Typologio 2003

Μαθηματικό Τυπολόγιο Με στοιχεία θεωρίας

Παπαδημητρίου Χ. Γιώργος Έκδοση Β’, Αντίρριο 2003

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Σύνολα 1

Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος 1

(Y) Πνευµατικές Υποχρεώσεις: 2003 Παπαδηµητρίου Χ. Γεώργιος Καραϊσκάκη 1, Αντίρριο, ΤΚ 30020

Επιτρέπεται κάθε αντιγραφή µερική ή ολική και µε οποιοδήποτε τρόπο, ηλεκτρονικό, µηχανικό ή χειρόγραφο, καθώς

και για οποιοδήποτε σκοπό.

Το παρόν γραπτό κείµενο και οι εικόνες που περιέχει είναι τελείως ελεύθερα προς κάθε χρήση από τον δηµιουργό τους (ακόµα και για χρήση µε την οποία ο δηµιουργός ιδεολογικά διαφωνεί) µε την µοναδική προϋπόθεση της µη χρήσης του παρόντος ή µέρους αυτού για δηµιουργία κειµένου (ή γενικά έργου) µε πνευµατικά δικαιώµατα τα οποία θα στρα-φούν αργότερα κατά της ελεύθερης διάθεσης και διακίνησης του παρόντος πονήµατος ή των βελτιώσεων και παραγώ-γων αυτού. Αν συµβεί αυτό, ο συγγραφέας θεωρεί ότι έγινε κακή χρήση του δικαιώµατος της ελευθερίας που παρέχει

και µπορεί να ασκήσει τα ηθικά και νόµιµα δικαιώµατά του.

Ο συγγραφέας δεν εγγυάται απόλυτα την ορθότητα των µαθηµατικών τύπων του παρόντος και δεν είναι υπεύθυνος για οτιδήποτε προκύψει από τη χρήση τους

Σχόλια, προτάσεις, βελτιώσεις, υποδείξεις για σφάλµατα γίνονται ευχαρίστως δεκτά στις διευθύνσεις: [email protected] [email protected]

ΜΜ αα θθ ηη µµ αα ττ ιι κκ άά ΣΣ ύύ µµ ββ οο λλ αα

∀ για κάθε

∃ υπάρχει

∈ ανήκει

∉ δεν ανήκει

⇒ συνεπάγεται, άρα

⇔ ισοδύναµο

∨ ή

∧ καί

¬ άρνηση

∅ κενό σύνολο

∞ άπειρο

∩ τοµή συνόλων

∪ ένωση συνόλων

⊆ υποσύνολο

⊂ γνήσιο υποσύνολο

: τέτοιο ώστε

(α, β) ανοιχτό διάστηµα, α, β ∉ (α,β)

[α, β] κλειστό διάστηµα α, β [α, β]

[α, β) ανοιχτό δεξιά διάστηµα α[α, β), β∉[α, β)

(α, β] ανοιχτό αριστερά διάστηµα β(α, β], α∉(α, β]

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Σύνολα 3


1 Αριθµοί 1.1 Σύνολα Σύνολο ονοµάζεται µία συλογή καλώς ορισµένων και διακριµµένων αντικειµένων, της διαίσθησής µας ή της διάνοιάς µας, που µπορούν να εκλειφθούν ως ολότητα. Αυτά ονοµάζονται στοιχεία του συνόλου.

11..11..11 ΥΥοοσσύύννοολλαα

Ένα σύνολο Β είναι υοσύνολο ενός συνόλου Α αν xΒ ⇒ xΑ. Σηµειώνουµε Β⊂Α

Ένα σύνολο Β είναι γνήσιο υοσύνολο ενός συνόλου Α αν xΒ ⇒ xΑ και ∃ yΑ : y ∉ Β. Σηµειώνουµε Β⊆Α

Ένα αειροσύνολο είναι ένα σύνολο αν είναι ισοδύναµο µε ένα υποσύνολό του. Το απειροσύνολο έχει άπειρα στοιχεία.

11..11..11..11 ΆΆλλγγεεββρραα υυπποοσσυυννόόλλωωνν ττοουυ BBoooollee

Έστω Ω ένα σύνολο και Α, Β υποσύνολά του. Τότε συµβολίζουµε τις πράξεις:

(1) Ένωση των Α και Β: Α∪Β = xΩ / xΑ ή xΒ

(2) Τοµή των Α και Β: Α∩Β = xΩ / xΑ και xΒ

(3) Συµπλήρωµα του Α: A = xΩ / x∉Α

Βασικοί Νόµοι της Αλγεβρας Boole

(1) Α∩(Β∩Γ)=(Α∩Β)∩Γ Προσεταιριστικότητα

(2) Α∪(Β∪Γ)=(Α∪Β)∪Γ

(3) Α∪Β=Β∪Γ Αντιµεταθετικοί Νόµοι

(4) Α∩Β=Β∩Α

(5) Α∪(Β∩Γ)=(Α∪Β)∩(Α∪Γ) Αντιµεταθετικοί Νόµοι

(6) Α∩(Β∪Γ)=(Α∩Β)∪(Α∩Γ)

(7) A B A B∪ = ∩ Νόµοι του De Morgan

(8) A B A B∩ = ∪ (9) A∪A=A Νόµοι Αυτοδυναµίας

(10) A∩A=A

11..11..22 ∆∆υυννααµµοοσσύύννοολλοο Έστω σύνολο Α µε 10 στοιχεία. Το σύνολο των υποσυνόλων του έχει 210 στοιχεία και ονοµάζεται δυναµοσύ-νολο του Α. Συµβολίζεται µε 2Α. Το δυναµοσύνολο ενός συνόλου (πεπερασµένου ή απειροσυνόλου) δεν είναι ποτέ ισοδύναµο µε το αρχικό σύνολο. Πάντα περιέχει περισσότερα στοιχεία (Cantor)

11..11..33 ΠΠλληηθθάάρριιθθµµοοιι Ένα σύνολο είναι αριθµήσιµο αν είναι ισοδύναµο (δηλαδή υπάρχει 1-1 και επί αντιστοιχία) µε το σύνολο των

φυσικών αριθµών ∞.

Το µη-αριθµήσιµο σύνολο δεν µπορεί να µπει σε 1-1 και επί αντιστοιχία µε το σύνολο ∞.

Πληθάριθµος ενός συνόλου είναι ο αριθµός των στοιχείων του. Ο πληθάριθµος του συνόλου ∞ είναι άπειρος

συµβολίζεται µε ℵ0 και ονοµάζεται ‘άλεφ µηδέν’. (Άλεφ από το φοινικικό πρώτο γράµµα, το δικό µας άλ-φα).

Το σύνολο των ρητών ⁄ είναι αριθµήσιµο σύνολο άρα έχει πληθάριθµο ℵ0

Το σύνολο ϒ των πραγµατικών είναι µη-αριθµήσιµο σύνολο και ο πληθάριθµός του συνβολίζεται c kai είναι

µεγαλύτερος από αυτόν του συνόλου ∞. To c και ονοµάζεται ‘δύναµη του συνεχούς’. Ο Cantor έδειξε ότι 02ℵ =c, δηλαδή ο πληθάριθµος των πραγµατικών ισούται µε το πλήθος των υποσυνόλων του ∞.

Ακόµα ο Cantor απέδειξε ότι υπάρχουν σύνολα µε περισσότερα στοιχεία από το σύνολο ϒ, δηλαδή τα άπει-

ρα ℵ1, ℵ2, ℵ3…

Υόθεση του Συνεχούς του Cantor: c= 02ℵ =ℵ1 H υπόθεση του συνεχούς δεν είναι δυνατό να αποδειχθεί ή να απορριφθεί αλλά αποδείχθηκε ότι είναι ένα ανεξάρτητο αξίωµα, όπως το 5ο αίτηµα του Ευκλείδη.

11..11..44 ΤΤαα σσύύννοολλαα ττωωνν ααρριιθθµµώώνν Ν : σύνολο των Φυσικών αριθµών (Natural) 0, 1, 2, 3, …

4 Προτεραιότητα των ράξεων Μαθηµατικό Τυπολόγιο

4 Παπαδηµητρίου Χ. Γιώργος

Z : σύνολο των Ακεραίων αριθµών …, -2, -1, 0, +1, +2, …

Q: σύνολο των Ρητών αριθµών (Rational) κ

λ/ κ, λ ∈ ′

Ι : σύνολο των Άρρητων αριθµών (Irrational)

x ∈ Ι / x δεν µπορεί να γραφεί ως κλάσµα κ

λ µε κ, λ ∈ ′

πχ 2 , 3 , e=2,718…, π=3,1415927…

(οι αριθµοί x ∈ Ι έχουν άπειρα δεκαδικά ψηφία που δεν είναι περιοδικά)

R : σύνολο των Πραγµατικών αριθµών (Real) x ∈ ϒ / x∈⁄ ή x∈Ι

C : σύνολο των Μιγαδικών αριθµών (Complex) z ∈ ≤ / z=x+iy µε x,y ∈ϒ και i² = - 1

Ισχύει N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C αλλά και Ι ⊂ R

1.2 Προτεραιότητα των πράξεων Α. Όταν δεν υπάρχουν παρενθέσεις

∆υνάµεις → Ρίζες → Πολλαπλασιασµοί → ∆ιαιρέσεις → προσθέσεις αφαιρέσεις Β. Όταν υπάρχουν παρενθέσεις

Ισχύει η ίδια προτεραιότητα των πράξεων αλλά αρχίζοντας από τις πιο εσωτερικές παρενθέσεις και συνε-χίζοντας προς τις εξωτερικές

1.3 Πρώτοι αριθμοί (Prime numbers) Πρώτοι είναι οι αριθµοί που διαιρούνται µόνο µε τον εαυτό τους και την µονάδα. Π.χ. 1, 2, 3, 7, 13, … Το πλήθος των πρώτων αριθµών είναι άπειρο, όπως απέδειξε ο Ευκλείδης. Αν ένας αριθµός δεν είναι πρώτος τότε λέγεται σύνθετος.

1.4 Χρυσός αριθμός

Αν αναζητήσουµε ένα εσωτερικό σηµείο Γ σε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ τέτοιο ώστε AB

ΑΓ=

AΓ

ΓΒ τότε ο

λόγος φ=AΓ

ΓΒ ονοµάζεται λόγος της χρυσής τοµής ή χρυσός αριθµός. Αποδεικνύεται εύκολα ότι φ=

5 1

2

+

και σε δεκαδική προσέγγιση: φ=1,6180339887498948482… Ο αριθµός φ είναι και το όριο ν → ∞ του λό-

γου δύο διαδοχικών όρων της ακολουθίας Fibonacci: ƒ(1)=1, ƒ(2)=1, ƒ(3)=ƒ(1)+ƒ(2) και γενικά

ƒ(ν)=ƒ(ν-2)+ƒ(ν-1)

1.5 Ευκλείδεια διαίρεση Για κάθε φυσικούς αριθµούς ∆ (∆ιαιρεταίος) και δ (διαιρέτης) υπάρχουν φυσικοί αριθµοί π (πηλίκο) και υ

(υπόλοιπο), µε 0 ≤ υ < δ, τέτοιοι ώστε ∆=πδ+υ Όταν υ=0 η διάιρεση λέγεται τέλεια

1.6 Άρτιοι, περιττοί αριθμοί Αρτιος είναι ο αριθµός που διαιρείται µε το 2 άρα είναι της µορφής α=2ν. Ζα=0, ±2, ±4, ±6… Περιττός είναι αυτός που δεν διαιρείται µε το 2, άρα αφήνει υπόλοιπο 1. Είναι της µορφής β=2ν+1. Το σύ-

νολό τους είναι Ζπ=±1, ±3, ±5…

1.7 Διαιρετότητα Ένας αριθµός διαιρείται µε το

2 : αν είναι άρτιος (ζυγός), δηλαδή αν λήγει σε 0, 2, 4, 6, 8 3 : αν το άθροισµα των ψηφίων του διαιρείται µε το 3 4 : αν τα δύο τελευταία ψηφία του είναι τα 00 ή διαιρούνται µε το 4 5 : αν λήγει σε 0 ή 5 6 : αν διαιρείται συγχρόνως µε 2 και 3

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Ανάλυση σε γινόµενο ρώτων αραγόντων 5


7 : µετατρέπουµε τον αριθµό στο οκταδικό σύστηµα και ελέγχουµε αν το άθροισµα των ψηφίων του διαι-ρείται µε το 7

8 : αν τα τρία τελευταία ψηφία του διαιρούνται µε το 8 9 : αν το άθροισµα των ψηφίων του διαιρείται µε το 9 10 : αν λήγει σε 0 11 : αν το αλγεβρικό άθροισµα των ψηφίων µε πρόσηµο εναλλάξ + και – δίνει αριθµό που διαιρείται µε

το 11 (άσχετα αν είναι θετικός ή αρνητικός)

1.8 Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Θεµελιώδες θεώρηµα της Αριθµητικής: Κάθε αριθµός τρέεται κατά µοναδικό τρόο σε γινόµενο ρώτων αραγώ-ντων. Η διαδικασία είναι ως εξής: Ελέγχουµε αν ο αριθµός διαιρείται µε το δύο και (αν ναι) βρίσκουµε το αποτέλεσµα της διαίρεσης. Συνεχίζουµε την ίδια διαδικασία µε το αποτέλεσµα της διαίρεσης. Αν δεν διαιρείται µε το δύο ελέγχουµε αν διαιρείται µε το 3 και ακολουθούµε την ίδια διαδικασία. Συνεχίζουµε µέχρι να µείνει σαν αποτέλεσµα η µονάδα. πχ.

28 14 7 1

2 2 7

28 = 2⋅2⋅7 = 2²⋅7 200 100 50 25 5 1

2 2 2 5 5

200 = 2³⋅5²

1.9 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Ο Μ.Κ.∆. κάποιων αριθµών είναι ο µεγαλύτερος αριθµός που διαιρεί ταυτόχρονα όλους τους αριθµούς. Βρίσκεται από την ανάλυση των αριθµών σε γινόµενο παραγόντων. Από κάθε ανάλυση παίρνουµε κάθε κοινό αράγοντα µε τον µικρότερο εκθέτη ου εµφανίζεται όπως στο παράδειγµα:

60 30 15 5 1

2 2 5 5

60=2²5² 180 90 45 9 3 1

2 2 5 3 3

180=2³53² 1500 750 375 75 15 3 1

2 2 5 5 5 3

1500=2⁴5³3

Μ.Κ.∆. (60, 180, 1500) = 2²5 = 4⋅5 = 20 Συµβολίζεται επίσης και (α,β) Βρίσκεται και µε τον αλγόριθµο του Ευκλείδη:

Έστω α, β δύο αριθµοί µε α>β. Τότε: α=βπ1+υ1 β=υ1π2+υ2 υ1=υ2π3+υ3 …………. υν-2=υν-1πν+υν µε υν=0, αφού τα υπόλοιπα υ1, υ2, … συνεχώς µικραίνουν

Τότε ο ΜΚ∆ των α και β είναι ο τελεταίος διαιρέτης υν-1, (ή το προτελεταίο υπόλοιπο)

1.10 Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο Το Ε.Κ.Π. κάποιων αριθµών βρίσκεται από την ανάλυσή τους σε γινόµενο πρώτων παραγόντων: Από κάθε ανάλυση παίρνουµε µία φορά καθένα παράγοντα µε τον µεγαλύτερο εκθέτη ου εµφανίζεται. Από το προηγούµε-νο παράδειγµα:

Ε.Κ.Π. (60, 180, 1500) = 2⁴5³3² = 4⋅125⋅9 = 4500 Συµβολίζεται και [α,β] Πρώτοι προς αλλήλους αριθµοί ∆ύο ή περισσότεροι αριθµοί λέγονται πρώτοι προς αλλήλους αν ο Μ.Κ.∆. τους είναι το 1

1.11 Κλάσματα

6 ∆εκαδικοί αριθµοί Μαθηµατικό Τυπολόγιο


Κάθε αριθµός της µορφής α

β ονοµάζεται κλάσµα. Παριστάνει την διαίρεση α:β.

Όταν τα α και β είναι πρώτα µεταξύ τους το κλάσµα λέγεται ανάγωγο Όταν α>β το κλάσµα λέγεται καταχρηστικό αλλιώς λέγεται γνήσιο Το κλάσµα δεν αλλάζει αν πολλαπλασιάσουµε ή διαιρέσουµε αριθµητή και παρονοµαστή µε κάποιο αριθµό λ

α

β=

α λ

β λ

⋅⋅

και α

β=

α : λ

β : λ

Σύνθετο κλάσµα: Πολλαπλασιάζουµε τους άκρους όρους µε τους µέσους

= α δ

β γ

⋅⋅

Προσοχή:

2 22 1 23 3

55 3 5 151

⋅= = =

⋅ και

77 7 5 3512 2 2 1 25 5

⋅= = =

⋅

Συνεχές είναι ένα κλάσµα µε παρονοµαστή άθροισµα ακεραίου και κλάσµατος, π.χ.: 1

12

3+

1.12 Δεκαδικοί αριθμοί Αν σε κάποιο κλάσµα κάνουµε τη διαίρεση υπάρχουν µόνο δύο πιθανές καταστάσεις: α) η διαίρεση να τερµατίζεται β) η διαίρεση να µην τερµατίζεται αλλά να οδηγεί σε περιοδική επανάληψη των δεκαδικών

πχ. 9

2, 254

= και 10

3, 3333333... 3, 33

= = και 7

1,1666666... 1,166

= =

και 20

1,571428571428... 1,5714287

= =

Στη δεύτερη περίπτωση ο αριθµός λέγεται περιοδικός δεκαδικός και το ψηφίο (ή ψηφία) που επαναλαµβά-νονται λέγονται ερίοδος του αριθµού. Ο περιοδικός δεκαδικός λέγεται απλός (simple) αν η περίοδος ξεκινά αµέσως µετά το κόµµα, 2,66666… και µικτός (mixed) αν ξεκινά µερικά ψηφία µετά, 2,3473737373… Στην περίπτωση αυτή τα δεκαδικά ψηφία πρίν την περίοδο (73) λέγονται αντιπερίοδος (34). Κάθε δεκαδικός µπορεί να γραφεί ως κλάσµα µε τον εξής τρόπο, που θα φανεί µέσα από το παράδειγµα:

→ Να γίνει κλάσµα ο 31, 97464646…

x = 31,9746

104x = 319746, 46

102x = 3197, 46

Αφαιρώντας έχουµε:

(104-102)x = 316549 ⇔ 9900 x = 316549 ⇔

x = 316549

9900

Η διαδικασία µπορεί και να αυτοµατοποιηθεί: α) Αν ο αριθµός τερµατίζει µετά από κάποια δεκαδικά ψηφία τότε ο δεκαδικός ισούται µε ένα κλάσµα που έχει αριθµητή όλα τα ψηφία του αριθµού και παρονοµαστή ένα αριθµό µε τόσα µηδενικά όσα είναι τα δεκα-δικά ψηφία:

α

β

γ

δ

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Τέλειος αριθµός 7


23122, 312

100=

β) Αν ο αριθµός είναι απλός περιοδικός αριθµός, τότε ισούται µε ένα κλάσµα που έχει αριθµητή ίσο µε τη διαφορά δύο αριθµών τον αριθµό µε την περίοδό του γραµµένη µία µόνο φορά (και χωρίς κόµµα) µείον το ακέραιο µέρος του αριθµού, και ως παρονοµαστή έχει ένα αριθµό αποτελούµενο από τόσα ψηφία 9 όσο το πλήθος ψηφίων της περιόδου:

212 2 2102,12

99 99

−= = και

3 0 30, 3

9 9

−= =

γ) Αν ο αριθµός είναι µικτός περιοδικός τότε ισούται µε ένα κλάσµα που στον αριθµητή έχει τον αριθµό χωρίς το δεκαδικό σηµάδι µε την περίοδο γραµµένη µία φορά µείον τον ίδιο αριθµό χωρίς την περίοδο και στον παρονοµαστή έχει ένα αριθµό αποτελούµενο από τόσα ψηφία 9 όσο το πλήθος ψηφίων της περιόδου ακολουθούµενο από τόσα ψηφία 0 όσο το πλήθος ψηφίων της αντιπεριόδου.

2512 25 24872,512

990 990

−= = και

47231 472 467590, 47231

99000 99000

−= =

1.13 Τέλειος αριθμός Ένας αριθµός είναι τέλειος όταν ισούται µε το άθροισµα των γνήσιων διαιρετών τους. Πχ. 28=1+2+4+7+14. Έχουν βρεθεί µέχρι στιγµής 27 τέλειοι αριθµοί.

1.14 Ελλιπής και πλήρης αριθμός Αν συµβολίσουµε µε Σγδ(ν) το άθροισµα των γνήσιων διαιρετών του ν τότε αν Σγδ(ν)<ν ο αριθµός ν λέγεται ελλιπής, και όταν Σγδ(ν)>ν λέγεται πλήρης. Αν Σγδ(ν)=ν τότε ο ν είναι τέλειος.

1.15 Φιλικοί αριθμοί ∆ύο αριθµοί α και β λέγονται φιλικοί όταν ο β ισούται µε το άθροισµα των διαιρετών του α και ο α ισούται µε το άθροισµα των διαιρετών του β. ∆ηλαδή β=Σγδ(α) και α=Σγδ(β) 220 : γδ(220) = 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 µε Σγδ(220) = 284 284 : γδ(284) = 1, 2, 4, 71, 142 µε Σγδ(284) = 220 Φιλικοί είναι ακόµα οι 1184 και 1210, 17296 και 18416 …

1.16 Πυθαγόρειοι αριθμοί Είναι µία τριάδα αριθµών (α, β, γ) που επαληθεύουν το πυθαγόρειο θεώρηµα: α²=β²+γ² Μία πυθαγόρεια τριάδα λέγεται πρωταρχική αν Μ.Κ.∆.(α, β, γ)=1 Αν (α, β, γ) µία πυθαγόρεια τριάδα τότε και η (κα, κβ, κγ) είναι επίσης πυθαγόρεια τριάδα. Αν (α, β, γ) µία πυθαγόρεια τριάδα τότε και η α=2κλ, β=κ²-λ² και γ=κ²+λ²

Η τριάδα (2ν+1, 2ν²+2ν, 2ν²+2ν+1), µε ν∞, είναι πυθαγόρεια (Πρόκλος)

8 Άρρητοι αριθµοί Μαθηµατικό Τυπολόγιο


1.17 Άρρητοι αριθμοί Ένας αριθµός που δεν είναι ρητός είναι άρρητος. Οι άρρητοι αριθµοί ανακαλύφθηκαν από τον Πυθαγόρα

που απέδειξε το άρρητο του 2 . Άρρητοι είναι:

Ο αριθµός π (Lambert 1770). O αριθµός e του Euler, βάση των νεπέρειων λογαρίθµων. Ο αριθµός φ της χρυσής τοµής. Όλες οι τετραγωνικές ρίζες ρητών αριθµών που δεν είναι τετράγωνα ρητού. Τα ηµθ, συνθ, εφθ µε 0<θ<90 εκτός από τα προφανή συν60, ηµ30 και εφ45, καθώς και τα αντίστοι-

χα για γωνίες θ>90.

Οι δεκαδικοί λογάριθµοι logx όταν x≠δύναµη του δέκα. Όλοι οι αριθµοί ex

όταν x ρητός.

1.18 Αλγεβρικοί αριθμοί Ένας πραγµατικός αριθµός είναι αλγεβρικός όταν είναι ρίζα µίας εξίσωσης P(x)=0 όπου P(x) είναι ένα πο-λυώνυµο του x µε ρητούς συντελεστές. Κάθε ρητός αριθµός είναι αλγεβρικός. Το σύνολο των αλγεβρικών αριθµών είναι αριθµήσιµο σύνολο.

1.19 Υπερβατικοί αριθμοί Ένας πραγµατικός αριθµός είναι υπερβατικός όταν δέν είναι ρίζα µίας εξίσωσης P(x)=0 όπου P(x) είναι ένα πολυώνυµο του x µε ρητούς συντελεστές. Οι υπερβατικοί αριθµοί είναι σίγουρα άρρητοι. Οι υπερβατικοί αριθµοί υπάρχουν (Cantor). Οι υπερβατικοί αριθµοί είναι ένα απειροσύνολο και µάλιστα µη-αριθµήσιµο (Cantor, επίσης). Υπερβατικοί αριθµοί είναι:

Ο αριθµός π =3,1415927… (Lindemann 1882). Ο αριθµός e =2,718… (Hermite 1873). Οι δεκαδικοί λογάριθµοι που δεν είναι ρητοί. Τα ηµθ, συνθ, εφθ που είναι άρρητα. Κάθε ρητός που έχει υψωθεί σε άρρητη δύναµη.

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Λόγοι και αναλογίες 9


2 Άλγεβρα 2.1 Λόγοι και αναλογίες (Ratios and Proportions)

Ονοµάζουµε λόγο του α και του β≠0 το κλάσµαα

β και αναλογία την ισότητα δύο λόγων

α

β=

γ

δ. Ονοµά-

ζουµε τους α, δ ακραίους και τους β, δ µεσαίους όρους.

Βασική ιδιότητα: α

β=

γ

δ ⇔ αδ=βγ

Ιδιότητες αναλογιών:

α

β=

γ

δ⇔

δ γ

β α=

εναλλαγή ακραίων όρων

α

β=

γ

δ⇔

α β

γ δ=

εναλλαγή µεσαίων όρων

α

β=

γ

δ⇔

ακ γκ

β δ=

α

β=

γ

δ⇔

α : κ γ : κ

β δ=

α

β=

γ

δ⇔

α γ

βκ δκ=

α

β=

γ

δ⇔

α γ

β : κ δ : κ=

α

β=

γ

δ⇔

ακ γ

βκ δ=

α

β=

γ

δ⇔

α : κ γ

β : κ δ=

α

β=

γ

δ⇔

α β γ δ

β δ

± ±=

α

β=

γ

δ⇔

α γ

β α δ γ=

± ±

α

β=

γ

δ⇔

α β α β

γ δ γ δ

±= =

±

α

β=

γ

δ⇔

α β γ δ

α β γ δ

+ +=

− −

α

β=

γ

δ⇔

κα λβ κα λβ

κγ λδ κγ λδ

+ −=

+ −

α

β=

γ

δ⇔

κα λβ µα νβ

κγ λδ µγ νδ

± ±=

± ±

α

β=

γ

δ=

ε

ζ=

α γ ε

β δ ζ

+ ++ +

2.2 Απόλυτες τιμές α αν α≥0

Ορισµός: |α|= -α αν α<0

Ιδιότητες:

|α|≥0, -|α| ≤ α ≤ |α|, |α|²=α²

|αβ|=|α|⋅|β| α α

β β=

||α|-|β|| ≤ |α+β| ≤ |α|+|β|

|x|=θ µε θ≥0 ⇔ x=θ ή x=-θ |x|=α µε α<0 αδύνατη

|x|=|θ| ⇔ x=θ ή x=-θ

|x|≥θ µε θ>0 ⇔ x≥θ ή x≤θ |x|≥α µε α<0 ισχύει για κάθε x

|x|≤θ µε θ>0 ⇔ -θ≤ x ≤θ

|x|≤α µε α<0 αδύνατη

2.3 Ταυτότητες

10 Ταυτότητες Μαθηµατικό Τυπολόγιο


(α±β)2=α2±2αβ+β² (α±β)³=α³±3α²β+3αβ²±β³ (α±β)⁴=α⁴±4α³β+6α²β²±4αβ³+β⁴ Για να βρούµε την δύναµη οποιασδήποτε τάξης: ξεκινάµε από την ίδια δύ-ναµη για το α και µειώνουµε κατά ένα ενώ αυξάνουµε κατά ένα την δύναµη του β. Στα γινόµενα χρησιµοποιούµε συντελεστές που τους βρίσκουµε από το τρίγωνο του Pascal. Σε αυτό κάθε αριθµός είναι το άθροισµα των δύο αµέσως επάνω του αριθµών, εκτός των ακραίων µονάδων. Η΄ εναλλακτικά από τον τύπο του διωνύµου (διώνυµο του Νεύτωνα)

(α+β)n=n

0

αn+n

1

αn-1β+n

2

αn-2β2+…+n

n 1

−

αβn-1+n

n

βn

όπουn

k

=n !

k !(n k )!−(διωνυµικός συντελεστής) και n!=1⋅2⋅3⋅⋅⋅(n-1)⋅n (ν – παραγοντικό)

α²-β²=(α-β)(α+β) (διαφορά τετραγώνων) α³-β³=(α-β)(α²+αβ+β²) α⁴-β⁴=(α-β)(α³+α²β+αβ²+β³) α⁵-β⁵=(α-β)(α⁴+α³β+α²β²+αβ³+β⁴) ………………………………… αν-βν=(α-β)(αν-1+αν-2β+αν-3β²+…+αβν-2+βν-1) α²-β²=(α+β)(α-β) α⁴-β⁴=(α+β)(α³-α²β+αβ²-β³) …………………………… α2ν-β2ν=(α+β)(α2ν-1-α2ν-2β+α2ν-3β2-…+αβ2ν-2-β2ν-1) α³+β³=(α+β)(α²-αβ+β²) α⁵+β⁵=(α+β)(α⁴-α³β+α²β²-αβ³+β⁴) ………………………………… α2ν+1+β2ν+1=(α+β)(α2ν-α2ν-1β+α2ν-2β2-…-αβ2ν-1+β2ν) (δεν υπάρχει γενικός τύπος για το α2ν+β2ν) (α+β+γ)²=α²+β²+γ²+2αβ+2βγ+2γα (x+α)(x+β) = x²+(α+β)x+αβ Newton

α³+β³+γ³-3αβγ=(α+β+γ)(α²+β²+γ²-αβ-βγ-γα)=1

2(α+β+γ)[(α-β)²+(β-γ)²+(γ-α)²] Cauchy – Euler

α⁴+β⁴+γ⁴-2α²β²-2β²γ²-2γ²α²=-(α+β+γ)(-α+β+γ)(α-β+γ)(α+β-γ) De Moivre

(α²+β²)(x²+y²)=(αx+βy)²+(αy-βx)² Lagrange

(α²+β²+γ²)(x²+y²+z²)-(αx+βy+γz)² = (αy-βx)²+(βz-γy)²+(αz-γx)² Lagrange

(x+α)(x+β)(x+γ)=x³+(α+β+γ)x²+(αβ+βγ+γα)x+αβγ Newton

(α+β+γ)³=α³+β³+γ³+3(α+β)(β+γ)(γ+α)

Αν α+β+γ=0 τότε α³+β³+γ³=3αβγ

Αν α³+β³+γ³=0 τότε α+β+γ=0 ή α=β=γ

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 . . . . . . . . Το τρίγωνο του Pascal

Μαθηµατικό Τυπολόγιο ∆ιάταξη - Ανισότητες 11


2.4 Διάταξη - Ανισότητες Το σύνολο ϒ είναι διατεταγµένο. Ισχύει α>β ⇔ α-β>0

(Προσοχή: το σύνολο ≤ των µιγαδικών αριθµών ∆ΕΝ είναι διατεταγµένο. ∆εν έχει νόηµα η έκφραση z1>z2

για z1, z2 ∈≤) Για οποιοδήποτε ζεύγος πραγµατικών ισχύει µία από τις τρεις σχέσεις: α>β, α=β, α<β

Ισχύουν α>0 και β>0 ⇒ α+β>0 και α<0 και β<0 ⇒ α+β<0

α, β οµόσηµοι ⇔ αβ>0 ή α

β>0 α, β ετερόσηµοι ⇔ αβ<0 ή

α

β<0

α > β ⇔ α ± γ > β ± γ α>β και β>γ ⇒ α>γ µεταβατική ιδιότητα

αγ>βγ, αν γ>0 α

γ>

β

γ, αν γ>0

α>β ⇔

αγ<βγ, αν γ<0

α>β ⇔ α

γ<

β

γ, αν γ<0

α>β α>β

γ>δ ⇒ α+γ>β+δ

γ>δ ⇒ αγ>βδ

(ισχύει αν α,β,γ,δ θετικοί) Ποτέ δεν αφαιρούµε ή διαιρούµε ανισότητες!

