12/03/13 1

12/03/13 2

TÜREV KAVRAMITANIM: f : A R , y=f(x) fonksiyonu ve a ∈ A da sürekli olmak üzere

limiti bir reel sayı ise bu değere f fonksiyonunun

x=a noktasındaki türevi denir. f’(a) veya sembolleri ile gösterilir.

h > 0 olmak üzere, x=a+h ise x - a =h dır.

= olur.

ax

afxf

ax −−

→

)()(lim

)(adx

df

0)( →−⇔→ axax0→⇔ h

ax

afxf

ax −−

→

)()(lim

h

afhaf

h

)()(lim

0

−+→

12/03/13 3

ÖRNEK: f: R R , f(x)=x2 fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevini bulalım.

ÇÖZÜM= f(x)=x2 fonksiyonu x=2 de süreklidir

→

2

)2()(lim)2( 2 −

−=′ → x

fxff x

42

)2)(2(lim

2

4lim)2( 2

2

2 =−

+−=−−=′ →→ x

xx

x

xf xx

12/03/13 4

SOLDAN SAĞDAN TÜREV

TANIM:

1. Limitinin bir reel sayıdeğeri varsa

bu değere f fonksiyonunun a noktasındaki soldan türevi denir ve f’(a-) şeklinde gösterilir.

2. Limitinin bir reel sayı değeri

varsa bu değere f fonksiyonu, a noktasındaki sağdan türevi denir ve f’(a+) şeklinde gösterilir.

AaRA ∈⊂ ,

ax

afxfax

−−

→)()(

lim _

ax

afxfax

−−+

→)()(

lim

12/03/13 5

f’(a-)= f’(a+) ise , f fonksiyonu a noktasında türevlidir. Bu durumda f’(a-) = f’(a+) = f’(a) dır.

f’(a-) f’(a+) ise fonksiyonun a noktasında türev yoktur.

ÖRNEK: f: R R , f(x)= a)f’(2-)=?

b)f’(2+)=?

ÇÖZÜM: f(2) = 6 olduğundan fonksiyon x=2 de süreklidir.

a ) = = = 4

b) = =

≠

+

≥−

isexx

isexx

2,2

2,242 <

2

)2()(lim 2

−−−

→x

fxfx

2

4lim

2

2−−−

→x

xx )2(lim 2 +→ xx

2

)2()(lim 2

−−+

→x

fxfx 2

84lim 2

−−+

→x

xx 44lim =

12/03/13 6

TÜREVİN SÜREKLİLİKLE İLİŞKİSİ

Teorem: olmak üzere; fonksiyonu a

noktasında türevli ise bu noktada süreklidir.

1. y=f(x) a A , da türevli ise x=a da süreklidir.2.f '(a) =f(a) ve f(x) x=a da sürekli olmalıdır ki f(x) , x =a da türevli olsun3.Bir fonksiyonun kritik noktalarında türevi araştırılırken bu noktalarda süreksiz ise türevsizdir. Sürekliyse sağdan ve soldan türevlerini eşitliğine bakılır.

AaRA ∈⊂ , RAf →:

12/03/13 7

Örnek: hangi noktalarda türevsizdir?

Çözüm: f fonksiyonu paydanın 0 olduğu noktalarda tanımsız dolayısıyla süreksizdir.

x=-1 ve x=2 noktalarında

süreksiz dolayısıyla türevsizdir.

22

2)(

2

2

−−−=

x

xxf

22

2)(

2

2

−−−=

x

xxf

12/03/13 8

BİR ARALIKTA TÜREVLENEBİLMETANIM: a,b olmak üzere fonksiyonunun (a,b) aralığının her noktasında türev varsa f fonksiyonu (a,b) aralığında türevlidir. olmak üzere

fonksiyonu A tanım kümesinin her noktasında türevli ise f fonksiyonu tanımlı kümesinde türevlidir.

