O równaniach funkcyjnych zwiazanych z …WstępRozdzielność implikacji rozmytychO równaniu f(m1(x + y)) = m2(f(x) + f(y)) O równaniu f(u1 + v1, u2 + v2) = f(u1, v1) + f(u2, v2)

Wstęp Rozdzielność implikacji rozmytych O równaniu f (m1(x + y)) = m2(f (x) + f (y)) O równaniu f (u1 + v1, u2 + v2) = f (u1, v1) + f (u2, v2)

O równaniach funkcyjnychzwiązanych z rozdzielnością implikacji rozmytych

Wanda Niemyska

Instytut MatematykiUniwersytet Śląski

25.09.2014

Odczyt na Letniej Szkole IM, Podlesice 2014


Bibliografia

[1] M. Baczyński, W. Niemyska, T. Szostok: On a functional equationrelated to distributivity of fuzzy implications, In: 2013 IEEEInternational Conference on Fuzzy Systems (FUZZ IEEE 2013,Hyderabad, India, July 7-10, 2013), 1-5.

[2] M. Baczyński, W. Niemyska, T. Szostok: On a functional equationrelated to the distributivity of fuzzy implications over triangularnorms and conforms, przyjęty do druku w czasopiśmie Kybernetika.

[3] M. Baczyński, W. Niemyska, On the distributivity equationI(x,U1(y,z)) = U2(I(x,y),I(x,z)) for decomposable uninorms (ininterval-valued fuzzy sets theory) generated from conjunctiverepresentable uninorms, konferencja MDAI 2014.


Bibliografia

[1] M. Baczyński and B. Jayaram: On the distributivity of fuzzyimplications over nilpotent or strict triangular conorms, IEEE Trans.Fuzzy Syst. 17 (2009) 590-603.

[2] M.Baczyński: On the distributivity of fuzzy implications overrepresentable uninorms, Fuzzy Sets and Systems 161, 2256-2275,2010.

[3] W.E. Combs, J.E. Andrews: Combinatorial rule explosion eliminatedby a fuzzy rule configuration, IEEE Trans. Fuzzy Syst. 6 (1998) 1-11.

[4] E.P. Klement, R. Mesiar and E. Pap: Triangular Norms, Kluwer,Dordrecht, 2000.

[5] M. Kuczma: An Introduction to the Theory of Functional Equationsand Inequalities. Cauchy’s Equation and Jensen’s Inequality ,Państwowe Wydawnictwo Naukowe (Polish Scientific Publishers)and Uniwersytet Ślaski, Warszawa–Kraków–Katowice 1985.


Plan odczytu

Wprowadzenie pojęć z logiki rozmytej.

Rozdzielność implikacji rozmytych - co to jest i do czego jestpotrzebne?

O równaniu f (m1(x + y)) = m2(f (x) + f (y)).

O równaniu f (u1 + v1, u2 + v2) = f (u1, v1) + f (u2, v2).

Plany na dalszą pracę.


Wprowadzenie operatorów rozmytych - Implikacja

x → y”→ ”: {0, 1}2 → {0, 1}

0→ 0 = 10→ 1 = 11→ 0 = 01→ 1 = 1

I(x , y)

I : [0, 1]2 → [0, 1]

I(0, 0) = 1I(0, 1) = 1I(1, 0) = 0I(1, 1) = 1

Definicja 1Funkcja I : [0, 1]2 → [0, 1] jest nazywana IMPLIKACJĄ ROZMYTĄ, jeślidla każdego x , y ∈ [0, 1] spełnione są następujące warunki

1 I(·, y) jest malejąca,2 I(x , ·) jest rosnąca,3 I(0, 0) = 1,4 I(1, 1) = 1,5 I(1, 0) = 0.



x → y”→ ”: {0, 1}2 → {0, 1}

0→ 0 = 10→ 1 = 11→ 0 = 01→ 1 = 1

I(x , y)

I : [0, 1]2 → [0, 1]

I(0, 0) = 1I(0, 1) = 1I(1, 0) = 0I(1, 1) = 1





x → y”→ ”: {0, 1}2 → {0, 1}

0→ 0 = 10→ 1 = 11→ 0 = 01→ 1 = 1

I(x , y)

I : [0, 1]2 → [0, 1]

I(0, 0) = 1I(0, 1) = 1I(1, 0) = 0I(1, 1) = 1





x → y”→ ”: {0, 1}2 → {0, 1}

0→ 0 = 10→ 1 = 11→ 0 = 01→ 1 = 1

I(x , y)

I : [0, 1]2 → [0, 1]

I(0, 0) = 1I(0, 1) = 1I(1, 0) = 0I(1, 1) = 1





x → y”→ ”: {0, 1}2 → {0, 1}

0→ 0 = 10→ 1 = 11→ 0 = 01→ 1 = 1

I(x , y)

I : [0, 1]2 → [0, 1]

I(0, 0) = 1I(0, 1) = 1I(1, 0) = 0I(1, 1) = 1




Wprowadzenie operatorów rozmytych - Koniunkcja

x ∧ y” ∧ ”: {0, 1}2 → {0, 1}

0 ∧ 0 = 00 ∧ 1 = 01 ∧ 0 = 01 ∧ 1 = 1

T (x , y)

T : [0, 1]2 → [0, 1]

T (0, 0) = 0T (0, 1) = 0T (1, 0) = 0T (1, 1) = 1

Definicja 2Funkcja T : [0, 1]2 → [0, 1] jest nazywana NORMĄ TRÓJKĄTNĄ(t-normą), jeśli dla każdego x , y , z ∈ [0, 1] spełnione są następującewarunki