α2ν+1>β2ν+1 ⇔ α>β α2ν>β2ν ⇔ |α|>|β|

αν α>β>0 ⇒ αν>βν αν α>β>0 ⇒ 1 1

α β<

αν x>y>0 και α>1 τότε αx>αy αν x>y>0 και α<1 τότε αx<αy

αν α>β>0 και ν ∈ ∞ τότε ισχύουν:

αν>βν ν να β>

αν α>β>0 και n θετικός ρητός τότε: αn>βn α-n<β-n

22..44..11 ΑΑξξιιοοσσηηµµεείίωωττεεςς ΑΑννιισσόόττηηττεεςς::

α²>0 ⇔ α≠0

α²≤0 ⇔ α=0 α

β>0 ⇔ αβ>0 για β≠0

α²+β²+γ²≥0 α>β ⇔ αν>βν µόνο αν α>0 και β>0

α²+β²+γ²=0 ⇔ α=β=γ=0 α²+β²+γ²≠0 ⇔ α≠0 ή β≠0 ή γ≠0

α>β ⇔ α²>β² µόνο αν α>0 και β>0 α>β ⇔ α²<β² µόνο αν α<0 και β<0

α+1

α≥ 2, α>0 α+

1

α≤ -2, α<0

α β

β α+ ≥ 2, α,β οµόσηµοι

α β

β α+ ≤ -2, α,β ετερόσηµοι

α²+β²≥2αβ (α+β)²≥4αβ α²+β²+γ²≥αβ+βγ+γα 3( α²+β²+γ²)≥(α+β+γ)²

12 ∆ιάταξη - Ανισότητες Μαθηµατικό Τυπολόγιο


α³+β³≥αβ(α+β) α³+β³+γ³≥3αβγ αν α+β+γ>0

(α+β)(β+γ)(γ+α)≥8αβγ, α,β,γ∈ϒ+ 2(α³+β³+γ³)≥αβ(α+β)+βγ(β+γ)+γα(γ+α), α,β,γ∈ϒ+ 2(α²+β²)≥(α+β)² 3(α²+β²+γ²)≥(α+β+γ)²

α β γ3

β γ α+ + ≥ , α,β,γ∈ϒ+

ν ν ν

ν ν ν

α β γ3

β γ α+ + ≥ , α,β,γ∈ϒ+ και ν∈∞

ν(α1²+α2²+…+αν²)≥(α1+α2+…+αν)² (αx+βy)²≤ (α²+β²)(x²+y²)

(α+β+γ)1 1 1

α β γ

+ +

≥9

αν α, β, γ ≥ 0 τότε:

α³+β³+γ³≥3αβγ α+β+γ≥3 3 αβγ

αν α,β,γ πλευρές τριγώνου τότε: α<β+γ, β<α+γ, γ<α+β |β-γ|<α<β+γ (και µε κυκλική εναλλαγή των δεικτών)

Για α, β ≥ 0 ισχύουν:

α+β≥2 αβ 1 1

α β+ ≥

2

αβ

2 2α β α β

α β 2

+ +≥

+

2 2

α β 1 1 1

α β 2 α β

+≤ + +

αβ α β

α β 4

+≤

+

4 1 1

α β α β≤ +

+

22..44..22 ΑΑννιισσόόττηητταα ΑΑρριιθθµµηηττιικκοούύ –– ΓΓεεωωµµεεττρριικκοούύ –– ΑΑρρµµοοννιικκοούύ µµέέσσοουυ αν α1, α2, …αν > 0

1 2 ν ν1 2 ν

1 2 ν

α α ... α να α ... α

1 1 1ν ...α α α

+ + +≥ + + + ≥

+ + +

αριθµητικός µέσος ≥ γεωµετρικός µέσος ≥ αρµονικός µέσος Arithmetic≥Geometrical≥Harmonic ανισότητα A-G-H

22..44..33 ΑΑννιισσόόττηητταα BBuunniiaakkoosskkii--CCaauucchhyy--SScchhwwaarrttzz ((BB--CC--SS))

(α1β1+α2β2+…+ανβν)²≤( 2 2 2

1 2 να α ... α+ + + )( 2 2 2

1 2 νβ β ... β+ + + )

ή

2ν ν ν2 2

i i i i

i 1 i 1 i 1

α β α β= = =

≤

∑ ∑ ∑

Η ισότητα ισχύει όταν ν1 2

1 2 ν

αα α...

β β β= =

Αν α=(α1,α2,…,αν) και β=(β1,β2,…,βν) διανύσµατα ενός χώρου ϒν, <α,β> το εσωτερικό τους γινόµενο και

|α| και |β| τα µέτρα τους τότε η Buniakoski-Cauchy-Schwartz γράφεται και ως εξής: |<α,β>| ≤ |α||β| µε την ισότητα να ισχύει όταν τα α και β γραµµικά εξαρτηµένα

Μαθηµατικό Τυπολόγιο ∆ιάταξη - Ανισότητες 13


22..44..44 ΑΑννιισσόόττηητταα HHööllddeerr

Αν p, q>1 και 1 1

p q+ =1 τότε

i

1 1n n np qqp

i i i

i 1 i 1 i 1

α β α β= = =

≤

∑ ∑ ∑

Η ισότητα ισχύει όταν |α1|p-1/|β1|=|α2|

p-1/|β2|=…

22..44..55 ΑΑννιισσόόττηητταα MMiinnkkoowwsskkii..

Αν p>1 και αi, βi≥0 τότε

1 1 1n n np p p

p p p

i i i ii 1 i 1 i 1

α β (α β )= = =

+ ≥ + ∑ ∑ ∑

Η ισότητα ισχύει όταν α1/β1=α2/β2=…=αn/βn

22..44..66 ΑΑννιισσόόττηητταα CChheebbyysshheevv Αν α1≥α2≥…≥αn και β1≥β2≥…≥βn τότε:

1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n nα α ... α β β ... β α β α β ... α β

n n n

+ + + + + + + + + ≤

ή

( )( )1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n nα α ... α β β ... β n(α β α β ... α β )+ + + + + + ≤ + + +

Η ισότητα ισχύει αν α1=α2=…=αn και β1=β2=…=βn

22..44..77 ΑΑννιισσόόττηητταα WWeeiieerrssttrraassss Αν α1, α2, α3, …, αν≥0 τότε

(1+α1)(1+α2)…(1+αν) ≥ 1+(α1+α2+…+αν)

22..44..88 ΑΑννιισσόόττηητταα ΑΑρρχχιιµµήήδδηη µ, ν ≥ 0

1µ+2µ+…+(ν-1)µ <µ 1ν

µ 1

+

+<1µ+2µ+…+(ν-1)µ + νµ

22..44..99 ΑΑννιισσόόττηητταα BBeerrnnoouullllii Αν x≥-1 και ν φυσικός τότε:

(1+x)ν ≥ 1+νx η ισότητα ισχύει αν ν=1 ή x=0

Αν x>-1 και x≠0 τότε:

(1+x)α > 1+αx όταν α>1 ή α<0 (1+x)α < 1+αx όταν 0 < α < 1

14 ∆υνάµεις Μαθηµατικό Τυπολόγιο


2.5 Δυνάμεις

Ορισµός αν=ν φορές

α α α ... α⋅ ⋅ ⋅ ⋅14243 , αο=1, α1=α

αναµ=αν+µ ν

ν µ

µ

αα

α

−=

(αβ)ν=ανβν

νν

ν

α α

β β

=

α-ν=ν

1

α

ν να β

β α

− =

( )µνα =ανµ

2.6 Τετραγωνικές Ρίζες

Ορισµοί: x2=α ⇔ x= α , α =1

2α , 0 0= , 1 1=

α β αβ⋅ =

α α

ββ=

( )2

α α=

2α α=

4α α=

( )µµα α=

1

2α α=

2.7 Ρίζες ν τάξης

Ορισµοί: xν=α ⇔ x= ν α , ν α =1

να , µν α =µ

να

ν ν να β αβ⋅ =

ν

νν

α α

ββ=

νµµ ν µν α α α +⋅ = ν

νµ µ ν

µ

αα

α

−=

µ νµν α α=

( )µµνν α α=

ρµ µρν να α=

2.8 Λογάριθμοι αν αx=β τότε x=logαβ αν ex=β τότε x=lnβ αν 10x=β τότε x=logβ

e=2,71828…ο αριθµός του Euler, α>0, α≠1, β>0

αλλαγή βάσης loga1=0 logaa=1 log βaa β=

logα(β⋅γ)=logαβ+logαγ

logα(β

γ)=logαβ-logαγ

logαβκ=κlogαβ

ναlog β = 1

νlogαβ logαβ=

γ

γ

log β

log α

ln1=0 lne=1

ln(xy)=lnx+lny

ln( xy

)=lnx – lny

lnαβ=βlnα lnex=x elnx=x

lnα=γ

γ

log α

log e

2.9 Πρόοδοι Αριθµητική Γεωµετρική

αν=α1+(ν-1)ω, ω=αν+1-αν

οι αριθµοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι

α.π. αν και µόνο αν β=α γ

2

+

αν=α1λν-1, λ= ν 1

ν

α

α+

οι αριθµοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γ.π. αν και µόνο αν β²=αγ

Sν=α1

ν1-λ

1 λ−, S∞=α1

1

1 λ− για |λ|<1

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Εξισώσεις 15


Sν=1 να α

ν2

+

2.10 Εξισώσεις Μία ισότητα που περιέχει τουλάχιστο ένα άγνωστο λέγεται εξίσωση. Η εξίσωση χαρακτηρίζεται από τον βαθµό της, δηλαδή την µεγαλύτερη δύναµη στην οποία είναι υψωµένος ο άγνωστος. Ισχύει το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Άλγεβρας: (Gauss) Κάθε πολυωνυµική εξίσωση µε µιγαδικούς συντελε-

στές και βαθµό ν≥1 έχει µία τουλάχιστο µιγαδική ρίζα.

Σαν συνέπεια: µία πολυωνυµική εξίσωση µε µιγαδικούς συντελεστές και βαθµό ν≥1 έχει ακριβώς ν ρίζες µι-γαδικές (εν γένει), από τις οποίες κάποιες µπορεί να είναι εκφυλισµένες (διπλές, τριπλές…)

22..1100..11 ΠΠρρωωττοοββάάθθµµιιαα εεξξίίσσωωσσηη

α≠0 µοναδική λύση x=β

α−

β≠0 Αδύνατη Η εξίσωση αx+β=0 έχει

α=0 β=0 Αόριστη

22..1100..22 ∆∆εευυττεερροοββάάθθµµιιαα εεξξίίσσωωσσηη

Η εξίσωση αx²+βx+γ=0 µε ∆=β²-4αγ έχει

∆>0

δύο ρίζες στο ϒ άνισες

∆=0

µία διπλή ρίζα στο ϒ

∆<0

καµία ρίζα στο ϒ, δύο µιγαδικές συζυγείς ρίζες

x1,2=β ∆

2α

− ± x=

β

2α

− z1,2=

β i ∆

2α

− ±

22..1100..22..11 ΆΆθθρροοιισσµµαα κκααιι γγιιννόόµµεεννοο ρριιζζώώνν ττρριιωωννύύµµοουυ

Η εξίσωση αx² + βx + γ = 0 µε ρίζες x1 και x2 έχει

άθροισµα ριζών

βS

α

−=

γινόµενο ριζών

γP

α=

Αν γνωρίζουµε το άθροισµα S και το γινόµενο P δύο αριθµών ρ1 και ρ2 τότε µία εξίσωση που έχει ρίζες τα ρ1 και ρ2 είναι:

x² - Sx + P = 0

22..1100..22..22 ΠΠρρόόσσηηµµοο ττρριιωωννύύµµοουυ

Το τριώνυµο αx²+βx+γ έχει πρόσηµο

∆>0 δύο ρίζες x1 και x2

∆=0 µία διπλή ρίζα x

∆<0

καµία ρίζα στο ℜ Ετερόσηµο του α ανάµεσα στις ρίζες,

οµόσηµο του α έξω από τις ρίζες

Οµόσηµο του α παντού εκτός από τι ρίζα όπου x=0

οµόσηµο του α παντού

οµόσηµο του α οµόσηµο του α

x1

0 οµόσηµο του α

x1 x2

οµόσηµο του α ετερόσηµο του α

0 0

16 Εξισώσεις Μαθηµατικό Τυπολόγιο


22..1100..22..33 ΜΜοορρφφέέςς ττρριιωωννύύµµοουυ

Μορφές τριωνύµου ƒ(x)=αx²+βx+γ µε α≠0 ∆>0

(δύο ρίζες ρ1 και ρ2) ƒ(x) = α(x-ρ1)(x-ρ2)

∆=0 (µία διπλή ρίζα ρ, τέλειο τετράγωνο)

ƒ(x) = α(x-ρ)² = α2

βx

2α

+

∆<0 (δεν παραγοντοποιείται)

ƒ(x) = α2

βx

2α

+

+2

∆

4α

22..1100..33 ∆∆ιιττεεττρράάγγωωννηη ΕΕξξίίσσωωσσηη Η εξίσωση

αx⁴+βx²+γ=0 ονοµάζεται διτετράγωνη (biquadratic equation) και λύνεται µε την αντικατάσταση y=x², µε την οποία γίνε-ται απλό τριώνυµο ως προς y µε ρίζες έστω y1 και y2. Οι ρίζες της αρχικής είναι είναι:

1,2 1 3,4 2x y και x y= ± = ±

22..1100..44 ∆∆ιιωωννυυµµιικκέέςς εεξξιισσώώσσεειιςς ββααθθµµοούύ νν≥≥≥≥≥≥≥≥33 Η εξίσωση

αxν+β=0

λέγεται διωνυµική (binomial equation) και για α≠0, ν∞, ν≥3 έχει τις εξής λύσεις:

ν άρτιος ν περιττός

β

α− >0

β

α− <0

δύο ρίζες ϒ

+ νβ

α− και - ν

β

α−

δύο µιγαδικές συζυγείς

+i νβ

α− και -i ν

β

α−

Μία ρίζα στο ϒ

νβ

α− (θετική)

22..1100..55 ΤΤρριιττοοββάάθθµµιιαα εεξξίίσσωωσσηη Η λύση της τριτοβάθµιας (cubic equation) αλλά και της τεταρτοβάθµιας εξίσωσης δηµοσιεύτηκε από τον Gerolamo Cardano (1501-1576) στο βιβλίο του Ars Manga. Η λύση όµως δεν ήταν του Cardano. Κάποια στοιχεία είχαν βρεθεί από τον Niccolo Tartaglia ενώ η τεταρτοβάθµια λύθηκε από τον Ludovico Ferrari. Η λύση κατά πάσα πιθανότητα ανήκει στον καθηγητή µαθηµατικών του Πανεπιστηµίου της Bolognia, Scipione del Ferro (1465-1526), που έδωσε τη λύση στον µαθητή του Antonio Maria Fior. Έστω η εξίσωση x³+α1x²+α2x+α3=0 Υπολογίζουµε τα:

Q=2

2 13α α

9

− R=

31 2 3 19α α 27α 2α

54

− −

S= 3 23 R Q R+ + T= 3 23 R Q R− +

όπου ST=-Q

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Εξισώσεις 17


Λύσεις:

1 1

2 1

3 1

1x S T α

3

1 1 1x (S T) α i 3(S T)

2 3 2

1 1 1x (S T) α i 3(S T)

2 3 2

= + −

= − + − + −

= − + − − −

Αν α1, α2, α3 πραγµατικοί και D=Q³+R² η διακρίνουσα για την τριτοβάθµια τότε:

(1) Μια ρίζα είναι πραγµατική και δύο µιγαδικές συζυγείς αν D>0 (2) Όλες οι ρίζες πραγµατικές και τουλάχιστο δύο ίσες αν D=0 (3) Όλες οι ρίζες πραγµατικές και άνισες αν D<0

Αν D<0

1 1

ο2 1

ο3 1

1 1x 2 Qσυν( θ) α

3 3

1 1x 2 Qσυν( θ 120 ) α

3 3

1 1x 2 Qσυν( θ 240 ) α

3 3

= − −

= − + −

= − + −

όπου συνθ =3

R

Q−

Για τις ρίζες ισχύει:

x1+x2+x3=-α1, x1x2+x2x3+x1x3=α2, x1x2x3=-α3

Αναλυτική λύση στο: http://mathworld.wolfram.com/CubicEquation.html

22..1100..66 ΗΗ ττεεττααρρττοοββάάθθµµιιαα εεξξίίσσωωσσηη Θεωρούµε την τεταρτοβάθµια (quartic) εξίσωση:

x⁴+α3x³+α2x²+α1x+α0=0 (1) Οι ρίζες της ρ1, ρ2, ρ3, ρ4 ικανοποιούν τους τύπους του Vieta: ρ1+ρ2+ρ3+ρ4=-α3 ρ1ρ2+ρ1ρ3+ρ1ρ4+ρ2ρ3+ρ2ρ4+ρ3ρ4=α2 ρ1ρ2ρ3+ρ2ρ3ρ4+ρ1ρ2ρ4+ρ1ρ3ρ4=-α1 ρ1ρ2ρ3ρ4=α0 Πρώτα λύνουµε την “επιλύουσα τριτοβάθµια” εξίσωση:

y³-α2y²+(α1α3-4α0)y+(4α2α0-α1²-α3²α0)=0 (2)

Έστω y1 µία πραγµατική λύση της (2). Τότε οι τέσσερις ρίζες της (1) δίνονται από τις ρίζες της εξίσωσης:

( ) ( )2 2 23 3 2 1 1 1 0

1 1x α α 4α 4y y y 4α 02 2

+ ± − + + − =m

∆ηλαδή:

ρ1= 3

1 1 1α R D4 2 2

− + +

ρ2= 3

1 1 1α R D4 2 2

− + −

ρ3= 3

1 1 1α R E4 2 2

− − +

ρ4= 3

1 1 1α R E4 2 2

− − −

όπου:

18 Εξισώσεις Μαθηµατικό Τυπολόγιο


R= 23 2 1

1 α α y4

− +

2 2 3 1

3 2 3 2 1 3

2 2

3 2 1 0

3 1α R 2α (4α α 8α α )R , R 0 4 4

D3 α 2α 2 y 4α , R=04

−− − + − − ≠

= − + −

2 2 3 1

3 2 3 2 1 3

2 2

3 2 1 0

3 1α R 2α (4α α 8α α )R , R 0 4 4

E3 α 2α 2 y 4α , R=04

−− − − − − ≠

= − − −

(Για την πλήρη αναλυτική λύση βλέπε: http://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html)

22..1100..77 ΕΕξξιισσώώσσεειιςς 55οουυ κκααιι µµεεγγααλλύύττεερροουυ ββααθθµµοούύ ∆εν υπάρχει γενική αναλυτική λύση για τις εξισώσεις µε βαθµό µεγαλύτερο του 5, όπως απέδειξε ο Abel. Οι εξισώσεις αυτές λύνονται µε παραγοντοποίηση (αν είναι εφικτή) ή µε αριθµητικές µεθόδους σε υπολογιστές.

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Ορισµοί 19


3 Μιγαδικοί αριθµοί 3.1 Ορισμοί

Ονοµάζουµε µιγαδικό αριθµό z (complex number) ένα αριθµό της µορφής α+iβ όπου i²=-1 ή i= 1− και

α,β∈ϒ. Οι πραγµατικοί α και β λέγονται ραγµατικό (real) και φανταστικό (imaginary) µέρος του µιγαδικού z και γράφουµε α=Re(z) και β=Im(z)

3.2 Συζυγείς μιγαδικοί

Ο µιγαδικός συζυγής (conjugate) του z=α+iβ γράφεται z α iβ= + =α-iβ. Λέµε ότι οι αριθµοί z και z ή οι

α+iβ και α – iβ είναι συζυγείς µεταξύ τους. Για την ‘πράξη’ της συζυγίας ισχύουν:

1 2 1 2z z z z± = ± 1 2 1 2z z z z⋅ = ⋅ 1 1

2 2

z z

z z

=

3.3 Ισότητα μιγαδικών αριθμών ∆ύο µιγαδικοί αριθµοί α+iβ και γ+iδ είναι ίσοι αν και µόνο αν α=γ και β=δ

3.4 Πράξεις μιγαδικών αριθμών Ακολουθούµε την συνηθισµένη άλγεβρα αντικαθιστώντας όπου χρειάζεται το i² µε -1. (α+iβ)+(γ+iδ)=(α+γ)+(β+δ)i (α+iβ)-(γ+iδ)=(α-γ)+(β-δ)i

(α+iβ)⋅(γ+iδ)=(αγ-βδ)+(αδ-βγ)i

2 2 2 2

α iβ (α iβ) (γ iδ) αγ βδ βγ αδi

γ iδ (γ iδ) (γ iδ) γ δ γ δ

+ + − + += ⋅ = + + + − + +

(στη διαίρεση πολλαπλασιάζουµε αριθµητή και παρονοµαστή µε τη συζυγή παράσταση και κάνουµε πρά-ξεις)

3.5 Μιγαδικό επίπεδο Οι µιγαδικοί αριθµοί µπορούν να παρασταθούν γεωµετρικά ως ση-µεία ενός επιπέδου που ονοµάζεται µιγαδικό είεδο ή είεδο Gauss. Αν θεωρήσουµε ένα x-άξονα ως άξονα των πραγµατικών και ένα κά-θετο σε αυτόν y-άξονα ως άξονα των φανταστικών τότε ο µιγαδικός z=α+iβ παριστάνεται ως το σηµείο (α,β) ή ως το διάνυσµα από την αρχή Ο µέχρι το σηµείο Ρ(α,β)

Ορίζουµε ως µέτρο (modulus) ή απόλυτη τιµή z ή z του µιγαδι-

κού z=α+iβ τον πραγµατικό αριθµό 2 2z α iβ α β= + = +

Το µέτρο z του µιγαδικού µπορεί να ερµηνευτεί και ως η απόσταση

του σηµείου (α,β) από την αρχή των αξόνων Ο, ή ως το µέτρο (µή-

κος) ρ του διανύσµατος ΟΡuuur

.

3.6 Πολική μορφή μιγαδικού Στο προηγούµενο σχήµα επειδή α=ρσυνθ και β=ρηµθ µπορούµε να γράψουµε:

z = α+iβ = ρσυνθ+iρηµθ ⇔ z = ρ(συνθ+iηµθ) Η µορφή z = ρ(συνθ+iηµθ) λέγεται πολική µορφή του µιγαδικού z.

Το µήκος ρ= 2 2α β+ είναι το µέτρο και η γωνία θ το όρισµα (argument) του µιγαδικού z.

3.7 Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση σε πολική μορφή Η πολική µορφή των µιγαδικών είναι πολύ χρήσιµη γιατί απλοποιεί τους πολλαπλασιασµούς και διαιρέσεις των µιγαδικών. Ισχύει:

ρ1(συνθ1+iηµθ1)⋅ ρ2(συνθ2+iηµθ2)=ρ1ρ2συν(θ1+θ2)+iηµ(θ1+θ2)

P(α,β)

x

y

z=α+iβ ρ

θ

α

β

20 Ρίζα µιγαδικού αριθµού Μαθηµατικό Τυπολόγιο


1 1 1 11 2 1 2

2 2 2 2

ρ (συνθ iηµθ ) ρσυν(θ θ ) iηµ(θ θ )

ρ (συνθ iηµθ ) ρ

+= − + +

+

∆ύναµη µιγαδικού αριθµού (θεώρηµα De Moivre)

Ισχύει για κάθε n∈ϒ: zn = (ρσυνθ+iρηµθ)n = ρnσυν(nθ)+iηµ(nθ)

3.8 Ρίζα μιγαδικού αριθμού Από το θεώρηµα του De Moivre έχουµε:

( )( )1

n nnθ 2kπ θ 2kπ

z ρ συνθ iηµθ ρ συν iηµn n

+ + = + = +

όπου k ακέραιος. Από τον τύπο αυτό όλες οι διαφορετικές ρίζες ενός µιγαδικού είναι αυτές για τις οποίες το k παίρνει τιµές 0, 1, 2, …, n-1.

33..88..11 ΟΟιι ννιιοοσσττέέςς ρρίίζζεεςς ττηηςς µµοοννάάδδααςς Ισχύει 1=συν0+iηµ0 άρα θέτοντας στον παραπάνω τύπο ρ=1 και θ=0 έχουµε τις νιοστές ρίζες της µονάδας:

n 2kπ 2kπ1 συν iηµ

n n= + µε k=0, 1, 2, …, n-1

Σχέση εκθετικών τριγωνοµετρικών συναρτήσεων (τύποι του Euler) Ισχύει:

eiθ = συνθ+iηµθ e-iθ = συνθ–iηµθ iθ iθe e

ηµθ2i

−−=

iθ iθe eσυνθ

2

−+=

iθ iθ iθ iθ

iθ iθ iθ iθ

e e e eεφθ i

i(e e ) e e

− −

− −

− −= = − + +

iθ iθ

iθ iθ

i(e e )σφθ

e e

−

−

+=

−

iθ iθ

2τεµθ

e e−=

+

iθ iθ

2iστεµθ

e e−=

−

eiθ+2kπi = eiθ, γενικότερα η συνάρτηση ƒ(x)=ex έχει περίοδο 2kπi

3.9 Εκθετική μορφή μιγαδικών αριθμών α+iβ = ρ(συνθ+iηµθ) = ρeiθ

3.10 Λογάριθμος μιγαδικού i( θ 2kπ )ln(z) ln(α iβ) ln(ρe ) ln ρ i(θ 2kπ)+= + = = + +

3.11 Πράξεις με μιγαδικούς σε εκθετική μορφή Η εκθετική µορφή του µιγαδικού απλοποιεί πολύ τις πράξεις µιγαδικών

1 2 1 2 1 21 2 1 2iθ iθ i( θ θ )

z z (ρ e )(ρ e ) ρ ρ e+= =

1 1 1

2 22

11 2

2

iθi(θ θ )

iθ

z ρ e ρe

z ρρ e

−= =

(z)n=(ρeiθ)n=ρneinθ (Θεώρηµα De Moivre)

( ) ( ) ( )i( θ 2kπ )11 11

iθ i( θ 2kπ ) n nn nnz ρe ρe ρ e+

+= = = (n-στη ρίζα µιγαδικού)

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Συστήµατα συντεταγµένων 21


4 Αναλυτική Γεωµετρία στο επίπεδο 4.1 Συστήματα συντεταγμένων 44..11..11 ΚΚααρρττεεσσιιααννόό σσύύσσττηηµµαα σσυυννττεεττααγγµµέέννωωνν Ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων (Cartesian system of co-ordinates) (ορθογώνιο σύστηµα συντε-ταγµένων) στο επίπεδο, δηµιουργεί µία αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία µεταξύ των σηµείων του ειέδου και ζευγαριών ραγµατικών αριθµών. Αποτελείται από:

→ένα άξονα τετµηµένων (abscissae) x, (x άξονας)

→ένα άξονα τεταγµένων (ordinates) y, (y άξονας)

→µία αρχή Ο, στο σηµείο τοµής των δύο αξόνων. Κάθε σηµείο αντιστοιχεί σε ένα ζευγάρι αριθµών (x, y)

44..11..22 ΠΠοολλιικκέέςς σσυυννττεεττααγγµµέέννεεςς Κάθε σηµείο του επιπέδου µπορεί να περιγραφεί από τους δύο αριθµούς (x,y) αλλά και από τους δύο αριθµούς (r,θ) ενός πο-λικού συστήµατος συντεταγµένων. Ο µετασχηµατισµός από τις καρτεσιανές σε πολικές συντεταγµένες περιγράφεται από τις εξισώσεις:

x rσυνθ

y rηµθ

= =

και από πολικές σε καρτεσιανές συντεταγµένες είναι: 2 2r x y

yθ τοξεφ

x

= + =

4.2 Μετασχηματισμός συντεταγμένων

44..22..11 ΠΠααρράάλλλληηλληη ΜΜεεττααφφοορράά σσυυννττεεττααγγµµέέννωωνν Αν xΟy είναι ένα καρτεσιανό (ορθοκανονικό) σύστηµα συντεταγµένων και x΄Ο΄y΄ ένα άλλο σύστηµα συντε-ταγµένων του οποίου οι άξονες είναι παράλληλοι µε τους αρχικούς και του οποίου η αρχή Ο΄ βρίσκεται στη θέση (xο, yο) ως προς το αρχικό xΟy σύστηµα τότε:

o o

o o

x x x x x x ή

y y y y y y

′ ′= + = − ′ ′= + = −

44..22..22 ΠΠεερριισσττρροοφφήή σσυυσσττήήµµααττοοςς κκααττάά γγωωννίίαα φφ Αν xΟy είναι ένα καρτεσιανό (ορθοκανονικό) σύστηµα συντεταγµένων και x΄Ο΄y΄ ένα άλλο σύστηµα συντε-ταγµένων του οποίου οι άξονες έχουν περιστραφεί κατά γωνία φ ως προς τους αρχικούς και του οποίου η αρχή Ο΄ ταυτίζεται µε την αρχή Ο του αρχικού xΟy συστήµατος τότε:

x x συνφ y ηµφ x xσυνφ yηµφ ή

y x ηµφ y συνφ y xηµφ yσυνφ

′ ′ ′= − = + ′ ′ ′= + = − +

Αν θεωρήσουµε τα σηµεία (x,y) ως πίνακα στήλη x

y

τότε ο παραπάνω µετασχηµατισµός µπορεί να θεω-

ρηθεί ως πολλαπλασιασµός µεταξύ ενός τετραγωνικού πίνακα µετασχηµατισµού και διανυσµάτων στήλης ως ακολούθως:

x συνφ ηµφ x

y ηµφ συνφ y

′− = ′

ή x συνφ ηµφ x

y ηµφ συνφ y

′ = ′ −

44..22..33 ΜΜεεττααφφοορράά κκααιι εερριισσττρροοφφήή ττααυυττόόχχρροονναα Αν ισχύουν ταυτόχρονα οι δύο προηγούµενοι µετασχηµατισµοί τότε:

x

y

Ο x1

Α(x1,y1)

θ

y1

r

22 Αόσταση σηµείων Μαθηµατικό Τυπολόγιο


o o o

o o o

x x συνφ y ηµφ x x (x x )συνφ (y y )ηµφ ή

y x ηµφ y συνφ y y (x x )ηµφ (y y )συνφ

′ ′ ′= − + = − + − ′ ′ ′= + + = − − + −

4.3 Απόσταση σημείων

44..33..11 ΣΣεε κκααρρττεεσσιιααννέέςς σσυυννττεεττααγγµµέέννεεςς Αν Α(x1, y1) και Β(x2, y2) δύο σηµεία τότε η απόστασή τους είναι

dΑΒ= 2 2

1 2 1 2(x x ) (y y )− + −

44..33..22 ΣΣεε οολλιικκέέςς σσυυννττεεττααγγµµέέννεεςς Αν Α(ρ1, θ1) και Β(ρ2, θ2) δύο σηµεία τότε η απόστασή τους είναι

dΑΒ= 2 2

1 2 1 2 1 2ρ ρ 2ρ ρ συν(θ θ )+ − −

4.4 Συντεταγμένες σημείου που διαιρεί ευθ. τμήμα

Αν Α(x1, y1) και Β(x2, y2) δύο σηµεία και ζητάµε τις συντεταγµένες σηµείου Μ έτσι ώστε ο λόγος ΑΜ λΜΒ

=uuur

uuur

τότε οι συντετµένες του Μ είναι:

1 20

x λxx

1 λ

+=

+ και 1 2

0

y λyy

1 λ

+=

+

Εάν λ>0 το σηµείο Μ είναι εντός του ΑΒ Εάν λ<0 το σηµείο Μ είναι εκτός του ΑΒ Εάν λ=1 το σηµείο Μ είναι το µέσο του ΑΒ

4.5 Εμβαδό τριγώνου Έστω το τρίγωνο µε κορυφές τα σηµεία Α(x1,y1), Β(x2,y2), Γ(x3,y3). Τότε:

Εµβαδό

1 1

2 2

3 3

x y 11

E x y 12

x y 1

= ±

ή 1 2 1 3 1 3 1 3 3 2 2 3

1E (x y x y y x x y y x y x )

2= ± − + − + −

Αν το εµβαδό είναι µηδέν τα σηµεία είναι συνευθειακά (βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία)

4.6 Συνευθειακά σημεία Συνθήκες για να είναι τα 3 σηµεία Α(x1,y1), Β(x2,y2), Γ(x3,y3) συνευθειακά:

1 2 1 3 1 3 1 3 3 2 2 3x y x y y x x y y x y x 0− + − + − =

ή

1 1

2 2

3 3

x y 1

x y 1

x y 1

=0

ή

2 1 2 1

3 1 3 1

y y x x

y y x x

− −=

− −

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Ευθεία 23


4.7 Ευθεία

44..77..11 ΚΚλλίίσσηη εευυθθεείίααςς οουυ δδιιέέρρχχεεττααιι ααόό δδύύοο σσηηµµεείίαα Αν Α(x1,y1) και Β(x2,y2) τα δύο σηµεία από τα οποία διέρχεται η ευθεία τότε η κλίση της ευθείας ή του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ, είναι:

2 1

2 1

y yλ

x x

−=

−

Ισχύει ακόµα: κλίση λ=εφθ

44..77..22 ΕΕξξίίσσωωσσηη εευυθθεείίααςς οουυ δδιιέέρρχχεεττααιι ααόό έένναα σσηηµµεείίοο Αν Α(x1,y1) σηµείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία τότε η εξί-σωσή της είναι:

y – y1 = λ(x – x1)

44..77..33 ΕΕξξίίσσωωσσηη εευυθθεείίααςς οουυ δδιιέέρρχχεεττααιι ααόό δδύύοο σσηηµµεείίαα Αν Α(x1,y1) και Β(x2,y2) τα δύο σηµεία από τα οποία διέρχεται η ευθεία τότε η εξίσωσή της είναι:

1 2 1

1 2 1

y y y yλ

x x x x

− −= =

− − ή y – y1 = 2 1

2 1

y y

x x

−−

(x – x1) ή 2 2

3 3

x y 1

x y 1

x y 1

=0

όπου λ=η κλίση της ευθείας.

