UNIDAD II

PROCESO DE MEDICIÓN

INTRODUCCIÓN

En el estudio de las ciencias experimentales, para la formulación o comprobación de leyes, hipótesis o teorías que explique los diversos fenómenos que ocurren en la naturaleza, es necesaria la medición (cuantificación) de magnitudes. Esa misma necesidad se tiene en los trabajos relacionados con la tecnología, en el intercambio de información industrial, en la fabricación de repuestos para maquinas, etc. Por ésta y otras razones todo estudiante de Ingeniería y Arquitectura, como parte de su formación básica, debe conocer las diversas reglas, normas y criterios que se aplican en el proceso de medición; en la selección de los instrumentos, en las limitaciones de éstos y en las técnicas de para registrar resultados.

MAGNITUDES Y UNIDADES

Se entiende por magnitud, todo atributo (o propiedad) de un fenómeno, cuerpo o sustancia que pueda ser distinguido cualitativamente y determinado cuantitativamente. El término puede referirse a una magnitud en forma general o a una magnitud de manera particular.

Ejemplos:

a. Magnitudes en forma general; longitud, tiempo, masa, temperatura, resistencia eléctrica, concentración de una sustancia en otra, etc.

b. Magnitudes particulares: La longitud de una varilla, la resistencia eléctrica de una plancha, la concentración de cantidad de etanol en una muestra de vino, etc.

CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES

Las magnitudes se clasifican en:

Magnitud de base o fundamental es aquella que, se acepta por convención como funcionalmente independiente de otras.

Magnitud Derivada es la magnitud definida en un sistema de magnitudes, en función de las magnitudes de base de ese sistema.

UNIDAD DE MEDIDA

Es aquella cantidad particular de una magnitud, definida y adoptada por convención, con la cual se comparan las otras cantidades de la misma magnitud para expresar cuantitativamente su relación con esta.

Patrón de medida

Medida materializada, instrumento de medida, material de referencia o sistema de medida destinado a definir, realizar, conservar o reproducir una unidad o uno o varios valores de una magnitud para que sirvan de referencia

Patrón colectivo:

Conjunto de medidas materializadas o de instrumentos de medida similares que utilizados conjuntamente, constituyen un patrón.

Serie de patrones:

Conjunto de patrones de valores elegidos que, individualmente o por combinación, proporcionan una serie de valores de magnitudes de la misma naturaleza.

Patrón Internacional:

Patrón reconocido por un acuerdo internacional para servir como referencia internacional para la asignación de valores a otros patrones de la magnitud considerada

Patrón Nacional:

Patrón reconocido por una decisión nacional, en un país, para servir como referencia para la asignación de valores a otros patrones de la magnitud considerada.

 

Patrón Primario: 

Patrón que es designado o ampliamente reconocido como poseedor de las más altas cualidades metrológicas y cuyo valor se acepta sin referirse a otros patrones de la misma magnitud.

 

Nota: el concepto patrón primario es válido tanto para las magnitudes básicas como para las derivadas.

Patrón Secundario:

Patrón cuyo valor se establece como comparación con un patrón primario de la misma magnitud

SISTEMAS DE MAGNITUDES Y UNIDADES DE MEDIDA

Es el conjunto de las magnitudes y unidades de base y derivadas, que se definen de acuerdo con reglas determinadas. Ejemplos. El sistema internacional de unidades (SI), los sistemas científicos o absolutos y los sistemas técnicos o gravitacionales.

SISTEMAS ABSOLUTOS O CIENTÍFICOS

Los sistemas absolutos adoptan como magnitudes de base la longitud, la masa y el tiempo. Entre ellos mencionaremos el Sistema M.K.S (metro, kilogramo, segundo), El Sistema C.G.S (centímetro, gramo, segundo) y el Sistema FPS. o Sistema Inglés (pie, libra, segundo).

