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REPUBLICA BOLIVARIAN DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRICA
ANALISIS NUMERICO
Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
BARQUISIMETO, 2017
ALUMNO:
Alberto J. Perozo M.
Con este trabajo se pretende resumir los diferentes métodos utilizados para resolver
sistemas de ecuaciones lineales, con sus respectivos ejemplos resueltos paso a paso para
comprender el desarrollo de los algoritmos, además se incluyen métodos de factorizaciones
muy utilizados en la carrera de ingeniería.
Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Consiste en encontrar los valores de todas las incógnitas para los cuales se
verifican todas las ecuaciones que conforman el sistema. Si alguna de las ecuaciones no se
verifica, entonces no se trata de una solución.
Dependiendo de la solución se tienes diferentes sistemas de ecuaciones, las cuales se
determina aplicando el Teorema de Rouché-Frobenius :
Sea 𝐴 · 𝑋 = B un sistema de 𝑚 ecuaciones lineales con 𝑛 incógnitas (sobre un cuerpo
en general), siendo 𝑚 y 𝑛 naturales (no nulos), se tiene:
Compatible determinado, única solución ⟺ 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 [𝐴]⏟𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴
= 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 [𝐴 | 𝐵]⏟ 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎𝑑𝑎
= 𝑛.
Compatible indeterminado, infinitas soluciones ⟺ 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜[𝐴] = 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜[𝐴 | 𝐵] < 𝑛.
Incompatible, sin solución ⟺ 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜[𝐴] < 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜[𝐴 | 𝐵]
Para resolver sistemas de ecuaciones se aplican varios métodos, a saber:
Gauss y Gauss - Jordan
La diferencia entre los métodos de Gauss y de Gauss-Jordan es que el primero finaliza
al obtener un sistema equivalente en forma escalonada, mientras que el segundo finaliza al
obtener un sistema equivalente en forma escalonada reducida.
El Algoritmo de Gauss-Jordan consta de los siguientes pasos:
1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero.
2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercámbielo por un renglón que no tenga
cero. Multiplicando apropiadamente el renglón, hágalo 1. Este primer 1 será llamado 1
pivote.
3. Obtenga ceros arriba y abajo del 1 pivote sumando múltiplos adecuados a los renglones
debajo de renglón pivote en la matriz completa.
4. Cubra la columna y el renglón de trabajo y repita el proceso comenzando en el paso 1
con la columna siguiente.
Es importante observar que en el método de Gauss-Jordan:
En la idea general, la matriz se va escalonando y reduciendo a la vez.
En el paso 2, si el elemento no es cero no se realiza intercambio.
En el paso 3, los elementos que se hacen cero no solo son los inferiores al pivote
(Eliminación Gaussiana) sino también los superiores.
Se explicara paso a paso, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de
este método, con el siguiente ejemplo:
.
Sea el siguiente sistema de ecuaciones:
{
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 13𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 = −35𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 4
Solución:
Primero, pasar el sistema a forma de una matriz ampliada:
(2 3 13 −2 −45 −1 −1
|1−34)
Se inicia a operar con las distintas filas y columnas de la matriz para transformarla en
su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la misma
1. Transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la matriz
identidad;
Para hacer esto debemos dividir toda la 1ª fila entre 2.
(2 3 13 −2 −45 −1 −1
|1−34) → 𝑓1 =
𝑓1
2→ (
132
12
3 −2 −45 −1 −1
|
12−34
)
2. Luego se debe obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad,
Para lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por debajo del
1 de la primera columna, en este caso el opuesto de 3 que será -3 y el opuesto de 5 que
será -5.
Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por
cada uno de los elementos de la 1ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva
columna, es decir:
(1
32
12
3 −2 −45 −1 −1
|
12−34
) →𝑓2 = 𝑓2 − 3𝑓1 → 𝑓2 = 3 − 3(1)
𝑓3 = 𝑓3 − 3𝑓1 → 𝑓3 = 5 − 5(1)1→
(
1
32
12
0 −132
−112
0 −172
−72
||
12
−9232 )
𝑓2 = −2 − 3 (3
2) → 𝑓2 = −
13
2 ; 𝑓2 = −4 − 3 (
1
2) → 𝑓2 = −
11
2 ; 𝑓2 = −3 − 3 (
1
2) → 𝑓2
= −9
2
𝑓3 = −1 − 5 (3
2) → 𝑓3 = −
17
2 ; 𝑓3 = −1 − 5 (
1
2) → 𝑓3 = −
7
2 ; 𝑓3 = 4 − 5 (
1
2) → 𝑓3 =
3
2
3. El siguiente paso es obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz identidad, y procedemos de
igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila por el inverso del número que
deseamos transformar en 1, en este caso −13/2, cuyo inverso es −2/13
(
1
32
12
0 −132
−112
0 −172
−72
||
12
−9232 )
→ 𝑓2 = −
2
13𝑓2 →
(
1
32
12
0 11113
0 −172
−72
|
|
1291332 )
4. Ahora se debe obtener el 0 que se ubica en la 1a y 3ª fila, 2ª columna de
la matriz identidad, para hacer esto se realiza como en el punto 2; el cual se realiza en
toda la fila
(
1
32
12
0 11113
0 −172
−72
|
|
1291332 )
→𝑓1 = 𝑓1 −
3
2𝑓2
𝑓3 = 𝑓3 +17
2𝑓2
→
(
1 0 −1013
0 11113
0 04813
|
|
−7139139613 )
𝑓1 =1
2−3
2(11
13) → 𝑓1 = −
10
13 ; 𝑓1 =
1
2−3
2(9
13) → 𝑓1 = −
7
13
𝑓3 = −7
2+17
2(11
13) → 𝑓3 =
48
13 ; → 𝑓3 =
3
2+17
2(9
13) → 𝑓3 =
96
13
5. El siguiente paso es obtener el 1 correspondiente a la 3ª fila, 3ª columna de la matriz
identidad, se multiplicar toda la 3ª fila por el inverso del número que se encuentre en la
posición de la 3ª fila, 3ª columna, en este caso 48
13, cuyo inverso será
13
48.
(
1 0 −1013
0 11113
0 04813
|
|
−7139139613 )
→ 𝑓3 =
13
48𝑓3 →
(
1 0 −
1013
0 11113
0 0 1
||
−7139132 )
6. Ahora se debe obtener el 0 que se ubica en la 1ª y 2a fila, 3ª columna de
la matriz identidad, para hacer esto se realiza como en el punto 2; el cual se realiza en
toda la fila
(
1 0 −
1013
0 11113
0 0 1
||
−7139132 )
→𝑓1 = 𝑓1 +
10
13𝑓3
𝑓2 = 𝑓2 −11
13𝑓3
→ (1 0 00 1 00 0 1
|1−12 )
𝑓1 = −7
13+10
13(2) → 𝑓1 = 1
𝑓2 =9
13−11
13(2) → 𝑓2 = −1
7. Como se observa se ha llegado al modelo de la matriz identidad, y en la cuarta columna
se obtienen los valores de las variables, correspondiente: 𝑥 = 1 ; 𝑦 = −1 ; 𝑧 = 2 ∎
Descomposición LU
El método de descomposición LU para la solución de sistemas de ecuaciones lineales
debe su nombre a que se basa en la descomposición de la matriz original de coeficientes (A)
en el producto de dos matrices (L y U).
Esto es:
A = LU
Donde:
L - Matriz triangular inferior
U - Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1.
De lo anterior, para matrices de 3x3 se escribe:
La matriz original es:
[𝐴] = (
𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
)
Pasos para encontrar la matriz triangular inferior (matriz [l])
Para encontrar la matriz triangular inferior se busca hacer ceros los valores de
arriba de cada pivote, así como también convertir en 1 cada pivote. Se utiliza el
mismo concepto de "factor" explicado anteriormente y se ubican todos los "factores"
debajo de la diagonal según corresponda en cada uno.
Esquemáticamente se busca lo siguiente:
[𝐿] = (
1 0 0𝑙12 1 0𝑙13 𝑙23 1
) [𝑈] = (
𝑢11 𝑢𝑎12 𝑢130 𝑢22 𝑢230 0 𝑢33
)
[𝐴] = [ 𝐿][𝑈]
(
𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
) = (
1 0 0𝑙12 1 0𝑙13 𝑙23 1
)(
𝑢11 𝑢12 𝑢130 𝑢22 𝑢230 0 𝑢33
)
Por lo tanto, si 𝐴𝑥 = 𝑏, entonces 𝐿𝑈𝑥 = 𝑏, de manera que
𝐴𝑥 = 𝐿𝑈𝑥 = 𝑏.