44..77..44 ΕΕξξίίσσωωσσηη εευυθθεείίαα οουυ ττέέµµννεειι ττοουυςς άάξξοοννεεςς σσττιιςς θθέέσσεειιςς αα κκααιι ββ

x y1

α β+ =

44..77..55 ΓΓεεννιικκήή εεξξίίσσωωσσηη εευυθθεείίααςς Αx+Βy+Γ=0

44..77..66 ΠΠοολλιικκήή εεξξίίσσωωσσηη εευυθθεείίααςς

kρσυν(α θ)

=−

όπου: k είναι η απόσταση του κέντρου Ο των αξόνων από την ευθεία και α η γωνία που σχηµατίζει η από-σταση k µε τον πολικό άξονα (στον οποίο θ=0)

44..77..77 ΕΕιιδδιικκέέςς εευυθθεείίεεςς 44..77..77..11 ΕΕυυθθεείίεεςς πποουυ δδιιέέρρχχοοννττααιι ααππόό ττηηνν ααρρχχήή ττωωνν ααξξόόννωωνν

y = λx ή αx + βy = 0

44..77..77..22 ∆∆ιιχχοοττόόµµοοςς 11οουυ –– 33οουυ ττεεττααρρττηηµµοορρίίοουυ

y = x

44..77..77..33 ∆∆ιιχχοοττόόµµοοςς 22οουυ –– 44οουυ ττεεττααρρττηηµµοορρίίοουυ

y = - x

44..77..77..44 ΕΕυυθθεείίαα ππααρράάλλλληηλληη σσττοονν xx άάξξοονναα

y = α ή γy + δ = 0

44..77..77..55 ΕΕυυθθεείίαα ππααρράάλλλληηλληη σσττοονν yy άάξξοονναα

x = β ή γx + δ = 0

44..77..77..66 ΕΕξξίίσσωωσσηη xx άάξξοονναα

y = 0

44..77..77..77 ΕΕξξίίσσωωσσηη yy άάξξοονναα

x = 0

44..77..88 ΑΑόόσστταασσηη σσηηµµεείίοουυ ααόό εευυθθεείίαα Εστω σηµείο Σ(xο, yο) και ευθεία Αx+Βy+Γ=0. Η απόσταση d του σηµείου από την ευθεία είναι:

x

y

Α(x1,y1)

Ο x2 x1

Β(x2,y2)

θ y1

y2

x

y

α

β

Ο

24 Ευθεία Μαθηµατικό Τυπολόγιο


d= o o

2 2

Ax By Γ

Α Β

+ +

± +

όπου το πρόσηµο επιλέγεται ώστε d>0

44..77..99 ΓΓωωννίίαα θθ µµεεττααξξύύ εευυθθεειιώώνν µµεε κκλλίίσσεειιςς λλ11 κκααιι λλ22

1 2

1 2

λ λεφθ

1 λ λ

−=

+

44..77..1100 ΕΕυυθθεείίεεςς κκάάθθεεττεεςς –– ΕΕυυθθεείίεεςς ααρράάλλλληηλλεεςς Από τον προηγούµενο τύπο:

→Αν λ1 = λ2 οι ευθείες είναι παράλληλες

→Αν λ1λ2 = - 1 οι ευθείες είναι κάθετες

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Κύκλος 25


4.8 Κύκλος

44..88..11 ΟΟρριισσµµόόςς Είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων που ισαπέχουν από δεδοµένο ση-µείο. Αν το σηµείο είναι το Ο(xο, yο) και η απόσταση είναι ρ ονοµάζουµε τον κύκλο (Ο, ρ).

44..88..22 ΕΕξξίίσσωωσσηη κκύύκκλλοουυ Αν το κέντρο του κύκλου Ο είναι στο σηµείο (xο, yο) και η ακτίνα του είναι ρ τότε η εξίσωσή του είναι

(x-xο)²+(y-yο)²=ρ² Αν το κέντρο του είναι στην αρχή των αξόνων τότε

x²+y²=ρ²

44..88..33 ΕΕξξίίσσωωσσηη κκύύκκλλοουυ σσεε οολλιικκέέςς σσυυννττεεττααγγµµέέννεεςς Αν ρ, θ οι πολικές συντεταγµένες ενός σηµείου του κύκλου και ρο, θο οι πολικές συντεταγµένες του κέντρου του κύκλου µε ακτίνα R τότε:

ρ² - 2ρροσυν(θ - θο) + ρο² = R²

44..88..44 ΠΠααρρααµµεεττρριικκέέςς εεξξιισσώώσσεειιςς κκύύκκλλοουυ x=Rσυνt + xο y=Rηµt + yo

44..88..55 ΕΕξξίίσσωωσσηη κκύύκκλλοουυ οουυ δδιιέέρρχχεεττααιι ααόό 33 σσηηµµεείίαα Έστω Α(x1, y1), Β(x2, y2), Γ(x3, y3) τα τρία σηµεία τότε η εξίσωσή του δίνεται από την ορίζουσα:

2 2

2 21 1 1 1

2 22 2 2 2

2 23 3 3 3

x y x y 1

x y x y 10

x y x y 1

x y x y 1

+

+=

+

+

44..88..66 ΕΕξξίίσσωωσσηη εεφφααττοοµµέέννηηςς κκύύκκλλοουυ σσττοο σσηηµµεείίοο ((xx11,, yy11)) Αν η εξίσωση του κύκλου είναι η (x-xο)²+(y-yο)²=ρ² τότε η εξίσωση της εφαπτόµενης ευθείας του στο σηµείο (x1,y1) είναι: (x-xο)(x1-xο)+(y-yο)(y1-yο)=ρ² Αν η εξίσωση του κύκλου είναι η x²+y²=ρ² τότε η εξίσωση της εφαπτοµένης γίνεται: xx1+yy1=ρ²

44..88..77 ΣΣυυννθθήήκκηη γγιιαα νναα εείίννααιι µµίίαα εευυθθεείίαα εεφφααττόόµµεεννηη σσεε κκύύκκλλοο ∆εδοµένου κύκλου (x - xο)² + (y - yο)² = ρ² (1) και ευθείας y = λx + β (2) η συνθήκη για να εφάπτεται η ευθεία στον κύκλο είναι ο µηδενισµός της διακρίνουσας ∆ του της δευτεροβάθµιας που προκύπτει από το σύστηµα των (1) και (2) δηλαδή (-λxο + yο - β)² = ρ²(1 + λ²)

44..88..88 ΕΕφφααττόόµµεεννηη σσεε κκύύκκλλοο ααόό σσηηµµεείίοο εεκκττόόςς κκύύκκλλοουυ Έστω ο κύκλος (x - xο)² + (y - yο)² = ρ² (1) και το σηµείο Σ(x1, y1). Τότε η ευθεία που διέρχεται από το σηµείο Σ είναι η (y – y1)=λ(x – x1). Οπότε: Ή θέτουµε την απόσταση του κέντρου Κ(xο, yο) και της ευθείας (y – y1)=λ(x – x1) ίση µε την ακτίνα ρ (α-

πόσταση σηµείου από ευθεία 4.7.6) Ή εφαρµόζουµε τη µέθοδο του 4.8.7

Ο(xο,yο)

ρ

x

y

26 Η αραβολή Μαθηµατικό Τυπολόγιο


4.9 Η παραβολή

44..99..11 ΟΟρριισσµµόόςς Παραβολή (parabola) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου που ισαπέχουν από µία σταθερή ευθεία δ και ένα σταθερό σηµείο Ε (εκτός ευθείας). Η ευθεία δ ονοµάζεται διευθετούσα (directrix) και το σηµείο Ε ονοµάζεται εστία (focus) της παραβολής. Αν φέρουµε το κάθετο τµήµα ΕΑ από την εστία Ε στην διευθετούσα δ και προεκτείνουµε έχουµε τον άξονα (axis) της παραβολής. Το σηµείο Κ στο οποίο τέµνο-νται η παραβολή και ο άξονάς της ονοµάζεται κορυφή (vertex) της παραβολής.

44..99..22 ΕΕξξίίσσωωσσηη ααρρααββοολλήήςς Μία παραβολή µε κορυφή την αρχή Ο των αξόνων και άξονα τον x΄x έχει εξίσωση

y² = 2px

όπου p=σταθερά ∈ϒ που ονοµάζεται παράµετρος της παραβολής. Η απόλυτη τιµή του p παριστάνει την απόσταση της εστίας από την διευθετούσα ευθεία. (Η απόσταση κορυφής – εστίας είναι |p|/2) Αν η κορυφή είναι στο σηµείο Α(xο, yο) και ο άξονάς της παράλληλος στον x΄x άξονα, τότε η εξίσωση γίνε-ται:

(y - yο)² = 2p(x - xο)

44..99..33 ΓΓεεννιικκήή εεξξίίσσωωσσηη ααρρααββοολλήήςς Έστω η παραβολή (y - yο)² = 2p(x - xο) µε κορυφή στο Α(xο, yο) και άξονα παράλληλο στον x΄x. Η εξίσωση αυτή µπορεί να γραφεί και ως εξής: x = αy² + βy + γ Τότε:

Η κορυφή έχει συντεταγµένες: xυ =2β 4αγ

4α

−− και yο =

β

2α−

Ο άξονας συµµετρίας έχει εξίσωση: y = β

2α−

Η εστία έχει συντεταγµένες: xε =2β 4αγ1

4α 4α

−− και yε =

β

2α−

Η διευθετούσα έχει εξίσωση: x = - 2β 4αγ1

4α 4α

−−

Εάν α>0 η παραβολή έχει την κοιλότητα προς τον θετικό ηµιάξονα των x Εάν α<0 η παραβολή έχει την κοιλότητα προς τον αρνητικό ηµιάξονα των x

Για παραβολή µε άξονα συµµετρίας τον yy΄ αλλάζουµε το x µε το y στις παραπάνω σχέσεις.

Ε

δ

y

x

x=-p/2

(p/2, 0)

Παραβολή µε p>0

Ε

δ y

x

x=-p/2

(p/2, 0)

Παραβολή µε p<0

Σ

Ε Κ ΑΚ

δΚ

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Η αραβολή 27


44..99..44 ΠΠοολλιικκήή εεξξίίσσωωσσηη ααρρααββοολλήήςς Αν η εστία και η αρχή των αξόνων συµπίπτουν τότε η εξίσωση της παραβολής σε πολικές συντεταγµένες εί-ναι:

pρ

1 συνθ=

−

Για παραβολές µε άξονα παράλληλο στον y΄y άξονα εναλλάσσουµε τα x µε y ή αντικαθιστούµε το θ µε π θ2− .

44..99..55 ΣΣχχεεττιικκέέςς θθέέσσεειιςς σσηηµµεείίοουυ κκααιι ααρρααββοολλήήςς Αν Σ(x1, y1) σηµείο και παραβολή y² = 2px τότε αν

y1² > 2px1 το σηµείο είναι εκτός παραβολής y1² = 2px1 το σηµείο είναι πάνω στην παραβολή y1² < 2px1 το σηµείο είναι εντός παραβολής

44..99..66 ΕΕφφααττοοµµέέννηη σσεε σσηηµµεείίοο ααρρααββοολλήήςς Η εφαπτοµένη της παραβολής y²=2px στο σηµείο Σ(x1, y1) είναι

yy1 = p(x + x1) Ισχύει ακόµα: Μία ευθεία που τέµνει σε ένα σηµείο την παραβολή και δεν είναι παράλληλη στον άξονά της είναι εφαπτόµενη της παραβολής.

44..99..77 ΚΚάάθθεεττηη σσεε σσηηµµεείίοο ααρρααββοολλήήςς Η κάθετη της παραβολής y² = 2px στο σηµείο Σ(x1, y1) είναι

oo o

yy y (x x )

p− = − −

44..99..88 ΣΣυυννθθήήκκηη γγιιαα νναα εείίννααιι µµίίαα εευυθθεείίαα εεφφααττόόµµεεννηη σσεε ααρρααββοολλήή Ισχύει το ανάλογο της 4.8.7, δηλαδή ο µηδενισµός της διακρίνουσας του τριωνύµου που προκύπτει από το σύστηµα των δύο εξισώσεων y=λx+β και y²=2px. Η διακρίνουσα δίνει τη συνθήκη p – 2λβ = 0

44..99..99 ΕΕφφααττόόµµεεννηη ααόό σσηηµµεείίοο εεκκττόόςς ααρρααββοολλήήςς Έστω η παραβολή y²=2px και το σηµείο Σ(x1, y1). Τότε η γενική εξίσωση της ευθείας που διέχεται από το Σ

είναι (y – y1)=λ(x – x1) ⇔ y = λx + (y1 - λx1). Η εφαπτόµενη της παραβολής θα ικανοποιεί την συνθήκη 4.9.8 άρα έχουµε τη συνθήκη p – 2λ(y1 – λx1) =0

44..99..1100 ΑΑνναακκλλαασσττιικκήή ιιδδιιόόττηητταα ααρρααββοολλήήςς Μία ακτίνα φωτός παράλληλη στον άξονα της παραβολής θα ανακλαστεί από την παραβολή και θα περάσει από την εστία της Ε. Μία ακτίνα που φεύγει από την εστία Ε ανακλάται και συνεχίζει παράλληλα στον άξονα της παραβολής.

Η κάθετος στην εφαπτοµένη της παραβολής στο σηµείο Σ διχοτοµεί την γωνία ∠ΕΖζ όπου η Σζ είναι πα-ράλληλη στον άξονα της παραβολής

y

x

ε

Σ(x1, y1)

Εφαπτοµένη Παραβολής

y

x

ε

Σ

φ φ

Ε

ζ

Ανακλαστική ιδιότητα παραβολής

28 Η αραβολή Μαθηµατικό Τυπολόγιο


44..99..1111 ΜΜήήκκοοςς ττόόξξοουυ κκααιι εεµµββααδδόό χχωωρρίίοουυ ααρρααββοολλήήςς

x

y

-4 -2 0 2 6 8 10

-2

0

2

4

6

8

S

Α Β

Γ

L

∆

Το µήκος του τόξου της παραβολής ΑΓΒ του σχήµατος δίνεται από τον τύπο:

τ = 2 2 2

2 2S S 4L S 16LS 16L ln2 8L S

+ −− +

και το εµβαδό:

Ε = 23

SL

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Έλλειψη 29


4.10 Έλλειψη

44..1100..11 ΟΟρριισσµµόόςς Έλλειψη είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων που έχουν σταθερό άθροισµα αποστάσεων (µεγαλύτερο από ΕΕ΄) από δύο δεδοµένα σταθερά σηµεία Ε και Ε΄ του επιπέδου. Τα σταθερά σηµεία Ε και Ε΄ λέγονται εστίες της έλλειψης και η απόσταση ΕΕ΄ λέγεται εστιακή από-σταση. Αν Σ σηµείο της έλλειψης τότε: Συµβολίζουµε το σταθερό άθροισµα ΕΣ+ΣΕ΄ = 2α και την εστιακή απόσταση ΕΕ΄ µε 2γ. (Πρέπει α>γ). Την απόσταση ΒΒ’ την συµβολίζουµε µε 2β και ισχύει β²=α²-γ² Η απόσταση Α΄Α ονοµάζεται µεγάλος ηµιάξονας και έχει µήκος 2α, ενώ η απόσταση Β΄Β ονοµάζεται µικρός ηµιάξονας της έλλειψης και έχει µήκος 2β.

44..1100..22 ΕΕξξίίσσωωσσηη έέλλλλεειιψψηηςς Αν οι εστίες βρίσκονται στα σηµεία Ε(-γ, 0) και Ε΄(γ, 0) τότε

2 2

2 2

x y1

α β+ = , µε β²=α²-γ²

Αλλιώς αν το κέντρο Ο (το µέσο της εστιακής από-στασης Ε΄Ε) βρίσκεται στο (xο, yο) τότε:

2 2o o

2 2

(x x ) (y y )1

α β

− −+ =

44..1100..33 ΠΠοολλιικκήή εεξξίίσσωωσσηη ττηηςς έέλλλλεειιψψηηςς Αν το κέντρο Ο βρίσκεται στην αρχή των πολικών αξόνων και διαλέξουµε ως πολικό άξονα τον µεγάλο άξο-να της έλλειψης, τότε

2 22

2 2 2 2

α βρ

α ηµ θ β συν θ=

+

Αν η αρχή των αξόνων βρίσκεται σε µία εστία τότε 2α(1 ε )

ρ1 εσυνθ

−=

−

µε ε=2 2α βγ

α α

−= η εκκεντρότητα της έλλειψης

Αν η παραβολή έχει τον µεγάλο της ηµιάξονα στον άξονα y τότε στις παραπάνω εξισώσεις αντικαθιστούµε

το x µε y (στο καρτεσιανό) ή αντικαθιστούµε το θ µε π

θ2− (στις πολικές)

44..1100..44 ΕΕκκκκεεννττρρόόττηητταα ττηηςς έέλλλλεειιψψηηςς

Ορίζουµε ε=2 2α βγ

α α

−= και ισχύει ε<1, 2β

1 εα

= −

Η εκκεντρότητα χαρακτηρίζει την µορφή της έλλειψης:

Όταν ε→1 τότε το β είναι πολύ µικρό και η έλλειψη γίνεται επιµήκης

Όταν ε→0 τότε το β→α και η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος (για β=α έχουµε ε=0 και η έλλειψη γίνεται κύκλος)

Ελλείψεις µε την ίδια εκκεντρότητα ε ονοµάζονται όµοιες

x

y

0 Ε΄ Ε

2γ

2α

2β

Β΄

A΄ A

B

x

y

-5 Ε΄ 0 Ε 5

-4

4 Σ

30 Έλλειψη Μαθηµατικό Τυπολόγιο


44..1100..55 ΣΣυυννθθήήκκηη γγιιαα νναα εείίννααιι µµίίαα εευυθθεείίαα εεφφααττοοµµέέννηη σσεε έέλλλλεειιψψηη

∆εδοµένης της έλλειψης 2 2

2 2

x y1

α β+ = (1) και της ευθείας y = λx + µ (2) η συνθήκη για να εφάπτεται η

ευθεία στην έλλειψη είναι ο µηδενισµός της διακρίνουσας ∆ του της δευτεροβάθµιας που προκύπτει από το σύστηµα των (1) και (2) δηλαδή

α²λ² + β² - µ² = 0

44..1100..66 ΕΕξξίίσσωωσσηη εεφφααττοοµµέέννηηςς σσεε σσηηµµεείίοο ττηηςς έέλλλλεειιψψηηςς

Στο σηµείο (x1,y1) της έλλειψης 2 2

2 2

x y1

α β+ = η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι:

1 1

2 2

xx yy1

α β+ =

Στο σηµείο (x1,y1) της έλλειψης 2 2

o o

2 2

(x x ) (y y )1

α β

− −+ = η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι:

0 1 0 0 1 02 2

(x x )(x x ) (y y )(y y )1

α β

− − − −+ =

44..1100..77 ΕΕφφααττοοµµέέννηη ααόό σσηηµµεείίοο εεκκττόόςς έέλλλλεειιψψηηςς

Έστω σηµείο (x1,y1) εκτός της έλλειψης 2 2

2 2

x y1

α β+ = . Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο

είναι: y – y1 = λ(x – x1). Για να εφάπτεται στην έλλειψη πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη 4.10.5 άρα αφού µ=y1 – λx1

α²λ² + β² - (y1 – λx1)² = 0

44..1100..88 ΕΕξξίίσσωωσσηη κκάάθθεεττηηςς σσεε έέλλλλεειιψψηη

Στο σηµείο (x1,y1) η εξίσωση της κάθετης στην έλλειψη 2 2

2 2

x y1

α β+ = είναι:

y – y1 = 2

1

21

α y

β x(x – x1)

Στο σηµείο (x1,y1) η εξίσωση της κάθετης στην έλλειψη 2 2

o o

2 2

(x x ) (y y )1

α β

− −+ = είναι:

y – y1 = 2

1 0

21 0

α (y y )

β (x x )

−−

(x – x1)

44..1100..99 ΑΑνναακκλλαασσττιικκήή ιιδδιιόόττηητταα ττηηςς έέλλλλεειιψψηηςς Η κάθετη στην εφαπτοµένη σε ένα σηµείο Σ µίας έλλειψης διχο-

τοµεί την γωνία ∠Ε΄ΣΕ ή Μία φωτεινή ακτίνα που ξεκινά από την µία εστία ανακλάται από την έλλειψη και περνά και από την άλλη εστία.

44..1100..1100 ΜΜήήκκοοςς ττόόξξοουυ κκααιι εεµµββααδδόό έέλλλλεειιψψηηςς

Μήκος τόξου S=π

2 2 2 22

0

14α 1 k ηµ θdθ 2π (α β )2

− ≅ +∫ µε k=2 2α β

α

−

Εµβαδό Α = παβ

x

y

0 Ε Ε΄

Σ

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Υερβολή 31


4.11 Υπερβολή

44..1111..11ΟΟρριισσµµοοίί Υπερβολή (Hyperbola) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµεί-ων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιµή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο δεδοµένα σταθερά σηµεία Ε και Ε΄ (foci) είναι σταθερή και µικρότερη του ΕΕ΄ Τα σηµεία Ε και Ε΄ ονοµάζονται εστίες (foci) της υπερβολής και η απόσταση ΕΕ΄ ονοµάζεται εστιακή αόσταση. Αν Μ σηµείο της υπερβολής τότε |ΜΕ – ΜΕ΄| = 2α = στα-θερή Ορίζουµε ΕΕ΄ = 2γ. Ισχύει γ>α>0. Τα σηµεία που η εστιακή απόσταση τέµνει την υπερβολή λέ-γονται κορυφές της υπερβολής. Το µέσο της εστιακής απόστασης λέγεται κέντρο της υπερβο-λής (και είναι κέντρο συµµετρίας)

44..1111..22 ΕΕξξίίσσωωσσηη ττηηςς υυεερρββοολλήήςς Μία υπερβολή µε εστίες τα σηµεία Ε(γ, 0) και Ε΄(-γ, 0) και κέντρο την αρχή των αξόνων έχει εξίσωση:

2 2

2 2

x y1

α β− = , όπου β² = γ² - α²

Μία υπερβολή µε κέντρο στο σηµείο (x0, y0) και άξονες παράλληλους µε τους άξονες x και y έχει εξίσωση: 2 2

0 0

2 2

(x x ) (y y )1

α β

− −− =

Μία ισοσκελής (rectangular) υπερβολή έχει α=β και η εξίσωσή της γίνεται: x² - y² = α² Η απόσταση ΑΆ µήκους 2α λέγεται µεγάλος άξονας της υπερβολής και η απόσταση Β΄Β µήκους 2β λέγεται µικρός άξονας της υπερβολής. Στην ισοσκελή υπερβολή οι άξονες έχουν ίσα µήκη. Οι άξονες της υπερβολής είναι και άξονες συµµετρίας της υπερβολής.

44..1111..33 ΑΑσσύύµµττωωττεεςς ττηηςς υυεερρββοολλήήςς

Για την υπερβολή µε εξίσωση 2 2

2 2

x y1

α β− = οι ασύµπτωτες

είναι οι ευθείες:

β βy x και y x

α α= = −

44..1111..44 ΕΕκκκκεεννττρρόόττηητταα υυεερρββοολλήήςς Ο λόγος της εστιακής απόσταση προς την απόσταση των κορυφών της υπερβολής λέγεται εκκεντρότητα της υπερ-βολής, δηλαδή:

2 2α βγε 1

α α

+= = >

44..1111..55 ΣΣυυζζυυγγεείίςς υυεερρββοολλέέςς

Οι υπερβολές 2 2

2 2

x y1

α β− = και

2 2

2 2

y x1

β α− = ονοµάζονται συζυγείς υπερβολές και έχουν τις ίδιες ασύµπτωτες

44..1111..66 ΕΕξξίίσσωωσσηη εεφφααττοοµµέέννηηςς υυεερρββοολλήήςς

Αν 2 2

2 2

x y1

α β− = τότε η εξίσωση της εφαπτοµένης της υπερβολής στο τυχόν σηµείο x1, y1 είναι:

1 1

2 2

xx yy1

α β− =

x

y

Ε΄ Ε

Σ

2γ

2α

x

y

Ε΄ Ε Α΄ Α

Β΄

Β

32 Υερβολή Μαθηµατικό Τυπολόγιο


44..1111..77 ΣΣυυννθθήήκκηη γγιιαα νναα εείίννααιι µµίίαα εευυθθεείίαα εεφφααττόόµµεεννηη υυεερρββοολλήήςς

∆εδοµένης της υπερβολής 2 2

2 2

x y1

α β− = (1) και της ευθείας y = λx + µ (2) η συνθήκη για να εφάπτεται η

ευθεία στην υπερβολή είναι ο µηδενισµός της διακρίνουσας ∆ του της δευτεροβάθµιας που προκύπτει από το σύστηµα των (1) και (2) δηλαδή

α²λ² - β² - µ² = 0

44..1111..88 ΕΕφφααττόόµµεεννηη ααόό σσηηµµεείίοο εεκκττόόςς υυεερρββοολλήήςς

Έστω η υπερβολή 2 2

2 2

x y1

α β− = και το σηµείο Σ(x1, y1). Η τυχαία ευθεία που περνάει από το σηµείο Σ είναι

y – y1 = λ(x – x1). Για να εφάπτεται αυτή στην έλλειψη πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη 4.11.7 άρα αφού µ=y1 – λx1

α²λ² - β² - (y1 – λx1)² = 0

44..1111..99 ΠΠοολλιικκήή εεξξίίσσωωσσηη υυεερρββοολλήήςς Μία υπερβολή µε το κέντρο της στην αρχή των αξόνων και τον µεγάλο άξονά της στον άξονα x΄x έχει εξί-σωση σε πολικές συντεταγµένες:

2 22

2 2 2 2

α βρ

β συν θ α ηµ θ=

−

Αν το κέντρο βρίσκεται στον άξονα Οx και η εστία Ε΄ βρίσκεται στο Ο τότε:

2α(ε 1)ρ

1 εσυνθ

−=

−

44..1111..1100 ΑΑνναακκλλαασσττιικκήή ιιδδιιόόττηητταα ττηηςς υυεερρββοολλήήςς Η εφαπτοµένη της υπερβολής στο σηµείο Σ διχοτο-

µεί την γωνία ∠Ε΄ΣΕ ή Μία ακτίνα που εκπέµπεται από την µία εστία Ε ανα-

κλάται έτσι ώστε η προέκτασή της να διέρχεται από την άλλη εστία Ε΄

x

y

Ε Ε΄

Σ

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Γενικά για τις κωνικές τοµές 33


4.12 Γενικά για τις κωνικές τομές Ολες οι κωνικές τοµές (εκτός της ευθείας) µπορούν να θεωρηθούν ως τοµές ενός κώνου και ενός επιπέδου, (εξ’ού και το όνοµα κωνικές τοµές, ή αολλώνιες τοµές). Ο κύκλος µπορεί να θεωρηθεί ως η τοµή του κώνου µε επίπεδο κάθετο στον άξονά του. Η είναι η κλειστή τοµή του κώνου µε επίπεδο πλάγιο µε τον άξονά του. Η παραβολή είναι τοµή ενός κώνου µε επίπεδο παράλληλο σε µία γενέτειρα του κώνου. Η υπερβολή είναι τοµή του κώνου µε ένα επίπεδο παράλληλο στον άξονά του. Ολες οι κωνικές (έλλειψη, παραβολή, υπερβολη) µπορούν να θεωρηθούν ως γεωµετρικοί τόποι σηµείων των οποίων ο λόγος της απόστασής του από σταθερό σηµείο, που ονοµάζεται εστία (focus), και της απόστασής του από ευθεία, που ονοµάζεται διευθετούσα (directrix), είναι ίσος µε µία σταθερά ε που ονοµάζεται εκκεντρότητα. Αν η εστία της κωνικής επιλεχθεί στην αρχή ενός πολικού συστήµατος συντεταγµένων (ρ,θ) τότε

κ εδρ

1 εσυνθ 1 εσυνθ= =

− −

όπου κ = ΟΚ και δ = ΟΜ = απόσταση εστίας – διευθετούσας

Ο

y

x

εστία

δ

Κ

Μ

κ

διευθετούσα

Η κωνική είναι:

έλλειψη αν ε<1 παραβολή αν ε=1 υπερβολή αν ε>1

34 Καµύλες δευτέρου βαθµού Μαθηµατικό Τυπολόγιο


4.13 Καμπύλες δευτέρου βαθμού

44..1133..11 ΟΟρριισσµµόόςς

Καµπύλη 2ου βαθµού είναι η εξίσωση ƒ(x,y) = Αx²+Βxy+Γy²+2∆x+2Εy+Ζ = 0 Κάθε κωνική τοµή µπορεί να παρασταθεί από µία εξίσωση 2ου βαθµού.