SISTEMAS TÉCNICOS O GRAVITACIONALES

Los sistemas que utilizan como magnitudes de base la longitud, la fuerza y el tiempo son conocidos como sistemas técnicos o gravitacionales. Entre estos se tienen el M.K.S técnico (metro, kilogramo fuerza, segundo), el C.G.S técnico (centímetro, gramo fuerza, segundo) y el F.P.S técnico (pie, libra fuerza, segundo).

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)

Se han adoptado como magnitudes de bases:

Definición de las unidades de base que constituyen el sistema internacional de unidades:

EL METRO (Unidad de Longitud)

El metro es la longitud de la trayectoria recorrida por la luz en el vacío, durante un intervalo de tiempo de 1/299792458 segundos.

EL KILOGRAMO (Unidad de Masa)

El kilogramo es la masa del prototipo internacional del kilogramo. El prototipo es un bloque de una aleación de platino e iridio que se conserva al vacío en Francia

EL SEGUNDO (Unidad de Tiempo)

El segundo es la duración de 9192631770 períodos de la radiación correspondientes a la transición entre dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de Cesio 133. Hiperfinos son subniveles de energía que existe en un átomo

EL AMPERE (Unidad de Corriente Eléctrica)

Es la intensidad de una corriente eléctrica constante que, mantenida en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de 1 metro entre sí, en el vacío, produce entre los conductores una fuerza igual a 2 x 10- 7 newton por metro de longitud.

EL KELVIN (Unidad de Temperatura)

El kelvin, unidad de temperatura termodinámica, es la fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.

MOL (Unidad de Cantidad de Materia)

El mol es la cantidad de materia de un sistema conteniendo tantas entidades elementales como átomos existen en 0.012 kilogramos de Carbono 12.

CANDELA (Unidad de Intensidad Luminosa)

La candela es la intensidad luminosa, en una dirección determinada de una fuente que emita una radiación de frecuencia 540 x 1012 Hertz que posee una potencia energética en esa dirección es 1/683 watt por esterradián

UNIDADES DERIVADAS DEL SISTEMA INTERNACIONAL

Son todas aquellas unidades que pueden ser formadas por la combinación de unidades de base, siguiendo relaciones algebraicas que interrelacionan a las magnitudes correspondientes.

Muchas de estas expresiones algebraicas, en función de las unidades de base, pueden ser sustituidas por nombres y símbolos especiales, lo que permite su utilización en la formación de otras unidades derivadas.

MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DE UNA UNIDAD DE MEDIDA

Un múltiplo de una unidad de medida, es otra unidad de medida mayor, que se forma a partir de la unidad dada de acuerdo a un escalonamiento convencional.

Un submúltiplo de una unidad de medida, es otra unidad pequeña de medida, que se obtiene de la unidad dada, de acuerdo a un escalonamiento convencional.

Ejemplo de Múltiplos:

Ejemplo de Submúltiplos:

Prefijos del S.I.

ANÁLISIS DIMENSIONAL

La palabra dimensión tiene un significado especial en física. Denota la naturaleza física de una cantidad o magnitud.

Existen magnitudes que tienen las mismas dimensiones y cuyas unidades pueden tener los mismos nombres y símbolos aún cuando las magnitudes no sean de la misma naturaleza.

Ejemplo: La energía cuyas dimensiones son ML 2 T 2 y el momento de una fuerza cuyas dimensiones son ML 2T 2 son magnitudes cuyas unidades son iguales kg.m2s2 = (energía), kg m2s 2 = (momento de una fuerza). Pero son magnitudes de naturaleza diferente.

Para denotar las dimensiones de una cantidad física se utiliza el corchete [ ]. Por ejemplo, el símbolo para la rapidez (o velocidad) es v, y sus dimensiones se escriben [v] = L/T. Las dimensiones de área A son [A] = L2, las dimensiones de volumen V son [V] = L3.

En numerosas situaciones, se tendrá que deducir o verificar una ecuación específica y para esto puede utilizar el procedimiento denominado ANÁLISIS DIMENSIONAL. Este procedimiento se basa en que toda ecuación debe ser dimensionalmente compatible.

