SERIES Y SUCESIONES

Ing.Agricola

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN

CRISTÓBAL DE HUAMANGA

FACULTAD DE CIENCIAS AGRARIAS

ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE

INGENIERÍA AGRICOLA

ANÁLISIS MATEMÁTICO II MA-242

SERIES Y SUCESIONES

DOCENTE : Lic. Máximo Ángel Guillén Maldonado

ALUMNOS : xxxxxxxx

WWWWWWW

YYYYYYY

AYACUCHOxxx 1 MA-242

Ing.Agricola

2016

AGRICOLA 2 MA-241

ANÁLISIS MATEMÁTICO

Sucesiones y series

16 de octubre de 2016

Ing.Agricola

AGRICOLA 2 MA-241

Índice general

1. SUCESIONES 5

1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Tabla en LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Practica 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Propiedades de Limites de Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5. Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.1. Teorema de la Media Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.2. Teorema de la Media Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.3. Teorema del encaje para sucesiones . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.4. Criterio de la razón para la convergencia de sucesiones . . . 10

1.6. Sucesiones Divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7. Sucesiones Monótonas y acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8. Sucesión de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.9. Criterio de Stole-Cesaro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.10. Función Gamma (Γ(x)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.11. Teorema de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. SERIES INFINITAS 15

3

Ing.Agricola ÍNDICE GENERAL

2.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Series especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1. Series Armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2. Series Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.3. Series Telescópicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.4. Series Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3. Criterios de convergencia (Términos positivos) . . . . . . . . . . . 20

2.3.1. Teorema 1: Criterio de Convergencia de Comparación directa 20

2.3.2. Teorema 2: Criterio de Comparación por límite . . . . . . . 20

2.3.3. Teorema 3: Criterio de la Razón o Criterio de DÁlembert o

del cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.4. Teorema 4: Criterio de la Raíz o Criterio de Cauchy . . . . 21

2.3.5. Teorema 5: Criterio de la integral . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.6. Teorema 6: Criterio de RAABE . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Series de Potencias 23

3.1. Operaciones sobre las series potencias . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2. Series de Taylor y Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

AGRICOLA 4 MA-241

Capítulo 1

SUCESIONES

1.1. Definiciones

Definición 1.1 Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los

números entero positivos, cuyo rango es un conjunto arbitrario.

Trataremos solamente de sucesiones de números reales, es decir:

Consideremos una función S : (Z) → R, tal que, ∀n ∈ (Z), S(n) ∈ R, es un

elemento de la sucesión.

En vez de escribir S(n) escribiremos Sn y llamaremos n-ésimo término de la

sucesión.

∫ √b2 − 4ac

x2 + y2dx

∫ √b2 − 4ac

x2 + y2dx

∫ √b2 − 4ac

x2 + y2dx

5

Ing.Agricola CAPÍTULO 1. SUCESIONES

Días Horas/Hombre Valor

Lunes 2 2000 estudiantes

Martes 2 8000 Participantes

Miercoles 2 6000 matriculados

Jueves 2 5000

Cuadro 1.1: Tabla 1

1.2. Tabla en LATEX

1.2.1. Ejemplo 1

p q p→ q

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

1.2.2. Ejemplo 2

Pais Carne Verduras

España 1390 980

Francia 1504 3020

Italia 2010 1040

1.3. Practica 2

utilizacion del comando table

Pais Carne Verduras

España 1390 980

Francia 1540 3020

Italia 2010 1040

Cuadro 1.2: Importaciones en millones de Euros de carne y verduras

AGRICOLA 6 MA-241

Ing.Agricola 1.3. PRACTICA 2

Podemos observar en la 1.2 las imoportaciones en millones de Euros de carne

y verduras en Francia España e Italia.

Definición 1.2 Una sucesión {Sn}n≥1, se dice que tiene límite L, si para todo

ε > 0, existe un número N > 0, tal que: |Sn − L| < ε, para todo n > N y

denotaremos por:

lımn→∝ Sn = L⇔ ∀ε > 0,∃N > 0/n > N ⇒ |Sn − L| < ε

Derivada Parcial Respecto de la Variable x

En el gráfico observamos que en el Eje Y la varia-

ble y varía en el intervalo x ∈ [c, d]

En cambio en el Eje X. la sección transversal de

color verde no cambia, se mantiene estable en x 0

Figura 1.1: Derivada Parcial respecto de x

Integrales Múltiples∫ −1

2

∫ 5

3

(2x2 − x)dxdy

Ecuación Diferencial Solución Explícita

dy = x.√y .dx y =

1

16x4

d2y

dx2− 2

dy

dx+ y = 0 y = C1e

x + C2xex

xxx 7 MA-242


Definición 1.3 Se dice que una sucesión es convergente cuando tiene límite, en

caso contrario la sucesión es divergente.

