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WWW.ToanCapBa.NetPhương pháp tìm giới hạn của hàm số

MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP TÌM GIÔÙI HAÏN CUÛA MOÄT HAØM SOÁ

I. Toùm taét lyù thuyeát

1. Giôùi haïn höõu haïn

• Cho khoaûng K chöùa ñieåm x0 vaø haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân K

hoaëc treân K\{x0}. khi vaø chæ khi vôùi daõy soá (

baát kyø ,xn \{x0} vaø xn ,ta coù limf(xn)=L .

• Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (xo;b) .

khi vaø chæ khi vôùi daõy soá (xn) baát kyø x0<xn<b vaø xn , ta coù

limf(x)=L .

• Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;x0). ,

khi vaø chæ khi vôùi daõy soá (xn) baát kyø , a<xn<x0 vaø xn , ta coù

limf(xn)=L .

• Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;+∞) . ,

khi vaø chæ khi vôùi daõy (xn) baát kyø ,xn>a vaø xn , thì limf(xn)=L

• Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (-∞;a) . ,

khi vaø chæ khi vôùi daõy soá (xn) baát kyø ,xn<a vaø thì

limf(xn)=L.2. Giôùi haïn ôû voâ cöïc

Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 1WWW.ToanCapBa.Net


• Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng(a;+∞) .

, khi vaø chæ khi vôùi daõy soá (xn) baát kyø , xn>a

vaø ,ta coù limf(xn)=-∞ .

• Cho K laø khoaûng chöùa ñieåm x0 vaø haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân

K hoaëc treân K\{x0}. .khi vaø chæ khi vôùi moïi daõy

soá baát kyø (xn) ,xn thuoäc K\{x0} vaø xn , ta coù limf(xn)=+∞ .

Chuù yù : f(x) coù giôùi haïn +∞ ,khi vaø chæ khi -f(x) coù giôùi haïn -∞3.Caùc giôùi haïn ñaëc bieät

Vôùi k laø moät soá nguyeân döông

4. Ñònh lyù veà giôùi haïn höõu haïn

* Ñònh lyù 1

a) Neáu vaø , thì

•

•

•

•



b) Neáu f(x)≥ 0 vaø , thì L ≥ 0 vaø

Ñònh lyù 2

5. Quy taéc veà giôùi haïn voâ cöïc

a) Quy taéc tìm giôùi haïn cuûa tích f(x).g(x) .

L>0+∞ +∞

-∞ -∞

L <0+∞ -∞

-∞ +∞

b) Quy taéc tìm giôùi haïn cuûa thöông

Daáu cuûa

g(x)

L ±∞ Tuyø yù 0

L>0 0+ +∞

- -∞

L <0 0+ -∞

- +∞



B. Phöông phaùp tìm giôùi haïn cuûa haøm soá

I. Thoâng thöôøng ta aùp duïng caùc quy taéc vaø ñònh lyù veà giôùi haïn cuûa haøm soá laø ta tìm ñöôïc ngay giaù trò cuûa giôùi haïn .

Ví duï , Tìm caùc giôùi haïn sau

Baøi giaûi :



II. Moät soá daïngvoâ ñònh thöôøng gaëp vaø caùch bieán ñoåi .

1. Ñeå tính . Ta laøm nhö

sau:

• Phaân tích töû vaø maãu thaønh nhaân töû . Sau ñoù giaûn öôùc nhaân

töû chung :

• Neáu u(x) vaø v(x) chöùa bieán soá döôùi daáu caên ,thì coù theå nhaân

töû vaø maãu vôùi bieåu thöùc lieân hôïp ,tröôùc khi phaân tích chuùng

thaønh tích ñeå giaûn öôùc .

• Moät soá bieåu thöùc lieän hôïp thöôøng duøng :

* Chuù yù : Trong (**) neáu A(x0)=B(x0)=0 ,ta laïi phaân tích tieáp chuùng

thaønh :



* Khi u(x) hoaëc v(x) chöùa caên thöùc cuøng baäc : Ta söû duïng phöông phaùp nhaân lieân hôïp ( nhö ñaõ cho ôû treân )

Sau ñoù ruùt goïn laøm xuaát hieän thöøa soá chung .

Giaûn öôùc thöøa soá chung ,seõ maát daïng voâ ñònh

Ví duï1 . ( Baøi 4.57-tr-143-BTGT11-NC).

Tìm caùc giôùi haïn sau

Baøi giaûi :

Vì , thì x+2<0 ,cho neân



Ví duï 2 ( Baøi 4.59-tr144-BTGT11-NC)


Baøi giaûi :



2. Ñeå tìm giôùi haïn :(Daïng : )

Ta coù theå laøm nhö sau :

• Chia töû vaø maãu cho , vôùi n laø soá muõ cao nhaát cuûa bieán soá

x ( hay phaân tích töû vaø maãu thaønh tích chöùa nhaân töû xn ,roài

giaûn öôùc ).