1 T (x , y) = T (y , x),2 T (x ,T (y , z)) = T (T (x , y), z),3 T (x , ·) jest rosnąca,4 T (x , 1) = x.


Wprowadzenie operatorów rozmytych - Alternatywa

x ∨ y” ∨ ”: {0, 1}2 → {0, 1}

0 ∨ 0 = 00 ∨ 1 = 11 ∨ 0 = 11 ∨ 1 = 1

S(x , y)

S : [0, 1]2 → [0, 1]

S(0, 0) = 0S(0, 1) = 1S(1, 0) = 1S(1, 1) = 1

Definicja 3A function S : [0, 1]2 → [0, 1] jest nazywana KONORMĄ TRÓJKĄTNĄ(t-conormą), jeśli dla każdego x , y , z ∈ [0, 1] spełnione są następującewarunki

1 S(x , y) = S(y , x),2 S(x ,S(y , z)) = S(S(x , y), z),3 S(x , ·) jest rosnąca,4 S(x , 0) = x.


Wprowadzenie operatorów rozmytych - Uninorma

Definicja 4Funkcja U : [0, 1]2 → [0, 1] jest nazywana UNINORMĄ, jeśli istniejee ∈ [0, 1] taki, że dla każdego x , y , z ∈ [0, 1] spełnione są następującewarunki

1 U(x , y) = U(y , x),2 U(x ,U(y , z)) = U(U(x , y), z),3 U(x , ·) jest rosnąca,4 U(x , e) = x.

Uwaga 1Dla dowolnej uninormy U mamy U(0, 0) = 0, U(1, 1) = 1 orazU(0, 1) ∈ {0, 1}. Jeśli U(0, 1) = 0, to uninormę nazywamy koniunkcyjną,a jeśli U(0, 1) = 1, to uninormę nazywamy alternatywną.


Wprowadzenie operatorów rozmytych - Uninorma

Definicja 4Funkcja U : [0, 1]2 → [0, 1] jest nazywana UNINORMĄ, jeśli istniejee ∈ [0, 1] taki, że dla każdego x , y , z ∈ [0, 1] spełnione są następującewarunki

1 U(x , y) = U(y , x),2 U(x ,U(y , z)) = U(U(x , y), z),3 U(x , ·) jest rosnąca,4 U(x , e) = x.

Uwaga 1Dla dowolnej uninormy U mamy U(0, 0) = 0, U(1, 1) = 1 orazU(0, 1) ∈ {0, 1}. Jeśli U(0, 1) = 0, to uninormę nazywamy koniunkcyjną,a jeśli U(0, 1) = 1, to uninormę nazywamy alternatywną.


Compositional Rule of Inference (CRI)

SISO:

MISO:



SISO:

MISO:



SISO:

MISO:



SISO:

MISO:



SISO:

MISO:


Compositional Rule of Inference (CRI)Ogólny schemat wielowarunkowego przybliżonego wnioskowania mapostać:

Reguła 1 : IF x is A1, THEN y is B1Reguła 2 : IF x is A2, THEN y is B2· · · · · · · · · · · · · · · · · ·Reguła n: IF x is An, THEN y is Bn

Fakt: x is A

Wniosek: y is B

B(y) = supj∈Nn supx∈X T (A(x), I(Aj(x),Bj(y)))

(B =n⋃

i=1(A ◦ Ri ) )




Fakt: x is AWniosek: y is B


(B =n⋃

i=1(A ◦ Ri ) )




Fakt: x is AWniosek: y is B


(B =n⋃

i=1(A ◦ Ri ) )


Rozdzielność implikacji rozmytych

(x ∧ y)→ z ≡ (x → z) ∨ (y → z) (T1)

x → (y ∨ z) ≡ (x → y) ∨ (x → z) (T2)

I(T (x , y), z) = S(I(x , z), I(y , z)) (D1)

I(x ,S(y , z)) = S(I(x , y), I(x , z)) (D2)



(x ∧ y)→ z ≡ (x → z) ∨ (y → z) (T1)

x → (y ∨ z) ≡ (x → y) ∨ (x → z) (T2)

I(T (x , y), z) = S(I(x , z), I(y , z)) (D1)

I(x ,S(y , z)) = S(I(x , y), I(x , z)) (D2)



(x ∧ y)→ z ≡ (x → z) ∨ (y → z) (T1)

x → (y ∨ z) ≡ (x → y) ∨ (x → z) (T2)

I(T (x , y), z) = S(I(x , z), I(y , z)) (D1)

I(x ,S(y , z)) = S(I(x , y), I(x , z)) (D2)



x → (y ∨ z) ≡ (x → y) ∨ (x → z) (T2)

TAUTOLOGIA

x y z x → (y ∨ z) (x → y) ∨ (x → z) L ≡ Ry ∨ z L x → y x → z R

0 0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 10 1 0 1 1 1 1 1 11 0 0 0 0 0 0 0 10 1 1 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 0 1 1 11 1 0 1 1 1 0 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1



x → (y ∨ z) ≡ (x → y) ∨ (x → z) (T2)

TAUTOLOGIA

x y z x → (y ∨ z) (x → y) ∨ (x → z) L ≡ Ry ∨ z L x → y x → z R

0 0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 10 1 0 1 1 1 1 1 11 0 0 0 0 0 0 0 10 1 1 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 0 1 1 11 1 0 1 1 1 0 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1



I(x ,S(y , z)) = S(I(x , y), I(x , z)) (D2)

TAUTOLOGIA?Problem: Kiedy powyższe równanie jest prawdziwe? Dla których

operatorów S oraz I?

