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C A P ÍT U L O IV
T R A N S F O R M A C IO N E S DE G A S E S P E R F E C T O S
4.1.' INTRODUCCIÓN ,; n'i l i o . :.C o n s id e ra re m o s u n sis te m a c e r ra d o , c o n s t i tu id o p o r u n a u n id a d d e m a
sa d e u n gas p e r fe c to y e s tu d ia re m o s d iv e rsa s tra n s fo rm a c io n e s cu a si e s tá
tic a s ( e s d e c ir su c e s ió n d e e s ta d o s d e e q u il ib r io ) y e n c a d a u n a d e e lla s c a lc u
la re m o s lo s in te rc a m b io s d e e n e rg ía c o n e l m e d io , asi' c o m o la v a r ia c ió n de
la e n e rg ía in te r n a d e l s is te m a . P o r t ra ta rs e d e tra n s fo rm a c io n e s cu a si e s t á t i
c a s p o d re m o s re p re s e n ta r la s e n el d ia g ra m a p, v, e n q u e c a d a p u n to re p re s e n ta
u n e s ta d o d e e q u il ib r io . C o n s id e ra re m o s q u e lo s g ases t ie n e n c a lo re s e s p e c íf ic o s
c o n s ta n te s c p y ,cv a p re s ió n y v o lu m e n re sp e c tiv a m e n te c o n s ta n te s .
« , f * V o l i r . I n ; .1 •••'». •/<•; -------- ----------4 .1 .1 . Transformación isocora .
! • 'E n p r im e r lu g a r e s tu d ie m o s el c a s o e n q u e el v o lu m e n d e l sis te m a
p e rm a n e c e C o n s ta n te d u r a n te la t ra n s fo rm a c ió n : v =* c te . S e la d e n o m in a
iso c o ra .E n la f ig u ra 4-1 a p a re c e su re p re s e n ta c ió n en el d ia g ra m a p, v, c o m o el
: s is te m a e s tc rm o e lá s tic o q u e só lo
p u e d e in te rc a m b ia r tr a b a jo c o n el
m e d io p o r v a ria c ió n d e v o lu m e n
resu ltará:
L = 0
H a b rá e n la tra n s fo rm a c ió n u n
c a lo r in te r c a m b ia d o q u e p u ed e
c a lc u la rse m e d ia n te :
Q = cy ( 7 j - Tx) [4 - i :
i ,CV ''-L Fig. 4-1
E n c u a n to a la v ariac ió n d e e n e r
g ía in te r n a , p o r e s ta r el s is tem a
c o n s t itu id o p o r u n gas p e r fe c to
su d ife re n c ia l será:
, . ,d u =» cr d T %
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46 C A R L O S A . G A R C IA -T E R M O D IN A M IC A TE CN IC A
y e n c o n s e c u e n c ia :
Ha - « I - Cy ( 7 j - Tt ) ( 4 - 2 ]
S e c u m p le e! p r im e r p r in c ip io d e la T e rm o d in á m ic a y e s p o r e s o q u e al
n o h a b e r tra b a jo in te rc a m b ia d o , el c a lo r in te rc a m b ia d o ( 4 - 1 ] c o in c id e c o n la
v a r ia c ió n d e e n e rg ía in te rn a d e l s is te m a (4 - 2 ]:
4 .1 2 . Transformación isóbara
V e a m o s a h o ra u n a tra n s fo rm a c ió n e n la q u e se m a n tie n e c o n s ta n te la p r e sió n : p = c te . S e la d e n o m in a isó b a ra .
E n la fig u ra 4 - 2 a p a re c e su re p re s e n ta c ió n e n e l d ia g ra m a p.v,. E n
e ste c a s o c o m o p u e d e o b se rv arse
e n e lla , el s is te m a in te rc a m b ia
tra b a jo c o n el m e d io . S u v a lo r lo
c a lc u la re m o s 'm e d ia n te : ::
“ i * v ' u 'H . J i r; t u -.