1.4. Propiedades de Limites de Sucesiones

Consideremos dos sucesiones convergentes {Sn}n≥1 y {S ′n}n≥1 y k, una cons-

tante, entonces:

1. lımn→∝ k = k

2. lımn→∝ kSn = k lımn→∝ Sn

3. lımn→∝(Sn ± S ′n) = lımn→∝ Sn ± lımn→∝ S′n

4. lımn→∝(Sn.S′n) = lımn→∝ Sn. lımn→∝ S

′n

5. lımn→∝Sn

S′n= lımn→∝ Sn

lımn→∝ S′n, si lımn→∝ S

′n 6= 0

La demostración de estas propiedades es análoga, a la de los límites de funciones

reales, por lo tanto se deja para el lector.

Observación 1.1 Para hallar el límite de una sucesión {Sn}n≥1, se calcula el

límite del término n-ésimo de la sucesión Sn cuando n→∝, es decir:

lımn→∝ Sn = L

1.5. Teoremas

1.5.1. Teorema de la Media Aritmética

Teorema 1.1 Consideremos una sucesión {an}n≥1 convergente, si lımn→∝ an =

a, entonces:

lımn→∝a1+a2+a3+...+an

n = a

Demostracion

AGRICOLA 8 MA-241

Ing.Agricola 1.5. TEOREMAS

Como lımn→∝ an = a ⇒ an = a + δn, donde: lımn→∝ δn = 0, por lo tanto, a la

suma expresamos así:a1+a2+a3+...+an

n = a+δ1+a+δ2+a+δ3+...+a+δnn = na

n +nan +

δ1+δ2+δ3+...+δpn +

δp+1+δp+2+δp+3+...+δnn

Como la suma δ1 + δ2 + δ3 + ... + δp = k (constante) por ser suma finita, como:

|δi|i≤p < ε, entonces:

|δp+1 + δp+2 + ...+ δn| < |δp+1|+ |δp+1|+ ...+ |δn| < Mε, por lo tanto su límite

de, a1+a2+a3+...+ann , es:

lımn→∝a1+a2+a3+...+an

n = a

1.5.2. Teorema de la Media Geométrica

Teorema 1.2 Consideremos una sucesión {an}n≥1 convergente, si lımn→∝ an =

a, entonces:

lımn→∝n√a1 + a2 + a3 + ...+ an = a

Demostracion

Como lımn→∝ an = a⇒ ln(lımn→∝ an = ln(a), de donde:

lımn→∝(ln(an)) = ln(a), sea

un = n√a1 + a2 + a3 + ...+ an ⇒ ln(un) = ln n

√a1 + a2 + a3 + ...+ an =

1n(lna1 + lna2 + lna3 + ...+ lnan).

Tomando limite cuando n→∝ y aplicando el teorema de la media geométrica

lımn→∝ ln(un) = lımn→∝1n(lna1 + lna2 + lna3 + ...+ lnan

ln(lımn→∝ un) = lımn→∝lna1+lna2+lna3+...+lnan

n = ln(lımn→∝n√a1 + a2 + a3 + ...+ an =

ln(a)

ln(lımn→∝ un) = ln(lımn→∝n√a1 + a2 + a3 + ...+ an = ln(a)

Levantando el logaritmo en ambos miembros:

lımn→∝n√a1 + a2 + a3 + ...+ an = a

xxx 9 MA-242


1.5.3. Teorema del encaje para sucesiones

Teorema 1.3 Si ∀n ∈ Z,∃N > 0, tal que: an ≤ cn ≤ bn,∀n > N y si

lımn→∝ an = lımn→∝ an = L, entonces: lımn→∝ cn = L.

Demostracion

Por hipótesis tenemos: lımn→∝ an = L⇔ ∀ε > 0,∃N1 > 0/n > N1 ⇒ |an − L| <

ε, es decir: L− ε < an < L+ ε .... (1)

lımn→∝ bn = L⇔ ∀ε > 0,∃N2 > 0/n > N2 ⇒ |bn − L| < ε,

es decir: L− ε < an < L+ ε .... (2)

Sea N = max {N1, N2}, entonces tenemos:

L− ε < an ≤ cn ≤ bn < L+ ε, de (1), (2) e hipótesis.

Luego tenemos L − ε < cn < L + ε ⇒ |cn − L| < ε. Por lo tanto, dado ε >

0,∃N = max {N1, N2}, tal que:

n > N ⇒ |cn − L| < ε, de donde: lımn→∝ cn = L.

