Upload
amalia-indrawati-gunawan
View
293
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
STATISTIKA DASARPertemuan ke-10
http://slideshare.net/QuKumeng
DISTRIBUSI PELUANGVARIABEL ACAK KONTINU
Berbeda dengan variabel random diskrit, sebuah variabelrandom kontinyu adalah variabel yang dapat mencakupnilai pecahan maupun mencakup range / rentang nilaitertentu.Karena terdapat bilangan pecahan yang jumlahnya tidakterbatas, kita tidak dapat menuliskan semua nilai yangmungkin bersama dengan probabilitasnya masing β masingdalam bentuk tabel. Namun dipakai fungsi kepadatanprobabilitas (Probability Density Function : pdf). Plot untukfungsi seperti ini disebut kurva probabilitas dan nilaiprobabilitasnya dinyatakan sebagai luas suatu kurva yangbernilai positif. Contoh ditribusi peluang kontinu :1. Distribusi Normal Baku2. Distribusi t atau Distribusi Student3. Distribusi Kurva Khi-Kuadrat4. Distribusi F
Distribusi Normal Baku
Distribusi normal adalah distribusi yang palingpenting diantara distribusi yang lain. Nama lainnya:distribusi Gauss (Gaussian distribution). Kurva daridistribusi normal mempunyai bentuk setangkupseperti lonceng :
Fungsi padat peluang (pdf)dari peubah acak normal Xdengan rataan ΞΌ dan variansiπ2 yang memiliki distribusinormal adalah:
π π₯; π, π =1
π 2ππβ1/2
π₯βππ
2
, ββ < π₯ < β
yang dalam hal ini Ο = 3.14159... dan e = 2.71828...
Distribusi Student(Distribusi t)
Distribusi T adalah pengujian hipotesis yang menggunakandistribusi T sebagai uji statsistik, table pengujiannya disebut table Tstudent. Cirinya : sample yang di uji berukuran kurang dari 30.
Distribusi T pertama kali diterbitkan tahun 1908 dikembangkanoleh William Sealy Gosset. Dalam artikel publikasinya, iamenggunakan nama samaran βStudentβ, sehingga kemudianmetode pengujiannya dikenal dengan uji t-student. Williammenganggap bahwa untuk sampel kecil, nilai Z dari distribusinormal tidak begitu cocok. Oleh karenanya, ia kemudianmengembangkan distribusi lain yang mirip dengan distribusinormal, yang dikenal dengan distribusi t-student. Distribusistudent ini berlaku baik untuk sampel kecil maupun sampel besar.Pada n β₯ 30, distribusi t ini mendekati distribusi normal dan pada nyang sangat besar, misalnya n=10.000, nilai distribusi t sama persisdengan nilai distribusi normal (lihat tabel t pada df 10000 danbandingkan dengan nilai Z).
Distribusi Student(Distribusi t)
Ciri-Ciri Distribusi T
a. Sampel yang diuji berukuran kecil ( n < 30 ).
b. Penentuan nilai tabel dilihat dari besarnya tingkatsignifikan (Ξ±) dan besarnya derajat bebas (db).
Fungsi Pengujian Distribusi T
a. Untuk memperkirakan interval rata-rata.
b. Untuk menguji hipotesis tentang rata-rata suatusampel.
c. Menunjukkan batas penerimaan suatu hipotesis.
d. Untuk menguji suatu pernyataan apakah sudahlayak untuk dipercaya.
Distribusi Student(Distribusi t)
Untuk sampel ukuran π β₯ 3 , taksiran Ο2 diperoleh denganmenghitung nilai π2 . Untuk sampel ukuran π β₯ 30 , maka π2
memberikan taksiran Ο2 yang baik. Dan distribusi statistik ( π β
π)/(π
π) masih secara hampiran, berdistribusi sama dengan peubah
normal baku z.
Bila ukuran sampel π < 30 , nilai π2 berubah cukup besar dari
sampel ke sampel dan distribusi peubah acak ( π β π)/(π
π) tidak lagi
berdistribusi normal baku.
Misalkan π = πβπ
π πpeubah acak normal baku danπ =
(πβ1)π2
Ο2peubah
acak khi-kuadrat dengan derajat kebebasan π£ = π β 1.