44..1133..22 ∆∆ιιεερρεεύύννηησσηη Εστω ότι µετασχηµατίζουµε το καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων xΟy σε κάποιο άλλο xΌ΄y΄ και η κα-µπύλη 2ου βαθµού γίνεται από Αx²+Βxy+Γy²+2∆x+2Εy+Ζ = 0 που ήταν σε Α΄x²+Β΄xy+Γ΄y²+2∆΄x+2Ε΄y+Ζ΄ = 0. Αποδεικνύεται ότι είναι αναλλοίωτα τα µεγέθη:

A B ∆ A B ∆

D B Γ Ε B Γ Ε D

∆ Ε Ζ ∆ Ε Ζ

′ ′ ′

′ ′ ′ ′= = =

′ ′ ′

A B A Bd d

Β Γ Β Γ′= = =

S = A + Γ = Α΄ + Γ΄ = S΄ Επίσης ορίζουµε Q=∆²-ΑΖ Ισχύει ο παρακάτω πίνακας διερευνήσεως:

α/α d D D⋅⋅⋅⋅S Q ∆ιάφορα Περιγραφή καµύλης

1 (κ) - - - - Α=Γ Β=0 Κύκλος

<0 - - Πραγµατική έλλειψη ≠0

>0 - - Φανταστική έλλειψη 2 (ε) >0

=0 - - - Ζεύγος φανταστικών ευθειών

≠0 - - - Κανονική υπερβολή 3 (υ) <0

=0 - - - Ζεύγος τεµνόµενων ευθειών

≠0 - - - κανονική παραβολή

<0 - Ζεύγος παράλληλων ευθειών (διακεκριµ.) =0 - Ζεύγος παράλληλων ευθειών (ταυτιζοµένων)

4 (π) =0 =0 -

>0 - Ζεύγος παράλληλων ευθειών (φανταστικών)

44..1133..33 ΜΜεεττααττρροοήή σσεε κκααννοοννιικκήή µµοορρφφήή

Η γενική εξίσωση ƒ(x,y) = Αx²+Βxy+Γy²+2∆x+2Εy+Ζ = 0 µπορεί να µετατραπεί σε µία απλούστερη µορφή αλλάζοντας το σύστηµα συντεταγµένων σε καποιο άλλο x΄Ο΄y΄ έτσι ώστε το κέντρο της καµπύλης (πλην παραβολής που δεν έχει κέντρο) να ταυτίζεται µε το Ο΄ και ο άξονας x΄ να ταυτίζεται µε ένα άξονα της καµπύλης.

44..1133..33..11 ΓΓιιαα κκύύκκλλοο,, έέλλλλεειιψψηη,, υυππεερρββοολλήή::

Το κέντρο (xο, yο) της καµπύλης βρίσκεται επιλύνοντας το σύστηµα

o

o

o

o

x x

x x

Β ∆

ƒ Γ Ε0 xx d

∆ Αƒ0

Ε Βyy

d

=

=

∂

= =∂ ⇔

∂ = ∂ =

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Καµύλες δευτέρου βαθµού 35


Το σύστηµα έχει στραφεί κατά γωνία φ µε 1 2Β

φ τοξεφ2 Α Γ

=−

, µε τον περιορισµό Βηµ2φ>0

Ο συντελεστής διεύθυνσης του Ο΄x΄ είναι λΟ΄x΄

2 2(A Γ) (Α Γ) 4Β

2Β

− − + − +=

και του άξονα Ο΄y΄ είναι λΟ΄y΄=-1/λΟ΄x΄

Η εξίσωση της καµπύλης στο νέο σύστηµα συντεταγµένων είναι 2 2 DA x Γ y 0

d′ ′ ′ ′+ + =

όπου Α΄ και Γ΄ είναι οι ρίζες της εξίσωσης z²-Sz+d = 0 δηλαδή: 2 2A Γ (Α Γ) 4Β

A2

+ + − +′ = και

2 2A Γ (Α Γ) 4ΒΓ

2

+ − − +′ =

44..1133..33..22 ΓΓιιαα ππααρρααββοολλήή

Για την παραβολή που δεν έχει κέντρο η εξίσωσή της στο νέο σύστηµα συντεταγµένων είναι y΄²=2ρ΄x΄

όπου 2 2

ΑΕ Β∆ρ

S A B

−′ =+

Οι συντεταγµένες του νέου συστήµατος συντεταγµένων (xο,yο) του νέου συστήµατος που είναι και η κορυφή της παραβολής είναι η λύση του συστήµατος:

o o

o o

ASx BSy (A∆ ΒΕ) 0

(∆S ∆Γ ΒΕ)x (ES AE Β∆)y ZS 0

+ + + = + − + + − + =

και η γωνία στροφής των αξόνων δίνεται από την σχέση Α

φ τοξεφΒ

= −

36 Συστήµατα συντεταγµένων Μαθηµατικό Τυπολόγιο


5 Αναλυτική γεωµετρία στον χώρο 5.1 Συστήματα συντεταγμένων

55..11..11 ΚΚααρρττεεσσιιααννόό σσύύσσττηηµµαα σσυυννττεεττααγγµµέέννωωνν Χρησιµοποιεί 3 άξονες, x, y, και z µε κοινή αρχή Ο. Υπάρχει µία αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία µεταξύ των

σηµείων του χώρου και των τριάδων (x, y, z) όπου x, y, z ϒ

55..11..22 ΚΚυυλλιιννδδρριικκόό σσύύσσττηηµµαα σσυυννττεεττααγγµµέέννωωνν Η θέση του σηµείου Α ορίζεται από το µέτρο του διανύσµατος ρ του

επιπέδου xy, τη γωνία φ (0≤φ<2π) που σχηµατίζεται µε τον άξονα Οx και την συντεταγµένη z Για την µετατροπή από καρτεσιανό σε κυλινδρικό ισχύει:

2 2ρ x yx=ρσυνφ

y y xy=ρηµφ και φ τοξεφα τοξηµ τοξσυνx ρ ρ

z=z z z

= +

= = =

=

55..11..33 ΣΣφφααιιρριικκόό σσύύσσττηηµµαα σσυυννττεεττααγγµµέέννωωνν Η θέση του σηµείου Α ορίζεται από το µέτρο του διανύσµατος r του

χώρου, τη γωνία φ (0≤φ<2π) που σχηµατίζει η προβολή του r στο

xy επίπεδο µε τον άξονα Οx τη γωνία θ (0≤θ<π) που σχηµατίζει το r µε τον άξονα Οz Για την µετατροπή από καρτεσιανό σε σφαιρικό ισχύει:

2 2 2

2 2 2 2

2 2

ρ x y zx=rηµθσυνφ

y y xy=rηµθηµφ φ τοξεφα τοξηµ τοξσυνx x y x y

z=rσυνθ

x yzz τοξσυν τοξεφr z

= + + = = =

+ +

+ = =

55..11..44 ΠΠααρράάλλλληηλληη µµεεττααφφοορράά σσυυσσττήήµµααττοοςς σσυυννττεεττααγγµµέέννωωνν Για να µεταβούµε από το σύστηµα Οxyz στο σύστηµα Ο΄x΄y΄z΄ το οποίο έχει παράλληλους άξονες µε το αρχικό και το σηµείο Ο΄ έχει συντεταγµένες (α, β, γ) σε σχέση µε το αρχικό:

x΄ = x – α y΄ = y – β z΄ = z – γ

x

z

Ο y1

Α(x1,y1,z1) z1

x1 y

x

z

Ο y1

Α(r, φ, θ)

z1 r

x1 y

Α’ φ

θ

x

z

Ο

Α(ρ, φ, z)

z1

ρ y

Α’ φ

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Αόσταση δύο σηµείων 37


5.2 Απόσταση δύο σημείων Η απόσταση των σηµείων Α(x1, y1, z1) και Β(x2, y2, z2) είναι:

2 2 2AB 2 1 2 1 2 1d (x x ) (y y ) (z z )= − + − + −

5.3 Σημείο που διαιρεί τμήμα σε λόγο λ

Αν Α(x1, y1, z1) και Β(x2, y2, z2) δύο σηµείων και Κ(xο, yο, zο) ένα σηµείο τέτοιο ώστε AK

KB

uuur

uuur =λ τότε οι συντε-

ταγµένες του Κ είναι:

1 20

x λxx

1 λ

+=

+, 1 2

0

y λyy

1 λ

+=

+, 1 2

0

z λzz

1 λ

+=

+

Αν λ>0 το Μ είναι εντός του ΑΒ Αν λ<0 το Μ είναι έξω από το ΑΒ Αν λ=1 το Μ είναι το µέσο του ΑΒ

5.4 Εμβαδό τριγώνου Αν Α(x1, y1, z1), Β(x2, y2, z2) και Γ(x3, y3, z3) τρία σηµεία του χώρου τότε το εµβαδό του τριγώνου σπου σχη-µατίζουν δίνεται από τον τύπο:

2 2 21 2 3

1A A A A

2= + +

όπου

1 1

1 2 2

3 3

x y 1

A x y 1

x y 1

= ,

1 1

2 2 2

3 3

y z 1

A y z 1

y z 1

= και

1 1

2 2 2

3 3

z x 1

A z x 1

z x 1

=

5.5 Όγκος τετραέδρου Αν Α(x1, y1, z1), Β(x2, y2, z2), Γ(x3, y3, z3) και ∆(x4, y4, z4) είναι οι κορυφές τετραέδρου τότε ο όγκος του δίνε-ται από τη σχέση:

1 2 1 2 1 2

1 3 1 3 1 3

1 4 1 4 1 4

x x y y z z1

V x x y y z z6

x x y y z z

− − −

= − − −

− − −

38 Είεδα Μαθηµατικό Τυπολόγιο


5.6 Επίπεδα

55..66..11 ΓΓεεννιικκήή εεξξίίσσωωσσηη εειιέέδδοουυ Σε καρτεσιανές συντεταγµένες είναι:

Αx + Βy + Γz + ∆ = 0 Τέµνει τους άξονες στα σηµεία x=-∆/Α, y=-∆/Β, z=-∆/Γ

55..66..22 ΕΕιιδδιικκάά εείίεεδδαα

ΕΕίίεεδδοο ΤΤιιµµήή σσττααθθεερρώώνν ΕΕξξίίσσωωσσηη εειιέέδδοουυ

∆ιέρχεται από την αρχή ∆ = 0 Αx + Βy + Γz = 0

⊥ στο Οxy επίπεδο Γ = 0 Αx + Βy + ∆ = 0

⊥ στο Οxz Β = 0 Αx + Γy + ∆ = 0

⊥ στο Οyz Α = 0 Βy + Γz + ∆ = 0

Π στο Οxy Α = Β = 0 Γz + ∆ = 0

Π στο Οxz Α = Γ = 0 Βy + ∆ = 0

Π στο yz Β = Γ = 0 Αx + ∆ = 0

περιέχει τον x άξονα Α = ∆ = 0 Βy + Γz = 0

περιέχει τον y άξονα Β = ∆ = 0 Αx + Γz = 0

περιέχει τον z άξονα Γ = ∆ = 0 Αx + Βy = 0

το επίπεδο Οxy Α = Β = ∆ = 0 z = 0

το επίπεδο Οyz Β = Γ = ∆ = 0 x = 0

το επίπεδο Οxz Α = Γ = ∆ = 0 y = 0

55..66..33 ΕΕξξίίσσωωσσηη εειιέέδδοουυ οουυ ττέέµµννεειι ττοουυςς άάξξοοννεεςς Αν το επίπεδο τέµνει τους άξονες στα σηµεία α, β, γ τότε η εξίσωσή του είναι:

yx z 0α β γ+ + =

55..66..44 ΕΕξξίίσσωωσσηη εειιέέδδοουυ οουυ δδιιέέρρχχεεττααιι ααόό 33 σσηηµµεείίαα Αν Α(x1, y1, z1), Β(x2, y2, z2) και Γ(x3, y3, z3) τρία σηµεία του χώρου τότε ορίζουν το επίπεδο:

1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

x x y y z z

x x y y z z 0

x x y y z z

− − −

− − − =

− − −

55..66..55 ΓΓωωννίίαα δδύύοο εειιέέδδωωνν Για τα επίπεδα Α1x + Β1y + Γ1z + ∆1 = 0 και Α2x + Β2y + Γ2z + ∆2 = 0 η γωνία τους είναι:

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Είεδα 39


1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

Α Α Β Β Γ Γσυνθ

(Α Β Γ )(Α Β Γ )

+ +=

+ + + +

55..66..66 ΑΑόόσστταασσηη εειιέέδδοουυ ααόό ττηηνν ααρρχχήή ΟΟ Για το επίπεδο Αx + Βy + Γz + ∆ = 0 η απόστασή του από την αρχή των αξόνων είναι:

2 2 2

∆d

Α Β Γ=

+ +

55..66..77 ΑΑόόσστταασσηη σσηηµµεείίοουυ ααόό εείίεεδδοο Για το επίπεδο Αx + Βy + Γz + ∆ = 0 η απόστασή του από το σηµείο (xο, yο, zο) είναι:

0 0 0

2 2 2

Αx Bx Γx ∆d

Α Β Γ

+ + +=

+ +

55..66..88 ΣΣυυννθθήήκκηη ααρρααλλλληηλλίίααςς εειιέέδδωωνν Τα επίπεδα Α1x + Β1y + Γ1z + ∆1 = 0 και Α2x + Β2y + Γ2z + ∆2 = 0 είναι παράλληλα όταν η γωνία τους θ=0 άρα όταν

1 1 1

2 2 2

Α Β Γ

Α Β Γ= =

55..66..99 ΣΣυυννθθήήκκηη κκααθθεεττόόττηηττααςς εειιέέδδωωνν Τα επίπεδα Α1x + Β1y + Γ1z + ∆1 = 0 και Α2x + Β2y + Γ2z + ∆2 = 0 είναι κάθετα όταν η γωνία τους θ=90ο άρα όταν

Α1Α2 + Β1Β2 + Γ1Γ2 = 0

40 Ευθείες στον χώρο Μαθηµατικό Τυπολόγιο


5.7 Ευθείες στον χώρο

55..77..11 ΕΕξξίίσσωωσσηη εευυθθεείίααςς σσττοονν χχώώρροο Μία ευθεία στον χώρο µπορεί να θεωρηθεί πάντα ως τοµή δύο επιπέδων (µη-παράλληλων) άρα η εξίσωσή της είναι η λύση του συστήµατος:

1 1 1 1

2 2 2 2

Α x Β y Γ z ∆ 0

Α x Β y Γ z ∆ 0

+ + + = + + + =

Μία ευθεία γραµµή στον χώρο µπορεί να περιγραφεί από τις προβολές της στα επίπεδα Οxy και Οxz:

1 1

2 2

y λ x β

z λ x β

= + = +

55..77..22 ΕΕιιδδιικκέέςς εευυθθεείίεεςς

ΕΕυυθθεείίαα ΕΕξξίίσσωωσσηη

∆ιέρχεται από την αρχή 1

2

y λ x

z λ x

= =

Π στον x άξονα 1

2

y β

z β

= =

Π στον y άξονα 1

2

x β

z β

= =

Π στον z άξονα 1

2

x β

y β

= =

Π στο επίπεδο Οxy 1 1

2

y λ x β

z β

= + =

Π στο επίπεδο Οxz 1 1

2

z λ x β

y β

= + =

Π στο επίπεδο Οyz 1 1

2

z λ x β

x β

= + =

x άξονας y 0

z 0

= =

y άξονας x 0

z 0

= =

z άξονας x 0

y 0

= =

55..77..33 ΓΓωωννίίαα δδύύοο εευυθθεειιώώνν

Αν δίνονται οι ευθείες 1 1

2 2

y λ x β (1)

z λ x β

= + = +

και 1 1

2 2

y µ x γ

z µ x γ

= + = +

τότε η γωνία τους θ είναι:

1 1 2 2

2 2 2 21 2 1 2

1 λ µ λ µσυνθ

(1 λ λ )(1 µ µ )

+ +=

+ + + +

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Ευθείες στον χώρο 41


µε 0≤θ<2π

55..77..44 ΣΣυυννθθήήκκηη ααρρααλλλληηλλίίααςς

Οι προηγούµενες ευθείες είναι παράλληλες αν θ=0 ⇒ συνθ=1 ή λ1=µ1 και λ2=µ2

55..77..55 ΣΣυυννθθήήκκηη κκααθθεεττόόττηηττααςς

Οι προηγούµενες ευθείες είναι κάθετες αν θ=90 ⇒ συνθ=0 ή 1 + λ1µ1 + λ2µ2 = 0

42 Μερικές Ειφάνειες Μαθηµατικό Τυπολόγιο


5.8 Μερικές Επιφάνειες

55..88..11 ΣΣφφααίίρραα Σφαίρα µε κέντρο το σηµείο Κ(xο, yο, zο) και ακτίνα r έχει εξίσωση:

(x – xο)² + (y – yο)² + (z – zο)² = 0

55..88..22 ΕΕλλλλεειιψψοοεειιδδέέςς Με κέντρο στην αρχή των αξόνων και ηµιάξονες α, β και γ:

22 2

2 2 2

yx z 1α β γ

+ + =

Με κέντρο το σηµείο Κ(xο, yο, zο):

2 2 2o o o

2 2 2

(x x ) (y y ) (z z )1

α β γ

− − −+ + =

55..88..33 ΥΥεερρββοολλοοεειιδδέέςς Ενός φύλου: (µονόχωνο)

22 2

2 2 2

yx z 1α β γ

+ − =

x

z

Ο y

α

β

x

z

Ο y

α

β

γ

x

z

Ο

y

Κ(xο,yο,zο)

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Μερικές Ειφάνειες 43


Υπερβολοειδές δύο φύλων: (δίχωνο)

22 2

2 2 2

yx z 1α β γ

+ − = −

55..88..44 ΠΠααρρααββοολλοοεειιδδέέςς 55..88..44..11 ΕΕλλλλεειιππττιικκόό ππααρρααββοολλοοεειιδδέέςς

22

2 2

yx zγα β

+ =

55..88..44..22 ΥΥππεερρββοολλιικκόό ππααρρααββοολλοοεειιδδέέςς

22

2 2

yx zγα β

− =

x

z

Ο

y

x

z

Ο y

α β

γ

x

z

Ο y

44 Πίνακες Μαθηµατικό Τυπολόγιο


6 Γραµµική άλγεβρα 6.1 Πίνακες

66..11..11 ΟΟρριισσµµοοίί

Πίνακας είναι µία οµαδοποίηση ν×µ αριθµών σε ν γραµµές και µ στήλες

11 12 13 1µ

21 22 23 2µ

ν1 ν2 ν3 νµ

α α α ...... α

α α α ...... α

...... ...... ...... ...... ......

...... ...... ...... ...... ......

α α α ...... α

ή

11 12 13 1µ

21 22 23 2µ

ν1 ν2 ν3 νµ

α α α ...... α

α α α ...... α

...... ...... ...... ...... ......

...... ...... ...... ...... ......

α α α ...... α

Οι αριθµοί αναφέρονται ως στοιχεία του πίνακα. Το στοιχείο της i γραµµής και της j στήλης αναφέρεται ως αij. Ο πίνακας λέγεται τετραγωνικός όταν ν = µ. Κύρια διαγώνιος του πίνακα είναι η διαγώνιος από το πάνω αριστερό µέχρι το κάτω δεξιά στοιχείο, δηλαδή η σειρά α11, α22, …, ανν Ο τριγωνικός πίνακας έχει µηδενικά κάτω (ή πάνω) από την κύρια διαγώνιό του.

11

11

νν ν ν

α ... ... ...

0 α ... ...

0 0 ...

0 0 0 α×

O

Ο διαγώνιος πίνακας έχει παντού µηδενικά εκτός από τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου του. Ανάστροφος ενός πίνακα είναι ο πίνακας που έχει γραµµές τις στήλες του άλλου πίνακα. Συµβολίζεται µε Αt ή tA όπου t από το transpose. Συµµετρικός είναι ο πίνακας που ισούται µε τον ανάστροφό του ή αij=αji Αντισυµµετρικός είναι ο πίνακας για τον οποίο ισχύει αij= - αji

Αντίστροφος ενός πίνακα Α(ν×ν) είναι ο πίνακας που συµβολίζεται µε Α-1 τέτοιος ώστε: ΑΑ-1=Α-1Α=Ι. Ένας πίνακας Α έχει αντίστροφο αν και µόνο αν η ορίζουσά του είναι διάφορη του µηδενός.

Ερµητιανός είναι ένας µιγαδικός πίνακας αν είναι ίσος µε τον ανάστροφο του συζυγού του ή αν Α= ( )t A

Χαρακτηριστικές τιµές (ιδιοτιµές) και χαρακτηριστικά διανύσµατα (ιδιοδιανύσµατα) ενός πίνακα Α είναι οι αριθ-µοί λ και οι πίνακες στήλες Χ τέτοιοι ώστε να ισχύει: ΑΧ=λΙ. Ένας ερµητιανός πίνακας έχει πραγµατικές ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατά του που αντιστοιχούν σε δύο διαφορετικές ιδιοτιµές είναι ορθογώνια.

Ένας εναδικός πίνακας (unitary) U έχει στήλες που είναι ορθοκανονικοί πίνακες. Τότε U ( )t U =I, δηλαδή ο

ανάστροφος του συζυγού του είναι ο αντίστροφός του. Ένας εναδικός πίνακας µε στοιχεία πραγµατικούς είναι ορθογώνιος δηλαδή ο ανάστροφός του είναι ο αντί-στροφός του, Α Αt = Ι

66..11..22 ΠΠρράάξξεειιςς ιιννάάκκωωνν

Πρόσθεση και αφαίρεση ορίζονται µόνο για πίνακες ίδιας διάστασης ν×µ

Πρόσθεση:

11 12 13 1µ

21 22 23 2µ

ν1 ν2 ν3 νµ

α α α ...... α

α α α ...... α

...... ...... ...... ...... ......

...... ...... ...... ...... ......

α α α ...... α

+

11 12 13 1µ

21 22 23 2µ

ν1 ν2 ν3 νµ

β β β ...... β

β β β ...... β

...... ...... ...... ...... ......

...... ...... ...... ...... ......

β β β ...... β

=

11 11 12 12 13 13 1µ 1µ

21 21 22 22 23 23 2µ 2µ

ν1 ν1 ν2 ν2 ν3 ν3 νµ νµ

α β α β α β ...... α β

α β α β α β ...... α β

...... ...... ...... ...... ......

...... ...... ...... ...... ......

α β α β α β ...... α β

+ + + + + + + + + + + +

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Ορίζουσες 45


και αφαίρεση:

11 12 13 1µ

21 22 23 2µ

ν1 ν2 ν3 νµ

α α α ...... α

α α α ...... α

...... ...... ...... ...... ......

...... ...... ...... ...... ......

α α α ...... α

-

11 12 13 1µ

21 22 23 2µ

ν1 ν2 ν3 νµ

β β β ...... β

β β β ...... β

...... ...... ...... ...... ......

...... ...... ...... ...... ......

β β β ...... β

=

11 11 12 12 13 13 1µ 1µ

21 21 22 22 23 23 2µ 2µ

ν1 ν1 ν2 ν2 ν3 ν3 νµ νµ

α β α β α β ...... α β

α β α β α β ...... α β

...... ...... ...... ...... ......

...... ...... ...... ...... ......

α β α β α β ...... α β

− − − − − − − − − − − −

Ο πολλαπλασιασµός πινάκων ορίζεται µόνο για πίνακες στους οποίους ο αριθµός των στηλών του πρώτου

πίνακα ισούται µε τον αριθµό των γραµµών του δεύτερου πίνακα. ∆ηλαδή για πίνακες της µορφής ν×µ και

µ×λ. Το αποτέλεσµα είναι ένας πίνακας ν×λ και το στοιχείο της i γραµµής και της j στήλης γij ισούται µε:

γij = αi1β1j + αi2β2j + αi3β3j + … + αiµβµj Σχηµατικά:

i1 i 2 iµ

ν µ

... ... ... ...

... ... ... ...

α α ... α

... ... ... ...×

.

1j

2 j

µj µ λ

... β ...

... β ...

... ... ...

... β ...×

= ij

ν λ

... ... ... ...

... ... ... ...

... γ ... ...

... ... ... ...×

Ο πολλαπλασιασµός πινάκων δεν είναι αντιµεταθετικός: ΑΒ≠ΒΑ. Επίσης, αν ΑΒ=Ο, όπου Ο ο µηδενικός πίνακας κατάλληλης διάστασης, τότε δεν ισχύει κατ’ ανάγκη Α = Ο ή Β = Ο

Ο πίνακας Ι4=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

ονοµάζεται µοναδιαίος διάστασης 4. Αντίστοιχα ορίζεται ο µοναδιαίος Ιν

Ισχύει: ΑΙ = ΙΑ = Α για κάθε πίνακα Α διάστασης µ×ν και κάθε µοναδιαίο Ι διάστασης ν×ν

6.2 Ορίζουσες Η ορίζουσα determinant ενός τετραγωνικού πίνακα είναι ένας αριθµός. Για ένα πίνακα 2×2 ορίζεται ως ε-

ξής: Αν Α=α β

γ δ

τότε:

detA = α β

γ δ = αδ – βγ

66..22..11 ΑΑλλγγεεββρριικκόό σσυυµµλλήήρρωωµµαα

Το αλγεβρικό συµπλήρωµα (algebraic complement) Ακλ µίας ορίζουσας (ν×ν) είναι η ορίζουσα (ν-1)×(ν-1) που προκύπτει αν διαγράψουµε το στοιχείο ακλ µαζί µε την στήλη και την γραµµή του, και πολλαπλασιάσου-µε µε το (-1)κ+λ

Αν detA=

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

α α α α

α α α α

α α α α

α α α α

τότε:

46 Γραµµικά συστήµατα Μαθηµατικό Τυπολόγιο


Α11=(-1)1+1

22 23 24

32 33 34

42 43 44

α α α

α α α

α α α

=+

22 23 24

32 33 34

42 43 44

α α α

α α α

α α α

και Α34=(-1)3+4

11 12 13

21 22 23

41 42 43

α α α

α α α

α α α

= - Error! Not a valid link.

11 12 13

21 22 23

41 42 43

α α α

α α α

α α α

66..22..22 ΟΟρρίίζζοουυσσαα οοοοιιαασσδδήήοοττεε ττάάξξηηςς Με τη βοήθεια των αλγεβρικών συµπληρωµάτων βρίσκουµε την ορίζουσα οποιασδήποτε τάξης αναπτύσσο-ντας προς κάποια γραµµή ή στήλη:

detA = α11Α11 + α12Α12 + … + α1νΑ1ν Με τον τρόπο αυτό ο υπολογισµός µίας ορίζουσας ν τάξης µετατρέπεται σε υπολογισµό ν οριζουσών (ν-1) τάξης! Ειδικά για την περίπτωση ν=3 υπάρχει και ο κανόνας του Sarrus:

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

α α α α α

α α α α α

α α α α α

− − −

+ + +

= α11α22α33+α12α23α31+α13α21α32 – α31α22α13 – α32α23α11 – α33α21α12

όπου πολλαπλασιάζουµε διαγώνια προς τα κάτω µε πρόσηµο + και διαγώνια προς τα πάνω µε πρόσηµο –

66..22..33 ΙΙδδιιόόττηηττεεςς οορριιζζοουυσσώώνν det(AB) = detA detB Η τιµή της ορίζουσας δεν αλλάζει αν εναλλάξουµε τις γραµµές σε στήλες Αν οι τιµές δύο γραµµών είναι ίσες ή ανάλογες, ή µία γραµµή είναι γραµµικός συνδυασµός άλλων

γραµµών η ορίζουσα είναι µηδέν. Η τιµή της ορίζουσας δεν αλλάζει αν σε µία γραµµή προσθέσουµε µία άλλη γραµµή ή ένα γραµµι-

κό συνδυασµό γραµµών Τα παραπάνω ισχύουν και για τις στήλες

6.3 Γραμμικά συστήματα Ένα σύστηµα ν εξισώσεων µε ν αγνώστους λέγεται γραµµικό όταν είναι της µορφής:

11 1 12 2 1ν ν 1

21 1 22 2 2ν ν 2

ν1 1 ν2 2 νν ν ν

α x α x ... α x β


.............................................


+ + + = + + + = + + + =

Το σύστηµα αυτό λύνεται µε πολλούς τρόπους.

66..33..11 ΜΜέέθθοοδδοοςς ττοουυ CCrraammeerr Θεωρούµε την ορίζουσα των συντελεστών D:

11 12 1ν

21 22 2ν

ν1 ν2 νν

α α ... α

α α ... αD

α α ... α

=O

και τις ορίζουσες Dx1, Dx2, Dx3, … όπου στην Dx1 έχουµε αντικαταστήσει στην D την στήλη των συντελε-στών του x1 µε την στήλη των ελεύθερων όρων:

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Γραµµικά συστήµατα 47


1

1 12 1ν

2 22 2ν

x

ν ν2 νν

β α ... α

β α ... αD

β α ... α

=O

, 2

11 1 1ν

21 2 2ν

x

ν1 ν νν

α β ... α

α β ... αD

α β ... α

=O

, …

Αν D≠0 τότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση:

1x

1

Dx

D= , 2x

2

Dx

D= , 3x

3

Dx

D= , …

Αν D = 0 τότε αν Dx1 = Dx2 = Dx3= …= 0 το σύστηµα είναι αόριστο (άπειρες λύσεις). Αν D = 0 και µία από τις ορίζουσες Dx1, Dx2, Dx3, … είναι διάφορη του µηδενός τότε το σύστηµα δεν έχει λύση ( είναι αδύνατο).

66..33..22 ΜΜέέθθοοδδοοςς ττοουυ GGaauussss Θεωρούµε τον επαυξηµένο πίνακα του συστήµατος δηλαδή τον πίνακα που περιέχει και την στήλη των στα-θερών όρων.

11 12 1ν 1

21 22 2ν 2

ν1 ν2 νν ν

α α ... α β

α α ... α β

α α ... α β

O

Σκοπός µας είναι να µετατρέψουµε τον πίνακα αυτόν σε τριγωνικό (στο πρώτο µέρος του)…

11 12 1ν 1

22 2ν 2

νν ν

α α ... α β

0 α ... α β

0 0

0 0 0 α β

O

…οπότε αυτό θα µας λύσει το πρόβληµα αφού θα αντιστοιχεί σε σύστηµα της µορφής:

11 1 12 2 1ν ν 1

22 2 2ν ν 2

νν ν ν


α x ... α x β

....................

