CÁLCULO PARA LAS CIENCIAS BIOLÓGICAS

ESCUELA:

NOMBRES:

Ciencias Biológicas y Ambientales

Ing. Daniela Calva

BIMESTRE: Segundo

Octubre 2011-Febrero 2012

AGENDA

• Unidad 4: Cálculo Multi Variable.– Derivadas Parciales

• Unidad 5: Ecuaciones Diferenciales– Definición

– Tipos de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

– Soluciones de Ecuaciones Diferenciales

– Formas de Resolución de Ecuaciones Diferenciales

Unidad 4: Cálculo Multi Variable.

Derivadas Parciales

k y n representan a números

y, u y v representan a funciones

Derivadas Parciales

Definición:

Consideremos una función z=f(x,y) de dosvariables x y y.

Las derivadas parciales se calculanconsiderando que una de las variables semantiene constante, y derivando respecto ala otra.

Derivadas Parciales

Si z=f(x,y), las primeras derivadasparciales de f con respecto a x e y son lasfunciones fx y fy definidas:

Notación Derivadas Parciales

Ejemplo 1:Calcular fx y fy para la función

Solución:Considerando y constante y derivando con respecto a x, resulta:

Considerando x constante y derivando con respecto a y, resulta:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 3:

Unidad 5: Ecuaciones Diferenciales

Definición:

Una ecuación que contiene una derivada de una

función desconocida, se denomina ecuación

diferencial.

y’=xy2

ED es toda igualdad en la cual existentérminos que contienen derivadas odiferenciales de una o más variablesdependientes con respecto de una o másvariables independientes.

Ejemplo 1:

Ejemplo 1:

Se llama solución general de unaecuación diferencial a todarelación entre las variables, libresde derivadas, que satisface dichaecuación diferencial.

Ejemplo 1:

Se llama solución particular de una ecuación diferencial a aquella solución que se obtienea partir de la solución general, dando valores a las constantes.

Tipos de EDFísico.- Cuando se trata de interrelacionar variablesque representan magnitudes físicas que están enrelación precisa dentro de los cuerpos u objetos deluniverso, considerando los aumentos odisminuciones como elementos de análisis.

Geométrico.- Cuando surge de interrelacionar las

medidas de los cuerpos o figuras geométricas.

De la primitiva.- Cuando se obtiene de ejecutar el

proceso de derivación o diferenciación de una función

mediante la aplicación de las reglas y procedimientos

habituales.

Ejemplos:Físico:La variación del volumen de agua con respecto de lavariación del tiempo determina el caudal:

Geométrico:Derivada del perímetro: dp=2πdR

De la primitiva:

Tipos de ED de primer ordenEcuaciones Separables:Si el lado derecho de la ecuación y’=f(x,y) se puedeexpresar como una función g(x) que sólo depende de x,por una función p(y) que soló depende de y.

Ecuaciones Lineales:Es aquella que se puede expresar de la forma

Donde solo dependen de la variableindependiente x, no así de y.

Tipos de ED de primer orden

Ecuaciones Exactas:Son aquellas que adoptan la formaQue es la diferencial total de la función f(x,y) y se cumple que

Tipos de soluciones de ED

General o completa: cuando la soluciónes representativa de una familia deprimitivas, lo cual queda evidenciado enla presencia de parámetros o constantes.

Particular: Cuando la solución cumplecon ciertas condiciones referenciales, quedebe cumplir la primitiva correspondiente,como por ejemplo pasar por un puntoespecífico.

Formas de resolución de EDO

Variables separadas:Son las que pueden llegar a escribirsecomo:

Proceso:Para resolver basta con integrar ambosmiembros con respecto a x

Formas de resolución de EDO

Ejemplos:

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: