Phương pháp định lượng trong kinh tế

8/7/2019 Phương pháp định lượng trong kinh tế

http://slidepdf.com/reader/full/phuong-phap-dinh-luong-trong-kinh-te 1/273

TỔNG QUANVỀ PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG

Mục tiêu

Giúp sinh viên biết đượ c mối quan hệ giữa quá trình ra quyết địnhvà phân tích định lượ ng.

Trang bị cho sinh viên những vấn đề chung về phươ ng pháp địnhlượ ng.

CHƯƠNG 1



2

Giới thiệu

Cách tiế p cận định lượ ng để ra quyết định có nhiều t ê n gọi khác

như sau: K hoa học quản trị, Vận trù học và Khoa học quyếtđịnh.

Cuộc cách mạng quản tr ị có tính khoa học của đầu năm 1900,đượ c khở i xướ ng bở i Frederic W. Taylor, nhưng những nghiên

cứu khoa học quản tr ị hiện đại bắt đầu trong thờ i k ỳ chiến tranhthế giớ i thứ 2.

Những thành tựu ảnh hưở ng đến phươ ng pháp định lượ ng:

Phươ ng pháp đơ n hình để giải các bài toán qui hoạchtuyến tính của George Dantzig, năm 1947;

Sự bùng nổ của máy tính.



3

1.1. Giải quyết vấn đề và quá trình quyết định

Giải quyết vấn đề là quá trình nhận dạng sự khác nhau giữa

tr ạng thái thự c tế và mong muốn của các công việc và thực hiệngiải quyết sự khác nhau đó.

Giải quyết vấn đề gồm 7 bướ c sau:

Xác định vấn đề; Xác định những phươ ng án khác nhau để lựa chọn;

Xác định tiêu chuẩn để đánh giá phươ ng án;

Đánh giá các phươ ng án;

Chọn một phươ ng án;

Thực hiện phươ ng án đã chọn;

Đánh giá k ết quả.



4

1.1. Giải quyết vấn đề và quá trình quyết định

Hình 1.1. Mối liên hệgiữa Giải quyết vấn đề

và Ra quyết định

Xác định vấn đề

Xác định phươ ng án

Xác định tiêu chuẩn

Đánh giá phươ ng án

Chọn phươ ng án

Thực hiện phươ ng án

Đánh giá k ết quả

Giải quyếtvấn đề

Raquyết định

Quyết định



5

Bước 1: Xác định vấn đề

Giả sử có ngườ i đang thất nghiệ p và mong muốn c ó v iệc l àm vừa ý.

Tôi đđangthất nghiệ pvà cần việc

làm



6

Bước 2: Xác định những phương án

Cho r ằng việc tìm kiếm việc làm có k ết quả ở các công ty

tại Đà Nẵng, Sài Gòn, Hà Nội, Quảng Nam. Như thế,những lựa chọn c h o vấn đề ra quyết định có thể như sau:

Chấ p nhận công việc tại Đà NẵngChấ p nhận công việc tại Sài gòn

Chấ p nhận công việc tại H à Nội

Chấ p nhận công việc tại Quảng Nam.



7

Bước 3: Xác định tiêu chuẩn

Chỉ có một tiêu chuẩn: tiền lươ ng, thì phươ ng án lựa

chọn tốt nhất sẽ là lươ ng khở i điểm cao nhất. Những vấn đề mà trong đó việc t ì m lờ i giải tốt nhất chỉ lưu ýđến một tiêu chuẩn gọi là những vấn đề ra quyết định mộttiêu chuẩn (single-criterion decision problems).

Có 3 tiêu chuẩn: lươ ng khở i điểm, tiềm năng thăng tiến,và vị thế nghề nghiệ p.

Những vấn đề gồm nhiều hơ n một tiêu chuẩn để lựa chọngọi là vấn đề ra quyết định nhiều tiêu chuẩn(multicriteria decision problem).



8

Bước 4: Đánh giá các phương án

Bảng 1-1: Dữ liệu của vấn đề chọn nơ i làm việc

TốtR ất tốt7004. Q.Nam

Trung bìnhTốt10003. Hà Nội

TốtTrung bình12002. Sài Gòn

TốtR ất tốt8001. Đà Nẵng

Vị thế nghề nghiệpTiềm năngthăng tiến

Lươ ng khở i điểm(1000đồng)Phươ ng án



9

Bước 5: Chọn phương án

Bây giờ chúng ta sẵn sàng lựa chọn từ những phươ ng án khả

thi.Khó khăn trong lựa chọn chính là tầm quan tr ọng của các phươ ng án không như nhau và không có phươ ng án là nào tốtnhất vớ i mọi tiêu chuẩn.

Giả sử chúng ta sau khi đánh giá cẩn thận dữ liệu ở Bảng 1-1,chúng ta quyết định chọn phươ ng án 3.

Vì thế, phươ n g á n 3 đượ c gọi l à một quyết định (decision).



10

1.2. Ra quyết định và phân tích định lượng

Ra quyết địn h l à một quá trình gồm 5 bướ c v à c ó t hể chia thành

các giai đoạn như trên Hình 1.2.

Xácđịnh

phươ ngán

Xácđịnhvấnđề

Xácđịnhtiêu

chuẩn

Đánhgiá

phươ ngán

Chọn

phươ ngán

Phân tích vấn đềCấu trúc vấn đề

Hình 1.2. Các giai đoạn của quá trình ra quyết định



11

1.2. Ra quyết định và phân tích định lượng

Hình 1-3: Vai trò của phân tích định tính và định lượ ng

Phân tích vấn đề

Cấu trúc vấn đề

Xác định phươ ng

án

Xácđịnh

vấn đề

Xácđịnh tiêu

chuẩn

Quyếtđịnh

Ph. tíchđịnhtính

Tómlượ t và

đánh giá

Ph.tíchđịnh

lượ ng



12

Tại sao phải phân tích định lượng?

Vấn đề phức tạ p;

Vấn đề quan tr ọng đặc biệt mà nhà quản tr ị muốn phân tíchtr ướ c khi đưa ra quyết định;

Vấn đề mớ i mà nhà quản tr ị không có kinh nghiệm;

Những vấn đề có đặc tr ưng lặ p đi lặ p lại, và nhà quản tr ịmuốn tiết kiệm thờ i gian và nguồn lực bằng việc dựa vàothủ tục định lượ ng để quyết định hằng ngày.





14

a. Xây dựng mô hình

Mô hình là sự tái hiện đối tượ ng hay tình huống thật và có thể đượ ctrình bày ở những dạng khác nhau.

Gồm 3 loại:Mô hình tượ ng hình (iconic models): là những mô hình vật

thể m ànó làbảnsaovật l ý của đối tượ ng thật.Ví dụ: Mô hình máy bay, mô hình xe tải đồ chơ i

Mô hình tươ ng tự (analog models): là những mô hình vật thểnhưng dạng không giống như đối tượ ng đã đượ c mô hình hoá.

Ví dụ: Đồng hồ tốc độ của ô tô là mô hình tươ ng tự, Nhiệt k ếlà mô hình tươ ng tự

Mô hình toán học: bao gồm những mô hình trình bày bằng hệthống các ký hiệu v à mối liên hệ hoặc biểu thức toán học



15

a. Xây dựng mô hình

Mục đích của mô hình là giúp chúng ta thực hiện suy đoán

về tình huống hay đối tượ ng thật bằng việc nghiên cứu và phân tích mô hình.

Nghiên cứu vớ i mô hình sẽ tốn ít thờ i gian , chi phí và giảmr ũi r o hơ n so vớ i thử nghiệm tr ực tiế p vớ i đối tượ ng hay tình

huống thật. Nghiên cứu mô hình máy bay chắc chắn sẽ nhanh hơ n và chi phí ít hơ n so vớ i việc sản xuất và nghiên cứu máy bay vớ i kíchthướ c thật.

Giá tr ị của mô hình phụ thuộc mô hình tái hiện tình huốngthật tốt như thế nào.



16

Các thành phần của các mô hình toán học

Hàm mục tiêu (objective function): Sự biểu diễn bằng toánhọc nhằm m ô tả mục tiêu của bài toán.

Những ràng buộc (constraints): ràng buộc về nguồn lực haynhu cầu.

Những đại lượ ng của mô hình

Nhữ ng đầu vào không điều khiển: Những nhân tố môitr ườ ng có thể ảnh hưở ng đến hàm mục tiêu và những ràng buộc.Nhữ ng đầu vào điều khiển: Những đầu vào mà có thể điều

khiển hay đượ c xác định bở i ngườ i ra quyết. Những đầu vào điều khiển là những phươ ng án quyết định gọilà biến quyết định (decision variables) của mô hình.



17

Các thành phần của các mô hình toán học

Mô hình có tất cả những đầu vào không điều khiển đượ c biế t vàkhông thay đổ i đượ c gọi là mô hình tiền định.

Tỷ suất thuế thu nhậ p không chịu sự chi phối của nhà quản tr ịnên tr ở thành đầu vào không điều khiển trong bất cứ mô hìnhquyết định. Vậy, mô hình toán vớ i tỷ suất thuế thu nhậ p là đầuvào không điều khiển là mô hình tiền định

Mô hình có đầu vào không điều khiển là không chắ c chắ n và ràng buộc bị thay đổ i gọi là mô hình ngẫu nhiên hay mô hình xácsuất.

Một đầu vào không điều khiển của mô hình xây dựng k ế hoạch lànhu cầu sản phẩm. Vì nhu cầu thay đổi nên mô hình sử dụngcầu không chắc chắn đượ c gọi là mô hình ngẫu nhiên.



18

Sơ đồ chuyển đầu vào thành đầu ra

Hình 1.4 Sơ đồ chuyển đầuvà ocủa mô hình thành đầu ra

Những đầu vàokhông điều khiển

Những đầu vàođiều khiển

Mô hình toán học

Đầu ra



19

Sơ đồ chuyển đầu vào thành đầu ra

Hình 1.5 Sơ đồ mô hình sản xuấtNhữ ng đầu vào không điều khiển

-Lợ i nhuận mỗi đơ n vị sản phẩm: 10-Chí phí lao động mỗi sản phẩm: 5 giờ

-Năng lực: 40 giờ

Đầu vào điều khiển

Giá tr ị khối lượ ng sản phẩm sản xuất: 8

Mô hình toán họcMax 10(8)

S.t.5(8)≤408≥0

Đầu raTổng lợ i nhuận: 80

Thờ i gian đã dùng cho sản suất: 40



20

b. Chuẩn bị dữ liệu

Dữ liệu là giá tr ị của những đầu vào không điều khiển trongmô hình. Tất cả dữ liệu phải đượ c xác định tr ướ c khi giải và phân tích

mô hình.

Trong nhiều tình huống khi xây dựng mô hình, dữ

liệu chưa có nên thườ ng dùng những ký hiệu để xâydựng mô hình.



21

b. Chuẩn bị dữ liệu

K ết quả của bướ c xâ y dựng mô hình sẽ là

Max cxS.t.

ax ≤ b

x ≥ 0

•• ChuChuẩẩnn b bịị ddữữ liliệệuu llàà r r ấấtt ccầầnn thithiếếtt đđềề hohoàànn ththàànhnh mômôhhììnhnh..

•• ThThờ ờ ii giangian đđểể chuchuẩẩnn b bịị ddữữ liliệệuu vvàà khkhảả năngnăng saisai ssóótttrongtrong chchọọnn ddữữ liliệệuu ssẽẽ llààmm chocho bư bướ ớ cc chuchuẩẩnn b bịị ddữữ liliệệuutr tr ở ở ththàànhnh thenthen chchốốtt trongtrong ququáá tr tr ììnhnh phân phân ttííchch đđịịnhnhlưlượ ợ ngng..Chú ý



22

c. Giải mô hình

Nhiệm vụ của bướ c này là tìm đượ c phươ n g á n tối ưu

Thủ tục giải: phươ ng pháp thử và sai.

Nếu phươ ng án nào không thoả mãn một trong những ràng buộc của mô hình, phươ ng án đó bị loại và không chấ p nhận.

Nếu phươ ng án nào thoả mãn tất cả những ràng buộc, phươ ng án đó là chấ p nhận đượ c và có thể tr ở thành là phươ n g á n tối ưu.



23

d. Viết bản báo cáo

Phươ ng án dựa trên cơ sở phân tích định lượ ng là một trong

những đầu vào mà nhà quản tr ị xem xét tr ướ c khi đưa r a k ếtluận cuối cùng.

Bảng báo cáo bao gồm: những kiến nghị;

những thông tin thích đáng về k ết quả có thể hỗ tr ợ ra quyếtđịnh.

BBááoo ccááoo ph phảảii ddễễ hihiểểuu đđốốii vvớ ớ ii nhnhàà rara quyquyếếtt đđịịnhnh



24

Chú thích

Phải quan sát quá trình thực thi và tiế p tục đánh giá quyếtđịnh.

Thực hiện k ết quả thành công là một tiêu chuẩn quan tr ọngđối vớ i phân tích định lượ ng cũng như nhà quản tr ị.

Một trong những cách hiệu quả nhất để chắc chắn thực hiệnthành công là phải gồm những ngườ i có liên quan trong quátrình mô hình hoá.



QUI HOẠCHTUYẾN TÍNH

CHƯƠ NG 2

K ết thúc chươ ng này, sinh viên có thể:1. Nắm đượ c những thành phần v à c á c dạng khác nhau của bài toán2. Có thể thực hiện chuyển đổi giữa c á c dạng bài toán3. Xây dựng bài toán

4. Nắm đượ c các phươ ng pháp giải các bài toán5. Hiểu đượ c bài toán đối ngẫu v à t hực hiện biến đổi giữa bài toán đối ngẫu và bàitoán gốc

6. Hiểu đượ c phân tích độ nhạy v à sử dụng chúng trong phân tích7. Biết đượ c các bài toán qui hoạch nguyên và ứng dụng của nó

8. Sử dụng đượ c các phần mềm phổ biến để giải các bài toán



26

2.1.2.1. ĐĐặặtt vvấấnn đđềề

2.2.2.2. Nh Nhữữngng ddạạngng b bààii totoáánn quiqui hohoạạchch

2.3.2.3. Nh Nhữữngng phươ ng phươ ng ph pháá p p gigiảảii b bààii totoáánn quiqui hohoạạchch tuytuyếếnn ttíínhnh

2.4.2.4. BBààii totoáánn đđốốii ngngẫẫuu

2.5.2.5. PhânPhân ttííchch đđộộ nhnhạạyy

2.6.2.6. QuiQui hohoạạchch nguyênnguyên

Mục lục



27

2.1. Đặt vấn đề

Trong thực tế, tồn tại nhiều bài toán qui hoạch tuyến tính đáp

ứng nhiều nhu cầu khác nhau trong nghiên cứu. Tuy nhiên, xéttheo hàm mục tiêu, các bài toán qui hoạch tuyến tính có thểchia thành hai bài toán cơ bản sau:

Bài toán cực đại,

Bài toán cực tiểu.

Cách thức xây dựng, dạng và các thành phần của bài toán nàynhư thế nào?



28

2.1.1. Bài toán cực đại đơn giản

ABC là công ty nhỏ chuyên sản xuất sản phẩm hoá chất. Trong quá trình sảnxuất, có 3 nguyên liệu thô đượ c dùng để sản xuất 2 sản phẩm: chất phụ gia,

bazơ hoà tan. Ba nguyên liệu thô đượ c pha tr ộn thành chất phụ gia và bazơ hoà tan như trên Bảng:

3040Lợ i nhuận mỗi tấn

210,30,6 Nguyên liệu 3

50,2 Nguyên liệu 2

200,50,4 Nguyên liệu 1

Bazơ hoà tanChất phụ gia

Khả năng cung

ứ ng (tấn)

Sản phẩm



29

Xây dựng bài toán

Xác định biến quyết định

F = số tấn chất phụ gia đượ c sản xuấtB = số tấn bazơ hoà tan đượ c sản xuất

Hàm mục tiêu : Max 40F + 30B

Các ràng buộc

0,4F + 0,5B ≤ 20 Nguyên liệu 1

0,2B ≤ 5 Nguyên liệu 2

0,6F + 0,3B ≤ 21 Nguyên liệu 3

F, B ≥ 0



30

2.1.2. Bài toán cực tiểu đơn giản

Công ty hoá chất M&D sản xuất 2 sản phẩm A và B để bán làm

nguyên liệu cho các công ty sản xuất xà phòng. Dựa trên mứctồn kho hiện tại và nhu cầu tiềm tàng cho tháng tớ i, các nhàquản tr ị xác định tổng mức sản xuất trong tháng tớ i của cả haisản phẩm ít nhất 350 galông. Riêng sản phẩm A phải không ít

hơ n 125 galông. Thờ i gian để sản xuất sản phẩm A, B tươ ngứng là 2 giờ /galông và 1giờ /galông. Trong tháng đến, tổng quỹthờ i gian là 600 giờ . Chi phí sản xuất sản phẩm A và B tươ ng

ứng là 2$/galông và 3$/galông. Mục tiêu của công ty M&D làcực tiểu tổng chi phí sản xuất.



31

Xây dựng bài toán

Ký hiệu:

A = số galông sản phẩm A đượ c sản xuất,B = số galông sản phẩm B đượ c sản xuất.