q u e d a d o q u e la p re s ió n e s c o n s
ta n te re su lta : ¿'-I ?1 • >• •
Fig. 4-2
, [ 4 - 3 ]
U .iil. •! W . L . • ni
S e p u e d e o b te n e r o tr a e x
p re s ió n p a ra el c á lc u lo d e tra b a jo
e n la s isó b a ra s . P o r la e c u a c ió n de
e s ta d o d e lo s g a se s p e r fe c to s el
v o lu m e n e n u n e s ta d o c u a lq u ie ra
valdrá:
R T
R e e m p la z a n d o e n la ( 4 - 3 ] v2 y v , , en fu n c ió n d e T y P, o b te n e m o s :
L = pR T , R T ,1 1 > (
L = R (T 2 - T i) [ 4 - 4 ]
L a [ 4 - 4 ] n o s p e rm ite d e te r m in a r el s ig n if ic a d o f ís ic o d e la c o n s ta n te R
d e l g a s . E n e f e c to , si se re a liz a u n a tra n s fo rm a c ió n isó b a ra ta l q u e
Ti » T t + 1 , e n to n c e s re s u lta 1. = R. E s d e c ir , q u e R e s e l tr a b a jo d e e x p a n
sió n q u e e fe c tu a r á la u n id a d d e m a sa d e gas en u n p ro c e s o a p re s ió n c o n s ta n
te , e n q u e su te m p e r a tu ra se in c re m e n te en u n a u n id a d . E n c u a n to al c a lo r in te r c a m b ia d o e n la is ó b a ra , e s ta rá d a d o p o r: A
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' Q - cp (T7 - 7*,) (4-5]
C o m o el s is te m a e s tá fo rm a d o p o r la u n id a d d e m a s a d e u n gas p e r fe c
to , la v a ria c ió n d e e n e rg ía in te r n a será:
u2 - u, - c v ( r , - 7\) [4-6 J
D e b e rá c u m p lirs e p a ra la tra n s fo rm a c ió n el p r im e r p r in c ip io d e la T e r
m o d in á m ic a o se a q u e d e b e rá ser:
• ■ Q » u2 - u, + L
S i re e m p la z a m o s lo s v a lo re s d a d o s p o r [ 4 - 4 ] , [ 4 - 5 ] y [ 4 - 6 ] , o b te n e m o s:
c p ( T2 - T x) “ cy ( T j — T x) + R ( T 2 - T . )
o se a , s im p lif ic a n d o :
c p » c v + R
, Q u e p u e d e e sc rib irse: . ,,
’ ' ( 4 - 7 ]Cp - Cy = R
Q u e es la lla m a d a re la c ió n d e M a y er e n tr e lo s d o s c a lo re s e s p e c íf ic o s a
p re s ió n c o n s ta n te y a v o lu m e n c o n s ta n te . R e la c ió n q u e n o s d ic e q u e el ca lo r
e s p e c íf ic o a p re s ió n c o n s ta n te se rá s ie m p re m a y o r q u e el c a lo r e s p e c íf ic o a
v o lu m e n c o n s ta n te . L a e x p lic a c ió n f ís ic a es m u y sim p le .
S i se e lev a la te m p e r a tu ra d e la u n id a d d e m a s a d e u n g as p e r fe c to e n
u n a u n id a d a v o lu m e n c o n s ta n te , to d o el c a lo r s u m in is tra d o se in v ie rte e n
in c r e m e n ta r la e n e rg ía in te r n a d e l m ism o . E n c a m b io si se e lev a la te m p e r a
tu ra d e la u n id a d d e m a s a d e u n g as p e r fe c to e n u n a u n id a d a p re sió n
c o n s ta n te , se p ro d u c e u n a u m e n to de e n e rg ía in te r n a id é n t ic o al d e l c aso
a n te r io r , p o r q u e la e n e rg ía in te r n a d e lo s g a se s p e r fe c to s só lo d e p e n d e d e la
te m p e r a tu ra , p e ro a d e m á s el g as se e x p a n d e y re a liz a t r a b a jo , q u e d e b e
p ro v e n ir d e l c a lo r s u m in is tra d o . L a d ife re n c ia e n tr e c p y cy e s p re c is a m e n te
el e q u iv a le n te d e l t r a b a jo q u e a p re s ió n c o n s ta n te re a liz a rá e l gas.
4.1.3. Transform ación isotérmica
C o n s id e re m o s a h o ra u n a tra n s fo rm a c ió n e n la q u e la te m p e r a tu ra del
gas p e rm a n e z c a c o n s ta n te : T = c te . Se la d e n o m in a is o té rm ic a . E n e s te caso
se c u m p lirá la le y d e B o y le -M a rio tte es d e c ir q u e:
p v = c te .
e n c o n s e c u e n c ia , la r e p re s e n ta c ió n e n el d ia g ra m a p, v ( f ig . 4 - 3 ) , se rá u n
t r o z o d e h ip é r b o la e q u ilá te ra .
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48 C A R L O S A . G A R C I A -T E R M O D IN A M I C A TE CN IC A
C o m o se o b se rv a e n la f ig u ra 4 - 3 , e l s is te m a in te rc a m b ia rá tr a b a jo c o n el
m e d io , su v a lo r e s ta rá d a d o po r:
• : , Ui. • ' ¡' '5 O b.H l't'.l »•». ¡< ' f 2 £ ' í «>. . -. n u I r P d v „i- [ 4 - 8 ]
Fig. 4-3
P o r la e c u a c ió n d e e s ta d o t e n d r e
m os:
¿k .M í;:-. R T b ’.'S-Mv,i i n s í i ' P -i r e »
v
c > R e e m p la z a n d o e n la [4 -8 ]:
« • ■ > T — • •v
C o m o R y T so n c o n s ta n
te s o b te n d re m o s : '
t , L = R T \n _ 1 [ 4 9 ]
C o m o lo s v o lú m e n e s se rán
in v e rs a m e n te p r o p o rc io n a le s a las
p re s io n e s , p o d e m o s ta m b ié n e x
p re s a r e s te tr a b a jo d e l sig u ie n te
m o d o :
P\L m R T In K:J;r;: 1
¡' ' Pi ‘J
VtJCM'
■ >' K( i[ 4 - 1 0 ]
D ad o q u e e l s is te m a e s tá c o n s t i tu id o p o r u n gas p e r fe c to , c o m o la
e n e rg ía in te rn a e s f u n c ió n ú n ic a m e n te d e la te m p e r a tu r a , a l n o e x is t i r v a ria
c ió n d e la te m p e r a tu ra ta m p o c o h a b rá v a ria c ió n d e e n e rg ía in te rn a : >• -"' , i ■ ii. ¡: ílll *.!) C<‘ • U U 'J l l • • J¡ >U'.
• U j - u x a O •••: "• - V/- i •* i. : i,: :• ¿r/ <i • ! ••*»-•* * | . í o m v .
E n c o n s e c u e n c ia h a b rá u n c a lo r in te r c a m b ia d o q u e d e b e r á ’se r e q u iv a
le n te al t ra b a jo in te rc a m b ia d o : ‘ i ! i ’J ¿ . I >:t ; i
'»i
Q o L = R T \ n -P\
Pi
E n el caso re p re s e n ta d o e n la fig u ra 4 - 3 , la tra n s fo rm a c ió n e s u n a
e x p a n s ió n , el gas re a liz a tr a b a jo y re c ib e u n a c a n tid a d d e c a lo r e q u iv a le n te .
S i se t r a ta ra d e u n a c o m p re s ió n el gas re c ib ir ía tr a b a jo y c e d e r ía u n a
c a n t id a d d e c a lo r e q u iv a le n te .
D a d o q u e en u n a tra n s fo rm a c ió n is o té r m ic a e x is te c a lo r in te rc a m b ia d o
s e p u e d e h a b la r d e c a lo r e s p e c íf ic o d e la is o té rm ic a . S i c o n s id e ra m o s u n a
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tra n s fo rm a c ió n e le m e n ta l is o té rm ic a , el c a lo r e le m e n ta l in te r c a m b ia d o p o d rá
e x p re s a rs e po r:
E n la [ 4 - 1 1 ] 5 0 # 0 , d a d o q u e e x is te c a lo r in te rc a m b ia d o y d 7 = 0
p o rq u e n o e x is te v a ria c ió n d e te m p e r a tu ra . E n to n c e s p a ra q u e la [4 - 1 1 ] se
c u m p la d e b e rá ser:
E l c a lo r e s p e c íf ic o d e la is o té rm ic a se rá in f in i to . E s to s ig n if ic a q u e en
u n a is o té rm ic a c u a lq u ie ra q u e se a la c a n tid a d d e c a lo r q u e se s u m in is tre al
gas o se le q u i te , su te m p e r a tu ra n o v a r ía e n u n g ra d o .
4.1.4. Transformación adiabática
U n a tra n s fo rm a c ió n a d ia b á tic a es u n a tra n s fo rm a c ió n d u r a n te la c u a l el
sis te m a n o in te rc a m b ia c a lo r c o n el m e d io e n n in g ú n m o m e n to d e la m ism a .
E n c o n s e c u e n c ia , p a ra q u e u n a tra n s fo rm a c ió n se a a d ia b á tic a , d e b e rá n
c u m p lirs e
L a p r im e ra p o d r ía c u m p lirs e sin q u e la tra n s fo rm a c ió n fu e ra a d ia b á tic a .
E n e f e c to , b a s ta r ía q u e d u r a n te la p r im e ra p a r te d e l p ro c e s o el sis te m a
re c ib ie ra c a lo r y e n la se g u n d a c e d ie ra o v iceversa; s ie n d o lo s v a lo re s a b s o lu
to s d e a m b a s c a n tid a d e s ig u a le s p a ra q u e e n to d a la tra n s fo rm a c ió n Q = 0 .
E n p r im e r lu g a r v a m o s a d e te r m in a r las re la c io n e s q u e c u m p lirá n lo s
p a r á m e tro s p, v y T d e l s is te m a d u r a n te la t ra n s fo rm a c ió n . A ta l f in e s c rib a
m o s la e x p re s ió n del p r im e r p r in c ip io d e la T e rm o d in á m ic a p a ra u n p ro c e s o
e le m e n ta l d e u n s is te m a c e r r a d o en rep o so :
¡ T e n d re m o s : , ;
¡ ' ! V■ 8 Q = 0 p o r se r la t r a n s f o rm a c ió n a d ia b á tic a ;d u = cy d T p o r e s ta r c o n s t i tu id o el sis te m a p o r u n gas p e rfe c to :
ó L = p d v p o r tra ta rs e d e u n s is te m a te rm o c lá s tic o q u e só lo in te r c a m
b ia tr a b a jo c o n el m e d io p o r v a ria c ió n d e v o lu m e n .
R e e m p la z a n d o e n la [ 4 - 1 2 ] q u e d a :
5 Q = C j d T [ 4 - 1 1 ]
5 Q * - d u + h L [ 4 - 1 2 ]
Cy d T + p dv = 0 [ 4 - 1 3 ]
l , , l j.L a [ 4 - 1 3 ] es la e c u a c ió n d ife re n c ia l d e u n a a d ia b á tic a d e u n s is te m a
in te g ra d o p o r la u n id a d d e m a s a d e u n gas p e r fe c to . P ara p o d e r la in te g ra r
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6 0 C A R L O S A . G A R C I A -T E R M O D IN A M I C A T E C N IC A
d e b e m o s e lim in a r el p a r á m e tro p re s ió n . D e a c u e rd o ( |c o n la e c u a c ió n d e e s ta d o d e lo s g a se s p e rfe c to s:
• ( . . R T
q u e re e m p la z a d a e n [ 4 - 1 3 ] n o s da:
d vcy d T + R T — = 0
v . ,i i . ' ' . " ' ¡ O I ¡ t b
• • D iv id ie n d o p o r T a f in d e se p a ra r v a ria b le s y p o r c v se t r a n s f o rm a en:• • ; o , i : - 7! / I S i V - • * - ‘N. i , • i
d T R d v + » = O .T c„ v
[ 4 - 1 4 ]
S i r e c o r d a m o s la re la c ió n d e M a y e r p o d e m o s e sc rib ir:
j l .Cy Cy i ■<
..I c p • ii>!‘q u e d iv id ie n d o p o r c v y lla m a n d o k = — n o s da: .