1.5.4. Criterio de la razón para la convergencia de sucesiones

Teorema 1.4 Sea {an}n≥1 una sucesión de números reales.

Si lımn→∝

∣∣∣Sn−1Sn

∣∣∣ < 1, entonces: lımn→∝ Sn = 0, y por lo tanto. La sucesión

{Sn}n≥1, es convergente.

Demostracion

Por hipótesis tenemos: lımn→∝

∣∣∣Sn−1Sn

∣∣∣ < 1, sea r un número real, tal que:

lımn→∝

∣∣∣Sn−1Sn

∣∣∣ < r < 1⇒ ∃N > 0/ lımn→∝

∣∣∣Sn−1Sn

∣∣∣ < r, siempre que n > N

Sea p ∈ Z/p > N ⇒∣∣∣Sn−1Sn

∣∣∣ < r ⇒ |Sp+1| < r |Sn|, de donde:

|Sp+2| < r |Sp+1| < r2 |Sp| , en general se tiene:

|Sp+k| < rk |Sp|, de donde: −rk |Sp| < Sp+k < rk |Sp|,

AGRICOLA 10 MA-241

Ing.Agricola 1.6. SUCESIONES DIVERGENTES

como 0 < r < 1⇒ lımn→∝ rk = 0.

Luego: lımn→∝−rk |Sp| = lımn→∝ rk |Sp| = 0.

Tenemos: lımn→∝ Sp+k = 0, por lo tanto: lımn→∝ Sn = 0

1.6. Sucesiones Divergentes

Se ha dicho que una sucesión es divergente cuando no tiene límite, esto puede

ser, divergente a+ ∝; a− ∝ u oscilante.

Definición 1.4 Sea {Sn}n≥1, una sucesión, diremos que: Sn → + ∝, cuando

n→∝, si para todo M > 0, existe N > 0, tal que : Sn > M,∀n > N .

Definición 1.5 Sea {Sn}n≥1, una sucesión, diremos que: Sn → − ∝, cuando

n→∝, si para todo M > 0, existe N > 0, tal que : Sn < −M, ∀n > N .

Definición 1.6 Si la sucesión {Sn}n≥1, diverge, pero no a − ∝ ni a + ∝ y

además toma valores positivos y negativos en forma alternada, diremos que la

sucesión:{an}n≥1 , es oscilante.

1.7. Sucesiones Monótonas y acotadas

Definición 1.7 Sea {Sn}n≥1, una sucesión, entonces:

i) Si : Sn ≤ Sn+1,∀n > N ⇒ la sucesión {Sn}n≥1 es creciente.

ii) Sn+1 ≤ Sn,∀n > N ⇒ la sucesión {Sn}n≥1 es decreciente.

A un sucesión que sea creciente o decreciente le llamaremos monótona.

Observación 1.2 .

* Si Sn ≤ Sn+1 ⇒ diremos que la sucesión es estrictamente creciente.

* Si Sn+1 ≤ Sn ⇒ diremos que la sucesión es estrictamente decreciente.

xxx 11 MA-242


Definición 1.8 Al número A le llamaremos cota inferior de la sucesión {Sn}n≥1,

si A ≤ Sn,∀n ∈ Z+, y al número B llamaremos cota superior, si Sn ≤ B, ∀n ∈

Z+

Definición 1.9 Si A es cota inferior de {Sn}n≥1, y A ≥ C, para toda cota

inferior C de {Sn}n≥1; entonces A se le llama la máxima cota inferior de {Sn}n≥1.

Definición 1.10 La sucesión {Sn}n≥1, diremos que esta acotada, si y solo si,

tiene cota superior e inferior, es decir: |Sk| ≤ k,∀n ∈ Z+

Teorema 1.5 Sea {Sn}n≥1, una sucesión, entonces:

i) Si {Sn}n≥1 es creciente y acotada superiormente, entonces {Sn}n≥1 es

convergente.

ii) Si {Sn}n≥1 es decreciente y acotada inferiormente, entonces {Sn}n≥1 es

convergente.

Demostracion

i) {Sn}n≥1, es acotada superiormente, por hipótesis α =mínima cota superior

de {Sn}n≥1, dado un número ε > 0, se tiene que α − ε, no es cota superior

de {Sn}n≥1 , pues α − ε < α y α es la mínima cota superior de la sucesión

como αε no es cota superior, ∃ un número entero positivo N > 0, tal que:

α− ε < Sn,∀n > N ........ (1)

Tenemos Sn < α, ∀n ∈ Z+ .......(2), α es la mínima cota superior.

