1

Köşe Çözümü için Tobit Modeli

©

Köşe Çözümü Tepkileri Örnek

1 Hayırsever bağış miktarı: Çoğu insan bağışta bulunmaz. Böylece verilerin önemli bir bölümü sıfıra eşittir.

2. Evli kadınların çalışma saatleri: Evli kadınların çoğu çalışmaz. Böylece çoğu evli kadınların çalışma saatleri sıfıra eşittir.

2

Tobit modeli böyle durumları modellemek için kullanılır.

3

Model Açıklama amacı ile, bir bağımsız

değişkenli model kullanılacaktır. Gerektiği durumda model çokdeğişkenli model olarak genişletilebilir.

4

Evli kadınların eğitiminin-x, onların çalışma saatleri-y üzerindeki etkisini tahmin etmek istediğimizi varsayalım

Tobit modeline kısmen araştırmacı tarafından gözlemlenen gizli değişken y* ile başlarız:

y*=β0+β1x+u ve u~N(0,σ2)

Eğer y* pozitif ise y* erçek çalışma saatlerine eşittir. y* negatif ise, gerçek çalışma saatleri, y, sıfıra eşittir. Ayrıca u’nun normal dağıldığını varsayıyoruz.

5

Modeli uygun bir şekilde aşağıdaki gibi yazabiliriz:

yi*=β0+β1xi+ui …………………..(1)

öyle ki, yi=yi* if yi*>0

yi=0 if yi*≤0

ve ui~N(0,σ2)

i indisini i. gözlemi göstermek için kullanacağız. (1) denkleminin KDRM’ni tatmin ettiğini varsayalım

6

Gerçek çalışma saatleri

7

y*, y

Educ

y* nefatif olduğunda gerçek çalışma saatleri sıfırdır.

Grafiksel Gösterim

y* negatif olabilir. Eğer y* negatif olursa, gerçek çalışma saatleri sıfıra eşit olur.

Böylece Tobit modeli çalışmayan kadınların çalışma saatlerinin sıfıra eşit olduğu gibi durumlarla ililenir.

8

Tahmin süreci Tobit modeli EÇOB yöntemi ile tahmin

edilir. Eğer çalışma saatleri pozitif ise, (çalışan kadınlar için), yi*=yi, sonuç olarak

ui= yi- β0+β1xi

Böylece, çalışan kadınlar için EÇOF’nu en yüksek yoğunluk fonkisyonu ile verilir:

9

)(1

2

11

2

1 10

)(

)(2

1

2

)(

2

10

2102

210

ii

xy

xyxy

i

xyeeL

ii

iiii

Gerçek çalışma saatleri sıfır ise, (çalışmayan kadınlar için), sadece y*≤0 olduğunu biliyoruz. Böylece, olabilirlilik katkısı aşağıda verilen olasılıktır y*≤0,

10

)(1

)(

)(

))((

)0()0(

10

10

10

10

10*

i

i

ii

ii

iiii

x

x

xuP

xuP

uxPyPL

Kısaca olarak,

Di yi>0 olduğunda 1 değerini alan kukla değişkendir. Yukarıdaki olabilirlik katkısı aşağıdaki gibi yazılabilir.

11

0y if )(1

0y if )(1

i10

i10

ii

iii

xL

ve

xyL

ii D

i

D

iii

xxyL

1

1010 )(1)(1

Olabilirlik fonksiyonu, L, tüm gözlemlerin olasılık katkılarının çarpımlarından eldeedilir.

β0,β1 and σ’nın değerleri olabilirlik fonksiyonunu maksimize eden değerler olup, Tobit modelinin parametre tahminleridir. Gerçek hesaplamalarda Log(L) maksimize edilir.

12

n

iiLL

110 ),,(

Uygulama Uygulamada Mroz.dta verisi

kullanılmıştır. Tobit modeli kullanılarak çalışan kadınlar için çalışma saatleri denklemi tahmin edilmiştir. Modelde yer alan bağımsız değişkenler: model, nwifeinc, educ, exper, expersq, age kidslt6, kidsge6.

