República Bolivariana De Venezuela

Ministerio del Poder Popular Para la Educación

I.U.T “Antonio José De Sucre”

Mención Mecánica de Mantenimiento

4to semestre SAIA 79 Matemática IV

Profesor: Alumno:

ING: Ranielina Rondón Mejías Ángel V. Cedeño

C.I: 26146222

Puerto La Cruz 09 de Junio Del 2015

Transformada de Laplace es un tipo de transformada integral frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

o Aplicación de Transformada de Laplace

o Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

o Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla.

o La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace.

o La transformada de Laplace es al tiempo continuo lo que la transformada de Z es al discreto

o Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral

o La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

o Tabla de transformada de Laplace

2 ejercicios

Ejemplo 1

Con la transformada de Laplace podemos resolver circuitos electronicos en este caso circuito RLC.

Iniciamos con la ecuacion

Donde E(t) es la fuente, R el valor de la resistencia, L el valor del inductor y c el valor de la capacitancia

Sustituimos los valores y nos queda

Aplicamos Laplace a toda la ecuacion y obtenemos

Multiplicamos 10s toda la ecuacion para simplificar

Aplicamos Laplace inversa

Ejemplo 2

Resolver la siguiente Ecuacion Diferencial Transformada en ecuacion algebraica

Valor InicialSe transforma cada uno de los lados de la Ecuacion Utilizando Laplace

Se desarrolla Laplace segun el metodo de derivadas

Se agrupan Y(s) de un lado de la ecuacion

Utilizando fracciones parciales logramos obtener los valores necesitados

Sacar la Transformada Inversa de Laplace

Solucion

Ejemplo 3

PROBLEMA DE VALOR INICIALResuelva

Valores Iniciales

SOLUCION

Aplicando los valores Iniciales y simplificando obtenemos

Aplicando Laplace Inversa Obtenemos

Utilizando el primer teorema de traslacion sabemos que:

Aplicando el desfase de seria igual a:

Por con siguiente nuestra respuesta seria

Definición de transformada inversa de Laplace

Si   es la transformada de Laplace de una función continua , es

decir,  , entonces la transformada inversa de Laplace de  ,

escrita   es  , es decir, 

 

Aplicación de la transformada inversa de Laplace

Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en

una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para  , es

decir,  . Ahora, como   si pudiéramos devolvernos

obtendríamos la solución   que buscamos. Es decir, necesitamos de la

transformada inversa  , para hallar la función 

Tabla de transformada inversa de Laplace

f(t)F(s)=∫0∞e−stf(t)dtF(s)=∫0∞e−stf(t)dt

c1f1(t)+c2f2(t) c1F1(s)+c2F2(s)exp(a·t) 1s−a1s−acos(ωt) ss2+ω2ss2+ω2sin(ωt) ωs2+ω2ωs2+ω2tn n!sn+1n!sn+1

exp(at)·f(t) F(s-a)

s−a(s−a)2+ω2s−a(s−a)2+ω2

exp(at)·cos(ωt)

u(t-a) exp(-as)/su(t-a)·f(t-a) exp(-as)·F(s)δ(t-a) exp(-as)f'(t) (derivada primera) s·F(s)-f(0)f''(t) (derivada segunda) s2·F(s)-s·f(0)-s·f'(0)g(t)=∫0tf(τ)dτg(t)=∫0tf(τ)dτ (integral) F(s)/s

f(t)=f(t+p), (función periódica)11−e−sp∫0pe−stf(t)dt11−e−sp∫0pe−stf(t)dt

f(at) 1aF(sa)1aF(sa)tnf(t) (−1)ndndsnF(s)

2 ejercicios

Ejemplo 1

Calcular la Antitransformada de Laplace

Puesto que

por lo tanto tenemos que:

Ejemplo 2

Determinar

Utilizando las transformaciones de la Tabla1 obtenemos: