Embed Size (px)
Citation preview
1
อตราสว
นตรโกณ
มต
ฟงกช
นตรโกณ
มต
วงกล
ม 1 หน
วย
สตรท
ควรจาของ
ฟงกช
นตรโกณ
มต
• เอก
ลกษณ
ของ
ฟงกช
นตรโกณ
มต
กราฟ
ของฟ
งกชน
ตรโกณม
ต
• si
n θ
• co
s θ
• ta
n θ
• co
t θ
• se
c θ
• co
sec θ
ฟงกช
นผลบ
วกหร
อ
ผลตางของมม
การเป
ลยนผ
ลคณข
องฟง
กชนใหอ
ย
ในรป
ผลบว
กหรอผล
ตาง
การเป
ลยนผ
ลบวกหร
อผลต
างขอ
ง
ฟงกช
นใหอ
ยในร
ปผลค
ณ ฟง
กชนต
รโกณ
มตขอ
งมม
2A ,
3A
กฎขอ
ง sin
e ,
cosi
ne
การป
ระยก
ตของฟง
กชนต
รโกณ
มต
ตวผก
ผนขอ
งฟงกชน
ตรโกณม
ต
• ar
csin
x
• ar
ccos
x
• ar
ctan
x
• ar
ccot
x
• ar
csec
x
• ar
ccos
ec x
การแกส
มการตร
โกณม
ต
โจทย
ปญหา
สามเหล
มมมฉ
าก
2
ฟงกชนตรโกณมต
1.อตราสวนตรโกณมต เราสามารถอธบายอตราสวนตรโกณมต โดยใชสามเหลยมมมฉาก อตราสวนตรโกณมตมอย 6 อตราสวน มสญลกษณเขยนแทนอตราสวนทง 6 ดงนคอ sin ,cos , tan ,cot ,θ θ θ θsecθ และ cosecθ โดยอตราสวนตางๆ มความหมายดงน
sinθ = ac
= 1cos
sinceca
θθ
= =
cosθ = bc
= 1s
coscecb
θθ
= =
tanθ = ab
= 1cot
tanba
θθ
= =
a
bc
θ
2 2 2c a b= +
ขามฉาก
ชดฉาก
ขามชด
3
ตวอยาง เชน 1. จากรปสามเหลยมมมฉาก ABC ซงมความยาวแตละดานดงน จงหาอตราสวน
ตรโกณมตทง 6 อตราสวน
วธทา 1) มม θ
sinθ = 45
= 1 5cos
sin 4ecθ
θ= =
cosθ = 35
= 1 5s
cos 3ecθ
θ= =
tanθ = 43
= 1 3cot
tan 4θ
θ= =
2) มม ∝
3sin5
∝= 5cos3
ec ∝=
4cos5
∝= 5s4
ec ∝=
3tan4
∝= 4cot3
∝=
3
45
θ
∝
ขามฉาก
ชดฉาก
ขามชด
4
ขอสงเกต
sin coscos sintan cotsec coscos sec
ecec
θθθθ
θ
= ∝= ∝= ∝= ∝
= ∝
2.ฟงกชนตรโกณมต จากการใชสามเหลยมมมฉากมาหาคาอตราสวนตรโกณมตทง 6 อตราสวน มขอจากดคอ มม
θ ตองมคาอยระหวาง 0 90θ° < < ° คอเปนมมแหลม แตถาเราใชวงกลม 1 หนวย มาหา
คาอตราสวนตรโกณมต ขอจากดนจะหมดไป โดยมหลกในการหาคาอตราสวน cosθ และ
sinθ บนวงกลม 1 หนวย ดงน หมายเหต วงกลม 1 หนวยคอ วงกลมทมจดศนยกลางในระบบพกดฉาก xy ทจด (0,0) และมรศมเทากบ 1 หนวย
1) ถาเราตองการหาคา cos หรอ sin ของมมใดๆ ใหลากเสนตรงจากจด (0,0) ทามมกบ
แกน +x เปนมมเทากบมมนน เชน θ ไปตดวงกลม 1 หนวยทจด 1 1( , )x y
2) คา 1 cosx θ= และ 1 siny θ=
เมอ 90θ+ ∝= °
(0,1)
(1,0)
(0,-1)
(-1,0) (0,0)
•1 1( , ) (cos ,sin )x y θ θ=
θ
5
จากหลกการดงกลาว เราสามารถหา sin หรอ cos ของมม 0 ,90 ,180° ° ° และ 270° ไดดงน มมทใชกบวงกลม 1 หนวย นยมใชเปน เรเดยน วธการแปลงมมจาก องศา เปน เรเดยน มดงน เชน
1) มม 90° เทากบ 90180 2π π
× = เรเดยน
2) มม 180° เทากบ 180180π π× = เรเดยน
cos 0 1sin 0 0
° =° =
(1,0)•
cos90 0sin 90 1
° =° =•
(0,1)
90°
180° (-1,0)
•
cos180 1sin180 0
° = −° =
270°
(0,-1) •
cos 270 0sin 270 1
° =° = −
180π
× = (องศา) (เรเดยน)
6
3) มม 60° เทากบ 60180 3π π
× = เรเดยน
4) มม 135° เทากบ 3135
180 4π π
× = เรเดยน ………………เปนตน
หมายเหต คาฟงกชนตรโกณมตของมมทควรทราบ
θ เรเดยน sinθ cosθ tanθ cotθ secθ cosecθ
30° 6π
12
32
13 3
23 2
45° 4π
12
12 1 1 2 2
60° 6π
3
2 12 3
13 2
23
ฟงกชน sin
โดเมน คอ θ มหนวยเปนเรเดยน , Rθ ∈
เรนจ คอ sinθ , 1 sin 1θ− ≤ ≤
ฟงกชน cos
โดเมน คอ θ มหนวยเปนเรเดยน , Rθ ∈
เรนจ คอ cosθ , 1 cos 1θ− ≤ ≤
1
3
2
30°
60° 1
2
45°1
7
3.สตรฟงกชนตรโกณมต 3.1 สตรการแปลงมม
•
•
θ θ
cos ,sin+ +
cos ,sin+ −
..., 4 , 2 ,0,2 ,4 ,...π π π π− −
cos( ) cossin( ) sin
θ θθ θ
− =− = −
cos(2 ) cossin(2 ) sincos(2 ) cossin(2 ) sin
π θ θπ θ θπ θ θπ θ θ
− =− = −+ =+ =
•
•
θθ
cos ,sin− +
cos ,sin− −
..., 3 , , ,3 ,...π π π π− −
cos( ) cossin( ) sincos( ) cossin( ) sin
π θ θπ θ θπ θ θπ θ θ
− = −− =+ = −+ = −
8
ตวอยาง เชน
1. จงหาคาของ 3sin tan cos cos2 2 3π π ππ+ −
• •θ θ
cos ,sin− + cos ,sin+ +
3 5 9..., , , , ,...2 2 2 2π π π π−
cos( ) sin2
sin( ) cos2
cos( ) sin2
sin( ) cos2
π θ θ
π θ θ
π θ θ
π θ θ
− =
− =
+ = −
+ =
θ θ cos ,sin− − cos ,sin+ −
3 7 11..., , , , ,...2 2 2 2π π π π−
••
3cos( ) sin2
3sin( ) cos23cos( ) sin2
3sin( ) cos2
π θ θ
π θ θ
π θ θ
π θ θ
− = −
− = −
+ =
+ = −
2π
π
32π
•
•
•
(0,1)
( 1,0)−
(0, 1)−
9
วธทา 3 3 sinsin tan cos cos sin cos cos2 2 3 2 cos 2 3
3 0 1sin tan cos cos ( 1) (0)2 2 3 1 23 3sin tan cos cos2 2 3 2
π π π π π π πππ
π π ππ
π π ππ
+ − = + −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠−
∴ + − =
2. จงหาคาของ 2 2 2 2sin tan cos sec 2
4 4 4π π π π+ + −
วธทา
2 2 2 2 2 2 22
2 22 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
1sin tan cos sec 2 sin tan cos4 4 4 4 4 4 cos 2
1 1 1sin tan cos sec 2 (1)4 4 4 12 2
1 1sin tan cos sec 2 1 14 4 4 2 2
sin tan cos sec 2 14 4 4
π π π π π πππ
π π π π
π π π π
π π π π
+ + − = + + −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ + − = + + −
∴ + + − =
3. จงหาคาของ 9sin4π
วธทา
หาคามม 94π
บนวงกลม 1 หนวย……………..9 24 4π ππ= +
2π (1,0) •
10
9 1sin sin(2 ) sin4 4 4 2π π ππ∴ = + = =
4. จงหาคาของ 25tan
6π
วธทา
หาคามม 25
6π
บนวงกลม 1 หนวย……………..25 4
6 6π ππ= +
25 1tan tan(4 ) tan6 6 6 3π π ππ∴ = + = =
5. จงหาคาของ 2 7 5sin tan cos cot3 6 6 3π π π π−⎛ ⎞+ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
วธทา
2π
1 1( , )2 2 •
4π
4π
3 1( , )2 2
6π
•
11
2 7 5sin tan cos cot3 6 6 3π π π π−⎛ ⎞+ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
sin( ) tan( ) cos cot( 2 )3 6 6 3
sin tan cos cot3 6 6 33 1 3 1
2 23 31 12 21
π π π ππ π π
π π π π
= − + + − +
= +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= +
=
6. จงหาคาของ cos (90 )cos(180 )sin(90 )cot(270 ) tan(360 )sec(180 )
ec A A AA A A
° − ° + ° +° + ° + ° −
วธทา cos (90 )cos(180 )sin(90 )cot(270 ) tan(360 )sec(180 )
ec A A AA A A
° − ° + ° +° + ° + ° −
s ( cos )costan tan ( sec )
cos cossin sincos cos
ecA A AA A A
A AA AA A
−=
− −
=⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
3ππ −
3π
π
6ππ +
π 2π−
23ππ− +
6π
3π
12
2 2
2
2 2
cos cossin
cos cot
A AA
A A
= −
= −
3.2 สตรเอกลกษณของตรโกณมต จากสมการวงกลม 1 หนวย คอสมการวงกลมทมจดศนยกลาง (0,0) และมรศม 1 หนวย
2 2 1x y+ = แทน cosx θ= และ siny θ=
2 2cos sin 1.............(1)θ θ+ = จากสมการ (1) หารตลอดดวย
2cos θ
2 2
2 2
2 2
2 2 2
cos sin 1cos cos
cos sin 1cos cos cos
θ θθ θ
θ θθ θ θ
+=
+ =
2 21 tan sec ,cos 0θ θ θ+ = ≠
จากสมการ (1) หารตลอดดวย 2sin θ
2 2
2 2
2 2
2 2 2
cos sin 1sin sin
cos sin 1sin sin sin
θ θθ θ
θ θθ θ θ
+=
+ =
13
2 2cot 1 sec ,sin 0coθ θ θ+ = ≠ ตวอยาง เชน
1. จงหาคา 2 2 2 25 5 5 7cos sin sin cos
12 6 12 6π π π π
+ + +
วธทา
2 2 2 25 5 5 7cos sin sin cos12 6 12 6π π π π
+ + +
2 2 2 2
2 2
2 2
22
2 2
5 5 5 7(cos sin ) sin cos12 12 6 6
5 71 sin cos6 6
1 sin ( ) cos ( )6 6
1 sin cos6 6
1 sin cos6 6
1 1 2
π π π π
π π
π ππ π
π π
π π
= + + +
= + +
= + − + +
⎛ ⎞= + + −⎜ ⎟⎝ ⎠
= + +
= + =
4.กราฟของฟงกชนตรโกณมต กราฟของฟงกชนตรโกณมต มลกษณะเปนคาบ คอ ประกอบไปดวยชวงยอยๆทมลกษณะเหมอนกน เราเรยกวา “ฟงกชนทเปนคาบ” (periodic function) 4.1 กราฟของฟงกชน sin [y=f(x)=sin x] มลกษณะดงน
2π− 3
2π−
π−
2π−
2π
π 3
2π
2π
14
กราฟประกอบไปดวยสวนสาคญดงน 1) กราฟตดแกน x ทจด ..., 2 , ,0, , 2 ,...π π π π− − เพราะวาทคา x เทากบมม
เหลาน คา sin x=0 sin 0nπ = เมอ n I∈
2) โดเมนของฟงกชน sin คอ x R∈
3) เรนจของฟงกชน sin คอ [ ]1,1y ∈ − 4) คาบ คอ ชวงของสวนยอยทมลกษณะซาๆ เทากบ 2π 5) แอมปลจด เทากบ 1 6) เราสามารถหาชวงฟงกชนเพมหรอลดของฟงกชน sin ได เชน
ชวง ,2π π−⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠ เปนฟงกชนเพม
ชวง 3,
2 2π π⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠ เปนฟงกชนลด………………เปนตน
4.2 กราฟของฟงกชน cos [y=f(x)=cos x] มลกษณะดงน กราฟประกอบไปดวยสวนสาคญดงน
1) กราฟตดแกน x ทจด 3 3..., , , , ,...2 2 2 2π π π π− −
เพราะวาทคา x เทากบมม
เหลาน คา cos x=0
cos(2 1) 02
n π− = เมอ n I∈
2) โดเมนของฟงกชน cos คอ x R∈
2π− 32π−
π−
2π−
2π
π 2π 3
2π
15
3) เรนจของฟงกชน cos คอ [ ]1,1y ∈ − 4) คาบ เทากบ 2π 5) แอมปลจด เทากบ 1 6) เราสามารถหาชวงฟงกชนเพมหรอลดของฟงกชน cos ได เชน
ชวง ( ),0π− เปนฟงกชนเพม
ชวง ( )0,π เปนฟงกชนลด………………เปนตน 4.3 กราฟของฟงกชน tan [y=f(x)=tan x] มลกษณะดงน กราฟประกอบไปดวยสวนสาคญดงน
1) กราฟตดแกน x ทจด ..., 2 , ,0, , 2 ,...π π π π− − เพราะวาทคา x เทากบมมเหลาน คา tan x=0
tan 0nπ = เมอ n I∈
2) โดเมนของฟงกชน tan คอ (2 1) ,2
x n n Iπ≠ − ∈
3) เรนจของฟงกชน tan คอ y R∈ 4) คาบ คอ ชวงของสวนยอยทมลกษณะซาๆ เทากบ π 5) กราฟของฟงกชน tan มแตชวงของฟงกชนเพม เชน
ชวง 3 ,2 2π π− −⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠ ,
3,2 2π π⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠ ………………เปนตน
2π− 32π−
π−
2π−
2π
π 2π 3
2π
16
4.4 กราฟของฟงกชน sec [y=f(x)=sec x] มลกษณะดงน
กราฟประกอบไปดวยสวนสาคญดงน 1) กราฟไมตดแกน x
2) โดเมนของฟงกชน sec คอ (2 1) ,2
x n n Iπ≠ − ∈
3) เรนจของฟงกชน sec คอ ( ] [ ), 1 1,y ∈ −∞ − ∪ ∞ 4) คาบของฟงกชน sec เทากบ 2π 5) กราฟมชวงทเปนทงฟงกชนเพม และฟงกชนลด เชน
ชวง 32 ,2ππ −⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠ เปนฟงกชนเพม
ชวง 3 ,22π π⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠ เปนฟงกชนลด……………..เปนตน
2π− 32π−
π−
2π−
2π
π 2π 3
2π
17
4.5 กราฟของฟงกชน cosec [y=f(x)=cosec x] มลกษณะดงน
กราฟประกอบไปดวยสวนสาคญดงน 1) กราฟไมตดแกน x 2) โดเมนของฟงกชน cosec คอ ,x n n Iπ≠ ∈
3) เรนจของฟงกชน cosec คอ ( ] [ ), 1 1,y ∈ −∞ − ∪ ∞ 4) คาบของฟงกชน cosec คอ 2π 5) ฟงกชน cosec มทงชวงทเปนฟงกชนเพม และฟงกชนลด เชน
ชวง 3 ,2 2π π− −⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠ เปนฟงกชนเพม
ชวง ,02π−⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠ เปนฟงกชนลด……………..เปนตน
2π− 32π−
π−
2π−
2π
π 2π 3
2π
1
1−
18
4.6 กราฟของฟงกชน cot [y=f(x)=cot x] มลกษณะดงน กราฟประกอบไปดวยสวนสาคญดงน
1) กราฟตดแกน x ทจด 3 3..., , , , ,...2 2 2 2π π π π− −
เพราะวาทคา x เทากบมม
เหลาน คา cot x=0
cot(2 1) 02
n π− = เมอ n I∈
2) โดเมนของฟงกชน cot คอ ,x n n Iπ≠ ∈ 3) เรนจของฟงกชน cot คอ y R∈ 4) คาบ คอ ชวงของสวนยอยทมลกษณะซาๆ เทากบ π 5) กราฟของฟงกชน tan มแตชวงของฟงกชนเพม เชน
ชวง ( )2 ,π π− − , ( )0,π ………………เปนตน ตวอยาง เชน
1. ให 2 3sin 4y x= + จงหาคาบและแอมพลจดของฟงกชน วธทา ลองวาดกราฟของ 2 3sin 4y x= +
2 3 sin 4y x− =
2π− 32π−
π−
2π−
2π
π 2π 3
2π
หาคาบ 4 2x π⇒ =
2x π
=
คาบเทากบ 2π
แอมปลจดเทากบ 3
19
2. ถา 0 2x π≤ ≤ ชวง x ททาให sin cos 0x x− ≤ คอชวงใด วธทา
sin cos 0sin cos
x xx x
− ≤≤
จากกราฟ ชวงท sin cosx x≤ คอ 0,4π⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦ หรอ 5 ,24π π⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
5
2π
π
1−
2
2π− 32π−
π−
2π−
2π
2π 3
2π
cosy x= siny x=
20
แบบฝกหด
1. จงหาคาตอบตอไปน 1.1) 0 ..............rad° = 1.2) 90 ..............rad° = 1.3) 180 ..............rad° = 1.4) 270 ..............rad° = 1.5) 360 ..............rad° = 1.6) 30 ..............rad° = 1.7) 60 ..............rad° =
21
1.8) 120 ..............rad° = 1.9) 225 ..............rad° =
1.10) 5..............6
radπ° =
1.11) 7..............6
radπ° =
1.12) 3..............4
radπ° =
1.13) 9..............4
radπ° =
1.14) 2..............3
radπ° =
1.15) 7..............3
radπ° =
22
2. นากรวยกระดาษซงมเสนผาศนยกลางของฐานยาว 4 นว สงเอยง 1 ฟต มาคลออกเปนรปสามเหลยมฐานโคง จงหาวามมยอดของสามเหลยมฐานโคงนมคากองศา
3. ถารปของสามเหลยมดานเทารปหนงมความสง 1 หนวย แลวดานของสามเหลยมรปนม
ความยาวรอบรปเทากบเทาใด
23
4. กาหนดใหสามเหลยม ABC เปนสามเหลยมทมมม B เปนมมฉาก ถา 12cot5
A =
จงหาคาของ sin , cos , 5cos 12secA A ecA A − 5. ขอใดตอไปนถกตอง
ก) sin 21 cos69° = ° ข) sin 21 cos 21° = ° ค) cos 21 tan 21° = ° ง) tan 21 cos69° = °
24
6. ถา 3sin5
θ = และ 0 2πθ≤ ≤ จงหาคาของ cos tanθ θ+
7. ถา 3cos5
θ = และ 0 2πθ≤ ≤ จงหาคาของ sec cosecθ θ+
25
8. ให ABC เปนสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก และดาน BC ยาว 3 นว ถา D เปนจดบนดาน AC โดยท 70BDC∠ = ° และ 10ABD∠ = ° แลวดาน AB ยาวเทากบเทาใด
9. ให ABC เปนสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก มดาน BC ยาวเทากบ 5 3 หนวย
และดาน AB ยาวเทากบ 10 หนวย ถาลากเสนตรงจากจด C ไปตงฉากกบดาน AB ทจด D แลวจะไดวาดาน CD ยาวเทากบเทาใด
26
10. กาหนดใหสามเหลยม ABC เปนสามเหลยมทมมม B เปนมมฉาก มมม A เทากบ 30°
และมพนทเทากบ 6 3 ตารางหนวย ความยาวของดาน AB เทากบเทาใด
11. กาหนดใหสามเหลยม ABC เปนสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก และ 2cos3
B =
ถาดาน BC ยาว 4 หนวย แลวพนทของสามเหลยม ABC เทากบเทาใด
27
12. จงหาคาตอไปน 12.1) sin 0° 12.2) sin 90° 12.3) sin 270°
12.4) 3cos2π
12.5) 5cos2π
12.6) 5sin6π
12.7) 7cos6π
28
12.8) 11sin
4π
12.9) 3cos4π
12.10) 7tan( )4π
−
12.11) 10sin
3π
12.12) 5cos3π
12.13) 4tan( )3π
−
12.14) tan 480°
29
12.15) tan( 570 )− ° 12.16) sec150° 12.17) sec( 240 )− ° 12.18) cos ( 315 )ec − °
12.19) cos(2 )2ππ +
12.20) sin(4 )6ππ +
12.21) cos(6 )2ππ −
12.22) cos(7 )4ππ −
30
12.23) sin( )2 4π π
+
12.24) 3sin( )2 4π π
+
12.25) 5sin( )2 4π π
−
12.26) sin( )3π π−
12.27) tan( )6 2π π
−
12.28) tan( )6π π+
31
13. จงหาคาของ 21 3 21 3sin( )cos( ) cos( )sin( )
4 4 4 4π π π ππ π− + −
14. จงหาคาของ 2cot( 2 )sec( )
4 3 2π π ππ− −
32
15. จงหาคา sin ของสวนโคงทยาว 18.84 หนวย (กาหนดให 3.14π ≈ ) 16. จงหาคาของ tan 380° เมอกาหนดให tan 20 0.3640° =
17. ถา A และ B อยในชวง ,2π π⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦ จงหาวาคาของ 2 2sin cosA B+ มคาไดมาก
ทสดเทากบเทาใด
33
18. ถาแบงวงกลม 1 หนวย ออกเปน 6 สวนเทาๆกน แตละสวนเรยกวาเซกเตอร ถาลงสบนเซกเตอรหนง จงหาพนทของเซกเตอรดงกลาว
19. จงหาคาของ 2 2 2 2 2 2cos 35 sec 70 cos 47 sin 35 tan 70 cot 47ec° + ° − ° + ° − + °
34
20. จงหาคาของ 2 2 2
2 2
sin ( 253 ) cos (287 ) sin (323 )1 sin (217 ) cos (37 )− ° + ° °
−− ° °
21. จงหาคาของ 2 2
sin sin( ) cos cos( )2 2π πθ θ θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
35
22. เมอ 0 2πθ< < คาของ θ กบ sinθ คาใดมคามากกวากน
23. จงหาคาของ sin(2 ) tan( )cot(3 )
cot(2 ) tan( )π θ π θ π θ
π θ π θ− − −
+ +
36
24. ถา θ มคามากขนจาก 2π
ไปส π แลวคาของ cosecθ มคาเปนอยางไร
25. จงหาคาบและแอมปลจดของฟงกชนตรโกณมตตอไปน 25.1) 4siny x=
25.2) 4cos(2 ) 42
y x π= − +
25.3) 6sin(5 ) 12
y x π= + −
37
25.4) 3 tan2xy = −
25.5) 1 1cos ( )4 3 6
y ec x π= +
25.6) 1 sec(2 ) 12 3
y x π= − +
25.7) 2cot(3 )6
y x ππ= +
38
5.ฟงกชนของผลบวกหรอผลตางของมม เชน sin( ),sin( ),cos( ),cos( )A B A B A B A B+ − + − เปนตน สตรมดงน sin( ) sin cos cos sinsin( ) sin cos cos sin
A B A B A BA B A B A B
+ = +− = −
cos( ) cos cos sin sincos( ) cos cos sin sin
A B A B A BA B A B A B
+ = −− = +
tan tantan( )1 tan tantan tantan( )
1 tan tan
A BA BA B
A BA BA B
++ =
−−
− =+
ตวอยาง เชน
1. กาหนดให 1tan7
A = เมอ 0 2A π
< < และ 1sin10
B = เมอ
2Bπ π< < จงหา sin( ) cos( )A B A B+ + −
วธทา
39
1) จาก sin( ) cos( ) sin cos cos sin cos cos sin sinA B A B A B A B A B A B+ + − = + + +
(sin cos sin sin ) (cos sin cos cos )sin [cos sin ] cos [sin cos ][cos sin ][sin cos ]
A B A B A B A BA B B A B BB B A A
= + + += + + += + +
2) หาคา sinA,cosA,sinB,cosB
2.1) 0 2A π
< <
2.2) 2Bπ π< <
3) หา sin(A+B)+cos(A-B) จาก sin(A+B)+cos(A-B)=[cosB+sinB][sinA+cosA]
3 1 1 7[ ][ ]10 10 5 2 5 22 8
10 5 28
5 5
−= + +
−⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
−=
1
5 2
7
1sin5 2
A =
7cos5 2
A =
1 10
3
A
B′
⇒
⇒
1sin10
B =
3cos10
B −=
40
2. จงหาคาของ tan15° และ tan 75° วธทา 1) tan15 tan15 tan(45 30 )° ⇒ ° = ° − °
tan 45 tan 301 tan 45 tan 30
113
113
3 13 1
° − ° =
+ ° °
−=
+
−=
+
2) tan 75 tan 75 tan(45 30 )° ⇒ ° = ° + °
tan 45 tan 301 tan 45 tan 30
113
113
3 13 1
° + °=
− ° °
+=
−
+=
−
3. จงหาคาของ 2 2 2cos cos (60 ) cos (60 )A A A+ + + −
วธทา 1) หา cos(60 ),cos(60 )A A+ −
41
cos(60 ) cos60cos sin 60sin
1 3cos sin2 2
cos(60 ) cos60cos sin 60sin
1 3cos sin2 2
A A A
A A
A A A
A A
+ = −
= −
− = +
= +
2) 2 2 2cos cos (60 ) cos (60 )A A A+ + + −
2 2 2
22 2
22
1 3 1 3cos [ cos sin ] [ cos sin ]2 2 2 2cos 1 3 3cos [ 2 cos sin sin ]
4 2 2 4
cos 1 3 3[ 2 cos sin sin ]4 2 2 4
A A A A A
AA A A A
A A A A
= + − + +
⎛ ⎞⎛ ⎞= + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
2 22 2 2
2 2
cos cos 3 3cos sin sin4 4 4 4
3 3cos sin2 2
A AA A A
A A
= + + + +
= +
2 23 [cos sin ]232
A A= +
=
6.การเปลยนผลคณของฟงกชนใหอยในรปผลบวกหรอผลตางของมม
2sin cos sin( ) sin( )2cos sin sin( ) sin( )
A B A B A BA B A B A B
= + + −= + − −
2cos cos cos( ) cos( )2sin sin cos( ) cos( )
A B A B A BA B A B A B
= + + −= − − +
42
ตวอยาง เชน 1. จงหาคาของsin 45 cos15° °
วธทา 2sin 45 cos15sin 45 cos15
2° °
° ° =
sin(45 15 ) sin(45 15 )2
sin 60 sin 302
3 12 2
23 14
° + ° + ° − ° =
° + ° =
+ =
+ =
2. จงหาคาของ sin 75 cos15° °
วธทา 2sin 75 sin15sin 75 cos15
2° °
° ° =
cos(75 15 ) cos(75 15 )2
cos 60 cos902
1 02
214
° − ° − ° + ° =
° − ° =
− =
=
43
7.การเปลยนผลบวกและผลตางของฟงกชนใหอยในรปผลคณ
sin sin 2sin( )cos( )2 2
sin sin 2cos( )sin( )2 2
A B A BA B
A B A BA B
+ −+ =
+ −− =
cos cos 2cos( )cos( )2 2
cos cos 2sin( )sin( )2 2
A B A BA B
A B A BA B
+ −+ =
+ −− = −
ตวอยาง เชน
1. จงหาคาของsin 75 sin15cos75 cos15
° − °° + °
วธทา
75 15 75 152cos( )sin( )sin 75 sin15 2 275 15 75 15cos75 cos15 2cos( )cos( )
2 22cos 45 sin 302cos 45 cos30sin 30cos30
° + ° ° − °° − °
=° + ° ° − °° + °
° ° =
° °°
=°
tan 3013
= °
=
44
8.ฟงกชนตรโกณมตทมมมเทากบ2A,3A มม 2A sin 2 2sin cosA A A=
2 2
2
2
cos 2 cos sin2cos 11 2sin
A A AA
A
= −
= −
= −
2
2 tantan 21 tan
AAA
=−
จากสตรมม 2 2AA ⇒
2
2
2
2
cos 2 2cos 1cos 2 1 2cos
cos 2 1cos2
cos 1cos ( )2 2
A AA A
AA
A A
= −
+ =+
=
+=
มม 3A
3
3
cos3 4cos 3cossin 3 3sin 4sin
A A AA A A