I(x ,S1(y , z)) = S2(I(x , y), I(x , z))



I(x ,S(y , z)) = S(I(x , y), I(x , z)) (D2)



I(x ,S1(y , z)) = S2(I(x , y), I(x , z))



I(x ,S(y , z)) = S(I(x , y), I(x , z)) (D2)



I(x ,S1(y , z)) = S2(I(x , y), I(x , z))



I(x ,S(y , z)) = S(I(x , y), I(x , z)) (D2)



I(x ,S1(y , z)) = S2(I(x , y), I(x , z))


Historia

W.E.Combs, J.E.Andrews (1998): Combinatorial rule explosioneliminated by a fuzzy rule configuration,IEEE Trans. Fuzzy Systems 6, 1-11 (1998)


Historia

W.E.Combs, J.E.Andrews (1998): Combinatorial rule explosioneliminated by a fuzzy rule configuration,IEEE Trans. Fuzzy Systems 6, 1-11 (1998)


Historia

I(x ,S1(y , z)) = S2(I(x , y), I(x , z))

Baczyński, Jayaram (2009):Dla S1,S2 obu nilpotentnych lub obu ścisłych t-conorm znamypostać implikacji I,Dla R-implikacji I wygenerowanej ze ścisłej t-normy T powyższerównanie jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy t-conormy S1 = S2są Φ-sprzężone z t-conormą Łukasiewicza dla pewnej rosnącejbijekcji Φ, która jest multyplikatywnym generatorem ścisłej t-normyT .


Równanie I(x , S1(y , z)) = S2(I(x , y), I(x , z))

Lemat 1Jesli S jest ciągłą i Archimedesową t-conormą wtedy i tylko wtedy, gdy Sjest postaci

S(x , y) = s−1(min(s(x) + s(y), s(1))), x , y ∈ [0, 1]

gdzie s : [0, 1]→ [0,∞] jest ciągłą, ściśle rosnącą funkcją, taką żes(0) = 0.

Uwaga 2S jest ścisłą t-conormą wtedy i tylko wtedy, gdy s(1) =∞;S jest nilpotentną t-conormą wtedy i tylko wtedy, gdy s(1) <∞.



Lemat 1Jesli S jest ciągłą i Archimedesową t-conormą wtedy i tylko wtedy, gdy Sjest postaci

S(x , y) = s−1(min(s(x) + s(y), s(1))), x , y ∈ [0, 1]

gdzie s : [0, 1]→ [0,∞] jest ciągłą, ściśle rosnącą funkcją, taką żes(0) = 0.

Uwaga 2S jest ścisłą t-conormą wtedy i tylko wtedy, gdy s(1) =∞;S jest nilpotentną t-conormą wtedy i tylko wtedy, gdy s(1) <∞.



I(x ,S1(y , z)) = S2(I(x , y), I(x , z))

↓Lemat 1: Sk(x , y) = s−1

k (min(sk(x) + sk(y), sk(1))), x , y ∈ [0, 1]↓

I(x , s−11 (min(s1(y)+s1(z), s1(1)))) = s−1

2 (min(s2(I(x , y)+s2(I(x , z), s2(1)))

↓gx (·) = s2 ◦ I(x , s−1

1 (·)), dla ustalonego x ∈ [0, 1]↓

gx (min(s1(y) + s1(z), s1(1))) = min(gx (s1(y)) + gx (s1(z)), s2(1))

↓f (min(u + v , r1)) = min(f (u) + f (v), r2),

gdzie u, v ∈ [0, r1], r1 := s1(1), r2 := s2(1) ∈ (0,∞)



I(x ,S1(y , z)) = S2(I(x , y), I(x , z))


k (min(sk(x) + sk(y), sk(1))), x , y ∈ [0, 1]↓

I(x , s−11 (min(s1(y)+s1(z), s1(1)))) = s−1

2 (min(s2(I(x , y)+s2(I(x , z), s2(1)))

↓gx (·) = s2 ◦ I(x , s−1




gdzie u, v ∈ [0, r1], r1 := s1(1), r2 := s2(1) ∈ (0,∞)



I(x ,S1(y , z)) = S2(I(x , y), I(x , z))


k (min(sk(x) + sk(y), sk(1))), x , y ∈ [0, 1]↓

I(x , s−11 (min(s1(y)+s1(z), s1(1)))) = s−1

2 (min(s2(I(x , y)+s2(I(x , z), s2(1)))

↓gx (·) = s2 ◦ I(x , s−1




gdzie u, v ∈ [0, r1], r1 := s1(1), r2 := s2(1) ∈ (0,∞)



I(x ,S1(y , z)) = S2(I(x , y), I(x , z))


k (min(sk(x) + sk(y), sk(1))), x , y ∈ [0, 1]↓

I(x , s−11 (min(s1(y)+s1(z), s1(1)))) = s−1

2 (min(s2(I(x , y)+s2(I(x , z), s2(1)))

↓gx (·) = s2 ◦ I(x , s−1




gdzie u, v ∈ [0, r1], r1 := s1(1), r2 := s2(1) ∈ (0,∞)



I(x ,S1(y , z)) = S2(I(x , y), I(x , z))


k (min(sk(x) + sk(y), sk(1))), x , y ∈ [0, 1]↓

I(x , s−11 (min(s1(y)+s1(z), s1(1)))) = s−1

2 (min(s2(I(x , y)+s2(I(x , z), s2(1)))

↓gx (·) = s2 ◦ I(x , s−1




gdzie u, v ∈ [0, r1], r1 := s1(1), r2 := s2(1) ∈ (0,∞)



I(x ,S1(y , z)) = S2(I(x , y), I(x , z))


k (min(sk(x) + sk(y), sk(1))), x , y ∈ [0, 1]↓

I(x , s−11 (min(s1(y)+s1(z), s1(1)))) = s−1

2 (min(s2(I(x , y)+s2(I(x , z), s2(1)))