Bài toán:

Min 2A+3BRàng buộc

1A ≥ 125 Nhu cầu của sản phẩm A

1A+1B ≥ 350 Nhu cầu tổng 2 sản phẩm

2A+1B ≤ 600 Thờ i gian sản xuất

A,B ≥ 0



32

2.1.3. Những ký hiệu chung của bài toán QHTT

Ký hiệu:

x1= số tấn chất phụ gia đượ c sản xuấtx2= số tấn chất bazơ hoà tan đượ c sản xuất

Khi đó, bài toán RMC có dạng như sau:Max (40x1 + 30x2)Ràng buộc0,4x1 + 0,5x2 ≤ 20 Nguyên liệu 1

0,2x2 ≤ 5 Nguyên liệu 20,6x1 + 0,3x2 ≤ 21 Nguyên liệu 3

x1, x2 ≥ 0



33

2.1.3. Những ký hiệu chung của bài toán QHTT

Ký hiệu:

x1= số galông sản phẩm A đượ c sản xuấtx2= số galông sản phẩm B đượ c sản xuất

Khi đó, bài toán M&D sẽ có dạng như sau:

Min (2x1+3x2)Ràng buộc

1x1 ≥ 125 Nhu cầu của sản phẩm A

1x1+1x2 ≥ 350 Nhu cầu tổng các sản phẩm2x1+1x2 ≤ 600 Thờ i gian sản xuất

x1, x2 ≥ 0



34

2.2. Những dạng bài toán qui hoạch

2.2.1.2.2.1. Nh Nhữữngng ththàànhnh ph phầầnn ccủủaa b bààii totoáánn

2.2.2.2.2.2. CCáácc ddạạngng b bààii totoáánn quiqui hohoạạchch tuytuyếếnn ttíínhnh

2.2.3.2.2.3. BiBiếếnn đđổổii ddạạngng ccủủaa b bààii totoáánn quiqui hohoạạchch

a.a. ĐưaĐưa ddạạngng ttổổngng ququáátt vvềề ddạạngng chchíínhnh ttắắcc

b.b. ĐưaĐưa ddạạngng chchíínhnh ttắắcc vvềề ddạạngng chuchuẩẩnn



35

2.2.1. Những thành phần của bài toán

Hàm mục tiêu (Objective function), đây là hàm tuyến tínhcủa các biến quyết định và có thể đạt cực tr ị.

Các ràng buộc (Constraints) là những phươ ng trình hay bất phươ ng trình tuyến tính thể hiện sự k ết hợ p các biến quyếtđịnh.

Các ràng buộc về dấu của các biến quyết định: các biếnquyết định trong những bài toán trong kinh tế thườ ng khôngâm. Tuy nhiên, trong tr ườ ng hợ p tổng quát, các biến có thể

nhận giá tr ị âm.





37

Ví dụ:

ýtùyx;0x,x;0x,x

100x2xxx18x2xxx

20x2x4x

17x2xxx2xS.t.

)5xx2xx(3xMax

35241

4321

5321

321

54321

54321

≤≥

≤++−≥++−

=+−

≤+++−

+++−

I1={2}, I2={1,4} và I3={3}J1={1,4}, J2={2,5} và J3={3}



38

Dạng chính tắc (Theo ký hiệu thông thường)

Hàm mục tiêu ∑∑==

→= n

1 j j j

n

1 j j j xc)Max(Minhay)axmmin(xc)x(f

Ràng buộc

Ràng buộc dấu : x j≥0 (j∈J

1)

1i

n

1 j jij Ii bxa ∈=∑=

ChChỉỉ llàà phươ ng phươ ng tr tr ììnhnh

KhôngKhông âmâm



39

Dạng chính tắc (ký hiệu ma tr ận)

Min (Max) cx

Ax = bx ≥ 0

Trong đó:

( )n21 cccc Κ =

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmj2m1m

inij2i1i

n2 j22221

n1 j11211

a...a...aa

..................

a...a...aa

..................

a...a...aa a...a...aa

A

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

m

i

2

1

b

b

b b

b

Μ

Μ

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

n

j

2

1

x

x

xx

x

Μ

Μ

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0

0

00

0

Μ

Μ



40

Dạng chuẩn

Hàm mục tiêu ∑∑==

→=n

1 j

j j

n

1 j

j j xc)Max(Minhay)axmmin(xc)x(f

Ràng buộc

Ràng buộc dấu: x j≥0 ∀ j=1,…,n và bi ≥0 ∀i=1,…,m

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=+++

=+++

=+++

++

++

++

mnmn)1m()1m(mm

2nn2)1m()1m(22

1nn1)1m()1m(11

bxaxax

bxaxax

bxaxax

Κ

Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ ΟΚ

Κ



41

Dạng chuẩn (Theo ký hiệu ma tr ận)

Min (Max) cxS.t.

Ax = bx ≥ 0

Trong đó:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

+

+

+

mn)1m(m

n2)1m(2

n1)1m(1

aa100

aa010aa001

A

ΛΛ ΛΛΛΛΛΛΛ

ΛΛΛΛ

Không âm (b(b≥≥0)0)

Ma tr ận đơ n vị cấ p m



42

Nhận xét

Bài toán dạng chuẩn là bài toán dạng chính tắc có thêm các điềukiện:

Các số hạng tự do ở vế phải không âm;

Ma tr ận c á c hệ số các ràng buộc A có chứa một ma tr ận đơ n vịcấ p m.

Hàm mục tiêu:Min (3x1-x2+x3-3x4+x5)

Ràng buộc

2x1+ x2- x3 + x4 = 102x1-2x2+ x3 + x6 = 20

x1 - x2+2x3 +x5 = 18

x j ≥0 ∀ j=1,…,6



43

Một số khái niệm

Một tậ p giá tr ị của các biến quyết định thỏa mãn các ràng buộccủa bài toán gọi l à phươ n g á n của bài toán.

Các biến ứng vớ i các véc tơ cột đơ n vị trong ma tr ận A đượ c gọilà các biến cơ bản.

Các biếnc òn lại là các biến không cơ bản.

Biến cơ bản ứng vớ i véc tơ đơ n vị thứ i gọi l à b iến cơ bản thứ i.

Một phươ ng án mà các biến không cơ bản bằng 0 gọi l à p hươ ngán cơ bản.

Một phươ ng án cơ bản có đủ m thành phần dươ ng gọi là khôngsuy biến; có ít hơ n m thành phần dươ ng gọi làsuybiến.



44

2.2.3. Biến đổi dạng của bài toán qui hoạch

Bài toán qui hoạch tuyến tính tồn tại nhiều dạng khác nhau:dạng tổng quát, dạng chính tắc v à dạng chuẩn.

Trong thuật toán giải bài toán qui hoạch tuyến tính bằng phươ ng pháp đơ n hình đòi hỏi bài toán ở dạng chuẩn.

Chính vì vậy, cần phải chuyển bài toán dạng tổng quát, dạngchính tắc về dạng chuẩn.

Dạng tổng quátDạng tổng quát Dạng chính tắcDạng chính tắc Dạng chuẩnDạng chuẩn



45

a. Đưa dạng tổng quát về dạng chính tắc

Nếu ràng buộc dạng ≤ → cộng thêm vào vế trái một biến phụ không âm x

n+1

≥0 để biến về dạng phươ ng trình;

Nếu gặ p ràng buộc dạng ≥→ tr ừ ra ở vế trái một biến phụkhông âm xn+1≥0 để biến thành phươ ng trình;

Nếu gặ p biến x j ≤0→

thay x j=-t j vớ i t j ≥0; Nếu gặ p biến x j tuỳ ý → thay x j=x’ j-x’’ j vớ i x’ j ≥0 và

x’’ j≥0.



46

b. Đưa dạng chính tắc về dạng chuẩn

Nếu số hạng tự do ở vế phải âm thì đổi dấuha ivế để đượ c số

hạng tụ do dươ ng; Thêm vào mỗi phươ ng trình một biến giả không âm xn+1≥0

vớ i hệ số 1;

Trong hàm mục tiêu, các biến giả có hệ số là –M (đối vớ i bàitoán Min) và có hệ số là M (đối vớ i bài toán Min).

Bài toán mớ i gọi là bài toán mở rộng của bài toán xuất

phát.



47

Chú ý

Phân biệt biến phụ và biến giả vớ i 3 điểm sau:

Biến phụ để đưa bài toán dạng tổng quát về dạng chínhtắc còn biến giả đưa dạng chính tắc về dạng chuẩn.

Trong hàm mục tiêu, hệ số của các biến giả bằng M nếu bài toán dạng Min, bằng –M nếu bài toán dạng Max còn biến phụ luôn có hệ số bằng 0.

Biến phụ là con số thực giúp chúng ta biến đổi ràng buộcdạng bất phươ ng trình về phươ ng trình còn biến giả thì 2

vế đã bằng nhau mà vẫn cộng thêm là làm việc “giả tạo”để tạor a vé c tơ đơ n vị mà thôi.



48

Chú ý

Nếu bài toán dạng chính tắc đã c ó sẵn một số véc tơ cột đơ nvị trong A, thì chỉ cần thêm biến giả vào những phươ ng trìnhcần thiết đủ để tạo bài toán mở r ộng dạng chuẩn.

Quan hệ giữa bài toán xuất phát và bài toán mở r ộng:

Nếu các biến giả đều bằng 0, thì bài bài toán mớ i lạichính là bài toán xuất phát, vì vậy phải làm sao cho các biến giả bằng 0. Để đạt đượ c k ết quả đó đượ c bố trí sẵnnhư sau:

Vớ i bài toán min, các biến giả có hệ số bằng M.Vớ i bài toán max, các biến giả có hệ số bằng –M.



49

Nhận xét

Nếu xT=(x1 x2…xn) là phươ n g á n của bài toán xuất phát thì(x*)T=(x1 x2…xn 0…0) sẽ là phươ ng án của bài toán mở r ộng;

Nếu (x0)T=(x10 x2

0…xn0) là phươ ng án tối ưu của bài toán

xuất phát thì (x*0)T=(x10 x2

0…xn0 0…0) là phươ ng án tối

ưu của bài toán mở r ộng.



50

2.3. Những phương pháp giải bài toán QHTT

2.3.1.2.3.1. Phươ ngPhươ ng ph pháá p p đđồồ ththịị

2.3.2.2.3.2. Phươ ngPhươ ng ph pháá p p đơ nđơ n hhììnhnh

a.a. Xác định miền chấ p nhận đượ c

b.b. Tìm giá tr ị của hà m mục tiêu trên miền chấ p nhận

a.a. Thuật toán đơ n hình giải bài toán dạng chuẩn

b.b. Thuật toán đơ n hình giải bài toán mở r ộngc.c. Giải bằng máy tính



51

2.3.1. Phương pháp đồ thị

Trong các phươ ng pháp giải bài toán qui hoạch tuyến tính, phươ ng pháp đồ thị (Phươ ng pháp hình học) thườ ng đượ c sửdụng. Phươ ng pháp này có ưu điểm là tr ực quan, dễ hiểu. Tuynhiên, phươ ng pháp này chỉ dùng để giải những bài toán hai biến quyết định.

Về cơ bản phươ ng pháp này gồm ha ibướ c sau: Xác định miền phươ ng án chấ p nhận đượ c;

Từ đó tìm phươ n g á n tối ưu trên miền chất nhận đó.



52

a. Xác định miền chấp nhận bằng đồ thị

Mỗi tr ục thể hiện một biến quyết định;

Mỗi ràng buộc vẽ một đườ ng thẳng để xác định miền chấ pnhận:

Mỗi đườ ng thẳng chỉ cần vẽ 2 điểm v à nối chúng vớ i nhau;

Chọn một điểm bất k ỳ thoả mãn ràng buộc, miền chứa điểm đósẽ là miền chấ p nhận thỏa mãn ràng buộc đang xét;

Giao tất cả các miền chấ p nhận của các ràng buộc hình thànhvùng chấ p nhận của bài toán.

Bất cứ điểm nào nằm trên đườ ng biên của vùng chấ p nhận hoặctrong vùng chấ p nhận đượ c gọi là điểm phươ ng án chấ p nhận đượ cđối vớ i bài toán qui hoạch.

ế



53

a. Tiếp

Nguyên liệu 2

Nguyên liệu 1

Nguyên liệu 3

0

10

20

30

40

50

60

70

0 10 20 30 40 50

Số tấn chất phụ gia

S ố t ấ n

c h ấ t b a z ơ

h o à t a n

Vùng chấp nhận

b Tìm giá trị củahàmmục tiêu trên miền



54

b. Tìm giá tr ị củahàmmục tiêu trên miềnchấp nhận

0

10

20

30

40

50

60

70

0 10 20 30 40 50


S ố

t ấ n

c h ấ

t b a z ơ h

o à

t a

n

Phươ ng án tối ưu

F=25, B=20

ắ ề ồ



55

Tóm tắt về phương pháp đồ thị

Vẽ đồ thị các ràng buộc:Mỗi ràng buộc vẽ một đườ ng thẳng và xác định miền chấ p

nhận đượ c của mỗi ràng buộc; Xác định vùng chấ p nhận đượ c:

Giao của các miền chấ p nhận của tất cả những ràng buộc của bài toán;

Vẽ đườ ng mục tiêuCho hàm mục tiêu bằng một giá tr ị bất k ỳ và vẽ đườ ng mụctiêu. Đối vớ i bài toán cực đại, tịnh tiến đườ ng mục tiêu trongvùng chấ p nhận theo hướ ng làm giá tr ị của hàm mục tiêu lớ n

hơ n cho đến khi giá tr ị của hàm mục tiêu lớ n nhất (đối vớ i bài toán cực tiểu thì ngượ c lại);

Bất k ỳ phươ ng án trên đườ ng mục tiêu vớ i giá tr ị lớ n nhất(đối vớ i bài toán cực đại) là phươ n g á n tối ưu.

2 3 2 Ph há đ hì h



56

2.3.2. Phương pháp đơn hình

b.b. Thuật toán đơ n hình giải bài toán dạng chuẩn

c.c. Thuật toán đơ n hình giải bài toán mở r ộng

d.d. Giải bằng máy tính

a.a. Cơ sở toán học của phươ ng pháp

C ở t á ủ h há



57

Cơ sở toán của phương pháp

Tính chất 1: Nếu bài toán có phươ ng án tối ưu thì cũng có phươ n g á n cơ bản tối ưu.

Tính chất 2: Số phươ n g á n cơ bản l à hữu hạn.

Tính chất 3: Điều kiện cần và đủ để bài toán có phươ ng ántối ưu l à h à m mục tiêu của n ó bị chặn dướ i khi f(x)→min và bị chặn trên khi f(x)→max trên tậ p phươ ng án.

Th ật t á bài t á Mi



58

Thuật toán bài toán Min

Bướ c 1: Chuyển bài toán về dạng chuẩnBướ c 2: Lậ p bảng đơ n hình đầu tiên

f 0n...v...m+10...0...00

bmamn...amv...am(m+1)1...0...00cmxm

.......................................…

br arn...arv...ar(m+1)0...1...00cr xr

....................................……

b2a2n...a2v...a2(m+1)0...0...10c2x2

b1a1n...a1v...a1(m+1)0...0...01c1x1

cn...cvcm+1cmcr ...c2c1

Tỷ sốλi

P.ánxn…xv…xm+1xm…xr …x2x1

Hệsố

Biếncơ

bản

j

m

1i iji j

m

1i ii0 cac& bcf −=Δ= ∑∑ ==




59


Bướ c 3: Kiểm tra tính tối ưu Nếu Δ

j

≤0 ∀ j phươ ng án đang xét là tối ưu và giá tr ị hàmmục tiêu là f(x)=f 0.

Nếu ∃Δ j > 0 mà aij ≤0 ∀i không có phươ n g á n tối ưu.

Nếu cả 2 tr ườ ng hợ p trên không xảy ra thì chuyển sang bướ c 3.

Bướ c 4: Tìm biến đưa vào Nếu Δv=max(Δ j) thì xv đượ c đưa vào, cột v là cột chủ yếu.

Bướ c 5: Tìm biến đưa ra

Tính λi = bi/aiv ứng vớ i c ácaiv > 0 Nếu λr =minλi thì xr là biến đưa ra. Hàng r là hàng chủ yếu, phần tử arv là phần tử tr ục xoay.




60


Bướ c 6: Biến đổi bảng như sau : Thay xr bằng xv và cr bằng cv. Các biến cơ bản khác và hệ số

tươ ng ứng để nguyên. Chia hàng chủ yếu (hàng r) cho phần tử tr ục xoay arv, chúng ta

đượ c hàng r mớ i gọi là hàng chuẩn.Muốn có hàng i mớ i (i≠r), lấy –aiv nhân vớ i hàng chuẩn r ồi

cộng vào hàng i cũ.Muốn có hàng cuối mớ i, lấy -Δv nhân vớ i hàng chuẩn r ồi cộng

vào hàng cuối cũ.Hàng cuối (gồm f và Δ j) cũng có thể tính tr ực tiế p như ở bướ c

1 vớ i bảng mớ i vừa đượ c tạo. Quay lại bướ c 2

Ví dụ



61

Ví dụ

Hàm mục tiêu

Min(6x1+x

2+x

3+3x

4+x

5-7x

6)

Ràng buộc

-x1+x2 - x4 + x6 = 15

-2x1 + x3 - 2x6 = 9

4x1 + 2x4 + x5-3x6 = 2

Ràng buộc dấu

x j ≥0 (mọi j)

Giải



62

Giải

2630-200-5

2-3120041x5

9-20010-21x3

151510-101-11x2

-713116λiP.ánx6x5x4x3x2x1Hệ

sốBiếncơ bản

Bài toán này có dạng chuẩn, vậy c ó thể lậ p bảng như sau :

Lời giải



63

Lời giải

Bảng 2

-190010-3-2

4701-10311x5

3900-212-41x3

1510-101-1-7x6

-713116λi

P.ánx6x5x4x3x2x1Hệsố

Biếncơ bản

Không có phươ n g á n tối ưu

Thuật toán bài toán Max



64

Thuật toán bài toán Max

So vớ i bài toán Min, bài toán Max có các thay đổi sau:

1. Ở bướ c 3: Kiểm tra tính tối ưu+ Phươ n g á n tối ưu khi Δ j≥0 ∀ j

+ Nếu ∃Δ j < 0 mà aij ≤0 ∀i thì bài toán không có phươ n g á n tối

ưu.2. Ở bướ c 4: Tìm biến đưa vào

Biến chọn đưa vào là biến có Δ j âm và nhỏ nhất

Ví dụ 2: Bài toán ABC



65


Vì trong các ràng buộc c ó c á c bất đẳng thức ≤ nên đưa thêm các biến phụ (Slack) vào các ràng buộc như sau :

Hàm mục tiêuMax 40F+30B

Ràng buộc0,4F + 0,5B +1S1 = 20 Nguyên liệu 1

0,2B + 1S2 = 5 Nguyên liệu 20,6F + 0,3B + 1S3 = 21 Nguyên liệu 3

Ràng buộc dấuF, B, S1, S2, S3 ≥0




66


Thành lậ p bảng đơ n hình đầu tiên

0000-30-400

35211000,30,6 0S3

50100,200S2

50200010,50,40S1

0003040λi bi

S3S2S1BFHệ sốBiếncơ bản




67

ụ

Bảng 2

1400200/300-100

703510/6000,5140F

2550100,200S2

206-2/3010,300S1

0003040λiP.ánS3S2S1BFHệ

sốBiếncơ bản




68

ụ

Bảng 3

1600400/90100/300

2525/90-5/30140F

14/91-2/3000S2

20-20/9010/31030B

0003040λiP.ánS3S2S1BFHệ sốBiếncơ

bản

b. Thuật toán đơn hình giải bài toán mở r ộng



69

ậ g ộ g

Dùng biến giả đưa bài toán dạng chính tắc về dạng chuẩn vàgiải bài toán ấy theo như đã trình bày.