Si Sn ≤ Sn+1,∀n > N .......(3), ({Sn}n≥1 es creciente por hipótesis).

Luego Sn ≤ Sn, pero n > N .......(4)

De (1),(2),(3) y (4), se tiene que: α−ε < Sn ≤ Sn ≤ α < α+ε, siempre que:

n > N ⇒ {Sn}n≥1, es convergente y su límite es la mínima cota superior.

ii) La demostración es similar que (i).

AGRICOLA 12 MA-241

Ing.Agricola 1.8. SUCESIÓN DE CAUCHY

Observación 1.3 El Teorema establece que toda sucesión monótona y acotada

es convergente.

1.8. Sucesión de Cauchy

Definición 1.11 Sea {Sn}n≥1, una sucesión, se dice que es una sucesión de

Cauchy, si para todo ε > 0,∃N > 0/m > N, n > N , entonces |Sm − Sn| < ε.

1.9. Criterio de Stole-Cesaro

Teorema 1.6 Sea {an}n≥1 y {bn}n≥1, dos sucesiones tal que:

Si la sucesión {an}n≥1 es Creciente, y tiene límite superior (an →∝).

Si la sucesión {an}n≥1 es Decreciente, y tiene límite inferior (an → 0).

y si existe el límite igual a uno. Esto es:

lımn→∝anbn

= lımn→∝an+1−anbn+1−bn = 1

1.10. Función Gamma (Γ(x))

Una de las funciones más importantes del Análisis Matemático es la función

Gamma, denotado por: Γ(x)), cuya regla de correspondencia es:

Γ(x) =∫ ∝

0 tx−1.e−tdt,∀x > 0

Se demuestra que esta función esta bien definida, es decir, que la integral impropia

que la define es Convergente, para todo x > 0.

Teorema 1.7 .

Γ(x+ 1) = xΓ(x),∀x > 0,Γ(1) = 1

xxx 13 MA-242


Teorema 1.8 La función Gamma: Γ(x) =∫ ∝

0 tx−1.e−tdt es convergente ∀x > 0.

Corolario 1.1 Γ(n) = (n− 1)!, si n = 1, 2, 3, 4, ...

Demostracion

Según el teorema Γ(x+ 1) = xΓ(x),∀x ∈ R, X > 0

Si Γ(n) = (n− 1)Γ(n− 1)

Γ(n− 1) = (n− 2)Γ(n− 2)

Γ(n− 2) = (n− 3)Γ(n− 3)

...

Γ(n) = (n− 1)(n− 2)(n− 3)...(1)

Γ(n) = (n− 1)!

Corolario 1.2 .

Γ(n+ 1) = n! =∫ ∝

0 tn+1−1.e−tdt =∫ ∝

0 tn.e−tdt

1.11. Teorema de Stirling

Teorema 1.9 .

lımn→∝n!

nn.e−n.√

2Πn= 1

O lo que es lo mismo:

n! = nn.e−n.√

2Πn

Nota 1.1 Es decir para ”n”muygrande, el factorial de ”n” es equivalente a

nn.e−n.√

2Πn

AGRICOLA 14 MA-241

Capítulo 2

SERIES INFINITAS

Definición 2.1 Sea {an}n≥1 una sucesión de números reales, entonces a la ex-

presión a1 + a2 + a3 + ...+ an + ... se denomina serie infinita de números reales.

A una serie infinita: a1 + a2 + a3 + ...+ an + ..., representaremos por:

∑∝n=1 an = a1 + a2 + a3 + ...+ an + ...

Donde: a1, a2, a3, ..., an, ..., se denomina (o llaman) términos de la serie y an

es llamado el n-ésimo término de la serie.

Ejemplo 2.1 La serie infinita: 12 + 2

3 + 34 + ...+ n

n+1 + ..., es representado por:∑∝n=1

nn+1 = 1

2 + 23 + 3

4 + ...+ nn+1 + ..

Ejemplo 2.2 La serie infinita: 1 + 13 + 1

5 + 17 + ..., es representado por:∑∝

n=11

2n−1 = 1 + 13 + 1

5 + 17 + ...

Definición 2.2 Consideremos una serie infinita∑∝

n=1 an y una sucesión de su-

mas parciales: {an}n≥1

Si el lımn→∝ Sn = S existe, entonces diremos que la serie infinita {an}n≥1 es

convergente y converge a S.

Si la serie infinita∑∝

n=1 an, es convergente, se puede escribir así:∑∝

n=1 an =

15

Ing.Agricola CAPÍTULO 2. SERIES INFINITAS

lımn→∝ Sn = S, al cual llamaremos suma de la serie infinita.