↓gx (·) = s2 ◦ I(x , s−1




gdzie u, v ∈ [0, r1], r1 := s1(1), r2 := s2(1) ∈ (0,∞)



f (min(u + v , r1)) = min(f (u) + f (v), r2),

gdzie u, v ∈ [0, r1], r1 := s1(1), r2 := s2(1) ∈ (0,∞)

f (u + v) = min(f (u) + f (v), r2)

f (min(u + v , r1)) = f (u) + f (v)

f (u + v) = f (u) + f (v)




gdzie u, v ∈ [0, r1], r1 := s1(1), r2 := s2(1) ∈ (0,∞)

f (u + v) = min(f (u) + f (v), r2)

f (min(u + v , r1)) = f (u) + f (v)

f (u + v) = f (u) + f (v)




gdzie u, v ∈ [0, r1], r1 := s1(1), r2 := s2(1) ∈ (0,∞)

↓

f (m1(x + y)) = m2(f (x) + f (y)) (1),

gdzie dla ustalonych r1, r2 ∈ (0,∞) funkcjem1 : [0, 2r1]→ [0, r1],m2 : [0, 2r2]→ [0, r2] oraz f : [0, r1]→ [0, r2].




gdzie u, v ∈ [0, r1], r1 := s1(1), r2 := s2(1) ∈ (0,∞)

↓

f (m1(x + y)) = m2(f (x) + f (y)) (1),



m2 - "1-1" [ f (m1(x + y)) = m2(f (x) + f (y)) ]

Lemat 2 (art. [1])Niech r1, r2 ∈ (0,∞) będą pewnymi liczbami i niech m1 : [0, 2r1]→ [0, r1],m2 : [0, 2r2]→ [0, r2] będą danymi funkcjami. Jeśli m2 jest "1-1" orazfunkcja f : [0, r1]→ [0, r2] spełnia równanie funkcyjne (1), to

2f(x + y2

)= f (x) + f (y), x , y ∈ [0, r1].

Dowód.m−1

2 (f (m1(x + y))) = f (x) + f (y), x , y ∈ [0, r1],

i wstawiając F (t) := m−12 (f (m1(t))), dla t ∈ [0, 2r1], otrzymujemy

F (x + y) = f (x) + f (y), x , y ∈ [0, r1].

f (x)+f (y) = F (x+y) = F((

x + y2

)+

(x + y2

))= 2f

(x + y2

).


m2 - "1-1" [ f (m1(x + y)) = m2(f (x) + f (y)) ]


2f(x + y2

)= f (x) + f (y), x , y ∈ [0, r1].

Dowód.m−1

2 (f (m1(x + y))) = f (x) + f (y), x , y ∈ [0, r1],


F (x + y) = f (x) + f (y), x , y ∈ [0, r1].

f (x)+f (y) = F (x+y) = F((

x + y2

)+

(x + y2

))= 2f

(x + y2

).


m2 - "1-1" [ f (m1(x + y)) = m2(f (x) + f (y)) ]


2f(x + y2

)= f (x) + f (y), x , y ∈ [0, r1].

Dowód.m−1

2 (f (m1(x + y))) = f (x) + f (y), x , y ∈ [0, r1],


F (x + y) = f (x) + f (y), x , y ∈ [0, r1].

f (x)+f (y) = F (x+y) = F((

x + y2

)+

(x + y2

))= 2f

(x + y2

).


m2 - "1-1" [ f (m1(x + y)) = m2(f (x) + f (y)) ]


2f(x + y2

)= f (x) + f (y), x , y ∈ [0, r1].

Dowód.m−1

2 (f (m1(x + y))) = f (x) + f (y), x , y ∈ [0, r1],


F (x + y) = f (x) + f (y), x , y ∈ [0, r1].

f (x)+f (y) = F (x+y) = F((

x + y2

)+

(x + y2

))= 2f

(x + y2

).


m2 - "1-1" [ f (m1(x + y)) = m2(f (x) + f (y)) ]

Twierdzenie 1 (art. [1])

Niech r1, r2 ∈ (0,∞) będą pewnymi liczbami oraz niechm1 : [0, 2r1]→ [0, r1], m2 : [0, 2r2]→ [0, r2], f : [0, r1]→ [0, r2] będądanymi funkcjami. Dalej, niech m2 będzie różnowartościowa. Wtedynastępujące zdania są równoważne:

1 Trójka funkcji m1,m2, f spełnia równanie (1).2 f (x) = ax + b dla pewnych a, b ∈ R.

Dokładniej:Albo f = b dla pewnego b ∈ [0, r2] oraz m2(2b) = b, albof (x) = ax + b dla pewnych a, b ∈ R, a 6= 0, takich że

ax + b ∈ [0, r2], for all x ∈ [0, r1]

and

m1(x) =m2(ax + 2b)− b

a .


m2 - "1-1" [ f (m1(x + y)) = m2(f (x) + f (y)) ]



1 Trójka funkcji m1,m2, f spełnia równanie (1).

2 f (x) = ax + b dla pewnych a, b ∈ R.Dokładniej:Albo f = b dla pewnego b ∈ [0, r2] oraz m2(2b) = b, albof (x) = ax + b dla pewnych a, b ∈ R, a 6= 0, takich że

ax + b ∈ [0, r2], for all x ∈ [0, r1]

and

m1(x) =m2(ax + 2b)− b

a .


m2 - "1-1" [ f (m1(x + y)) = m2(f (x) + f (y)) ]





ax + b ∈ [0, r2], for all x ∈ [0, r1]

and

m1(x) =m2(ax + 2b)− b

a .


m2 - "1-1" [ f (m1(x + y)) = m2(f (x) + f (y)) ]





ax + b ∈ [0, r2], for all x ∈ [0, r1]

and

m1(x) =m2(ax + 2b)− b

a .


m2 - "1-1" [ f (m1(x + y)) = m2(f (x) + f (y)) ]

Schemat dowodu

1 ⇒ 2

f spełnia równanie Jensena: 2 · f ( x+y2 ) = f (x) + f (y);

f jest ograniczona ⇒ f (x) = ax + b (Kuczma [5])Rozważmy dwa przypadki: a = 0 oraz a 6= 0;

