1.1 Định nghĩa:

Phương sai sai số thay đổi sảy ra khi giả thiết:

Var(Uᵢ ) = (với i ≠ j) bị vi phạm

Khi giả thiết phương sai sai số đồng đều bị vi phạm thì mô hình hồi quy gặp phải hiện tượng này.

1.2 Nguyên nhân: Do bản chất của mối liên hệ của các đại lượng kinh

tế.có nhiều mối quan hệ kinh tế có chứa hiện tượng này.

Do kỹ thuật thu nhập và sử lý số liệu được cải tiến dường như giảm. Kỹ thuật thu thập số liệu càng được cải tiến thì sai lầm phạm phải càng it hơn.

Do con người học được hành vi trong quá khứ. Ví dụ như lỗi của người đánh máy càng it thì nếu thời gian thực hiện càng tăng.

Phương sai của sai số thay đổi cũng cũng xuất hiện khi có các quan sat ngoại lai.

Nguyên nhân khác đó là mô hình định dạng sai, có thể là do bỏ xot biến thích hợp hoặc dạng giải tích của hàm là sai

• Các ước lượng bình phương nhỏ nhất β ^ là ước lượng tuyến tính không chệch nhưng không hiệu quả.

• Các ước lượng của các phương sai là các ước lượng chệch => Làm giá trị của thông kê T& F mất ý nghĩa.

• Các bài toán về ước lượng & kiểm định dựbáo khi sử dụng thông kê T&F là không đáng tin cậy.

2.1. Phương pháp đồ thị phần dư

Đồ thị sai số của hồi quy (phần dư) đối với biến độc lập X hoặc giá trị dự đoán Ŷi sẽ cho ta biết liệu phương sai của sai số có thay đổi không.

Phương sai của phần dư được chỉ ra bằng độ rộng của biểu đồ phân rải của phần dư khi X tăng. Nếu độ rộng của biểu đồ rải của phần dư tăng hoặc giảm khi X tăng thì giả thiết về phương sai hằng số có thể không được thỏa mãn.

B1.Ta hồi quy mô hình hồi quy gốc

Yᵢ = β1 + β2X2i + β3X3i+….+ βkXki+Uᵢ

Ta thu được phần dư eᵢ .

B2.Sắp xếp các ei theo chiều tăng biến Xji nàođó.

B3.Vẽ đồ thị phần dư eᵢ (eᵢ²) đối với Xji theobiến sắp xếp đó.( hoặc vớiŶᵢ trong trường hợphồi quy nhiều biến)

u

Y

(a)

u

Y

(b)

u

Y

(c )

(d)

KL:Nếu độ rộng của phần dư tăng khi X tằng thì kết luận có hiệntượng phương sai sai số thay đổi.

Park cho rằng σi2 là một hàm số nào đó của biến giải thích

Xji và đã đưa ra dạng hàm số giữa σ2i và Xji như sau:

σi2 = σ2 Xji

β2 eVi

Lấy ln của 2 vế ta được: lnσi2 = lnσ2 + β2lnXji + Vi

Trong đó vi là số hạng nhiễu ngẫu nhiên

Park đã đề nghị sử dụng ei2 thay cho σi

2 và ước lượng hồi quy sau:

Lnei2 = lnσ2

i + β2lnXji + Vi = β1 + β2X’ji + Vi (*)

Trong đó β1= lnσi2; X’

ji = lnXji ; ei2 thu được từ hồi quy gốc

B1.Đầu tiên cũng MHHQ gốc để thu được phần dư ei

B2. Ta thay thế bằng một trong các mô hình sau đây:

| ei | =

| ei | =

| ei | =

| ei | =

| ei | =

| ei | =

Tương tự như kiểm định Park, sử dụng tiêu chuẩn kiểm định T, ta đi kiểm định giả thiết:

H0 : phương sai sai số đồng đều H0:

H1 : phương sai sai số thay đổi H1: Nếu giả thiết này bị bác bỏ thì có thể kết luận có hiện

tượng phương sai sai số thay đổi

B1.Sắp xếp các quan sát theo thứ tự tăng dần về giá trị của biến Xj nào đó.

B2.Bỏ c quan sát ở giữa theo cách sau:

n = 30, lấy c=4 hoặc c=6; n = 60, lấy c = 10 và các quan sát còn lại thành 2 nhóm, trong đó mỗi nhóm có (n – c)/2 quan sát.

B3.Sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất để ước lượng tham số của các hàm hồi qui đối với (n – c)/2 quan sát đầu và cuối;

Thu thập tổng bình phương của các phần dư RSS1 và RSS2 tương ứng. Trong đó RSS1 đại diện cho RSS từ hồi qui ứng với các giá trị của Xi nhỏ hơn và RSS2 ứng với các giá trị Xi lớn hơn.

Bậc tự do tương ứng là:

B4.KDGT

Ho:phương sai của sai số không đổi

H1: : phương sai sai số thay đổi

TCKĐ W = { ftn: ftn > F (d.d)}

KL.Nếu ftn € Wα thì ta bác bỏ Ho chấp nhận H1 nên mô hình có hiện tượng phương sai sai số xảy ra.

2

2

2

kcnk

cnd

- Xét mô hình hồi qui k biến sau: Yi = 1 + 2X2i + … + kXki + Ui (**)

Giả sử i2 được mô tả như là một hàm số của các biếnphi ngẫu nhiên Zi, Zi là các biến Xi (một số hoặc tất cả) có ảnh hưởng đến i

2, có dạng:

i2 = f (z2i, z3i, …, zmi)

Giả định:

i2 = 1 + 2Z2i + … + mZmi

nếu 2 = 2 = … = 2 = 0 thì 22 = 2 là hằng số.

Do vậy, việc kiểm định xem liệu rằng i2 có thay đổi hay

không, chúng ta có thể kiểm định giả thuyết H0: 2 = 3

= … = m = 0.

Yi = 1 + 2X2i + 3X3i + ui

B1.Ước lượng mô hình trên bằng OLS, thu được các phần dư ei. B2.Ước lượng một tron g các mô hình sau đây:

ei2 = 1 + 2X2i + 3X3i + 4X2i

2 + 5X3i2 +Vi (1)

ei2 = 1+ 2X2i + 3X3i + 4X2i

2 + 5X3i2+ 6X2iX3i+vi (2)

(1) và (2) có thể có số mũ cao hơn và nhất thiết phải có hệ số chặn bấtkể mô hình gốc có hay không. R2 là hệ số xác định bội, thu được từ (1) với mô hình không có số hạngchéo hay (2) với mô hình có số hạng chéo.

B3.Chọn BTKD :- Nếu nR2 không lớn hơn giá trị tra bảng 2(df), chúng ta chấp nhậngiả thuyết H0. Do đó, chúng ta có thể kết luận trong mô hình (1) 2 =

3 = 4 = 5 = 0 hay 2 = 3 = 4 = 5 = 6 = 0 trong mô hình (2).Ngược lại, chúng ta bác bỏ H0 và như vậy, có hiện tượng phương

sai sai số thay đổi.

Giả thiết: Phương sai sai số ngẫu nhiên Ui là phụ thuộc theo Y (3)

Các bước thực hiện:B1.ƯLMHHQ gốc để thu được các phần dư ei

B2.ƯLMHHQ dạng (3)B3.Từ kết quả này thu được R² tương ứng. Có thể sử dụng hai kiểm định

sau đây để kiểm định giả thiết:

H0 : phương sai sai số đồng đều

H1 : phương sai sai số thay đổi

a,KĐ

TCKĐ =nR2 (R2 là hệ số phù hợp của mô hình bước 2)

Nếu Ho đúng ~ (1)

W ={ : =nR2> (1) }

b. KĐ F

KL : Nếu bác bỏ Ho thì có hiện tượng phương sai sai số xảy ra .

iii VYE 2

21

2))((

2

2

2 2

222

}:{

)2,1(~))(

(

)2,1(

02

2

2

n

H

dung

fffW

nFse

F

3.1. Phương sai đã biết.Khi σi² đã biết , chúng ta có thể dễ dàng khắc phục căn bệnh đó bằng cách sửdụng phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số. Xét trường hợp mô hình hồi qui tổng thể 2 biến:

Yi = 1 + 2Xi + Ui

Chúng ta giả sử rằng phương sai sai số i2 đã biết; nghĩa là phương sai sai số

của mỗi quan sát đã biết. Đơn giản, chúng ta chia hai vế của mô hình cho iđã biết.