-R— = k - 1
q u e re e m p la z a d a e n [ 4 - 1 4 ] n o s p e rm ite escrib ir:
d T d v + ( * - 1 ) = O
T v .. i-[ 4 - 1 5 ]
In te g r a n d o o b te n e m o s :
ln T + (k - 1 ) ln v a e tc .
q u e p u e d e e scrib irse:
T v k - l c t e . ' [ 4 - 1 6 ]
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T R A N S F O R M A C I O N E S D E O A S E S P E R F E C T O S 51
L a [ 4 - 1 6 ] e x p re s a la re la c ió n e n tre te m p e r a tu ra y v o lu m e n a lo la rg o
d e u n a a d ia b á tic a . P a ra o b te n e r la re la c ió n e n tr e p r e s ió n 'y v o lu m e n , o b te n e
m o s T d e la e c u a c ió n d e e s ta d o d e l gas.
r \T »
P v .
R
re e m p la z a d a e n [ 4 - 1 6 ] n o s da:
« • . • •• • p v k , ..* \ V* 1 = c te .
R
La c o n s ta n te R la e n g lo b a m o s e n la c o n s ta n te d e l se g u n d o m ie m b ro y
a g ru p a n d o q u e d a : >
:p v * = c te . [ 4 - 1 7 ]
La [ 4 - 1 7 ] es la l la m a d a E c u a c ió n d e P O IS S O N .I , I*i‘ : i» t¡ I il , R TS i en la [ 4 - 1 6 ] re e m p la z a m o s y=>— se t r a n s f o rm a en:
P
k ~ ¡R T
P= c te .
q u e p u e d e e scrib irse:
T .p1 - k
k■ele. [ 4 - 1 8 ]
L a [ 4 - 1 7 ] n o s in d ic a q u e la re p re s e n ta c ió n d e la a d ia b á tic a e n el p la n o
p v n o s d a r á u n a cu rv a d e f o rm a p a re c id a a la is o té rm ic a . •
E n e s te c a s o , el v o lu m e n e s tá e le v a d o a u n .e x p o n e n tc k q u e se rá
m a y o r q u e la u n id a d , p o r lo q u e al re d u c ir el v o lu m e n e n u n a a d ia b á tic a
;,. i 1 c re c e rá m ás la p re s ió n q u e e n el
c a s o d e la iso té rm ic a .
E l tra b a jo in te r c a m b ia d o e n la
a d ia b á tic a lo c a lc u la re m o s m e
d ia n te u n a p ro p ie d a d de la e n e r g ía in te rn a :
L = Ul - U2
P o r t ra ta rs e d e u n s is te m a i n t e
g ra d o p o r la u n id a d d e m a s a d e
u n gas p e r fe c to
u, - u2 = cv (7'| — 7 j)
c o n lo q u e el t r a b a jo e s ta rá d a d o
po r:
Fig. 4-4 L o c v (T x - Tt ) 14-19)
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5 2 C A R L O S A. G A R C I A -T E R M O D IN A M I C A T E C N IC A
D arem o s o tra s fo rm a s a la e x p re s ió n d e l t r a b a jo e n u n a a d ia b á tic a .
M u ltip liq u e m o s y d iv id a m o s p o r R la [ 4 - 1 9 ] y s a q u e m o s fu e ra d e l p a ré n te s is a
T , , n o s q u ed a: /. . . . . . . ‘ .
c v / 7*3A = — R Ti • ( 1 - —
R \ Tx
R Cy |R e c o rd a n d o q u e — = k - 1 , será: — =»,
la a n te r io r , n o s p e rm ite escrib ir:
R k - 1«t
tei. >
R Tt
k - 11 - ± 1
■ T\
, q u e r e e m p la z a n d o en
[ 4 - 2 0 ]
S i q u e re m o s q u e e n la e x p re s ió n d e l t r a b a jo a p a re z c a n lo s v o lú m e n e s
d e lo s e s ta d o s e x tre m o s d e la tra n s f o rm a c ió n , s a b e m o s p o r la [ 4 - 1 6 ] q u e:
Ti Vik - 1
lu eg o :
T i ,v i
•i
* - l
FTi \ vj
Q u e re e m p la z a d a e n [ 4 - 2 0 ] n o s d a:
R Ti / 9ÍV \ k - 1 IL » ■ 1 - í —k - 1 \ V1 1 J [4 -2 1
P ara o b te n e r u n a e x p re s ió n d e l t r a b a jo e n fu n c ió n de las p re s io n e s
e x tre m a s d e la tra n s fo rm a c ió n re c u r r im o s a la [ 4 - 1 7 ] q u e n o s p e r m ite e s c r i
b ir: * ,
. k kP I »»I = P 3 kj
o sea:
Vi
Vi P \ 1 . .
q u e re m p la z a d a e n [ 4 - 2 1 ] la t r a n s f o rm a en:
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T R A N S F O R M A C I O N E S DE G A S E S P E R F E C T O S 5 3
( 4 - 2 2 ]
E n c u a n to al c a lo r e s p e c if ic o d e la a d ia b á tic a , d a d o q u e e n la m ism a se
p ro d u c e v a ria c ió n d e te m p e r a tu ra sin in te r c a m b io d e c a lo r , se rá n u lo
i *
c ad = 0
4.1.5. Transform ación pol¡trópica
. D e f in ire m o s c o m o p o li tró p ic a a to d a tra n s fo rm a c ió n d u r a n te la c u a l el
c a lo r e s p e c íf ic o se m a n te n g a c o n s ta n te .
c = c te .
f i i f r r m : [ ' U o i - ' i ' •••; >» • - . ó ! : . i ' ) • ■ ■■■D e a c u e r d o c o n la d e f in ic ió n h a b r á in f in ita s p o li tró p ic a s u n a p a ra c a d a
v a lo r p a r t ic u la r d e c y las c u a tr o tr a n s f o rm a c io n e s e s tu d ia d a s a n te r io rm e n te
n o se rá n m á s q u e c a s o s p a r t ic u la re s d e p o l i tró p ic a s . .