2 ⇒ 1łatwo sprawdzić;


m2 - "1-1" [ f (m1(x + y)) = m2(f (x) + f (y)) ]

Schemat dowodu

1 ⇒ 2f spełnia równanie Jensena: 2 · f ( x+y

2 ) = f (x) + f (y);

f jest ograniczona ⇒ f (x) = ax + b (Kuczma [5])Rozważmy dwa przypadki: a = 0 oraz a 6= 0;



m2 - "1-1" [ f (m1(x + y)) = m2(f (x) + f (y)) ]

Schemat dowodu


2 ) = f (x) + f (y);f jest ograniczona ⇒ f (x) = ax + b (Kuczma [5])

Rozważmy dwa przypadki: a = 0 oraz a 6= 0;2 ⇒ 1

łatwo sprawdzić;


m2 - "1-1" [ f (m1(x + y)) = m2(f (x) + f (y)) ]

Schemat dowodu


2 ) = f (x) + f (y);f jest ograniczona ⇒ f (x) = ax + b (Kuczma [5])Rozważmy dwa przypadki: a = 0 oraz a 6= 0;



m2 - "1-1" [ f (m1(x + y)) = m2(f (x) + f (y)) ]

Schemat dowodu


2 ) = f (x) + f (y);f jest ograniczona ⇒ f (x) = ax + b (Kuczma [5])Rozważmy dwa przypadki: a = 0 oraz a 6= 0;



m2 - NIE różnowartościowa


Niech r1, r2 ∈ (0,∞) oraz niech funkcje m1 : [0, 2r1]→ [0, r1],m2 : [0, 2r2]→ [0, r2] będą ciągłe oraz ściśle rosnące na pewnychprzedziałach [0, x1], [0, x2], odpowiednio, a następnie stale równe r1, r2,odpowiednio, gdzie x1 ≤ r1 and x2 ≤ r2. Dalej, niech m1,m2 spełniają

m1(0) = 0, 2m1(x) > x , x ∈ (0, 2r1)

oraz

m2(0) = 0, 2m2(x) > x , x ∈ (0, 2r2).

Wreszcie niech f będzie funkcją f : [0, r1]→ [0, r2].




Niech f ,m1,m2 spełniają powyższe założenia.Trójka funkcji spełnia równanie (1) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzijeden z poniższych przypadków:

1 f = r2;2 f = 0;3 f (0) = 0, f (x) = r2 for x > 0;4 istnieje x0 ∈ (0, x1] takie, że

f (x) = min(m2(km−110 (x)), r2),

gdzie k = x2x0

oraz m10 = m1|x≤x1 .Ponadto w tym przypadku

km1(x) = m2(kx),

dla x < y0, y0 = m−110 (x0).





1 f = r2;

2 f = 0;3 f (0) = 0, f (x) = r2 for x > 0;4 istnieje x0 ∈ (0, x1] takie, że

f (x) = min(m2(km−110 (x)), r2),

gdzie k = x2x0


km1(x) = m2(kx),

dla x < y0, y0 = m−110 (x0).





1 f = r2;2 f = 0;

3 f (0) = 0, f (x) = r2 for x > 0;4 istnieje x0 ∈ (0, x1] takie, że

f (x) = min(m2(km−110 (x)), r2),

gdzie k = x2x0


km1(x) = m2(kx),

dla x < y0, y0 = m−110 (x0).





1 f = r2;2 f = 0;3 f (0) = 0, f (x) = r2 for x > 0;

4 istnieje x0 ∈ (0, x1] takie, że

f (x) = min(m2(km−110 (x)), r2),

gdzie k = x2x0


km1(x) = m2(kx),

dla x < y0, y0 = m−110 (x0).






f (x) = min(m2(km−110 (x)), r2),

gdzie k = x2x0


km1(x) = m2(kx),

dla x < y0, y0 = m−110 (x0).






f (x) = min(m2(km−110 (x)), r2),

gdzie k = x2x0


km1(x) = m2(kx),

dla x < y0, y0 = m−110 (x0).


Przykład 1

Przykład 1 (art. [2])Ustalmy r1, r2 > 0 oraz α ≥ 1.

m1(x) = min(αx , r1) dla x ∈ [0, 2r1]

m2(x) = min(αx , r2) dla x ∈ [0, 2r2].W tym przypadku dostajemy następujace równanie

f (min(α(x + y), r1)) = min(α(f (x) + f (y)), r2).

Z Tw. 2 otrzymujemy, że jedyne nietrywialne rozwiązanie jest postacif (x) = min(kx , r2), gdzie k = r2

αx0.


Przykład 1

Przykład 1 (art. [2])Ustalmy r1, r2 > 0 oraz α ≥ 1.

m1(x) = min(αx , r1) dla x ∈ [0, 2r1]

m2(x) = min(αx , r2) dla x ∈ [0, 2r2].W tym przypadku dostajemy następujace równanie

f (min(α(x + y), r1)) = min(α(f (x) + f (y)), r2).

Z Tw. 2 otrzymujemy, że jedyne nietrywialne rozwiązanie jest postacif (x) = min(kx , r2), gdzie k = r2

αx0.


Przykład 2

Przykład 2 (art. [2])Ustalmy r1, r2 > 0.

m1(x) = min(√r1x , r1) for x ∈ [0, 2r1],

m2(x) = min(√r2x , r2) for x ∈ [0, 2r2].

W tym przypadku otrzymujemy następujące równanie

f (min(√r1(x + y), r1)) = min(

√r2(f (x) + f (y)), r2) (1)

Z Tw. 2 otrzymujemy, że jedyne nietrywialne rozwiązanie jest postacif (x) = r2

r1x.