∈ Rbaf →),(:R A⊂

RAf →:

12/03/13 9

TÜREV ALMA KURALLARI1) f(x)= c f’(x) = 0

2) f(x) = xn f’(x) = n . xn-1

3) (c . f (x) )’ = c . f’(x)

4)

5)

6)

[ ] )()()()( xgxfxgxf ′+′=′+

[ ] )().()().()().( xfxgxgxfxgxf ′+′=′

[ ]2)(

)().()().(

)(

)(

xg

xfxgxgxf

xg

xf ′−′=

′

12/03/13 10

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU

teğetkesen

Y=f(x)

α

F(a+h)

F(a)

a a+h

12/03/13 11

=−+−+aha

afhaf

)(

)()(

h

afhaf )()( −+=AC

BCmAB=tan = α

AB kirişinin eğimi h 0 için AT teğetinin eğimine eşit olacağından→

=−+−+aha

afhaf

)(

)()(0lim →hmAT = )(' af

O halde y= f(x) fonksiyonunun grafiğini x=a noktasındaki teğetinin eğimi f fonksiyonunun x=a noktasındaki türevine eşittir. B noktası, B(a-h , f(a-h)) şeklinde alınarak da yukarıdaki yorum yapılabilir.

12/03/13 12

TEĞET VE NORMAL DENKLEMLERİ

.f(a)

y

xa

n

t

Y=f(x)

12/03/13 13

A (a, f(a)) noktasından çizilen teğet denkleminibulmak için önce eğim bulunur. Fonksiyonun bunoktadaki türevi eğimi vereceğindeny-f(a) =f'(a) . (x- a) teğet denklemi bulunur.

1m.m nt −=)a('f

1

m

1m

tn −=−=

Anoktasındaki normal denklemi ise şöyle olur:

)a('f

1)a(fy −=− . (x-a)

12/03/13 14

  Örnek: F(x) -x 2+2x –3 parabolünün x=3 apsisli noktasındaki teğetinin ve normalinin denklemini bulalım.

Çözüm: x=3, y=-6 olur. F'(x)= -2x +2 olduğundan

teğetin eğimi: mı =f'(3)=(-2 . 3)+2 =-4

normalin eğimi: mn =-1/mı=-1/f'(3) =-1/-4 =1/4

teğet denklemi: y-(6)=-4(x-3) y=-4x +6

normal denklemi : y-(6)=1/4(x-3) y=x/4- 27/4

12/03/13 15

i) Her x1, x2∈ A için, x1<x2 iken, f(x1)< f(x2) ise, fonksiyonu, A kümesinde, artandır.

A.ARTAN ve AZALAN FONKSİYONLAR

12/03/13 16

m=tanα= f ’(x1)>0 ise, f fonksiyonu (a,b)

aralığında artandır.

12/03/13 17

ii) Her x1, x2∈ A için, x1<x2 iken, f(x1)> f(x2) ise, f fonksiyonu, A kümesinde, azalandır.

12/03/13 18

m=tanα= f ’(x1)<0 ise, f fonksiyonu (a,b)

aralığında azalandır.

12/03/13 19

f:[a,b]→R fonksiyonu, (a,b) aralığında artan ve türevli ise,

fonksiyonun bu aralıktaki türevi pozitiftir Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında artan bir fonksiyon ise bu aralığın her elemanı için f’(x)>0’dır.

a bf’(x)

f(x)

+ + + + +

artan

12/03/13 20

f:[a,b]→R, fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi negatiftir.

Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan fonksiyon ise bu aralığın her elemanı için, f’(x)<0’dır.

f’(x)

f(x)

a b- - - - -

azalan

SONUÇ

12/03/13 21

12/03/13 22

Soru : f(x)=x2-2x fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz?