Nhận xét: Nếu bài toán mở r ộng không có phươ ng án tối ưu thì bài toán

xuất phát cũng không có phươ n g á n tối ưu.

Nếu bài toán mở r ộng có phươ n g á n tối ưu mà các biến giả đều bằng 0 thì bỏ biến giả đi, chúng ta đượ c phươ ng án tối ưu của bài toán xuất phát.

Nếu bài toán mở r ộng có phươ ng án tối ưu mà trong đó có ít

nhất một biến giả dươ ng thì bài toán xuất phát không có phươ ngán tối ưu.

b. Thuật toán đơn hình giải bài toán mở r ộng



70

Trong bài toán mở r ộng, Δ j và f(x*) sẽ gồm 2 phần:một phần phụ thuộc vào M,

một phần không phụ thuộc vào M.

Hàng cuối của bảng chia hai dòng nhỏ: dòng trên ghi phần không phụ thuộc M,

dòng dướ i gh ihệ số M. Mỗi k h i một biến giả bị đưa khỏi hệ biến cơ bản t h ì sẽ không

đượ c đưa tr ở lại, vì vậy có thể không cần chú ý tớ i các cộtứng vớ i biến giả.

Ví dụ giải bài toán mở r ộng



71

Min(x1+2x2+x4-5x5)S.t.

-3x3-9x4=0x2-7x3-x4-2x5=5x1-1/3x2+2/3x3+4/3x4+1/3x5=2/3x j≥0 ∀ j

Chuyển dạng

Min(x1+2x2+x4-5x5+Mx6+Mx7)S.t.

3x3 - 9x4 + x 6 =0x2 - 7x3 - x4 - 2x5 + x7 = 5x1 – 1/3x2 + 2/3x3 + 4/3x4 + 1/3x5 =2/3

x j≥0 ∀ j

Giải bài toán mở r ộng



72

5-2-10-10102/316/31/32/3-7/30

2/31/34/32/3-1/311x1

5-2-1-710Mx7

00-9-300Mx6

-51021

λiPh.ánx5x4x3x2x1

Hệ sốBiếncơ

bản

Giải bài toán mở r ộng



73

00-9-300

37/02/3-2-47/300

7/3-1/31-5/3011x1

5-2-1-7102x2

00-9-300Mx6

-51021

λiPh.ánx5x4x3x2x1

Hệ sốBiếncơ

bản

2.4. Bài toán đối ngẫu



74

2.4.1.2.4.1. KhKhááii niniệệmm b bààii totoáánn đđốốii ngngẫẫuu

2.4.2.2.4.2. QuiQui ttắắcc llậậ p p b bààii totoáánn đđốốii ngngẫẫuu

2.4.3.2.4.3. QuanQuan hhệệ gigiữữaa b bààii totoáánn ggốốcc vvàà b bààii totoáánn đđốốii ngngẫẫuu

2.4.1. Khái niệm bài toán đối ngẫu



75

Cho bài toán chính tắc gốc (P):

Hàm mục tiêu:

Bài toán D sau đây đượ c gọi là bàitoán đối ngẫu của bài toán gốc:

Hàm mục tiêu

∑=

→=n

1 j j j minxc)x(f

Ràng buộc

∑=

==n

1 ji jij )m,1i( bxa

Ràng buộc dấu: x j ≥0 vớ i mọi j

∑=

→=m

1iii maxy b)y(g

∑=

=≤m

1i jiij )n,1 j(cya

Ràng buộc

Ràng buộc dấu: yi tuỳ ý vềdấu vớ i mọi i

Nhận xét



76

Hàm mục tiêu của P là f(x) → min thì hàm mục tiêu của D làg(y)→max và ngượ c lại.

Số biến của bài toán này là số ràng buộc của bài toán kia vàngượ c lại

Các hệ số c j và các số hạng tự do ở hai bài toán đối ngượ c lại

nhau Ma tr ận hệ số các ràng buộc ở hai bài toán là chuyển vị của

nhau. Hàng i của ma tr ận A=(aij)mn xác định ràng buộc thứ icủa bài toán gốc Σa

ij

x j

=bi

còn cột j trong ma tr ận A xác

định ràng buộc thứ j của bài toán đối ngẫu Σaijy j=≤(≥)c j

2.4.2. Qui tắc lập bài toán đối ngẫu



77

Bài toán DBài toán P

∑=

→=n

1 j j j minxc)x(f ∑

=

→=n

1iii maxy b)y(g

∑=

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

≤

≥n

1 ji jij )m,1i( bxa 0

ytùy

yi

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ ≤

≥

0

ytùy

x j

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ ≤

≥

∑= ⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

≥

≤m

1i jiij cya

2.4.3. Quan hệ giữa bài toán gốc và bài toánđối ngẫu



78

g

Định lý: Vớ i cặ p bài toán P và D, chỉ xảy ra một trong 3 tr ườ nghợ p sau:

1. Cả hai đều không có phươ ng án

2. Cả hai đều có phươ ng án, lúc đó cả hai cùng có phươ ng ántối ưu và giá tr ị hai hàm mục tiêu đối vớ i phươ ng án tối ưu bằng nhau.

3. Một trong hai bài toán không có phươ ng án, còn bài toán kiacó phươ ng án. Khi đó, bài toán có phươ ng án sẽ không có

phươ n g á n tối ưuvà hà m mục tiêu của nó không bị chặn.

2.5. Phân tích độ nhạy



79

2.5.1.2.5.1. GiGiớ ớ ii thithiệệuu phân phân ttííchch đđộộ nhnhạạyy

2.5.2.2.5.2. CCáácc hhệệ ssốố ccủủaa hhààmm mmụụcc tiêutiêu

2.5.3.2.5.3. VVếế ph phảảii

2.5.1. Giới thiệu phân tích độ nhạy



80

Khôngthay đổi

phươ n g á n tối ưu

Thay đổi phươ n g á n tối ưunhưng có thể tận dụng bảng tối ưu cũ để giải

ThayThay đđổổii ququáá llớ ớ nn nênnên ph phảảii gigiảảii llạạii ttừừ đđầầuu

M ứ c đ ộ

t h a y đ ổ i

2.5.1. Giới thiệu phân tích độ nhạy



81

Phân tích độ nhạy là nghiên cứu sự thay đổi của những hệ sốtrong bài toán qui hoạch tuyến tính ảnh hưở ng như thế nào đến

phươ n g á n tối ưu.Mục tiêu:

Xem xét hệ số trong hàm mục tiêu thay đổi ảnh hưở ng như

thế nào đến phươ n g á n tối ưu?

Giá tr ị vế phải của các ràng buộc ảnh hưở ng như thế nào đến phươ n g á n tối ưu?

Xác định biến số nào trong bài toán qui hoạch tuyến tính làchủ yếu?

2.5.1. Tiếp



82

Bài toán ABCMax 40F+30B

Ràng buộc0,4F+0,5B ≤ 20 Nguyên liệu 1


0,6F+0,3B ≤ 21 Nguyên liệu 3F,B ≥ 0

PhươngPhương áánn ttố ố ii ư uư u, F=25, F=25 ttấ ấ nn vvàà B=20B=20 ttấ ấ nn,,gigiáá trtrịị hhààmm mmụụcc tiêutiêu 1600$1600$

2.5.2. Các hệ số củahàmmục tiêu



83

Nhằm xem xét sự thay đổi của các hệ số hàm mục tiêu đến phươ n g á n tối ưu c ó t hể thực hiện bằng 2 phươ ng pháp:

Đồ thị: tr ực quan nhưng không khái quát

Phươ ng pháp đơ n hình: có tính khái quát nhưng khó.

Phương pháp đồ thị



84

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50


S ố t ấ n c h ấ t b a

z ơ h o à t a

Phươ n g á n tối ưu

B

A

Phương pháp đồ thị



85

Một cách tổng quát đườ ng mục tiêu có dạng:D=cFF+cBB hay B=-(cF/cB)F+D/cB

Đườ ng A chính là đườ ng ràng buộc nguyên liệu 1:0,4F + 0,5B = 20 hay B=-0,8F+40

Đườ ng B chính là đườ ng ràng buộc nguyên liệu 3:

0,6F + 0,3B = 21 hay B=-2F+40 Như vậy, hệ số góc của đườ ng mục tiêu nằm trong giớ i hạn:-2≤-cF/cB ≤-0,8 hay 2≥cF/cB ≥0,8.

Vớ i cB không đổi, tức bằng 30 thì 24 ≤cF ≤ 60

Vớ i cF không đổi, tức bằng 40 thì 20 ≤ cB ≤ 50

Phương pháp đơn hình



86

Bảng đơ n hình cuối cùng

1600400/90100/300

2525/90-5/30140F

14/91-2/3000S2

20-20/9010/31030B

0003040 P. ánS3S2S1BF

Hệ sốBiến




87

Bảng đơ n hình cuối

000

2525/90-5/301cFF 14/91-2/3000S2

20-20/9010/31030B

00030cF P. ánS3S2S1BFHệ sốBiến

100-5c F/3

≥0

-600/9+25c F/9

≥0




88

Vớ i 100-5cF/3 ≥0Suy ra cF≤60

Vớ i -600/9+25cF/9 ≥0Suy ra cF≥24

Như vậy:24≤cF ≤ 60

Tươ ng tự, k ết quả là:20 ≤ cB ≤ 50

Kết quả giải bằng máy tính



89

Khi đó k ết quả như sau:

102030020Bazơ hoà tan

162040025Chất phụ gia

AllowableDecrease

AllowableIncrease

ObjectiveCoefficient

ReducedCost

FinalValue Name

90

Sự thay đổi đồng thời



90

Phân tích độ nhạy theo hệ số của hàm mục tiêu dựa vào giả

thiết r ằng mỗi lúc chỉ một hệ số thay đổi v à tất cả những ảnhhưở ng khác của bài toán gốc không thay đổi.

Tuy nhiên, trong một vài tính huống, chúng ta muốn quan tâmcái gì sẽ xảy ra nếu nhiều hệ số của hàm mục tiêu thay đổiđồng thờ i.

91

Qui tắc 100%



91

Nếu tất cả các hệ số của hàm mục tiêu thay đổi, tính tổng %

tăng cho phép và % giảm cho phép. Nếu tổng % ít hơ n hay bằng 100%, phươ n g á n tối ưu không thay đổi.

Chú ý: qui tắc 100% không nói r ằng phươ ng án tối ưu sẽ thay

đổi nếu tổng % tăng cho phép và giảm cho phép hơ n 100.Chúng ta chỉ có thể nói r ằng nếu tổng % lớ n hơ n 100, một phươ ng án tối ưu khác có lẽ tồn tại. Vì thế, bất cứ khi nào tổng% thay đổi là lớ n hơ n 100, bài toán đã điều chỉnh phải đượ cgiải lại để xác định phươ n g á n tối ưu mớ i.

92

2.5.3. Vế phải



92

Bài toán RMC

Hàm mục tiêuMax 40F+30B

Ràng buộc0,4F+0,5B ≤ 20 Nguyên liệu 1


0,6F+0,3B ≤ 25,5 Nguyên liệu 3

F,B ≥ 0

93

2.5.3. Vế phải



93

Mục đích: tìm vai trò quan tr ọng của mỗi nhân tố. Từ đó, xemxét phươ ng án tăng thêm loại nguyên liệu nào đem lại lợ inhuận cao nhất.

Chú ý khi thay đổi vế phải của hệ ràng buộc miền chấ p nhận sẽ thay đổi.

94

2.5.3. Vế phải



94

Phươ n g á n tối ưu mớ i là F=37,5 tấn và B=10 tấnGiá tr ị hàm mục tiêu mớ i là 1800$

95

Nhận xét



95

So vớ i ban đầu, khi tăng thêm 4,5 tấn nguyên liệu 3 thì lợ inhuận tăng 200$.

Như vậy, mỗi tấn nguyên liệu 3 tăng thêm sẽ làm tăng44,44$ lợ i nhuận. Tươ ng tự, có thể thay đổi các nguyên liệu khác.

Trong các k ết xuất của máy tính,những giá tr ị này nằm ở cột có nhãn dual price

hay shadow price.

96

Kết quả của máy tính



96

Bằng EXCEL, k ết quả như sau:

2,2592144,44421 Nguyên liệu 3

11E+30504 Nguyên liệu 2

61,52033,33320 Nguyên liệu 1

DecreaseIncreaseR.H. SidePriceValueName

AllowableAllowableConstraintShadowFinal

Trong EXCEL, Kết quả này được kết xuất đồng thờitrong phân tích các hệ số củahàmmục tiêu như trên

97

2.6. Qui hoạch nguyên



97

2.6.1.2.6.1. CCáácc ddạạngng mômô hhììnhnh quiqui hohoạạchch nguyênnguyên

2.6.2.2.6.2. Giải bài toán qui hoạch nguyên

2.6.3.2.6.3. Những ứng dụng qui hoạch có các biến 0–1

98

2.6.1. Các dạng mô hình qui hoạch nguyên



98

Những bài toán qui hoạch tuyến tính vớ i một hay nhiều biến

nhận giá tr ị nguyên đượ c gọi là qui hoạch tuyến tínhnguyên.

Nếu một vài, nhưng không phải tất cả các biến phải nguyên,gọi là qui hoạch nguyên bộ phận.

Nếu tất cả biến phải là số nguyên, gọi là có qui hoạchnguyên hoàn toàn.

Nếu tất cả các biến là biến 0-1, gọi là qui hoạch tuyến tínhnguyên 0-1 (nhị phân).

99

Qui hoạch nguyên hoàn toàn



Max 2x1 + 3x2

S.t.

3x1 + 3x2 ≤ 122/3x1 + 1x2 ≤ 4

1x1 + 2x2 ≤ 6x1, x2 ≥ 0 và nguyên

Qui hoạch tuyến tính mà do bỏ yêu cầu nguyên gọi là quihoạch tuyến tính nớ i lỏng (LPR) của qui hoạch tuyến tínhnguyên.

100

Qui hoạch nguyên bộ phận



Max 3x1 + 4x2

S.t.

-1x1 + 2x2≤ 81x1 + 2x2≤12

2x1 + 1x2 ≤ 16

x1, x2 ≥ 0 và x2 nguyên

Bỏ ràng buộc x2 là nguyên, chúng ta đượ c qui hoạch nguyênnớ i lỏng LPR của qui hoạch nguyên bộ phận

101

Bài toán



Công ty bất động sản Eastborne có 2000000$ có thể dùng để mua tàisản cho thuê mớ i. Sau những khảo sát ban đầu, Eastborne thấy c ó t hểđầu tư vào ngôi nhà riêng và chung cư. Số ngôi nhà riêng có thể mua

đượ c 5 cái vớ i giá mỗi cái là 282000$. Mỗi chung cư có thể muađượ c giá vớ i 400000$.

Các nhà quản tr ị tài sản của Eastborne có thể dành đến 140 giờ mỗitháng cho những tài sản mớ i này; mỗi ngôi nhà riêng cần 4 giờ mỗi

tháng, và mỗi chung cư cần 40 giờ mỗi tháng. Doanh thu hằng năm,sau khi khấu tr ừ tiền thế chấ p và chi tiêu hoạt động, ướ c lượ ng10000$ mỗi ngôi nhà riêng và 15000$ mỗi chung cư. Các nhà quảntr ị của Eastborne muốn xác định số ngôi nhà riêng và số chung cư đểmua sao cho cực đại doanh thu hằng năm.

102

Mô hình bài toán



Xác định biến quyết định như sau:T = số ngôi nhà riêng

A= số chung cưHàm mục tiêu (1000$)

Max(10T +15A)

S.t.282T + 400A ≤ 2000 Qu ĩ khả dụng4T + 40A ≤ 140 Thờ i gian của nhà quản tr ị

T ≤ 5 Số ngôi nhà riêng có thể mua

T, A ≥ 0 và nguyên

103

Giải bằng đồ thị bài toán qui hoạch nguyên nớilỏng LPR



Giả sử bỏ ràng buộc nguyên, tiến hành giải bằng phươ ng pháp thông thườ ng;

Làm tròn để xác định nghiệm nguyên: dùng phươ ng phápthử và sai.

104

Giải bằng đồ thị đối với bài toán qui hoạchnguyên hoàn toàn



Xác định miền chấ p nhận gồm các điểm, tìm điểm cực biên và giá tr ịhàm tối ưu

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6

Vùng chấ p nhận

Phươ ng án nguyên tối ưuT=4, A=2

Chú ý:các điểm thể hiện phươ ng án nguyên chấp nhận



106

Dự toán vốn

ế ầ ố ầ ố



Công ty thiết bị đông lạnh đang quan tâm đầu tư vào một số dự án mà nhu cầu vốnkhác nhau qua 4 năm tớ i. Đối mặt vớ i những giớ i hạn nguồn vốn mỗi năm, nhà quảntr ị muốn chọn những dự án có lợ i nhuận lớ n nhất. Những giá tr ị hiện tại thuần đã

đượ c ướ c lượ ng cho mỗi dự án, nhu cầu vốn, và nguồn vốn c ó t hể dùng qua các giaiđoạn trong 4 năm như sau:

35104515Vốn năm 4

40102020Vốn năm 3

50101520Vốn năm 2

4015101015Vốn năm 1

37104090Gía trị hiện tại thuần

Tổng vốn

khả dụng

Nghiên cứ u

sản phẩmmớ i

Mua

mớ iMMTB

Mở rộng

kho

Mở rộng

nhà máy

Dự án (1000$)

107

Mô hình bài toán



Bốn biến quyết định 0–1 như sau:

P= 1 nếu dự án mở r ộng nhà máy đượ c chấ p nhận; 0 nếu bị bác bỏ;

W= 1 nếu dự án mở r ộng kho đượ c chấ p nhận; 0 nếu bị bác bỏ;

M= 1 nếu dự án máy móc thiết bị mớ i đượ c chấ p nhận; 0 nếu bị bác bỏ;

R= 1 nếu dự án nghiên cứu sản phẩm mớ i đượ c chấ p nhận; 0nếu bị bác bỏ.



