Upload
kustian-permana
View
5.829
Download
16
Embed Size (px)
Citation preview
Penggunaan Integral
Volume Benda Putar
Pendahuluan Penggunaan IntegralPenggunaan Integral
Bola lampu di samping
dapat dipandang
sebagai benda putar
jika kurva di atasnya
diputar menurut garis
horisontal. Pada pokok
bahasan ini akan
dipelajari juga
penggunaan integral
untuk menghitung
volume benda putar.
Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Suatu daerah jika di putar
mengelilingi garis tertentu
sejauh 360º, maka akan
terbentuk suatu benda putar.
Gb. 4
Home NextBack
Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Dalam menentukan volume benda putar yang harus
diperhatikan adalah bagaimana bentuk sebuah partisi jika
diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode
yang digunakan untuk menentukan volume benda putar
dibagi menjadi :
1. Metode cakram
2. Metode cincin
3. Metode kulit tabungy
0 x
y
x
0x
1 2-2
-1
y
1
2
3
4
NextBack Home
Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Metode cakram yang digunakan
dalam menentukan volume benda
putar dapat dianalogikan seperti
menentukan volume mentimun
dengan memotong-motongnya
sehingga tiap potongan berbentuk
cakram.
NextBack Home
Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Perhatikan daerah di samping
diputar terhadap sumbu-x akan
menjadi gambar yang di
bawahnya. Untuk menghitung
volume benda putar yang
terbentuk diambil sebuah partisi
yang tegak lurus terhadap sumbu
putar. Partisi yang diambil
berbentuk cakram.
Bentuk cakram di samping dapat
dianggap sebagai tabung dengan
jari-jari R = f(x), tinggi h = x.
Sehingga volumenya dapat
diaproksimasi sebagai V R2h
atau V f(x)2x.
x
h=x
x
x
y
0 x
y
xa
)(xf
)(xfR
NextBack Home
Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Dengan cara jumlahkan, ambil
limitnya, dan nyatakan dalam
integral diperoleh:
V f(x)2 x
V = lim f(x)2 x
dxxfa0
2)]([v
x
h=x
x
x
y
0 x
y
xa
)(xf
)(xfR
NextBack Home
dxRb
a 2v
Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi
kurva y = x2 + 1, sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi
sumbu x sejauh 360º.
Contoh Contoh
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah
daerahnya.
2. Tentukan bentuk
irisannya.
3. Masukkan dalam
rumusnya
y
2x
12 x
x
12 xy
1
y
h=x
x
x
12 xR
x
JawabJawab
NextBack Home
Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
y
h=x
x
x
12 xR
dxxV 2
0
22 )1(
dxxxV 2
0
24 )12(
20
3325
51 xxxV
1511
316
532 13)02( V
NextBack Home
dxxfV 2
0
2))((
dxRV 2
0
2
Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi
kurva y = x2, sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh
360º.
Contoh Contoh
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Tentukan bentuk irisannya.
3. Masukkan dalam rumusnya
2
yy
2xy
x
y
y
x
y
h=y
y
yR
JawabJawab
NextBack Home
Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar
dyyV 2
0
2
02
21yV
)04(21 V
x
y
h=y
y
yR 2
dyyV 2
0
2V
NextBack Home
dyyfV 2
0
2))((
Karena diputar terhadap sumbu-y maka integralnya dalam fungsi x=f(y)
Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Metode cincin yang digunakan
dalam menentukan volume
benda putar dapat
dianalogikan seperti
menentukan volume bawang
bombay dengan memotong-
motongnya yang potongannya
berbentuk cincin.
NextBack Home
Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Menghitung volume benda
putar dengan menggunakan
metode cincin dilakukan
dengan memanfaatkan
rumus volume cincin seperti
gambar di samping, yaitu V=
(R2 – r2)h
hr
R
Gb. 5
NextBack Home
Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi
sumbu x sejauh 360º.
Contoh Contoh
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Tentukan bentuk
irisannya.
3. Masukkan dalam
rumusnya
4
y
y = 2x
2
2xy
x
x
x
x2
2x
y
x
JawabJawab
NextBack Home
Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar
y
x
4
y
y = 2x
2
2xy
x
x
x
r=x2
R=2x
dxxxV 2
0
42 )4(
20
5513
34 xxV
)( 532
332 V
)( 1596160V
1564V
NextBack Home
dxrRVb
a )( 22
dxxxV 2
0
422 ))()2((
Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Metode kulit tabung yang
digunakan untuk menentukan
volume benda putar dapat
dianalogikan seperti menentukan
volume roti pada gambar
disamping.
NextBack Home
Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar
rr
h
h
2rΔr
V = 2rhΔr
NextBack Home
Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang
dibatasi kurva y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar
mengelilingi sumbu y sejauh 360º.
Contoh Contoh
Langkah penyelesaian:
1. Gambarlah daerahnya
2. Tentukan bentuk irisannya.
3. Masukkan dalam rumusnya
0
x
1 2x
x
2xy
x2
y
1
2
3
4
JawabJawab
NextBack Home
Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar
0
x
1 2x
x
2xy
x2
y
1
2
3
4
r = xx
h = x2
0
x
1 21 2
y
1
2
3
4
dxxV 2
0
32
2
0
4412 xV
8V
NextBack Home
dxhrVb
a .2
dxxxV 2
0
2.2
Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar
Jika daerah pada contoh sebelumnya dipartisi secara
horisontal dan sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y,
maka partisi tersebut membentuk cincin. Volume benda
putar tersebut dihitung dengan metode cincin adalah sebagai
berikut.
0
x
1 2-2
-1
y
1
2
3
4
dxyV 4
04
4
0
2214 yyV
)816( V
8V
0
x
1 2x
2xy y
1
2
3
4
y r=x
R = 2
Home Back Next
dxrRVb
a )( 22
Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka
bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut
adalah ....
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu Y sebesar 360. Jika digunakan metode kulit tabung, maka
bentuk integral yang menyatakan volume benda putar tersebut
adalah ....A
B
C
D
E
Soal Soal 55..
4
0dxxv
4
0
2dxxv
4
02 dxxxv
2
0)16(2 dyyv
2
0dyyv
0 X
Y
Xy
4
2
Home Back Next
Latihan Penggunaan Integral Penggunaan Integral
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
Daerah yang di arsir pada gambar di bawah ini diputar mengelilingi
sumbu X sebesar 360. Volume benda putar yang terjadi adalah ….
A
B
C
D
E
Soal 6.Soal 6.
4 satuan volum
6 satuan volum
8 satuan volum
12 satuan volum
15 satuan volum
0 X
Y
Xy
4
2
Home Back Next