Przykład 2

Przykład 2 (art. [2])Ustalmy r1, r2 > 0.

m1(x) = min(√r1x , r1) for x ∈ [0, 2r1],

m2(x) = min(√r2x , r2) for x ∈ [0, 2r2].

W tym przypadku otrzymujemy następujące równanie

f (min(√r1(x + y), r1)) = min(

√r2(f (x) + f (y)), r2) (1)


r1x.


Przykład 3

Przykład 3 (art. [2])Ustalmy r1, r2 > 0 oraz α, β ≥ 1. Niech

m1(x) =

{r1 sin( Π

2αr1x) x ∈ [0, r1

α ),

r1 x ∈ [ r1α , 2r1]

m2(x) =

{r2 sin( Π

2βr2x) x ∈ [0, r2

α ),

r2 x ∈ [ r2α , 2r2]


r1x.


Przykład 3

Przykład 3 (art. [2])Ustalmy r1, r2 > 0 oraz α, β ≥ 1. Niech

m1(x) =

{r1 sin( Π

2αr1x) x ∈ [0, r1

α ),

r1 x ∈ [ r1α , 2r1]

m2(x) =

{r2 sin( Π

2βr2x) x ∈ [0, r2

α ),

r2 x ∈ [ r2α , 2r2]


r1x.


PLANOWANA DALSZA PRACA

f (m1(x + y)) = m2(f (x) + f (y)) (1),


m1 : [0,∞]→ [0,∞],m2 : [0, 2r2]→ [0, r2]

m1 : [0, 2r1]→ [0, r1],m2 : [0,∞]→ [0,∞]

m1 : [0,∞]→ [0,∞],m2 : [0,∞]→ [0,∞]



f (m1(x + y)) = m2(f (x) + f (y)) (1),


m1 : [0,∞]→ [0,∞],m2 : [0, 2r2]→ [0, r2]

m1 : [0, 2r1]→ [0, r1],m2 : [0,∞]→ [0,∞]

m1 : [0,∞]→ [0,∞],m2 : [0,∞]→ [0,∞]


Uninormy

I(x ,S1(y , z)) = S2(I(x , y), I(x , z)) (D2)

↓I(x ,U1(y , z)) = U2(I(x , y), I(x , z)) (DU)

Definicja 5Uninormę U : [0, 1]2 → [0, 1] nazywamy reprezentowalną, gdy istniejeciągła, ściśle rosnąca funkcja h : [0, 1]→ [−∞,∞] taka, że h(0) = −∞,h(e) = 0, h(1) =∞, która jest określona jednoznacznie z dokładnościądo dodatniej stałej multyplikatywnej i taka, że dla wszystkich x , y ∈ [0, 1]

U(x , y) =

{0, jeśli (x , y) ∈ {(0, 1), (1, 0)},h−1(h(x) + h(y)), wpp,

gdy U jest koniunkcyjna, lub

U(x , y) =


gdy U jest alternatywna.


Uninormy

I(x ,S1(y , z)) = S2(I(x , y), I(x , z)) (D2)

↓I(x ,U1(y , z)) = U2(I(x , y), I(x , z)) (DU)


U(x , y) =



U(x , y) =




Uninormy

I(x ,S1(y , z)) = S2(I(x , y), I(x , z)) (D2)

↓I(x ,U1(y , z)) = U2(I(x , y), I(x , z)) (DU)


U(x , y) =



U(x , y) =




Uninormy - historia

I(x ,U1(y , z)) = U2(I(x , y), I(x , z)) (DU)

Dla uninorm reprezentatywnych:

Baczyński, 2010: f (x + y) = f (x) + f (y), x , y ∈ [−∞,∞] ,

(−∞) +∞ = +/−∞∞+ (−∞) = +/−∞


Uninormy - historia

I(x ,U1(y , z)) = U2(I(x , y), I(x , z)) (DU)

Dla uninorm reprezentatywnych:

Baczyński, 2010: f (x + y) = f (x) + f (y), x , y ∈ [−∞,∞] ,

(−∞) +∞ = +/−∞∞+ (−∞) = +/−∞


Przedziałowe zbiory rozmyte

Definicja 6Zdefiniujmy

LI = {(x1, x2) ∈ [0, 1]2|x1 ≤ x2}

(x1, x2) ≤LI (y1, y2)⇔ x1 ≤ y1, x2 ≤ y2

LI = (LI ,≤LI ).

Definicja 7Uninormę U na LI nazywamy rozkładalną, gdy istnieją uninormy U1,U2na ([0, 1],≤) takie, że

U([x1, x2], [y1, y2]) = [U1(x1, y1),U2(x2, y2)], [x1, x2], [y1, y2] ∈ LI ,

oraz U1 ≤ U2. Piszemy wtedy U = (U1,U2).


Przedziałowe zbiory rozmyteM.Baczyński w latach 2010-2014 opublikował artykuły, w którychrozwiązywane są równania:

I(x , T1(y , z)) = T2(I(x , y), I(x , z)),

I(S(x , y), z) = T (I(x , y), I(x , z)),

dla rozkładalnych t-norm oraz t-conorm określonych na LI .

Zbadane równania funkcyjne

f (u1 + v1, u2 + v2) = f (u1, u2) + f (v1, v2),

g(min(u1 + v1, a),min(u2 + v2, a)) = g(u1, u2) + g(v1, v2),

h(min(u1 + v1, a),min(u2 + v2, a)) = min(h(u1, u2) + h(v1, v2), b),

k(u1 + v1, u2 + v2) = min(k(u1, u2) + k(v1, v2), b),

gdzie a, b ∈ R są dodatnimi liczbami, f : L∞ → [0,∞], g : La → [0,∞],h : La → [0, b], k : L∞ → [0, b] są nieznanymi funkcjami orazL∞ = {(u1, u2) ∈ [0,∞]2 | u1 ≥ u2},La = {(u1, u2) ∈ [0, a]2 | u1 ≥ u2}.