109

Giải bằng máy tính



110

Bài toán RMC có chi phí cố định

ể ấ



Xem lại bài toán RMC. Ba nguyên liệu thô đượ c dùng để sản xuất 3 sản phẩm: chất phụ gia, bazơ hoà tan, và chất chùi thảm. Những biến quyết

định là: F, S, C tươ ng ứng là số tấn chất phụ gia, chất bazơ hoà tan,chất chùi thảm đượ c sản xuất.

Lợ i nhuận mỗi tấn chất phụ gia là 40$, bazơ hoà tan 30$, và chất chùithảm là 50$. Mỗi tấn chất phụ gia gồm 0,4 tấn nguyên liệu 1 và 0,6 tấn

nguyên liệu 3. Mỗi tấn bazơ hoà tan gồm 0,5 tấn nguyên liệu 1; 0,2 tấnnguyên liệu 2, và 0,3 tấn nguyên liệu 3. Mỗi tấn chất chùi thảm gồm0,6 tấn nguyên liệu 1; 0,1 tấn nguyên liệu 2, và 0,3 tấn nguyên liệu 3.RMC có 20 tấn nguyên liệu 1; 5 tấn nguyên liệu 2, và 21 tấn nguyên

liệu 3, và quan tâm xác định lượ ng sản xuất tối ưu.



112


ế



Xây dựng bài toán qui hoạch tuyến tính của bài toán RMCkhông bao gồm chi phí cố định để sản xuất sản phẩm. Giả sử

r ằng có nguồn dữ liệu về chi phí cố định và lượ ng sản xuấttối đa c h o mỗi sản phẩm như sau:

40400Chất chùi thảm

2550Bazơ hoà tan

50200Chất phụ gia

Lượ ng tối đa (tấn)Chi phí cố định ($)Sản phẩm

113


ế ể ể ố



Biến 0-1 có thể dùng để đưa chi phí cố định vào trong mô hìnhsản xuất. Biến 0-1 đượ c xác định như sau:

SF=1 nếu chất phụ gia là đượ c sản xuất; 0 nếu khôngSB=1 nếu bazơ hoà tan đượ c sản xuất; 0 nếu không

SC=1 nếu chất chùi thảm là đượ c sản xuất; 0 nếu không

Khi dùng những biến này, tổng chi phí cố định là:

200SF + 50SB+400SC

114

Bài toán ABC có chi phí cố định



S.t.

Max 40F + 30B + 50C - 200SF - 50SB - 400SC

F,B,C≥ 0; SF,SB,SC= 0, 1≤ 0 Max CC- 40SC

≤ 0 Max SS- 25SB

≤ 0 Max FF- 50SF≤ 21 Nguyên liệu 30,6F+ 0,3B+ 0,3C

≤ 5 Nguyên liệu 20,2B + 0,1C

≤ 20 Nguyên liệu 10,4F + 0,5B + 0,6C

115

Giải bằng máy tính đối với bài toán ABC có chiphí cố định



Chươ ng 3



MÔ HÌNH MẠNGK ết thúc chươ ng này, sinh viên có thể:1. Nắm đượ c những khái niệm cơ bản của mô hình mạng

2. Hiểu đượ c bài toán đườ ng đi ngắn nhất v à vận dụng vào kinh tế

3. Hiểu đượ c bài toán cây bao trùm tối thiểu v à vận dụng vào kinh tế

4. Hiểu đượ c bài toán đườ ng dòng cực đại v à vận dụng vào kinh tế

117

Mục lục



3.1.3.1. CCáácc khkhááii niniệệmm cơ cơ b bảảnn

3.2.3.2. BBààii totoáánn đưđườ ờ ngng ngngắắnn nhnhấấtt

3.3. BBààii totoáánn câycây bao bao tr tr ùùmm ttốốii thithiểểuu

3.4. BBààii totoáánn dòngdòng ccựựcc đđạạii

118

Đồ thị vô hướng G là một cặp gồm hai tập N và A ký hiệu

3.1. Các khái niệm cơ bản



Đồ thị vô hướ ng G là một cặ p gồm hai tậ p N và A, ký hiệuG(N,A), vớ i N là tậ p các nút và A là tậ p các cung vô hướ ng.

Cung vô hướ ng là một cặ p không k ể đến thứ tự hai nút khácnhau i và j (i,j∈ N) ký hiệu là (i,j).

Trong đồ thị vô hướ ng, cung (i,j) = cung (j,i).

Một đườ ng đi từ nút i1 đến n ú t it là bộ gồm t nút khác nhau i1,…,it sao cho (ik , ik+1)∈A.

Chu trình là bộ gồm t nút i1,…,it sao cho i1,…, it-1 là một đườ ng đivớ i it=i1 vàcóí tnhất ba nút khác nhau.

Đồ thị vô hướ ng đượ c gọi là liên thông nếu ứng vớ i mỗi cặ pi,j∈ N đều c ó một đườ ng đi từ i đến j.

119


Đồ thị G (N A) là đồ thị có hướng nếu mỗi cung là một cặp có thứ tự



Đồ thị G (N,A) là đồ thị có hướ ng nếu mỗi cung là một cặ p có thứ tự.Trong đồ thị có hướ ng, (i,j) ≠ (j,i).

Trong đồ thị có hướ ng có thể chứa cả hai cung (i,j) và (j,i), nên để xácđịnh một đườ ng đi phải nó i rõcả dãy nút i1,…,it và dãy cung a1,…,at-1.

Đồ thị có hướ ng là liên thông nếu đồ thị vô hướ ng tươ ng ứng là liênthông.

Cây là một đồ thị vô hướ ng, liên thông và không có chu trình. Cây bao trùm của đồ thị G (N,A) là một cây trong G có chứa tất cả các

nút của G còn số cung có thể ít hơ n. Do vậy, cây bao trùm là cây Gs(Ns, As) có Ns=N và As⊂ A.

120

3.2. Bài toán đường ngắn nhấtShortest path problem



3.2.1. ĐĐặặtt vvấấnn đđềề

3.2.2. MôMô ttảả ddạạngng totoáánn hhọọcc

3.2.3. ThuThuậậtt totoáánn đđặặtt nhãnnhãn

121

3.2.1. Đặt vấn đề

Công ty ABC có một v à i dự án xây dựng nằm khắp nơi trong địa



Công ty ABC có một v à i dự án xây dựng nằm khắ p nơ i trong địa bàn tỉnh. Hàng ngày công ty có nhiều chuyến xe đưa công nhân,

chuyên chở thiết bị và vật tư đi lại giữa tr ụ sở công ty và các côngtr ườ ng xây dựng.

Công ty muốn xác định các tuyến đườ ng ngắn nhất nhằm tối thiểukhoảng cách di chuyển từ văn phòng công ty đến các côngtr ườ ng.Các tuyến đườ ng mà phươ ng tiện của công ty đi lại hằng ngày cóthể đượ c m ô tả bằng sơ đồ mạng như sau:

122

Mạng tuyến đường di chuyển đến các côngtr ường của công ty ABC

7



3

6

2

5

7

15

1

4

17

6

103

4

5

2

6

4

123

3.2.2. Mô tả dạng toán học của bài toán

Cho một đồ thị có hướng G (N,A). Mỗi cung có độ dài cij> 0



Cho một đồ thị có hướ ng G (N,A). Mỗi cung có độ dài cij 0và cũng chính là khoảng cách giữa hai nút.

Để tìm đườ ng ngắn nhất từ một n ú t i đến nút k bất k ỳ (k ∈ N)chính là tìm đườ ng ngắn nhất từ nhiều hoặc thậm c h í mọi nútkhác nút i đến nút k.

Vậy, bài toán đườ ng ngắn nhất là bài toán tìm đườ ngngắn nhất từ mọi nút i∈N đến một nút k ∈N cho trướ ctrên đồ thị G(N,A).

124

3.2.3. Thuật toán đặt nhãn

Thuật toán đặt nhãn là thuật toán dựa vào việc đặt nhãn cho các



Thuật toán đặt nhãn là thuật toán dựa vào việc đặt nhãn cho cácnút để tìm đườ ng ngắn nhất.

Nhãn của nút i gồm 2 con số nằm trong dấu ngoặc vuông vàđượ c ký h iệu l à [ c1i, T], trong đó c1i là giá tr ị khoảng cách từ nút1 đến nút i, và T là ký hiệu số thứ tự của nút đứng ngay tr ướ cnút i theo đườ ng đi từ nút 1 đến nút i.

Nút chưa đặt nhãn là nút chưa xác định đượ c đườ ng đi từ nút 1đến nút đó.

Nút đã đượ c đặt nhãn tạm thờ i là nút đã xác định đượ c mộtđườ ng đi từ nút 1 đến nút đó.

Nút có nhãn cố định khi thuật toán đã xác định đượ c đườ ng đingắn nhất từ nút 1 đến nút đó.

125

3.2.3. Các bước của thuật toán đặt nhãn

Bướ c 1: Đầu tiên, giả sử nút 1 có nhãn cố định [0,S].



, g ị [ , ]

Bướ c 2: Đặt nhãn tạm thờ i cho các nút liên thông tr ực tiế p từ nút 1.

Gọi N1 là tậ p các nút có nhãn tạm thờ i vớ i nút 1.Giả sử nút i ∈ N1 là nút liên thông tr ực tiế p vớ i nút 1 sẽ cónhãn tạm thờ i l à [ c1i, 1].

Tiến hành đặt nhãn cố định cho nút k ∈ N1 thỏa mãn điềukiện c1k = min {c1i}, i∈ N1.

Loại nút k ra khỏi nút có nhãn tạm thờ i.

126

3.2.3. Các bước…

Bướ c 3: Xét các nút liên thông vớ i nút k:



Đặt nhãn tạm thờ i cho những nút liên thông vớ i nút k và

chưa đặt nhãn.Điều chỉnh nhãn tạm thờ i cho tất cả các nút theo nguyêntắc: giả sử nút j đang xét, liên thông vớ i nút k bằng cung(k,j) thì thay thế giá tr ị khoảng cách của nhãn nút j bằng

min {c1j, c1k + ckj}.Gọi Ntt là tậ p các nút có nhãn tạm thờ i.Xét các c1j vớ i ∀ j ∈ Ntt giả sử c1m= min {c1j}. Như vậy, đặt nhãn cố định cho nút m.

Tiế p tục qui trình này cho đến khi tất cả các nút có nhãn cố địnhthì k ết thúc thuật toán.

127

3.2.3. Các bước …

Bướ c 4: Xác định khoảng cách ngắn nhất từ nút 1 đến nút bất



g gk ỳ.

Đườ ng ngắn nhất đến một nút nhất định k có thể tìm bằng cách xuất phát từ nút k và di chuyển ngượ c vềnút ngay tr ướ c.

Tiế p tục di chuyển ngượ c chiều qua mạng sẽ tìm thấy

đườ ng ngắn nhất từ nút 1 đến nút đang đề cậ p.

128

Ứng dụng thuật toán cho mạng công ty ABC

Bướ c 1: Nút 1 có nhãn cố định [0,S]



3

6

2

5

7

15

1

4

17

6

103

4

5

2

6

4[0,S][0,S]

129

Ứng dụng…

Bướ c 2: Tậ p các nút liên thông vớ i nút 1 là nút 2 và 3. Đặt nhãnầ



tạm thờ i cho các nút 2, 3 lần lượ t là [15,1], [10,1]. Nút 3

[10,1] đượ c đặt nhãn cố định.

5

4

[10,1] 3

6

2

7

15

1

17

6

10

3

4

5

2

6

4[0,S]

[15,1]

130

Ứng dụng…

Bướ c 3: Các nút liên thông vớ i nút 3 là 2 và 5. Đặt nhãn tạm thờ icho nút 5 [14 3]; Điều chỉnh nhãn tạm thời cho nút 2 thành



cho nút 5 [14,3]; Điều chỉnh nhãn tạm thờ i cho nút 2 thành[13,3]. Đặt nhãn cố định cho nút 2.

3

6

2

5

7

15

1

4

17

6

10

3

4

5

2

6

4[0,S]

[10,1]

[13,3]

[14,3]

131

Ứng dụng…

Đặt nhãn tạm thờ i cho nút 4 và 7: 4 [19,2] và 7 [30,2]. Xét tậ pá út ó hã t thời l h út ó iá t ị kh ả á h



các nút có nhãn tạm thờ i, lựa chọn nút có giá tr ị khoảng cáchnhỏ nhất. Nút đượ c lựa chọn là nút 5.

3

6

2

5

7

15

1

4

17

6

10

3

4

5

2

6

4[0,S]

[10,1]

[13,3]

[14,3]

[19,2]

[30,2]

132

Ứng dụng…

Xét các nút liên thông vớ i nút 5. Đặt nhãn tạm thờ i cho nút 6[16 ] iề hỉ h h hời h ú 4 [18 ] é 3 ú



[16,5], Điều chỉnh nhãn tạm thờ i cho nút 4 [18,5]. Xét 3 nút

tạm thờ i 4,6,7. Nút 6 sẽ đượ c đặt nhãn cố định

3

6

2

5

7

15

1

4

17

6

10

3

4

5

2

6

4[0,S]

[10,1]

[13,3]

[14,3]

[18,5]

[16,5]

[30,2]

133

Ứng dụng…

Điều chỉnh nhãn tạm thờ i cho nút 7: [22,6]. Và nút 4 đượ cchọn để đặt nhãn cố định: 4 [18 5]



chọn để đặt nhãn cố định: 4 [18,5].

3

6

2

5

7

15

1

4

17

6

10

3

4

5

2

6

4[0,S]

[10,1]

[13,3]

[14,3]

[18,5]

[16,5]

[22,6]

134

Ứng dụng…

Cuối cùng, chỉ có nút 7 liên thông vớ i nút 4. Vìc14+5=18+5=23>22 nên không điều chỉnh nhãn của nút 7. Nút



14 g7 là nút cuối cùng đượ c đặt nhãn cố định.

3

6

2

5

7

15

1

4

17

6

10

3

4

5

2

6

4[0,S]

[10,1]

[13,3]

[14,3]

[18,5]

[16,5]

[22,6]

135

3.2.3. Thuật toán đặt nhãn

Đườ ng ngắn nhất từ nút 1 đến các nút khác

ằắ ấ



221-3-5-6-77161-3-5-66

141-3-55

181-3-5-44

101-33

131-3-22

Khoảng cách bằng kmĐườ ng ngắn nhất từ nút 1Nút

136

3.3. Bài toán cây bao trùm tối thiểu(Spanning Tree Problem)

3 2 1 Đặt vấn đề



3.2.1 Đặt vấn đề

3.2.2. MôMô ttảả ddạạngng totoáánn hhọọcc ccủủaa b bààii totoáánn

3.2.3. ThuThuậậtt totoáánn câycây bao bao tr tr ùùmm ttốốii thithiểểuu

137


Trung tâm máy tính khu vực phải lắ p đặt đườ ng cáp truyềnthông để liên kết 5 người sử dụng máy tính với một máy chủ



thông để liên k ết 5 ngườ i sử dụng máy tính vớ i một máy chủtrung tâm. Việc lắ p đặt l à một công việc tốn kém. Nhằm giảmchi phí, nhóm quản tr ị mạng trung tâm muốn tổng chiều dàiđườ ng cáp truyền thông càng ngắn càng tốt.

Trong mạng, máy tính trung tâm có thể đượ c k ết nối tr ực tiế p

vớ i từng ngườ i sử dụng và cho phép những ngườ i sử dụng kháctham gia vào hệ thống bằng cách liên k ết vớ i những ngườ i sửdụng đã k ết nối vớ i hệ thống.

Mạng truyền thông của Trung tâm máy tính khu vựcnhư sau:

138

Mạng truyền thông của Trung tâm máytính khu vực (Khoảng cách tính bằngkm)

54040



5

41

2

6

32020

4040

5050

40

30

30 10 4040

30302020

4040



140

3.3.3. Thuật toán cây bao trùm tối thiểu

Tư tưở ng của thuật toán là xem xét các nút và đưa từng nút vàotập các nút N



tậ p các nút Ns.

Thuật toán cây bao trùm tối thiểu gồm c á c bướ c sau:Gọi NC là tậ p các nút đã đượ c chọn để đưa v à o NS và NU là tậ pcác nút còn lại

Bướ c 1: Bắt đầu tại một nút i bất k ỳ. Nút i ∈ NC. Xét các cung(i,k) vớ i k ∈ NU. Chọn cung nhỏ nhất, giả sử cij=min(cik ), bổsung nút j vào NC. Cung (i,j) ∈As. Loại nút j khỏi NU.

141

3.3.3. Thuật toán cây bao trùm tối thiểu

Bướ c 2: Xét tất cả các cung nối từ tậ p NC đến NU. Giả sử cung(m k) với m ∈NC và k∈NU có giá trị cung nhỏ nhất Do đó



(m,k) vớ i m ∈ NC và k ∈ NU có giá tr ị cung nhỏ nhất. Do đó,cung (m,k) sẽ thuộc cây bao trùm tối thiểu. Nếu có hai hoặcnhiều cung có giá tr ị cung đều nhỏ bằng nhau thì tùy ý chọn1 cung.

Điều chỉnh lại tậ p hợ p NC và NU bằng cách bổ sung nút k và

NC và loại nút k ra khỏi NU

Lặ p lại bướ c 2 cho đếnkh iNC=N và NU=Ø.

