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Matemática - TrigonometriaMatemática - TrigonometriaMatemática - TrigonometriaMatemática - Trigonometria
Trigonometria no Triângulo Retângulo.Trigonometria no Triângulo Retângulo.Trigonometria no Triângulo Retângulo.Trigonometria no Triângulo Retângulo.
Trigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo Retângulo
Um triângulo é chamado retângulo quando apresenta um de seus ângulos internos igual à 90º. O lado que está oposto ao ângulo reto é o maior lado e é chamado de hipotenusa, enquanto os outros dois são chamados de catetos.
Razões trigonométricas no triângulo retânguloRazões trigonométricas no triângulo retânguloRazões trigonométricas no triângulo retânguloRazões trigonométricas no triângulo retângulo
SenoSenoSenoSeno
O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto ao O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.ângulo e a hipotenusa.
a
bsen
hipotenusa
ângulo aoopostocateto
a
csen
hipotenusa
ângulo aoopostocateto
a
bsen
hipotenusa
ângulo aoopostocateto
a
csen
hipotenusa
ângulo aoopostocateto
Trigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo Retângulo
CossenoCossenoCossenoCosseno
O cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto O cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.adjacente ao ângulo e a hipotenusa.
a
c
hipotenusa
ângulo aoadjacentecatetocos
a
b
hipotenusa
ângulo aoadjacentecatetocos
a
c
hipotenusa
ângulo aoadjacentecatetocos
a
b
hipotenusa
ângulo aoadjacentecatetocos
Razões trigonométricas no triângulo retânguloRazões trigonométricas no triângulo retânguloRazões trigonométricas no triângulo retânguloRazões trigonométricas no triângulo retângulo
Trigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo Retângulo
Razões trigonométricas no triângulo retânguloRazões trigonométricas no triângulo retânguloRazões trigonométricas no triângulo retânguloRazões trigonométricas no triângulo retângulo
TangenteTangenteTangenteTangente
A tangente de um ângulo é a razão entre o cateto oposto A tangente de um ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente a este mesmo ângulo.ao ângulo e o cateto adjacente a este mesmo ângulo.
c
btg
ângulo aoadjacentecateto
ângulo aoopostocateto
b
c
djacentetg
ângulo aoacateto
ângulo aoopostocateto
c
btg
ângulo aoadjacentecateto
ângulo aoopostocateto
b
c
djacentetg
ângulo aoacateto
ângulo aoopostocateto
Trigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo Retângulo
Valores Notáveis
Tabela dos valores trigonométricos de ângulos notáveis.
x 30º 45º 60º
sen x
cos x
tg x
2
1
2
2
2
3
2
3
2
22
1
3
31 3
Trigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo Retângulo
Exemplo 01: Queremos encostar uma escada de 8 m de comprimento em uma parede, de modo que ela forme um ângulo de 60º com o solo. A que distância da parede devemos apoiar a escada no solo?
Resolução: Na figura abaixo esquematizamos a situação descrita no problema.
Podemos perceber um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 8 cm, um ângulo de 60º e o lado x que queremos calcular. Como o lado x representa o cateto adjacente ao ângulo de 60º, então:
4
8282
18
º60cos
x
x
x
x
Logo, o ponto de apoio da escada no solo deve ficar a 4 metros da parede.
Trigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo Retângulo
Exemplo 12: Um agrimensor quer determinar a largura de um rio. Como não pode efetuar diretamente essa medida, ele procede da seguinte forma:
• Do ponto A, situado numa das margens do rio, ele avista o topo D, de um morro na margem oposta, sob um ângulo de 60º com a horizontal;• Afastando-se 12 m, em linha reta, até o ponto B, ele observa novamente o topo do morro segundo um ângulo de 53º com a horizontal.
Com esses dados, que medida, em metros, ele achou para a largura do rio?
Resolução: Na figura abaixo esquematizamos a situação descrita no problema.
x = largura do rio;y = altura do morro.
Para resolver este problema, utilizaremos dois triângulos, o ACD e o BCD.
Trigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo Retângulo
173,1
73,1
73,1
3
º60
xy
yxx
yx
yx
ytg
296,1533,1
96,1533,1
1233,112
33,1
º53
xy
yx
yxx
yx
ytg
9,39
4,0
96,15
96,154,0
96,1533,173,1
x
x
x
xx
No ACD, podemos estabelecer a relação: No BCD, podemos estabelecer a relação:
Substituindo o resultado de (1) em (2), temos:
Portanto, a largura do rio é de 39,9 m.
Trigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo Retângulo
Seja o triângulo retângulo ABC, sabemos pelo Teorema de Pitágoras que:
Relação Fundamental I
222 acb
1cos
1
1
22
22
2
2
2
2
2
2
2
22
xxsen
a
c
a
b
a
c
a
b
a
a
a
cb
b
A B
C
x
a
c
Trigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo Retângulo
Seja o triângulo retângulo ABC, temos:
Relação Fundamental II
c
bxtg
x
xsen
acab
xtgcos
b
A B
C
x
a
c
Trigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo Retângulo
Seja o triângulo retângulo ABC, temos:
Ângulos Complementares
cos
cos
sen
a
ba
bsen
º90
º90
b
A B
C
α
a
c
β
Assim, º90cosº90cos senousen
Podemos perceber, também, que:
º90
11
tgtgtg
b
ctg
c
btg
ou 1º90 tgtg