Przedziałowe zbiory rozmyteM.Baczyński w latach 2010-2014 opublikował artykuły, w którychrozwiązywane są równania:

I(x , T1(y , z)) = T2(I(x , y), I(x , z)),

I(S(x , y), z) = T (I(x , y), I(x , z)),

dla rozkładalnych t-norm oraz t-conorm określonych na LI .

Zbadane równania funkcyjne

f (u1 + v1, u2 + v2) = f (u1, u2) + f (v1, v2),

g(min(u1 + v1, a),min(u2 + v2, a)) = g(u1, u2) + g(v1, v2),

h(min(u1 + v1, a),min(u2 + v2, a)) = min(h(u1, u2) + h(v1, v2), b),

k(u1 + v1, u2 + v2) = min(k(u1, u2) + k(v1, v2), b),

gdzie a, b ∈ R są dodatnimi liczbami, f : L∞ → [0,∞], g : La → [0,∞],h : La → [0, b], k : L∞ → [0, b] są nieznanymi funkcjami orazL∞ = {(u1, u2) ∈ [0,∞]2 | u1 ≥ u2},La = {(u1, u2) ∈ [0, a]2 | u1 ≥ u2}.


M. Baczyński, W. NiemyskaOn the distributivity equation I(x,U1(y,z)) = U2(I(x,y),I(x,z)) fordecomposable uninorms (in interval-valued fuzzy sets theory) generatedfrom conjunctive representable uninorms,konferencja MDAI 2014

I(x ,U1(y , z)) = U2(I(x , y), I(x , z)), (DUU)

dla U1,U2 rozkładalnych uninorm na LI , wygenerowanych z dwóchkoniunkcyjnych reprezentowalnych uninorm oraz nieznanej funkcji I.

f (u1 + v1, u2 + v2) = f (u1, u2) + f (v1, v2), (2)

dla (u1, u2), (v1, v2) ∈ L∞, gdzie L∞ = {(x1, x2) ∈ [−∞,∞]2 | x1 ≤ x2},z założeniem (−∞) +∞ =∞+ (−∞) = −∞ w obu zbiorach dziedzinyoraz przeciwdziedziny funkcji f .


M. Baczyński, W. NiemyskaOn the distributivity equation I(x,U1(y,z)) = U2(I(x,y),I(x,z)) fordecomposable uninorms (in interval-valued fuzzy sets theory) generatedfrom conjunctive representable uninorms,konferencja MDAI 2014


dla U1,U2 rozkładalnych uninorm na LI , wygenerowanych z dwóchkoniunkcyjnych reprezentowalnych uninorm oraz nieznanej funkcji I.

f (u1 + v1, u2 + v2) = f (u1, u2) + f (v1, v2), (2)

dla (u1, u2), (v1, v2) ∈ L∞, gdzie L∞ = {(x1, x2) ∈ [−∞,∞]2 | x1 ≤ x2},z założeniem (−∞) +∞ =∞+ (−∞) = −∞ w obu zbiorach dziedzinyoraz przeciwdziedziny funkcji f .


Uwaga 3Dziedzina funkcji f , która jest rozwiązaniem równania (2), może byćpodzielona na 6 części, A1, A2, A3, B1, B2 oraz R.

Otrzymaliśmy, że f może przyjąć tylko następujące wartości naposzczególnych zbiorach:

A1,A2,A3: −∞, 0 lub ∞;B1: −∞, 0, ∞ lub c(v);B2: −∞, 0, ∞ lub c(u);R: −∞, 0, ∞, c(u), c(v) lub c1(u − v) + c2(v);

gdzie c , c1, c2 to funkcje addytywne określone na R.

2592 możliwych kombinacji tych wartości - 33 z nich stanowiąrozwiązania (2).




dla U1,U2 rozkładalnych uninorm na LI , wygenerowanych z dwóchkoniunkcyjnych reprezentowalnych uninorm, z założeniem(−∞) +∞ =∞+ (−∞) = −∞.

U1,U2 rozkładalne uninormy na LI , wygenerowane z dwóchalternatywnych reprezentowalnych uninorm;Założenie (−∞) +∞ =∞+ (−∞) = +∞.




dla U1,U2 rozkładalnych uninorm na LI , wygenerowanych z dwóchkoniunkcyjnych reprezentowalnych uninorm, z założeniem(−∞) +∞ =∞+ (−∞) = −∞.

U1,U2 rozkładalne uninormy na LI , wygenerowane z dwóchalternatywnych reprezentowalnych uninorm;Założenie (−∞) +∞ =∞+ (−∞) = +∞.


Inne prace

M. Baczyński, P. Grzegorzewski, W. NiemyskaLaws of Contraposition and Law of Importation for ProbabilisticImplications and Probabilistic S-implications,Communications in Computer and Information Science Volume 442,2014, 158-167.

Michał Jamróz, Wanda Niemyska, Eric J. Rawdon, Andrzej Stasiak,Kenneth C. Millett, Piotr Sułkowski, Joanna I. SułkowskaKnotProt: a database of proteins with knots and slipknots,przyjęte do druku w czasopiśmie "Nucleic Acids Research".


Inne prace

M. Baczyński, P. Grzegorzewski, W. NiemyskaLaws of Contraposition and Law of Importation for ProbabilisticImplications and Probabilistic S-implications,Communications in Computer and Information Science Volume 442,2014, 158-167.

Michał Jamróz, Wanda Niemyska, Eric J. Rawdon, Andrzej Stasiak,Kenneth C. Millett, Piotr Sułkowski, Joanna I. SułkowskaKnotProt: a database of proteins with knots and slipknots,przyjęte do druku w czasopiśmie "Nucleic Acids Research".