α x β

+ + + = + + = =

που λύνεται εύκολα µε αντικατάσταση. Η µετατροπή γίνεται µε γραµµοράξεις: Ο πίνακας δεν αλλάζει αν αντικαταστήσουµε µία γραµµή του µε κά-ποιο γραµµικό συνδυασµό γραµµών ή πολλαπλασιάσουµε µία γραµµή µε ένα αριθµό. Ένα οµογενές σύστηµα έχει τις σταθερές του όλες ίσες µε µηδέν βi=0, i=1,2,…,ν. Το οµογενές σύστηµα έχει ήδη την τετριµµένη λύση (0,0,0,…,0). Θα είναι αόριστο αν ισχύει D=0.

48 Ορισµοί Μαθηµατικό Τυπολόγιο


7 Τριγωνοµετρία 7.1 Ορισμοί

Τριγωνοµετρικός αριθµός Στα αγγλικά Ορισµός

ηµίτονο ηµx sinus sinx απέναντι κάθετος

υποτείνουσα

συνηµίτονο συνx cosines cosx προσκείµενη κάθετος

υποτείνουσα

εφαπτοµένη εφx tangent tanx απέναντι κάθετος

προσκείµενη κάθετος

συνεφαπτοµένη σφx cotangent cotx προσκείµενη κάθετος

απέναντι κάθετος

τέµνουσα τεµx secant secx υποτείνουσα

προσκείµενη κάθετος

συντέµνουσα στεµx cosecant cscx υποτείνουσα

απέναντι κάθετος

Ορισµός τριγωνοµετρικών αριθµών για φ>90 Αν θεωρήσουµε ένα σύστηµα συντεταγµένων xΟy και ένα περιστρεφόµενο διάνυσµα ακτίνας ρ µε κέντρο την αρχή, τότε µπορούµε να ορίσουµε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς για γωνίες φ>90. Θεωρούµε την γωνία που γράφει το διάνυσµα ακτίνας ρ από τον θετικό ηµιάξονα Οx ως θετική όταν γίνεται µε αντίθετη φορά από αυτή του ρολογιού και αρνητική όταν γίνεται σύµφωνα µε τη φορά του ρολογιού. Τότε:

άξονα

ς ηµ

ιτόνω

ν

άξονας συνηµιτόνων 0

1

1 -1

-1

άξονας συνεφαπτοµένης

άξονα

ς εφ

απτο

µέν

ης

σφθ

συνθ

ηµ

θ

εφθ

θ

Ο τριγωνοµετρικός κύκλος

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Σηµαντικές σχέσεις 49


ηµφ=y/ρ, συνφ=x/ρ, εφφ=y/x, σφφ=x/y, τεµφ=ρ/x, στεµφ=ρ/y Αν διαλέξουµε ρ=1 τότε έχουµε τον τριγωνοµετρικό κύκλο (όπως στο σχήµα) και οι ορισµοί απλοποιούνται σηµαντικά.

7.2 Σημαντικές σχέσεις

ηµ2θ+συν2θ = 1 εφθ = ηµθ

συνθ σφθ =

συνθ

ηµθ

εφθσφθ=1 τεµθ=1

συνθ στεµθ=

1

ηµθ

Περιοδικότητα Γωνίες που διαφέρουν π Γωνίες µε άθροισµα π ηµ(2kπ+θ)=ηµθ συν(2kπ+θ)=συνθ εφ(kπ+θ)=εφθ σφ(kπ+θ)=σφθ

ηµ(π-θ)=ηµθ συν(π-θ)=-συνθ εφ(π-θ)=-εφθ σφ(π-θ)=-σφθ

ηµ(π+θ)=-ηµθ συν(π+θ)=-συνθ εφ(π+θ)=εφθ σφ(π+θ)=σφθ

Γωνίες που διαφέρουν π/2 Γωνίες µε άθροισµα π/2 Γωνίες αντίθετες

ηµ(π

2-θ)=συνθ

συν(π

2-θ)=ηµθ

εφ(π

2-θ)=σφθ

σφ(π

2-θ)=εφθ

ηµ(π

2+θ)=συνθ

συν(π

2+θ)=-ηµθ

εφ(π

2+θ)=-σφθ

σφ(π

2+θ)=-εφθ

ηµ(-θ)=-ηµθ συν(-θ)=συνθ εφ(-θ)=-εφθ σφ(-θ)=-σφθ

7.3 Τριγωνομετρικοί αριθμοί κυριότερων γωνιών

µοίρες 0 15 18 30 45 60 72 75 90 180 270 360

ακτίνια rad

0

12

10

6

4

3

2

5

5

12

2

3

2 2

ηµθ 0 6 2

4

−

5 1

4

−

1

2

2

2

3

2

10 2 5

4

+

6 2

4

+ 1 0 -1 0

συνθ 1 6 2

4

+ 10 2 5

4

+

3

2

2

2

1

2

5 1

4

−

6 2

4

− 0 -1 0 1

Εφθ 0 2 3− 5 2 5

5

−

3

3 1 3 5 2 5+ 2 3+ +∞ 0 -∞ 0

σφθ +∞ 2 3+ 5 2 5+ 3 1 3

3 5 2 5

5

− 2 3− 0 -∞ 0 +∞

7.4 Τριγωνομετρικές εξισώσεις

ηµx=ηµθ ⇔ x=2kπ+θ x=2kπ+π-θ

εφx=εφθ ⇔ x=kπ+θ

συνx=συνθ ⇔ x=2kπ±θ σφx=σφθ ⇔ x=kπ+θ

50 Άθροισµα, διλάσιο, τριλάσιο, µισό τόξο Μαθηµατικό Τυπολόγιο


7.5 Άθροισμα, διπλάσιο, τριπλάσιο, μισό τόξο Τριγωνοµετρικοί αριθµοί αθροίσµατος Τριγωνοµετρικοί αριθµοί διπλάσιου τόξου

ηµ(α±β)=ηµασυνβ±συναηµβ

συν(α±β)=συνασυνβm ηµαηµβ

εφ(α±β)=εφα εφβ

1 εφαεφβ

±m

σφ(α±β)= σφασφβ 1

σφβ σφα±m

ηµ2α=2ηµασυνα

συν2α=συν2α-ηµ2α =2συν2α-1 =1-2ηµ2α

εφ2α=2

2εφα

1-εφ α

σφ2α=2σφ α -1

2σφα

Τριγ. αριθµοί τριπλάσιου τόξου Τριγ. αριθµοί µισού τόξου

ηµ3α=3ηµα-4ηµ3α συν3α=4συν3α-3συνα

εφ3α=3

2

3εφα - εφ α

1 3εφ α−

σφ3α=3

2

σφ α-3σφα

3σφ α 1−

α 1 συναηµ2 2

−= ±

α 1 συνασυν2 2

+= ±

α 1 συναεφ2 1 συνα

−= ±+

α 1 συνασφ2 1 συνα

+= ±−

7.6 Τύποι αποτετραγωνισμού

ηµ2α=1 συν2α

2

− εφ2α=

1 συν2α

1 συν2α

−+

συν2α=1 συν2α

2

+ σφ2α=

1 συν2α

1 συν2α

+−

7.7 Βασικές ανισότητες -1 ≤ ηµx ≤ 1, -1 ≤ συνx ≤ 1, -∞ ≤ εφx ≤ ∞, -∞ ≤ σφx ≤ ∞,

7.8 Άθροισμα τριγωνομετρικών αριθμών

ηµα+ηµβ=2ηµα β

2

+συν

α-β

2

ηµα-ηµβ=2συνα β

2

+ηµ

α-β

2

συνα+συνβ=2συνα β

2

+συν

α-β

2

συνα-συνβ=2ηµα β

2

+ηµ

α-β

2

εφα+εφβ=ηµ(α β)

συνασυνβ

+

εφα-εφβ=ηµ(α β)

συνασυνβ

−

σφα+σφβ=ηµ(α β)

ηµαηµβ

+

σφα-σφβ=ηµ(α β)

ηµαηµβ

−

Μαθηµατικό Τυπολόγιο ηµα και συνα συναρτήσει της εφ(α/2) 51


7.9 ημα και συνα συναρτήσει της εφ(α/2) ηµα και συνα σαν ρητές συναρτήσεις της εφ(α/2)

Γινόµενα (τύποι του Werner)

ηµα=2

α2εφ

2α

1 εφ2

+

συνα=

2

2

α1 εφ

2α

1 εφ2

−

+

α≠(2k+1)π, k′

ηµαηµβ=1

2[συν(α-β)-συν(α+β)]

ηµασυνβ=1

2[ηµ(α+β)+ηµ(α-β)]

συνασυνβ=1

2[συν(α+β)+συν(α-β)]

7.10 Αναγωγή στο πρώτο τεταρτημόριο

-φ 90±φ 180±φ 270±φ 360±φ 2κ±φ

ηµ -ηµφ συνφ µηµφ -συνφ ±ηµφ

συν συνφ µηµφ -συνφ ±ηµφ συνφ

εφ -εφφ µσφφ ±εφφ µσφφ ±εφφ

σφ -σφφ µεφφ ±σφφ µεφφ ±σφφ

τεµ τεµφ µστεµφ -τεµφ ±στεµφ τεµφ

στεµ -στεµφ τεµφ µστεµφ -τεµφ ±στεµφ

7.11 Μετατροπές μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών γνωστό

↓ ηµx συνx εφx σφx

ηµx ηµx 21 ηµ x± − 2

ηµx

1 ηµ x± −

21 ηµ x

ηµx

± −

συνx 21 συν x± − συνx 21 συν x

συνx

± − 2

συνx

1 συν x± −

εφx 2

εφx

1 εφ x± +

2

1

1 εφ x± + εφx

1

ηµx

σφx 2

1

1 σφ x± +

2

σφx

1 σφ x± +

1

σφx σφx

7.12 Δυνάμεις ημιτόνου, συνημιτόνου

ηµ²α= 12

(1 - συν2α) συν²α= 12

(1 + συν2α)

ηµ³α= 14

(3ηµα - ηµ3α) συν³α= 14

(3συνα + συν3α)

ηµ⁴α= 18

(συν4α – 4συν2α +3) συν⁴α= 18

(συν4α + 4συν2α +3)

ηµ⁵α= 116

(10ηµα – 5ηµ3α + ηµ5α) συν⁵α= 116

(10συνα + 5συν3α + συν5α)

52 Το άθροισµα ηµιτόνου – συνηµιτόνου ως ηµίτονο Μαθηµατικό Τυπολόγιο


ηµ6α= 132

(10 – 15συν2α + 6συν4α –συν6α) συν6α= 132

(10 + 15συν2α + 6συν4α –συν6α)

7.13 Το άθροισμα ημιτόνου – συνημιτόνου ως ημίτονο Για κάθε α, β≠0 η συνάρτηση (παράσταση) ƒ(x)=αηµx+βσυνx µπορεί να γραφεί στη µορφή

ƒ(x)=ρηµ(x+φ) όπου:

ρ= 2 2α β+ και

βηµφ

ρ

ασυνφ

ρ

= =

Άρα maxƒ=ρ και minƒ=-ρ

7.14 Γραφικές παραστάσεις

x

y

−2π −π 0 π 2π

-4

-2

0

2

4

ƒ(x)=εφx

x

y

−2π −π 0 π 2π

-4

-2

0

2

4

ƒ(x)=σφx

x

y

−2π −π 0 π 2π

-2

-1

0

1

2

ƒ(x)=ηµx

x

y

−2π −π 0 π 2π

-2

-1

0

1

2

ƒ(x)=συνx

x

y

−2π −π 0 π 2π

-4

-2

0

2

4

ƒ(x)=τεµx

x

y

−2π −π 0 π 2π

-4

-2

0

2

4

ƒ(x)=στεµx

Για τις αντίστροφες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις δες το κεφάλαιο Συναρτήσεις σελ 60

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Είλυση Τριγώνου 53


7.15 Επίλυση Τριγώνου Έστω τρίγωνο ΑΒΓ µε γωνίες Α, Β και Γ και πλευρές α, β και γ απέναντι από τις αντίστοιχες γωνίες. Τότε ισχύουν:

Α+Β+Γ=180ο

77..1155..11 ΘΘεεώώρρηηµµαα ηηµµιιττόόννωωνν

α

ηµΑ=

β

ηµΒ=

γ

ηµΓ=2R

όου α, β, γ οι λευρές και Α, Β, Γ οι γωνίες ενός τριγώνου και R η ακτίνα του εριγεγραµµένου κύκλου

77..1155..22 ΘΘεεώώρρηηµµαα σσυυννηηµµιιττόόννωωνν α2 = β2 + γ2 - 2βγσυνΑ, β2 = γ2 + α2 - 2γασυνΒ, γ2 = α2 + β2 - 2αβσυνΓ

77..1155..33 ΘΘεεώώρρηηµµαα εεφφααττοοµµέέννωωνν

Α Βεφα β 2α β Α Βεφ

2

−−

=+ +

,

Β Γεφβ γ 2β γ Β Γεφ

2

−−

=+ +

,

Γ Αεφγ α 2γ α Γ Αεφ

2

−−

=+ +

77..1155..44 ΘΘεεώώρρηηµµαα ρροοββοολλώώνν α=βσυνΓ+γσυνΒ, β=γσυνΑ+ασυνΓ, γ=ασυνΒ+βσυνΑ

77..1155..55 ΤΤύύοοιι ττοουυ BBrriigggg

Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ µε ηµιπερίµετρο τ=α β γ

2

+ + ισχύουν οι παρακάτω τύποι

(τ β)(τ γ)Αηµ2 βγ

− −=

τ(τ α)Ασυν2 βγ

−=

(τ γ)(τ α)Βηµ2 γα

− −=

τ(τ β)Βσυν2 γα

−=

(τ α)(τ β)Γηµ2 αβ

− −=

τ(τ γ)Γσυν2 αβ

−=

( )(τ β)(τ γ)Αεφ

2 τ τ α

− −=

−

( )(τ γ)(τ α)Βεφ

2 τ τ β

− −=

−

( )(τ α)(τ β)Γεφ

2 τ τ γ

− −=

−

77..1155..66 ΕΕµµββααδδόό ττρριιγγώώννοουυ Έστω Ε το εµβαδό (area) του τριγώνου, τ η ηµιπερίµετρος, R η ακτίνα του περιγεγραµµένου κύκλου και r η ακτίνα του εγγεγραµµένου κύκλου του τριγώνου. Τότε ισχύουν οι τύποι:

Ε= 12

αβηµΓ = 12

βγηµΑ= 12

αγηµΒ

Ε= τ(τ α)(τ β)(τ γ)− − − ο τύπος του Ήρωνα

Ε=2α ηµΒηµΓ

2ηµΑ=

2β ηµΓηµΑ

2ηµΒ=

2γ ηµΑηµΒ

2ηµΓ

Ε=τr

Ε=αβγ

4R

Ε=2R²ηµΑηµΒηµΓ

Ε=r²σφ A2

σφ B2

σφ Γ2

Ε=τ² εφ A2

εφ B2

εφ Γ2

Ε=(τ α)(τ β)(τ γ)

r

− − −

54 Είλυση Τριγώνου Μαθηµατικό Τυπολόγιο


Οι ίδιοι τύποι λύνονται ως προς r και R και µας δίνουν τις ακτίνες εγγεγραµµένου και περιγεγραµµένου κύ-κλου του τριγώνου

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Ορισµοί 55


8 Συναρτήσεις 8.1 Ορισμοί Συνάρτηση είναι µία διαδικασία ƒ που αντιστοιχεί σε κάθε τιµή x ενός συνόλου Α µία µόνο τιµή y ενός συ-νόλου Β. Σχηµατικά:

Ονοµάζουµε:

Πεδίο Ορισµού (domain): το σύνολο Α, Πεδίο Τιµών (range): το σύνολο Β Ανεξάρτητη µεταβλητή: το x Εξαρτηµένη µεταβλητή: το y Αρχέτυπο του y: το x Εικόνα του x: το y

Γράφουµε:

ƒ:Α→Β, Α f→ Β

x→ƒ(x) x f→ y

y=ƒ(x) ƒ(x)=…(τύπος) Αν η συνάρτηση έχει αναλυτικό τύπο τότε γράφουµε τον τύπο της και το πεδίο ορισµού της Α.

π.χ.1 : ∆ίνεται η συνάρτηση (ƒ µε τύπο) ƒ(x)=2x²-1, µε Α=ϒ+, ή

π.χ.2: g(x)=1, αν x ρητός

0, αν x άρρητος

, µε x∈ϒ

8.2 Άρτια συνάρτηση: ∀ x∈Α, -x∈Α και ƒ(-x)=ƒ(x). Η άρτια συνάρτηση είναι συµµετρική ως προς τον άξονα y’y

8.3 Περιττή συνάρτηση: ∀ x∈Α, -x∈Α και ƒ(-x)=-ƒ(x). Η περιττή συνάρτηση είναι συµµετρική ως προς την αρχή των αξόνων Ο

x

y

-2 0 2

-2

0

2

Άρτια συνάρτηση ƒ(x)=x²συνx

x

y

-5

0 5

-5

0

5

Περιττή συνάρτηση ƒ(x)=συνx/x

8.4 Συνάρτηση ένα προς ένα 1-1: Μία συνάρτηση λέγεται 1-1 αν: ƒ(x1)=ƒ(x2) ⇒ x1=x2

Εναλλακτικά: x1≠x2 ⇒ ƒ(x1)≠ƒ(x2)

Α Β

ƒ

α

η

κ

µ

Κ

Π

Ν

Η

56 Αντίστροφη συνάρτηση Μαθηµατικό Τυπολόγιο


8.5 Αντίστροφη συνάρτηση Κάθε 1-1 συνάρτηση ƒ:Α→Β έχει αντίστροφη συνάρτηση

που συµβολίζεται µε ƒ-1 έτσι ώστε: Αν ƒ(x)=y τότε ƒ-1(y)=x Ισχύει:

ƒ-1(ƒ(x))=x Η αντίστροφη έχει γράφηµα συµµετρικό ως προς την διχο-τόµο 1ης - 3ης γωνίας των αξόνων.

Το πεδίο ορισµού Α’ της ƒ-1 είναι το ƒ(Α)

x

y

-2

0 2

-2

0

2

8.6 Περιοδική συνάρτηση Λέγεται η συνάρτηση ƒ για την οποία ισχύει ƒ(x+Τ)=ƒ(x-Τ)=ƒ(x). Εννοείται x, x+Τ, x-Τ ∈Α. Ο µικρότε-

ρος από τους αριθµούς Τ λέγεται ερίοδος της συνάρτησης ƒ.

Παράδειγµα: η συνάρτηση ηµίτονο: ƒ(x)=ηµx γιατί ηµ(x+2π)=ηµ(x)

x

y

−3π −2π −π 0 π 2π 3π

-1

0

1T

8.7 Μονότονες συναρτήσεις Αύξουσα είναι η συνάρτηση ƒ όταν για x1<x2 ⇒ ƒ(x1)≤ƒ(x2)

Φθίνουσα είναι η συνάρτηση ƒ όταν για x1<x2 ⇒ ƒ(x1)≥ƒ(x2)

8.8 Σύνθεση συναρτήσεων Έστω ƒ:Α→Β και g:Β→Γ δύο συναρτήσεις. Ορίζουµε την σύνθεση gοƒ ως εξής:

gοƒ:Α’→Γ µε τιµή (gοƒ)(x)=g(ƒ(x)) και πεδίο ορισµού Α΄=x∈Α/ƒ(x)∈Β

8.9 Ακρότατα συνάρτησης

88..99..11 ΜΜέέγγιισσττοο::

Μία συνάρτηση ƒ παρουσιάζει µέγιστο (maximum) στο xο αν ∀x∈Α, ισχύει ƒ(x)≤ƒ(xο)

Η τιµή ƒ(xο) ονοµάζεται µέγιστο της ƒ και συµβολίζεται maxƒ

88..99..22 ΕΕλλάάχχιισσττοο::

Μία συνάρτηση ƒ παρουσιάζει ελάχιστο (minimum) στο xο αν ∀x∈Α, ισχύει ƒ(x)≥ ƒ(xο)

Η τιµή ƒ(xο) ονοµάζεται ελάχιστο της ƒ και συµβολίζεται minƒ

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Κυρτότητα και σηµεία καµής 57


8.10 Κυρτότητα και σημεία καμπής Μία συνάρτηση λέγεται κυρτή (concavity) αν στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω, δηλαδή το γράφηµά της είναι της

µορφής ∪. Μία συνάρτηση είναι κοίλη (convexity) όταν στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω, δηλαδή το γράφηµά της

είναι της µορφής ∩. Το σηµείο xο στο οποίο έχουµε αλλαγή κυρτότητας και στο οποίο υπάρχει η πρώτη παράγωγος λέγεται σηµείο καµής (turning point)

8.11 Μερικές χρήσιμες γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων

x

y

-2 0 2 0

2

4

ƒ(x)=x2 (παραβολή)

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-2

0

2

4

6

ƒ(x)=2x2+6x+1 (παραβολή)

x

y

-15 -10 -5 0 5 10 15

-5

0

5

10

ƒ(x)=2x+1 (γραµµική)

x

y

-15 -10 -5 0 5 10 15

-5

0

5

10

ƒ(x)=-2x+5 (γραµµική)

x

y

0 2 4 6 0

1

2

3

ƒ(x)= x

x

y

-5 0 5

-4

-2

0

2

4

ƒ(x)=1/x (υπερβολή)

Ο x

y

Cƒ

εφαπτοµένη

Κυρτή

Κοίλη

Σηµείο Καµπής

58 Η γραµµική συνάρτηση y = ((x) = λx+β Μαθηµατικό Τυπολόγιο


8.12 Η γραμμική συνάρτηση y = ƒƒƒƒ(x) = λx+β Είναι ευθεία γραµµή µε συντελεστή διεύθυνσης λ. Τέµνει τους άξονες στα σηµεία: Άξονας x: (-β/λ, 0) Άξονας y: (0, β) Ισχύει:

λ>0 Η συνάρτηση είναι αύξουσα

λ<0 Η συνάρτηση είναι φθίνουσα

λ=0 Η συνάρτηση είναι σταθερή

∆ύο ευθείες είναι παράλληλες αν λ1=λ2 και κάθετες αν λ1λ2=-1

8.13 Η τετραγωνική συνάρτηση y=ƒƒƒƒ(x)=αx²+βx+γ Το γράφηµά της είναι παραβολή µε τον άξονά της παράλληλο µε τον άξονα y.

Η κορυφή της παραβολής είναι στο σηµείο Α=β ∆

,2α 4α

− −

όπου ∆=β²-4αγ

Ο άξονας της παραβολής έχει εξίσωση β

x2α

= −

Ισχύουν ακόµα:

α>0 Η συνάρτηση είναι κυρτή, και έχει ελάχιστο στο σηµείο Α

α<0 Η συνάρτηση είναι κοίλη, και έχει µέγιστο στο σηµείο Α

Αν β και γ είναι µηδέν η παραβολή µε εξίσωση y=αx² έχει την κορυφή της στην αρχή των αξόνων και ο άξο-

νάς της ταυτίζεται µε τον άξονα y. Σε αυτή την περίπτωση η συνάρτηση είναι άρτια ƒ(-x)=ƒ(x)

8.14 Η συνάρτηση y=ƒƒƒƒ(x)=αxn Για n>0 άρτιο είναι συµµετρική ως προς τον y-άξονα, φθίνουσα και αύξουσα (άρτια συνάρτηση) ενώ για n>0 περιττό είναι συµµετρική ως προς την αρχή των αξόνων (περιττή) και παντού αύξουσα.

x

y

-2 0 2

0

5

10

ƒ(x)=x2k

x

y

-2 0 2

-4

-2

0

2

4

ƒ(x)=x2k+1

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Η συνάρτηση νιοστή ρίζα του x 59


Για n<0 άρτιο είναι συµµετρική ως προς τον y-άξονα (άρτια συνάρτηση), αύξουσα και φθίνουσα, ενώ για n<0 περιττό είναι συµµετρική ως προς την αρχή των αξόνων (περιττή) φθίνουσα κατά διαστήµατα

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6 0

2

4

6

8

ƒ(x)=x-2k

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-4

-2

0

2

4

ƒ(x)=x-(2k+1)

8.15 Η συνάρτηση νιοστή ρίζα του x

Θεωρούµε τη συνάρτηση y=ƒ(x) = n x Για n άρτιο ορίζεται για x≥0 Για n περιττό είναι περιττή συνάρτηση (συµµετρία ως

προς την αρχή) και ορίζεται για κάθε x∈ϒ Στο διπλανό σχήµα:

y1= x (λαδί)

y2=3 x (µπλε)

y3=6 x (κόκκινο)

x

y

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

8.16 Η εκθετική συνάρτηση Ορίζεται ως η ƒ:ϒ→ϒ+ µε ƒ(x)=αx (µε α∈ϒ+) Αν α>1 η συνάρτηση είναι αύξουσα, αν α=1 είναι σταθερή και για α<1 είναι φθίνουσα. Η συνάρτηση είναι 1-1

8.17 Η λογαριθμική συνάρτηση Αν ƒ(x)=αx η εκθετική συνάρτηση, τότε η αντίστροφή της είναι η λογαριθµική συνάρτηση µε ορισµό:

ƒ-1:ϒ*+→ϒ µε τύπο ƒ-1(x)=logαx, µε α>0 και α≠1

Αν α=10 έχουµε τον δεκαδικό λογάριθµο logx Αν α=e=2,718… έχουµε τον νεπέριο ή φυσικό λογάριθµο lnx

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

2

4

6

8

10

α>1, αύξουσα

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

2

4

6

8

10

α<1, φθίνουσα

60 Οι αντίστροφες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις Μαθηµατικό Τυπολόγιο


Η λογαριθµική είναι 1-1, αύξουσα αν α>1 και φθίνουσα αν α<1

x

y

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-4

-2

0

2

4

6

Η συνάρτηση ƒ(x)=logx

x

y

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-4

-2

0

2

4

6

Η συνάρτηση ƒ(x)=logx και η g(x)= 1

10log x

Είναι συµµετρικές ως προς τον άξονα x’x

x

y

0 2 4 6 8 10 12 14

-4

-2

0

2

4

6

Η συνάρτηση ƒ(x)=lnx

x

y

0 2 4 6 8 10 12 14

-4

-2

0

2

4

6

y=lnx

y=logx

Οι συναρτήσεις ƒ(x)=lnx και g(x)=logx

x

y

-2 0 2 4

-2

0

2

4

Οι συναρτήσεις ƒ(x)=10x

και ƒ-1(x)=logx είναι η µία αντί-στροφη της άλλης.

Είναι συµµετρικές

ως προς τη διχοτόµο 1ου – 3ου τεταρτηµορίου

Το ίδιο οι συναρτήσεις ex και lnx

8.18 Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις Αν y=ηµx τότε x=ηµ-1y ή x=τοξηµy (τόξο ηµιτόνου y).