Pasos para resolver un sistema de ecuaciones por el método de descomposición LU
1. Obtener la matriz triangular inferior L y la matriz triangular superior U.
2. Resolver 𝐿𝑦 = 𝑏 (para encontrar 𝑦).
3. El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de nombre "𝑦".
4. Realizar 𝑈𝑥 = 𝑦 (para encontrar 𝑥).
5. El resultado del paso anterior se almacena en una matriz nueva llamada "𝑥", la cual
brinda los valores correspondientes a las incógnitas de la ecuación.
6. Recuérdese que si la matriz es 2𝑥2 se hará 1 iteración; si es 3𝑥3, 2 iteraciones; si es
4𝑥4, 3 iteraciones; y así sucesivamente.
Ejemplo:
Sea el siguiente sistema de ecuaciones: {2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 1
3𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 = −3
5𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 4
Determine las incógnitas
Solución:
[𝐴] = (
𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
) = (2 3 13 −2 −45 −1 −1
) [𝑏] = (1−34)
Iteración 1
𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 1 = (𝑎21𝑎11) =
3
2
𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 2 = (𝑎31𝑎11) =
5
2}
→ [𝑳] =
(
1 0 03
20 0
5
20 0
)
Encontrando [𝑼]
𝑓𝑖𝑙𝑎 2 = 𝑓𝑖𝑙𝑎 2 − (𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 1)𝑓𝑖𝑙𝑎 1 →
{
𝑎21 = 3 − (
3
2)2 → 𝑎21 = 0
𝑎22 = −2 − (3
2)3 → 𝑎22 = −
13
2
𝑎23 = −4 − (3
2)1 → 𝑎23 = −
11
2
𝑓𝑖𝑙𝑎 3 = 𝑓𝑖𝑙𝑎 3 − (𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 2)𝑓𝑖𝑙𝑎 1 →
{
𝑎31 = 5 − (
5
2)2 → 𝑓3 = 0
𝑎32 = −1 − (5
2)3 → 𝑓3 = −
17
2
𝑎33 = −1 − (5
2)1 → 𝑓3 = −
7
2
[𝑼] =
(
2 3 1
0 −13
2−11
2
0 −17
2−7
2 )
Iteración 2
𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 3 = (𝑢32𝑢22) = (
−172
−132
) = 17
13→ [𝑳] =
(
1 0 03
21 0
5
2
17
131)
𝑓𝑖𝑙𝑎 3 = 𝑓𝑖𝑙𝑎 3 − (𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 3)𝑓𝑖𝑙𝑎 2 →
{
𝑎31 = 0 − (
17
13)0 → 𝑎31 = 0
𝑎32 = −17
2 − (
17
13)(−
13
2) → 𝑎32 = 0
𝑎33 = −7
2 − (
17
13) (−
11
2) → 𝑎33 =
48
13
[𝑼] =
(
2 3 1
0 −13
2−11
2
0 048
13 )
Ahora ya se tiene la matriz [𝑈] y la matriz [𝐿].
El siguiente paso es resolver
𝐿𝑦 = 𝑏 para encontrar la matriz y.
En pocas palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones,
encontrando los valores de 𝑦1, 𝑦2 y 𝑦3:
[𝑳] =
(
1 0 03
21 0
5
2
17
131)
; [𝑏] = (
1−34)
{
(1)𝑦1 = 1 → 𝑦1 = 1
(3
2) 𝑦1 + (1)𝑦2 = −3 → 𝑦2 = −3 −
3
2→ 𝑦2 = −
9
2
(5
2) 𝑦1 + (
17
13) 𝑦2 + 𝑦3 = 4 → 𝑦3 = 4 −
5
2− (17
13) (−
9
2) → 𝑦3 =
96
13
El último paso es resolver
𝑈𝑥 = 𝑦
para encontrar la matriz [𝑥].