Si la serie infinita∑∝

n=1 an es divergente, carece de suma.

Observación 2.1 Si lımn→∝ = S existe, entonces la sucesión de las sumas par-

ciales {Sn}n≥1 es convergente, esto es:

Una serie infinita∑∝

n=1 an es convergente ⇔ {Sn}n≥1 es convergente.

Observación 2.2 Otra manera de hallar la n-ésima suma parcial de una serie

infinita, es usando la regla telescópica, es decir:∑∝i=1[f(i)− f(i− 1)] = f(n)− f(0)

Como an = 1n(n+1) ⇔ an = 1

n −1

n+1, entonces:

sn = a1 + a2 + a3 + ...+ an =∑n

i=1 ai

sn =∑m

i=1(1i −

1i+1) = −

∑ni=1(

1i+1 −

1i ) = −f(n)− f(0)), donde:

f(i) = 1i+1 ⇔ sn = −( 1

n+1 − 1) = 1− 1n+1, es decir:

sn = 1− 1n+1 ⇔ lımn→∝ sn = 1 existe, entonces:∑∝

i=11

n(n+1) es convergente y su suma es igual a 1.∑∝i=1

1n(n+1) = 1

Observación 2.3 1)A veces necesitamos que la serie infinita comience en el tér-

mino a0 o en el a2 o en algún término, si k > 0 es entero, escribiremos:∑∝n=k an = ak + ak+1 + ...

En caso de que carezca de importancia, al índice que se le asigne al primer tér-

mino, se acostumbra con frecuencia escribir∑an para designar una serie infinita.

2) Puesto que lımn→∝(Sn − c), c constante existe ⇔ lımn→∝ s(n) esxiste, se de-

duce que podemos omitir un número finito de términos (entre los primeros) de

AGRICOLA 16 MA-241

Ing.Agricola 2.1. PROPIEDADES

una serie infinita, sin que se afecta la convergencia o divergencia de la serie, por

supuesto el valor de la suma si existe, quedará afectado.

2.1. Propiedades

1. Si∑∝

n=1 an es convergente, entonces: lımn→∝ an = 0

2. Si lımn→∝ an 6= 0 entonces la serie infinita∑∝

n=1 an es divergente.

3. Si∑∝

n=1 an y∑∝

n=1 bn son series convergentes con sumas s1 y s2 respectiva-

mente y c ∈ R. Entonces:∑∝n=1 can converge si a cs1, es decir:∑∝n=1 can = c

∑∝n=1 an∑∝

n=1(an + bn) converge a s1 + s2 es decir:∑∝n=1(an + bn) =

∑∝n=1 an +

∑∝n=1 bn∑∝

n=1(an − bn) converge a s1 − s2 es decir:∑∝n=1(an − bn) =

∑∝n=1 an −

∑∝n=1 bn

4. Si∑∝

n=1 an es divergente y c ∈ R, entonces:∑∝

n=1 can es divergente.

5. Si∑∝

n=1 an es convergente y∑∝

n=1 bn es divergente, entonces:∑∝

n=1(an + bn)

es divergente.

Teorema 2.1 Sea {Sn}n≥1 la sucesión de suma sparciales para una serie conver-

gente∑∝

n=1 an, entonces: para cualquier ε > 0,∃N > 0/ |SR − ST | < ε siempre

que R > N, T > N .

xxx 17 MA-242


2.2. Series especiales

2.2.1. Series Armónicas

La serie armónica es de la forma:∑∝n=1

1n = 1 + 1

2 + 13 + ...+ 1

n + ...

La serie armónica es divergente. En efecto Sn = 1 + 12 + 1

3 + ...+ 1n

S2n = 1 + 12 + 1

3 + ...+ 1n + 1

n+1 + ...+ 12n , entonces:

S2n − Sn = 1n+1 + 1

n+2 + ...+ 12n

2.2.2. Series Geométrica

Una serie geométrica es de la forma:∑∝n=1 ar

n−1 = a+ ar + ar2 + ...+ arn−1 + ...

La serie geométrica es convergente cuando r < 1 y es divergente cuando r ≥ 1.

En efecto: La n-ésima suma parcial de ésta serie, está dado por:

Sn = a(1 + r + r2 + ...+ rn−1, además se tiene:

1− r2 = (1− r)(1 + r + r2 + ...+ rn−1

Luego Sn = a(1 + r + r2 + ...+ rn−1) = a(1−rn)1−r , r 6= 1.