142

Ứng dụng thuật toánBước 1:

Một cách tùy ý, bắtđầu tại nút 1,



đầu tại nút 1, N

C={1}, xét các

cung có nối vớ i nút1, cung (1,2) vớ ikhoảng cách bằng 20

km là nhỏ nhất. Vậy,cung (1,2) thuộc cây bao trùm tối thiểu.

Điều chỉnh: NC =

{1,2}, tậ p Nu={3,4,5,6}

20

5

41

2

6

3

40

50

40

30

3010 40

30

2040

143

Bước 2

Xét tất cả các cungnối các nút từ tậ p NC



ập C

đến NU. Cung (1,4)

vớ i khoảng cách 30km là nhỏ nhất. Vậy,cung (1,4) thuộc cây

bao trùm tối thiểu.

Điều chỉnh: Tậ p NC

= {1,2,4} và tậ p NU= {3,5,6}.

20

5

41

2

6

3

40

50

40

30

3010 40

30

2040

144

Lặp lại bước 2:

Cung (4,3) vớ ikhoảng cách bằng

5



g g10km là nhỏ nhất.Vậy, cung (4,3)thuộc cây bao trùmtối thiểu


= {1,2,3,4} và tậ p NU

= {5,6}.

20

5

41

2

6

3

40

50

40

30

3010 40

30

2040

145


Cung (4,6) vớ ikhoảng cách bằng

5



g g20km là nhỏ nhất.Vậy, cung (4,6)thuộc cây bao trùmtối thiểu


= {1,2,3,4,6} và tậ p NU = {5}.

20

5

41

2

6

3

40

50

40

30

3010 40

30

2040

146


Cung (3,5) vớ ikhoảng cách bằng 540



30km là nhỏ nhất.Vậy, cung (3,5)thuộc cây bao trùmtối thiểu


= {1,2,3,4,5,6} vàtậ p NU r ỗng

20

41

2

6

350

40

30

30 10 40

302040

147

Mạng truyền thông của Trung tâm máytính khu vực

Vậy, cây bao trùm tối thiểu gồm các cung (1,2), (1,4), (4,3),(4,6) và (3,5) vớ i tổng khoảng cách bằng 110 km.



20

5

41

2

6

3

40

50

40

30

3010 40

30

2040

148

3.4. Bài toán dòng cực đại(Maximum flow problem)

3.4.1 ĐĐặặtt vvấấnn đđềề



ặ

3.4.2. MôMô ttảả ddạạngng totoáánn hhọọcc ccủủaa bbààii totoáánn

3.4.3 ThuThuậậtt totoáánn dòngdòng ccự ự cc đđạạii

149

3.4.1. Đặt vấn đề: Mạng giao thông

Chúng ta cùng xem xét hệ thống đườ ng cao tốc liên tỉnh Bắc Nam đi qua Thành phố A. Dòng phươ ng tiện di chuyển Bắc

ể ể



Nam đạt mức 1500 phươ ng tiện/giờ vào thờ i gian cao điểm. Đểthực hiện chươ ng trình duy tu bảo dưỡ ng đườ ng cao tốc vàomùa hè, theo đó cần thiết phải tạm thờ i đóng một số làn xe vàgiớ i hạn tốc độ thấ p hơ n. Các tuyến đườ ng thay thế tùy chọn

bao gồm các đườ ng cao tốc khác và các đườ ng nội thị. Do sựkhác biệt về giớ i hạn tốc độ và mô hình giao thông, tải năngtrên dòng sẽ khác nhau, phụ thuộc vào các con đườ ng nội thị vàtuyến đườ ng sử dụng. Mạng giao thông đề xuất vớ i tải năng

trên dòng của mỗi cung đượ c giớ i thiệu ở Slide sau

150

3.4.1. Mạng giao thông

5 720

83

2 0

0

1

0



1

4

63

5

5

6

0

0

0

5

2

2 3

0

3

00

7 0

1

1

70

151


Xem xét một mạng có một nút nguồn (nút cung) và một núthút (nút cầu). Bài toán dòng cực đại đưa ra vấn đề: Lượ ngdòng cực đại như phương tiện vận tải dữ liệu chất lỏng



dòng cực đại như phươ ng tiện vận tải, dữ liệu, chất lỏng,…

có thể đi vào và đi ra mạng này trong một thờ i gian nhấtđịnh. Lượ ng dòng phụ thuộc vào ràng buộc tải năng trên tất cả

các cung của mạng. Đó là giớ i hạn tối đa hay giớ i hạn tải

năng trên dòng của mỗi cung. K ỹ thuật dòng cực đại cho phép chúng ta xác định lượ ng tối

đa c ó t hể di chuyển qua một mạng.

152

3.4.2. Mô tả dạng toán học của bài toán

Một đồ thị có hướ ng G (N,A) có tải năng tối đa trên các cunglà uij , (i,j)∈A, có thể bằng +∞. Dòng thực tế trên các cunglà 0≤ ≤ (i j) A Giả ử à là h i ú đặ biệ



là xij

, 0≤ xij

≤ uij

, (i,j)∈A. Giả sử so

và si

là hai nút đặc biệt,gọi tươ ng ứng là nút nguồn và nút hút.

Bài toán dòng cực đại là đi tìm xij thỏa mãn max ∑xi,si, i∈ N.Chính vì vậy, bài toán dòng cực đại là bài toán đi tìm dòng

thực tế trên cung sao cho tổng dòng đi vào nút hút là cựcđại.

153

3.4.3. Thuật toán dòng cực đại

Bướ c 1: Tìm bất k ỳ một đườ ng đi từ nút nguồn đến nút hút có cáctải năng trên dòng lớ n hơ n 0 đối vớ i tất cả các cung theođường đi Nếu không có đường đi nào như vậy phươn g á n tối



đườ ng đi. Nếu không có đườ ng đi nào như vậy, phươ n g á n tối

ưu đã đạt đượ c. Bướ c 2: Tìm tải năng nhỏ nhất của cung theo đườ ng đi lựa chọn

theo bướ c 1: Pf . Bướ c 3: Đối vớ i đườ ng đi lựa chọn ở bướ c 1, giảm tải năng dòng

trên tất cả cung theo hướ ng đi bằng một lượ ng Pf và tăng tảinăng dòng trên tất cả cung theo hướ ng đi ngượ c bằng mộtlượ ng Pf .

Quay lại bướ c 1. Bướ c 4: So sánh tải năng cuối và đầu tiên để xác định dòng di

chuyển v à lậ p mô hình mạng cuối cùng.

154

Ví dụ: Mạng giao thông

5 720

83

2 0

0

1

0



1

4

63

5

5

6

0

0

0

5

2

2 3

0

3

00

7 0

1

1

70

155

Bước 1: Đường 1-4-6-7

7



1

4

65

0

0

50

7

156

Bước 2: Tìm tải năng nhỏ trên đường 1-4-6-7: pf=5

70Pf=5



1

4

65 0

50

7

Pf 5

157

Bước 3: điều chỉnh dòng trên đường 1-4-6-7

75Giảm 5

Tăng 5



1

4

60 5

05

2

158

Bước lặp lần 1: 1-2-5-7: pf=3

5 720

83

2 0

0

1

0



1

4

63

5

0

6

5

5

0

2

2 3

0

3

05

7 0

1

1

20

159


5 723

50

2 0

3

1

3



1

4

63

2

0

6

5

5

0

2

2 3

0

3

05

7 0

1

1

20

160


5 723

20

2 3

3

1

5



1

4

63

2

0

3

5

5

0

2

2 0

3

3

05

7 0

1

1

23



162

Bước lặp lần 4: Không tồn tại đườngnào

5 723

10

2 3

3

2

7



1

4

63

2

0

0

7

5

0

2 0

3

05

4 3

006

Tối ưu

163

Bước 4: Xác định dòng tải năng cuốicùng trên mỗi cung

5 72

5

00

83

2

2 3

0

0

1

1

0



1

4

6

5 7

3

2

2

0

0

37

5

0

10

2

2 0

3

3

3

0

5

4 3

0

2

7

06

1

4

635

6

0

5

3

0

0

7 0

170

164

Kết quả cuối cùng

5 723 7



1

4

63

6

37

5

3

5

3

1

ĐIỀU HÀNH DỰ ÁN

CHƯƠ NG 4



BẰ NG PERT/CPM

K ết thúc chươ ng này, sinh viên có thể:1. Nắm đượ c các bướ c cơ bản của công việc lậ p sơ đồ PERT

2. Điều hành các dự án có thờ i gian hoạt động xác định vàngẫu nhiên

3. Thoả hiệ p thờ i gian-chi phí trong các dự án

166

4.1. Khái niệm và công dụng sơ đồPERT/CPM

CPM (Critical Path Method) là phươ ng pháp đườ ng găng đượ cHenry L.Gantt phát triển dướ i dạng biểu đồ Gantt như một côngcụ hỗ tr ợ cho công việc điều hành dự án từ năm 1918.



PERT (Project Evaluation and Review Technique): K ỹ thuật xemxét và đánh giá dự án và đượ c sử dụng vào cuối thậ p niên 1950.Mặc dầu PERT và CPM đượ c hình thành độc lậ p nhưng có chungmục đích và sử dụng các thuật ngữ giống nhau. Ngày nay, ngườ i ta đã k ết hợ p các điểm mạnh của mỗi k ỹ thuậtnhằm tạo r a một k ỹ thuật điều hành dự án có giá tr ị.Vậy, PERT/CPM là gì và ứng dụng nó trong thực tế như thế nào?

167

4.1.1. Một số khái niệm

PERT là một đồ thị có hướ ng G(N,A) liên thông, không có chutrình và có nút bắt đầu v à n ú t k ết thúc.

Dự án (project) là một tậ p hợ p các hoạt động (công việc) liên



ự (p j ) ộ ập ợp ạ ộ g ( g ệ )quan vớ i nhau và phải thực hiện theo một tr ật tự cho đến khi hoànthành toàn bộ dự án.

Hoạt động đượ c hiểu như là một công việc đòi hỏi thờ i gian và

nguồn lực để hoàn thành.Hoạt động ngay tr ướ c là những hoạt động phải đượ c hoàn thànhđể bắt đầu các hoạt động khác.

168

4.1.2. Công dụng của sơ đồ PERT/CPM

PERT/CPM cung cấ p các thông tin sau: Thờ i gian hoàn thành dự án mong muốn; Khả năng hoàn thành tr ướ c ngày chỉ định;



Những hoạt động găng có thể ảnh hưở ng tr ực tiế p đến thờ i gian hoànthành; Những hoạt động có thờ i gian dự tr ữ và có thể thêm nguồn lực cho

những hoạt động găng; Ngày bắt đầu v à k ết thúc dự án.

PERT/CPM đã đượ c sử dụng để xây dựng, điều hành thực hiện và kiểm tranhiều dự án khác nhau, như: Nghiên cứu và phát triển sản phẩm hay qui trình mớ i; Xây dựng các nhà máy, công trình và đườ ng xá;

Bảo dưỡ ng các thiết bị lớ n và phức tạ p; Thiết k ế và lắ p đặt các hệ thống mớ i; …

169

4.2. Điều hành dự án với thời gian hoạt độngxác định

4.2.1. Các bướ c vẽ sơ đồ PERT/CPM



4.2.2. CCáácc nguyênnguyên ttắắcc thithiếếtt llậậpp PERT/CPMPERT/CPM

4.2.3 Giải bằng máy tính

170

4.2.1. Các bước vẽ sơ đồ PERT

Bướ c 1: Xác định các hoạt động của dự án và dự kiến thờ i gianhoàn thành chúng;

ướ



B c 2: Thiết lậ p mạng dự án nhằm m ô tả các hoạt động và cáchoạt động ngay tr ướ c của các hoạt động như đã nêutrong bướ c 1;

Bướ c 3: Tính thờ i điểm khở i công sớ m (ES: Earliest Start ) và

hoàn thành sớ m (EF: Earliest Finish) cho mỗi hoạt động; Bướ c 4: Tính thờ i điểm hoàn thành muộn (LF: Latest Finish) và

thờ i điểm khở i công muộn (LS: Latest Start);

Bướ

c 5: Tính thờ i gian dự tr ữ (Slack) cho mỗi hoạt động, hoạtđộng găng và đườ ng găng (critical path); Bướ c 6 : Hình thành bảng lịch trình hoạt động.

171

Dự án mở r ộng trung tâm

Chủ một trung tâm mua sắm lậ p k ế hoạch hiện đại hóa và mở r ộng một tổ hợ p trung tâm mua sắm hiện tại. Dự án này dự địnhcung cấ p mặt bằng kinh doanh cho 8-10 doanh nghiệ p mớ i.

ồ ế ầ



Nguồn tài chính đã đượ c t h u xế p qua một nhà đầu tư tư nhân.Tất cả công việc còn lại đối vớ i ông chủ trung tâm này là đặt k ếhoạch, điều hành thực hiệnvà k iểm tr a dự án mở r ộng.

Sử dụng Pert để điều hành dự án mở r ộng trung tâm, gồm các bướ c như sau:

172

Bướ c 1: Xác định các hoạt động của dự án vàdự kiến thời gian hoàn thành chúng

Xác định tất cả các hoạt động của cả dự án;

Xác định mối quan hệ liên k ết giữa các hoạt động, tức quanhệ trình tự thực hiện chúng;



Dự kiến thờ i gian hoàn thành mỗi hoạt động.

Xác định các hoạt động ngay tr ướ c.

Đối vớ i dự án mở r ộng trung tâm, gồm các hoạt động, quan

hệ trình tự, hoạt động ngay tr ướ c v à t hờ i gian hoàn thành củatừng hoạt động như slide sau:



174

Bướ c 2 : Thiết lập mạng dự án

Mục tiêu: Mô tả bằng biểu đồ các hoạt động và các hoạt độngngay tr ướ c của dự án.

Mạng dự án bao gồm các nút và các cung.

ỗ ể ể



Mỗi cung để biểu thị một hoạt động (Activity On Arc:AOA)và mỗi nút biểu diễn quan hệ trình tự.

Hay: Mỗi nút có thể biểu thị một hoạt động (Activity On

Node: AON) và mỗi cung biểu diễn quan hệ trình tự. Nỗi nút thườ ng đượ c k ý h iệu bằng đườ ng tròn hay hình chữ

nhật.

Trên mỗi nút (ngoài tr ừ nút Start và Finish) thườ ng gồm cócác thông tin như slide sau:

175

Các thông tin trên mỗi nút

Thờ i điểm khở icông sớ m (ES) Thờ i điểm hoàn

thành sớ m (EF)



Thờ i điểm hoàn

thành muộn (LF)

Thờ i gian hoàn thànhhoạt động (t)

Ký hiệuhoạt động

Thờ i điểm khở i côngmuộn (LS)

176

Mạng dự án mở r ộng trung tâm mua sắm

E

1

F

4



D

3

G

14

C

4

H

12

I

2

B

6

A

5

Start Finish

177

Bướ c 3: Tính ES và EF cho mỗi hoạt động

Theo hướ ng tiến, tính ES và EF cho từng hoạt động theo cácqui tắc:

Thờ i điểm hoàn thành sớ m: EF=ES+t

Thời điể khởi ô ớ Thời điể khởi ô ớ ủ



Thờ i điểm khở i công sớ m: Thờ i điểm khở i công sớ m củamột hoạt động bằng giá tr ị lớ n nhất trong các thờ i điểmhoàn thành sớ m của tất cả các hoạt động ngay tr ướ c nó.

Công thức tính:ES j = Max{EFi} mọi i < j

Chú ý: Bất cứ hoạt động nào, nếu chỉ có một hoạt động ngaytr ướ c nó đều có thờ i điểm khở i công sớ m bằng thờ i điểmhoàn thành sớ m của hoạt động ngay tr ướ c nó.

178

Mạng dự án có ES và EF

E 5 6

1

F 6 10

4



D 5 8

3

G 10 24

14

C 5 9

4

H 9 21

12

I 24 26

2

B 0 6

6

A 0 5

5

Start Finish

179

Bướ c 4: Tính LF và LS

Theo hướ ng lùi, tính LF và LS cho từng hoạt động theo cácqui tắc:

Thời điểm hoàn thành muộn của hoạt động cuối cùng bằngể



Thờ i điểm hoàn thành muộn của hoạt động cuối cùng bằngthờ i điểm hoàn thành sớ m dự án.

Thờ i điểm khở i công muộn: LS=LF-t.

Thờ i điểm hoàn thành muộn của một hoạt động bằng giátr ị nhỏ nhất trong các thờ i điểm khở i công muộn của tất cảcác hoạt động ngay sau nó, công thức tính:

LFi = Min{LS j} mọi j>i

180

Mạng dự án có LS và LF

E 5 6

1 5 6

F 6 10

4 6 10

D 5 8 G 10 24A 0 5



D 5 8

3 7 10

G 10 24

14 10 24

C 5 94 8 12

H 9 2112 12 24

I 24 262 24 26

B 0 66 6 12

A 0 5

5 0 5

Start Finish

181

Bướ c 5 : Tính thời gian dự tr ữ cho mỗi hoạtđộng, hoạt động găng và đường găng

Thờ i gian dự tr ữ của một hoạt động là thờ i gian một hoạtđộng có thể chậm tr ễ mà không làm tăng thờ i gian hoànthành của dự án.

Thời gian dự trữ của một hoạt động được tính theo công thức



Thờ i gian dự tr ữ của một hoạt động đượ c tính theo công thứcsau: Slack=LS-ES=LF-EF

Hoạt động găng là hoạt động có thờ i gian dự tr ữ bằng 0.

Ví dụ: hoạt động A, E, F, G, I. Đườ ng găng là đườ ng đi bao gồm các hoạt động găng.

Ví dụ: A-E-F-G-I.

182

Bướ c 6 : Hình thành bảng lịch trình hoạt động

612660B

Có05500A

Đườ ng găngSlack LFEFLSESHoạt động



Có026262424I

32421129H

Có024241010G

Có0101066FCó06655E

210875D

312985C612660B

183

4.2.2. Các nguyên tắc thiết lập PERT/CPM

Nguyên Nguyên t t ắ ắ cc vvẽ ẽ : mỗi hoạt động ứng vớ i một nút. Ngoài ra, cần bổ sung nút bắt đầu (Start) và nút k ết thúc (Finish)

Nguyên Nguyên t t ắ ắ cc đ đ áánhnh s số ố ththứ ứ t t ự ự : Các nút phải đượ c đánh số thứ tự

từ trái sang phải từ trên xuống dưới



từ trái sang phải, từ trên xuống dướ i. Nguyên Nguyên t t ắ ắ cc g g ộộ p p vvàà t t ááchch viviệệcc

Những hoạt động cùng tính chất và đượ c thực hiện trong

cùng một thờ i gian thì có thể gộ p lại (nếu cần) thành mộthoạt động.