En otras palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones,
encontrando los valores de 𝑥1 , 𝑥2 𝑦 𝑥3
[𝑼] =
(
2 3 1
0 −13
2−11
2
0 048
13 )
[𝑦] =
(
1
−9
296
13)
{
2𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 1 → 𝑥1 =
1
2[1 − 3(−1) − 2] → 𝑥1 = 1
−13
2𝑥2 −
11
2𝑥3 = −
9
2→ 𝑥2 = −
2
13[−9
2+11
2(2)] → 𝑥2 = −1
48
13𝑥3 =
96
13→ 𝑥3 = 2
Los valores de buscados son:
𝑥1 = 1 ; 𝑥2 = −1 ; 𝑥3 = 2 ∎
Factorización De Cholesky
La factorización usual de Cholesky se puede usar únicamente para matrices definidas
positivas. En optimización o en economía, se necesita saber frecuentemente si una matriz es
semidefinida positiva, para aplicar condiciones de segundo orden o para averiguar si una
función es convexa. Teóricamente esto se puede hacer mediante el cálculo de los valores
propios, pero, numéricamente, este proceso es mucho más demorado que la factorización de
Cholesky
Se puede comprobar que, si 𝐴 es una matriz simétrica y definida positiva, admite una
descomposición en la forma 𝐿𝑈 con 𝑈 = 𝐿𝑇 , es decir,
𝐴 = 𝐿𝐿𝑇
En este caso, el algoritmo de cálculo de los elementos de 𝐿 es
{
𝑙11 = √𝑎11
𝑙𝑖1 =𝑎𝑖1𝑙11, 𝑖 ≥ 2
𝑙𝑘𝑘 = √𝑎𝑘𝑘 −∑𝑙𝑘𝑟2
𝑘−1
𝑟=1
, 𝑘 ≥ 2
𝑙𝑖𝑘 =𝑎𝑖𝑘 − ∑ 𝑙𝑖𝑟𝑙𝑘𝑟
𝑘−1𝑟=1
𝑙𝑘𝑘, 𝑖 > 𝑘
Ejemplo:
Dada la matriz 𝐴 a matriz
[𝐴] = (
𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
) = (1 2 32 8 43 4 11
)
Hallar la descomposición de Cholesky
Solución:
Determinar si la matriz [𝐴] es simétrica y definida positiva:
𝑎11 > 0 → 1 > 0 ; |𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22
| = |1 22 8
| = 4 > 0 ; |1 2 32 8 43 4 11
| = 4 > 0
Siguiendo el algoritmo dado:
{
𝑙11 = √𝑎11 → 𝑙11 = √1 = 1
𝑙𝑖1 =𝑎𝑖1𝑙11, 𝑖 ≥ 2 →
{
𝑙21 =𝑎21𝑙11=2
1→ 𝑙21 = 2
𝑙31 =𝑎31𝑙11=3
1→ 𝑙21 = 3
𝑙𝑘𝑘 = √𝑎𝑘𝑘 −∑𝑙𝑘𝑟2
𝑘−1
𝑟=1
, 𝑘 ≥ 2 → {𝑙22 = √𝑎22 − 𝑙212 → 𝑙22 = √8− 2
2 → 𝑙22 = 2
𝑙𝑖𝑘 =𝑎𝑖𝑘 − ∑ 𝑙𝑖𝑟𝑙𝑘𝑟
𝑘−1𝑟=1
𝑙𝑘𝑘→ {𝑙32 =
𝑎32 − 𝑙31𝑙21𝑙22
→ 𝑙32 =4 − 3(2)
2→ 𝑙32 = −1 → , 𝑖 > 𝑘
𝑙𝑘𝑘 = √𝑎𝑘𝑘 −∑𝑙𝑘𝑟2
𝑘−1
𝑟=1
, 𝑘 ≥ 2 → {𝑙33 = √𝑎33 − 𝑙312 − 𝑙32
2 → 𝑙32 = √11 − 32 − (−1)2 → 𝑙33 = 1
Con lo que se obtiene:
[𝐴] = (1 2 32 8 43 4 11
) = (1 0 02 2 03 −1 11
)(1 2 30 2 −10 0 1
) = 𝐿𝐿𝑇 ∎
Factorización de QR, Householder
Esta factorización es utilizada para la solución por mínimos cuadrados y da un algoritmo
numérico para determinar los valores propios de una matriz cuadrada.
Si A es una matriz m × n con columnas linealmente independientes, entonces A puede
factorizarse en la forma
[𝐴] = [𝑄][𝑅]
En la que Q es una matriz con columnas ortonormales y R es una matriz triangular superior
Dada una matriz A (no necesariamente cuadrada), con columnas linealmente
independientes, encontraremos matrices Q, R tales que
(i) Las columnas de [𝑄] son ortonormales.
