U 3 resistencias m1 u1

1

2

CÁLCULO DE LA RESISTENCIA DE UN CONDUCTOR

A mayor longitud, mayor resistencia

A mayor sección, menor resistencia

A diferente material, diferente resistencia

Para aplicar esta influencia del material en la resistencia, se debe considerar una nueva magnitud que se llama

RESISTIVIDAD

3


La resistencia eléctrica de un conductor depende de su longitud, de su sección y de su resistividad, y toma como expresión matemática:

S

LR ρ=

R = la resistencia (ohmios),L = longitud (metros),ρ = factor de resistividad,S = sección.

[ A ]

4


Resistividad de un material es la resistencia que ofrece un hilo de dicho material de un metro de longitud y un milímetro cuadrado de sección. Se representa por la letra griega ρ (rho).

RESISTIVIDAD

Resistividad de algunos materiales

Material Composición ρ (en Ω · mm2/m)

Plata Ag 0,015

Cobre Cu 0,017

Aluminio Al 0,027

Estaño Sn 0,13

Mercurio Hg 0,94

5


Es la propiedad contraria a la resistividad, o sea, la facilidad con que los conductores dejan pasar la corriente eléctrica. Se representa por la letra griega σ (sigma), y la relación matemática entre ésta y la resistividad es:

CONDUCTÍVIDAD

ρ=σ 1

σ=ρ 1; [ B ]

Si se despeja ρ de la expresión [ B ] y se sustituye en la fórmula [ A ], se tendrá:

S

L

S

L1R

•σ=•

σ=

6


El concepto inverso de resistencia se denomina conductancia; indica la mayor o menor facilidad con que la corriente eléctrica atraviesa un conductor. Se representa con la letra G, se mide en siemens y su expresión matemática es:

CONDUCTANCIA

R1

G =

7


1º. Se tiene un conductor de cobre de 10 m de longitud y 1 mm2 de sección. Se desea saber su resistencia.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Solución:Para calcular la resistencia se aplica la fórmula [ A ]:

S

LR ρ=

Los valores de la longitud y de la sección vienen dados en el enunciado.El valor de la resistividad se tiene en la tabla.

Ω=×= 17,01

10017,0R

8


2º. Si se tiene un conductor del mismo material, de igual sección pero de 100 m de longitud, calcular su resistencia.


Solución:

En donde se ve que, siendo del mismo material y sin variar la sección del conductor, la resistencia varia proporcionalmente a la longitud.

Ω=×= 7,11

100017,0R

9


3º. Calcular la resistencia de un conductor del mismo material y de una longitud de 10 m, como en el ejemplo 1º, pero con una sección de 2 mm2.


Solución:

En donde se ve que, comparando con el ejemplo 1º, la resistencia es inversamente proporcional a la sección.

Ω=×= 085,02

10017,0R

10


4º Si se cambia el material del conductor del ejemplo 1º por aluminio, y se dejan la misma longitud y sección (10 metros y 1 mm2 respectivamente), calcular su resistencia.


Solución:

Se observa, por consiguiente, que manteniendo invariables las dimensiones de un conductor, la resistencia depende del material.

Ω=×= 28,01

10028,0R

11


5º ¿Cuál será la conductividad de un conductor si su resistividad es de 0,0172 Ω mm2/m?


Solución:

2mm/mSiemens13,580172,0

11 ⋅==ρ

=σ

12


6º ¿Qué resistencia tendrá un conductor de cobre de 100 m de longitud y 2 mm2 de sección?