Supóngase que se quiere determinar la distancia “x” recorrida en un tiempo “t” por un objeto que arranca desde el reposo con una aceleración “a” constante, pero no estamos seguro de la expresión correcta y duda entre

 

Podemos hacer el análisis dimensional a cada una de las expresiones, de la siguiente manera:

Las dimensiones de tiempo al cuadrado se cancelan como se muestra, dejando la dimensión de longitud en el lado derecho.

Un procedimiento más general que usa análisis dimensional, para establecer una expresión de la forma

Donde “n” y “m” son exponentes que deben ser determinados y el símbolo “∞” indica una proporcionalidad directa. Debido a que la dimensión del lado izquierdo es longitud, la dimensión del lado derecho también debe ser longitud; entonces:

Como las dimensiones de aceleración son L/T² y la dimensión de tiempo es T, tenemos:

Los exponentes de L y T deben ser iguales en ambos lados de la ecuación. De los exponentes de L, vemos inmediatamente que:

Regresando a nuestra expresión original:

Este resultado difiere en un factor de 2, de la expresión correcta, que es:

Ejemplo 1:

Demuestre que, la ecuación de energía de Bernoulli es dimensionalmente correcta.

Ecuacion de Bernoulli:

Ejemplo 2:

Suponga que la velocidad con la que sale un fluido laminar a traves de un orificio, en la parte inferior de un recipiente, esta relacionado con las siguientes magnitudes:

Determine los valores de n y m y escriba la forma más sencilla de una ecuación para la velocidad

CONVERSION DE UNIDADES

A veces es necesario convertir unidades de un sistema a otro, o convertir dentro de un sistema, por ejemplo de kilómetros a metros. Las igualdades entre el SI y el sistema inglés de ingeniería de unidades de longitud, son como sigue:

 

1 ft = 0.3048 m = 30.48 cm

1 m = 39.37 in = 3.281 ft

1 in = 0.0254 m = 2.54 cm

1 milla = 1 609 m = 1.609 km

Como 1 pulgada se define que mide exactamente 2.54 centímetros, encontramos que:

Donde la razón del paréntesis es igual a 1. Nótese que escogemos poner la unidad de una pulgada en el denominador y se cancela con la unidad de la cantidad original

Ejemplo 3:

Una bañera contiene 50 cm de agua. Calcule, la presion en el fondo de la bañera:

P=ρ*g*h (ρ = 1 g/cm³ , g = 9.8 m/s² , h = 50 cm)

Conversiones:

1 m³ = 1,000,000 cm³

1 kg = 1000 g

100 cm = 1m

Calculo:

P = (1000 kg/m³)(9.8 m/s²)(0.5 m) = 4900 (kg*m/s²)/m²

P = 4900 N/m² = 4900 Pa = 4.9 kPa

PROCESO DE MEDICIÓN

Es un conjunto de operaciones que tiene por objeto determinar el valor de una magnitud. La magnitud particular sujeta a medición se llama mensurando

VALOR DE UNA MEDIDA

Es la expresión cuantitativa de una magnitud particular, expresada generalmente en la forma de una unidad de medición multiplicada por un número.

Ejemplo: Densidad del agua es de 1000 kg/m3

Existen tres tipos de valor, ellos son:

VALOR VERDADERO es el valor consistente con la definición de una determinada magnitud particular, este valor se obtendría con una medición perfecta.

Ejemplo: 1000 L = 1 m3

VALOR CONVENCIONALMENTE VERDADERO es el valor atribuido a una magnitud particular, y aceptado, algunas veces por convención, como un valor que tiene una incertidumbre apropiada para un propósito determinado

Ejemplo: R = 8.314472 Pa*m3 / (K*mol)

VALOR EXPERIMENTAL: Es el valor estimado mediante el proceso de medición.