• Neáu u(x) vaø v(x) coù chöùa bieán x trong daáu caên thöùc ,thì ñöa xk ra

ngoaøi daáu caên ( vôùi k laø soá muõ cao nhaát cuûa x trong daáu

caên ), tröôùc khi chia töû vaø maãu cho luyõ thöøa cuûa x . • - Chuù yù ñeán caän : Khi x nghóa laø x>0 ; coøn x , nghóa laø

x<0

• - Gioáng nhö ñoái vôùi daïng , hoaëc ta phaân tích thaønh nhaân töû

,hoaëc ta nhaân lieân hôïp ,hoaëc ta ñöa x ra ngoaøi daáu caên thöùc ( phaûi chuù yù ñeán caän maø boû daáu trò tuyeät ñoái )

Ví duï 1. (Baøi 32-tr159-GT11-NC)




Baøi giaûi :

Ví duï 2. (Baøi 44-tr167-GT11NC)


Baøi giaûi :



Ví duï 3. Tìm caùc giôùi haïn sau :

→ −∞

−− +

2

2x

3x(2x 1)1. lim(5x 1)(x 2x) →+∞

++ +2x

x x 12. limx x 1

→ −∞

− +−

2 3 23 lim3 1x

x x xx → ± ∞

+ + + +

+ + −

2

2x

x x 2 3x 14. lim4x 1 1 x

ø giaûi:

.

( )( ) ( )→ −∞ → −∞ → −∞

− ÷−− = = =− + − + − + ÷ ÷

22 2

2x x x

13 23 2x 13x(2x 1) 6x1. lim lim lim1 25x 1 x 2 5(5x 1)(x 2x) 5 1x x

→+∞ →+∞

++ = =+ + + +

2

2x x2

1 1x x 1 x x2. lim lim 01 1x x 1 1

x x

→ −∞ → −∞ → −∞

− + − − +− + = = =− −− ÷

23 31 2 1 23 2 13 lim lim lim 113 1 333

x x x

x xx x x x xx x

xx



→ ± ∞ → ± ∞

+ + + + ÷ >+ + + + = = − < + + − + + − ÷

2 2

2x x

2

1 2 1x 1 x 3 4 khi x 0x x 2 3x 1 x xx 24. lim lim khi 01 14x 1 1 x 3x 4 x 1xx

Ví duï 4. Tìm caùc giôùi haïn sau

→−∞

+ +−

3 3 221. lim2 2x

x x xx

→ −∞

+ + + +−

33 2 2 3 2 23

2

( 2 ) 22 lim3 2x

x x x x x xx x

→−∞

− +−

2 3 23. lim3 1x

x x xx →+∞

+ − ++ −x

(x x x 1)( x 1)4. lim(x 2)(x 1)

Baøi giaûi :

→ −∞ →−∞

+ + ÷

+ + = =− − ÷

33 3 2

21 121. lim lim 1

12 2 2 1x x

xxx x x

x xx

→ −∞ → −∞

+ + + + ÷ + + + + = =− −

22

3 333 2 2 3 2 23

2

2 21 1 1( 2 ) 22 lim lim 123 2 3

x x

xx xx x x x x x

x xx

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )→+∞ →+∞ →+∞

→+∞

+ − + − + − + = =+ − − + −+ −

+ −= = = → +∞ → ∞

− + −

3 2 3 2

3 22x x x

3

x2 3

x x 1 x x 1(x x x 1)( x 1)4. lim lim lim(x 2)(x 1) x x 2 x 2x 2 x 1

1 11t tlim 1 khi : t x ; khix ,t1 2 21

t t t

Baøi taäp töï luyeän



Tìm caùc giôùi haïn sau:

a) x

2x 1limx 1→+∞

+−

b) 2

2x

x 1lim1 3x 5x→ −∞

+− −

c) 2x

x x 1limx x 1→ +∞

++ +

d) 2

2x

3x(2x 1)lim(5x 1)(x 2x)→ −∞

−− +

e) 3

3 2

3 2 2lim2 2 1x

x xx x→±∞

− +− + −

f)3 2

43 2 1lim4 3 2x

x xx x→±∞

− −+ −

g)3 2

22 2lim

3 1x

x xx x→±∞

− −− −

h)4 2

33 1lim2 2x

x xx x→±∞

− +− + −

i) 2 2

4x

(x 1) (7x 2)lim

(2x 1)→ ±∞

− ++

j) 2 3

2 2x

(2x 3) (4x 7)lim

(3x 4) (5x 1)→ ±∞

− +− −

k) 2

x

4x 1lim

3x 1→∞

+−

l) 2 3 2lim3 1x

x x xx→+∞

− +− →±∞

− + + −

− +

2

2x

4x 2x 1 2 xo) lim9x 3x 2x

p) 2

2x

x 2x 3 4x 1lim4x 1 2 x→ ±∞

+ + + +

+ + − q)

2x

x x 3lim

x 1→+∞

++

3. Ñeå tính giôùi haïn :( Daïng ∞-∞ ) .

Hoaëc

• Ta nhaân vaø chia vôùi bieåu thöùc lieân hôïp ( neáu coù bieåu thöùc

chöùa bieán soá döôùi daáu caên thöùc ) hoaëc quy ñoàng ñeå ñöa veà

cuøng moät phaân thöùc ( neáu chöùa nhieàu phaân thöùc )Daïng voâ ñònh ∞ − ∞vaø daïng 0.∞

Ví duï 1. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haùm soá sau

31. lim (2 3 )x

x x→ +∞

− → ±∞− +22 lim 3 4

xx x

→−∞+ −2

x3. lim ( x x x)



24. lim ( 3 2 )x

x x x→ +∞

− + − 5. lim ( 2 2)x

x x→ +∞

+ − −

→ ± ∞− + − − +2 2

x6. lim ( x 4x 3 x 3x 2)

Baøi giaûi

3 32

31. lim (2 3 ) lim 2

x xx x x

x→ +∞ → +∞

− = − = +∞ ÷

→ ±∞ → ±∞

+∞ → +∞− + = − + = −∞ → −∞

22

3 42. lim 3 4 lim 1x x

khixx x x

khixx x

→−∞ →−∞ →−∞

→−∞ →−∞

+ − = + − = − + − = +∞ ÷ ÷ ÷ ÷

⇔ = =+ + − + +

2

x x x

2x x

1 13. lim ( x x x) lim x 1 x lim x 1 1 .0 ?x x

x 1lim lim ?1x x x 1 1x

22

3 24. lim ( 3 2 ) lim 1

x xx x x x do x x x

x x→ +∞ → +∞

− + − = − + = +∞ → +∞ ⇒ = ÷ ÷

4 45. lim ( 2 2) lim lim 0

2 2 2 21 1

x x xx x

x xx

x x

→ +∞ → +∞ → +∞+ − − = = =

+ + −+ + − ÷

→ ± ∞ → ± ∞

→ ± ∞

− +− + − − + =− + + − +

− − ÷ → −∞ = = − → +∞− + + − + ÷

2 22 2x x

x

2 2

x 16. lim ( x 4x 3 x 3x 2) limx 4x 3 x 3x 2

1 1x 1 khi xx 2lim 14 3 3 2 khi xx 1 1 2x xx x

Ví duï 2. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sau



Baøi giaûi :

Ví duï 3. ( Baøi 40-tr166-GT11-NC)1

.Tìm caùc giôùi haïn sau

Baøi giaûi :



Baøi taäp töï luyeänTính caùc giôùi haïn sau:

e) 2

xlim ( x x x)→+ ∞

+ − g) )23(lim 2 xxxx

−+−−∞→

h) 2lim ( 2 4 )x

x x x→ ±∞

− + − k) 2lim ( 5 )x

x x x→ ±∞

+ +

l)2

xlim (2x 1 4x 4x 3)→ ± ∞

− − − − m) 2

xlim (3x 2 9x 12x 3)→ ± ∞

+ − + −

n) )223(lim 2 −++−+ ∞→

xxxx

t)3 3 2

xlim ( x x x x)→±∞

− + +

o) )223(lim 2 −++−− ∞→

xxxx

p) 2lim( 3 2 1)x

x x x→±∞

− + + −

q) 2lim ( 3 1 3)x

x x x→ ±∞

− + − +

r) 2lim ( 4 3 2 1)x

x x x→ ±∞

− + − +

s) 3 3 2

xl im ( x x x)→ ±∞

+ −

v) 32 3

xlim ( x 1 x 1)→ + ∞

+ − − w) 3 3 2lim ( 2 1 3 )x

x x x x→ ±∞

+ − − −



4. Ñeå tìm giôùi haïn

Khi u(x) hoaëc v(x) chöùa caùc caên thöùc khoâng cuøng chæ soá .

• Kheùo leùo theâm vaø bôùt vaøo töû soá hay maãu soá ( coù chöùa caên

khoâng cuøng chæ soá ) moät soá hôïp lyù ( thöôøng laø theâm vaøo soá

x0)

• Taùch giôùi haïn ñaõ cho thaønh hai giôùi haïn maø sao cho moãi giôùi

haïn chæ chöùa caên thöùc coù cuøng chæ soá vaø aùp duïng caùc ñònh

lyù ,hoaëc quy taéc tìm giôùi haïn ñaõ bieát .

