TÜREV UYGULAMALARI

TÜREV UYGULAMALARI

• Artan ve Azalan Fonksiyonlar: fonksiyonu verilsin.

Her

oluyorsa f ye monoton artan (azalmayan)

fonksiyon denir.

Her

oluyorsa kesin artan fonksiyon denir.

RAf : 212121 , xfxfiçinxxveAxx

212121 , xfxfiçinxxveAxx

Benzer şekilde;

her

oluyorsa f ye monoton azalan (artmayan)

fonksiyon denir.

Her

oluyorsa kesin azalan fonksiyon denir.



Eğer her için ise

fonksiyon monoton azalan, ise kesin

azalan fonksiyondur.

Eğer her için ise

fonksiyon monoton artan, ise kesin

artan fonksiyondur.

bax ,

bax , 0 xf

0 xf

0 xf

0 xf

Örnek: Bir malın toplam maliyet

fonksiyonu, x mal miktarı, bin TL olmak

üzere

toplam gelir fonksiyonu, bin TL

olmak üzere,

dır. Kârın artan ve azalan olduğu üretim

satış aralıklarını bulunuz.

2000,140045,0)( 2 xxxxC

xC

)(xR

2000,5,1500)( 2 xxxxR

Çözüm: Kâr, gelir ile maliyetin farkı

olduğundan K kâr fonksiyonu,

olur. K fonksiyonunun türevinin işaretini

incelememiz gerekiyor.

14004962

140045,05,1500)(2

22

xx

xxxxxK

12424

496

049644964)(

x

xxxK

K 0

x0 124 200

+ -

K

• Bu durumda (0,124) aralığında kâr

artmakta, (124,200) aralığında ise

azalmaktadır.

• Yerel Maksimum ve Yerel Minimum:

fonksiyonu verilsin ve için

noktasını içeren uygun bir aralık

olsun.

* Eğer her için oluyorsa noktasına f fonksiyonunun bir yerel

maksimum noktası, f( ) sayısına da bir yerel

maksimum değeri denir.

RAf : Ax 0

0x AII

Ix )()( 0xfxf 0x

0x

* Eğer her için oluyorsa noktasına f fonksiyonunun bir yerel

minimum noktası, f( ) sayısına da bir yerel

minimum değeri denir.

Ix )()( 0xfxf

0x0x

* Bir fonksiyonun yerel maksimum ve yerel

minimum noktalarına fonksiyonun ekstremum

noktaları denir.

fonksiyonu sürekli ve her için türevi olan bir fonksiyon

olsun. Eğer bir noktası f

fonksiyonunun bir yerel ekstremum noktası

ise dır.

Rbaf ,: bax ,

bax ,0

0)( 0 xf

• Türevi olan bir f fonksiyonu için

koşulunu sağlayan noktalar ekstremum

noktası olmaya aday noktalardır. Böyle

noktalara kritik noktalar denir.

0)( xf

Örnek:

fonksiyonunun kritik noktalarını bulalım.

noktaları kritik noktalardır.

xxxfRRf 12)(,: 3

224

0123123)(2

22

xvexx

xxxf

Ekstremum noktaların bulunması:1.YOL: Bir fonksiyonun ekstremum

noktalarını bulmak için türevi ve türevinkökleri, yani kritik noktaları bulunur. Dahasonra varsa fonksiyonun türevinin olmadığınoktalar da belirlenip türevin işareti incelenir.Sürekli fonksiyonun türevinin işaretinin + dan – ye geçtiği nokta yerel maksimum noktası, -den+ ya geçtiği nokta yerel minimum noktasıdır.Türevin işaret değiştirmediği nokta ekstremumnokta değildir.

Örnek:

fonksiyonunu göz önüne alalım.

62

1

5

1)( 345 xxxxf

3,1,00)3)(1(

03232)(2

234234

xxxxxx

xxxxxxxf

f

-1 0 3

x

+ - - +

f

x=-1 yerel maksimum noktasıdır.

x=0 ekstremum nokta değildir.

x=3 yerel minimum noktasıdır.

2.YOL: ikinci mertebeden

sürekli türevi olan bir fonksiyon ve

bu fonksiyonun kritik noktası olsun.

* Eğer ise noktası f

fonksiyonunun bir yerel minimum noktasıdır.

*Eğer ise noktası f

fonksiyonunun bir yerel maksimum

noktasıdır.

Rbaf ,:

bax ,0

00 xf 0x

0x 00 xf

Örnek:


Bu noktalar fonksiyonun kritik noktalarıdır.

744)( 234 xxxxf

2,1,00234

081248124)(

3212

2323

xxxxxx

xxxxxxxf

olur.

olduğundan x=0 bir yerel minimum

noktasıdır.

olduğundan x=1

bir yerel maksimum noktasıdır.

olduğundan

x=2 bir yerel minimum noktasıdır.

82412 2 xxxf 08)0( f

04824121 f

0882.244.12)2( f

Örnek: Bir malın, x mal miktarı türünden

kâr fonksiyonu, bin TL cinsinden

dir. Maksimum karın elde edildiği mal

miktarını bulunuz.