Solución:

que es igual que:

Ω==×

=⋅σ

= 86,026,116

100

213,58

100

S

LR

Ω=×=⋅ρ= 86,02

1000172,0

S

LR

13

EFECTO JOULE La cantidad de calor producida por una resistencia es igual al producto de la d. d. p. que soporta entre sus extremos por la corriente que la atraviesa y por el tiempo en segundos que circula la corriente, todo ello afectado de un coeficiente de proporcionalidad, de valor 0,24

Q = (UA - UB) · I · t · 0,24donde: Q = cantidad de calor (en calorías),UA U‑ B = la tensión en bornes de la resistencia o

conductor (expresada en voltios), I = la corriente eléctrica (en amperios), t = el tiempo (en segundos) 0,24 = Coeficiente de equivalencia

James Prescott Joule

Las unidades caloríficas usadas son: la caloría (cal) y la kilocaloría (kcal)Caloría: Es la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de un gramo de agua un grado centígrado.

14

EFECTO JOULE

Esta expresión se puede transformar en otras dos, de uso cotidiano, aplicando la ley de Ohm.

Q = 0,24 · (UA U‑ B) · I · tya que:

UA U‑ B = I · R; y por tanto:

Q = 0,24 · I · R · I · t = 0,24 · I2 · R · t

o también:

O también: Q = 0,24 · E (E = Energía aléctrica ( W · s))

R

)U - (UI BA=

R

t·)U - (U·24,0Q

2BA=

15


1º. Calcular el calor desprendido por una resistencia conectada a 220 V recorrida por una corriente de 2 A, durante dos horas.

Solución:Se aplica la fórmula:

Q = 0,24 · (UA U‑ B) · I · t

(Para simplificar, en adelante UA U‑ B se designará por UAB.)o sea:

Q = 0,24 · UAB · I · t = 0,24 x 220 x 2 x 7200

ya que 1 hora = 60 x 60 = 3 600 s; y, en consecuencia, 2 horas = 7200s:

Q = 760 320 cal = 760,32 kcal

16


2º. Qué calor producirá la resistencia de un calentador eléctrico, si su valor es de 40 Ω y está conectado a una tensión de 120 V, durante medio minuto.


o sea,

Q = 2,592 kcal

tR

)(U·24,0Q

2BA •=

cal25923040

120·24,0Q

2

=•=

17


3º Calcular el calor producido por una estufa de 1 000 W, conectada durante 1 minuto.


Q = 0,24 · UAB · I · tpero si se considera que:

UAB · I = WAB

resulta:Q = 0,24 · WÁB · t y WÁB = 1000 W

luego:Q = 0,24 x 1.000 x 60 = 14,4 x 103 CalQ = 14,4 kcal

18

APLICACIONES En todas las aplicaciones eléctricas aparece este efecto calorífico, perjudicial en algunas ocasiones y provechosa en otras

Perjudicial:Motores, transformadores y máquinas eléctricas, en general; el calor desprendido por efecto Joule es muy peligroso, pues aumenta el riesgo de fallo, por fusión de los aislantes utilizados. Provechosa:Alumbrado, el alumbrado se produce por efecto Joule, soldadura eléctrica y por puntos, soldaduras blandas, con soldadores eléctricos, hornos, estufas, calentadores, fusibles.

19

VARIACIÓN DE LA RESISTENCIA EN FUNCIÓN DE LA TEMPERATURA

Si bien la resistividad varía con la temperatura, lo que interesa destacar es la variación de la resistencia; la expresión o ecuación que determina la resistencia a cualquier temperatura es

Rt = Ro · (1 + (α· Δt))donde:

Rt = la resistencia a la temperatura t,RO = la resistencia a 20º C de temperatura,α = un coeficiente de temperatura,Δt = Incremento de la temperatura.

MATERIAL α(ºC-1)

PLATA 0,0036

COBRE ELÉCTROLITICO 0,0039

ALUMINIO 0,004

ESTAÑO 0,0045

TUNGTENO 0,042

MANGANINA 0,00001

20


¿Qué resistencia tendrá la bobina de un motor que se ha calentado hasta 70º C, si a 20º C valía 2,5 Ω? La bobina es de cobre.


Rt = Ro · (1 + (α· Δt))

siendo los datos:

Δt = 70 20 = 50 ºC; α = 0,0039; R‑ O = 2,5 Ω

Rt = 2,5 x (1 + (0,0039 x 50)) = 2,98 Ω

21

ACOPLAMIENTO DE RESISTENCIAS EN SERIE

Se dice que un conjunto de resistencias está en serie cuando la salida de una resistencia está conectada con la entrada de la siguiente, y así sucesivamente hasta tener dos únicos bornes que se conectan a la tensión de alimentación.Todos ellos estan recorridos por la misma intensidad.

Lámparas en serieResistencias en serie

R1 R2 R3

22


En un circuito con montaje en serie se cumplen los siguientes principios:

Todos los elementos están recorridos por la misma intensidad.

La resistencia total es la suma de las resistencias parcialesRt = R1 + R2 + R3 + ··· Rn

La tensión total es la suma de las tensiónes parcialesUt = U1 + U2 + U3 + ··· Un

La potencia total es la suma de las potencias parcialesPt = P1 + P2 + P3 + ··· Pn

23


A una pila de linterna de 4,5 V se le conectan tres lamparitas en serie de 5, 10 y 15 Ω respectivamente: 1º, hacer el esquema de la conexión; 2º, calcular la resistencia total; 3º, calcular la intensidad de corriente; 4º, calcular la tensión en bornes de cada lamparita; 5º, calcular las potencias parciales en mW y la total del circuito.

EJERCICIO DE APLICACIÓN

1. º Se buscan los símbolos de cada elemento en la lista de símbolos,

y se prepara el esquema

Solución

Esquema del circuito

5 Ω

10 Ω

15 Ω

Símbolos necesariospara el esquema

pila

interuptor

lámpara

- +

24


2. º La resistencia total será la suma de todas las resistencias:Rt = R1 + R2 + R3, = 5 + 10 + 15 = 30 Ω


4. º Aplicando la ley de Ohm, se obtienen las tensiones de cada lamparita:

U1 = I R1 = 0,15 x 5 = 0,75 VU2 = I R2 = 0,15 x 10 = 1,5 VU3 = I R3 = 0,15 X 15 = 2,25 V

Sumando las tensiones de cada lámpara, se obtiene la tensión total aplicada:

Ut = U1 + U2 + U3 = 0,75 + 1,5 + 2,25 = 4,5 V

3. º Para hallar la intensidad, se aplica la ley de Ohm al circuito

A15,030

5,4

R

UI

t

t ===

25


5. º La potencia parcial en cada lamparita se obtendrá al aplicar la fórmula:

Pp = I · Up.

P1 = 0,15 x 0,75 = 0,1125 W = 112,5 mWP2 = 0,15 x 1,5 = 0,225 W = 225 mWP3 = 0,15 x 2,25 = 0,3375 W = 337,5 mW

La potencia total será:.

Pt = P1 + P2 + P3= 112,5 + 225 + 337,5 = 675 mW

Y se puede comprobar fácilmente:

Pt = I · Ut = 0,15 x 4,5 = 0,675 = 675 mW


26

ACOPLAMIENTO DE RESISTENCIAS EN PARALELO

Se dice que un conjunto de resistencias están acopladas en paralelo o derivación, cuando todas las salidas están conectadas a un punto común, y todas las entradas a otro. A estos puntos se les aplica la tensión de alimentación; por tanto, en un circuito en paralelo todas las resistencias reciben la tensión total y funcionan a la misma tensión.

It

U R1

I1

R2

I2

R3

I3

Resistencias en peralelo

27


A diferencia del circuito serie, en el circuito paralelo, como se muestra en el esquema de la figura anterior, la corriente puede circular por varios caminos. En un circuito en paralelo la intensidad total es igual a la suma de las intensidades que pasan por cada resistencia.

It = I1 +I2 + I3 + ··· In

...R

1

R

1

R

1

R

11

R

4321

t

++++=

El valor de la resistencia total es menor que la resistencia mas pequeña de todas ellas.