VALOR NUMÉRICO es el número que multiplica a la unidad de medida en la expresión del valor de una magnitud.

Ejemplo: el tiempo recorrido es de 12.3 s, V.N.: 12.3

•MAGNITUDES DE INFLUENCIA

Es la magnitud que no es el mensurando pero que afecta el resultado de la medición.

Ejemplos:La temperatura ambiente, cuando se trata de la medida de una longitud con un micrómetro.La frecuencia de la tensión de alimentación del medidor, en la medición de la amplitud de una señal eléctrica.

•SEÑAL DE MEDICIÓN

Señal que representa al mensurando con el cual está funcionalmente relacionado. Ejemplos:

La altura de la columna de mercurio de un tensiómetro

La dilatación de la columna de mercurio en un termómetro

La señal de entrada a un sistema de medición se llama el estímulo la señal de salida se llama la respuesta

•RESULTADO DE UNA MEDICIÓN

Es el valor atribuido a un mensurando, obtenido por medición. Cuando se proporciona un resultado, se debe aclarar si se refiere a:

La indicación de un instrumento de medición (Indicación directa)Al resultado no corregido (resultado de una medición antes de la corrección por error sistemático)Al resultado corregido (resultado de una medición después de la corrección por error sistemático)Si se trata de una medida obtenida a partir de varias mediciones.

INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN Y ERROR DE MEDICIÓN.

INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN

Un instrumento de medición es todo dispositivo diseñado para ser utilizado en la medición de una magnitud física.

SISTEMA DE MEDICIÓN: Es cuando se requiere de varios instrumentos de medición y otros dispositivos acoplados, para determinar su valor.

Ejemplo: Coeficiente de dilatación térmica: L/Lo = *T

De acuerdo a la forma en que los instrumentos proporcionan el valor de una medida éstos se dividen en dos tipos:

INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN ANALÓGICOS son aquellos que proporcionan el valor de una medida por medio de una escala.

INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN DIGITAL proporcionan la medida en forma numérica.

LA ESCALA de un instrumento analógico es un conjunto de marcas ordenadas en línea rectas o curvas y asociadas a una numeración particular.

DIVISIÓN DE LA ESCALA, es la parte de una escala comprendida entre dos marcas consecutivas.

VALOR DE UNA DIVISIÓN DE LA ESCALA (o valor de la división de escala), es la diferencia entre los valores correspondientes a dos marcas sucesivas.

Las escalas de los instrumentos de medición pueden ser:

Escala lineal, es aquella en la que la distancia entre dos marcas de la escala es directamente proporcional a la diferencia entre los valores correspondientes a dichas marcas.

Escala no lineal, distancia entre dos marcas que se relaciona con la diferencia de sus valores mediante cualesquier otros tipos de relación (exponencial, potencial o logarítmica).

El valor numérico de una medida obtenido de la escala de un instrumento analógico está limitado en el número de cifras con que se debe expresar.

ERROR DE MEDICIÓN

Por definición, es la diferencia entre el valor verdadero de un mensurando y el valor obtenido de éste mediante el proceso de medición (valor experimental). Puesto que el verdadero valor no puede ser determinado, en algunas ocasiones se estima el error a partir del valor convencionalmente aceptado.

TIPOS DE ERROR

Atendiendo a la forma en que se manifiestan y a la forma en que pueden ser detectados los errores se clasifican en dos tipos generales: ERRORES SISTEMÁTICOS Y ERRORES ALEATORIOS

ERRORES SISTEMÁTICOS, es aquél que se produce de igual modo en todas las mediciones que se realizan de una magnitud. Puede estar originado en un defecto del instrumento, en una particularidad del operador o del proceso de medición.

ERRORES ALEATORIOS, es aquel error inevitable que se produce por eventos únicos imposibles de controlar durante el proceso de medición.

EXACTITUD, PRECISIÓN E INCERTIDUMBRE DE UNA MEDICIÓN

EXACTITUD se refiere al grado de concordancia o proximidad entre el resultado de una medición y el valor verdadero del mensurando. En general se dice que una medida es tanto más exacta cuanto menos es el error que la afecta.