= −
= −
ตวอยาง เชน
1. ถา tan 5A = จงหาคาของ sin 2 cos 2 1sin 2 cos 2 1
A AA A
− ++ +
วธทา
2
2
2
2
cos 2 1 2sin2sin 1 cos 2
1 cos 2sin2
1 cossin2 2
A AA A
AA
A A
= −
= −−
=
−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
45
2
2
2
2
sin 2 cos 2 1 2sin cos [1 2sin ] 1sin 2 cos 2 1 2sin cos [2cos 1] 1
2sin cos 2sin2sin cos 2cossin [cos sin ]cos [sin cos ]
A A A A AA A A A A
A A AA A A
A A AA A A
− + − − +=
+ + + − +
+ =
++
=+
sincostan5
AAA
=
= =
2. จงหาคาของ tan 2 (cot 1)(cot 1)θ θ θ+ −
วธทา 2
2
2 2
2
2 2
2 tantan 2 (cot 1)(cot 1) [cot 1]1 tan
2 tan 1[ 1]1 tan tan
2 tan 1 tan[ ]1 tan tan
θθ θ θ θθ
θθ θ
θ θθ θ
+ − = −−
= −−
− =
−
2
2 tantan
θθ
=
2tan2cot
θθ
=
=
3. จงหาคาของcos30° โดยใชสตรมม 3 เทา
วธทา
46
3
3
2
cos90 cos(3 30 )0 4cos 30 3cos304cos 30 3cos30 0cos30 [4cos 30 3] 0
cos30 [2cos30 3][2cos30 3] 0
3 3cos30 0, ,2 2
° = × °
= ° − °
° − ° =
° ° − =
° − + =
−∴ =
4. ถา tan2A t= เมอ 0 A π< < จงหาคา sin tanA A+
วธทา
1) 2
2 tan2sin tan 2sin cos
2 2 1 tan2
AA AA A A+ = +
−
2) หาคาของ sin ,cos2 2A A
3) 2
2 tan2sin tan 2sin cos
2 2 1 tan2
AA AA A A+ = +
−
เลอกคาน
21 t+ t
1
2
2
sin2 1
1cos2 1
A tt
At
⇒ =+
=+
47
22 2
2 2
2 2
2 2
3 3
4
4
1 2211 1
2 21 12 (1 ) 2 (1 )
(1 )(1 )2 2 2 2
(1 )4
(1 )
t ttt t
t tt t
t t t tt t
t t t tt
tt
= +−+ +
= ++ −
− + +=
+ −
− + +=
−
=−
9.กฎของ sine และ cosine กาหนดสามเหลยม ABC เปนสามเหลยมใดๆในระนาบทมขนาดดงรป กฎของ sine
sin sin sina b c
A B C= =
กฎของ cosine
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos2 cos2 cos
a b c bc Ab a c ac Bc a b ab C
= + −
= + −
= + −
ตวอยาง เชน
1. ถาความยาวของดานของรปสามเหลยมรปหนงเทากบ 2 2, ,x y x xy y+ +
ตามลาดบแลว รปสามเหลยมรปนมลกษณะอยางไร วธทา
48
จากกฎของ cosine
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2( )( )cos
( ) 2 cos
2 cos2 cos
1 cos2
120
BC AB AC AB AC
x xy y x y xy
x xy y x y xyxy xy
θ
θ
θθ
θ
θ
= + −
+ + = + −
+ + = + −= −
−=
= °
∴สามเหลยมรปนเปนสามเหลยมมมปาน
2. รปสามเหลยม ABC ถา 30A = ° ดาน BC ยาว 2 ซม. และดาน AC ยาว 3 ซม. แลว จงหาคา 4sin 3B
วธทา 1) หา sin B ………. จากกฎของ sine
2)หา 4sin 3B
34sin 3 4(3sin 4sin )B B B= −
2 2x xy y+ +
x
y
θ B
C
A
A B
C
30° 30°
θ
3 2
3 3sin sin 30
sin 30 3sin2
3sin4
θ
θ
θ
=°°×
=
∴ =
49
3
3
12sin 16sin3 312( ) 16( )4 42794
94
B B = −
= −
= −
=
3) ABCD เปนทดนรปสเหลยม มดาน AD=DC มม ADC เปนมมฉาก มม ABC=30
ดาน AB=40 วา ดาน CB=20 วา พนทสเหลยม ABCD เทากบเทาใด วธทา
1) หา พ.ท. สามเหลยม ABC จาก sin 30
20sin 3010
CE CBCE
CE
= °= °
∴ =
∴ พนท 1 ( )( )2
ABC AB CE=
1 (40)(10)2200
=
=
2) หา พ.ท. สามเหลยม ADC
2.1) หาดาน AC
2 2 2
2 2 2
2( )( )cos20 40 2(20)(40)cos30
AC CB AB CB AB BAC
= + −
= + − °
A B
C
D
E
40
20
50
2
2
3400 1600 16002
2000 800 3
AC
AC
⎛ ⎞= + − ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −
2.2) หาดาน AD
2 2 2
2 2
22
2
2
2
22000 800 3
21000 400 3
1000 400 3
AD DC ACAD AC
ACAD
AD
AD
AD
+ =
=
=
−=
= −
∴ = −
2.3) พนทสามเหลยม ADC1 ( )( )2
AD DC=
2
2
1 ( )( )21 ( )21 ( 1000 400 3 )21000 400 3
2500 200 3
AD AD
AD
=
=
= −
−=
= −
3) หาพนทสเหลยม ABCD
พนทสเหลยม ABCD = พนท ABC + พนท ADC
(200) (500 200 3)
700 200 3
= + −
= −
51
4. ABC เปนรปสามเหลยมทมดาน AC และ BC ยาว 3.2 และ 2.4 เมตร ตามลาดบ
มม ACB เทากบ 75° ความยาวของ AB คอ
วธทา จากกฎของ cosine
2 2 2
2 2 2
2
2
2( )( )cos(3.2) (2.4) 2(2.4)(3.2)cos7510.24 5.76 15.36cos7516 15.36cos75
AB AC BC BC AC CABABAB
= + −
= + − °
= + − °
= − °
……หา cos 75°
cos 75 cos(45 30 )cos 75 cos30 cos 45 sin 30 sin 45
3 1 1 1cos 752 2 2 2
3 1cos 75 0.262 2
° = ° + °° = ° ° − ° °
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞° = ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
−° = ≈
2
2
16 15.36(0.26)12.0064
12.00643.465
ABAB
ABAB
= −
=
=∴ =
B
C A
2.4
3.2
75°
52
10.การประยกตของฟงกชนตรโกณมต คอการนาคณสมบตของฟงกชนตรโกณมตมาใชในการแกปญหาเกยวกบการหาระยะทางทเกยวของกบรปสามเหลยม ตวอยาง เชน
1. A และ B เปนจด 2 จด บนพนดนทมระยะหางกน 60 เมตร เสาธงตนหนงตงอยระหวางจด A และ จด B โดยทจด A,จดโคนเสาธง และจด B ทง 3 จดอยใรแนวเสนตรงเดยวกน ทจด A และ B มองยอดเสาธงเปนมมเงย 60° และ30° ตามลาดบ อยากทราบวาเสาธงตนนสงเทาใด
วธทา
cos 6060cos 60
1602
30
AD ABAD
AD
AD
= °= °