Çözüm:

30000,22504750

)(2

xxx

xK

150004375

4375

)( xxx

xK

K

x0 1500 3000

+ -

K

750 Bu üründen 1500 tane üretilip satıldığında

maksimum kâr olarak 750 bin TL elde edilir.

• BÜKEYLİK

ikinci mertebeden sürekli

türevi olan bir fonksiyon olsun.

* Her için ise f

fonksiyonu aralığında yukarı bükey

(konveks) fonksiyondur.

Rbaf ,:

bax , 0)( xf

ba,

* Her için ise f

fonksiyonu aralığında aşağı bükey

(konkav) fonksiyondur.

bax , 0)( xf

ba,

* Bir fonksiyonun bükeyliğinin değiştiği

noktaya büküm noktası denir.

Örnek:


olur. İkinci mertebeden türevin kökü x=-1

olur.

23 23 xxxf

66)(63 2 xxfxxxf

f

-1

x

- - o + +

f Aşağı Bükey Yukarı Bükey

• ASİMPTOTLARBir eğriye, orijinden sonsuz yaklaştığımızda

teğet olan eğriye veya doğruya asimptot denir.

1. Yatay Asimptot: fonksiyonuverilsin. Eğer limitleri var ve

oluyorsa y=b ve y=c doğrularına yatayasimptot denir.

)(xfy )(limlim xfvexf

xx

cxfvebxfxx

)(limlim

Örnek:


723

356)(

2

2

xx

xxxf

272

3

356

723

356

723

356

2

2

22

22

2

2

lim

limlim

xx

xx

xxx

xxx

xx

xx

x

xx

olduğundan y=2 yatay asimptottur.

2. Düşey Asimptot: fonksiyonu

verilsin.

x=a için

oluyorsa x=a doğrusuna fonksiyonun düşey

asimptotu denir. Bu tanıma göre bir rasyonel

fonksiyonda pay sıfırdan farklı olmak üzere

paydayı sıfır yapan değerler bize düşey

asimptotu verir.

)(xfy

)(limlim xfveyaxfaxax

Örnek:

fonksiyonunun düşey asimptotlarını bulalım.

Paydayı sıfır yapan değerler;

olur. Dolayısıyla x=-1 ve x=2 doğruları düşey

asimptottur.

2

432

2

xx

xxxf

21

021022

xvex

xxxx

• FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİNİN ÇİZİMİ

Bir fonksiyonun grafiğini çizmek için

aşağıdaki 7 adım takip edilir.

1.Fonksiyonun tanım kümesi bulunur.2.Fonksiyonun belirttiği eğrinin varsa

eksenleri kestiği noktalar bulunur.3.Eğer varsa asimptotlar bulunur. 4.Türev alınır ve işareti incelenir.5.İkinci türev alınır ve işareti incelenir.6.İlk beş adımda bulunanlar bir tabloda

gösterilir.7.Altıncı adımdaki tablo kullanılarak

grafik çizilir.

Örnek:

fonksiyonunun grafiğini çizelim.

1.Tanım kümesi

olur.

5

152

x

xxf

,55,5RT

2. y=0 için

olur. Dolayısıyla x eksenini kestiği nokta

noktasıdır. x=0 için y=-3 olup y

eksenini kestiği nokta (0,-3) noktasıdır.

3. Verilen fonksiyon rasyonel olduğundan

paydayı sıfır yapan x=-5 düşey asimptottur.

2

1501520

5

152

xxx

x

0,2

15

olduğundan y=2 yatay asimptottur.

4. olur. Bu fonksiyon x=-5

noktasında tanımlı değildir. Dolayısıyla x=-5

hariç her yerde pozitiftir.

25

1522

5

152limlim

x

xve

x

x

xx

25

25

xxf

5. olur. 35

50)(

x

xf

35x

35

50

x

x

-50 - - - -

- - o + +

+ + - -

6. İşaret tablosu;

xf

)(xf

xf

x

+ + + +

+ + - -

2 2

x=-5 noktasında fonksiyonun davranışını incelemek gerekir. Pratik olarak düşey asimptotun solundaki sonsuzun işareti bu noktanın hemen solundaki türevin işareti ile aynı, sağındaki sonsuzun işareti ise bu noktanın solundaki türevin işareti ile ters olur.

7. Fonksiyonun grafiği:

• BELİRSİZ HALLER• belirsizliği için L’Hospital kuralı:

f ve g, (a,b) açık aralığının her noktasında türevlenebilir iki fonksiyon, ayrıca

ve (a,b) aralığındaki her x için olsun.Bu durumda

olur.

0

0

0)(0)( limlim

xgvexfaxax 0 xg

L

xg

xfL

xg

xf

axax

)(

)(

)( limlim

Bu kural

olması durumunda uygulanabilir.

şeklinde bir belirsizlik oluyorsa bu

kural kullanılır. Aksi halde kullanılmaz.

xxaxax ,,,

,0

0

Örnek:

limitini hesaplayalım.

olup belirsizliği vardır. Kuralı uygularsak:

bulunur.

1

12

1lim

x

x

x

010)1( 2

11limlim

xvexxx

0

0

2

1

2

1

1

1limlim

12

1

xx

x

xx

Documents

TÜREV UYGULAMALARI