PRECISIÓN de una medida está relacionada con el número de cifras con que ésta puede expresarse. Una medida es más precisa cuanto mayor sea el número de cifras (cifras significativas) conque se expresa.

INCERTIDUMBRE, es un parámetro asociado al resultado de una medición y que caracteriza a la dispersión de los valores que podrían ser razonablemente atribuidos al mensurado. Se dice que la incertidumbre es la expresión de un intervalo que indica cuánto puede estar alejado en un sentido o en otro, del valor verdadero del mensurando.

FORMAS DE EXPRESAR UNA MEDIDA

Atendiendo el grado de confianza que ofrece:

Orden de Magnitud.Limitando el número de cifras significativas.Indicando el tamaño de la incertidumbre.

INDICANDO EL ORDEN DE MAGNITUD

Es la potencia de diez mas próxima a dicho numero. Para establecer si un numero está mas próximo a una potencia de diez, es necesario tomar un criterio de cercanía.

Cuando se trabaja con Potencias de diez, el punto medio entre 100 y 101 es igual a 101/2 = 3.16Criterio de Cercanía: Todo número que se encuentra entre 100 y 101/2 estará más cerca de 100, y aquellos que se encuentran entre 101/2 y 101 estarán más cerca de 101. Por lo dicho anteriormente, se concluye que 4 está más cerca de 101

En general, para encontrar el orden de magnitud de un número se procede así:

LIMITANDO EL NÚMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Las cifras significativas son aquellas de las que estamos razonablemente seguros al realizar una medida. Cuando se expresa una medida en la forma de cifras significativas ella debe poseer en su última cifra una cifra dudosa. La cifra dudosa depende en mayor grado de la escala del instrumento y es aquella de la cual no estamos seguros porque resulta de una estimación a criterio de quien efectúa la lectura.

Determinación del número de cifras significativas de una medida:Los ceros que figuran a la izquierda como primeras cifras

de un número no son cifras significativas.

Los ceros que figuran entre otras cifras diferentes de cero ó a la derecha son cifras significativas.

Ejemplos:

 

Indicar el número de cifras significativas de las siguientes cantidades.

 

7384 posee 4 cifras significativas

 

800 posee 3 cifras significativas

 

0.035 posee 2 cifras significativas

 

8.0x103 posee 2 cifras significativas

REDONDEO DE UN NÚMERO

Consiste en reducir el número de sus cifras significativas de un número, de manera que el nuevo valor sea lo más aproximado posible a la cantidad original.

 

REGLAS DEL REDONDEO DE UN NÚMERO

1. La última cifra que se conserva no cambia si la que sigue inmediatamente (primera cifra descartada) es menor que 5.

Ejemplo:

234.315 se redondea a 234.3 (si se requiere con 4 c.s.)

234.315 se redondea a 234 (si se requiere con 3 c.s.)

2. La última cifra que se conserva aumenta en una unidad si la primera cifra descartada es mayor que cinco o es un cinco seguido de por lo menos un dígito diferente de cero.

Ejemplo:

14.6 y 14.501 se redondean ambos a 15

3. La última cifra que se conserva no cambia si es número par y la primera cifra descartada es exactamente 5 seguido sólo por ceros.

Ejemplo:

1.45 y 1.450 se redondean a 1.4 (con 2 c. s.)

4. La última cifra que se conserva aumenta en una unidad si es número impar y la primera cifra descartada es exactamente un 5 seguido de ceros.