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
∴ =
sin 6030sin 60
3302
15 3
DC ADDC
DC
DC
= °= °
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
∴ =
∴ เสาธงตนนสง 15 3 เมตร
D
A B C
60m
60° 30°
53
2. นายดายนอยบนสนามแหงหนง มองเหนยอดเสาธงเปนมมเงย 60° แตเมอเดนตรงเขาไป
หาเสาธงอก 20 เมตร เขามองเหนยอดเสาธงเปนมมเงย 75° ในขณะทเขามองยอดเสาธงเปนมมเงย 60°นน เขายนหางจากเสาธงเทาใด
วธทา จาก tan 60CBAB
= °
tan 60
3
CBAB
yAB
=°
∴ =
จาก tan 75CBDB
= °
tan 75
tan 75
CBDB
yDB
=°
∴ =°
หา tan 75 tan(30 45 )° = ° + °
C
B A
20 x
60° 75°
y
54
tan 30 tan 451 tan 30 tan 45
1 1311 (1)3
3 13 1
° + ° =
− ° °
+ =
−
+ =
−
3 13 13 1
3 1
yDB y⎛ ⎞−
∴ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ++ ⎝ ⎠⎜ ⎟−⎝ ⎠
20
3 1 203 3 1
1 3 1 203 3 1
( 3 1) 3 3 203( 3 1)
2 3 2 203( 3 1)
10( 3 1)( 3)( 3 1)
AB DB
y y
y
y
y
y
− =
⎛ ⎞−− =⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
⎛ ⎞−− =⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
⎛ ⎞+ − +=⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
⎛ ⎞−=⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
+∴ =
−
จาก………..3 13 1
DB y⎛ ⎞−
= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
55
3 1 (10)( 3 1)( 3)3 1 ( 3 1)
10 3
DB
DB
⎛ ⎞⎛ ⎞− += ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎝ ⎠⎝ ⎠
∴ =
20 20 10 3AB DB∴ = + = +
3. จากรป จงหา PT วธทา
1) หา RT และ QT ในรปของ x
จาก tan 60 xRT
° =
tan 60 3x xRT = =
°
จาก tan 45 xQT
° =
tan 45xQT x= =
°
2) หาคา x จากสมการ
P
Q T 45° 60°
R
56
11031110 [1 ]3
[ 3 1]1103
( 3)(110)( 3 1)
QR QT RTxx
x
x
x
= −
= −
= −
−=
∴ =−
4. จากรปกาหนดใหพนท 20ABC = ตารางหนวย AB ยาว 10 หนวย , 120CBE∠ = ° และ 90CDB∠ = ° จงหาความยาวของ BD และ BC
ตามลาดบ วธทา
1) หาความยาว CD
จากพนท
1 ( )( )2
120 (10)( )2
20 5( )4
ABC AB CD
CD
CDCD
= ×
=
=∴ =
C
A D B
120° 60°
10
57
2) หา DB จาก
tan 60
43
43
CDDB
DB
DB
° =
=
∴ =
3) หา BC จาก
sin 60
sin 604
sin 604 83 3
2
CDBC
CDBC
BC
BC
° =
=°
=°
∴ = =
5. จงหา BD
วธทา
1) หา BO จาก
C
D O B
A
16
25
30° 60°
58
16tan 30
16tan 30
1613
16 3
ABBO BO
BO
BO
BO
° = =
=°
=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∴ =
2) หา OD
25tan 60
25tan 6025
325 3
3
CDOD OD
OD
OD
OD
° = =
=°
=
∴ =
3) BD BO OD= +
25 316 33
48 3 25 33
73 33
= +
+ =
=
59
6. จากรป จงหา EB วธทา
1.) หา DB จาก
963
963
96 3332 3
DB
DB
DB
DB
=
=
=
∴ =
A
E
B
C
D
30°
60°
96 .m
x
60° D B
A
96
tan 60 ABDB
° =
60
2) หา AE จาก
13 32 3
32 33
32
AE
AE
AE
=
=
∴ =
3) หา EB จาก
96 3264
EB AB AEEB
EB
= −= −
∴ =
11.ตวผกผนของฟงกชนตรโกณมต ตวผกผนของฟงกชนตรโกณมตม 6 ตว เหมอนกบฟงกชนตรโกณมต คอ
arcsiny x= มความหมายเดยวกบ sinx y= arccosy x= มความหมายเดยวกบ cosx y= arctany x= มความหมายเดยวกบ tanx y= arccoty x= มความหมายเดยวกบ cotx y= arcsecy x= มความหมายเดยวกบ secx y= arccosy ecx= มความหมายเดยวกบ secx co y=
สงทตองใหความสาคญ คอ การพจารณาชวงของโดเมนและเรนจของฟงกชนผกผนทง 6 ดงน
30° C E
A
32 3
tan30 AECE
° =
61
11.1 ฟงกชน y=arcsin x ชวงของโดเมน คอ [ 1,1]−
ชวงของเรนจ คอ [ , ]2 2π π
−
11.2 ฟงกชน y=arccos x
ชวงของโดเมน คอ [ 1,1]− ชวงของเรนจ คอ [0, ]π
2π−
2π
1 1−
2π
π
1 1−
62
11.3 ฟงกชน y=arctan x
ชวงของโดเมน คอ ( , )−∞ ∞
ชวงของเรนจ คอ ( , )2 2π π
−
11.4 ฟงกชน y=arccot x
ชวงของโดเมน คอ ( , )−∞ ∞ ชวงของเรนจ คอ (0, )π 11.5 ฟงกชน y=arcsec x
2π−
2π
2π
π
2π
π
1− 1
63
ชวงของโดเมน คอ ( , 1] [1, )−∞ − ∪ ∞
ชวงของเรนจ คอ [0, ) ( , ]2 2π π π∪
11.6 ฟงกชน y=arccosec x
ชวงของโดเมน คอ ( , 1] [1, )−∞ − ∪ ∞
ชวงของเรนจ คอ [ ,0) (0, ]2 2π π
− ∪
ตวอยาง เชน
1. จงหาคาของ 120sin(arctan )119
วธทา
1) วาดสามเหลยม
จาก 120 120arctan tan119 119
θ θ= ⇒ =
2) หาคา 120sin(arctan )119 จากสามเหลยม ซงกคอหาคา sinθ
2π−
2π
1
1−
120
119
169 2 2 2(169 120 119 )= −
θ
64
120sin169
θ =
120 120sin(arctan )119 169
∴ =
2. จงหาคาของ 1 1sin(arcsin arccos )2 2
+
วธทา
1) ให 1arcsin2
θ = และ 1arccos2
α =
2) 1 1sin(arcsin arccos ) sin( )2 2
θ α+ = +
sin cos sin cos
1 1 3 32 2 2 2
1 34 4
1
θ α α θ= +
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
3. จงหาคาของ 1 12arctan arctan3 7
+
วธทา
1) ให 1arctan3
θ = และ 1arctan7
α =
1
3
2
θ
3
1
2
α
65
2) หาคา tan 2 tantan(2 )
1 tan 2 tanθ αθ α
θ α+
+ =−
2
2
2
2
2 tan tan1 tan