Fonksiyonunun, artan veya azalan olduğu aralıkları bulabilmek için,

Çözüm ::

türevinin işaretini incelemeliyiz.

f(x)=x2-2x ⇒ f’(x)= 2x-2

2x-2=0 ⇒ x=1 olur.f’(x)

f(x)

-∞ 1 +∞

- +

azalan artan

12/03/13 23

Soru : ∀×∈R-{-2} için, f(x)= fonksiyonu- nun daima artan olabilmesi için, m ne olmalıdır? Çözüm :

2x1mx

++

Fonksiyonun daima artan olabilmesi için, ol-malıdır.

f’(x)>0

f’(x)= = =2)2x()1mx.(1)2x.(m

++−+

2)2x(1mxm2mx

+−−+

2)2x(1m2

+−

Buradan; 0)2x(1m22 ⟩

+− ⇒ 01m2 ⟩− ⇒ 2

1m ⟩ bulunur.

12/03/13 24

Y=f(x)y

x-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun [-3,4] aralığındaki gra- fiğini görmektesiniz.Bu grafiğe göre, f(x)’in türevinin pozitif veya negatif olduğu aralıkları bulunuz?

12/03/13 25

Çözüm :

a) [-3,-1) aralığında,Fonksiyon azalan olduğundan,f ’(x)< 0 ‘dır.

b) (-1,3) aralığında,

Fonksiyon artan olduğundan, f ‘(x) > 0’dır.

c) (3,4) aralığında,

Fonksiyon azalan olduğundan,f ’(x)< 0 ‘dır

12/03/13 26

Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun, [-3,4] aralığında-ki türevinin grafiğini görmektesiniz. Grafiğe ba- karak, f(x)’in artan ve azalan olduğu aralıkları bu lunuz?

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y=f’(x)

y

x

12/03/13 27

Çözüm :

a) [-3,-2) aralığında:

f’(x) > 0 olduğundan,f(x) bu aralıkta artan’dır.

b) (-2,0) aralığında:

f’(x) < 0 olduğundan,f(x) bu aralıkta azalan’dır.

c) (0,4] aralığında:

f’(x) > 0 x=3 noktası hariç, olduğundan,f(x) bu aralıktaartan’dır.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y=f’(x)

y

x

12/03/13 28

B. MAKSİMUM ve MİNUMUM DEĞERLERİN BULUNMASI

12/03/13 29

1. YEREL MAKSİMUM NOKTASI:

Tanım: f:[a,b]→R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0∈(a,b) ve ε > 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ε,xo+ ε) aralığında en büyük değerini x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir yerel maksimumu vardır.f(x0) değerine, fonksiyonun bir yerel maksimum değeri denir.

x0- ε xo+ εx0

f(x0)

a b

Y=f(x)

f ’(x)

f(x)

a x0 b + -

f(x0)

Maksimum

12/03/13 30

2. YEREL MİNİMUM NOKTASI:Tanım:f:[a,b]→R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0∈(a,b) ve ε > 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ε,xo+ ε) aralığında en küçük değerini x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir yerel minimumu vardır.f(x0) değerine, fonksiyonun bir yerel minimum degeri denir.

x0- ε xo+ εx0

a b

Y=f(x)

f(x0)

f ’(x)

f(x)

a x0 b +-

f(x0)

Minimum

12/03/13 31

Sonuç:

a

f(a)

b

f(b)

c

f(c)

d

f(d)

+

+++++ - --

-- - - - - +++++++

y=f(x)

f ’(x)>0 f ’(x)<0

Yerel maksimum

f ’(x)>0

Yerel minimum

12/03/13 32

12/03/13 33

Soru :

f(x)= x3-3x2+1 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını bulunuz?

Önce, f(x)’in türevini alıp, türevin işaretini incelemeliyiz:f’(x)= 3x2-6x = 0 ⇒

x1= 0 ve x2= 2x1= 0 ⇒ f(0)= 1x2= 2 ⇒ f(2)= -3

f’(x)

f(x)

-∞ 0 2 +∞ 0 0

1 -3

+ - +

Cözüm:

12/03/13 34

Soru :

-4 -2 –1 0 3 5

y=f ’(x)

y

x

Şekilde, y=f(x) fonksiyo-nunun türevinin grafiğini görüyorsunuz. Bu grafiğe bakarak, y=f(x) fonksiyo-nunun, yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını bulunuz?