13

Sonuç

14 0 right-censored observations 428 uncensored observations Obs. summary: 325 left-censored observations at hours<=0 /sigma 1122.022 41.57903 1040.396 1203.647 _cons 965.3053 446.4358 2.16 0.031 88.88528 1841.725 kidsge6 -16.218 38.64136 -0.42 0.675 -92.07675 59.64075 kidslt6 -894.0217 111.8779 -7.99 0.000 -1113.655 -674.3887 age -54.40501 7.418496 -7.33 0.000 -68.96862 -39.8414 expersq -1.864158 .5376615 -3.47 0.001 -2.919667 -.8086479 exper 131.5643 17.27938 7.61 0.000 97.64231 165.4863 educ 80.64561 21.58322 3.74 0.000 38.27453 123.0167 nwifeinc -8.814243 4.459096 -1.98 0.048 -17.56811 -.0603724 hours Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

Log likelihood = -3819.0946 Pseudo R2 = 0.0343 Prob > chi2 = 0.0000 LR chi2(7) = 271.59Tobit regression Number of obs = 753

. tobit hours nwifeinc educ exper expersq age kidslt6 kidsge6, ll(0)

. use "D:\My Documents\IUJ_teaching\Research Methodology, Cross section and panel\Wooldridge Econometrics resources\data\MROZ.DTA", clear

Kısmi etkiler (marjinal etkiler)

Görüldüğü gibi tahmin edilen βj parametreleri measures the effect of xj nin y* üzerindeki etkisini ölçmektedir.

Köşe çözümünde ise, xj nin gerçek çalışma saatleri olan y üzerindeki etkisi ile ilgileniriz.

Bir sonraki slaytlarda, bağımsız değişkendeki artışın y’nin beklenen değeri üzerindeki etkisinin nasıl hesaplanacağını göstereceğiz.

15

x verildiğinde y’nin beklenen değeri aşağıdaki gibi olur. E(y|x)=P(y>0)E(y|y>0,x)

+P(y=0)E(0|y=0,x) =P(y>0)E(y|y>0,x)

…………..(1) Hesaplamamıza başlayalım E(y|

y>0,x).

16

sıfır

),|(

),|(

)),(|(

),0|(),0|(

1010

1010

1010

1010

xxuu

Ex

xxuu

Ex

xxuuEx

xuxuxExyyE

v standart normal değişken ve c sabit ise,

c=-(β0+β1x). (beklentinin x üzerinde şartlı olduğunu unutmayalım, bu yüzden

x’e bir sabit gibi davranabilirsiniz.). Sonuç olarak

ulaşırız17

)(1

)()|(

c

ccvvE

)(

)(

)(1

)(

),|(),0|(

10

10

10

10

10

10

1010

x

x

x

x

x

x

xxuu

ExxyyE

18

ıradlandıdlaolarak oranı Mill Ters ,)(/)()(

)2.....().........(

)(

)(

1010

10

10

10

ccc

burada

xx

x

x

x

Bu terim Ters Mills oranı olarak bilinir, ve λ(.) ile gösterilir.

P(y>0|x)’yi hesaplarsak

)3..(..........).........(

)(1

),(

)),((

)|0()|0(

10

10

10

10

10

x

x

xxu

P

xxuP

xuxPxyP

(2) ve (3)’ü (1)’de yerine koyarsak,

19

)4....()()()|( 1010

10

x

xx

xyE

From the above computation, you can see that there can be two ways to compute the partial effect.

20

Çalışanlar için x’in çalışma saatleri üzerindeki etkisi

x’in çalışılan saatler üzerindeki genel etkisi

)()|(

.2

)()(1),0|(

.1

101

1010101

x

x

xyE

xxx

x

xyyE

Görüldüğü gibi, her iki kısmi etki x’e bağlıdır. Bu nedenle veriler farklı gözlemlerde farklıdır.

Ancak, genel etkiyi bilmeyi verilerdeki belirli kişiye ait etkiye tercih ederiz.

Probit veya Logit modellerinde olduğu gibi, ‘genel kısmi etkini’ hesaplamanın iki yolu vardır.

21

Birinci ortlamada kısmi etkidir(OKE). x’in ortlama değerini kısmi etki förmülünde yerine koyarız. Bu STATA’da otomatik olarak hesaplanmaktadır.

İkinci Ortalama Kısmi Etkidir. Verilerde her bir birey için kısmi etki hesaplandıktan sonra ortalaması alınır.

22

Uygulama Mroz.dta, veri seti kullanılarak

çalışan kadınlar için çalışılan saat denklemi Tobit modelle tahmin edilir. nwifeinc, educ, exper, expersq, age kidslt6, kidsge6.