Xem phần chứng minh trong giáo trình, Vi2 là hằng số. Hay phần sai số “được

chuyển đổi”, vi là đồng đều. Trong thực tế, chúng ta chia mỗi quan sátYi và Xi cho i đã biết và chạy hồi

qui OLS cho dữ liệu đã được chuyển đổi này. Ước lượng OLS của 1 và 2 được tính theo cách này được gọi là ước lượng

bình phương bé nhất có trọng số (WLS); mỗi quan sátY và X đều được chia cho trọng số (độ lệch chuẩn) của riêng nó, i.

i

i

i

i

ii

i uXY21

1

3.2. Phương sai chưa biết.

Xét mô hìnhYi = β1 + β2Xi + β3Zi +Ui (1)

Giả sử mô hình này thoả mãn các giả thiết củamô hình hôi quy tuyến tính cổ điển trừ giả thiếtphương sai của sai số thay đổi. Chúng ta xét mộtsố giả thiết sau về phương sai của sai số.

Khắc phục theo 4 giả thiết :

• Chia hai vế của mô hình hồi quy gốc cho Xi (Xi ≠0) ta được:

• Khi E( vi )2 = thì ta có:

• E( vi )2 =

• Như vậy tất cả các giả thiết của mô hình hồi quy tuyến tính cổđiển được thoả mãn đối với mô hình trên. Vậy ta có thể áp dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất cho phương trình đã biến

Giả thiết 1

Phương sai sai số tỉ lệvới bình phương của

biến giải thích

• Nếu sau khi ước lượng hồi quy bằng phương pháp bìnhphương nhỏ nhất thông thường, chúng ta vẽ đồ thị của phầndư này đối với biến giải thích và quan sát thấy hiện tượng chỉ raphương sai của sai số thấy liên hệ tuyến tính với biến giải thíchthì mô hình gốc sẽ được biến đổi như sau:

• Chia hai vế của mô hình gốc cho (với Xi >0) ta đựơc: .

• Tiến hành hồi quy bằng phương pháp bình phương nhỏ nhấttheo mô hình mới

2Giả thiết 2

Phương sai của sai số tỉlệ với biến giải thích Xi

Khi đó thực hiện phép biến đổi biến số như sau:

=

Với cách khắc phục này ta có thể tiến hành theo 2 bước:

Bước1: Ước lượng hồi quy ban đầu bằng phươngpháp bình phương bé nhất thông thường, thuđượcŶ (Yf). Sau đó dùngŶ (Yf) để biến đổi mô hìnhgốc thành dạng như sau:

Bước 2: : Ước lượng hồi quy trên theo biến mới,dùŶi không chính xác là E(Yi), chúng chỉ là ước lượngvững nghĩa là khi cỡ mẫu tăng lên vô hạn thì chúnghội tụ đến E(Yi).Chú ý phương pháp này có thể sửdụng với bài toán có cỡ mẫu tương đối lớn.

Giả thiết 3

Phương sai của saisố tỉ lệ với bình

phương của giá trịkỳ vọng củaYi

nghĩa là E(Ui² ) = σ² (E(Yi )² )

Thay cho việc ước lượng hồi quy gốc ta sẽước lượng hồi quy:

lnYi = β1 + β2 lnXi + β3 lnZi +Ui

Ước lượng mô hình theo biến mới. Việcước lượng hồi quy trên có thể làm giảmphương sai của sai số thay đổi do tácđộng của phép biến đổi loga. Một trongưu thế của phép biến đổi loga là hệ số góclà hệ số co dãn củaY đối với X.

=>>> KL: Để khắc phục hiện tượngphương sai sai số thay đổi ta có thể sửdụng 1 trong 4 cách phục trên đây. Tuỳtừng mô hình ta có thể sử dụng các giảthiết để khắc phục riêng.

Giả thiết 4

Dạng hàmsai.