Cözüm :

+-

+-

f’(x)

f(x)

-4 5

- + -

12/03/13 35

C. İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLATIMI

12/03/13 36

f:[a,b] →R fonksiyonu, (a,b) aralığında ikinci basamaktan türevli olsun:

a b

y=f(x)

Eğrinin çukurluk yönü yukarı doğru bakmaktadır.

A

B

x1 x2

α θ

a’dan b’ye, teğetlerin eğim açılarının büyüdüğüne dikkat!

12/03/13 37

a b

y=f(x)

A

B

x1 x2

α θ

Bu teğetlerin eğimleri;m1= tanα=f’(x1) ve m2=tanθ=f’(x2) α<θ ⇒ tanα< tanθ ⇒ f’(x1) < f’(x2) ‘dir.Yani;

x1< x2 için, f’(x1) < f’(x2) olduğundan, f’ fonksiyonu artan’dır. f’ fonksiyonu artan olduğundan, türevi, f’’(x) > 0 ‘dır.

12/03/13 38

Şimdi de, eğrilik yönü aşağı doğru olan bir eğri inceleyelim:

a b

A

B

x1 x2

α θ

a’dan b’ye , teğetlerin eğim açılarının küçüldüğüne dikkat!

Bu teğetlerin eğimleri;

m1= tanα=f’(x1) ve m2= tanθ =f’(x2) ‘dir.

12/03/13 39

a b

A

B

x1 x2

α θ

α>θ ⇒ tanα> tanθ ⇒ f’(x1) > f’(x2) ‘dir.Yani;

x1< x2 için, f’(x1) > f’(x2) olduğundan, f’ fonksiyonu azalan’dır. f’ fonksiyonu azalan olduğundan, türevi, f’’(x) < 0 ‘dır.

12/03/13 40

SONUÇ: Bir f fonksiyonu için, aralı-

ğın her noktasında, f’’(x)< 0 oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü aşağı doğrudur.

Bir f fonksiyonu için, aralı-ğın her noktasında, f’’(x)> 0 oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü yukarı doğrudur.

f’’(x)< 0 ⇒Konkav(İç bükey) f’’(x)> 0 ⇒Konveks(Dış bükey)

12/03/13 41

Soru :f:R →R, f(x)= x3+x2-2x fonksiyonunun, konveks ve konkav olduğu aralıkları araştırınız?

Çözüm :Öncelikle, f’in ikinci türevini alıp, işaretini incelemeliyiz.

f’(x)=3x2+2x-2

f’’(x)=6x+2 = 0

x= -1/3

f’’(x)

f(x)

- ∞ -1/3 +∞

- +

12/03/13 42

Bir önceki örnekte görüldüğü gibi, fonksiyon eğrisi, eğrilik yönünü bazı noktalarda değiştirmektedir:

Tanım:

Bir f fonksiyonunun grafiğinin, çukurluğunun yön değiş-tirdiği ve fonksiyonun sürekli olduğu noktaya,

Dönüm (büküm) noktası

denir.

12/03/13 43

Şekilleri dikkatle inceleyiniz!!!

a b0 x0

f(x0)

f ’’(x)<0 f ’’(x)>0

Dönüm noktası

a b0 x0

f(x0)

f ’’(x0)=0

f ’’(x)>0 f ’’(x)<0

f ’’(x0)=yokDönüm noktası

DİKKAT: İkinci türevin işaret değiştirdiği nokta DÖNÜM noktasıdır.

12/03/13 44

Uygulamalar

12/03/13 45

1. f: R→R, f(x)= x4+x3-2x fonksiyonunun, konveks ve konkav olduğu aralıkları ve varsa, dönüm noktalarını bulunuz?

Çözüm :f’(x)= 4x3+3x2-2 f’’(x)= 12x2+6x

İkinci türevin kökleri:

12x2+6x=0 6x(2x+1) = 06x=0 x1= 0

(2x+1)= 0 x2=-1

12/03/13 46

xf’’(x)

f(x)

-∞ -1/2 0 + ∞+ +

konveks konkav konveks

Dönüm noktası

Dönüm noktası

-

12/03/13 47

2. f: R→R, f(x)=(x-2)4 fonksiyonunun, varsa, dönüm noktasını bulunuz?