Entonces: lımn→∝ Sn = lımn→∝ a(1−rn1−r ) = lımn→∝

a1−r − lımn→∝

arn

1−r , donde:

lımn→∝arn

1−r , existe y es cero si |r| < 1, por lo tanto lımn→∝a

1−r , si |r| < 1, entonces:

La serie geométrica∑∝

n=1 arn−1, converge cuando |r| < 1, y su suma es a

1−r , es

decir:∑∝

n=1 arn−1 = a

1−r ,|r| < 1.

Si |r| ≥ 1 ⇒ lımn→∝arn

1−r no existe, por lo tanto la serie geométrica∑∝

n=1 arn es

divergente, cuando |r| ≥ 1.

AGRICOLA 18 MA-241

Ing.Agricola 2.2. SERIES ESPECIALES

2.2.3. Series Telescópicas

Una serie telescópica es la suma∑∝

n=1 an, donde:

an = bn − bn+1

⇒∑∝

n=1 an =∑∝

n=1(bn − bn+1). La serie telescópica es tal, que cada término se

expresa como una diferencia de la forma: an = bn − bn+1.

Esto es:

Sn =∑∝

n=1 an =∑∝

n=1(bn − bn+1) = (b1 − b2) + (b2 − b3) + ...+ (bn − bn+1)

Sn =∑∝

n=1 an =∑∝

n=1(bn − bn+1) = b1 − bn+1

Nota 2.1 La serie telescópica∑∝

n=1 an converge, si y solo si, la sucesión bn con-

verge y se cumple:

lımn→∝ Sn = lımn→∝ b1 − lımn→∝ bn+1

Por lo tanto:

La serie telescópica an converge si y solo si, bn converge y en este caso su suma

es b1 − L.

Sn =∑∝

n=1 an = b1 − lımn→∝

bn+1︸︷︷︸Sn =

∑∝n=1 an = b1 − L

2.2.4. Series Alternadas

Hasta ahora solo hemos estudiado series de números positivos. En esta sección

y en la próxima estudiaremos series con términos positivos y negativos. Los más

simples de tales series son las llamadas SERIES ALTERNADAS, cuyos términos

alternan en signo.

xxx 19 MA-242


Ejemplo 2.3 La serie geométrica∑∝n=1(

−12 )n =

∑∝n=1(−1)n( 1

2n ), que desarrollando sería:∑∝n=1(

−12 )n = 1− 1

2 + 14 −

18 + 1

16 − ...

Esta serie: Es una serie geométrica alternada con razón: r = 12.

*Las series alternadas pueden tener: Términos pares positivos o los términos

impares pueden ser positivos.

**Una serie Alternante es una serie cuyos términos son alternadamente positivos

y negativos.

2.3. Criterios de convergencia (Términos positivos)

2.3.1. Teorema 1: Criterio de Convergencia de Comparación directa

Consideremos las series infinitas∑∝

n=1 an,∑∝

n=1 bn, de términos positivos.

Entonces:

1. Si,∑∝

n=1 bn, converge y si, an ≤ bn, ∀n ∈ N, entonces la serie∑∝

n=1 an es

convergente.

2. Si,∑∝

n=1 bn, diverge y si ocurre, an ≥ bn, ∀n ∈ N, entonces la serie∑∝

n=1 an

es divergente.

2.3.2. Teorema 2: Criterio de Comparación por límite

Consideremos las series infinitas∑∝

n=1 an,∑∝

n=1 bn, de términos positivos.

Entonces:

1. Si, lımn→∝anbn

= L > 0, entonces ambas series convergen o divergen.


= 0,y∑∝

n=1 bn converge. Entonces∑∝

n=1 an, converge.


= + ∝,y∑∝

n=1 bn es divergente. Entonces la serie∑∝

n=1 an es

divergente.

AGRICOLA 20 MA-241

Ing.Agricola 2.3. CRITERIOS DE CONVERGENCIA (TÉRMINOS POSITIVOS)

2.3.3. Teorema 3: Criterio de la Razón o Criterio de DÁlembert o del cociente

Sea∑∝

n=1 an una serie de términos positivos, además si,lımn→∝

∣∣∣an+1

an

∣∣∣ = L .

Entonces puede ocurri lo siguiente:

1. Si, L < 1, en tal caso la serie∑∝

n=1 an es absolutamente convergente.

2. Si, L > 1, la serie∑∝

n=1 an diverge.

3. Si, L = 1, el criterio no decide.

4. Si, lımn→∝

∣∣∣an+1

an

∣∣∣ = + ∝ , entonces la serie∑∝

n=1 an diverge.