P ara o b te n e r la s re la c io n e s e n tr e lo s p a r á m e tro s p , v y T, a lo la rg o d e
u n a p o li tró p ic a c u a lq u ie ra , p a r t ire m o s d e la e x p re s ió n d e l p r im e r p r in c ip io
p a ra u n p ro c e s o e le m e n ta l d e u n s is te m a c e r ra d o .
•- «rw .'i-.M ím \ ■ •!» • •'!' • •• •'» *•;•
• {. t. ■.•' lífit.- \‘ ' . ó Q = d U + 5 L d > ■ ■
¡ir. ntq -i*!--;\ /.y i- v:” •h E n n u e s tr o c aso te n d r e m o s : .■'u-. ■ . - • - .
\ i
5 Q m e d T d u = c v d T 5 L o p d v
Q u e re e m p la z a d a s e n la a n te r io r n o s d an :)
c d T = c v d T + p d v
q u e se p u e d e e s c rib ir ta m b ié n :, , w
I {cy - c ) d T + p d v ~ 0
R Tj E lim in a n d o la p re s ió n p o r la e c u a c ió n d e e s ta d o p = — —, se tra n s fo rm a
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54 C A R L O S A . G A R C I A -T E R M O D IN A M I C A T E C N IC A
D iv id ie n d o p o r T a f in d e se p a ra r v a ria b le s y p o r c v - c n o s da:
' d T 1 R d v, * f * *'
S i h a c e m o s:
; 0C y — C V J
I A [4-23]
la [4 -2 3 ] quedará :
R
c v - cm - 1 [4-24]
d T ... • ! vdv'-i + (m - 1 ) ------- = 0 .T v
Ir t i l l í . i jr . ín u - .l i lu ' ', .• U
i ¡¡r-.u : i i.l !
<,.»•!* [4-25]
La [ 4 - 2 5 ] es la e c u a c ió n d ife re n c ia l d e la s p o li tró p ic a s . S i la c o m p a r a
m o s c o n la [ 4 - 1 5 ] q u e c o r re s p o n d e a a d ia b á tic a s ' ^ J 1 J 'y ," '
d T d v \ '■ 1 , , y ' , t ‘‘'— + ( * - i ) — - o * • '••• ••■ • • 1
T v A * • -v i- ..» • •
S e p u e d e o b se rv a r q u e so n to ta lm e n te an álo g a s y q u e la re fe re n te a
a d ia b á tic a s se t ra n s fo rm a e n la d e la s p o li tró p ic a s c o n el sim p le re e m p la z o de
k p o r m . E n c o n s e c u e n c ia to d a s las e x p re s io n e s o b te n id a s p a ra a d ia b á tic a s
se rán v á lid a s p a ra p o litró p ic a s si re e m p la z a m o s k p o r m e n e lla s . E n el
c u a d ro s ig u ie n te se in d ic a n d ic h a s e x p re s io n e s :
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A m se lo d e n o m in a e x p o n e n te d e la p o li tró p ic a . P a ra c a d a v alo r del
c a lo r e s p e c íf ic o c o r re s p o n d e rá u n v a lo r d e m . P a r t ie n d o d e la ( 4 - 2 4 ) p o d e
m o s o b te n e r la e x p re s ió n p a ra el c á lc u lo d e m c o n o c id o c . E n e f e c to de
( 4 - 2 4 ) resu lta:
^ c p - c vm a + 1 = + 1
T R A N S F O R M A C I O N E S D E O A S E S P E R F E C T O S 55
q u e se tra n s fo rm a en:
c v - c cy - c
CP ~ C
- c( 4 - 2 6 )
Si la p o litró p ic a se d a d a n d o el e x p o n e n te rn, a p a r t i r d e él p u e d e
o b te n e rs e el c a lo r e s p e c íf ic o . D e ( 4 - 2 6 ) re s u lta
m ( c v _ c ) = c p - c
tra s p o n ie n d o m cv - c p = c (m - 1 )
m cv - cO s e a : , P H - « l
m - I
V eam o s a h o ra q u é e x p o n e n te s m c o r re s p o n d e n a c a d a u n a de las c u a
tro tra n s fo rm a c io n e s e s tu d ia d a s p re v ia m e n te .
/ ) Si h a c e m o s c =. c v re s u lta a p lic a n d o la ( 4 - 2 6 )
c p - cv m = — = 00
C V - Cy
S i re e m p la z á ra m o s e s te v a lo r d e m e n la re la c ió n p »,m = c te . se
o b te n d r á u n a e x p re s ió n q u e n o n o s d ic e n a d a p- i»" = c te . S i e s c rib im o s , e n
c a m b io , c o m o re la c ió n d e las p o litró p ic a s :
J _
i»p v = c te .
e n to n c e s m = «» n o s d a
l5
p V = p ° y n V = ctC .
es d e c ir e s ta m o s e n el c a s o d e la iso c o ra c o m o c o r re s p o n d ía ,
iii • >.