Η συνάρτηση ƒ(x) =τοξηµx ορίζεται για -π

2≤x≤

π

2, αγγλικά arcsinx ή sin-1x

y=τοξσυνx αντίστροφη του συνx, ορίζεται για 0≤x≤π, αγγλικά arcosx ή cos-1x

y=τοξεφx αντίστροφη της εφx, ορίζεται για -π

2<x<

π

2, αγγλικά arctanx, ή tan-1x

y=τοξσφx αντίστροφη της σφx, ορίζεται για 0<x<π, αγγλικά arcotx, ή cot-1x

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Οι αντίστροφες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις 61


88..1188..11 ΣΣχχέέσσεειιςς µµεεττααξξύύ ααννττίίσσττρροοφφωωνν ττρριιγγωωννοοµµεεττρριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν Για x>0 ισχύουν:

τοξηµx = τοξσυν 21 x− = τοξεφ2

x

1 x−

τοξσυνx = τοξηµ 21 x− = τοξσφ2

x

1 x−

τοξεφx = τοξσφ1

x = τοξηµ

2

x

1 x+ = τοξσυν

2

1

1 x+

88..1188..22 ΆΆθθρροοιισσµµαα ΑΑννττίίσσττρροοφφωωνν ττρριιγγωωννοοµµεεττρριικκώώνν

τοξηµx+τοξσυνx=π

2 τοξεφx+τοξσφx=

π

2

88..1188..33 ΑΑρρννηηττιικκόό όόρριισσµµαα ααννττίίσσττρροοφφωωνν ττρριιγγωωννοοµµεεττρριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν τοξηµ(-x)= - τοξηµx τοξεφ(-x)= - τοξεφx τοξσυν(-x)= - τοξσυνx + π τοξσφ(-x)= - τοξσφx + π

88..1188..44 ΓΓρρααφφιικκέέςς ααρραασσττάάσσεειιςς ααννττίίσσττρροοφφωωνν ττρριιγγωωννοοµµεεττρριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν

x

y

−π −0,5π 0 0,5π π

-2

0

2

y=τοξηµx

x

y

−π −0,5π 0 0,5π π

0

2

4

y=τοξσυνx

x

y

−π −0,5π 0 0,5π π

-2

0

2

y=τοξεφx

x

y

−2π −π 0 π 2π

-4

-2

0

2

4

y=τοξσφx

62 Υερβολικές συναρτήσεις Μαθηµατικό Τυπολόγιο


8.19 Υπερβολικές συναρτήσεις

88..1199..11 ΟΟρριισσµµόόςς Οι συναρτήσεις αυτές ορίζονται µε παρόµοια τρό-πο µε τις τριγωνοµετρικές αλλά θεωρώντας µία υ-περβολή και όχι κύκλο Αν θεωρήσουµε την υπερβολή x² - y² = α² τότε αν Ρ(x, y) σηµείο της υπερβολής τότε το υπερβολικό ηµίτονο της γωνίας α είναι ο λόγος y δια ΟΕ, το υπερβολικό συνηµίτονο είναι ο λόγος x δια ΟΕ και η υπερβολική εφαπτοµένη είναι ο λόγος y/x

Υπερβολικό ηµίτονο sinhα = AP

OE

uuur

Υπερβολικό συνηµίτονο coshα = OA

OE

uuur

Υπερβολική εφαπτοµένη tanhα = EB

OE

uuur

uuur = AP

OA

uuur

uuur = sinh α

cosh α

Υπερβολική συνεφαπτοµένη cothα = ΟE

OΒ

uuur

uuur = 1

tanh α

Υπερβολική τέµνουσα sechα = OE

OAuuur =

1

cosh α

Υπερβολική συντέµνουσα cschα = OE

APuuur =

1

sinh α

88..1199..22 ΟΟιι υυεερρββοολλιικκέέςς σσυυννααρρττήήσσεειιςς ωωςς εεκκθθεεττιικκάά

x xe e

sinh x2

−−=

x xe ecosh x

2

−+=

x x

2sech x

e e−=

+

x x

x x

e etanh x

e e

−

−

−=

+

x x

x x

e ecoth x

e e

−

−

+=

−

x x

2csch x

e e−=

−

88..1199..33 ΣΣχχέέσσεειιςς µµεεττααξξύύ υυεερρββοολλιικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν cosh²x - sinh²x = 1 sech²x + tanh²x = 1 csch²x + coth²x = 1

88..1199..44 ΠΠεερριιοοδδιικκόόττηητταα υυεερρββοολλιικκώώνν ττρριιγγωωννοοµµεεττρριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν

sinh(2kπi + x) = sinhx περίοδος 2πi, cosh(2kπi + x) = coshx περίοδος 2πi

sech((2kπi + x) = sechx περίοδος 2πi, csch((2kπi + x) = cschx περίοδος 2πi

tanhx(kπi + x) = tanhx περίοδος πi, cothx(kπi + x) = cothx περίοδος πi k = 0 ±1, ±2, …

88..1199..55 ΑΑρρννηηττιικκάά οορρίίσσµµαατταα sinh(-x)=-sinhx tanh(-x)=-tanhx sech(-x)=sechx cosh(-x)=coshx coth(-x)=-cothx csch(-x)=cschx

88..1199..66 ΤΤύύοοιι ΑΑθθρροοιισσµµάάττωωνν sinh(x±y)=sinhxcoshy±coshxsinhy cosh(x±y)=coshxcoshy±sinhxsinhy

tanh x tanh ytanh(x y)

1 tanh x tanh y

±+ =

±

coth x coth y 1coth(x y)

coth x coth y

±+ =

x

y

-2 0 2 4 6 8 10 12

-6

-4

-2

0

2

4

E AO

P

B

a

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Υερβολικές συναρτήσεις 63


88..1199..77 ∆∆ιιλλάάσσιιαα γγωωννίίαα sinhx = 2sinhxcoshx coshx = cosh²x-sinh²x = 2cosh²x-1 = 1-2sinh²x

tanhx=2

2 tanh x

1 tanh x+

88..1199..88 ΤΤύύοοιι µµιισσήήςς γγωωννίίααςς

x cosh x 1sinh

2 2

−= ± , + αν x>0 και – αν x<0

x cosh x 1cosh

2 2

+=

x cosh x 1 sinh x cosh x 1tanh

2 cosh x 1 cosh x 1 sinh x

− −= ± = =

+ +, + αν x>0 και – αν x<0

88..1199..99 ∆∆υυννάάµµεειιςς υυεερρββοολλιικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν

sinh²x=1 1

cosh 2x2 2

− cosh²x=1 1

cosh 2x2 2

+

sinh³x=1 3

sinh 3x sinh x4 4

− cosh³x=1 3

cosh 3x cosh x4 4

+

sinh⁴x=3 1 1

cosh 2x cosh 4x8 2 8− + cosh⁴x=

3 1 1cosh 2x cosh 4x

8 2 8+ +

88..1199..1100 ΑΑθθρροοίίσσµµαατταα –– δδιιααφφοορρέέςς –– γγιιννόόµµεενναα υυεερρββοολλιικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν

sinhx+sinhy=x y x y

2sinh cosh2 2

+ − sinhx–sinhy =

x y x y2 cosh sinh

2 2

+ −

coshx+sinhy=x y x y

2 cosh cosh2 2

+ − coshx–sinhy =

x y x y2sinh sinh

2 2

+ −

sinhxsinhy= ( )1cosh(x y) cosh(x y)

2+ − − coshxcoshy= ( )1

cosh(x y) cosh(x y)2

+ + −

sinhxcoshy= ( )1sinh(x y) sinh(x y)

2+ + −

88..1199..1111 ΥΥεερρββοολλιικκέέςς σσυυννααρρττήήσσεειιςς σσεε σσχχέέσσηη µµεε άάλλλλεεςς

sinhx=u coshx=u tanhx=u cothx=u sechx=u cschx=u

sinhx u 2u 1− 2

u

1 u−

2

1

u 1−

21 u

u

−

1

u

coshx 21 u+ u 2

1

1 u−

2

u

u 1−

1

u

21 u

u

+

tanhx 2

u

1 u+

2u 1

u

− u

1

u 21 u− 2

1

1 u+

cothx 21 u

u

+ 2

u

u 1−

1

u u

2

1

1 u− 21 u+

sechx 2

1

1 u+

1

u 21 u−

2u 1

u

− u

2

u

1 u+

cschx 1

u

2

1

u 1−

21 u

u

− 2u 1− 2

u

1 u− u

υποθέτουµε x>0

64 Υερβολικές συναρτήσεις Μαθηµατικό Τυπολόγιο


88..1199..1122 ΓΓρρααφφιικκέέςς ααρραασσττάάσσεειιςς υυεερρββοολλιικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν

x

y

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

y=sinhx

x

y

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

-2

0

2

4

6

8

10

y=coshx

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

y=tanhx

x

y

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

y=cothx

x

y

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

0

0,5

1

y=sechx

y=sechx

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-10

-5

0

5

10

y=cschx

y=cschx

x

y

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

-4

-2

0

2

4

6

y=coshx

y=sinhx

sinhx και coshx µαζί

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

y=tanhx

y=cothx

tanhx και cothx µαζί

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Αντίστροφες υερβολικές συναρτήσεις 65


8.20 Αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις Αν y=sinhx τότε η x=sinh-1y λέγεται αντίστροφο υπερβολικό ηµίτονο. Γενικά είναι πλειονότιµες συναρτή-σεις και γι’ αυτό περιοριζόµαστε στις πρωτεύουσες τιµές στις οποίες µπορούν να θεωρηθούν µονότιµες. Η παρακάτω λίστα δίνει τις πρωτεύουσες τιµές των αντίστροφων τριγωνοµετρικών σε σχέση µε τις λογαριθµικές συναρτήσεις.

( )1 2sinh x ln x x 1 , - x− = + + ∞ < < +∞ ( )1 2cosh x ln x x 1 , x 1− = + − ≥

1 1 1 xtanh x ln , -1 x 1

2 1 x

− + = < < − 1 1 x 1

coth x ln , x 1 ή x<12 x 1

− + = > −

1

2

1 1sech x ln 1 , 0<x 1

x x

− = + − ≤

1

2

1 1csc h x ln 1 , x=0

x x

− = + + /

88..2200..11 ΣΣχχέέσσεειιςς µµεεττααξξύύ ααννττίίσσττρροοφφωωνν υυεερρββοολλιικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν csch-1x=sinh-1(1/x) sech-1x=cosh-1(1/x) coth-1x=tanh-1(1/x) sinh-1(-x)=- sinh-1x tanh-1(-x)=- tanh-1x coth-1(-x)=- coth-1x csch-1(-x)=- csch-1x

88..2200..22 ΓΓρρααφφιικκέέςς ααρραασσττάάσσεειιςς ααννττίίσσττρροοφφωωνν ττρριιγγωωννοοµµεεττρριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν

x

y

-20 -10 0 10 20

-10

0

10

y=sinh-1x

x

y

0 5 10 15 20 25

0

2

4

y=cosh-1x

x

y

-2 -1 0 1 2

-6

-4

-2

0

2

4

6

y=tanh-1x

x

y

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-5

0

5

y=coth-1x

66 Αειροσειρές Μαθηµατικό Τυπολόγιο


x

y

0 0,5 1 1,5 2

0

5

10

15

y=sech-1x

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

y=csch-1x

88..2200..33 ΣΣχχέέσσηη υυεερρββοολλιικκώώνν κκααιι ττρριιγγωωννοοµµεεττρριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν

Στα παρακάτω i είναι η φανταστική µονάδα µε i= 2− sin(ix)=isinhx tan(ix)=itanhx sec(ix)=sechx cos(ix)=coshx cot(ix)=-icothx csc(ix)=-icschx sinh(ix)=isinx tanh(ix)=itanx sech(ix)=secx cosh(ix)=cosx coth(ix)=-icotx csch(ix)=-icscx sin-1(ix)=isinh-1x tan-1(ix)=itanh-1x sec-1x=±isech-1x cos-1x=±icosh-1x cot-1(ix)=icoth-1x csc-1(ix)=-icsch-1x sinh-1(ix)=isin-1x tanh-1(ix)=itan-1x sech-1x=±isec-1x cosh-1x=±icos-1x coth-1(ix)=-icot-1x csch-1(ix)=-icsc-1x

8.21 Απειροσειρές Πολλές συναρτήσεις δεν είναι παρά ονόµατα που δίνουµε σε απειροσειρές. Οι χρησιµότερες από αυτές είναι οι παρακάτω:

2 311 x x x

1 x= + + + +

−L Γεωµετρική σειρά, συγκλίνει για x 1<

2 α

n

α 1

x n! x(1 x) 1 nx n(n 1)

2! (n α)! α !

∞

=

+ = + + − + =−∑L ∆υωνυµική σειρά.

2 3 αx

α 0

x x xe 1 x

2! 3! α !

∞

=

= + + + + = ∑L

3 5x xsin x ηµx x

3! 5!= = − + − +L

2 4x xcos x συνx 1

2! 4 != = − + − +L

2 3 4x x xln x x

2! 3! 4 != − + − + −L

3 51 x x

tan x arctan x τοξεφx x , x 13 5

− = = = − + − + <L

3 5x xsinh x x , x

3! 5!= + + + − ∞ < < +∞L

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Αειροσειρές 67


2 4x xcosh x 1 , x

2! 4 != + + + − ∞ < < +∞L

68 Όριο συνάρτησης Μαθηµατικό Τυπολόγιο


9 Ανάλυση 9.1 Όριο συνάρτησης Έστω ƒ:Α→ϒ συνάρτηση και xο σηµείο συσσώρευσης του Α (δηλαδή η διαφορά |x-xο| µπορεί να γίνει ο-

σοδήποτε µικρή για x∈Α). Το xο µπορεί να µην ανήκει στο πεδίο ορισµού της Α.

Ονοµάζουµε όριο της συνάρτησης ƒ(x) όταν x→xο τον αριθµό ℓ όταν για κάθε ε>0, οσοδήοτε µικρό, µορούµε να

βρούµε αριθµό δ>0 έτσι ώστε |ƒ(x)-ℓ|<ε όταν |x-xο|<δ

Λέµε τότε ότι η ƒ τείνει στο ℓ όταν το x τείνει στο xο, σχηµατικά: ƒ(x)→ℓ όταν x→xο ή ox x

lim f(x)→

= l

99..11..11 ΠΠλλεευυρριικκάά όόρριιαα

Όταν ƒ(x)→ℓ καθώς το x→xο από πάνω (x>xο) ή από κάτω (x<xο) λέµε ότι έχουµε πλευρικό όριο και γρά-φουµε

ox xlim f(x)→ +

= l ή ox x

lim f(x)→ −

= l αντίστοιχα.

Μία συνάρτηση δεν έχει όριο στο xο αν o ox x x x

lim f(x) lim f(x)→ + → −

=

99..11..22 ΌΌρριιοο σσττοο άάεειιρροο

Αν για δοσµένο ε>0 µπορούµε να διαλέξουµε ξ αρκετά µεγάλο ώστε για χ>ξ να ισχύει |ƒ(x)-ℓ|<ε τότε γράφουµε

xlim f(x)→∞

= ℓ

99..11..33 ΆΆεειιρροο όόρριιοο

Αν για οσοδήποτε µεγάλο Μ>0, µπορούµε να διαλέξουµε δ>0 ώστε για |x-xο|<δ να ισχύει ƒ(x)>Μ τότε

γράφουµε ox x

lim f(x)→

= +∞

Αν για οσοδήποτε µικρό Μ<0, µπορούµε να διαλέξουµε δ>0 ώστε για |x-xο|<δ να ισχύει ƒ(x)<Μ τότε

γράφουµε ox x

lim f(x)→

= -∞

Αν ox x

lim ƒ(x) 0→

= και ƒ(x)>0 σε µία περιοχή του xo τότε ox x

1lim

ƒ(x)→= +∞

Αν ox x

lim ƒ(x) 0→

= και ƒ(x)<0 σε µία περιοχή του xo τότε ox x

1lim

ƒ(x)→= −∞

Π.x. x 1

1lim

x 1→ −= −∞

−, ενώ

x 1

1lim

x 1→ += +∞

− (ενώ το

x 1

1lim

x 1→ −δεν υπάρχει)

99..11..44 ΠΠρρόόσσηηµµοο ττιιµµώώνν σσυυννάάρρττηησσηηςς Ένα επακόλουθο του ορισµού:

Αν ox x

lim f(x)→

= l µε ℓ≠0 τότε η ƒ(x) θα έχει το ίδιο πρόσηµο µε το ℓ σε κάποιο διάστηµα του xο, που δεν

περιέχει το xο.

99..11..55 ΌΌρριιοο ααθθρροοίίσσµµααττοοςς,, γγιιννόόµµεεννοουυ κκλλ

Αν ƒ(x)→ℓ1 και g(x)→ℓ2 όταν x→xο τότε:

ƒ(x)+g(x)→ℓ1+ℓ2 ƒ(x)⋅g(x)→ℓ1⋅ℓ2

ƒ(x)-g(x)→ℓ1-ℓ2 1

2

ƒ(x)

g(x)→

l

l, αν ℓ2≠0

cƒ(x)→cℓ1 n n1ƒ(x) → l

1ƒ( x )k k→ l lnƒ(x)→lnℓ1

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Συνέχεια συνάρτησης (continuity) 69


99..11..66 ΚΚρριιττήήρριιοο ααρρεεµµββοολλήήςς

Αν ισχύει g(x)<ƒ(x)<t(x) για µία περιοχή του xο, και o ox x x x

lim g(x) lim t(x)→ →

= = l τότε ισχύει και ox x

lim f(x)→

= l

99..11..77 ΜΜεερριικκάά σσηηµµααννττιικκάά όόρριιαα x

x

1lim 1 e 2,71828...

x→∞

+ = =

( )1

x

x 0lim 1 x e→

+ =

n nn 1

x α

x αlim nα

x α

−

→

−=

−

x

α

x

αlim 1 e

x→∞

+ =

xx

1, για α<11

lim 1 2 , για α=11 α

0, για α>1→∞

= +

x

x 0

α 1lim ln α, (α>0)

x→

−=

n

n

αlim 0, n

n !→∞= ∈

n

xx

xlim 0, α>1, n

α→∞= ∈

x 0

ηµxlim 1

x→=

x 0

ηµαxlim α

x→=

x 0

ηµαx αlim

ηµβx β→=

x

ηµxlim 0

x→∞=

x 0

εφxlim 1

x→=

x 0

εφαxlim α

x→=

x 0

εφαx αlim

εφβx β→=

9.2 Συνέχεια συνάρτησης (continuity)

99..22..11 ΣΣεε έένναα σσηηµµεείίοο xxοο

Μία συνάρτηση ƒ ονοµάζεται συνεχής στο σηµείο xο αν (α) είναι ορισµένη σε µία περιοχή του xο (β) υπάρ-χει το όριο

ox xlim f(x)→

και (γ) ox x

lim f(x)→

=f(xo)

Μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σηµείο xο αν και µόνο αν για κάθε ε>0 µπορούµε να βρούµε δ>0 έτσι

ώστε για |x-xο| < δ να ισχύει |ƒ(x)-ƒ(xο)|<ε

99..22..22 ΣΣεε έένναα δδιιάάσσττηηµµαα Μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστηµα, κλειστό ή ανοιχτό, αν είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του δια-στήµατος. Για κλειστό διάστηµα [α, β] πρέπει να ισχύει και

x αlim f(x) f(α)→ +

= και x βlim f(x) f(β)→ −

=

99..22..33 ΣΣυυννααρρττήήσσεειιςς οουυ εείίννααιι σσυυννεεχχεείίςς

Η σταθερή συνάρτηση ƒ(x)=c

Κάθε πολυωνυµική συνάρτηση ƒ(x)=αοxn+α1x

n-1+…+αn

Οι ρητές συναρτήσεις ƒ(x)=P(x)/Q(x), όπου P(x) και Q(x) πολυωνυµικές συναρτήσεις, είναι συνεχείς παντού

εκτός από τα πεπερασµένα σηµεία στα οποία η Q(x) µηδενίζεται στα οποία η ƒ(x) δεν ορίζεται.

Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ƒ1(x)=ηµx και ƒ2(x)=συνx. Η εφx και σφx σε κάθε σηµείου του πεδίου ορι-σµού τους.

Η εκθετική και η λογαριθµική συνάρτηση ƒ(x)=αx και ƒ(x)=logαx

99..22..44 ΣΣυυννέέεειιεεςς σσυυννέέχχεειιααςς

% Αν η ƒ είναι συνεχής στο xο και ƒ(xο)≠0 τότε η ƒ(x) διατηρεί το ίδιο πρόσηµο µε την ƒ(xο) για κάποιο κατάλληλα περιορισµένο διάστηµα του x

70 Συνέχεια συνάρτησης (continuity) Μαθηµατικό Τυπολόγιο


% Αν οι ƒ(x) και g(x) είναι συνεχείς στο xο τότε το ίδιο είναι και οι συναρτήσεις ƒ(x)+g(x), ƒ(x)-g(x),

ƒ(x)⋅g(x), ƒ(x)/g(x), αν g(xο)≠0

% Αν η ƒ(x) είναι συνεχής στο xο και η g(x) συνεχής στο y=ƒ(x) τότε η g(ƒ(x)) είναι συνεχής στο xο.

% Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστηµα είναι φραγµένη σε αυτό.

% Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστηµα παίρνει τη µεγαλύτερη και τη µικρότερη τιµή της τουλάχιστο µία φορά στο διάστηµα αυτό.

% Οι τιµές µίας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β] αποτελούν είναι φραγµένο σύνολο

99..22..55 ΘΘεεωωρρήήµµαατταα εεννδδιιααµµέέσσωωνν ττιιµµώώνν Αν µία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β] και διαφέρει κατά πρόσηµο στα ακραία ση-µεία του διαστήµατος τότε πρέπει να µηδενίζεται σε κάποιο εσωτερικό σηµείο του διαστήµατος

Έστω µία συνάρτηση ƒ(x) συνεχής σε ένα διάστηµα [α, β] και ƒ(α)≠ƒ(β). Αν µ ένας αριθµός µεταξύ ƒ(α)

και ƒ(β) τότε η ƒ(x) παίρνει την τιµή µ τουλάχιστο µία φορά στο διάστηµα.

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Παράγωγος συνάρτησης 71


9.3 Παράγωγος συνάρτησης Έστω ƒ συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα [α, β]. Σε κάθε εσωτερικό σηµείο x µπορούµε να δώσουµε

στο x µία µικρή θετική ή αρνητική αύξηση ∆x=h. Η αντίστοιχη αύξηση στο y θα είναι τότε ∆y=ƒ(x+h)-

ƒ(x). Ονοµάζουµε παράγωγο της ƒ στο σηµείο x το όριο (αν υπάρχει)

h 0

dy ƒ(x h) ƒ(x)ƒ (x) lim

dx h→

+ −′= =

Ονοµάζουµε πλευρικές παραγώγους τα πλευρικά όρια όταν το h→0 από θετικές ή από αρνητικές τιµές και συµβολίζουµε

h 0 h 0

ƒ(x h) ƒ(x) ƒ(x h) ƒ(x)ƒ (x) lim ή ƒ (x) lim

h h+ −→ + → −

+ − + −′ ′= =

Γεωµετρική ερµηνεία αραγώγου

Η παράγωγος της συνάρτησης ƒ σε ένα σηµείο είναι η κλίση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης στο σηµείο αυτό.

λ=εφθ=ƒ΄(xο)

99..33..11 ΕΕξξίίσσωωσσηη εεφφααττοοµµέέννηηςς σσττηηνν κκααµµύύλληη yy==ƒƒƒƒƒƒƒƒ((xx)) σσττοο σσηηµµεείίοο xxοο

y - yo = ƒ΄(xο)(x - xο)

99..33..22 ∆∆ιιααφφοορρίίσσιιµµηη ήή ααρρααγγωωγγίίσσιιµµηη σσυυννάάρρττηησσηη

Μία συνάρτηση λέγεται διαφορίσιµη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β] όταν η ƒ έχει παράγωγο σε κάθε εσωτερι-

κό σηµείο του διαστήµατος και υπάρχουν οι παράγωγοι ƒ΄+(α) και ƒ΄-(β)

99..33..33 ΠΠααρράάγγωωγγοοςς κκααιι σσυυννέέχχεειιαα

Μία συνάρτηση ƒ(x) που είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο xο είναι και συνεχής στο σηµείο xο

99..33..44 ΠΠααρράάγγωωγγοοςς σσύύννθθεεττηηςς σσυυννάάρρττηησσηηςς

Έστω u(x) µία διαφορίσιµη συνάρτηση στο [α, β] που παίρνει τιµές στο [a, b]. Αν y=ƒ(u) είναι µία διαφορί-

σιµη συνάρτηση του u στο [a, b] τότε η σύνθετη συνάρτηση y=ƒ(u(x)) έχει παράγωγο που δίνεται από τον κανόνα της αλυσίδας:

( )( )dy dy duƒ u x ƒ (u)u (x)

dx du dx

′ ′ ′= = =

Ο κανόνας ισχύει και για περισσότερες συναρτήσεις

( )( )( ) dƒ du dgƒ u g x

du dg dx

′ =

…και αντίστοιχα για περισσότερες

99..33..55 ΠΠααρράάγγωωγγοοςς µµίίααςς ααννττίίσσττρροοφφηηςς σσυυννάάρρττηησσηηςς

Αν η συνάρτηση y=ƒ(x) έχει παράγωγο ƒ΄(x) σε ένα διάστηµα (α, β) που είναι πάντοτε θετική ή πάντοτε αρ-

νητική, τότε η αντίστροφη συνάρτηση x=φ(y) υπάρχει όταν το y βρίσκεται µεταξύ των ƒ(α) και ƒ(β) και έχει τιµή

y

0 x xo

Cƒ

A

72 Παράγωγος συνάρτησης Μαθηµατικό Τυπολόγιο


dx dy1

dxdy=

99..33..66 ΓΓεεννιικκοοίί ΚΚααννόόννεεςς ΠΠααρρααγγώώγγιισσηηςς Για τα παρακάτω u, v, g, f συναρτήσεις του x, c, α, β, … σταθερές

d(c) 0

dx=

d(cx) c

dx=

n n 1d(cx ) ncx

dx

−= d dg df du

(g f u...) ...dx dx dx dx

± ± = ± ±

d df(cf ) c

dx dx=

d df dg(fg) g f

dx dx dx= +

d df dg du(fgu) gu f u fg

dx dx dx dx= + +

2

d f f g fg

dx g g

′ ′−=

( )n n 1d dff nf

dx dx

−= dy dy dx

dt dtdx=

99..33..77 ΠΠααρράάγγωωγγοοιι ττρριιγγωωννοοµµεεττρριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν

d du(ηµu) συνu

dx dx=

d du(συνu) ηµu

dx dx= −

2

d 1 du(εφu)

dx συν u dx=

2

d 1 du(σφu)

dx ηµ u dx= −

d du(τεµu) τεµu εφu

dx dx= ⋅

d du(στεµu) στεµu σφu

dx dx= − ⋅

2

π π- <τοξηµu<

2 2

d 1 du(τοξηµu) , ( )

dx dx1 u=

−

2<τοξσυνu<π

d 1 du(τοξσυνu) , (0 )

dx dx1 u

−=

−

2

π π<τοξεφu<

2 2

d 1 du(τοξεφu) , (- )

dx 1 u dx=

+

2<τοξσφu<π

d 1 du(τοξσφu) , (0 )

dx 1 u dx

−=

+

2 2

<τοξτεµu<π/2+ αν 0d 1 du 1 du(τοξτεµu) = ,

αν -π/2<τοξτεµu<0dx dx dxu u 1 u u 1

±= −− −

2 2

<τοξστεµu<π/2- αν 0d 1 du 1 du(τοξστεµu) = ,

+ αν -π/2<τοξστεµu<0dx dx dxu u 1 u u 1

−=

− −

m

99..33..88 ΠΠααρράάγγωωγγοοιι εεκκθθεεττιικκώώνν –– λλοογγααρριιθθµµιικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν

u ud du(α ) α ln u

dx dx= u ud du

(e ) edx dx

=

αα

log ed du(log u)

dx u dx= , α≠0,1

d 1 du(ln u)

dx u dx=

v v ln u v ln u v 1 vd d d du dv(u ) (e ) e (v ln u) vu u ln u

dx dx dx dx dx

−= = = +

99..33..99 ΠΠααρράάγγωωγγοοιι υυεερρββοολλιικκώώνν-- ααννττίίσσττρροοφφωωνν υυεερρββοολλιικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν

d du(sinh u) cosh u

dx dx=

d du(cosh u) sinh u

dx dx=

2d du(tanh u) sech u

dx dx= 2d du

(coth u) csch udx dx

= −

d du(sech u) sech u tanh u

dx dx= −

d du(csch u) csch u coth u

dx dx= −



1

2

d 1 du(sinh u)

dx dx1 u

− =+

-1

1

-12

+ αν cosh u 0, u 1d 1 du(cosh u) ,

dx dx - αν cosh u 0, u 1u 1

− > >±=

< >−

1

2

d 1 du(tanh u) , 1 u 1

dx 1 u dx

− = − < <−

1

2

d 1 du(coth u) , u 1 ή u 1

dx 1 u dx

− = > < −−

-1

-1

1

2

u>0, 0<u<1

+ αν sech u<0, 0<u<1

- αν sechd 1 du(sech u) ,

dx dxu 1 u

− =

−

m

1

2 2

- αν u>0d 1 du 1 du(csch u) = ,

+ αν u<0dx dx dxu u 1 u u 1

− −=

+ −

m

99..33..1100 ΠΠααρράάγγωωγγοοιι ααννώώττεερρηηςς ττάάξξηηςς

∆εύτερη παράγωγος: 2

2

d dy d yƒ (x) y

dx dx dx

′′ ′′= = =

Τρίτη παράγωγος: 2 3

2 3

d d y d yƒ (x) y

dx dx dx

′′′ ′′′= = =

n-στη παράγωγος: n 1 n

( n ) ( n )

n 1 n

d d y d yƒ (x) y

dx dx dx

−

−

= = =

99..33..1100..11 ΘΘεεώώρρηηµµαα ττοουυ LLeeiibbnniittzz γγιιαα ππααρρααγγώώγγοουυςς ααννώώττεερρηηςς ττάάξξηηςς

Αν Dn είναι ο διαφορικός τελεστής n

n

d

dx δηλαδή Dnƒ(x) είναι η n-στή παράγωγος της ƒ τότε

n n n 1 2 n 2 nn n

D (ƒg) ƒD g DƒD g D ƒD g ... gD ƒ1 2

− − = + + + +

π.χ. για n=2: (ƒg)΄΄ =ƒ΄΄g + 2ƒ΄g΄ + ƒg΄΄

99..33..1100..22 ΝΝιιοοσσττήή ππααρράάγγωωγγοοςς µµεερριικκώώνν σσυυννααρρττήήσσεεωωνν

Συνάρτηση n-στή παράγωγος

ƒ(x)=xm ƒ(n)(x)=m(m-1)(m-2)…(m-n+1)xm-n

ƒ(x)=xn ƒ(n)(x)=n!

ƒ(x)=αοxn+α1x

n-1+…+αn ƒ(n)(x)=αοn!

ƒ(x)=ex ƒ(n)(x)= ex

ƒ(x)=emx ƒ(n)(x)= mnex

ƒ(x)=αx ƒ(n)(x)= αx(lnα)n

ƒ(x)=ηµx ƒ(n)(x)=ηµ(x+nπ/2)

ƒ(x)=συνx ƒ(n)(x)=συν(x+nπ/2)

ƒ(x)=ηµmx ƒ(n)(x)=mnηµ(mx+nπ/2)

ƒ(x)=συνmx ƒ(n)(x)=mnσυν (mx+nπ/2)



99..33..1111 ΠΠααρράάγγωωγγοοςς κκααιι µµοοννοοττοοννίίαα

Ανάλογα µε το αν είναι η ƒ΄(c) θετική ή αρνητική, η ƒ(x) είναι αύξουσα ή φθίνουσα σε µία περιοχή του c.

Η συνθήκη είναι ικανή αλλά όχι αναγκαία. Μία συνάρτηση µορεί να είναι αύξουσα ή φθίνουσα σε κάοιο σηµείο c αλλά

να ισχύει ƒ΄(c) = 0

99..33..1122 ΘΘεεώώρρηηµµαα ττοουυ RRoollllee

Αν µία συνάρτηση ƒ: (i) είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [α, β] (ii) παραγωγίσιµη στο ανοιχτό (α, β)

(iii) και ισχύει ƒ(α)=ƒ(β)

τότε υπάρχει τουλάχιστο ένα εσωτερικό σηµείο ξ ∈ (α, β) τέτοιο ώστε ƒ΄(ξ)=0

Πόρισµα: αν α και β είναι δύο ρίζες της εξίσωσης ƒ(x)=0 τότε η εξίσωση ƒ΄(x)=0 έχει τουλάχιστο µία ρίζα

ρ µεταξύ α και β, αρκεί (i) η ƒ(x) να είναι συνεχής στο α≤x≤β και (ii) η ƒ΄(x) να υπάρχει στο α<x<β

99..33..1133 ΘΘεεώώρρηηµµαα ττοουυ DDaarrbboouuxx

Αν η ƒ(x) είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό [α, β] και ƒ΄(α)≠ƒ΄(β) τότε για κάθε η µεταξύ των ƒ΄(α) και ƒ΄(β)

υπάρχει ξ µεταξύ των α και β τέτοιο ώστε ƒ΄(ξ)=η

99..33..1144 ΘΘεεώώρρηηµµαα µµέέσσηηςς ττιιµµήήςς ((δδιιααφφοορριικκοούύ λλοογγιισσµµοούύ))

Αν µία συνάρτηση ƒ: (i) είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα [α, β] (ii) παραγωγίσιµη στο ανοιχτό (α, β)

τότε υπάρχει τουλάχιστο ένα εσωτερικό σηµείο ξ ∈ (α, β) τέτοιο ώστε ƒ΄(ξ)=ƒ(β) ƒ(α)

β α

−−

Γεωµετρική ερµηνεία θεωρήµατος µέσης τιµής Στο σηµείο ξ η παράγωγος (κλίση της εφα-πτοµένης ευθείας) έχει ίδια τιµή µε την κλίση της ευθείας ΑΒ

Πόρισµα 1: Αν ƒ΄(x)=0 σε διάστηµα (α, β) τότε η ƒ είναι σταθερά σε αυτό.

Πόρισµα 2: Αν ƒ΄(x)=g΄(x) στο διάστηµα (α, β) τότε ƒ(x)=g(x)+c

99..33..1155 ∆∆εεύύττεερροο θθεεώώρρηηµµαα µµέέσσηηςς ττιιµµήήςς ((CCaauucchhyy))

Έστω δύο συναρτήσεις ƒ(x) και g(x) οι οποίες: (i) είναι συνεχείς στο κλειστό διάστηµα [α, β] (ii) παραγωγίσιµες στο ανοιχτό (α, β)

(iii) οι ƒ΄(x) και g΄(x) δεν παραγωγίζονται συγχρόνως σε κάποιο σηµείο του (α, β)

(iv) και ισχύει ƒ(α)≠g(β), τότε

υπάρχει ξ∈(α, β) τέτοιο ώστε: ƒ(β) ƒ(α) ƒ (ξ)

g(β) g(α) g (ξ)

′−=

′−

y

0 x α β ξ

Α

Β Γ



99..33..1166 ΚΚααννόόννααςς ττοουυ DDee LL’’ HHoossppiittaall (για απροσδιόριστες µορφές ορίων)

Έστω δύο συναρτήσεις ƒ(x) και g(x) οι οποίες: (i) είναι συνεχείς στο κλειστό διάστηµα [α, α+h] (ii) παραγωγίσιµες στο διάστηµα (α, α+h]

(iii) ƒ(α)=g(α)= 0 ή ∞

(iv) x α

ƒ (x)lim A (ή )

g (x)→ +

′= ±∞

′

τότε θα είναι και x α

ƒ(x)lim A (ή )

g(x)→ += ±∞

Προσοχή:

Όταν το όριοx α

ƒ (x)lim

g (x)→ +

′′

δεν υπάρχει αυτό δεν συνεπάγεται ότι και το όριο x α

ƒ(x)lim

g(x)→ +δεν υπάρχει.

