Chöông 4 Xaùc Suaát (Probability)Khaùi nieämPhöông phaùp tính xaùc suaátQuy taéc coäng xaùc suaátQuy taéc nhaân xaùc suaátCoâng thöùc tính xaùc suaát toaøn phaànCoâng thöùc BayesQuy taéc ñeám

Khaùi nieäm

Xaùc suaát (Probability).Pheùp thö û(Experiment).Keát cuïc (Outcome).Bieán coá (Event).

Phöông phaùp tính xaùc suaátPhöông phaùp khaùch quan

Phöông phaùp coå ñieån

Phöông phaùp thöïc nghieäm

Soá keát cuïc thuaän lôïi cho A

Toång soá keát cuïc ñoàng khaû naêngP(A)=

Soá laàn bieán coá A xuaát hieän trong quaù khöù

Toång soá quan saùtP(A)=

Phöông phaùp chuû quanPhaùn ñoaùn caù nhaân.Kinh nghieäm.Yù kieán chuyeân gia.

Phöông phaùp tính xaùc suaát

Qui taéc coäng xaùc suaát

Hai bieán coá goïi laø xung khaéc khi khoâng theåxaûy ra ñoàng thôøi trong moät pheùp thöû

Bieán coá xung khaéc

A B

Coâng thöùc coäng ñaëc bieätP(A hoaëc B)= P(A) + P(B)

Qui taéc coäng xaùc suaát

Giaûn ñoà Venn : A, B xung khaéc

ªBieán coá ñoái laäp

)(1)(1)()(

APAPAPAP

−=

=+A

A

A, B khoâng xung khaéc Coâng thöùc coäng toång quaùt:

P(A hoaëc B)=P(A) + P(B) -P(A.B)

AvaøB

AB

Qui taéc nhaân xaùc suaát

Bieán coá ñoäc laäp Coâng thöùc nhaân ñaëc bieät:

P(A.B) = P(A).P(B)

Xaùc suaát coù ñieàu kieän.

Qui taéc nhaân xaùc suaát

0)()(

).()/(

≠

=

APAPBAPABP

Vôùi:

Qui taéc nhaân xaùc suaát

Hai bieán coá A, B khoâng ñoäc laäp

Coâng thöùc nhaân xaùc suaát toång quaùt.

P(A.B) = P(A).P(B/A)

Coâng thöùc tính xaùc suaát ñaày ñuû

Coâng thöùc tính xaùc suaát ñaày ñuû

BA1

A2

A3

A4

Coâng thöùc:

Coâng thöùc tính xaùc suaát ñaày ñuû

∑=

=n

iii ABPAPBP

1)/().()(

Coâng thöùc Bayes

Coâng thöùc Bayes

∑=

= n

iii

iii

ABPAP

ABPAPBAP

1)/().(

)/().()/(

Qui taéc ñeám

Qui taéc nhaânSoá caùch ñeå hoaøn thaønh toaøn boä coâng vieäc

Chænh hôïp

n1.n2….nk

)!(!kn

nAkn −=

kkn nA =

)!(!!

knknCk

n −=

Chænh hôïp laëp.

Toå hôïp.

Qui taéc ñeám

Chöông 5 Bieán ngaãu nhieân vaøcaùc phaân phoái xaùc suaát thoâng

duïng.

Bieán ngaãu nhieân

Bieán ngaãu nhieân

Khaùi nieämKyù hieäu:X,Y,.. Bieán ngaãu nhieân vaø x, y…trò soá cuûa

bieán ngaãu nhieân.Bieán ngaãu nhieân rôøi raïc.Bieán ngaãu nhieân lieân tuïc.