Jika Z dan V bebas, maka distribusi peubah acak :
π =( π β π) ( π π)
π2 π2=
π
π(π β 1)
Distribusi Student(Distribusi t)
Distribusi sampel T di dapat dari anggapan bahwa sampelacak berasal dari populasi normal.
π =( π β π) ( π π)
π2 π2=
π
π(π β 1)
Dengan ,
π = π β π
π π
Berdistribusi normal baku, dan
π =π β 1 π2
π2
Misalkan Z peubah acak normal baku dan V peubah acak khi-kuadrat dengan derajat kebebasan v.
Distribusi Student(Distribusi t)
Bila z dan v bebas, maka distribusi peubah acak T :
π =π
π π£
Diberikan oleh,
β π‘ =Ξ π£ + 1 2
Ξ π£ 2 ππ£1 +π‘2
π£
β π£+1 2
Ini di kenal dengan nama distribusi t dengan derajatkebebasan v.
Distribusi Z dan T berbeda karena variansi T bergantung padaukuran sampel n dan variansi ini selalu lebih besar dari 1.Hanya bila ukuran sampel π β β kedua distribusi menjadisama.
Distribusi Student(Distribusi t)
Pada gambar dibawah diperlihatkan hubungan antara distribusinormal baku (π£ = β) dan distribusi t untuk derajat kebebasan 2dan 5.
Karena distribusi t setangkupterhadap rataan nol, makaπ‘1βπΌ = βπ‘πΌ; yaitu, nilai t yangluas sebelah kanannya 1 β πΌ ,atau luas sebelah kirinya πΌ ,sama dengan minus nilai tyang luas bagian kanannya πΌ.
Panjang selang nilai t yang dapat diterima tergantung padabagaimana pentingnya π. Bila π ingin ditaksir dengan ketelitianyang tinggi, sebaiknya digunakan selang yang lebih pendek seperti
βπ‘0,05 sampai π‘0,05.
Distribusi Student(Distribusi t)
Sifat-sifat kurva t :
β’ Kurva setangkup terhadap rataan 0.
β’ Kurva berbentuk lonceng, tapi distribusi t lebih berbedasatu sama lain dengan distribusi Z karena nilai T
tergantung pada dua besaran yang berubah-ubah yaitu πdan π2 sedangkan nilai Z hanya tergantung padaperubahan π.
β’ Kedua ujung kurva mendekati sumbu X asimtot datarnya.
β’ Seluruh luas di bawah kurva sama dengan 1.
Contoh soal : Lihat halaman 147
DISTRIBUSI CHI-KUADRAT
Grafik distribusi chi-kuadrat bergantung pada derajat kebebasan π,yang umumnya merupakan kurva positif dan miring ke kanan.Kemiringan kurva ini akan semakin berkurang jika derajatkebebasasan π makin besar. Untuk π = 1 dan π = 2 , bentukkurvanya berlainan daripada untuk π β₯ 3.
Distribusi chi-kuadrat mempunyai rata-rata dan variansi sebagaiberikut :
Rata-rata : π = πΈ(π2) = π
Variansi : π2 = 2π
Probablitas suatu sampel acak yang menghasilkan nilai π2 yanglebih besar dari suatu nilai tertentu, sama dengan luas daerah dibawah kurva di sebelah kanan nilai tersebut. Nilai tertentu tersebutbiasanya ditulis dengan π2πΌ. Dengan demikian π2πΌ menyatakan nilaiπ2πΌ yang luas di sebelah kanannya sama dengan πΌ. Daerah yangluasnya sama dengan πΌ ini dinyatakan oleh daerah yang diarsir.
DISTRIBUSI CHI-KUADRATNilai-nilai kritis π2πΌ untuk berbagai nilai πΌ dan derajat kebebasan πtersedia pada tabel distribsi chi-kuadrat.
Untuk πΌ = 0,05, disebelah kanan, dan π = 10, maka nilai kritis π20,05 =18,307. Karena kurva distribusi chi-kuadrat tidak simetri, maka luasdaerah di sebelah kiri harus dicari. Luas daerah sebelah kiri, yaitu1βπΌ = 1 β 0,05 = 0,95 . Derajat kebebasan π = 10 , maka diperolehπ20,95 = 3,940.