Ejemplo:

1.55 se redondea a 1.6 y 15.50 a 16

Ejemplos:

DATO CRITERIO DE APROXIMACION

REGLA DE REDONDEO

345.605 5 C.S. 345.60 (R-3)

2.845x10ˉ³ 3 C.S. 3.84x10ˉ³ (R-3)

78.632x10² 3 C.S. 78.6x10² (R-1)

5029.5 4 C.S. 5030 (R-4)

8.09034 2 C.S. 8.1 (R-2)

4462.467 2 C.S. 4.5x10³ (R-2)

0.02364 3 C.S. 2.36x10ˉ² (R-1)

28.07502 4 C.S. 28.08 (R-4)

OPERACIONES FUNDAMENTALES CON EL CRITERIO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

•SUMA Y RESTA

Para sumar o restar cantidades considerando cifras significativas, las cantidades sumando deben aproximarse hasta el orden decimal (centésima, décima, unidad, etc.) de la cantidad sumando cuya cifra dudosa sea la de menor precisión.

Ejemplos:

a. Sumar: 28.075 + 0.06 + 83.6457

Aplicando el criterio de aproximación hasta las centésimas tenemos:

b. Restar 0.2 de 7.26

Aplicando el criterio de aproximación a las décimas tenemos:

•MULTIPLICACION Y DIVISION

Al multiplicar o dividir cantidades expresadas con el criterio de cifras significativas, el resultado debe expresarse con igual número de cifras significativas como el del factor (en la multiplicación) o como el del dividendo o divisor (en la división) que contenga menos.

Ejemplos:

c. Multiplicar

2.211 x 0.3 = 0.6633 ≈ 0.7 resultado con una C.S.

d. Dividir

37500 ÷ 25 = 1500 ≈ 1.5 x 10³ resultado con dos C.S.

•POTENCIACION

En la potenciación el resultado se expresa con igual número de cifras significativas que la base.

Ejemplos:

INDICANDO EL TAMAÑO DE LA INCERTIDUMBRE DE LA MEDIDA

En toda medida, la última cifra es la que llamamos dudosa.

Con el objeto de obtener una mayor confiabilidad en el valor de la medida se determina un intervalo dentro del cual debe encontrarse el verdadero valor de ésta. Este intervalo constituye LA INCERTIDUMBRE DE LA MEDIDA.

En forma general el valor de una medida con su incertidumbre se expresa así: x ± Δx

Ejemplo:

La masa del cuerpo se expresa como (70.6 ± 0.1) g

Quiere decir que razonablemente esperamos que el verdadero valor esté entre 70.5 g y 70.7 g

FORMAS DE DETERMINAR LA INCERTIDUMBRE

Para una medida no repetida

Si tomamos la incertidumbre de la medición debida a la escala del instrumento, ésta es estimada tomando de base la división de la escala y las condiciones en que se efectúa la medida.

Un método consiste en leer la cantidad que señala el indicador de la escala y agregarle una fracción del valor de la división.

Nosotros leeremos la cantidad hasta el valor de la menor división. Si el indicador está entre dos marcas consecutivas, entonces se anotará el valor más cercano.

Ejemplo:

Nótese que el indicador más pequeño está entre los 4 y 5 gramos, apuntando entre el séptimo y octavo trazo de dicha escala, pero más próximo al séptimo. La masa medida sería de 154.7 g (100+50+4.7) g.

Si se desea escribir esta cantidad con incertidumbre tomamos el valor de la división (0.1 g). La masa del cuerpo se expresa así: M = (154.7 ± 0.1) g

Para una medida repetida

Se sigue un tratamiento estadístico que puede consistir en el cálculo de:•Desviación media.•Desviación estándar.

Desviación media: Cuando se repite una medida utilizando el mismo instrumento y la misma metodología y los resultados son un tanto diferentes, el valor que se considera más aceptable de la medida efectuada es la media aritmética de todos los valores.