2.3.4. Teorema 4: Criterio de la Raíz o Criterio de Cauchy

Sea∑∝

n=1 an una serie de términos positivos, entonces:

1. Si ocurre lımn→∝n√|an| = L > 1 la serie es absolutamente convergente.

2. Si lımn→∝n√|an| = L > 1 o lımn→∝

n√|an| =∝ entonces la serie

∑∝n=1 an es

divergente.

3. Si, lımn→∝n√|an| = 1 , el criterio de la raiz no es concluyente.

2.3.5. Teorema 5: Criterio de la integral

Sea ”f” una función continua definida ∀x ≥ 1 y además decreciente y que:

f(m) = an, ∀n ∈ Z

Entonces la serie infinita: ∑∝n=1 an =

∑∝n=1 f(n)

Es convergente o divergente de acuerdo con que laintegral impropia.∫ ∝1 f(x)dx, converge o diverge.

xxx 21 MA-242


2.3.6. Teorema 6: Criterio de RAABE

Sea∑∝

n=1 an una serie de términos positivos, tal que:

lımn→∝ n[1− an+1

an

]= L

Entonces:

1. Si, L > 1, entonces la serie es convergente.

2. Si, L < 1, entonces la serie es divergente.

3. Si, L = 1, entonces el criterio no decide.

AGRICOLA 22 MA-241

Capítulo 3

Series de Potencias

Definición 3.1 Una serie de la forma:

c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + ...+ cn(x− a)n + ..., es decir:

∑∝n=0 cn(x− a)n = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + ...+ cn(x− a)n + ...

donde: a y los ci, i = 1, 2, 3, .., n son constantes, es llamada serie de potencia en

x− a.

Cuando a = 0, se tiene que la serie∑∝

n=0 cn(x)n que se denomina serie de

potencia en x.

Observación 3.1 1. Cuando x toma un valor particular, obtenemos una serie

numérica de los que ya se ha estudiado.

2. Si una serie converge para ciertos valores de x, podemos definir una función

x haciendo:

f(x) =∑∝

n=0 cn(x− a)nog(x) =∑∝

n=0 cn(x)n,

donde el dominio de estas funciones son todos los valores de x para los cuales

la serie converge.

Observación 3.2 Existen además, series de potencias de la forma:

sum∝n=0cn[f(x)]n = c0 + c1f(x) + c2f(x)2 + ...+ cnf(x)n + ...

23

Ing.Agricola CAPÍTULO 3. SERIES DE POTENCIAS

Donde f(x) es una función de ”x”.

Tal serie se llama, "SERIE DE POTENCIAS.en f(x)".

Teorema 3.1 Si la serie de potencias∑∝

n=0 cnxn, es convergente para x1 6= 0,

entonces es convergente ∀”x” tal que:

|x| < |x1|

Corolario 3.1 Si la serie de potencias∑∝

n=0 anxn, diverge para un número x2,

entonces es divergente, ∀x/ |x| > |x2|

Teorema 3.2 Sea∑∝

n=0 anxn, una serie de potencias:

Entonces una de las siguientes condiciones se cumplen:]] i)La serie solamente

converge cuando x = 0. ii)La serie es absolutamente cinvergente para todos los

valores de ”x”. iii)Existe un número γ > 0, tal que la serie es absolutamente

convergente ∀x, para el cual, |x| < y y es divergente, si |x| > y.

Observación 3.3 Si tomamos la serie∑∝

n=0 cn(x−n)n, las condiciones del Teo-

rema anterior se convierten en los siguientes casos:

Caso 1: La serie converge solamente cuando x = a. Caso 2: La serie converge ∀x.

Caso 3: Existe un número, R > 0, tal que la serie es absolutamente convergente

∀x, para los cuales: |x− a| < R y es divergente, ∀x, para el cual |x− a| > R.

Luego los intervalos de convergencia será uno de los siguientes intervalos:

〈a−R,A+R〉 o [a−R,A+R] o 〈a−R,A+R] o [a−R,A+R〉

El número R en el caso 3, se llama RADIO DE CONVERGENCIA de la serie

de potencias.

Por convención el Radio de Convergencia es, R = 0 en el caso 1 y R =∝, en el

caso 2.

AGRICOLA 24 MA-241

Ing.Agricola 3.1. OPERACIONES SOBRE LAS SERIES POTENCIAS

3.1. Operaciones sobre las series potencias

Cada serie de potencias∑∝

n=0 anxn de fine una función ”f” con Regla de

correspondencia:

f(x) =∑∝

n=0 anxn

El dominio de ”f” es el intervalo de convergencia de la serie.