Çözüm :

f’(x)=4(x-2)3 ve f’’(x)= 12(x-2)2

12(x-2)2=0 ⇒ x1=x2=2

xf’’(x)

f(x)

- ∞ 2 + ∞

+ +

konveks konveks

?

12/03/13 48

x=2 noktası, ikinci türevin kökü olduğu halde, dönüm noktası değildir

Türev bu noktada, işaret değiştirmemektedir!

Yani; f’’(x0)=0 olması, x0 noktasının DÖNÜM noktası olmasını gerektirmez!!!!

12/03/13 49

12/03/13 50

1.2x3x10x7xlim 2

2

2x +−+−

→limitinin değerini bulunuz?

Çözüm :

2x3x10x7xlim 2

2

2x +−+−

→= 0

0belirsizliği var

2x3x10x7xlim 2

2

2x +−+−

→= 3x2

7x2lim2x −

−→

= 32.272.2

−−

= 313 −=−

12/03/13 51

3.x

xπx sin

cos1lim +→

limitinin değerini bulunuz?

Çözüm :

xx

πx sincos1lim +

→ 00

belirsizliği var=

xx

πx sincos1lim +

→ πx →lim= - sinx

cosx

ππ

cossin− = 1

0− = 0

12/03/13 52

4.xe

xxx cos

)1ln(lim+

+∞→

limitinin değerini bulunuz?

Çözüm :

xex

xx cos)1ln(lim

++

∞→=∞∞

belirsizliği var

∞→xlim=xe

xxx cos

)1ln(lim+

+∞→

11+x

ex - sinx

0

∞

0

12/03/13 53

5.)2ln(sin)ln(sinlim

0 xx

x →limitinin değerini bulunuz?

Çözüm :

)2ln(sin)ln(sinlim

0 xx

x →=∞∞

belirsizliği var

)2ln(sin)ln(sinlim

0 xx

x →=

0lim

→x

cosx/sinx2cos2x/sin2x

0lim

→x

cosx/sinx2cos2x/sin2x =

Cosx.sin2x0

lim→x 2cos2x.sinx

12/03/13 54

6. x

xe

x⋅

∞→

1lim limitinin değerini bulunuz?

Çözüm :x

xe

x⋅

∞→

1lim = 0 • ∞

x

xe

x⋅

∞→

1lim =x

x xe

∞→lim = ∞

∞

∞→xlim=

x

x xe

∞→lim ex

1 = e∞

1= ∞

1= ∞

12/03/13 55

Cosx.sin2x0

lim→x 2cos2x.sinx

2sinx.cosx

2.sinx.cos2x 0

lim→x 2cos2x.sinx

= )0.2cos(.20cos.2 2

= 2. 12. 1

= 1

12/03/13 56

7. ( )xxx 2sin.lim

∞→limitinin değerini bulunuz?

Çözüm :( )xx

x 2sin.lim∞→

=∞•0

x

xx 1

)2sin(lim

∞→= 0

0

∞→xlim =

x

xx 1

)2sin(lim

∞→= xx

2cos22 ⋅−

21

x−

)/2cos(.2lim xx ∞→

=2

12/03/13 57

8.

−

−→ xxx ln1

11lim

1 limitinin değerini bulunuz?

Çözüm :

−

−→ xxx ln1

11lim

1= ∞ - ∞

−

−→ xxx ln1

11lim

1=

−⋅+−

→ )1(ln1lnlim

1 xxxx

x=

00

12/03/13 58

−⋅+−

→ )1(ln1lnlim

1 xxxx

x=

1lim

→x

11 −x

xxx

ln)1(1 +−⋅=

1lim

→xx

x−1

xxxx ln.)1( +− = xxx

xx ln.)1(

1lim1 +−

−→

=00

Bu aşamada, L’Hospital kuralı bir kere daha uygulanır:

12/03/13 59

SUNUMUZ BURADA SONA ERMİŞTİR...