La incertidumbre en su forma estadística, se define como la desviación media Δx de los valores, y se expresa como:

Desviación estándar, otra forma de expresar la incertidumbre es mediante la desviación estándar la cual se define como:

Cuando se dispone de un numero grande “N” de valores. Para el caso N > 20

Cuando el numero “N” de valores es relativamente pequeño. (N ≤ 20)

En general una medida que se repita se expresa como:

Ejemplo de desviación media: Un grupo de laboratorio quiere determinar el diámetro de un cilindro de metal, por lo cual utilizan un vernier y obtienen los siguientes datos:

Aplicando la sumatoria de los valores:

Aplicando la desviación media, para los datos:

El diámetro del cilindro de metal con incertidumbre es:

Ejemplo de desviación estándar: Un grupo mide el tiempo de caída de un cuerpo, soltándolo siempre desde la misma altura y reportan los siguientes datos:

El tiempo de caída puede expresarse como:

TIPOS DE INCERTIDUMBRE

Dependiendo de la forma en que se procedió para obtener el valor de una medida y su incertidumbre esta podrá ser expresada como:

A los términos ± Δx, ± Δx ó ± σ se les denomina incertidumbre absoluta de la medida.

Incertidumbre absoluta, es la expresión que permite determinar el intervalo dentro del cual razonablemente esperamos que esté el verdadero valor de una medida.

Para saber que tan significativa es la incertidumbre de una medida se define la incertidumbre relativa unitaria (IRU) y la incertidumbre relativa porcentual (IRP) así:

Aplicación a los ejemplos:

E1:

E2:

PROPAGACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE

Cuando se obtiene el valor de una medida efectuando cálculos a partir de los valores de otras, es seguro que la incertidumbre de éstas producirá una incertidumbre en el valor final calculado.

SUMA Y RESTA

a. Suma de dos o más medidas. La incertidumbre resultante al sumar dos o más medidas con su respectiva incertidumbre es igual a la suma de las incertidumbres absolutas de las medidas sumando.

Planteamiento:

b. Resta de dos medidas. Cuando dos medidas se restan, la incertidumbre resultante es igual a la suma de las incertidumbres absolutas de éstas.

Ejemplos:

Deseando saber la longitud total de una pista acanalada, se procedió a medirla por tramos, dividiéndola en 3 partes consecutivas, ya que el instrumento de medida no permitía medir de otra manera. Dichos valores obtenidos, fueron: (95,5 ± 0,1) cm, (95,0 ± 0,1) cm y (32,4 ± 0,1) cm. Exprese la longitud total de la pista.

Ejemplo:

En un experimento de química, se toma la lectura de la masa de un balón con una sustancia dentro, antes de la reacción, cuya lectura es de (52,34732 ± 0.00001) g. Luego de la reacción química se vuelve a tomar la lectura de la masa del balón con la sustancia resultante y el dato experimental es de (50,212 ± 0.001) g. calcule por diferencia de masa la cantidad de materia que se perdió en la reacción química.

Resultado: (2,135 ± 0.001) g

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

a. Multiplicación de dos o mas medidas

La incertidumbre relativa unitaria de un producto es igual a la suma de las incertidumbres relativas de los factores.

Sean A = a a, B = b b y C = c c

Si P = p p, entonces, P = A*B*C.

Donde p = a*b*c y p/p = a/a + b/b + c/c ó

Es decir, p = p*(a/a + b/b + c/c)

b. División de una medida entre otra

La incertidumbre relativa unitaria en el cociente de dos medidas es igual a la suma de las incertidumbres relativas unitarias del dividendo y divisor.

Sean: A = a a y B = b b

Si D = d d; entonces D = A/B

Donde d = a/b y d/d = a/a + b/b ó

Es decir, d = d*(a/a + b/b)

POTENCIACIÓN La incertidumbre relativa unitaria de una medida elevada a una potencia n, es n veces la incertidumbre relativa unitaria de dicha medida. Si Z = An = z z, siendo A = a a Entonces ; z = an y ó

En donde n puede ser un número entero ó fraccionario.

a

an

z

z

aa

naz n

OPERACIONES COMBINADAS

Para la operación

donde A = a ± a , B = b ± b , C = c ± c , D = d ± d .