Nếu một số hoạt động không nhất thiết khở i công sau khihoàn thành toàn bộ hoạt động A mà phải khở i công khi A

xong từng phần th ì cần phải tách việc A.

184

4.3. Điều hành dự án với thời gian hoạt độngcó tính ngẫu nhiên

4.3.1. DDẫẫnn nhnhậậpp

4 3 2 ThThờờii giangian hohoạạtt đđộộngng ccóó ttíínhnh ngngẫẫuu nhiênnhiên



4.3.2. ThThờ ờ ii giangian hohoạạtt đđộộngng ccóó ttí í nhnh ngngẫẫuu nhiênnhiên

4.3.3. XXáácc đđịịnhnh đư đư ờ ờ ngng gănggăng

4.3.4. SSự ự thaythay đđổổii ththờ ờ ii giangian hohoàànn ththàànhnh ddự ự áánn

185

4.3.1. Dẫn nhập

Đối vớ i dự án lặ p đi lặ p lại, dựa vào dữ liệu quá khứ và kinhnghiệm, chúng ta có thể ướ c tính chính xác thờ i gian hoànthành của mỗi hoạt động.

Tuy nhiên đối với các dự án mới hay độc nhất ước tính thờiỗ ầ



Tuy nhiên, đối vớ i các dự án mớ i hay độc nhất, ướ c tính thờ igian hoàn thành của mỗi hoạt động có phần khó khăn.

Trong những tình huống này, thờ i gian hoàn thành của mỗi hoạtđộng có tính ngẫu nhiên và nó đượ c xem xét như các biến ngẫunhiên vớ i phân phối xác suất nhất định

Để điều hành những dự án này, ngoài việc biết các hoạt động,hoạt động ngay tr ướ c, tr ật tự các hoạt động, cần biết luật phân

phối xác suất và các tham số đặc tr ưng phân phối của thờ i gianhoạt động.

186

Dự án máy hút bụi Port -Vac

Công ty Daugherty đã sản xuất hệ thống hút bụi công nghiệ ptrong nhiều năm. Gần đây, một thành viên trong nhóm nghiêncứu sản phẩm đệ trình một báo cáo đề xuất công ty xem xét

việc sản xuất máy hút bụi không dây. Sản phẩm mới Porta-Vac,có thể đóng góp vào việc mở rộng kinh doanh trong thị trường



việc sản xuất máy hút bụi không dây. Sản phẩm mớ i Porta Vac,có thể đóng góp vào việc mở r ộng kinh doanh trong thị tr ườ nghộ gia đình. Bộ phận quản tr ị hy vọng r ằng nó có thể sản xuấtvớ i mức chi phí hợ p l ý v à sự tiện lợ i nhờ vào khả năng dễ xách

theo và không dây.Bộ phận quản tr ị muốn nghiên cứu tính khả thi của việc sảnxuất Porta-Vac. Nhằm hoàn thành việc nghiên cứu, công ty phải thu thậ p thông tin từ các bộ phận R&D, thử nghiệm sản

phẩm, sản xuất, dự trù chi phí và nghiên cứu thị tr ườ ng.

187

Xác định các hoạt động và các hoạt động ngaytr ước

-K ế hoạch nghiên cứu thị tr ườ ngB

-Phát triển thiết k ế sản phẩmA

Hoạt độngngay trướ cMô tảHoạt động



F, G, IChuẩn bị báo cáo cuối cùngJ

HChuẩn bị báo cáo định giá và dự báoI

B, EHoàn thành điều tra thị tr ườ ngH

DThử nghiệm sản phẩm sơ bộG

CChuẩn bị dự tr ù chi phíFAChuẩn bị brochure tiế p thịE

AHình thàn h mô hình nguyên mẫuD

AChuẩn bị qui tr ình (thiết k ế chế tạo)C

g g

188

4.3.2. Thời gian hoạt động có tính ngẫu nhiên

Khi có mạng dự án cần tính thờ i gian hoàn thành mỗi hoạtđộng.

Khi thờ i gian hoạt động có yếu tố ngẫu nhiên, cần ướ c tính 3

thờ i gian: lạc quan, hợ p lý nhất và bi quan.



g ạ q , ợp ý q Phươ ng pháp điều hành dự án có tính ngẫu nhiên là phươ ng

pháp PERT ba ướ c lượ ng (PERT three estimate method).

Phươ ng pháp này sử dụng 3 loại thờ i gian ướ c lượ ng:Thờ i gian l ạc quan a (Optimistic time)

Thờ i gian hợ p lý nhấ t m (Most probable time)

Thờ

i gian bi quan b (Pessimistic time)

189

Các loại thời gian hoạt động có tính ngẫu nhiên

Thờ i gian l ạc quan (a) là thờ i gian hoàn thành hoạt động tốithiểu nếu mọi việc tiến triển r ất l ý tưở ng. Đây chính là thờ igian cần để hoàn thành hoạt động trong điều kiện thuận lợ i

nhất. Trên đồ thị phân phối xác suất, thờ i gian này nằm ở cậnd ới



ị p p , g y ậdướ i.

Thờ i gian hợ p lý nhấ t (m) là thờ i gian hoàn thành hoạt độngcó khả năng xảy ra nhất trong điều kiện thông thườ ng. Đâychính là thờ i gian có xác suất lớ n nhất, nằm ở đỉnh cao nhấttrong đồ thị phân phối xác suất.

Thờ i gian bi quan (b) là thờ i gian hoàn thành hoạt động tối

đa trong điều kiện khó khăn nhất. Thờ i gian này nằm ở cậntrên trong đồ thị phân phối xác suất.

190

Đồ thị thời gian hoạt động có tính ngẫu nhiên

Thờ i giantrung bình (t)

Thờ i gianhợ p l ý n hất



Thờ i gian hoạt động

Thờ i gian

bi quanThờ i

gian lạcquan

191

Thời gian hoạt động của dự án Port-Vac

51,51B

1254A

Thờ i gian biquan (b)

Thờ i gian hợ p lýnhất (m)

Thờ i gianlạc quan (a)

Hoạtđộng



321J

2,521,5I7,53,52,5H

4,531,5G

2,521,5F432E

1143D

432C



193

Kỳ vọng và phương sai thời gian hoạt độngcủa dự án Porta-Vac

0,113C

0,442B

1,786A

Phươ ng saiThờ i gian k ỳ vọngHoạt động



0,112J

0,032I

0,694H

0,253G

0,032F

0,113E

1,785D

,

194

Mạng dự án Porta-Vac với thời gian có tínhngẫu nhiên

C

3

F

2

D5

G3

J2

A6 Finish



5 3

E3

H4

2

B

2

6

Start

Finish

I2

195

Chú ý

Khi thờ i gian hoàn thành hoạt động có tính ngẫu nhiên, việctính toán đườ ng găng chỉ xác định đượ c thờ i gian k ỳ vọng(thờ i gian trung bình) để hoàn thành dự án. Thờ i gian thực tế

để hoàn thành dự án có thể khác. Các hoạt động có phương sai càng lớn chứng tỏ một mức độ



Các hoạt động có phươ ng sai càng lớ n chứng tỏ một mức độkhông ổn định càng cao.

Ngườ i quản tr ị dự án nên giám sát tiến độ của bất k ỳ hoạtđộng có phươ ng sai lớ n ngay cả thờ i gian k ỳ vọng không xácđịnh đượ c hoạt động đó l à h oạt động găng.



197

4.3.3. Xác định đường găng

Theo hướ ng tiến của sơ đồ mạng, tính toán thờ i điểm khở icông sớ m (ES) và thờ i điểm hoàn thành sớ m (EF)

C 6 9

3

F 9 11

2



D 6 11

5

G 11 14

3

E 6 9

3

H 9 13

4

J 15 17

2

B 0 2

2

A 0 6

6

Start

Finish

I 13 15

2

198

4.3.3. Xác định đường găng

Theo hướ ng lùi, tính toán đượ c LS và LF

C 6 9

3 10 13

F 9 11

2 13 15



D 6 11

5 7 12

G 11 14

3 12 15

E 6 9

3 6 9

H 9 13

4 9 13

J 15 17

2 15 17

B 0 2

2 7 9

A 0 6

6 0 6

Start

Finish

I 13 15

2 13 15

199

Lịch trình hoạt động của dự án

4139106C

79270B

Có06600A




Có017171515J Có015151313I

Có0131399H

115141211G41511139F

Có09966E

1121176D

200

4.3.4. Sự thay đổi thời gian hoàn thành dự án

Sự thay đổi thờ i gian hoàn thành của các hoạt động găng sẽ thay đổi thờ i gian hoàn thành toàn bộ dự án.

Sự thay đổi thờ i gian hoàn thành của các hoạt động không

găng thườ ng không có tác động đến thờ i gian hoàn thành dựán Tuy nhiên nếu có một hoạt động không găng bị trì hoãn



án. Tuy nhiên, nếu có một hoạt động không găng bị trì hoãnvừa đủ để vượ t quá thờ i gian dự tr ữ thì hoạt động này có thểtr ở thành hoạt động găng và thành một nút trong đườ ng găngmớ i và ảnh hưở ng đến thờ i gian hoàn thành dự án.

201


Gọi T là tổng thờ i gian cần có để hoàn thành dự án. Giá tr ịk ỳ vọng của T bằng tổng giá tr ị thờ i gian k ỳ vọng của cáchoạt động găng:

E(T)= tA+tE+tH+tI+t j=6+3+4+2+2=17 Phươ ng sai về thờ i gian hoàn thành dự án bằng tổng phươ ng

ề



sai về thờ i gian các hoạt động trên đườ ng găng:σ2=σ2

A+σ2E+σ2

H+σ2I+σ2

J=1,78+0,11+0,69+0,03+0,11=2,72 Độ lệch chuẩn σ về thờ i gian hoàn thành dự án: σ=1,65

202


Giả thiết r ằng thờ i gian hoàn thành dự án (T) tuân thủ theo phân phối chuẩn vớ i k ỳ vọng E(T) và phươ ng sai σ2



Thờ i gian

hoàn thành k ỳ vọng

Thờ i gian

σ=1,65

T

203


Bằng phân phối này, có thể tính toán xác suất thỏa mãn mộtthờ i hạn hoàn thành dự án nhất định.

Ví dụ, bộ phận quản tr ị đã dành cho dự án Porta-Vac thờ i gian 20tuần. Sử dụng phân phối xác suất chuẩn, chúng ta đang xácđịnh xác suất để T = 20.

Giá trị z của phân phối xác suất chuẩn tại T=20 là



Giá tr ị z của phân phối xác suất chuẩn tại T=20 là

82,165,1

1720

z =

−

=

Tra bảng phân phối chuẩn vớ i giá tr ị z, xác định đượ c xác suấtđể dự án hoàn thành trong thờ i hạn 20 tuần là 0,4656 + 0,5 =

0,9656.

204


Sự thay đổi thờ i gian hoạt động có thể làm cho dự án kéo dài quá 17 tuầnnhưng gần như chắc chắn l à dự án sẽ hoàn thành tr ướ c thờ i hạn 20 tuần

Xác suất của thờ i hạn hoàn thành dự án tr ướ c 20 tuần (Vì P(T≤20)=0,9656)



17Thờ i gian

σ=1,65

T

P(T≤20)

T=20

Z=(20-17)/1,65 =1,82

205

4.4. Thoả hiệp thời gian-chi phí

Trong một số tr ườ ng hợ p cần phải rút ngắn thờ i gian hoạtthành dự án.

Trong những tr ườ ng hợ p này, chỉ có thể thực hiện rút ngắn

thờ i gian hoạt động cần phải tăng chi phí. Thực tế, các nhà quản trị phải ra quyết định về chấp nhận chi



Thực tế, các nhà quản tr ị phải ra quyết định về chấ p nhận chi phí tăng thêm để có đượ c thờ i gian hoạt động rút ngắn như

một thỏa hiệ p. Việc rút ngắn thờ i gian hoạt động đượ c coi như là thỏa hiệ p

thờ i gian - chi phí.

Vấn đề đặt ra thoả hiệ p những hoạt động nào và như thế nào

có hiệu quả nhất?

206

4.4.1. Dự án bảo dưỡng hai cỗ máy

Nghiên cứu dự án bảo dưỡ ng hai cỗ máy gồm có 5 hoạt động. Vì là hoạtđộng thườ ng xuyên nên bộ phận quản tr ị có kinh nghiệm trong việc ướ ctính thờ i gian. Do vậy, mỗi hoạt động chỉ có một thờ i gian ướ c tính

Danh mục các hoạt động của dự án bảo dưỡ ng

Thờ i gianHoạt độngMô tảHoạt động



2B, DKiểm tra toàn hệ thốngE3CĐiều chỉnh máy IID

6-Kiểm tra lại máy IIC

3AĐiều chỉnh máy IB7-Kiểm tra lại máy IA

k ỳ vọng (ngày)ngay trướ cMô tảHoạt động

207

Mạng dự án bảo dưỡng hai cỗ máy

A 0 7

7

B 7 10

3



C 0 6

6

D 6 9

3

E 10 12

2Start Finish

208

Lịch trình hoạt động của dự án

Đườ ng găng đượ c xác định là đườ ng đi (A-B-E), tổng thờ igian hoàn thành dự án là 12 ngày.

Lịch trình hoạt động của dự án bảo dưỡ ng hai cỗ máy

Có07700A




Có012121010E

110976D

17610C

Có0101077B

Có07700A

209

4.4.2. Thoả hiệp thời gian - chi phí

Giả sử cần hoàn thành dự án bảo dưỡ ng trong 10 ngày.

Để rút ngắn thờ i gian hoàn thành dự án theo mong muốn cầnrút ngắn thờ i gian hoàn thành của một số hoạt động chọn lọc.

Để rút ngắn thờ i gian hoàn thành của mỗi hoạt động hoạt độngcủa có các nguồn lực bổ sung thường dẫn đến chi phí dự án gia



của có các nguồn lực bổ sung thườ ng dẫn đến chi phí dự án giatăng.

Xác định các hoạt động đòi hỏi ít chi phí nhất để thỏa hiệ p vàchỉ thỏa hiệ p những hoạt động chỉ bằng khoảng thờ i gian cầnthiết để đáp ứng thờ i gian hoàn thành dự án theo mong muốn.

210


Nhằm thoả hiệ p thờ i gian hoạt động, cần có các thông tin:

Thờ i gian hoàn thành của mỗi hoạt động theo các điều kiện khác nhau:

ti: : thờ i gian bình thườ ng của hoạt động i.

t’i : thờ i gian theo thỏa hiệ p cao nhất của hoạt động i .→ Mi : mức rút giảm thờ i gian tối đa có thể của hoạt động i theo thỏa hiệ p:



i

Mi=ti-t’i

Chi phí cho mỗi hoạt động theo thờ i gian khác nhau:

Ci: Chi phí của hoạt động i theo thờ i gian hoạt động bình thườ ng

C’i: Chi phí của hoạt động i theo thỏa hiệ p cao nhất Chi phí thỏa hiệ p K i của mỗi hoạt động theo đơ n vị thờ i gian:

i

i'i

i M

CCK

−=

211


Dữ liệu về hoạt động bình thườ ng và thoả hiệ p của dự án bảodưỡ ng 2 cỗ máy

Thoả hiệ pBình

thườngThoảhiệp

Bìnhthường

K iMi

Tổng chi phí ($)Thờ i gian (ngày)Hoạtđộng



31001700

250155030012E

150250020013D

200290050046C150135020023B

100380050047A

thườ nghiệ pthườ ng

212


Để rút ngắn thờ i gian hoạt động cần chú ý các hoạt động găng(A,B,E)

Để rút ngắn thờ i gian vớ i chi phí thoả hiệ p thấ p nhất cần xemxét các hoạt động có K i nhỏ và thờ i gian tối đa có thể thoảhiệp.



hiệ p.

Vậy, để rút ngắn thờ i gian hoàn thành dự án 2 ngày cần tăng

chi phí cho hoạt động găng A. Khi đó chi phí tăng thêm sẽ là 2x100=200$

Rút ngắn thờ i gian hoạt động D: 1 ngày 150$

Tổng chi phí cho hoàn thành toàn bộ dự án sẽ là1700+350=20500$

MÔ HÌNH HÀNG CHỜ

Chươ ng 5



214

5.1. Dạng bài toán thường gặp trong kinh tế vàphương hướng giải quyết

Trong sinh hoạt và các hoạt động sản xuất thườ ng gặ p nhiều hệthống mang đặc tr ưng đám đông:

Nhà ga;

Bến xe; Tr ạm bán xăng;



Các cửa hàng;

Các khách sạn…Có thể mô tả các hệ thống này thành những bài toán và tìm phươ ng hướ ng giải quyết ?

215

5.1.1. Bài toán

Trong hệ thống phục vụ thườ ng diễn ra 2 quá trình:Quá trình nảy sinh các yêu cầuQuá trình phục vụ các yêu cầu.

Hai tình tr ạng:Khả năng phục vụ không đáp ứng yêu cầuKhả năng phục vụ của hệ thống vượt quá yêu cầu



Khả năng phục vụ của hệ thống vượ t quá yêu cầuCả hai tình tr ạng trên đều gây nên thiệt hại về mặt kinh tế

Một bài toán đặt ra là phân tích bản chất của các quátrình diễn ra trong hệ thống và thiết lậ p mối quanhệ về lượ ng giữa các đặt tr ưng của các quá trình

ấy để tính toán, phân tích và đưa ra quyết địnhnhằm điều khiển hệ thống hoạt động có hiệu quả.