Ο κανόνας ισχύει και για x→∞. Η συνθήκη (iii) τότε γίνεται x xlim ƒ(x) lim g(x) 0 ή →∞ →∞

= = ∞ και τότε

x

ƒ(x)lim

g(x)→∞=

x

ƒ (x)lim

g (x)→∞

′′

99..33..1166..11 ΆΆλλλλεεςς ααππρροοσσδδιιόόρριισσττεεςς µµοορρφφέέςς

Η µορφή 0⋅∞ ανάγεται στην µορφή 0/0 ή ∞/∞

Η µορφή ∞-∞ µετασχηµατίζεται στην 0⋅∞ µε την ταυτότητα 1 1

ƒ g ƒgg ƒ

− = −

Οι εκθετικές µορφές 00, ∞0, 1∞ υπολογίζονται µε το να πάρουµε τους λογαρίθµους τους.

99..33..1177 ΑΑννάάττυυγγµµαα TTaayylloorr

Αν ƒ(x) συνάρτηση για την οποία υπάρχει η ƒ(n+1)(x) για κάθε x∈[α, β] τότε για κάθε x στο διάστηµα [α, β] ισχύει:

(n) (n+1)n n 1ƒ (α) ƒ (α) ƒ (ξ)

ƒ(x) ƒ(α) (x α) ... (x α) (x α)1! n ! (n 1)!

+′= + − + + − + −

+

όπου ξ είναι ένας αριθµός µεταξύ του α και του x. Αν α=0 έχουµε το ανάπτυγµα Mclaurin:

(n) (n+1)n n 1ƒ (0) ƒ (0) ƒ (ξ)

ƒ(x) ƒ(0) x ... x x1! n ! (n 1)!

+′= + + + +

+

Με εφαρµογή του παραπάνω αναπτύγµατος:

2 nx x x

e 1 x ... ...2 ! n !

= + + + + + 1 1

e 1 1 ... ...2 ! n !

= + + + + +

3 2k 1kx x

ηµx x ... ( 1) ...3! (2k 1)!

+

= − + + − ++

2 2k

kx xσυνx x ... ( 1) ...

2 ! (2k )!= − + + − +

3 5 n1 1 x x x xln x ... ...

2 1 x 3 5 n

+= + + + + +

− k 2 n

k k k(1 x) 1 x x ... x ...

1 2 n

+ = + + + + +



99..33..1188 ΑΑκκρρόότταατταα σσυυννάάρρττηησσηηςς κκααιι ααρράάγγωωγγοοςς

Τα ακρότατα συνάρτησης παρουσιάζονται µόνο στα σηµεία όπου ƒ΄(x)=0 ή όπου η ƒ΄(x) δεν υπάρχει (κα-θώς και στα άκρα κλειστού διαστήµατος) Fermat: Αν µία συνάρτηση έχει ακρότατο στο σηµείο xο τότε η παράγωγός της (αν υπάρχει) είναι µηδέν στο σηµείο αυτό. Το αντίστροφο δεν είναι πάντα αληθές.

99..33..1188..11 ΘΘεεώώρρηηµµαα ((ΚΚρριιττήήρριιοο ππρρώώττηηςς ππααρρααγγώώγγοουυ))

Αν

(i) η ƒ(x) είναι ορισµένη στο c

(ii) η ƒ΄(x) υπάρχει σε µία κατάλληλα µικρή περιοχή του c. (η ƒ΄(c) µπορεί και να µην υπάρχει)

(iii) η ƒ΄(x) έχει σταθερό πρόσηµο όταν x<c καθώς και όταν x>c Τότε καθώς το x αυξανόµενο περνάει από το c

(α) η ƒ(x) δεν έχει ακρότατο αν το πρόσηµό της ƒ΄(x) δεν αλλάζει

(β) η ƒ(x) έχει µέγιστο στο c αν το πρόσηµο της ƒ΄(x) αλλάζει από + σε –

(γ) η ƒ(x) έχει ελάχιστο στο c αν το πρόσηµο της ƒ΄(x) αλλάζει από – σε +

99..33..1188..22 ΘΘεεώώρρηηµµαα ((ΑΑκκρρόότταατταα ήή σσηηµµεείίαα κκααµµππήήςς))

Αν στο σηµείο c

(i) ƒ΄(c)=ƒ΄΄(c)=ƒ΄΄΄(c)=…=ƒ(n)(c)= 0

(ii) ƒ(n+1)≠0

τότε η ƒ(x) στο σηµείο c έχει: (α) ένα σηµείο καµπής αν n άρτιος

(β) ένα ακρότατο αν n περιττός που είναι µέγιστο αν ƒ(n+1)(c)<0 ή ελάχιστο αν ƒ(n+1)(c)>0

99..33..1188..33 ΜΜεελλέέττηη ππρρααγγµµααττιικκήήςς σσυυννάάρρττηησσηηςς ((ππρρααγγµµααττιικκήήςς µµεεττααββλληηττήήςς))

9.3.18.3.1 Α. Πεδίο ορισµού

Είναι το ευρύτερο υποσύνολο του ϒ στο οποίο έχει νόηµα η συνάρτηση. Έχουµε τις περιπτώσεις:

ƒ(x)=P(x)

Q(x). Πρέπει Q(x)≠0

ƒ(x)= n R(x) . Πρέπει R(x)≥0 αν n άρτιος

ƒ(x)=logαΑ(x). Πρέπει Α(x)>0 9.3.18.3.2 Β. Συµµετρία (άρτια ή εριττή συνάρτηση)

Θέτουµε ƒ(-x) και βλέπουµε αν είναι ƒ(x) ή -ƒ(x) ή τίποτα από τα δύο. 9.3.18.3.3 Γ. Περιοδικότητα

Εξετάζουµε αν υπάρχει αριθµός Τ: ƒ(x+Τ)=ƒ(x) 9.3.18.3.4 ∆. Βρίσκουµε ου τέµνει τους άξονες x και y

Τα σηµεία τοµής του άξονα y είναι οι λύσεις του συστήµατος: y=ƒ(x), y=0

Τα σηµεία τοµής του άξονα x είναι οι λύσεις του συστήµατος: y=ƒ(x), x=0 9.3.18.3.5 Ε. Βρίσκουµε ασύµτωτες Αναζητούµε σηµεία xο στα οποία

ox xlim ƒ(x)→

= ±∞ . Αν αυτό ισχύει (ή ακόµα και το ένα πλευρικό όριο να

απειρίζεται) η ευθεία x=xο είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη. (vertical asymptotes)



Εξετάζουµε τα όρια xlim ƒ(x)→+∞

και xlim ƒ(x)→−∞

. Αν xlim ƒ(x)→+∞

=ℓ έχουµε οριζόντια ασύµπτωτη (horizontal

asymptotes) στο +∞ και αν xlim ƒ(x)→−∞

=ℓ έχουµε οριζόντια ασύµπτωτη στο -∞

Αν xlim ƒ(x)→+∞

=±∞ τότε εξετάζουµε αν η συνάρτηση έχει πλάγια ασύµπτωτη, (Oblique asymptotes) δηλαδή

αν xlim (ƒ(x) λx β) 0→+∞

− + =

Εξετάζουµε πρώτα το x

ƒ(x)lim λ

x→+∞= και µετά

xlim (ƒ(x) λx) β→+∞

− =

Παρόµοια στο -∞ 9.3.18.3.6 ΣΤ. Βρίσκουµε µονοτονία, ακρότατα, κυρτότητα και σηµεία καµής

Χρησιµοποιούµε τα προηγούµενα θεωρήµατα για να βρούµε τη µονοτονία (ƒ΄(x)>0 ↑, ƒ΄(x)<0, ↓), τα α-

κρότατα (ƒ΄(c) = 0, ή ƒ΄(c) δεν ορίζεται είναι πιθανά σηµεία ακρότατων) την κυρτότητα (ƒ΄΄(x)>0 κυρτή,

ƒ΄΄(x)<0 κοίλη) και τα σηµεία καµπής (ƒ΄΄(c)=0 και ƒ΄΄΄(c)≠0)

78 Ολοκληρώµατα Μαθηµατικό Τυπολόγιο


9.4 Ολοκληρώματα

99..44..11 ΑΑόόρριισσττοο ΟΟλλοοκκλλήήρρωωµµαα

Αν dy

ƒ(x)dx

= τότε η συνάρτηση y της οποίας η παράγωγος είναι η συνάρτηση ƒ(x) λέγεται αντι-παράγωγος

της ƒ(x) ή αρχική της ƒ(x) ή αόριστο ολοκλήρωµα της ƒ(x). Το αόριστο ολοκλήρωµα της ƒ(x) συµβολίζεται

µε ƒ(x)dx∫

(Το σύµβολο της ολοκλήρωσης είναι ένα τραβηγµένο λατινικό S αρχικό γράµµα της λέξης summa = άθροιση).

Αν y(x) είναι µία αρχική συνάρτηση της ƒ(x) τότε και η g(x)=y(x)+c είναι επίσης.

Αν y(u) ƒ(u)du= ∫ τότε dy

ƒ(u)du

= ή ( )ƒ(x)dx ƒ(x)′=∫

99..44..11..11 ΓΓεεννιικκοοίί κκααννόόννεεςς ΟΟλλοοκκλλήήρρωωσσηηςς

(για τα διαφορικά ισχύει du = u΄(x)dx) Οι σταθερές ολοκλήρωσης c παραλείπονται στους παρακάτω τύπους.

αdx∫ =αx αƒ(x)dx α ƒ(x)dx=∫ ∫

(u v w ...)dx udx vdx wdx ...± ± ± = ± ± ±∫ ∫ ∫ ∫

udv uv vdu= −∫ ∫ ή uv dx uv u vdx′ ′= −∫ ∫ (ολοκλήρωση κατά παράγοντες)

1ƒ(αx)dx ƒ(t )dt

α=∫ ∫

dx F(u)F(ƒ(x))dx F(u) du du

du ƒ (x)= =

′∫ ∫ ∫

n 1n u

u du για n 1n 1

+

= ≠+∫

1du ln u για u>0 ή ln(-u) για n<0

u=∫

u ue du e=∫ u ln α u

u e αα du edu , α>0 1

ln α ln α= = = ≠∫ ∫

ln xdx x ln x x= −∫ n 1nn nxdx x

n 1

+=+∫

ηµxdx συνx= −∫ συνxdx ηµx=∫

εφxdx ln συνx= −∫ σφxdx ln ηµx=∫

x πστεµxdx ln(στεµx εφx) ln εφ( )

2 4= + = +∫

xτεµxdx ln(τεµx σφx) ln εφ( )

2= − =∫

2τεµ xdx εφx=∫ 2στεµ xdx σφx= −∫

2εφ xdx εφx x= −∫ 2σφ xdx σφx x= − −∫

2 x ηµ2x 1ηµ xdx (x ηµxσυνx)

2 4 2= − = −∫ 2 x ηµ2x 1

συν xdx (x ηµxσυνx)2 4 2

= + = +∫

τεµxεφxdx τεµx=∫ στεµxσφxdx στεµx= −∫

sinh xdx cosh x=∫ cosh xdx sinh x=∫

tanh xdx ln cosh x=∫ coth xdx lnsinh x=∫

xsech xdx τοξηµ(tanh x) 2τοξεφ(e )= =∫ 1 xxcs ch xdx ln(tanh ) coth (e )

2

−= = −∫

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Ολοκληρώµατα 79


2sech xdx tanh x=∫ 2csch xdx coth x= −∫

2tanh xdx x tanh x= −∫ 2coth xdx x coth x= −∫

2 sinh 2x x 1sinh xdx (sinh x cosh x x)

4 2 2= − = −∫ 2 sinh 2x x 1

cosh xdx (sinh x cosh x x)4 2 2

= + = +∫

sech x tanh xdx sech x= −∫ csch x coth xdx csch x= −∫

2 2

du 1 uτοξεφ

u α α α=

+∫ 2 2

2 2

du 1 u αln , u α

u α 2α u α

− = > − + ∫

2 2

2 2

du 1 α uln , u α

α u 2α α u

+ = < − − ∫ 2 2

du uτοξηµ

αα u=

−∫

2 2

2 2

duln(u α u )

α u= + +

+∫ 2 2

2 2

duln(u u α )

u α= + −

−∫

2 2

du 1 uτοξτεµ

α αu u α=

−∫

2 2

2 2

du 1 α α uln

α uu α u

+ += − +

∫

2 2

2 2

du 1 α α uln

α uu α u

+ −= − −

∫

(n) (n-1) (n-2) (n-3) n (n)ƒ gdx ƒ g ƒ g ƒ g ...( 1) ƒg dx′ ′′= − + − −∫ ∫

(γενικευµένη ολοκλήρωση κατά µέρη)

99..44..11..22 ΣΣηηµµααννττιικκοοίί µµεετταασσχχηηµµααττιισσµµοοίί σστταα οολλοοκκλληηρρώώµµαατταα

1ƒ(αx β)dx ƒ(u)du, θέτοντας u=αx+β

α+ =∫ ∫

2ƒ( αx β )dx uƒ(u)du, θέτοντας u= αx+β

α+ =∫ ∫

n-1n nn

ƒ( αx β )dx u ƒ(u)du, θέτοντας u= αx+βα

+ =∫ ∫

2 2ƒ( α x )dx α ƒ(ασυνu)συνudu, θέτοντας x=αηµu− =∫ ∫

2 2 2ƒ( α x )dx α ƒ(ατεµu)τεµ udu, θέτοντας x=αεφu+ =∫ ∫

2 2ƒ( x α )dx α ƒ(αεφu)τεµuεφudu, θέτοντας x=ατεµu− =∫ ∫

αx αx1 ƒ(u)ƒ(e )dx du, θέτοντας u=e

α u=∫ ∫

uƒ(ln x)dx ƒ(u)e du, θέτοντας u=lnx=∫ ∫

x xƒ(τοξηµ )dx α ƒ(u)συνudu, θέτοντας u=τοξηµ

α α=∫ ∫

2

2 2 2

2u 1 u du xR(ηµx,συνx)dx 2 R( , ) , θέτοντας u=εφ

1 u 1 u 1 u 2

−=

+ + +∫ ∫

x=2τοξεφu, dx=2

2du

1 u+, ηµx=2ηµ

x

2συν

x

2=2εφ

x

2συν²

x

2=

2

2u

1 u+

συνx=ηµx

εφx =

2 2

2 2

2u/(1 u ) 1 u

2u(1 u ) 1 u

+ −=

− +

22 2

2 2 2

u 1 duR(ηµ x,συν x)dx R( , ) , θέτοντας u=εφx

1 u 1 u 1 u=

+ + +∫ ∫



ηµ²x=2

2

u

1 u+, συν²x=

2

1

1 u+, dx=

2

du

1 u+

dx dx 1 x θln εφ

αηµx βσυνx ρηµ(x θ) ρ 2

+= =

+ +∫ ∫ ,

αλλάζουµε το αηµx+βσυνx σε ρηµ(x+θ) µε ρ= 2 2α β+ και θ∈[0,2π) έτσι ώστε συνθ=α/ρ και ηµθ=β/ρ

2 2

2

1 2

2 ∆βx t

2α 4α∆βα x

2α 4α

dx και ανάλυση σε απλά κλάσµατα

α(x ρ )(x ρ )dx

dxαx βx γ , θέτουµε + =

+ +

− −

= + +

∫

∫ ∫

99..44..11..33 ΗΗ µµέέθθοοδδοοςς ττηηςς ααννάάλλυυσσηηςς σσεε ααππλλάά κκλλάάσσµµαατταα ((ppaarrttiiaall ffrraaccttiioonnss))

Εφαρµόζεται σε µία ρητή παράσταση της µορφής P(x)

Q(x).

Ο παρονοµαστής ή είναι παραγοντοποιηµένος, ή µπορεί να παραγοντοποιηθεί σε πολυώνυµα της µορφής (x+α) αν α = ρίζα ή (αx²+βx+γ) αν έχει µιγαδική ρίζα. Τότε µπορεί να αναλυθεί σε απλά κλάσµατα. Για κάθε παράγοντα του Q(x) της µορφής (x+α)m

εισάγουµε όρους:

31 2 m

2 2 m

AA A A...

x α (x α) (x α) (x α)+ + + +

+ + + +

Για κάθε παράγοντα του Q(x) της µορφής (αx²+βx+γ)n εισάγουµε όρους:

1 1 2 2 n n

2 2 2 2 n

A x B A x B A x B...

αx βx γ (αx βx γ) (αx βx γ)

+ + ++ + +

+ + + + + +

Αναζητάµε σταθερές Αi, Βi, … έτσι ώστε:

1 2 2

2

P(x) A A x B... ...

Q(x) x α αx βx γ

+= + + +

+ + +

Παράδειγµα:

3 2 2 2 3 2 2 2

1 Α B Γ ∆ Εx Ζ Ηx Θ

x(x α) (βx γx δ) x x α (x α) (x α) βx γx δ (βx γx δ)

+ += + + + + +

+ + + + + + + + + +

και µετά τις πράξεις λύνουµε το σύστηµα. (Αν ο βαθµός του αριθµητή P(x) είναι µεγαλύτερος του βαθµού του Q(x) τότε πριν εφαρµόσουµε την µέθο-δο αυτή διαιρούµε τα πολυώνυµα)

99..44..22 ΤΤοο οορριισσµµέέννοο οολλοοκκλλήήρρωωµµαα

Έστω µία φραγµένη συνάρτηση ƒ στο διάστηµα [α,β]. Αν διαιρέσουµε το διάστηµα [α,β] σε n υποδιαστήµα-τα τότε το σύνολο α=xο, x1, x2, …, xn=β το ονοµάζουµε διαµέριση του [α,β]. ∆ιαλέγουµε ένα αριθµό ξi για κάθε υποδιάστηµα [xi, xi+1], πλάτους δi=xi+1 - xi και θεωρούµε το άθροισµα:

n

i i 1 1 n n

i 1

ƒ(ξ )δ ƒ(ξ )δ ... ƒ(ξ )δ=

= + +∑

Αν το όριο αυτού του αθροίσµατος υπάρχει για δ→0 ή n→∞ το οποίο είναι ανεξάρτητο από τον τρόπο ε-

κλογής της διαµέρισης και των σηµείων ξi τότε λέµε ότι η συνάρτηση ƒ είναι ολοκληρώσιµη (κατά Riemann) στο διάστηµα [α, β] και γράφουµε:



β n

i i iδ 0

i 1α

ƒ(x)dx lim ƒ(ξ )δ µε δ=maxδ→

=

= ∑∫

Η διαδικασία µε την οποία παίρνουµε το ολοκλήρωµα λέγεται ολοκλήρωση κατά Riemann και το όριο λέ-

γεται ορισµένο ολοκλήρωµα της ƒ ανάµεσα στα όρια α και β. Η συνάρτηση ƒ λέγεται υπό ολοκλήρωση συ-νάρτηση.

99..44..22..11 ΟΟλλοοκκλληηρρώώσσιιµµεεςς σσυυννααρρττήήσσεειιςς

Μία συνάρτηση είναι ολοκληρώσιµη σε κάθε κλειστό διάστηµα στο οποίο είναι συνεχής Μία φραγµένη συνάρτηση είναι ολοκληρώσιµη σε κάθε διάστηµα στο οποίο έχει ένα πεπερασµένο πλήθος ασυνεχειών. Μία φραγµένη συνάρτηση είναι ολοκληρώσιµη σε κάθε διάστηµα που είναι µονότονη (Lebesgue) Για να είναι ολοκληρώσιµη µία συνάρτηση µε άπειρο πλήθος ασυνεχειών πρέπει και αρκεί τα σηµεία ασυνέχειας να σχηµατίζουν ένα σύνολο µηδενικού µέτρου.

99..44..22..22 ΟΟλλοοκκλλήήρρωωσσηη µµεε άάθθρροοιισσηη

Αν η συνάρτηση ƒ είναι ολοκληρώσιµη τότε µπορούµε να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα ως όριο διαλέγο-ντας τα υποδιαστήµατα δi και τα σηµεία ξi µε κάποιο ειδικό τρόπο. Για παράδειγµα αν όλα τα δi είναι ίσα και εκλέξουµε ξi ως τα δεξιά άκρα των υποδιαστηµάτων έχουµε δi=h=(β-α)/n και ξi=α+ih οπότε:

β n

n ni 1α

ƒ(x)dx lim ƒ(α ih)h lim hƒ(α h) ƒ(α 2h) ... ƒ(α nh)→∞ →∞

=

= + = + + + + + +∑∫

99..44..22..33 ΙΙδδιιόόττηηττεεςς οορριισσµµέέννοουυ οολλοοκκλληηρρώώµµααττοοςς

Αν η ƒ είναι ολοκληρώσιµη σε ένα διάστηµα [α,β] είναι ολοκληρώσιµη σε κάθε υποδιάστηµα [α΄, β΄]

βα

β α

ƒ(x)dx ƒ(x)dx= −∫ ∫ α

α

ƒ(x)dx 0=∫

β β β

α α α

(ƒ(x) g(x) ...)dx ƒ(x)dx g(x)dx ...± ± = ± ±∫ ∫ ∫

Αν α, β, γ τρία σηµεία ενός διαστήµατος στο οποίο η συνάρτηση ƒ είναι ολοκληρώσιµη τότε: γ β β

α γ α

ƒ(x)dx ƒ(x)dx ƒ(x)dx+ =∫ ∫ ∫

Αν ƒ και g ολοκληρώσιµες συναρτήσεις στο [α, β] τότε β β

α α

ƒ(x) g(x) ƒ(x)dx g(x)dx≤ ⇒ ≤∫ ∫

Αν ƒ ολοκληρώσιµη στο [α,β] τότε η |ƒ| είναι επίσης ολοκληρώσιµη στο [α,β] και ισχύει: β β

α α

ƒ(x)dx ƒ(x) dx≤∫ ∫

Αν ƒ και g ολοκληρώσιµες στο [α,β] τότε και το άθροισµά τους είναι ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο [α, β]



β β β

α α α

[ƒ(x) g(x)]dx ƒ(x)dx g(x)dx+ = +∫ ∫ ∫

Αν ƒ και g ολοκληρώσιµες στο [α,β] τότε και το γινόµενό τους είναι ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο [α, β]

Αν ƒ είναι θετική και ολοκληρώσιµη στο [α,β] τότε είναι επίσης ολοκληρώσιµες στο [α,β] και οι συναρτήσεις

g(x)=1/ƒ(x) και h(x) ƒ(x)=

99..44..22..44 ΘΘεεώώρρηηµµαα ττοουυ LLeeiibbnniittzz γγιιαα δδιιααφφόόρριισσηη οολλοοκκλληηρρωωµµάάττωωνν

Αν η ƒ και η παράγωγός της ƒ΄ είναι συνεχείς και a, b διαφορίσιµες συναρτήσεις του x τότε: b b

a a

d db daƒ(x, t )dt ƒ(x, t )dt ƒ(x, b) ƒ(x, a)

dx x dx dx

∂= + −

∂∫ ∫

Αν α, β σταθερές τότε η παραπάνω γίνεται: β β

α α

dƒ(x, t )dt ƒ(x, t )dt

dx x

∂=

∂∫ ∫ , και η φ(x)=β

α

ƒ(x, t )dt∫ είναι συνεχής στο [α,β]

99..44..22..55 ΤΤοο οολλοοκκλλήήρρωωµµαα σσαανν σσυυννάάρρττηησσηη ττοουυ ππάάννωω οορρίίοουυ

Θεωρούµε το ολοκλήρωµα x

α

φ(x) ƒ(t )dt= ∫ Αν η ƒ(t) είναι µία ολοκληρώσιµη συνάρτηση στο διάστηµα

[α,β] και x∈[α,β] τότε το ολοκλήρωµα είναι συνάρτηση µόνο του x.

Η συνάρτηση x

α

φ(x) ƒ(t )dt= ∫ είναι συνεχής σε κάθε διάστηµα [α,β] στο οποίο η ƒ(t) είναι ολοκληρώσιµη.

Αν ƒ ολοκληρώσιµη στο [α,β] και x∈[α,β] τότε x

α

dƒ(t )dt ƒ(x)

dx=∫ σε κάθε σηµείο x που η ƒ είναι συνεχής.

Η συνάρτηση F(x)=φ(x)+c=x

α

ƒ(t)dt∫ +c είναι µία παράγουσα της ƒ

99..44..22..66 ΤΤοο θθεεµµεελλιιώώδδεεςς θθεεώώρρηηµµαα ττοουυ οολλοοκκλληηρρωωττιικκοούύ λλοογγιισσµµοούύ

Αν η ƒ είναι ολοκληρώσιµη στο [α, β] και η F µία παράγουσα (αντιπαράγωγος) της ƒ. Τότε: β

α

ƒ(x)dx F(β) F(α)= −∫

99..44..22..77 ΘΘεεωωρρήήµµαατταα µµέέσσηηςς ττιιµµήήςς

9.4.2.7.1 Θεώρηµα Μέσης Τιµής (Ολοκληρωτικού λογισµού):

Αν ƒ ολοκληρώσιµη στο [α,β] µε µέγιστο κάτω φράγµα (infimum) m, και ελάχιστο άνω φράγµα

(supremum) Μ, τότε υπάρχει αριθµός µ, m≤µ≤M τέτοιος ώστε: β

α

ƒ(x)dx µ(β α)= −∫

Πόρισµα: Αν ƒ συνεχής στο [α,β] τότε υπάρχει ξ∈[α,β]: β

α

ƒ(x)dx ƒ(ξ)(β α)= −∫



9.4.2.7.2 Γενίκευση:

Αν ƒ, g ολοκληρώσιµες στο [α,β], η g δεν αλλάζει πρόσηµο, m και Μ το infimum και το supremum της ƒ

στο [α,β] και µ∈[α,β], τότε: β β

α α

ƒ(x)g(x)dx µ g(x)dx=∫ ∫

Αν ƒ, g ολοκληρώσιµες στο [α,β], g(x)≥0, και ƒ µονότονη στο [α,β], και ξ∈(α,β) τότε: β βξ

α α ξ

ƒ(x)g(x)dx ƒ(α) g(x)dx ƒ(β) g(x)dx= +∫ ∫ ∫

Ειδικά αν ƒ αύξουσα στο [α,β] τότε: β ξ

α α

ƒ(x)g(x)dx ƒ(α) g(x)dx=∫ ∫

Αν ƒ θετική αύξουσα στο [α,β] τότε: β β

α ξ

ƒ(x)g(x)dx ƒ(β) g(x)dx=∫ ∫

99..44..22..88 ΟΟλλοοκκλλήήρρωωσσηη κκααττάά ππααρράάγγοοννττεεςς

Αν ƒ και g είναι συναρτήσεις µε ολοκληρώσιµες παραγώγους ƒ΄ και g΄ στο [α,β] τότε β β

α α

βƒ(x)g (x)dx ƒ(x)g(x) g(x)ƒ (x)dx

α′ ′= −∫ ∫

όπου:

βƒ(x) ƒ(β) ƒ(α)

α= −

99..44..22..99 ΑΑλλλλααγγήή µµεεττααββλληηττήήςς

Ένα ολοκλήρωµα β

α

ƒ(x)dx∫ µπορεί να µετασχηµατιστεί αλλάζοντας τη µεταβλητή x µε την t σύµφωνα µε τη

σχέση x=φ(t). Υποθέτουµε ότι η φ(t) µεταβάλλεται συνεχώς από a σε b καθώς το x µεταβάλλεται από α σε β. Αν ισχύουν a=φ(α) και b=φ(β) φ(t) έχει συνεχή παράγωγο στο [α,β]

η ƒ[φ(t)] είναι συνεχής στο [α, β] τότε:

( )β b

α a

ƒ(x)dx ƒ φ(t ) φ (t )dt′=∫ ∫

99..44..22..1100 ΜΜεερριικκέέςς ππεερριιππττώώσσεειιςς ααλλλλααγγήήςς µµεεττααββλληηττήήςς σσττοο οορριισσµµέέννοο οολλοοκκλλήήρρωωµµαα

Θέτοντας x=α-t έχουµε: α 0 α

0 α 0

ƒ(x)dx ƒ(α t)dt ƒ(α t )dt= − − = −∫ ∫ ∫

Θέτοντας x=π

2-t έχουµε:

π/2 π/2

0 0

ƒ(ηµx,συνx)dx ƒ(συνt, ηµt)dt=∫ ∫

Σε περιοδική συνάρτηση ƒ, µε περίοδο Τ ισχύει: T α Τ

0 α

ƒ(x)dx ƒ(x)dx+

=∫ ∫ , µε αλλαγή µεταβλητής x=t+Τ



99..44..22..1111 ΤΤοο οορριισσµµέέννοο οολλοοκκλλήήρρωωµµαα ωωςς εεµµββααδδόό

Αν ƒ µία συνάρτηση µε ƒ(x)≥0 στο διάστηµα [α,β] τότε το ολοκλήρωµα β

α

ƒ(x)dx∫ παριστάνει το εµβαδό Ε

µεταξύ της Cƒ του άξονα x και των ευθειών x=α και x=β. Αν ƒ(x)≤0 τότε το αντίστοιχο εµβαδό είναι: Ε=-β

α

ƒ(x)dx∫

x

y

0 2 4 6 8

-4

-2

0

2

4

99..44..22..1122 ΌΌγγκκοοςς ΣΣττεερρεεοούύ εεκκ ππεερριισσττρροοφφήήςς

Για µία δεδοµένη συνεχή ƒ µε ƒ(x)≥0 στο [α,β] ο όγκος του στερεού που θα σχηµατιστεί αν περιστραφεί

κατά µία πλήρη γωνία το γράφηµα Cƒ γύρω από τον x άξονα και ανάµεσα στις κάθετες τοµές στα σηµεία α και β είναι

β2

αV π ƒ (x)dx= ∫

99..44..22..1133 ΠΠρροοσσεεγγγγιισσττιικκοοίί ττύύπποοιι γγιιαα ττοο οολλοοκκλλήήρρωωµµαα

Θεωρούµε το διάστηµα από α έως β χωρισµένο σε n ίσα µέρη από τα σηµεία xο=α, x1, x2, …, xn=β Έστω

yο=ƒ(xο), y1=ƒ(x1), …, yn=ƒ(xn), και h=(β-α)/n. Τότε: β

o 1 n 1

α

ƒ(x)dx h(y y ... y )−≈ + + +∫ Τύπος ορθογωνίου

β

o 1 2 n 1 n

α

hƒ(x)dx (y 2y 2y ... 2y y )

2−≈ + + + + +∫ Τύπος τραπεζοειδούς

β

o 1 2 3 n 1 n

α

hƒ(x)dx (y 4y 2y 4y ... 4y y )

3−≈ + + + + + +∫ Τύπος του Simpson (παραβολικός)

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 85


9.5 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων (Scalar product)

Για δύο διανύσµατα αr

=(α1, α2, α3) καιβr

=(β1, β2, β3) µε γωνία φ µεταξύ τους ορίζουµε ως εσωτερικό γινόµε-

νο αr⋅βr

τον αριθµό (∈ ϒ)