La formula para el calculo es la siguiente:

Al igual que sucedía en la conexión serie, esta potencia se reparte entre las distintas resistencias del circuito; se llama potencia parcial la disipada en cada una de las resistencias, siendo su valor igual al del cálculo anterior:

Pt = P1 + P2 + P3 + ··· Pn

28


A una batería de automóvil de 12 V se conectan tres resistencias en paralelo de 6, 4 y 12 Ω respectivamente. Calcular: 1º, el esquema de conexión; 2º, la resistencia total del circuito; 3º, la intensidad absorbida por cada resistencia; 4º, la intensidad total; 5º, las potencias parciales en mW (potencias de 10), y la total del circuito en (W).

Solución:1º Se realiza el esquema de la figura.


12V

6Ω 4Ω 12Ω

Circuito paralelo

29


2. º Se calcula la resistencia total, mediante la ecuación:

Rt = 2 Ω

3. º Se aplica la ley de Ohm:


21

126

12132

121

41

61

R1

R1

R1

R1

321t

==++=++=++=

A26

12I;

R

UI 1

11 ===

A34

12I;

R

UI 2

22 ===

A11212

I;RU

I 33

3 ===

Como se ve, en un circuito en paralelo las intensidades se reparten de forma inversamente proporcional a las resistencias.

30


4. º A continuación se calcula la intensidad total como la suma de las intensidades parciales:

lt = I1 + I2 + I3 = 2 + 3 + 1 = 6 A

O bien, se aplica la ley de Ohm al circuito


5. º La potencia parcial se obtendrá aplicando la fórmula: Pp=Ip·U. P1 = 2 x 12 = 24 W = 24 x 103 mWP2 = 3 x 12 = 36 W = 36 x 103 mWP3 = 1 x 12 = 12 W = 12 X 103 mW

y la potencia total se obtendrá de la suma de las anteriores:P = P1 + P2 + P3 = 24 + 36 + 12 = 72 W

Resultado que se puede comprobar aplicando la fórmula general de la potencia total:

P = U · It = 12 x 6 = 72 W

A62

12

R

UI

tt ===

31

CIRCUITOS MIXTOS (SERIE PARALELO‑ )

En la práctica, los circuitos que se presentan con resistencias no son tan simples como los vistos hasta aquí, ya que en general las resistencias se montan por agrupaciones serie paralelo, esto es, en serie con un circuito ‑paralelo se encuentran una o varias resistencias. Estos circuitos se llaman mixtos.

Para resolver estos circuitos, se solucionan independientemente los montajes serie y paralelo que lo compongan, con lo que se llega a obtener un circuito único, bien en serie o en paralelo, que se resolverá por el método correspondiente.

24V

= 5Ω

=4Ω

=12Ω

Circuito mixto

R1

R2

R3

32


1º Calcular en el circuito de la figura la resistencia total equivalente del circuito; b) la intensidad total; c) la tensión en bornes de cada resistencia; d) la intensidad que circula por cada resistencia.

Solución: a) Se resuelve el circuito en paralelo inferior


32

32

32

32p

32

32

32p RR

RR

RR

RR1

RRR

RR

R1

R1

R1

+•=

•+=⇒

•+=+= Ω===

+=

+•

= 34

12

16

48

412

4x12

RR

RRR

32

32p

Por tanto, se tiene ya un circuito en serie formado por la resistencia de 5 Ω y la resistencia equivalente del circuito en paralelo

=3Ω=5Ω

Resistencias en serie una vez reducido el grupo paralelo

R1 RP

U1 UP

Rt = R1 + Rp = 5 + 3 = 8 Ω

33


b) Se aplica la ley de Ohm y se obtiene:

c) Utilizando de nuevo la ley de Ohm (circuito de la figura)


U1= It · R1 = 3 x 5 = 15 V

Up = 3 x 3 = 9 V

UP + U1 = U ; 15 + 9 = 24V

A38

24

R

UI

tt ===

=3Ω=5Ω

Resistencias en serie una vez reducido el grupo paralelo

R1 RP

U1 UP

34


d) Las intensidades parciales serán: En la resistencia R1, por estar en serie en el circuito, la total del circuito:

I1 = It = 3 APara calcular la intensidad en las resistencias en paralelo, se aplica la ley de Ohm a cada una de ellas:


A75,012

9

R

UI

2

p2 ===

A25,24

9

R

UI

3

p3 ===

35


2º Calcular en el circuito de la figura:a) resistencia de cada rama; b) intensidad total; c) intensidad de cada rama; d) tensión en bornes de cada resistencia.