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2 ) S i c « c p e n to n c e s :
m . Í L Z f E = o
Cv - Cp
R e e m p la z a n d o en la re la c ió n d e la s p o litró p ic a s
p vm *> p v° = p = e tc . . . . , ..
c o r re s p o n d e a la iso b a ra
J ) S i a lio ra a d o p ta m o s c = 00 te n d r ía m o s
6 6 C A R L O S A G A R C I A -T E R M O D IN A M I C A TE CN IC A
mcv
e x p r e s ió n in d e te rm in a d a . A fin d e q u i ta r la in d e te rm in a c ió n e s c rib a m o s la
( 4 - 2 6 ) d e e s te o t r o m o d o :
i ,c
m o -------------
c
re e m p la z a n d o a lio ra c «= 00 o b te n e m o s :OlUOi'. l/.V
. 1 .
í l - .
m ---------------------= 1
i l - l
c o n lo q u e p vm = p v = c te .
q u e es la e x p re s ió n q u e c o rre s p o n d e a las iso té rm ic a s .
4 ) S i a d o p ta m o s c = 0 , re s u lta
mcp - 0 cp
c v - 0 c v
y la e c u a c ió n c o r re s p o n d ie n te resu lta: ..
p = e tc . . ¡
e s d e c ir la d e la a d ia b á tic a c o m o d e b e r ía o c u rrir .
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T R A N S F O R M A C I O N E S D E G A S E S P E R F B C T O S 67
4 . 2 . M É T O D O S D E R E P R E S E N T A C IÓ N G R Á F IC A D E T R A N S F O R M A C IO N E S , .....
4 .2 .1 . Representación de una isotérmica en diagrama p, v
Se t r a ta d e tra z a r e n el d ia g ra m a p, v la is o té rm ic a q u e p a s a p o r u n e s ta d o
d e te r m in a d o (f ig . 4 - 5 ) . Se p ro c e d e d e l s ig u ie n te m o d o :
a ) Se trazan por 1 una horizontal y una vertical.
b ) P o r e l o r ig e n d e c o o rd e n a d a s
se tra z a u n a re c ta c o n u n a in c li
n a c ió n c u a lq u ie ra ,
l i s ta c o r ta en A y B a la v ertic a l
y h o r iz o n ta l tra z a d a s p o r 1.
Fig. 4-5
»v.q i; 'i l 'l ’.F •' !:1. ;i / . i i».i;icih tit 'i • i ; . . i t •.
„■ y< •! ; :rií -f/0 • ‘ - | »i- *•;. 11 .ol.cl» .>*/«}•• Ú .. I
, ' 1 zoj-* -:«>h ll.íl-'l V ' •
•i i,, i i r < : : ’ Á~C<• «j <» - 0*1 ¡ ii'- >■ i* i - = r
. O C
c ) P o r A se t r a z a u n a h o r iz o n ta l
y p o r B u n a v e r tic a l q u e se c o r ta
rán en u n p u n t o 2 . El p u n t o 2 re p re s e n ta rá o t r o e s ta d o de la
is o té rm ic a q u e p a s a p o r 1.
P ara d e m o s tr a r la v a lid e z d e l m é
to d o p r o lo n g a m o s las v e rtic a le s
q u e p a s a n p o r 1 y 2 h a s ta c o r ta r
al e je d e ab eisas e n 'C y D. ■E n la fig u ra te n e m o s d o s tr iá n g u
lo s r e c tá n g u lo s se m e ja n te s:
cf/uc ~ OlU)e n c o n s e c u e n c ia sus la d o s so n
p r o p o r c i o n a l e s y p o d e m o s es
crib ir:
W l)
ÜD[ 4 - 2 8 ]
p e ro o b s e rv a n d o la f ig u ra v e m o s q u e:' I • ' < T ' • * •!'___ __ __
A C = p i ; OC ■ v , ; BD = p , ; OD = v 2
r e e m p la z a n d o e n [ 4 - 2 8 ] n o s 'q u e d a : ............... , . * - t: .
; si huí; H'.r.ti u: ' • ■ • i 11: • ; m i í
. l ' ¡ r , .<■. !>
y tr a n s p o n ie n d o : • * . .¡t m ,•> Pz x'z. i ¡ ¡ : 1,1
/ : ' J ! r . « : i u / t . M ! »
ElV|
p I
Vi
P\ V|
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5 8 C A R L O S A. G A R C I A T E R M O D IN A M IC A TE C N IC A
q u e es la c o n d ic ió n p a ra q u e 1 y 2 p e r te n e z c a n a la m ism a iso té rm ic a .
R e p it ie n d o el p r o c e d im ie n to se p u e d e n o b te n e r o t r o s p u n to s de la
is o té rm ic a y f in a lm e n te tra z a r la c u rv a (f ig . 4 - 6 ) ., i ' *■ .. u.-' • ■inn i-a in * 'V v/v '» .15 I •’.!»
Fig. 4-6
4 .2 2 . R e p re s e n ta c ió n d e p o li tró p ic a s . M é to d o d e B ra u e r
E l m é to d o d e B ra u e r p e rm ite tra z a r e n u n d ia g ra m a p , v u n a
p o litró p ic a d e e x p o n e n te m q u e
p ase p o r u n e s ta d o d a d o . Se t r a
z a n e n p r im e r lu g a r d o s e je s a u x i
lia re s (f ig . 4 - 7 ) q u e fo rm a n c o n los
e je s p r in c ip a le s á n g u lo s a y p q u e
c u m p la n c o n la c o n d ic ió n :
1 + t g a = (1 + t g 0 ) m [ 4 - 2 9 ]
L u eg o p o r 1 se t ra z a u n a h o r i
z o n ta l q u e c o r ta rá al e je d e o r d e
n a d a s e n A .
P o r el p u n t o A se tra z a u n a re c ta
q u e f o rm e u n á n g u lo d e 4 5 °
c o n el e je p r in c ip a l. E s ta c o r ta rá
al eje a u x ilia r e n 2L P o r t í se t r a
z a u n a h o r iz o n ta l .
Se tra z a u n a v e rtic a l p o r 1Fig. 4-7
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q u e c o r ta rá al e je d e a b cisas e n D y a l e je a u x ilia r e n E. P o r E se t ra z a u n a re c ta
q u e fo rm e u n á n g u lo d e 4 5 ° c o n lo s e je s p rin c ip a le s , q u e c o r ta rá al e je de
a b c is a s e n F . P o r F se tra z a u n a v e rtic a l q u e c o r ta rá a la h o r iz o n ta l tra z a d a p o r
tí e n u n p u n to 2 . E l p u n to 2 re p re s e n ta rá u n e s ta d o d e la p o li tró p ic a de
e x p o n e n te m q u e p a s a p o r 1.
P ara d e m o s tr a r lo v e a m o s q u e e n el e je d e o rd e n a d a s p o d e m o s escrib ir:
OA = OC + CA [ 4 - 3 0 J
E l tr iá n g u lo ABC e s re c tá n g u lo d e á n g u lo s a g u d o s iguales lu e g o sus
c a te to s so n ig u ales es d ecir:
CA => BC |4 - 3 1 )
E n el tr iá n g u lo re c tá n g u lo OBC p o d e m o s escrib ir:
BC = OC tg a . . [ 4 - 3 2 ]
Si re e m p la z a m o s e n [ 4 - 3 0 ] la [ 4 - 3 2 ] te n ie n d o p re se n te la [ 4 - 3 1 ] n o s q u e d a :
OA = OC + OC t g a
S a c a n d o OC f a c to r c o m ú n :
OA = OC ( 1 + tg a )
P e ro o b s e rv a n d o la fig. 4 - 7 v e m o s q u e
OA «= p i y OC *» p 2
lu e g o te n e m o s:
Pi = P t 0 + tg a ) [ 4 - 3 3 ]
S o b re el e je d e ab cisas te n e m o s u n se g m e n to q u e p u e d e e x p re s a rs e
c o m o su m a de o tr o s dos:. . « . 1 |.
O F = OD + D F ' ' [ 4 - 3 4 ]
E l tr iá n g u lo D EF es re c tá n g u lo d e á n g u lo s ag u d o s ig u a le s luego:
D F = DE [ 4 - 3 5 ]
y e n el tr iá n g u lo ODE p o d e m o s e s ta b le c e r:
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T e n ie n d o e n c u e n ta las [ 4 - 3 5 ] y ( 4 - 3 6 ] la [ 4 - 3 4 ] p u e d e e s c rib irse
OF=OD + OD tg0 *¡“f !
S a c a n d o OD f a c to r c o m ú n
p e r o o b se rv e m o s q u e
lu e g o n o s q u ed a:
o f = o o ( i + tg ß)
¡ i: . ! . ■
O F = v 2 y OD = r ,
»•j = vx (1 + tg / J ) ,
Si la e le v a m o s a la p o te n c ia m te n d re m o s:
V? - v!" (1 + f £ 0 ) m <‘9 • ( 4 - 3 7 ]
Si d iv id im o s m ie m b ro a m ie m b ro la [ 4 - 3 3 ] p o r la [ 4 - 3 7 ] o b te n e m o s :• : • • • A.- - i . i
P i P i 1 + tg a
»’2 m v , m ( l + t g 0 ) m
el se g u n d o q u e b r a d o del se g u n d o m ie m b ro vale la u n id a d , d a d a la c o n d ic ió n
[ 4 - 2 9 1 e s ta b le c id a e n tr e lo s á n g u lo s a y 0 , c o n lo q u e q u e d a
P i ■ ‘. P j t '
V2 m l'j m
y tra s p o n ie n d o : ; . _ i
Pi »’ i m = Pi . ;[ , . . ,
q u e es la c o n d ic ió n p a ra q u e lo s e s ta d o s 1 y 2 p e r te n e z c a n a la p o li tró p ic a
d e e x p o n e n te m , c o n lo q u e q u e d a d e m o s tr a d a la v a lid e z d e l m é to d o . R e p i
t ie n d o el t ra z a d o se p u e d e n o b te n e r o tr o s p u n to s y lu e g o tra z a r la c u rv a .
