoacuten de semejanza se
calcula una de las razones
50 20 = 25
Si los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente y los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros entonces iquestson semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
Ejercicio 3
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos
ldquocruzadosrdquo3016 = 480 y 4012 = 480
ademaacutes4020 = 800 y 1650 = 800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
Ejercicio 4
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
6
12= 4
8
Para comprobar la proporcionalidad
podemos efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
6 8 = 12 4 =48Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Ambos aacutengulos miden 60deg pero no se encuentra entre los lados homoacutelogos proporcionales
Entonces NO probar nadaEntonces NO probar nada
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
Ejercicio 5
Prueba si los triaacutengulos dados son semejantes
180ordm minus 100ordm minus 60ordm = 20ordm
Comprobemos que las medidas aacutengulos son congruentes
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura
tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros
(Haz un dibujo del problema ubicando los datos en eacutel)
Aplicacioacuten 1
45m
x3m
2m sombra
poste
El triaacutengulo definido por el poste y su sombra con el triaacutengulo formado por el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
de donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el criterio AA
tienen ambos un aacutengulo recto y el aacutengulo de
elevacioacuten que forman los rayos solares con el suelo son congruentes
=3x
245
x = 3 bull 45 2
Formamos la proporcioacuten
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
iquest ΔABC ~ ΔDBE
Durante la noche Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don Joseacute de pie junto al poste es de 4 m Si Miguel estima la altura de don Joseacute en 17 m iquestcuaacutento mediraacute el poste
Aplicacioacuten 2
criterio AA
CAB y EDB son aacutengulos rectos
CBA es el mismo EBD
Formamos la proporcioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
L1 L2
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
UNIDAD Geometriacutea
Tema SemejanzaldquoCriterios de semejanza de triaacutengulosrdquo
Macarena FicaEstudiante en praacutectica de Pedagogiacutea en Matemaacutetica