216

5.1.2. Phương hướng chung để giải bài toán

Đườ ng lối chung của phươ ng pháp giải gồm các bướ c:

Bướ c 1: Phân tích hệ thống mà chủ yếu là phân tích tính chấtcủa dòng vào và các tr ạng thái của hệ thống;

Bướ c 2: Thiết lậ p hệ phươ ng trình tr ạng thái để giải ra các xácsuất trạng thái;



suất tr ạng thái;

Bướ c 3: Giải hệ phươ ng trình để tìm ra các xác suất tr ạng thái;Bướ c 4: Tính toán, phân tích các chỉ tiêu, trên cơ sở đó đưa ra

nhận xét và k ết luận.

217


CácThành phần

cơ bản

Dòng vào Hàng chờ Kênh Dòng raNguyên tắc

phục vụ



phục vụ

Dòng vào Dòng ra

218

Dòng yêu cầu đến hệ thống (dòng vào)

Dòng yêu cầu đến hệ thống là dòng các đối tượ ng đi đến hệthống và đòi hỏi hệ thống phục vụ.Ví dụ:

Dòng xe đến tr ạm xăng để mua xăng Dòng khách đến nhà hàng để đượ c phục vụ Dòng tàu đến cảng để bốc dỡ hàng hoá



Dòng tàu đến cảng để bốc dỡ hàng hoá… Dòng yêu cầu đến hệ thống là dòng biến cố ngẫu nhiên và tuân

theo những phân phối xác suất nhất định, như phân phốiPoisson, phân phối Erlang, phân phối đều.

Trong kinh tế, các dòng vào thườ ng tuân theo phân phốiPoisson.

219

Dòng Poisson có 3 tính chất sau

Không hậu quả Đơ n nhất Dừng

Nếu dòng vào là dòng tối giản thì: !k

ae

)( p

k a

k

−

=τ



số yêu cầu trung bình xuất hiện trong từngkhoảng thờ i gian quan sát τ.a:

số yêu cầu xuất hiện trong khoảng thờ i gianquan sát t

K:

Xác suất trong khoảng thờ i gian t có k yêu cầu

xuất hiện

Pk (t):Trong đó:

220

Hàng chờ

Là tậ p hợ p các yêu cầu sắ p xế p theo một tr ật tự nào đó đểchờ đượ c phục vụ.

Ví d ụ: hàng ng ườ i chờ mua vé, hàng ng ườ i chờ công

chứ ng… Tuy nhiên, trong thực tế cũng có những hệ thống không có

hàng chờ



hàng chờ

Ví dụ: Khách sạn, tr ạm điện thoại tự động...

H à n g c

h ờ

221

Kênh phục vụ

Kênh phục vụ là những thiết bị k ỹ thuật, con ngườ i hoặc tổhợ p các thiết bị k ỹ thuật và con ngườ i mà hệ thống dùng để phục vụ các yêu cầu đến hệ thống.

Một đặc tr ưng quan tr ọng nhất của các kênh phục vụ là thờ igian phục vụ đó là thời gian ít nhất mỗi kênh phải tiêu hao



gian phục vụ, đó là thờ i gian ít nhất mỗi kênh phải tiêu haođể phục vụ xong một yêu cầu. Nó là một đại lượ ng ngẫunhiên tuân theo một qui luật phân phối xác suất nhất địnhtrong đó qui luật phân phối mũ là phổ biến nhất.

222

Dòng ra

Là dòng các yêu cầu đi ra khỏi hệ thống bao gồm các yêu cầuđã đượ c phục vụ và các yêu cầu bị từ chối.

Dòng vào Dòng ra



Chú ý

Nếu hệ thống nhiều pha thì dòng ra của pha nàysẽ tr ở thành dòng vào của pha khác

g g

223

Nguyên tắc phục vụ của hệ thống

Đó là cách thức nhận các yêu cầu vào các kênh phục vụ. Nộidung nguyên tắc phục vụ:

Tr ườ ng hợ p nào thì các yêu cầu đượ c nhận vào phục vụ;

Cách thức phân bố các yêu cầu vào các kênh như thếnào;

Trường hợp nào yêu cầu bị từ chối hoặc phải chờ và giới



Tr ườ ng hợ p nào yêu cầu bị từ chối hoặc phải chờ và giớ i

hạn cho phép của hàng chờ hoặc giớ i hạn của thờ i gianchờ .

Chú ý

Thườ ng xét nguyên tắc phục vụ: đến tr ướ c phục vụ tr ướ c

224

5.3. Các điều kiện cần thiết để giải bài toán

Mỗi bài toán có đặc thù riêng, dòng vào, dòng ra, thờ i gian phục vụ… tuân theo các phân phối khác nhau.

Chính vì vậy, không có công thức tính chung cho mọi bài toán

mà phải có phươ ng hướ ng giải quyết riêng.Vấn đề đặt ra:

Tìm những điều kiện riêng giả thiết riêng đề thiết lập hệ



Tìm những điều kiện riêng, giả thiết riêng đề thiết lậ p hệ

công thức riêng cho từng bài toán. Có thể đánh giá những giả thiết đó trong điều kiện cụ thể

bằng những tiêu chuẩn nào?

225

5.3.1. Các điều kiện cần thiết để giải bài toán

Điều kiện 1: dòng vào hệ thống phải là dòng tối giản hoặc xấ p xỉ tốigiản.

Điều kiện 2: khoảng thờ i gian (T) giữa 2 lần xuất hiện liên tiế p cácyêu cầu là đại lượ ng ngẫu nhiên tuân theo qui luật hàm số mũ. Như

vậy:Hàm mật độ xác suất có dạng f(t) = λ.e-λt

Hàm phân phối xác suất có dạng F(t) =1 e-λt



Hàm phân phối xác suất có dạng F(t) =1-e

Vớ i λ là cườ ng độ dòng vào. Điều kiện 3: Thờ i gian phục vụ của các kênh cũng là đại lượ ng ngẫu

nhiên tuân theo qui luật hàm số mũ. Như vậy:

Hàm mật độ xác suất có dạng ϕ(t) = μ.e-μt

Hàm phân phối xác suất có dạng Φ(t) = 1 - e-μt

Vớ i μ là năng suất phục vụ của các kênh.

226

5.3.2. Kiểm định dòng vào bằng tiêu chuẩn χ2

Bướ c 1: Xây dựng cặ p giả thuyết:H0: dòng vào là dòng PoissonH1: dòng vào không phải là dòng Poisson

Bướ c 2: Phân khoảng thờ i gian dự định quan sát dòng yêu cầuđến hệ thống thành n khoảng thờ i gian nhỏ bằng nhau(n≥50) sau đó tiến hành quan sát số yêu cầu xuất hiện trong

ấ ố



từng khoảng thờ i gian nhỏ ấy. Số liệu thu đượ c trình bày

như sau:

nm...n3n2n1Số khoảng thờ i gian có số yêu cầu xuất hiệntươ ng ứng (ni)

xm...x3x2x1Số yêu cầu xuất hiện trong từng khoảng thờ i

gian nhỏ (xi)

227

5.3.2. Kiểm định…

Tính giá tr ị quan sát của đại lượ ng ngẫu nhiên χ2 theo côngthức:

∑′

=′

′−=χ

m

1i i

2ii2

qs

n

)nn(

Trong đ ó:

n’ là tần số lý thuyết tính theo công thức n’ = n p với



n i là tần số lý thuyết tính theo công thức n i = n.pxi, vớ i

pxi xác suất xuất hiện xi yêu cầu đượ c tính theo công thứcPoisson pxi = e-aaxi/xi!, vớ i a là số yêu cầu trung bình xuấthiện trong khoảng thờ i gian quan sát, a=∑xini/∑ni

m’ là số các giá tr ị quan sát đã đượ c điều chỉnh theo yêu

cầu các n’i ≥5.

228

5.3.2. Kiểm định…

Bướ c 3: Cho mức ý ngh ĩ a α, sử dụng bảng phân bố χ2 vớ imức ý ngh ĩ a α và bậc tự do (m’-2), chúng ta đượ c χ2

(α,m’-2)

Bướ c 4: So sánh giá tr ị quan sát χ2qs và giá tr ị χ2

(α,m’-2).

Nếu χ2qs > χ2

(α,m’-2).

K ết luận: Bác bỏ H0 tức dòng yêu cầu đến hệ thống



không phải là dòng Poisson vớ i mức ý ngh ĩ a α

Nếu χ2qs <χ2

(α,m’-2)

K ết luận: Dòng yêu cầu đến hệ thống là dòng Poisson vớ imức ý ngh ĩ a α.

229

5.4. Qui tắc thiết lập hệ phương trình tr ạng thái

Trong quá trình hoạt động, tr ạng thái của hệ thống luôn thayđổi.

Chính vì vậy:

Cần phải mô tả quá trình thay đổi này bằng sơ đồ;Hình thành qui tắc thiết lậ p hệ phươ ng trình tr ạng thái;

Tính toán các xác suất trạng thái



Tính toán các xác suất tr ạng thái.

230

5.4.1. Quá trình thay đổi tr ạng thái và sơ đồ tr ạng thái

Quá trình thay đổi tr ạng thái của hệ thống là quá trình thayđổi số kênh bận hay số yêu cầu có trong hệ thống.

Các tr ạng thái của quá trình đượ c ký hiệu Xk (vớ i k= 0,…,n).

Quá trình thay đổi tr ạng thái của hệ thống có thể đượ c thểhiện bằng một sơ đồ gọi là sơ đồ tr ạng thái. Sơ đồ tr ạng thái của một hệ thống phục vụ gồm các hình chữ

nhật tượng trưng cho các trạng thái có thể có của hệ thống và



nhật tượ ng tr ưng cho các tr ạng thái có thể có của hệ thống và

các mũi tên nối các hình chữ nhật tượ ng tr ưng cho các quátrình chuyển từ tr ạng thái này sang tr ạng thái khác của hệthống. Trên các mũi tên có ghi cườ ng độ của dòng yêu cầutác động làm thay đổi các tr ạng thái của hệ thống.

231

Ví dụ:

Một cửa hàng có 2 nhân viên bán hàng. Nếu xét quá trình thay đổi tr ạng thái của cửa hàng là quá trình thay đổi

số nhân viên bận, cửa hàng có 3 tr ạng thái:

X0 là tr ạng thái cửa hàng cả hai nhân viên r ỗi,

X1 là tr ạng thái cửa hàng có 1 nhân viên bận,

X2 là tr ạng thái cửa hàng có 2 nhân viên bận.

Sơ đồ tr ạng thái của cửa hàng:



ạ g g

X0

λ01(t)

λ10(t)

X1

λ12(t)

λ21(t)

X2

Trong đó:λ01(t), λ12(t): Là cườ ng độ dòngkhách hàng vào cửa hàng.

λ10(t), λ21(t): Là cườ ng độ phục vụcủa cửa hàng.

232

5.4.2. Qui tắc thiết lập hệ phương trình tr ạng thái

Gọi X j và Xk là 2 tr ạng thái liên tiế p củahệ thống và X là trạng thái đang xét qui

Đạo hàm bậc nhất theo thờ i gian của các xác suất tr ạngthái bằng tổng đại số của tích giữa cườ ng độ dòng hướ ng

theo mũi tên và xác suất tr ạng thái mà mũi tên xuất phát.

Qui tắc



hệ thống và Xk là tr ạng thái đang xét, qui

ướ c như sau:Việc chuyển từ tr ạng thái X j sang

Xk đại lượ ng tích mang dấu dươ ng(+).

Việc chuyển từ tr ạng thái Xk sangX j đại lượ ng tích mang dấu âm (-).

Hệ phươ ng trình tr ạng thái

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

λ−λ=′

∑

∑∑

=

≠≠

1)t( p

)t( p)t()t( p)t()t( p

n

0k k

k jk kj

jk j jk k

233

5.4.3. Quá trình hủy và sinh

Sơ đồ tr ạng thái của quá trình hủy và sinh:

Trong đó:

X0

λ0(t)

μ1(t)

X1

λ1(t)

μ2(t)Xk

λk (t)

μk+1(t)

Xn-1

λn-1(t)

μn(t)

λk-1(t)

μk (t)

λn-2(t)

μn-1(t)

Xn

• • •

• • •

• • •

• • •



g

• λi(t) là cườ ng độ dòng vào hệ thống;• μ j(t) là cườ ng độ phục vụ của hệ thống.

Các trạng thái đều có 4 mũi tên liên hệtrừ 2 trạng thái biên chỉ có 2 mũi tên.Chú ý

234

5.4.3. Quá trình hủy và sinh

Hệ phươ ng trình tr ạng thái của quá trình hủy và sinh

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=μ+λ−μ−λ=′

μ+λ−=′

++−− n,1k )t( p).t()t( p).t()t( p).t()t( p).t()t( p

)t( p).t()t( p).t()t( p

1k 1k k k k k 1k 1k k

11000

ΜΜΜ



⎪⎪⎪⎪

⎩

⎨

=

μ−λ=′

∑=

−−

1)t( p

)t( p).t()t( p).t()t( pn

0k k

nn1n1nn

ΜΜΜ

235

Hệ phương trình tr ạng thái của quá trình hủy và sinh

Vớ i dòng tối giản thì λk (t) = λk , μk (t) =μk và Pk (t)=Pk , vậy:

⎪⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎧

μ−λ=

=μ+λ−μ−λ=

μ+λ−=

−−

++−−

p p0

n,1k p p p p0

p p0

nnn1n1n

1k 1k k k k k 1k 1k

1100

ΜΜΜ

ΜΜΜ



⎪

⎪

⎩=

∑=

1 p0k

k

∏−

= +μ

λ=

1k

0i 1i

i0k p p

∑∏=

−

= +μ

λ+

=n

1k

1k

0i 1i

i

0

1

1 pK ết quả

236

5.5. Một số bài toán thường gặp trong kinh tế

Trong kinh tế có r ất nhiều hệ thống phục vụ mang đặc tr ưngđám đông nhưng có thể khái quát thành ba dạng sau:

Hệ thống từ chối

Hệ thống chờ thuần nhấtHệ thống chờ hạn chế



Mỗi hệ thống này có đặc tr ưng như thế nào và phân tíchchúng bằng những chỉ tiêu nào?

237

5.5.1. Hệ thống từ chối cổ điển éc- lăng

Trong thực tế sinh hoạt và hoạt động sản xuất , nhiều hệthống thuộc hệ thống từ chối này.

Vậy, Mô tả hệ thống này thành dạng tổng quát như thế nào?

Sơ đồ tr ạng thái và công thức tính các xác suất tr ạng thái rasao?



sao?

Hệ thống chỉ tiêu phân tích gồm những chỉ tiêu gì?

238

a. Bài toán

Một hệ thống có n kênh phục vụ, năng suất như nhau và bằng μ. Dòng yêu cầu đến hệ thống là dòng tối giản vớ i cườ ng độ λ.Thờ i gian phục vụ của các kênh là đại lượ ng ngẫu nhiên tuân

theo qui luật hàm số mũ vớ i tham số μ. Hệ thống phục vụ theonguyên tắc: mỗi một yêu cầu đến hệ thống nếu gặ p lúc trong hệthống có ít nhất một kênh r ỗi thì đượ c nhận vào phục vụ, ngượ clại, mọi kênh đều bận thì bị từ chối và đi ra khỏi hệ thống.



g

Hãy thiết lậ p hệ thống chỉ tiêu để phân tích đánh giá tìnhhình hoạt động của hệ thống.

239

b. Sơ đồ tr ạng thái và xác suất tr ạng thái

Theo giả thiết bài toán, hệ thống có các tr ạng thái sau: X0 là tr ạng thái trong hệ thống không có yêu cầu;

Xk (k=1,…,n) là tr ạng thái hệ thống có k kênh bận.

Sơ đồ tr ạng thái như sau:

X0

λ

X1

λ

Xk

λ

Xn-1

λλ λ

Xn• • •

• • •

• • •

• • •



)( p

!k

p 0

k

k

μ

λ=α

α=

∑=α

=n

0k

k 0

!k

1 p

μ 2μ (k+1)μ nμk μ (n-1)μ

240

c. Hệ thống chỉ tiêu phân tích tình hình hoạt động

01. Xác suất trong hệ thống không có yêu cầu (P0)Phản ảnh khả năng để mọi kênh đều r ỗi, đồng thờ i cho biết tỷlệ thờ i gian mọi kênh đều r ỗi so vớ i toàn bộ thờ i gian hoạtđộng của hệ thống.

Công thức tính như sau:∑

=

α= n

0k

k 0

!k

1

p

02 Xác suất từ chối yêu cầu (Ptc)



02. Xác suất từ chối yêu cầu (Ptc)

Cho biết khả năng một yêu cầu đến hệ thống bị từ chối, đồng thờ i còncho biết tỷ lệ số yêu cầu đến hệ thống bị từ chối so vớ i toàn bộ số yêucầu đến hệ thống.

Công thức tính như sau:

0

n

tc p!n

p α=

241

c. Hệ thống chỉ tiêu…

03. Xác suất phục vụ yêu cầu (Pv)Cho biết khả năng một yêu cầu đến hệ thống đượ c nhậnvào phục vụ, đồng thờ i còn cho biết tỷ lệ số yêu cầu đến

hệ thống đượ c phục vụ.Công thức tính: Pv = 1- Ptc

04. Số trung bình các kênh bận (Lb)



v

n

0k k b pkpL α== ∑

=

Cho biết trong hệ thống trung bình có bao nhiêu kênh bận.Công thức tính:

242


05. Số trung bình các kênh rỗi (nr)Chỉ tiêu này cho biết trong hệ thống trung bình có

bao nhiêu kênh không làm việc.

Công thức tính: nr =n-L b

06. Hệ số các kênh bận (K b)



Chỉ tiêu này cho biết tỷ lệ số kênh của hệ thống đượ c huyđộng để phục vụ các yêu cầu.

Công thức tính: K b=L b/n

243


07. Hệ số kênh rỗi (K r)Cho biết tỷ lệ số kênh r ỗi so vớ i toàn bộ số kênh củahệ thống.

Công thức tính: K r =nr /n08. Tổng chi phí và tổn thất (TC)

Cho biết toàn bộ chi phí cho các kênh làm việc, các kênh



bận và tổn thất do các yêu cầu bị từ chối.Công thức tính: TC=T(L bC b+nr Cr +λ ptcCtc)Trong đó:

C b, Cr là chi phí bình quân cho một kênh bận, kênh r ỗi trong một đơ n

vị thờ i gian;Ctc: tổn thất do từ chối một yêu cầu trong một đơ n vị thờ i gian.