Para derivar o integrar estas funciones se deriva o integra cada uno de los términos

de la serie.

Esto se denomina derivación o integración término a término.

Teorema 3.3 Si la serie de potencias∑∝

n=0 cn(x − a)n para un Radio de Con-

vergencia R > 0, en tal caso la función "f", definida por:

f(x) = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + ...+ cn(x− a)n + ...

f(x) =∑∝

n=0 cn(x− a)n

Es derivable (y por tanto continua) en el intervalo:

〈a−R,A+R〉, y :

i) f ′(x) = c1 + 2c2(x − a) + 3c3(x − a)2 + ... =∑∝

n=0 ncn(x − a)n−1 =

ddx [∑∝

n=0 cn(x− a)n] =∑∝

n=0ddxcn(x− a)n

ii)∫f(x)dx = c+ c0(x− a) + c1

(x−a)2

2 + c2(x−a)3

3 + ... = c+∑∝

n=0 ncn(x−a)n+1

n+1

3.2. Series de Taylor y Maclaurin

Sea ”f” cualquier función que se pueda representar mediante una serie de

Potencias.

f(x) = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + ...+ cn(x− a)n + ... ......(1)

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Ing.Agricola CAPÍTULO 3. SERIES DE POTENCIAS

Trate de determinar que coeficientes ”cn” tienen que estar en función de ”f”.

Para empezar, observe que si hace x = a, en la ecuación (1), en tal caso todos los

términos después del primero son ÇERO", y se obtiene ””f(a) = c0”.

De acuerdo con el Teorema de Derivada, se puede derivar la serie de la ecuación

(1), término a término.

⇒ f ′(x) = c1 + 2c2(x− a) + 3c3(x− a)2 + ..., |x− a| < R .......(2)

y al sustituir x− a, en la ecuación (2) se obtiene:

f ′(a) = c1 → f ′(a)1! = c1

⇒ f ′′(x) = 2c2 + 2,3c3(x− a) + 3,4c4(x− a)2 + ..., |x− a| < R .......(3)

una vez más si hacemos x− a, en la ecuación (3) resulta:

f ′′(a) = 2c2 → f ′′(a)2! = c2

⇒ f ′′′(x) = 2,3c3 + 2,3,4c4(x− a) + 3,4,5c5(x− a)2..., |x− a| < R .......(4)

L sustitución x− a, en la ecuación (4) da como resultado:

f ′′′(a) = 2,3c4 → f ′′′(a)3! = c3

Si continuamos derivando hasta el n-ésimo término y sustituyendo por x − a,

obtenemos:

f(n)(a) = 2,3,4,5...nCn

Cn =f(n)(a)

n!

Teorema 3.4 Si ”f” se puede representar como una serie de potencias en ”a”,

es decir si:

f(x) =∑∝

n=0 cn(x− a)n, |x− a| < R

Por lo tanto, sus coeficientes nos da la fórmula:

Cn =f(n)(a)

n! ......... (5)

AGRICOLA 26 MA-241

Ing.Agricola 3.2. SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN

Al sustituir esta fórmula de cn de la ecuación (5) en la serie (1), obtenemos:

f(x) =∑∝

n=0

f(n)(a)

n! .(x− a)n

f(x) = f(a) + f ′a1! (x− a) + f ′′a

2! (x− a)2 + ...+f(n)(a)

n! (x− a)n ....... (6)

La serie de la ecuación (6) se denomina serie de Taylor de f(x)en”a”.

Para el caso especial a = 0, la serie de Taylor se transforma en:

f(x) =∑∝

n=0

f(n)(a)

n! .(x)n ⇒ f(0) + f ′01! x+ f ′′0

2! x2 + ...+

f(n)(0)

n! xn

Como en este caso surge con mayor frecuencia, se le da el nombre especial de

SERIE DE MACLAURIN.

Ejemplo 3.1 Desarrollar en serie de Maclaurin la función f(x) = ex.

Solucion

f(x) = ex f(0) = 1

f ′(x) = ex f ′(0) = 1

f ′′(x) = ex f ′′(0) = 1

...

fn(x) = ex fn(0) = 1

Como el desarrollo de la serie de Maclaurin es:

f(x) = f(0) + f ′(0)x+ f ′′(0)x2

2! + ...+ fn(0)xn

n! + ... ...... (2)

Al reemplazar (1) en (2) se tiene:

f(x) = 1 + x+ x2

2! + x3

3! + x4

4! + ...+ xn

n! + ...

Por lo tanto:

f(x) = ex =∑∝

n=0xn

n!

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SERIES Y SUCESIONES