Phaân phoái xaùc suaát

Phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân rôøi raïc.X x1 x2 … xn Coäng

Pi P1 P2 … Pn ∑Pi=1

Ñaëc tröng cuûa bieán ngaãu nhieân

Trung bình (Kyø voïng-Expected)

Phöông sai (Variance)

∑=

==n

iii xPxXE

1)()(μ

∑=

−=n

iii xPx

1

22 )()( μσ

Ñoä leäch tieâu chuaån

Ñaëc tröng cuûa bieán ngaãu nhieân

∑=

−=n

iii xPx

1

2 )()( μσ

Phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân lieân tuïc

Phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân lieân tuïc

∫=⟨⟨b

a

dxxfbXaP ).()(

f(x): laø haøm maät ñoä xaùc suaát phaûi thoûa 2 ñieàu kieän:

Phaân phoái xaùc suaát cuûa bieán ngaãu nhieân lieân tuïc

0)( ≥xf

∫+∞

∞−

= 1)()( xdxf

Phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng

Phaân phoái nhò thöùc.Trong moät pheùp thöû chæ coù 2 keát quaû: thaønh coâng hay khoâng thaønh coâng.Xaùc suaát thaønh coâng khoâng ñoåi ôû töøng pheùp thöû.Caùc pheùp thöû ñoäc laäp.

Xaùc suaát ñeå coù x laàn thaønh coâng trong n pheùp thöû:

xnxxn PPCxP −−= )1()(

Ñaëc tröng cuûa phaân phoái nhò thöùc.

Trung bình:

Phöông sai:

Ñoä leäch tieâu chuaån:

PnXE .)( ==μ

)1(.2 PPn −=σ

)1(. PPn −=σ

Phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng

Phaân phoái sieâu boäi.Trong moät pheùp thöû chæ coù 2 keát quaû:thaønh coâng hay khoâng thaønh coâng.Xaùc suaát thaønh coâng khoâng coá ñònh.Caùc pheùp thöû khoâng ñoäc laäp.

Xaùc suaát ñeå coù x laàn thaønh coâng trong n pheùp thöû:

nN

xnSN

xS

CCCxP

−−=

.)(

Phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng

Ñaëc tröng cuûa phaân phoái sieâu boäi

Trung bình:

Phöông sai:

Ñoä leäch tieâu chuaån:

PnXE .)( ==μ

1)1(2

−−

−=N

nNPnPσ

1.)1(

−−

−=N

nNPnPσ

Phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng

Phaân phoái PoissonCoâng thöùc:

Ñaëc tröng cuûa phaân phoái Poisson:Trung bình:

Phöông sai:

Ñoä leäch tieâu chuaån:

!.)(xexP

x μμ −

=

PnXE .)( ==μ

Pn .2 =σ

Pn .=σ

Phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng

NGUYEÂN LYÙ TK KINH TEÁ

Phaân phoái chuaån

Phaân phoái chuaånÑònh nghóa:

Phaân phoái cuûa bieán ngaãu nhieân lieân tuïcHaøm maät ñoä xaùc suaát cuûa X:

⟨+∞∞⟨−=−−

xexfx

2

2

2)(

21)( σ

μ

πσ

Phaân phoái chuaån

Ñöôøng congphaân phoái chuaån

Mean Median Mode

X

f(X)

μ

1.Ñoái xöùng2.

Xaáp xæ 68% giaù trò naèm trong khoaûng ±1σ so vôùi μ.Xaáp xæ 95% giaù trò naèm trong khoaûng ±2σ so vôùi μ.Xaáp xæ 99,73% giaù trò naèm trong khoaûng ±3σ so vôùi μ.

Tính chaát cuûa phaân phoái chuaån.

ModeM e ==μ

Phaân phoái chuaån

μ x

f(x)

0

σ(μ+σ)(μ-σ)

68%

95%

Phaân Phoái Chuaån

Vôùi caùc tham soá μ vaø σ thay ñoåi, ta coù caùc phaân phoái chuaån khaùc nhau

Hoï Phaân Phoái Chuaån

Chuaån hoùa phaân phoái chuaån

Ñoåi bieán:

X~N(μ,σ2)

Haøm maät ñoä xaùc suaát cuûa Z:

σμ−

=xZ

2

2

.21)(

z

ezf−

=π

Z ~N (0,1)

Ñöôøng cong phaân phoái chuaån ñôn giaûn

f(X)

μ

Z

σ

0Zμ =

1Zσ =

f(Z)

Phaân phoái chuaån Z coù trung bình baèng 0 vaø phöông sai baèng 1

Tìm xaùc suaát

Xaùc suaát ñeå X nhaän giaù trò

trong khoaûng [c;d]!

c dX

f(X)

( ) ?P c X d≤ ≤ =

Söû duïng baûng tính saün naøo?

Coù caû moät “hoï” phaân phoái chuaån, nghóa laø coù nhieàu baûng!

Baûng tích phaân LaplaceZ 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .02790.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .06750.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .10640.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .14430.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .18080.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157

………1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .35541.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770… … … … … … … … … …2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4893 .4798 .4803…2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948

Söû duïng baûng phaân phoái chuaån ñôn giaûn

0.0 .000 .0040 .080

.0398 .0438

0.2 .0793 .0832 .0871

0.3 .1179 .1217 .1255

.0478.02

0.1 .0478

Xaùc suaát

Chæ caàn söû duïng moät baûng 0 1Z Zμ σ= =

Z = 0.120

Z .00 .010.5000

Ví duï

6.2 5 0.1210

XZ μσ− −

= = =

Phaân phoái chuaån Chuaån hoaùphaân phoái chuaån

10σ = 1Zσ =

5μ =6.2 X Z

0Zμ =0.12

Ví duï: ( )2.9 7.1 .1664P X≤ ≤ =

10σ = 1Zσ =

5μ =7.1 X Z0Zμ =

0.21

2.9 5 7.1 5.21 .2110 10

X XZ Zμ μσ σ− − − −

= = = − = = =

2.9 0.21−

.0832.0832

Ví duï: ( )8 .3821P X ≥ =

10σ = 1Zσ =

5μ =8 X Z0Zμ =

0.30

8 5 .3010

XZ μσ− −

= = =

.3821

Vaøi öùng duïngÑöôïc bieát thôøi gian thanh toaùn caùc hoùa ñôn

cuûa khaùch haøng taïi moät coâng ty coù phaân phoái chuaån vôùi trung bình laø 18 ngaøy vaø ñoäleäch tieâu chuaån laø 4 ngaøy. Haõy tính:

1.Tæ leä hoùa ñôn coù thôøi gian thanh toaùn töø 12 ñeán 18 ngaøy.

2.Tæ leä hoùa ñôn coù thôøi gian thanh toaùn töø 20 ñeán 23 ngaøy.

3.Tæ leä hoùa ñôn coù thôøi gian thanh toaùn tröôùc 8 ngaøy.

4.Tæ leä hoùa ñôn quaù haïn thanh toaùn >30ngaøy

Ví dụ 2

Chiều cao những người trưởng thành củamột địa phương giả sử có phân phối chuẩn

với trung bình bằng 163 cm và độ lệch tiêu chuẩn là 4,5 cm.

1. Tính tỉ lệ những người trưởng thành cóchiều cao trong khoảng (160, 165) cm

2. Tính tỉ lệ những người trưởng thành cóchiều cao >165 cm

3. Tính tỉ lệ những người trưởng thành cóchiều cao <160 cm.

4. Tính tỉ lệ những người trưởng thành cóchiều cao trong khoảng (165,170) cm

Duøng phaân phoái chuaån ñeå xaáp xæcho caùc phaân phoái xaùc suaát rôøi raïc

1.Xaáp xæ cho phaân phoái nhò thöùcX ~ B(n,P) N(μ,σ2)Söû duïng heä soá ñieàu chænh lieân tuïc:±0,5Ví duï:Ban quaûn lyù cuûa moät nhaø haøng lôùn

nhaän ñònh raèng 70% khaùch haøng môùi seõ quay trôû laïi. Trong tuaàn naøy, coù 80 thöïc khaùch ñeán duøng böõa laàn ñaàu. Haõy tính xaùc suaát ñeå ít nhaát coù 60 khaùch haøng seõ trôû laïi.

2. Xaáp xæ cho phaân phoái sieâu boäi

Ñoåi bieán:

3. Xaáp xæ cho phaân phoái Poisson.

1)1(

−−

−

−=

NnNPnP

nPXZ