Cari : nilai kritis untuk π20,01 dan π20,99 dengan π = 5 dan π20,01 danπ20,99 dengan π = 11.
Bila π₯1, π₯2, π₯3, β¦ , π₯π merupakan variable acak yang masing-masingterdistribusi normal dengan rata-rata π dan variansi π2 dan semuavariabel acak tersebut bebas satu sama lain, maka variabel acak berikutini :
π =
π=1
π
(ππ β π
π2)2
mempunyai distribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan π = π.
DISTRIBUSI CHI-KUADRATBila diambil sampel acak berukuran π dari populasi berdistribusi normaldengan rata-rata π dan variansi π2 , dan pada setiap sampel tersebutdihitung variansi π2, maka variabel acak berikut ini, yaitu :
π2 =(π β 1)π2
π2
mempunyai distribsi chi-kuadrat Ο2 dengan deraja kebebasan π = π β 1.
Interval Kepercayaan ππ =(πβπ)πΊπ
ππ
Secara umum, interval kepercayaan untuk Ο2 sebesar 1 β πΌ dinyatakansebagai :
π π1βπΌ2
2 < Ο2 < ππΌ2
2 = 1 β πΌ
Nilai kritis Ο21- Ξ±/2 membatasi luas daerah di sebeleah kanan sebesar 1 β
πΌ/2 pada derajat kebebasan π = π β 1 . Sedangkan nilai kritis Ο2Ξ±/2
membatasi luas daerah di sebelah kanan sebesar πΌ/2 pada derajatkebebasan π = π β 1.
Dengan mensubstitusikan nilai (π β 1)π2 maka diperoleh :
π(π β 1)π2
Ο2 Ξ±/2< Ο2 <
(π β 1)π2
Ο2 1βΞ±/2= 1 β πΌ
DISTRIBUSI FStatistik F didefinisikan sebagai nisbah dua peubah acak khi-kuadrat yang bebas, masing β masing dibagi dengan derajatkebebasannya.
Misalkan U dan V dua peubah acak bebas masing β masingberdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan π£1 dan π£2 .Maka distribusi peubah acak :
πΉ = π π£1
π π£2Diberikan oleh :
β π =Ξ π£1 + π£2 2 π£1 π£2
π£1 2
Ξ π£1 2 Ξ π£2 2.πΉ 12 π£1β2
1 +π£1πΉπ£2
1 2 π£1+π£2
= 0 ,0 < π < β , untuk f lainnya
ini dikenal dengan nama distribusi F dengan derajat kebebasan π£1dan π£2.
DISTRIBUSI F
Kurva distribusi F tidak hanya tergantung pada keduaparameter π£1 dan π£2 tapi juga pada urutan keduanyaditulis.begitu kedua bilangan itu ditentukan maka kurvanyamenjadi tertentu. Dibawah ini adalah kurva khas distribusi F :
DISTRIBUSI F
Di bawah ini gambar kurva nilai tabel distribusi F
Lambang ππΌ nilai f tertentu peubah acak F sehingga disebelahkanannya terdapat luas sebesar πΌ. Ini digambarkan dengan daerahyang dihitami pada gambar 2. Pada tabel memberikan nilai ππΌhanya untuk πΌ = 0,05 dan πΌ = 0,01 untuk berbagai pasanganderajat kebebasan π£1 dan π£2 Jadi, nilai f untuk derajat kebebasan 6
dan 10 , sehingga luas daerah sebelah kanannya 0,05 adalah π0,05 =3,22.
DISTRIBUSI F
Tulislah ππΌ(π£1, π£2) untuk ππΌ dengan derajat kebebasan π£1 danπ£2, maka :
π1βπΌ π£1, π£2 =1
ππΌ π£2, π£1Bila π1
2 dan π22 variansi sampel acak ukuran π1 dan π2 yang
diambil dari dua populasi normal, masing-masing dengan
variansi π12 dan π2
2, maka :
πΉ = π12 π12
π22 π22 =π22π12
π12π22
Berdistribusi F dengan derajat kebebasan π£1 = π1 β 1 danπ£2 = π2 β 1.