Solución: a) Se resuelve la rama en serie, cuya resistencia es:

RS = R2 + R3 = 4 + 8 = 12 Ω


24V

= 12Ω

=8Ω=4Ω

Circuito mixto

R1

U1

I1

R2

I2 I3U2

R3

U3

Queda así un circuito formado por dos resistencias en paralelo (fig.), cuya resistencia combinada es (fig.):

= 12Ω

=12Ω

Circuito paralelo trashaber reducido el grupo en serie

R1

U

I1

R2I2

It

Resistencia equivalentetotal

U

RtI2

It

Ω===+

=+•

= 62

12

24

144

1212

12x12

RR

RRR

S1

S1t

36


c) La tensión en bornes de cada rama será la misma, puesto que están en paralelo. Por tanto:

La intensidad en las resistencias R2 y R3 será igual a la de la rama, puesto que están en serie.


A212

24

R

UI

11 ===

A212

24III 32s ====

d) La tensión aplicada a cada rama es la de la batería. Por consiguiente:US = 24 VU1 = 24 VU2 = R2 · I2 = 4 x 2 = 8 VU3 = R3 · I3 = 8 x 2 = 16 V

37

EJERCICIO RESUMEN Se dispone de un generador de 24 V, al que se acopla un motor cuya resistencia es de 6,3 Ω mediante una línea de cobre de 50 m de longitud y 1 mm2 de sección. Calcular: 1º, resistencia de la línea; 2º, resistencia total; 3º, intensidad del circuito; 4º, tensión en bornes del motor; 5º, potencia cedida por el generador; 6º, potencia absorbida por el motor; 7 º calor disipado por efecto Joule en la línea, sabiendo que ha estado conectado 6 horas; 8º, energía consumida por el motor durante un mes, si cada día está conectado 6 horas.

Solución:1. º La resistencia de la línea se calcula teniendo en cuenta que se trata de dos conductores, el de ida y el de retorno; y que, por tanto, la longitud del conductor será el doble que la de la línea.

2 º La resistencia total, como se trata de un circuito en serie, será la suma de la del receptor más la de la línea (Fig.):

Rt = RL + RM = 1,7 + 6,3 = 8 0 Ω

Ω==••ρ= 7,11

50x2X017,0

S

I2RL

38

EJERCICIO RESUMEN 3 º La intensidad del circuito se obtiene con la ley de Ohm:

4. º La tensión en bornes del motor se calcula también con la ley de Ohm:UM = I · RM = 3 x 6,3 = 18,9 V

5 º Con la expresión de la potencia P = U · I se obtiene la potencia cedida por el generador:

P = 24 x 3 = 72 W

A38

24

R

UI

t

===

6. º Se aplica la misma fórmula anterior P = U · I al receptor:P = 18,9 x 3 = 56,7 W

39

EJERCICIO RESUMEN 7. º Se aplica la fórmula:

Q = 0,24 · I2 ·RL · t siendo:

RL = 1,7 Ω; I = 3 A y t 6 x 3 600 s

Q = 0,24 x 32 x 1,7 x 6 x 3 600 = 79 315,2 cal

Q = 79,3152 Kcal.

8. º Para calcular la energía consumida en un mes, se calcula, primero, el tiempo de funcionamiento en horas:

6 horas x 30 = 180 horas

Con la fórmula E = P · t, se calcula la energía al mes:

E = 56,7 x 180 = 10 206 Wh ; 10 206 Wh = 10,206 kWh

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