Exprese una ecuación para:

a) la incertidumbre relativa unitaria del resultado de la operación, Δf/f, siendo f=(a*b)/(c*d) y

b) b) la incertidumbre absoluta del resultado de la operación, f.

DC

BAF

Solución: a) f/f = a/a + b/b + c/c + d/d 

b) f = f (a/a + b/b +c/c + d/d)

f = (ab/cd) (a/a + b/b +c/c + d/d

Para la operación , donde N es un número sin incertidumbre, A, B, C, D y E tienen el mismo significado del ejemplo anterior, exprese una ecuación para:

DC

BANE

a) la incertidumbre relativa unitaria del resultado de la operación, e/e, siendo e = N ((a*b)/(c*d)) y

b) la incertidumbre absoluta del resultado de la operación, e.

Solución

)a e/e = a/a + b/b + c/c + d/d , o sea igual a la incertidumbre relativa unitaria del ejemplo anterior, por ser N un número sin incertidumbre.  )b e = e (a/a + b/b + c/c + d/d)

e = N (ab/cd) (a/a + b/b + c/c + d/d)

Ejemplo:

Calcular el caudal de salida de una tubería, sabiendo que la velocidad del flujo es de (0.333 ± 0.002) m/s y el área de la sección transversal circular es de (3.14 ± 0.01) m²

Ecuación de Caudal:

Q = A*v Q = q ± Δq

Datos:

A= a ± Δa = (3.14 ± 0.01) m²

v= v ± Δv = (0.333 ± 0.002) m/s

Calculo del caudal:

q = a*v

Calculo de la incertidumbre absoluta, a partir de la incertidumbre relativa:

Δq/q = Δa/a + Δv/v

Δq = q*(Δa/a + Δv/v)

Introduciendo datos:

q = a*v = 0.333*3.14 = 1.0456 ≈ 1.05 m³/s

Δq = 1.0456*(0.01/3.14+0.002/0.333) = 0.00961 ≈ 0.01m³/s

El caudal es:

Q = (1.05 ± 0.01) m³/s

Calculo de IRP:

IRP = (Δq/q)*100% = (0.01/1.05)*100 = 0.92%

IRP = 0.92%

Ejemplo:

Que potencia realiza la fuerza de (2.1 ± 0.2) N, sobre un bloque, cuando se desplaza (0.37 ± 0.01) m, en un tiempo de (1.11 ± 0.01) s.

Concepto de potencia mecánica:

P = W/t = (F*d)/t

Datos:

F = f ± Δf = (2.1 ± 0.2) N

D = d ± Δd = (0.37 ± 0.01) m

T = t ± Δt = (1.11 ± 0.01) s

Solución:

La potencia será: P = p ± Δp y el trabajo será: W = w ± Δw

Donde:

w = f*d y Δw/w = Δf/f + Δd/d

Luego:

p = w/t = (f*d)/t

Δp/p = Δw/w + Δt/t = (Δf/f + Δd/d) + Δt/t

Δp = p* (Δf/f + Δd/d + Δt/t)

Entonces:

p = (2.1*0.37)/1.11 p = 0.7 W

Δp = 0.7*(0.2/2.1 + 0.01/0.37 + 0.01/1.11) = 0.7*(0.13127)

Δp = 0.091892 Δp = 0.1 WIncerteza Absoluta

Incerteza Relativa

La potencia que realiza la fuerza es de:

P = (0.7 ± 0.1) W

Calculo de la Incertidumbre Relativa Porcentual (IRP):

IRP = (Δp/p)*100 = (0.13127)*100 = 13.127 %

IRP = 13.1 %

Ejemplo:

Un saltador de garrocha de (70,0 ± 0,5) kg logra acumular energía gracias a su carrera. Si ella es de (2800 ± 1) J, ¿Qué rapidez v alcanzó a desarrollar si se sabe que dicha energía es conocida como energía cinética K.

m ± Δm = (70,0 ± 0,5) kg

K ± ΔK = (2800,0 ± 1) J

Solución: