VLAKKE MEETKUNDE 2studiejaar 1, periode 2, week 5

HUISWERKBespreken uit extra oefening E-3 & E-5

Huiswerk extra oefening opdracht E-3

Punt M is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC. De hoogtelijn CQ en BP snijden elkaar in H. AR is een middellijn van de cirkel. Bewijs dat CHBR een parallellogram is. ∠ACR = 90∘ (Thales) ∠APB = 90∘ (gegeven) ∠ABR = 90∘ (Thales) ∠AQC = 90∘ (gegeven) Uit [1] en [2] volgt CHBR is een parallellogram (twee paar evenwijdige zijden).

}⇒ PB//CR (F-hoek) [1]

}⇒ BR//QC (F-hoek) [2]

Vierhoek ABCD is een gelijkbenig trapezium met AB // CD. Op zijde AD ligt punt P en op zijde BC ligt punt Q zodanig dat PQCD een koordenvierhoek is. Maak een tekening en bewijs dat ook ABQP een koordenvierhoek. ∠A = ∠B (eigenschap gelijkbenig trapezium) [1] ∠C = ∠D (eigenschap gelijkbenig trapezium) ⇒∠A + ∠C = 180∘ (hoekensom vierhoek) [2] ∠P1 + ∠P2 = 180∘ (gestrekte hoek) ∠P1 + ∠C = 180∘ (koordenvierhoek) ⇒∠P2 = ∠C [3] Uit [1], [2] en [3] volgt: ∠P2 + ∠B = 180∘

Dus ABQP is een koordenvierhoek.

Huiswerk extra oefening opdracht E-5

}⇒

}⇒

OP NAAR HET CENTRUM5-1 Voronoi-diagrammen & 5-2 Redeneren met Voronoi

Wat is de meetkundige plaats van alle punten die even ver van punt A als punt B afliggen? Juist, een middelloodlijn. Als we een gebied met twee centra willen verdelen volgens het recht van nabijheid, dan tekenen we de middelloodlijn tussen deze twee punten. Maar wat als er meer dan twee centra (lees: punten) zijn? Dan tekenen we ook gewoon meer middelloodlijnen. De gebieden die zo ingesloten worden noemen we Voronoi-cellen. De tekening die zo ontstaat noemen we een Voronoi-diagram.

Voronoi-diagrammen

Gegeven zijn de centra A t/m E. Teken het Voronoi-diagram binnen het gegeven kader. (Let op: laat minimaal en maximaal één keer de constructie van de middelloodlijn zien.)

Voorbeeld 1

Gegeven zijn de centra A t/m E. Teken het Voronoi-diagram binnen het gegeven kader. (Let op: laat minimaal en maximaal één keer de constructie van de middelloodlijn zien.)

Voorbeeld 1

Gegeven zijn de centra A t/m E. Teken het Voronoi-diagram binnen het gegeven kader. (Let op: laat minimaal en maximaal één keer de constructie van de middelloodlijn zien.)

Voorbeeld 1

Gegeven zijn de centra A t/m E. Teken het Voronoi-diagram binnen het gegeven kader. (Let op: laat minimaal en maximaal één keer de constructie van de middelloodlijn zien.)

Voorbeeld 1

Gegeven zijn de centra A t/m E. Teken het Voronoi-diagram binnen het gegeven kader. (Let op: laat minimaal en maximaal één keer de constructie van de middelloodlijn zien.)

Voorbeeld 1

•Teken een aantal (drie of vier) middelloodlijnen. •Bepaal welke delen van de middelloodlijnen tot het Voronoi-

diagram behoren. •Teken een aantal nieuwe middelloodlijnen met zo veel mogelijk

nieuwe punten. •Bepaal van deze nieuwe middelloodlijnen de delen die tot het

Voronoi-diagram behoren. •Herhaal dit proces indien nodig. •In een Voronoi-diagram komen altijd minimaal 3 lijnen (of delen

daarvan) samen. •Zorg dat er uiteindelijk evenveel Voronoi-cellen als centra zijn.

Het tekenen van Voronoi-diagrammen

Wat gaat er fout in het onderstaande Voronoi-diagram?

De middelloodlijn van DE is niet gebruikt en die moet vanuit het snijpunt onder worden getrokken.

Het tekenen van Voronoi-diagrammen

Wat gaat er fout in het onderstaande Voronoi-diagram?

De middelloodlijn van DE is niet gebruikt en die moet vanuit het snijpunt onder worden getrokken.

Het tekenen van Voronoi-diagrammen

In een Voronoi-diagram zien we alleen maar snijpunten met minimaal 3 (delen van) lijnen. Deze punten noemen we drielandenpunten. Het drielandenpunt is een middelpunt van de omgeschreven cirkel. De centra A, C en D liggen dus alle drie even ver van het drielandenpunt F af. Dit geldt dus voor ieder snijpuntin het Voronoi-diagram.

Redeneren met Voronoi-diagrammen

Gegeven zijn de centra A t/m D. Teken het Voronoi-diagram binnen het gegeven kader.

Voorbeeld 2

Gegeven zijn de centra A t/m D. Teken het Voronoi-diagram binnen het gegeven kader.

Voorbeeld 2

Er ontstond een vierlandenpunt in voorbeeld 2. Dit kwam omdat de punten A t/m D op één cirkel liggen.

Redeneren met Voronoi-diagrammen

We redeneren veelal bij Voronoi-diagrammen met behulp van cirkels. Het begrip grootste lege cirkel komen we dan vaak tegen. Dit is een cirkel in het Voronoi-diagram waarbij in de cirkel geen enkel centrum ligt en op de rand ligt minimaal één centrum. Hieronder zijn er twee voorbeelden van getekend:

Redeneren met Voronoi-diagrammen

EEN PITTIGE KEGELSNEDE5-3 Parabool

Conflictlijnen bij punten en lijnen

De conflictlijn van twee punten A en B is de middelloodlijn van het lijnstuk AB.

De conflictlijn van twee evenwijdige lijnen isde middenparallel.

De conflictlijn van twee snijdende lijnen zijnde bissectrices.

Maar wat is de conflictlijn tussen een punt en een lijn? Ik heb een lijn r en een punt F. Alle punten P waarvoor geldt dat d(P, r) = d(P, F) liggen op een parabool.We noemen de lijn r ook wel de richtlijn en het punt F de focus of het brandpunt. Maar hoe construeer je nu die parabool? De eerste drie punten zijn altijd redelijk goed te vinden: •Het eerste punt vindt je door vanuit F een loodlijn te tekenen op r.

het middelste punt van deze lijn is het eerste punt. •Het tweede en derde punt vindt je door door F een evenwijdige lijn

te tekenen aan r. Laat deze lijn snijden door de cirkel (F, d(F, r)). De twee snijpunten die zo ontstaat zijn het tweede en derde punt.

Conflictlijnen tussen een punt en een lijn

Gegeven is de richtlijn r en het brandpunt F. Teken de drie punten die zojuist bedoeld werden: De eerste drie punten: •Het eerste punt vindt je door

vanuit F een loodlijn te tekenen op r. het middelste punt van deze lijn is het eerste punt.

•Het tweede en derde punt vindt je door door F een evenwijdige lijn te tekenen aan r. Laat deze lijn snijden door de cirkel (F, d(F, r)). De twee snijpunten die zo ontstaat zijn het tweede en derde punt.

Voorbeeld 3

Voorbeeld 3

Maar hoe teken je na deze drie punten nog bijvoorbeeld twee andere punten? We moeten als het ware een gelijkbenige driehoek tekenen. En we weten dat de middelloodlijn van de basis door de top gaat. Daar maken we gebruik van bij het construeren van een parabool: •Kies een punt A op de richtlijn r. •Teken de loodlijn op r in A. •Teken de lijn FA en de middelloodlijn van FA. •Het snijpunt van de loodlijn en de middelloodlijn is een punt P van de

parabool. •Herhaal deze handeling 5 keer en schets de parabool door de punten.

Conflictlijnen tussen een punt en een lijn

Teken een parabool door vijf keer de net geleerde constructie uit te voeren: Constructie van een parabool: •Kies een punt A op de richtlijn r. •Teken de loodlijn op r in A. •Teken de lijn FA en de

middelloodlijn van FA. •Het snijpunt van de loodlijn

en de middelloodlijn is een punt P van de parabool.

Voorbeeld 4

Voorbeeld 4

Huiswerk

Maken:

§5-1 opdrachten 1, 2 en 4.

§5-2 opdrachten 5abc, 6 t/m 9.

§5-3 opdrachten 10 t/m 13 en 15.