244


09. Doanh thu (D)Phản ảnh toàn bộ k ết quả thu đượ c do phục vụ các

yêu cầu.

Công thức tính: D = T. λ.Pv.d10. Hiệu quả kinh tế (E)

Cho biết trong thờ i gian hoạt động sau khi đã tr ừ



chi phí và tổn thất, hệ thống còn thu đượ c mộtlượ ng giá tr ị là bao nhiêu.

Công thức tính: E = D-TC

245

Ví dụ

Một tr ạm điện thoại tự động có khả năng phục vụ đống thờ i 6yêu cầu đàm thoại. Trung bình một cuộc đàm thoại mất 1.5 phút. Dòng yêu cầu đàm thoại đến tr ạm giả thiết là dòng tốigiản có cườ ng độ vớ i 4 yêu cầu mỗi phút.

Hãy xây dựng hệ thống chỉ tiêu dánh giá tình hình hoạtđộng của tr ạm.

Giải



Tr ạm điện thoại đượ c xem như hệ thống từ chối cổ điển.

Cườ ng độ dòng vào là λ=4yêu cầu/phút

Năng suất phục vụ là μ=1/w b =1/1,5 yêu cầu/phút

Như vậy, α=λ/μ =6

246

Ví dụ

0041,06,244

1

!k 6

1

!k

1 p

6

0k

k n

0k

k 0 ===α

=

∑∑==

265,00041,0!6

6 p!n

p6

0

n

tc ==α=

Pv=1-ptc=1-0,265=0,735



v ptc , ,

L b=α pv=6x0,735=4,41nr =n-L b=6-4,41=1,59K b=L b/n=4,41/6=0,735 hay 73,5%K

r =100-K

r =26,5%

247

5.5.2. Hệ thống chờ thuần nhất

Trong thực tế sinh hoạt và hoạt động sản xuất , nhiều hệthống thuộc hệ thống chờ thuần nhất này.

Vậy,

Mô tả hệ thống này thành dạng tổng quát như thế nào?





248

a. Bài toán

Một hệ thống có n kênh phục vụ, năng suất như nhau và bằngμ. Dòng yêu cầu đến hệ thống là dòng tối giản vớ i cườ ng độ λ.Thờ i gian phục vụ của các kênh tuân theo qui luật hàm số mũvớ i tham số μ. Hệ thống phục vụ theo nguyên tắc: mỗi một yêucầu đến hệ thống nếu gặ p lúc trong hệ thống có ít nhất mộtkênh r ỗi thì đượ c nhận vào phục vụ. Ngượ c lại nếu mọi kênhđều bận thì phải xế p hàng chờ cho đến khi có ít nhất 1 kênh



đượ c giải phóng thì đượ c nhận vào phục vụ tại một kênh bất k ỳ(thờ i gian chờ và độ dài hàng chờ không hạn chế).

Hãy xây dựng hệ thống chỉ tiêu phân tích, đánh giá tìnhhình hoạt động của hệ thống.

249

b. Sơ đồ tr ạng thái và các xác suất tr ạng thái

Theo giả thiết bài toán,hệ thống có các tr ạng thái sau: Xk (k=0…n) là tr ạng thái hệ thống có k yêu cầu (cũng chính

là tr ạng thái có k kênh bận).

Xn +s (s=1,2…) là tr ạng thái trong hệ thống có n yêu cầuđang đượ c phục vụ và s yêu cầu chờ .

Sơ đồ tr ạng thái:λ λ λ λλ λ λ



X0

μ

X1

2μ

Xk

(k+1)μ

k+1(t)

Xn-1

nμk μ (n-1)μ

Xn

nμλ

nμXn+1 Xn+s

λ

nμ

• • •

• • •

• • •

• • •

• • •

• • •

• • •

• • •

250


Công thức tính các xác suất tr ạng thái

n,1k p!k

p0

k

k =∀

α=

...2,1s pn!n

p 0s

sn

sn =∀α

=+

+



⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ <α

α−

α+

α=

∑=

+1

n

)n(!n!k

1 p

n

0k

1nk 0

251


01. Xác suất trong hệ thống không có yêu cầu (P0)Chỉ tiêu phản ảnh khả năng để mọi kênh của hệ thống đều r ỗi,đồng thờ i cho biết tỷ lệ thờ i gian mọi kênh đều r ỗi so vớ i toàn bộ thờ i gian hoạt động của hệ thống.

Công thức tính:∑

=

+

α−α

+α= n

0k

1nk 0

)n(!n!k

1 p

02. Xác suất chờ của các yêu cầu (Pw)



Chỉ tiêu này cho biết một yêu cầu đến hệ thống phải chờ là bao nhiêu.Đồng thờ i cho biết tỷ lệ số yêu cầu đến hệ thống phải chờ so vớ i toàn

bộ số yêu cầu đến hệ thống.

Công thức tính:0

n

0s snq

p)

n1(!n

p pα−

α==

∑

∞

= +

252


03. Số trung bình các yêu cầu chờ (Lq)Chỉ tiêu này cho biết trong hệ thống trung bình có bao nhiêuyêu cầu phải chờ .

Công thức tính:

qq p)n(

Lα−

α=

04. Thờ i gian chờ trung bình (Wq)



Chỉ tiêu này cho biết một yêu cầu đến hệ thống nếu phải chờ thì trung bình chờ mất bao nhiêu thờ i gian.

Công thức tính:

λ=q

q

Lw

253


05. Số trung bình các kênh bận (L b)Chỉ tiêu này cho biết trong hệ thống trung bình có

bao nhiêu kênh làm việc.

Công thức tính: L b=αPv=α

06. Số trung bình các kênh r ỗi (nr )



Chỉ tiêu này cho biết trong hệ thống trung bình có baonhiêu kênh không làm việc.


254


07. Hệ số các kênh bận (K b)Chỉ tiêu này cho biết tỷ lệ số kênh của hệ thống đượ chuy động để phục vụ các yêu cầu.


08. Hệ số kênh r ỗi (Kr)



Chỉ tiêu này cho biết tỷ lệ số kênh của hệ thống khôngđượ c huy động để phục vụ các yêu cầu.

Công thức tính: K r =nr /n

255


09. Tổng chi phí và tổn thất (TC)Chỉ tiêu này cho biết tổng chi phí cho hoạt động

phục vụ của các kênh làm việc, chi phí cho các kênh

không làm việc và tổn thất do các yêu cầu chờ .Công thức tính: TC=T(L bC b+nr Cr +LqCq)

10. Doanh thu (D)



Chỉ tiêu này phản ảnh k ết quả thu đượ c của hệ thống trongtoàn bộ thờ i gian hoạt động.

Công thức tính: D = T.λ.Pv.d = T.λ.d

256


11. Hiệu quả kinh tế (E)Chỉ tiêu này cho biết trong thờ i gian hoạt động saukhi đã tr ừ chi phí và tổn thất, hệ thống còn thu đượ c

một lượ ng giá tr ị là bao nhiêu.Công thức tính: E = D- TC



257

d. Ví dụ

Một bến cảng có 5 cầu xế p dỡ hàng háng. Dòng các tàu đến cảng làdòng tối giản, trung bình trong một tháng có 20 tàu cậ p bến. Thờ gian bốc dỡ xong một tàu là đại lượ ng ngẫu nhiên và trung bình mỗitàu mất 6 ngày.

Hãy đánh giá tình hình phục vụ của bến cảng và cho biết nên tăng sốcầu bốc dỡ của bến cảng lên bao nhiêu để tổng chi phí và tổn thất của bến cảng là nhỏ nhất. Cho biết:

- Chi phí cho 1 cầu xế p dỡ hàng làm việc là 1 triệuồ



đồng/tháng.

- Nếu 1 cầu xế p dỡ không làm việc trong 1 tháng thì bếncảng sẽ thiệt hại 1 triệu đồng.

- Chi phí cho một tàu chờ 1 triệu đồng/tháng

258

Ví dụ

Giải Ta có thể coi bến cảng là một hệ thống chờ thuần nhất vớ i số

kênh n=5

λ=20 tàu/tháng; Wb=6 ngày/tàu; μ=30/6=5tàu/tháng. Vậy: α=λ/μ=20/5 =4

Kiểm tra điều kiện: α/n=4/5<1



259

Ví dụ

013.05

0k )45(!5

64!k

k 4

1

)n(!n

1nn

0k !k

k

1

P0 =∑= −

+=

α−

+α+∑

=

α=

555,0013,0

)5

4

1(!5

54P

n1!.n

n

qP 0 =

−

=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ α

−

α=

2,2555,0.45

4q

P.n

Lq =−

=α−

α=

Wq=Lq/λ=2,2/20=0,1108 tháng(≈3,3 ngày)

L 4



L b=α=4nr =n-α=5-4=1K b=L b/n=4/5=0.8 hay 80%K

r =n

r /n=1/5=0.2 hay 20%

TC=T(L bC b+nr Cr +LqCq) =(4x1+1x1+2.2x1)=7.2 (triệu đồng)

260

5.5.3. Hệ thống chờ hạn chế

Trong thực tế sinh hoạt và hoạt động sản xuất , nhiều hệthống thuộc hệ thống chờ hạn chế này.

Vậy, Mô tả hệ thống này thành dạng tổng quát như thế nào?


Hệ hố hỉ iê hâ í h ồ hữ hỉ iê ì?




261

a. Bài toán

Một hệ thống có n kênh phục vụ, năng suất như nhau và bằng μ, thờ igian phục vụ của các kênh tuân theo qui luật hàm số mũ vớ i tham sốμ. Dòng yêu cầu đến hệ thống là dòng tối giản vớ i cườ ng độ λ. Hệthống phục vụ theo nguyên tắc: Mỗi một yêu cầu đến hệ thống nếu

gặ p lúc trong hệ thống có ít nhất 1 kênh r ỗi thì đượ c nhận vào phụcvụ, ngượ c lại nếu gặ p lúc tất cả các kênh đều bận thì sẽ xảy ra 2tr ườ ng hợ p:

Nếu trong hệ thống số yêu cầu chờ còn ít hơ n số yêu cầu chờ cho

hé ( ) thì ê ầ đó đ ế hà hờ tiế th Nế t hệ



phép (m) thì yêu cầu đó đượ c xế p hàng chờ tiế p theo. Nếu trong hệthống số yêu cầu chờ đã đủ (bằng m) thì yêu cầu đó bị từ chối và rakhỏi hệ thống.

Hãy xây dựng hệ thống chỉ tiêu đánh giá tình hình hoạtđộng của hệ thống.

262


Theo giả thiết bài toán, hệ thống có các tr ạng thái sau: Xk (∀k=0…n) là tr ạng thái hệ thống có k yêu cầu;

Xn + s (∀s=1…m) là tr ạng thái trong hệ thống có n yêu cầu

đang đượ c phục vụ và s yêu cầu chờ . Sơ đồ tr ạng thái:

X0

λ

X1

λ

Xk

λ

Xn-1

λλ λ

Xn

λ• • •• • •

• • •



X0

μX1

2μXk

(k+1)μXn 1

nμk μ (n-1)μXn

nμλ

nμ

Xn+1 Xn+s

λ

nμ

Xn+m

nμ

λ

• • •

• • •

• • •

• • •

• • •

• • •

263


Công thức tính các xác suất tr ạng thái

n,1k p!k

p 0

k

k =∀α

=

...2,1s pn!n

p 0s

sn

sn =∀α

=+

+



∑ ∑= = ⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛ αα+

α=

n

0k

m

1s

snk 0

n!n!k

1 p

264


01. Xác suất trong hệ thống không có yêu cầu (P0)Phản ảnh khả năng để mọi kênh của hệ thống đềur ỗi, đồng thờ i cho biết tỷ lệ thờ i gian mọi kênh đềur ỗi so vớ i toàn bộ thờ i gian hoạt động của hệ thống.

Công thức tính như sau:∑ ∑

= =

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ αα

+α= n

0k

m

1s

snk 0

n!n!k

1 p

02. Xác suất từ chối yêu cầu (Ptc)

Cho biết khả năng một yêu cầu đến hệ thống bị từ chối



Cho biết khả năng một yêu cầu đến hệ thống bị từ chối,đồng thờ i còn cho biết tỷ lệ số yêu cầu đến hệ thống bị từchối so vớ i toàn bộ số yêu cầu đến hệ thống.

Công thức tính như sau: 0m

mn

tc pn!n p

+

α=

265


03. Xác suất phục vụ yêu cầu (Pv)Cho biết khả năng một yêu cầu đến hệ thống đượ cnhận vào phục vụ, đồng thờ i còn cho biết tỷ lệ số yêu

cầu đến hệ thống đượ c phục vụ.Công thức tính: Pv = 1- Ptc

04. Xác suất chờ của yêu cầu (Pq)

Cho biết khả năng một yêu cầu đến hệ thống phải chờồ ế ố ầ ế ố



∑−

=+=

1m

0ssnq p p

Cho biết khả năng một yêu cầu đến hệ thống phải chờ ,đồng thờ i cho biết tỷ lệ số yêu cầu đến hệ thống phải chờ so vớ i toàn bộ số yêu cầu đến hệ thống.

Công thức tính:

266


05. Số trung bình các yêu cầu chờ (Lq)Cho biết trong hệ thống trung bình có bao nhiêu yêucầu phải chờ .

Công thức tính: ∑=+=

m

1ssnq spL

06. Số trung bình các kênh bận (L b)

Cho biết trong hệ thống trung bình có bao nhiêu kênh bận



Cho biết trong hệ thống trung bình có bao nhiêu kênh bận.

Công thức tính: L b=α pv

267

c. Hệ thống chỉ tiêu …

07. Số trung bình các kênh r ỗi (nr)Cho biết trong hệ thống trung bình có bao nhiêukênh r ỗi.


08. Số trung bình các yêu cầu lưu lại trong hệ thống (L)

Cho biết trung bình có bao nhiêu yêu cầu lưu lại trong hệ



Cho biết trung bình có bao nhiêu yêu cầu lưu lại trong hệthống.

Công thức tính: L=L b+Lq

268


09. Thờ i gian chờ trung bình (Wq)Cho biết thờ i gian trung bình mỗi yêu cầu phải chờ .

Công thức tính: Wq=Lq/λ

10. Thờ i gian trung bình các yêu cầu lưu lại trong hệ thống (W)

Cho biết thờ i gian trung bình một yêu cầu phải lưu lạitrong hệ thống nó bao gồm thời gian chờ và thời gian phục



trong hệ thống, nó bao gồm thờ i gian chờ và thờ i gian phụcvụ.

Công thức tính: W=Wq+W b

269


11. Hệ số các kênh bận (K b)Cho biết tỷ lệ số kênh bận so vớ i toàn bộ các kênhcủa hệ thống.


12. Hệ số kênh r ỗi (Kr)

Cho biết tỷ lệ số kênh rỗi so với toàn bộ các kênh của hệ



Cho biết tỷ lệ số kênh r ỗi so vớ i toàn bộ các kênh của hệthống.

Công thức tính: K r =nr /n

270


13. Năng lực phục vụ thực tế của hệ thống (Q)Cho biết trung bình trong một đơ n vị thờ i gian, hệthống phục vụ đượ c bao nhiêu yêu cầu.

Công thức tính: Q = λ Pv

14. Tổng chi phí và tổn thất (TC)

Cho biết tổng chi phí cho các kênh làm việc, các kênh

không làm việc, cho các yêu cầu chờ và tổn thất do từ chối



không làm việc, cho các yêu cầu chờ và tổn thất do từ chốicác yêu cầu.

Công thức tính: TC=T(L bC b+nr Cr +LqCq+λ PtcCtc)

271


15. Doanh thu (D)Phản ảnh toàn bộ k ết quả thu đượ c do phục vụ cácyêu cầu.

Công thức tính: D = T.λ Pv.d

16. Hiệu quả kinh tế (E)

Cho biết kết quả cuối cùng của hệ thống trong toàn bộ thời



Cho biết k ết quả cuối cùng của hệ thống trong toàn bộ thờ igian hoạt động của hệ thống.

Công thức tính: E = D- TC

272

d. Ví dụ

Một tr ạm sửa chữa máy nông nghiệ p có một căn nhà chứa đượ cmột máy đang sửa chữa và một sân có diện tích chứa đượ c 3máy chờ . Biết r ằng tr ạm sữa chữa xong một máy trung bìnhmất 2 ngày và trung bình 2 ngày có một máy đến tr ạm sửa

chữa. Nguyên tắc phục vụ của tr ạm là nguyên tắc phục vụ củahệ thống chờ vớ i độ dài hàng chờ hạn chế.Yêu cầu:

- Hãy đánh giá tình hình phục vụ của tr ạm;

- Giả sử tăng thêm 1 dây chuyền sửa chữa nữa thì tình hìnhế ế ằ ấ



g y y phục vụ của tr ạm như thế nào. Biết r ằng năng suất phụcvụ và cườ ng độ dòng vào không đổi.

273

Ví dụ

n=1; m=3; w b=2ngày/máy; λ=0,5 máy/ngày .Vậy α=λ/μ =12.0

1

0k

3

1s

s

1

1.

!1

11

!k

k 1

1

m

1s

s

n.

!n

nn

0k !k

k 1

P0 =

∑=

∑=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

=

∑=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ αα+∑

=

α=

2,02,0.1!.1

1P.n!.n

PP 0m

mn

mntc ==α==+

+

∑= =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∑

−

= =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ αα=

2

0s6.0

s

1

1.

1m

0s !1

11.2,0

s

n.!n

n

PP 0w

Pv = 1 - PTC=1-0,2=0,8



0s0s

2.1s3

1s 1

1.s

!1

112,0

m

1s

s

n.s.

!n

n.PL 0q =∑

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =∑=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ αα=

L=Lq+L b=1.2+0.8=2; Wq=Lq/λ=1.2/0.5=2.4; Q=λPv=0,5x0,8=0,4 máy

Documents

Phương pháp định lượng trong kinh tế