(ii) Q es del mismo tamaño que [𝐴]. (iii) R es triangular superior invertible.
La forma de hacerlo es aplicar el proceso de Gram-Schmidt a las columnas de A.
Proceso de Gram Schmidt.
A partir de los vectores linealmente independientes 𝒗𝟏, . . . , 𝒗𝒏 se construyen
𝑢1 = 𝑣1 ; 𝑢𝑘 = 𝑣𝑘 −∑⟨𝑣𝑘 , 𝑢𝑗⟩
||𝑢𝑗||2
𝑘−1
𝑗=1
𝑢𝑗 ; 𝒋 = 2,… , 𝑘
Los vectores 𝒖𝟏, . . . , 𝒖𝒏 son ortogonales
Ejemplo
Determine una factorización QR para la matriz
[𝐴] = (1 −2 1−1 3 21 −1 −4
)
Solución
Las columnas de A son
𝑣1 = ⟨1,−1,1⟩ ; 𝑣2 = ⟨−2,3, −1⟩ ; 𝑣3 = ⟨1,2, −4⟩
Al aplicarle el proceso de Gram-Schmidt a las columnas de [𝐴] se obtiene:
𝑢1′ = 𝑣1 = ⟨1,−1,1⟩ → {
‖𝑢1′‖ = √12 + (−1)2 + 12 = √3
𝑞1 =𝑢1′
‖𝑢1′‖→ 𝑞1 = ⟨
1
√3,−1
√3,1
√3⟩
Construcción del vector 𝑢2′
𝑢2′ = 𝑣2 − 𝜆2,1𝑢1
′
𝜆2,1 =⟨𝑣2′ , 𝑢1
′ ⟩
‖𝑢1′‖2
=⟨−2,3,−1⟩⟨1,−1,1⟩
√12 + (−1)2 + 12=−2(1) + 3(−1) + (−1)1
(√12 + (−1)2 + 12)2 = −2
𝑢2′ = ⟨−2,3,−1⟩ + 2⟨1,−1,1⟩ = (−2 + 2 3 − 2 −1 + 2) =
𝑢2′ = ⟨0 1 1⟩ → {
‖𝑢2′ ‖ = √02 + (1)2 + 12 = √2
𝑞2 =𝑢2′
‖𝑢2′ ‖→ 𝑞2 = ⟨0,
1
√2,1
√2⟩
Construcción del vector 𝑢3′
𝑢3′ = 𝑣3 − 𝜆3,1𝑢1
′ − 𝜆3,2𝑢2′
𝜆3,1 =⟨𝑣3′ , 𝑢1
′ ⟩
‖𝑢1′‖2
=⟨1,2,−4⟩⟨1,−1,1⟩
(√3)2 =
1(1) + 2(−1) − 4(1)
3= −
5
3
𝜆3,2 =⟨𝑣3′ , 𝑢2
′ ⟩
‖𝑢2′ ‖2
=⟨1,2,−4⟩⟨0 1 1⟩
(√2)2 =
1(0) + 2(1) − 4(1)
2= −1
𝑢3′ = ⟨1,2,−4⟩ +
5
3⟨1,−1,1⟩ + 1⟨0 1 1⟩ =
1
3⟨8,4,−4⟩
𝑢3′ ≈ ⟨8,4,−4⟩ →
{
‖𝑢3
′ ‖ = √82 + 42 + (−4)2 = √96 = 4√6
𝑞3 =𝑢3′
‖𝑢3′ ‖→ 𝑞3 = ⟨
8
4√6,4
4√6,−
4
4√6⟩
𝑞3 = ⟨2
4√6,1
√6,−1
√6⟩ → 𝑞3 = ⟨
2
√6,1
√6,−1
√6⟩
[𝑄] =
(
1
√30
𝟐
√𝟔1
√3
1
√2
𝟏
√𝟔1
√3
1
√2−𝟏
√𝟔)
Diagonalizando
(1 −2 1−1 3 21 −1 −4
) →𝑓2 = 𝑓2 + 𝑓1𝑓3 = 𝑓3 − 𝑓1
→ (1 −2 10 1 30 1 −3
)
𝑓3 = 𝑓3 − 𝑓2 → (1 −2 10 1 30 0 −6
) → 𝑓3 = −𝑓36→ (
1 −2 10 1 30 0 1
)
[𝑅] = (
‖𝒖𝟏′ ‖ 0 0
0 ‖𝒖𝟐′ ‖ 0
0 0 ‖𝒖𝟑′ ‖
)(1 −2 10 1 30 0 1
) = (√𝟑 0 0
0 √𝟐 0
0 0 √𝟔
)(1 −2 10 1 30 0 1
) =
[𝑅] =
(
√3 −2√3 −
5
3√3
0 √2 −2√3
0 01
3√96)
Métodos iterativos
Método De Gauss-Seidel
Es un método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas suministra soluciones
suficientemente precisas hasta para 15 o 20 ecuaciones.