2 tan1 tan1 tan
1213711
312
131711
32
138 792
131 8 79
3 14 7
3 114 7
1
θ αθθ αθ
+−=
−−
⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ + ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠=
⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠− ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟
+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=
⎛ ⎞⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
=
2 45θ α∴ + = °
66
3) 1 12arctan arctan 453 7 4
π+ = ° =
4. กาหนดให 22arcsin arcsin(2 1 )
3a a a π
+ − =
จงหาคาของ arcsin a วธทา
1) ให arcsin aθ =
จะได 2sin , 1 cosa aθ θ= − =
22 1 2sin cos sin 2a a θ θ θ∴ − = =
2) จาก 22arcsin arcsin(2 1 )
3a a a π
+ − =
2 arcsin(sin 2 )3
2 23
43
12
πθ θ
πθ θ
πθ
πθ
+ =
+ =
=
∴ =
3) arcsin12
a π=
1 a
21 a−
θ
67
12.การแกสมการตรโกณมต สมการจะอยในรปฟงกชนตรโกณมต เราตองแกสมการหามม θ เปนตน วามคาเทากบเทาใด
โดยใชทกษะการแกสมการ และอาศยเอกลกษณทางตรโกณมต เชน 2 2sin cos 1θ θ+ = เปนตน มาชวยในการแกสมการ ตวอยาง เชน
1. กาหนด 2cos 2 3sin 2 3 0x x+ − = จงแกสมการหาคา x วธทา
2
2
2
cos 2 3sin 2 3 0(1 sin 2 ) 3sin 2 3 0sin 2 3sin 2 2 0
x xx x
x x
+ − =
− + − =
− + =
ให sin 2A x=
2 3 2 0( 2)( 1) 0
2,1
A AA A
A
− + =− − =
=
45 ,225 ,405 ,...x∴ = ° ° °
2. กาหนดให 0 360x< < แลว จงหาเซตคาตอบของสมการ 22cos 2cos 2 1x x− =
วธทา
22cos 2cos 2 1x x− =
เพราะวา 2 2cos 2 2cos 1 2cos 2 1x x x cos x= − ⇒ = +
sin 2 2x = x ไมมคาตอบของสมการ
sin 2 12 90 ,360 90 ,720 90 ,...
45 ,180 45 ,360 45 ,...
xx
x
== ° ° + ° ° + °
= ° ° + ° ° + °
68
cos 2 1 2cos 2 1cos 2 0
cos 2 02 90 ,270 ,450 ,630 ,810 ,...
45 ,135 ,225 ,315 ,405 ,...
x xx
xx
x
+ − =− =
== ° ° ° ° °
= ° ° ° ° °
45 ,135 ,225 ,315x∴ = ° ° ° °
3. ถา 0 360x≤ ≤ และ sin cos 1x x+ = จงหาคา x วธทา
( )
( )
2
2 2
2 2
sin cos 1
sin cos 1
sin 2sin cos cos 1
sin cos 2sin cos 1
1 sin 2 1sin 2 02 0 ,180 ,360 ,540 ,720 ,...
0 ,90 ,180 ,270 ,360 ,...
x x
x x
x x x x
x x x x
xx
xx
+ =
+ =
+ + =
+ + =
+ ==
= ° ° ° ° °= ° ° ° ° °
0 ,90 ,180 ,270 ,360x∴ = ° ° ° ° °
4. ให A และ B เปนคาตอบของสมการ 3tan cot 5cosx x ecx+ = เมอ
0 360x≤ ≤ แลว sin( )A B+ มคาเทากบเทาใด วธทา
3 tan cot 5cossin cos 53cos sin sin
x x ecxx xx x x
+ =
+ =
•
•
90 ,450 ,810 ,...° ° °
270 ,630 ,960 ,...° ° °
180 ,540 ,...° °
0 ,360 ,720 ,...° ° °• •
69
นา ( )sin cosx x คณตลอด
( ) ( ) ( )
( )2 2
2 2
2 2
2
2
sin cos 53 sin cos sin cos sin coscos sin sin
3sin cos 5cos
3 1 cos cos 5cos
3 3cos cos 5cos3 2cos 5cos2cos 5cos 3 0(2cos 1)(cos 3) 0
1cos , 32
x xx x x x x xx x xx x x
x x x
x x xx x
x xx x
x
+ =
+ =
− + =
− + =
− =
+ − =− + =
= −
1cos2
60 ,300 ,420 ,660 ,...
x
x
=
= ° ° ° °
60 ,300 60 , 300x A B∴ = ° ° ⇒ = ° = ° หรอ 300 , 60A B= ° = °
sin( ) sin(60 300 ) sin 360 0A B∴ + = ° + ° = ° =
ไมใชเพราะวามคานอยกวา -1
30 ,420 ,...° °
300 ,660 ,...° °
•
•
70
แบบฝกหด
1. ถา tan2A t= ดงนน sin tanA A+ เทากบเทาใด
71
2. จงพสจนวา 1 tantan(45 )1 tan
AAA
+° + =
−
3. จงหาคาของ tan 20 tan 25
1 tan 20 tan 25° + °
− ° °
72
4. จงหาคาของ 2sin 75 cos15° °
5. จงหาคาของ 2cos75 cos15° °
6. จงหาคาของ 2cos10 cos 40 cos50° ° − °
7. จงหาคาของ sin15 cos 45° °
73
8. จงหาคาของ sin 75 sin15° + °
9. จงหาคาของ cos75 cos15° − °
10. ถา cos70 k° = เมอ k เปนคาคงตว แลว cos35° เทากบเทาใด
11. ให 4 5sin ,cos5 13
A B= = − โดยท
0 90 ,90 180A B< < ° ° < < ° จงหา 11.1) cos( )A B+
74
11.2) cos( )A B− 11.3) sin( )A B+ 11.4) sin( )A B− 11.5) tan( )A B+ 11.6) cot( )A B−
75
12. จงหาคาตอไปน 12.1) sin165 sin 255° + ° 12.2) sin 375 sin 795° − ° 12.3) cos345 cos 285° + ° 12.4) cos75 cos195° − °
76
13. ให 3tan4
A = − จงหาคาของ sin 2 ,cos 2A A และ tan 2A
เมอ 90 180A° < < °
77
14. ให 4sin5
A = จงหาคาของ sin 3 ,cos3A A และ tan 3A เมอ
0 90A° < < °
78
15. ให 2cos
2A = − จงหาคาของ sin ,cos
2 2A A
และ tan2A
เมอ
90 180A° < < °
79
16. กาหนดให 5cos3 cos 5sin 3 sin 3A A A A+ = − เมอ
02
A π< < จงหาคาของ tan A
17. จงหาคาของ 15 13 9sin sin sin sin34 34 34 34
π π π π
80
18. ขอใดตอไปนไมจรง
ก) sin cos sec 2 tan 2sin cos
A A A AA A
−= −
+
ข) 3 5 1sin sin sin
14 14 14 8π π π
=
ค) 2sec 2cot 2 tanA A A=
ง) cot15 cot 75 cot135 3° + ° + ° =
81