4 .3 . S IS T E M A C IR C U L A N T E C O N G A S P E R F E C T O
E s tu d ia re m o s a h o ra u n s is te m a c irc u la n te en q u e el f lu id o q u e c irc u la
es u n gas p e r fe c to , q u e n o v a r ía su e n e rg ía p o te n c ia l , n i su e n e rg ía c in é tic a ,
e x p e r im e n ta n d o al c irc u la r u n a t r a n s f o rm a c ió n c u a s i e s tá tic a . E n el c aso
in d ic a d o el t r a b a jo q u e el s is te m a in te r c a m b ia c o n el m e d io e s ta rá d a d o p o r
la e x p re sió n : ■. \ ; \
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u " ! ‘ ! ' v ■*i *', , I c = f ' : - v d p ’ " *. [ 4 - 3 8 ]
v e a m o s el v a lo r q u e c o r re s p o n d e p a ra d iv e rso s t ip o s d e tra n s fo rm a c io n e s .
1) v = c te .j i..
E n e s te caso la in te g ra c ió n d e la [ 4 - 3 8 ] n o s da:
, „ ¡ < • Tc = v (p i - p 2)
2 ) p o c te .
L a c o n d ic ió n im p lic a d p « O y e n c o n s e c u e n c ia
Lc - 0
3 ) T o c te . ¿ /V, . .i
S i e n la [ 4 - 3 8 ] re e m p la z a m o s v e n f u n c ió n d e p p o r la e c u a c ió n d e
e s ta d o :
• R Tv = ------- , e n to n c e s :
P
r 7 R T ,¿ c = / -------------- dp
J \ p
C o m o R y T s o n c o n s ta n te s la in te g ra c ió n d a p o r r e s u lta d o
:'io í.n'i- ■ • 'P\
LC = R T ln —
i ‘ p *\ c 'q u e c o m o lo s v o lú m e n e s e n u n a is o té rm ic a so n in v e rs a m e n te p ro p o rc io n a le s
a la s p re s io n e s p u e d e e s c rib irse ta m b ié n :o. . i r. • j ■ . 1 -
■ i ■ ...i i<,c y.'.u/i1./;!«; .•.!.(), • • ■•'.si •> y ' 1''f. . . «•• r h c , L c = R T l n — — : : '
•i .*-* * -i.- i . 0 'r, j . . i * 1/ » .• . . u . i v • . . . < v , . • . _ • • . . •
- y . » / S . '> 1 V » K. i „ • : . . . : -I . • •
4 ) T ra n s fo rm a c ió n a d ia b á t ic a (Q = 0 , 6 Q = 0 )
E n e s te c a s o p o r .la p ro p ie d a d d e la e n ta lp ia será:
T R A N S F O R M A C I O N E S D E G A S E S P E R F E C T O S 6 i
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C o m o el f lu id o q u e c irc u la e s u n g as p e r fe c to y su e n ta lp ia s ó lo f u n
c ió n d e la te m p e ra tu ra :
, ... v ■ 1 I n ír.'P P 1 ■»o v* r - h 2 - c p ( r , - t 2)
q u e re e m p la z a d a e n [ 4 - 3 9 ] n o s da:
'• • ! ! '/< " o r , « i . . » m i < v s ; v »» ¡
¿ c - cp (T i - T 2)
Si m u lt ip lic a m o s y d iv id im o s p o r R y s a c a m o s fu e ra d e l p a ré n te s is la te m p e r a tu ra Tx te n d re m o s : ..
62 C A R L O S A. G A R C / a T E R M O D IN A M IC A TE CN IC A
l . - * - R T x ( 1 - — ; ) [4-40]R Tt
C PE l v a lo r — p o r la re la c ió n d e M a y e r será: ’ ’
R, • * • >• i’.Nflqin*'*«'« a.’ r:'* 1 ?
C P _ C P
R • CP - c v ‘
y d iv id ie n d o n u m e ra d o r y d e n o m in a d o r p o r c v q u e d a rá :
C P
R * - 1 . ^
q u e re e m p la z a d a e n la [ 4 - 4 0 ] la tra n s fo rm a en:
/ . c - — — R T , l 1 - — ] [ 4 4 1 ]
• ' ■ : ', .'r; ?•;»«'-i-ei» . •S i c o m p a ra m o s la [4 - 4 1 ] c o n la [ 4 - 2 0 ] q u e d a b a e l tr a b a jo p a r a el c aso
d e s is te m a c e r ra d o q u e e v o lu c io n a a d ia b á tic a m e n te , c o n s t itu id o p o r g as p e r
f e c to , v e re m o s q u e se p a s a d e la se g u n d a a la p r im e ra m u lt ip lic a n d o p o r k. P o r c o n s ig u ie n te p o d e m o s o b te n e r la s e x p re s io n e s d e l tr a b a jo d e l s is te m a
c ir c u la n te e n fu n c ió n d e lo s v o lú m e n e s o la s p re s io n e s d e lo s e s ta d o s e x t r e
m o s , m u lt ip l ic a n d o la s [ 4 - 2 1 ] y [ 4 - 2 2 ] p o r k. O b te n ie n d o : ¡ ,i,V; .i ¡
Lc °k - I * r i [ ■ - í )
k - T í ?rT
[ 4 - 4 2 ]
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L C "
/ k - 1k
------------------------- R T t l kk - 1 \ P i /
[ 4 4 3 ]
P ara p o li tró p ic a s las e x p re s io n e s d e l t ra b a jo d e l sistem a c ir c u la n te se
o b te n d r á n r e e m p la z a n d o e n la s [ 4 4 1 ] , [ 4 - 4 2 ] y [ 4 4 3 ̂ k p o r m , se g ú n lo y a
v is to a n te r io rm e n te , te n d r e m o s e n c o n se c u e n c ia :
Lc "m TjR T\ (1 - — )
m - 1
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m - 1
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