αr⋅βr

=αβσυνφ, µε 0 ≤ φ ≤ π αr⋅βr

=α1β1+α2β2+α3β3

αr⋅βr

= 0 ⇔ αr⊥βr

αr⋅βr

= αβ ⇔ αr

||βr

9.6 Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων (Vector product)

Για δύο διανύσµατα αr

=(α1, α2, α3) καιβr

=(β1, β2, β3) µε

γωνία φ µεταξύ τους ορίζουµε ως εξωτερικό γινόµενο

αr

×βr

το διάνυσµα:

αr

×βr

=αβηµφ⋅ nr

όπου nr

είναι ένα µοναδιαίο (n=1) διάνυσµα κάθετο στο

επίπεδο που σχηµατίζουν τα αr

και βr

και µε τέτοια φο-

ρά ώστε τα διανύσµατα αr

, βr

και nr

να σχηµατίζουν ένα

δεξιόστροφο σύστηµα (αν περιστρέψουµε το αr

προς το µέρος του βr

µε την µικρότερη γωνία τότε το nr

να

έχει την φορά κίνησης του δεξιόστροφου κοχλία ή του δεξιού χεριού) ισχύει:

αr

×βr

= 1 2 3

1 2 3

i j k

α α α

β β β

r r r

αr

×βr

= (α2β3-α3β2) ir

+(α1β3-α3β1) jr

+( α1β2-α2β1) kr

αr

×βr

= - βr

× αr

αr

×βr

= 0r

⇔ αr

||βr

αr

×βr

=αβ nr

⇔ αr⊥βr

β

α

ασυνφ

φ

β

α

βσυνφ

φ

α ×β

φ

β

α

n

86 Εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων Μαθηµατικό Τυπολόγιο


10 Βιβλιογραφία, πηγές:

Ανισότητες, Π.Ε. Τσαούσογλου, Αθήνα 1993 Luis Brand, Μαθηµατική Ανάλυση, εκδόσεις Ε.Μ.Ε. The pocket professor, 2500 Math Formulas Μαθηµατικό Εγχειρίδιο, Murray R. Spiegel, John Liu, εκδόσεις Τζιόλα, (Σειρά Schaum) Αριθµοί και άλλα, Τάσου Αγάπη. Εκδόσεις Μαθηµατική Βιβλιοθήκη, Χ. Βαφειάδης Θεωρία συνόλων, Γ. Μητακίδη, Εκδόσεις Πανεπιστηµίου Πατρών Εισαγωγή στη Μαθηµατική Σκέψη, Κ. ∆ρόσος, Μαθηµατικές σηµειώσεις http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html

Πολύ καλή δουλειά πάνω στην ιστορία των µαθηµατικών http://mathforum.org/

∆ιάφορα µαθηµατικά θέµατα, αποδείξεις, από το πανεπ. Drexel http://mathworld.wolfram.com/

Πολύ καλός ιστοχώρος µε δεκάδες χιλιάδες θέµατα. Ορισµοί, αποδείξεις, ιστορία, από κάθε τοµέα των µαθηµατικών

Μαθηµατικό Τυπολόγιο Εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων 87


ΕΕ ΥΥ ΡΡ ΕΕ ΤΤ ΗΗ ΡΡ ΙΙ ΟΟ

C Cantor, 4, 5 Cauchy, 11, 13, 75 Cauchy – Euler, 11

D De Moivre, 11, 21

F Fibonacci, 5

L Lagrange, 11

N Newton, 11

P Pascal, 11

Α άθροισµα ριζών, 16 αλγόριθµος του Ευκλείδη, 6 ανισότητα A-G-H, 13 Ανισότητα Bernoulli, 14 Ανισότητα Buniakoski-Cauchy-Schwartz, 13 Ανισότητα Chebyshev, 14 Ανισότητα Hölder, 14 Ανισότητα Minkowski, 14 Ανισότητα Weierstrass, 14 Ανισότητα Αρχιµήδη, 14 αριθµός

Άρτιος, 6 Περιττός, 6 πρώτος, 5 Σύνθετος, 5 Χρυσός, 5

αριθµός του Euler, 15

Γ γινόµενο ριζών, 16

∆ ∆ιαίρεση

Τέλεια, 6 ∆ιαιρετότητα, 6 διωνυµικός συντελεστής, 11 διώνυµο του Νεύτωνα, 11 δύναµη του συνεχούς, 5

Ε εκθετική µορφή του µιγαδικού, 21 Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο, 7 Ευκλείδεια διαίρεση, 5

Θ θεώρηµα De Moivre, 21

Κ κλάσµα, 7

ανάγωγο, 7 γνήσιο, 7 σύνθετο, 7

Κλάσµα Καταχρηστικό, 7

κλίση ευθείας, 24

Λ λόγος

Χρυσής Τοµής, 5

Μ Μέγιστος Κοινός ∆ιαιρέτης, 6 µέτρο µιγαδικού, 20 µιγαδικό επίπεδο, 20 µιγαδικός αριθµός, 20 µιγαδικός συζυγής, 20

Ο όρισµα µιγαδικού, 20

Π παραγοντικό, 11 περιοδικός δεκαδικός, 7 περίοδος, 7 πολικές συντεταγµένες, 22 πολική µορφή του µιγαδικού, 20 πολική µορφή των µιγαδικών, 20 Πρόοδος

Αριθµητική, γεωµετρική, 15 πρόσηµο τριωνύµου, 16 Προτεραιότητα των πράξεων, 5 Πρώτοι προς αλλήλους, 7 Πυθαγόρεια τριάδα

Πρωταρχική, 8

Σ Σειρές

γεωµετρική σειρά, 67 Σειρές

δυωνυµική σειρά, 67 Σύνολο, 4

απειροσύνολο, 4 αριθµήσιµο, 4 δυναµοσύνολο, 4 µη-αριθµήσιµο, 4 πληθάριθµος, 4 υποσύνολο, 4 υποσύνολο

γνήσιο, 4



Τ τρίγωνο του Pascal, 11 τύποι του Euler, 21

Χ Χρυσή Τοµή, 5



ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

1 Αριθµοί ..................................................................................................................... 3 1.1 Σύνολα .........................................................................................................................................3 1.1.1 Υποσύνολα .............................................................................................................................3 1.1.1.1 Άλγεβρα υποσυνόλων του Boole....................................................................................3 1.1.2 ∆υναµοσύνολο .......................................................................................................................3 1.1.3 Πληθάριθµοι..........................................................................................................................3 1.1.4 Τα σύνολα των αριθµών........................................................................................................3 1.2 Προτεραιότητα των πράξεων ....................................................................................................4 1.3 Πρώτοι αριθµοί (Prime numbers) ...........................................................................................4 1.4 Χρυσός αριθµός..........................................................................................................................4 1.5 Ευκλείδεια διαίρεση ...................................................................................................................4 1.6 Άρτιοι, περιττοί αριθµοί ............................................................................................................4 1.7 ∆ιαιρετότητα ...............................................................................................................................4 1.8 Ανάλυση σε γινόµενο πρώτων παραγόντων..............................................................................5 1.9 Μέγιστος Κοινός ∆ιαιρέτης.......................................................................................................5 1.10 Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο .................................................................................................5 1.11 Κλάσµατα....................................................................................................................................5 1.12 ∆εκαδικοί αριθµοί ......................................................................................................................6 1.13 Τέλειος αριθµός ..........................................................................................................................7 1.14 Ελλιπής και πλήρης αριθµός .....................................................................................................7 1.15 Φιλικοί αριθµοί...........................................................................................................................7 1.16 Πυθαγόρειοι αριθµοί..................................................................................................................7 1.17 Άρρητοι αριθµοί.........................................................................................................................8 1.18 Αλγεβρικοί αριθµοί ....................................................................................................................8 1.19 Υπερβατικοί αριθµοί ..................................................................................................................8 2 Άλγεβρα.................................................................................................................... 9 2.1 Λόγοι και αναλογίες ...................................................................................................................9 2.2 Απόλυτες τιµές ............................................................................................................................9 2.3 Ταυτότητες ..................................................................................................................................9 2.4 ∆ιάταξη - Ανισότητες ...............................................................................................................11 2.4.1 Αξιοσηµείωτες Ανισότητες: ................................................................................................11 2.4.2 Ανισότητα Αριθµητικού – Γεωµετρικού – Αρµονικού µέσου........................................12 2.4.3 Ανισότητα Buniakoski-Cauchy-Schwartz (B-C-S) .........................................................12 2.4.4 Ανισότητα Hölder...............................................................................................................13 2.4.5 Ανισότητα Minkowski. .......................................................................................................13 2.4.6 Ανισότητα Chebyshev ........................................................................................................13 2.4.7 Ανισότητα Weierstrass .......................................................................................................13 2.4.8 Ανισότητα Αρχιµήδη..........................................................................................................13 2.4.9 Ανισότητα Bernoulli ...........................................................................................................13 2.5 ∆υνάµεις ....................................................................................................................................14 2.6 Τετραγωνικές Ρίζες ...................................................................................................................14 2.7 Ρίζες ν τάξης..............................................................................................................................14 2.8 Λογάριθµοι................................................................................................................................14 2.9 Πρόοδοι ....................................................................................................................................14 2.10 Εξισώσεις...................................................................................................................................15 2.10.1 Πρωτοβάθµια εξίσωση........................................................................................................15 2.10.2 ∆ευτεροβάθµια εξίσωση .....................................................................................................15 2.10.2.1 Άθροισµα και γινόµενο ριζών τριωνύµου ....................................................................15 2.10.2.2 Πρόσηµο τριωνύµου .....................................................................................................15 2.10.2.3 Μορφές τριωνύµου ........................................................................................................16



2.10.3 ∆ιτετράγωνη Εξίσωση.........................................................................................................16 2.10.4 ∆ιωνυµικές εξισώσεις βαθµού ν≥3 .....................................................................................16 2.10.5 Τριτοβάθµια εξίσωση..........................................................................................................16 2.10.6 Η τεταρτοβάθµια εξίσωση..................................................................................................17 2.10.7 Εξισώσεις 5ου και µεγαλύτερου βαθµού ............................................................................18 3 Μιγαδικοί αριθµοί................................................................................................... 19 3.1 Ορισµοί .....................................................................................................................................19 3.2 Συζυγείς µιγαδικοί ....................................................................................................................19 3.3 Ισότητα µιγαδικών αριθµών ....................................................................................................19 3.4 Πράξεις µιγαδικών αριθµών ....................................................................................................19 3.5 Μιγαδικό επίπεδο .....................................................................................................................19 3.6 Πολική µορφή µιγαδικού ........................................................................................................19 3.7 Πολλαπλασιασµός-∆ιαίρεση σε πολική µορφή.....................................................................19 3.8 Ρίζα µιγαδικού αριθµού ...........................................................................................................20 3.8.1 Οι νιοστές ρίζες της µονάδας.............................................................................................20 3.9 Εκθετική µορφή µιγαδικών αριθµών ......................................................................................20 3.10 Λογάριθµος µιγαδικού.............................................................................................................20 3.11 Πράξεις µε µιγαδικούς σε εκθετική µορφή............................................................................20 4 Αναλυτική Γεωµετρία στο είεδο........................................................................... 21 4.1 Συστήµατα συντεταγµένων ......................................................................................................21 4.1.1 Καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων ................................................................................21 4.1.2 Πολικές συντεταγµένες .......................................................................................................21 4.2 Μετασχηµατισµός συντεταγµένων ..........................................................................................21 4.2.1 Παράλληλη Μεταφορά συντεταγµένων.............................................................................21 4.2.2 Περιστροφή συστήµατος κατά γωνία φ.............................................................................21 4.2.3 Μεταφορά και περιστροφή ταυτόχρονα ...........................................................................21 4.3 Απόσταση σηµείων ...................................................................................................................22 4.3.1 Σε καρτεσιανές συντεταγµένες ...........................................................................................22 4.3.2 Σε πολικές συντεταγµένες ...................................................................................................22 4.4 Συντεταγµένες σηµείου που διαιρεί ευθ. τµήµα ....................................................................22 4.5 Εµβαδό τριγώνου .....................................................................................................................22 4.6 Συνευθειακά σηµεία..................................................................................................................22 4.7 Ευθεία ........................................................................................................................................23 4.7.1 Κλίση ευθείας που διέρχεται από δύο σηµεία ..................................................................23 4.7.2 Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα σηµείο ..............................................................23 4.7.3 Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σηµεία..............................................................23 4.7.4 Εξίσωση ευθεία που τέµνει τους άξονες στις θέσεις α και β ............................................23 4.7.5 Γενική εξίσωση ευθείας .......................................................................................................23 4.7.6 Πολική εξίσωση ευθείας......................................................................................................23 4.7.7 Ειδικές ευθείες .....................................................................................................................23 4.7.7.1 Ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων ....................................................23 4.7.7.2 ∆ιχοτόµος 1ου – 3ου τεταρτηµορίου .............................................................................23 4.7.7.3 ∆ιχοτόµος 2ου – 4ου τεταρτηµορίου .............................................................................23 4.7.7.4 Ευθεία παράλληλη στον x άξονα..................................................................................23 4.7.7.5 Ευθεία παράλληλη στον y άξονα ..................................................................................23 4.7.7.6 Εξίσωση x άξονα............................................................................................................23 4.7.7.7 Εξίσωση y άξονα ............................................................................................................23 4.7.8 Απόσταση σηµείου από ευθεία ..........................................................................................23 4.7.9 Γωνία θ µεταξύ ευθειών µε κλίσεις λ1 και λ2 ......................................................................24 4.7.10 Ευθείες κάθετες – Ευθείες παράλληλες.............................................................................24 4.8 Κύκλος.......................................................................................................................................25 4.8.1 Ορισµός ...............................................................................................................................25



4.8.2 Εξίσωση κύκλου...................................................................................................................25 4.8.3 Εξίσωση κύκλου σε πολικές συντεταγµένες ......................................................................25 4.8.4 Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου........................................................................................25 4.8.5 Εξίσωση κύκλου που διέρχεται από 3 σηµεία ..................................................................25 4.8.6 Εξίσωση εφαπτοµένης κύκλου στο σηµείο (x1, y1) ...........................................................25 4.8.7 Συνθήκη για να είναι µία ευθεία εφαπτόµενη σε κύκλο ...................................................25 4.8.8 Εφαπτόµενη σε κύκλο από σηµείο εκτός κύκλου ............................................................25 4.9 Η παραβολή..............................................................................................................................26 4.9.1 Ορισµός ...............................................................................................................................26 4.9.2 Εξίσωση παραβολής ...........................................................................................................26 4.9.3 Γενική εξίσωση παραβολής ................................................................................................26 4.9.4 Πολική εξίσωση παραβολής...............................................................................................27 4.9.5 Σχετικές θέσεις σηµείου και παραβολής...........................................................................27 4.9.6 Εφαπτοµένη σε σηµείο παραβολής ...................................................................................27 4.9.7 Κάθετη σε σηµείο παραβολής ...........................................................................................27 4.9.8 Συνθήκη για να είναι µία ευθεία εφαπτόµενη σε παραβολή............................................27 4.9.9 Εφαπτόµενη από σηµείο εκτός παραβολής......................................................................27 4.9.10 Ανακλαστική ιδιότητα παραβολής.....................................................................................27 4.9.11 Μήκος τόξου και εµβαδό χωρίου παραβολής..................................................................28 4.10 Έλλειψη......................................................................................................................................29 4.10.1 Ορισµός ...............................................................................................................................29 4.10.2 Εξίσωση έλλειψης ................................................................................................................29 4.10.3 Πολική εξίσωση της έλλειψης.............................................................................................29 4.10.4 Εκκεντρότητα της έλλειψης................................................................................................29 4.10.5 Συνθήκη για να είναι µία ευθεία εφαπτοµένη σε έλλειψη.................................................30 4.10.6 Εξίσωση εφαπτοµένης σε σηµείο της έλλειψης ...............................................................30 4.10.7 Εφαπτοµένη από σηµείο εκτός έλλειψης ..........................................................................30 4.10.8 Εξίσωση κάθετης σε έλλειψη ..............................................................................................30 4.10.9 Ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης...................................................................................30 4.10.10 Μήκος τόξου και εµβαδό έλλειψης....................................................................................30 4.11 Υπερβολή...................................................................................................................................31 4.11.1 Ορισµοί ................................................................................................................................31 4.11.2 Εξίσωση της υπερβολής......................................................................................................31 4.11.3 Ασύµπτωτες της υπερβολής ...............................................................................................31 4.11.4 Εκκεντρότητα υπερβολής...................................................................................................31 4.11.5 Συζυγείς υπερβολές .............................................................................................................31 4.11.6 Εξίσωση εφαπτοµένης υπερβολής .....................................................................................31 4.11.7 Συνθήκη για να είναι µία ευθεία εφαπτόµενη υπερβολής ................................................32 4.11.8 Εφαπτόµενη από σηµείο εκτός υπερβολής.......................................................................32 4.11.9 Πολική εξίσωση υπερβολής................................................................................................32 4.11.10 Ανακλαστική ιδιότητα της υπερβολής...............................................................................32 4.12 Γενικά για τις κωνικές τοµές ....................................................................................................33 4.13 Καµπύλες δευτέρου βαθµού....................................................................................................34 4.13.1 Ορισµός ...............................................................................................................................34 4.13.2 ∆ιερεύνηση...........................................................................................................................34 4.13.3 Μετατροπή σε κανονική µορφή.........................................................................................34 4.13.3.1 Για κύκλο, έλλειψη, υπερβολή: .....................................................................................34 4.13.3.2 Για παραβολή.................................................................................................................35 5 Αναλυτική γεωµετρία στον χώρο ............................................................................. 36 5.1 Συστήµατα συντεταγµένων ......................................................................................................36 5.1.1 Καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων ................................................................................36 5.1.2 Κυλινδρικό σύστηµα συντεταγµένων.................................................................................36 5.1.3 Σφαιρικό σύστηµα συντεταγµένων.....................................................................................36 5.1.4 Παράλληλη µεταφορά συστήµατος συντεταγµένων.........................................................36



5.2 Απόσταση δύο σηµείων............................................................................................................37 5.3 Σηµείο που διαιρεί τµήµα σε λόγο λ......................................................................................37 5.4 Εµβαδό τριγώνου .....................................................................................................................37 5.5 Όγκος τετραέδρου....................................................................................................................37 5.6 Επίπεδα .....................................................................................................................................38 5.6.1 Γενική εξίσωση επιπέδου ....................................................................................................38 5.6.2 Ειδικά επίπεδα.....................................................................................................................38 5.6.3 Εξίσωση επιπέδου που τέµνει τους άξονες........................................................................38 5.6.4 Εξίσωση επιπέδου που διέρχεται από 3 σηµεία ...............................................................38 5.6.5 Γωνία δύο επιπέδων.............................................................................................................38 5.6.6 Απόσταση επιπέδου από την αρχή Ο ...............................................................................39 5.6.7 Απόσταση σηµείου από επίπεδο........................................................................................39 5.6.8 Συνθήκη παραλληλίας επιπέδων ........................................................................................39 5.6.9 Συνθήκη καθετότητας επιπέδων.........................................................................................39 5.7 Ευθείες στον χώρο....................................................................................................................40 5.7.1 Εξίσωση ευθείας στον χώρο ...............................................................................................40 5.7.2 Ειδικές ευθείες .....................................................................................................................40 5.7.3 Γωνία δύο ευθειών ...............................................................................................................40 5.7.4 Συνθήκη παραλληλίας.........................................................................................................41 5.7.5 Συνθήκη καθετότητας .........................................................................................................41 5.8 Μερικές Επιφάνειες ..................................................................................................................42 5.8.1 Σφαίρα..................................................................................................................................42 5.8.2 Ελλειψοειδές ........................................................................................................................42 5.8.3 Υπερβολοειδές .....................................................................................................................42 5.8.4 Παραβολοειδές....................................................................................................................43 5.8.4.1 Ελλειπτικό παραβολοειδές............................................................................................43 5.8.4.2 Υπερβολικό παραβολοειδές ..........................................................................................43 6 Γραµµική άλγεβρα .................................................................................................. 44 6.1 Πίνακες ......................................................................................................................................44 6.1.1 Ορισµοί ................................................................................................................................44 6.1.2 Πράξεις πινάκων ..................................................................................................................44 6.2 Ορίζουσες..................................................................................................................................45 6.2.1 Αλγεβρικό συµπλήρωµα.....................................................................................................45 6.2.2 Ορίζουσα οποιασδήποτε τάξης..........................................................................................46 6.2.3 Ιδιότητες οριζουσών............................................................................................................46 6.3 Γραµµικά συστήµατα ...............................................................................................................46 6.3.1 Μέθοδος του Cramer..........................................................................................................46 6.3.2 Μέθοδος του Gauss............................................................................................................47 7 Τριγωνοµετρία........................................................................................................ 48 7.1 Ορισµοί .....................................................................................................................................48 7.2 Σηµαντικές σχέσεις...................................................................................................................49 7.3 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί κυριότερων γωνιών .......................................................................49 7.4 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις ......................................................................................................49 7.5 Άθροισµα, διπλάσιο, τριπλάσιο, µισό τόξο............................................................................50 7.6 Τύποι αποτετραγωνισµού.........................................................................................................50 7.7 Βασικές ανισότητες ...................................................................................................................50 7.8 Άθροισµα τριγωνοµετρικών αριθµών .....................................................................................50 7.9 ηµα και συνα συναρτήσει της εφ(α/2) ....................................................................................51 7.10 Αναγωγή στο πρώτο τεταρτηµόριο ........................................................................................51 7.11 Μετατροπές µεταξύ τριγωνοµετρικών αριθµών.....................................................................51 7.12 ∆υνάµεις ηµιτόνου, συνηµιτόνου.............................................................................................51 7.13 Το άθροισµα ηµιτόνου – συνηµιτόνου ως ηµίτονο...............................................................52 7.14 Γραφικές παραστάσεις..............................................................................................................52



7.15 Επίλυση Τριγώνου ....................................................................................................................53 7.15.1 Θεώρηµα ηµιτόνων.............................................................................................................53 7.15.2 Θεώρηµα συνηµιτόνων .......................................................................................................53 7.15.3 Θεώρηµα εφαπτοµένων ......................................................................................................53 7.15.4 Θεώρηµα προβολών ...........................................................................................................53 7.15.5 Τύποι του Brigg ...................................................................................................................53 7.15.6 Εµβαδό τριγώνου................................................................................................................53 8 Συναρτήσεις ............................................................................................................ 55 8.1 Ορισµοί .....................................................................................................................................55 8.2 Άρτια συνάρτηση: .....................................................................................................................55 8.3 Περιττή συνάρτηση: .................................................................................................................55 8.4 Συνάρτηση ένα προς ένα 1-1: ..................................................................................................55 8.5 Αντίστροφη συνάρτηση............................................................................................................56 8.6 Περιοδική συνάρτηση ..............................................................................................................56 8.7 Μονότονες συναρτήσεις ...........................................................................................................56 8.8 Σύνθεση συναρτήσεων..............................................................................................................56 8.9 Ακρότατα συνάρτησης .............................................................................................................56 8.9.1 Μέγιστο: ...............................................................................................................................56 8.9.2 Ελάχιστο: .............................................................................................................................56 8.10 Κυρτότητα και σηµεία καµπής................................................................................................57 8.11 Μερικές χρήσιµες γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων.......................................................57 8.12 Η γραµµική συνάρτηση y = ƒ(x) = λx+β .............................................................................58 8.13 Η τετραγωνική συνάρτηση y=ƒ(x)=αx²+βx+γ.....................................................................58 8.14 Η συνάρτηση y=ƒ(x)=αxn .......................................................................................................58 8.15 Η συνάρτηση νιοστή ρίζα του x ..............................................................................................59 8.16 Η εκθετική συνάρτηση .............................................................................................................59 8.17 Η λογαριθµική συνάρτηση ......................................................................................................59 8.18 Οι αντίστροφες τριγωνοµετρικές συναρτήσεις.......................................................................60 8.18.1 Σχέσεις µεταξύ αντίστροφων τριγωνοµετρικών συναρτήσεων ........................................61 8.18.2 Άθροισµα Αντίστροφων τριγωνοµετρικών........................................................................61 8.18.3 Αρνητικό όρισµα αντίστροφων τριγωνοµετρικών συναρτήσεων.....................................61 8.18.4 Γραφικές παραστάσεις αντίστροφων τριγωνοµετρικών συναρτήσεων ............................61 8.19 Υπερβολικές συναρτήσεις.........................................................................................................62 8.19.1 Ορισµός ...............................................................................................................................62 8.19.2 Οι υπερβολικές συναρτήσεις ως εκθετικά .........................................................................62 8.19.3 Σχέσεις µεταξύ υπερβολικών συναρτήσεων ......................................................................62 8.19.4 Περιοδικότητα υπερβολικών τριγωνοµετρικών συναρτήσεων ........................................62 8.19.5 Αρνητικά ορίσµατα .............................................................................................................62 8.19.6 Τύποι Αθροισµάτων ............................................................................................................62 8.19.7 ∆ιπλάσια γωνία ....................................................................................................................63 8.19.8 Τύποι µισής γωνίας..............................................................................................................63 8.19.9 ∆υνάµεις υπερβολικών συναρτήσεων.................................................................................63 8.19.10 Αθροίσµατα – διαφορές – γινόµενα υπερβολικών συναρτήσεων ...................................63 8.19.11 Υπερβολικές συναρτήσεις σε σχέση µε άλλες ...................................................................63 8.19.12 Γραφικές παραστάσεις υπερβολικών συναρτήσεων ..........................................................64 8.20 Αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις...................................................................................65 8.20.1 Σχέσεις µεταξύ αντίστροφων υπερβολικών συναρτήσεων ...............................................65 8.20.2 Γραφικές παραστάσεις αντίστροφων τριγωνοµετρικών συναρτήσεων ............................65 8.20.3 Σχέση υπερβολικών και τριγωνοµετρικών συναρτήσεων.................................................66 8.21 Απειροσειρές .............................................................................................................................66 9 Ανάλυση.................................................................................................................. 68 9.1 Όριο συνάρτησης......................................................................................................................68 9.1.1 Πλευρικά όρια .....................................................................................................................68 9.1.2 Όριο στο άπειρο..................................................................................................................68



9.1.3 Άπειρο όριο .........................................................................................................................68 9.1.4 Πρόσηµο τιµών συνάρτησης..............................................................................................68 9.1.5 Όριο αθροίσµατος, γινόµενου κλπ ....................................................................................68 9.1.6 Κριτήριο παρεµβολής ........................................................................................................69 9.1.7 Μερικά σηµαντικά όρια......................................................................................................69 9.2 Συνέχεια συνάρτησης (continuity)..........................................................................................69 9.2.1 Σε ένα σηµείο xο ..................................................................................................................69 9.2.2 Σε ένα διάστηµα ..................................................................................................................69 9.2.3 Συναρτήσεις που είναι συνεχείς..........................................................................................69 9.2.4 Συνέπειες συνέχειας.............................................................................................................69 9.2.5 Θεωρήµατα ενδιαµέσων τιµών...........................................................................................70 9.3 Παράγωγος συνάρτησης ..........................................................................................................71 9.3.1 Εξίσωση εφαπτοµένης στην καµπύλη y=ƒ(x) στο σηµείο xο ..........................................71 9.3.2 ∆ιαφορίσιµη ή παραγωγίσιµη συνάρτηση.........................................................................71 9.3.3 Παράγωγος και συνέχεια ....................................................................................................71 9.3.4 Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης.....................................................................................71 9.3.5 Παράγωγος µίας αντίστροφης συνάρτησης ......................................................................71 9.3.6 Γενικοί Κανόνες Παραγώγισης..........................................................................................72 9.3.7 Παράγωγοι τριγωνοµετρικών συναρτήσεων .....................................................................72 9.3.8 Παράγωγοι εκθετικών – λογαριθµικών συναρτήσεων......................................................72 9.3.9 Παράγωγοι υπερβολικών- αντίστροφων υπερβολικών συναρτήσεων .............................72 9.3.10 Παράγωγοι ανώτερης τάξης ...............................................................................................73 9.3.10.1 Θεώρηµα του Leibnitz για παραγώγους ανώτερης τάξης..........................................73 9.3.10.2 Νιοστή παράγωγος µερικών συναρτήσεων..................................................................73 9.3.11 Παράγωγος και µονοτονία .................................................................................................74 9.3.12 Θεώρηµα του Rolle ............................................................................................................74 9.3.13 Θεώρηµα του Darboux......................................................................................................74 9.3.14 Θεώρηµα µέσης τιµής (διαφορικού λογισµού) ................................................................74 9.3.15 ∆εύτερο θεώρηµα µέσης τιµής (Cauchy) .........................................................................74 9.3.16 Κανόνας του De L’ Hospital .............................................................................................75 9.3.16.1 Άλλες απροσδιόριστες µορφές .....................................................................................75 9.3.17 Ανάπτυγµα Taylor...............................................................................................................75 9.3.18 Ακρότατα συνάρτησης και παράγωγος .............................................................................76 9.3.18.1 Θεώρηµα (Κριτήριο πρώτης παραγώγου) ..................................................................76 9.3.18.2 Θεώρηµα (Ακρότατα ή σηµεία καµπής) .....................................................................76 9.3.18.3 Μελέτη πραγµατικής συνάρτησης (πραγµατικής µεταβλητής) .................................76 9.4 Ολοκληρώµατα.........................................................................................................................78 9.4.1 Αόριστο Ολοκλήρωµα .......................................................................................................78 9.4.1.1 Γενικοί κανόνες Ολοκλήρωσης ....................................................................................78 9.4.1.2 Σηµαντικοί µετασχηµατισµοί στα ολοκληρώµατα.....................................................79 9.4.1.3 Η µέθοδος της ανάλυσης σε απλά κλάσµατα (partial fractions)...............................80 9.4.2 Το ορισµένο ολοκλήρωµα .................................................................................................80 9.4.2.1 Ολοκληρώσιµες συναρτήσεις........................................................................................81 9.4.2.2 Ολοκλήρωση µε άθροιση..............................................................................................81 9.4.2.3 Ιδιότητες ορισµένου ολοκληρώµατος..........................................................................81 9.4.2.4 Θεώρηµα του Leibnitz για διαφόριση ολοκληρωµάτων............................................82 9.4.2.5 Το ολοκλήρωµα σαν συνάρτηση του πάνω ορίου.......................................................82 9.4.2.6 Το θεµελιώδες θεώρηµα του ολοκληρωτικού λογισµού ............................................82 9.4.2.7 Θεωρήµατα µέσης τιµής ...............................................................................................82 9.4.2.8 Ολοκλήρωση κατά παράγοντες ....................................................................................83 9.4.2.9 Αλλαγή µεταβλητής.......................................................................................................83 9.4.2.10 Μερικές περιπτώσεις αλλαγής µεταβλητής στο ορισµένο ολοκλήρωµα ..................83



9.4.2.11 Το ορισµένο ολοκλήρωµα ως εµβαδό.........................................................................84 9.4.2.12 Όγκος Στερεού εκ περιστροφής...................................................................................84 9.4.2.13 Προσεγγιστικοί τύποι για το ολοκλήρωµα..................................................................84 9.5 Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ..........................................................................................85 9.6 Εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων...........................................................................................85 10 Βιβλιογραφία, ηγές:............................................................................................... 86

Education

Typologio 2003