19. จงหาคาของ tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40° + ° + ° °
20. จงหาคาของ cos36 cos72
sin36 tan18 cos36° − °
° ° + °
82
21. จงหาคาสงสด(max) และตาสด(min) ของฟงกชนตรโกณมตตอไปน 21.1) sin cosθ θ 21.2) sin cosθ θ+ 21.3) 4sin 3cosθ θ− 21.4) 3sin 3 4sin 4cosx x x− +
83
22. จงหามมและดานทเหลอของสามเหลยมตอไปน
22.1) 60 , 3 2, 2 3A a b= ° = = 22.2) 30 , 2, 5A a c= ° = =
84
22.3) 30 , 3, 1A b c= ° = = 22.4) 2, 3, 19a b c= = =
85
23. จงหาพนทของรปสามเหลยม ABC จากสงทกาหนดใหตอไปน
23.1) 15, 20, 65a b C= = = ° 23.2) 5.5, 80, 103.5c b A= = = °
86
24. กาหนดให ABC เปนสามเหลยมและ D เปนจดกงกลางดาน BC ถา
AB=4 หนวย , AC=3 หนวย และ 52
AD = หนวย แลวดาน BC ยาวเทากบ
เทาใด
87
25. ความยาวของคอรดในวงกลม 1 หนวย ทปดมม θ เรเดยน เมอ 0θ > มคา
เทากบเทาใด
26. สามเหลยม ABC มดาน a,b,c เปนดานตรงขามมม A,B,C ซงมความยาว
3,2.5,1 หนวย ตามลาดบ คาของ cos cosb C c B+ เทากบเทาใด
88
27. ถาสามเหลยม ABC มมม 45BAC∠ = ° มม 60ACB∠ = °
และดาน AC ยาว 20 นว แลวพนทของสามเหลยม ABC เทากบเทาใด
28. ตกสองหลงทมหลงคาเรยบตงอยหางกน 60 ฟต จากหลงคาตกทเตยกวา ซงสง
40 ฟต มมทวดจากตกหลงคาทเตยกวาไปยงหลงคาตกทสงกวามขนาด 40° ดงรป จง
หาความสงของตกทสงกวา (tan 40 0.8391)° =
60 ฟต 40 ฟต
40°
89
29. ภเขาลกหนงมดานเอยงทามม 60° และ 45° กบแนวระดบตามลาดบ ถาดานเอยงดานหนงซงทามม 60° ยาวเทากบ 45 เมตร จงหาความยาวของดานเอยงอกดานหนง
90
30. เรอ A ลอยหางจากเรอ B อย 90 เมตร จากจดทเรอ A ลอยอยลกเรอสามารถ
มองเหนยอดเขาทอยรมทะเลดวยมมเงย 60° และจากจดทเรอ B ลอยอยลกเรอสามารถมองเหนยอกเขาเดยวกนดวยมมเงย 30° จงหาวายอดเขาดงกลาวสงเทากบเทาใด
31. นายลอยตองการขบรถขนเนนเขาแหงหนงซงเอยงทามม 10° กบแนวระดบ เมอรถเคลอนทไปไดระยะทาง x เมตร ปรากฏวาเนนเขาทามม 15° กบแนวระดบ เมอขบไปได 60 เมตร กถงจดสงสดของเนนเขา ณ. จดดงกลาวเขาทราบวาอยสงจากพน 150 เมตร จงหาระยะ x (sin10 0.174,sin15 0.259)° = ° =
91
32. จากภาพ หาก BC=10 หนวย และพนทสามเหลยม ABC เทากบ 10 3
ตารางหนวย ใหหาขนาดของพนทสามเหลยม ACD
120° C B
A
D E
92
33. พาดบนไดไวกบกาแพงโดยใหปลายบนไดตอนบนจดกาแพงพอด ถาบนไดยาว 10 เมตร และบนไดทามม 60° จงหาความสงของกาแพง
34. จงหาคาตอไปน
34.1) 3arcsin( )
2
-34.2) 1arccos( )2
−
93
34.3) 3arccos( )
2
34.4) arctan(1) 34.5) arcsec( 2)− 34.6) arccos ( 2)ec − 34.7) arctan( 3)−
94
34.8) 1arcsin( )2
−
34.9) 1arccos( )2
−
34.10) 1arccot( )3
−
34.11) 7 7arctan( ) cot( )24 24
arc+
95
34.12) 15 7cos arctan( ) arcsin( )8 25
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
34.13) 4 12cos arccos( ) arccos( )5 13
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
96
34.14) 3 4sin arccos( ) arcsin( )5 5
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠
34.15) 3cos 2arcsin( )5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
97
34.16) sin 2arctan( 2 1)2π⎛ ⎞+ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
34.17) 17arctan cot( )
3π⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
98
35. ถา arcsin(5 ) arcsin( )2
x x π+ = แลวคาของ ( )tan arcsin( )x
มคาเทากบเทาใด
99
36. จงหาคาของ arctan(cot 40 )°
37. จงหาคาของ ( )cos 2arctan( 3)−
100
38. ( )cot arccot 7 cot13 cot 21 cot 31arc arc arc+ + + ม ค าเทากบเทาใด
101
39. จงแกสมการ 3sin
2θ = −
40. จงแกสมการ 1cos2
θ =
102
41. จงแกสมการ 1tan ,0 3603
θ θ= − ° ≤ ≤ °
42. จงแกสมการ 2cos ,0 3603
ecθ θ= ° ≤ ≤ °
103
43. จงแกสมการ 23 tan 1 0,0 360θ θ− = ° ≤ ≤ °
44. จงแกสมการ 24sin 3 0,0 2θ θ π− = ≤ ≤
104
45. จงแกสมการ 4cos 3sec ,0 360θ θ θ= ° ≤ ≤ °
46. จงแกสมการ 2 2sin 3cos 0,90 180θ θ θ− = ° ≤ ≤ °
105
47. จงแกสมการ 22sin sin 1 0,0 2θ θ θ π− − = ≤ ≤
48. จงแกสมการ 22sin 3cos 3,0 2θ θ θ π− = ≤ ≤
106
49. จงแกสมการ 3sec cos 2 0,0 2θ θ θ π− + = ≤ ≤
50. จ า ก ส ม ก า ร sin 5 cos3 cos5 sin 3 cos ,0 360θ θ θ θ θ θ− = ° ≤ ≤ ° ผลบวกของคาตอบของสมการมคาเทากบเทาใด
107
51. ถา 0 2θ π≤ ≤ แลวสมการ sin cos 1θ θ+ = จะมกคาตอบ
52. กาหนดให sin sin 2 sin 3 0A A A− + = โดยท 0 2A π
< < แลว
tan tan 2 tan 3A A A− + จะมคาเทากบเทาใด
108
53. ถา 0 2x π< < แลวผลบวกของรากของสมการ 2 24sin (1 3)sin cos (3 3)cos 3x x x x+ − + − = มคาเทากบ
เทาใด
109
54. กาหนดให 0 2x π≤ ≤ จงหาชวงของ x ททาใหอสมการ sin cos 1x x+ ≥ − เปนจรง
110
55. จงหาเซตคาตอบของอสมการ 3 cos sin 0x x+ > เมอ xπ π− ≤ ≤
111
56. จงหาเซตคาตอบของอสมการ 4 22sin 3sin 2 0x x+ − ≥ เมอ0 2x π≤ ≤