El número exacto depende de las ecuaciones de que se trate, del número de dígitos que se
conservan en el resultado de las operaciones aritméticas, y del procedimiento de redondeo.
Utilizando ecuaciones de error, el número de ecuaciones que se pueden manejar se puede
incrementar considerablemente a más de 15 o 20, pero este método también es impráctico
cuando se presentan, por ejemplo, cientos de ecuaciones que se deben resolver
simultáneamente.
La secuencia de pasos que constituyen el método de Gauss-Seidel es la siguiente:
1. Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si es posible hacer
una hipótesis razonable de éstos valores, hacerla. Si no, se pueden asignar valores
seleccionados arbitrariamente. Los valores iniciales utilizados no afectarán la
convergencia como tal, pero afectarán el número de iteraciones requeridas para dicha
convergencia.
2. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incógnita que tiene
el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para las otras incógnitas los valores
supuestos.
3. Pasar a la segunda ecuación y determinar en ella el valor de la incógnita que tiene el
coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando el valor calculado para la incógnita
del paso 2 y los valores supuestos para las incógnitas restantes.
4. Continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la
incógnita que tiene el coeficiente más grande en cada ecuación particular, y utilizando
siempre los últimos valores calculados para las otras incógnitas de la ecuación. (Durante
la primera iteración, se deben utilizar los valores supuestos para las incógnitas hasta que
se obtenga un valor calculado). Cuando la ecuación final ha sido resuelta, proporcionando
un valor para la única incógnita, se dice que se ha completado una iteración.
5. Continuar iterando hasta que el valor de cada incógnita, determinado en una iteración
particular, difiera del valor obtenido en la iteración previa, en una cantidad menor que
cierto ε seleccionado arbitrariamente. El procedimiento queda entonces completo.
Refiriéndonos al paso 5, mientras menor sea la magnitud del ε seleccionado, mayor será
la precisión de la solución. Sin embargo, la magnitud de la épsilon no especifica el error
que puede existir en los valores obtenidos para las incógnitas, ya que ésta es una función
de la velocidad de convergencia. Mientras mayor sea la velocidad de convergencia, mayor
será la precisión obtenida en los valores de las incógnitas para un ε dado.
Ejemplo
Resolver el siguiente sistema de ecuación por el método Gauss-Seidel utilizando un
ℇ = 0,001
{
0,1𝑥 + 7𝑦 − 0,3𝑧 = −19,33𝑥 − 0,1𝑦 − 0,2𝑧 = 7,850,3𝑧 − 0,2𝑦 − 10𝑧 = 71,4
Solución:
Primero se ordenan las ecuaciones, de modo que en la diagonal principal estén los
coeficientes mayores para asegurar la convergencia.
{3𝑥 − 0,1𝑦 − 0,2𝑧 = 7,850,1𝑥 + 7𝑦 − 0,3𝑧 = −19,30,3𝑥 − 0,2𝑦 − 10𝑧 = 71,4
Se despeja cada una de las variables sobre la diagonal:
𝑥 =7,85+0,1𝑦+0,2𝑧
3 𝑦 =
−19,3 − 0,1𝑥 + 3𝑧
7 𝑧 =
71,4 − 0,3𝑥 + 0,2𝑦
10
Se suponen los valores iniciales 𝑦 = 0 y 𝑧 = 0 y se calcula 𝑥
𝑥0 =7,85 + 0,1(0) + 0,2(0)
3→ 𝑥0 = 2,616666
Este valor junto con el de 𝑧 se puede utilizar para obtener 𝑦
𝑦0 =−19,3 − 0,1(2,616666) + 3(0)
7→ 𝑦0 = −2,794523
La primera iteración se completa sustituyendo los valores de 𝑥 y 𝑦 calculados obteniendo:
𝑧0 =71,4 − 0,3(2,616666) + 0,2(−2,794523)
10→ 𝑧0 = 7,005609
En la segunda iteración, se repite el mismo procedimiento:
𝑥1 =7,85 + 0,1(−2,794523) + 0,2(7,005609)
3→ 𝑥1 = 2,990556
𝑦1 =−19,3 − 0,1(2,990556) + 3(7,005609)
7→ 𝑦1 = −2,499624
𝑧1 =71,4 − 0,3(2,990556) + 0,2(−2,499624)
10→ 𝑧1 = 7,00029
Comparando los valores calculados entre la primera y la segunda iteración
|𝑥1 − 𝑥0| ≤ ε → {|2,990556 − 2,616666| ≤ 0,001
0,37389 ≤ 0,001
|𝑦1 − 𝑦0| ≤ ε → {|−2,499624 − (−2,794523)| ≤ 0,001
0,294899 ≤ 0,001
|𝑧1 − 𝑥0| ≤ ε → {|7,00029 − 7,005609| ≤ 0,001
0,005319 ≤ 0,001
Como se observar, no se cumple la condición
|𝑥1 − 𝑥0| ≤ ε Entonces se toman los valores calculados en la última iteración y se toman como supuestos
para la siguiente iteración. Se repite entonces el proceso.
Después de dos iteraciones se cumple la condición
|𝑥1 − 𝑥0| ≤ ε
Donde se obtiene como resultado que:
𝑥 = 3 ; 𝑦 = −2,5 ; 𝑧 = 7 ∎
Como se observa, no se tiene un número exacto de iteraciones para encontrar una solución.
Método de Jacobi
El método Jacobi es el método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales más
simple y se aplica solo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como
ecuaciones.
1. Primero se determina la ecuación de recurrencia.
Para ello se ordenan las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación se despeja la
incógnita. En notación matricial se escribirse como:
𝑦𝑖+1 = 𝑐 + 𝑏𝑥𝑖
donde 𝑥 es el vector de incógnitas.
2. Se toma una aproximación o valor inicial para las primera iteración a ésta se le designa
por 𝑥0
3. Se itera en el ciclo que cambia la aproximación 𝑥𝑖 + 1 = 𝑐
𝑥𝑖+1 = 𝑐 + 𝑏𝑥𝑖
4. Se va determinando los errores hasta llegar a la tolerancia exigida, donde se obtendrá los
valores de las incógnitas buscadas
Error absoluto
Error relativo
|𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘| < 𝑡𝑜𝑙
|𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘|
|𝑥𝑘+1|< 𝑡𝑜𝑙
Ejemplo
{5𝑥 + 3𝑦 = 9−2𝑥 + 7𝑦 = 4
Tomando tolerancia de 0,001 e iniciando en (1,1)
Solución
Ecuaciones de recurrencia
{𝑥𝑘+1 =
1
5(9 − 3𝑦𝑘)
𝑦𝑘+1 =1
7(4 + 2𝑥𝑘)
Iteración 𝒙𝒌 Error relativo Error absoluto
1 (1,2857; 0,8571) 0,2222 0,2857
2 (1,2367; 0,9388) 0,0396 0,049
3 (1,2451; 0,9248) 0,00067 0,0084
4 (1,2437; 0,9272) 0,00113 0,0014
5 (1,2427; 0,9268) 0,0008 0,001
|𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘|
|𝑥𝑘+1|< 𝑡𝑜𝑙
0,0008 < 0,001
Por tanto los valores de las incógnitas son (1,2427; 0,9268) después de 5 iteraciones ∎
Referencias
http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-02.pdf
http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-23.pdf
http://users.dsic.upv.es/asignaturas/eui/cnu/libro/tema5/tema59.htm
http://users.dsic.upv.es/asignaturas/eui/cnu/libro/tema6/tema62.htm
https://sites.google.com/site/metalnumericos/home/unidad-3-1/3-4-metodo-de-
descomposicion-lu
http://www.mty.itesm.mx/dmti/materias/ma2008/lecturas/ma2008-09a.pdf
http://personales.upv.es/jbenitez/cajon_sastre/qr_fouri.pdf