Inne prace

Michał Jamróz1, Wanda Niemyska2, Eric J. Rawdon3, Andrzej Stasiak4, Kenneth C. Millet5, Piotr Sułkowski6, and Joanna I. Sułkowska1,7

1). Faculty of Chemistry, University of Warsaw, Warsaw, Poland 2). Institute of Mathematics, University of Silesia, Katowice, Poland3). Department of Mathematics, University of St. Thomas, Saint Paul, USA

4). Center for Integrative Genomics, University of Lausanne, Lausanne, Switzerland5). Department of Mathematics, University of California, Santa Barbara, USA

6). Faculty of Physics, University of Warsaw, Warsaw, Poland7). Centre of New Technologies, Warsaw, Poland

Mathematical knot is an embedding of a circle in Euclidean space: 1 3. � ↪ℝTwo knots are equivelent if there is an ambient isotopy between them. Every knot can be characterized by knot polynomial e.g. Alexander or HOMFLY polynomial.

KnotProt: a database of proteins with knots and slipknotsKnotProt: a database of proteins with knots and slipknots

The protein topology database KnotProt, collects information about protein structures with open polypeptide chains forming knots or slipknots. The knotting complexity of the catalogued proteins is presented in the form of a matrix diagram that shows users the knot type of the entire polypeptide chain and of each of its subchains. The patern visible in the matrix gives the knotting fingerprint of a given protein and permits users to determine, for example, the minimal length of the knoted regions (knots’ core size) or the depth of a knot, i.e. how many aminoacids can be removed from either end of the catalogued protein structure before converting it from a knot to a different type of knot. In addition, the database presents extensive information about the biological function of proteins with non-trivial knotting and the families and fold types of these proteins. As an additional feature, the KnotProt database enables users to submit protein or polymer structures and generate their knotting fingerprints.

INTRODUCTIONINTRODUCTION KNOTSKNOTS

A protein with a trefoil (31) knot. Left panel: schematic representation of 31 knot in an open chain. Right panel: simplified representation of the backbone chain of the protein in the middle panel, obtained after chain closure and simplification. The KnotProt uses such simplified polygonal configurations to calculate knot polynomials.

Mathematical knot theory studies entanglement in closed chains. Extending this to open chains (which we observe in proteins) is nontrivial problem and only in the case of a closed chain the knot type is uniquely determined.

CLOSURE METHODSCLOSURE METHODS

RESULTS – KNOT MATRIXRESULTS – KNOT MATRIX

ARTIFICIAL KNOTSARTIFICIAL KNOTS DATABASEDATABASE

REFERENCES[1] Jamróz M, Niemyska W, Rawdon EJ, Stasiak A, Millet KC, Sulkowski P, Sułkowska JI. KnotProt: a database of proteins with knots and slipknots. Submited.[2] Sulkowska JI, Rawdon EJ, Millet KC, Onuchic JN, Stasiak A. Conservation of complex knotting and slipknotting paterns in proteins. PNAS 2012, 109(26):E1715-23.

Four types of knots have been found so far in proteins: trefoil (31), figure-8 (41),52 and Stevedore’s knot (61).

In the KnotProt database, we apply a random closure method, i.e. we connect protein endpoints several hundred times to two points randomly chosen from a large sphere enclosing the analyzed chain. Then these two points are connected by an arc lying on the sphere. Now, since the chain is closed, we can reduce it without changing its topology. The most frequently observed knot type is then associated with the chain as its dominant knot type.

The same open chain maybe closed in many ways which can produce different knot types. Middle panel: endpoints are connected directly and we get 01. Right panel: endpoints are connected on the big sphere and we get knot 31.

This may affect the type of knot detected, producing additional crossings, so one should be careful in interpreting results in such cases.On the above picture red dashedline shows how the KnotProtDeals with the hole and green Line shows reconstructed part of the protein (the picture made by Michał Kadlof with Modeller)

Sometimes there are holes in the proteins from PDB (as in 3sig on the left). The knotting fingerprint takes into account missing atoms - they are represented by grey strips as in the figure below. In this case the missing part of the chain is replaced by a line segment.

The KnotProt database anayzes all subchains of a given chain and presents the information in the form of an interactive „knotting fingerprint” (matrix diagram).One can find the detailed locations of „knot core”, „knot tails”, „slipknots loops” and slipknots tails” there.

Each knotting fingerprint has its „topological notation”, which gives shorter information about knot types which appear in it.

Topological notations for proteins from figures on the left:3bjx: K +6.1, +6.1, 4.1, +3.12wsw: S +3.1, 4.1, +3.1(there are 3 proteins with the first topological notation in KnotProt database and 47 proteins with the second, 14 without amy holes).

The initial data set taken for the current analysis by KnotProt consists of 50357 protein chains, determined by the PISCES, taking into account the following criteria:i. 99.9% of sequential identity, ii. max resolution 30A, iii. max R-value 1.0, iv. max chain length 10000 aminoacids, v. min chain length 40 aminoacids.Out of those chains we identified around 900 chains that possess either a knot or a slipknot.

Knots in the database may be searched by:KnotsMolecule keywordsPfam family identifierEc nomenclatureCath classificationKeywords cloud

„Process my structure” -allows users to upload new polymer-like structures and analyze their topology, or analyze time evolution of entangled structures.

According to theclassifications provided by the KnotProt, the knotting fingerprint is the most strongly conserved feature of a protein.

For example in a family of membrane transporters the sequence homology is only 6%, although all members of this family possess a similar knotting fingerprint.


BARDZO DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ!

Documents

O równaniach funkcyjnych zwiazanych z …WstępRozdzielność implikacji rozmytychO równaniu f(m1(x + y)) = m2(f(x) + f(y)) O równaniu f(u1 + v1, u2 + v2) = f(u1, v1) + f(u2, v2)