1. Şu anda çalışan kadınlar için eğitimin çalışma saatleri üzerindeki etkisi

ile hesaplanır 2. Tüm gözlemler için eğtimin çalışma saatleri üzerindeki etkisi ise göre hesaplanır

23

educ

xyyE

),0|(

educ

yE

)x|(

24 partial 753 34.27517 0 34.27517 34.27517 Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max

. su partial

. gen partial=_b[educ]*(1-lambda*(avxbsig+lambda))

. gen lambda=normalden(avxbsig)/normal(avxbsig)

. gen avxbsig=avxbeta/_b[/sigma]

. egen avxbeta=mean(xbeta)

. predict xbeta, xb

. *****************************

. *manually *

. *on hours for working women *

. *at average of educ *

. *Compute the Partial effect *

. *****************************

0 right-censored observations 428 uncensored observations Obs. summary: 325 left-censored observations at hours<=0 /sigma 1122.022 41.57903 1040.396 1203.647 _cons 965.3053 446.4358 2.16 0.031 88.88528 1841.725 kidsge6 -16.218 38.64136 -0.42 0.675 -92.07675 59.64075 kidslt6 -894.0217 111.8779 -7.99 0.000 -1113.655 -674.3887 age -54.40501 7.418496 -7.33 0.000 -68.96862 -39.8414 expersq -1.864158 .5376615 -3.47 0.001 -2.919667 -.8086479 exper 131.5643 17.27938 7.61 0.000 97.64231 165.4863 educ 80.64561 21.58322 3.74 0.000 38.27453 123.0167 nwifeinc -8.814243 4.459096 -1.98 0.048 -17.56811 -.0603724 hours Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

Log likelihood = -3819.0946 Pseudo R2 = 0.0343 Prob > chi2 = 0.0000 LR chi2(7) = 271.59Tobit regression Number of obs = 753

. tobit hours nwifeinc educ exper expersq age kidslt6 kidsge6, ll(0)

Çalışan kadınlar için Ortalamada Kısmi Etkinin elle hesaplanması.

25

0 right-censored observations 428 uncensored observations Obs. summary: 325 left-censored observations at hours<=0 /sigma 1122.022 41.57903 1040.396 1203.647 _cons 965.3053 446.4358 2.16 0.031 88.88528 1841.725 kidsge6 -16.218 38.64136 -0.42 0.675 -92.07675 59.64075 kidslt6 -894.0217 111.8779 -7.99 0.000 -1113.655 -674.3887 age -54.40501 7.418496 -7.33 0.000 -68.96862 -39.8414 expersq -1.864158 .5376615 -3.47 0.001 -2.919667 -.8086479 exper 131.5643 17.27938 7.61 0.000 97.64231 165.4863 educ 80.64561 21.58322 3.74 0.000 38.27453 123.0167 nwifeinc -8.814243 4.459096 -1.98 0.048 -17.56811 -.0603724 hours Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

Log likelihood = -3819.0946 Pseudo R2 = 0.0343 Prob > chi2 = 0.0000 LR chi2(7) = 271.59Tobit regression Number of obs = 753

. tobit hours nwifeinc educ exper expersq age kidslt6 kidsge6, ll(0)

educ 34.27517 9.11708 3.76 0.000 16.406 52.1443 12.2869 variable dy/dx Std. Err. z P>|z| [ 95% C.I. ] X = 1012.0327 y = E(hours|hours>0) (predict, e(0,.))Marginal effects after tobit

. mfx, predict(e(0,.)) varlist(educ)

. ***********************************

. * for working women automatically *

. * at average of educ on hours *

. * Compute the partial effect *

. ***********************************

Çalışan kadınlar için Ortalamada Kısmi Etkinin otomatik olarak hesaplanması

26

partial_all 753 48.73409 0 48.73409 48.73409 Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max

. su partial_all

. gen partial_all=_b[educ]*normal(avxbsig)

.

. *****************************************

. *manually *

. *of education for the entire observation*

. *Compute the Partial effect at average *

. *****************************************

.

educ 48.73409 12.963 3.76 0.000 23.3263 74.1419 12.2869 variable dy/dx Std. Err. z P>|z| [ 95% C.I. ] X = 611.57078 y = E(hours*|hours>0) (predict, ystar(0,.))Marginal effects after tobit

. mfx, predict(ystar(0,.)) varlist(educ)

.

. *****************************************

. *automatically *

. *of education for the entire observation*

. *Compute the Partial effect at average *

. *****************************************

Tüm gözlemler için OKE’nin elle hesaplanması.

Tüm gözlemler için OKE’nin otomatik hesaplanması.