• Chaúng haïn ,ta tìm :

• Chuù yù : Ñoâi khi ta phaûi theâm ,bôùt moät ñaïi löôïng h(x) sao cho

h(x0)=c. Sau ñoù aùp duïng caùch phaân tích treân ñeå giaûi . ( Thoâng

qua ví duï : )

Ví duï minh hoaï

Ví duï 1. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sau

Baøi giaûi :



Ví duï 2. Tìm caùc giôùi haïn sau.

Baøi giaûi :




Baøi giaûi :


Baøi giaûi :



Ví duï 5. Tìm giôùi haïn sau :

Giaûi :

Ta theâm ,bôùt moät haøm soá h(x)=1+x ,vôùi h(0)=1. Khi ñoù

5 Ñeå tìm giôùi haïn :

Khi u(x) hoaëc v(x) chöùa caùc caên thöùc khoâng cuøng chæ soá .( vôùi caên

coù chæ soá cao hôn 3- töø 4 trôû ñi ).

• Ta ñoåi bieán soá baèng caùch ñaët u=

• Chuyeån giôùi haïn ñaõ cho töø bieán x trôû thaønh bieán u vôùi giôùi

haïn môùi coù theå aùp duïng caùc ñònh lyù vaø quy taéc tìm giôùi haïn

laø coù theå tìm ñöôïc ngay .

Ví duï1: minh hoaï ( ÑH-SP II-99).

Tìm giôùi haïn sau :



Baøi giaûi :

Ta coù :

• Ñaët :

• Ñaët :

• Vaäy :

Ví duï 2: Tìm caùc giôùi haïn sau

Baøi giaûi :



6 Phaàn naâng cao . AÙp duïng giôùi haïn :

• Neáu giôùi haïn ñaõ cho chöùa caùc haøm soá löôïng giaùc , baèng

caùch bieán ñoåi löôïng giaùc ,ta bieán ñoåi haøm soá caàn tìm giôùi

haïn sao cho söû duïng ñöôïc giôùi haïn treân.

• Neáu haøm soá tìm giôùi haïn chöùa hoãn hôïp caû caèn thöùc +löôïng

giaùc ,hay ña thöùc vôùi löôïng giaùc thì ta phaûi theâm hay bôùt hoaëc

taùch giôùi haïn ñoù thaønh hai giôùi haïn sao cho hai giôùi haïn naøy

coù theå tìm ñöôïc ngay baèng caùc ñònh lyù vaø quy taéc tìm giôùi

haïn ñaõ bieát .

Ví duï minh hoaï :


Baøi giaûi :



Ví duï 2. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sau.

Baøi giaûi :

Vaäy :

III.Phaàn baøi taäp töï luyeän

Baøi 1. Tìm caùc giôùi haïn sau






Baøi 5. Tìm giôùi haïn cuûa caùc haøm soá sau

III. Söû duïng ñònh nghóa ñaïo haøm ñeå tìm giôùi haïn cuûa haøm soá

• Theo ñònh nghóa ñaïo haøm : "Cho haøm soá y= f(x) coù D=(a;b)x0 laø

moät giaù trò thuoäc D . Giôùi haïn cuûa tyû soá

Goïi laø giaù trò ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi ñieåm x0.

• Neáu haøm soá f=f(x) toàn taïi ñaïo haøm taïi ñieåm x0 : f'(x0)≠ 0 , thì :

• Moät soá coâng thöùc tính ñaïo haøm caàn bieát :

Ví duï aùp duïng

Ví duï 1. (ÑH-Thuyû lôïi -KA-2001).Tìm giôùi haïn sau

Baøi giaûi :



Vôùi :


Baøi giaûi




Baøi giaûi



* Chuù yù : Coù theå söû duïng moät soá keát quaû sau ñeå tìm giôùi haïn

Keát quaû 1. Tìm giôùi haïn sau

Töø phaân tích : abc-1= (abc-ab)+(ab-a)+(a-1)=ab(c-1)+a(b-1)+(a-1). (1) Cho

neân :

Ví dụ . Tìm giới hạn sau

Baøi giaûi :

Do (1)



Kết quả 2 .Tìm giới hạn sau

Ví dụ 1:

Bài giải :

Ví dụ 2 :

Baøi giaûi :

Moät soá baøi taäp töï luyeän







BAØI TAÄP THAM KHAÛO - ÑEÅ LUYEÄN TAÄP

.Baøi 1. Duøng ñònh nghóa, CMR:

a) x 2lim(2x 3) 7

→+ = b)

x 3

x 1lim 1

2(x 1)→

+ =− c)

2

x 1

x 3x 2lim 1

x 1→

− + = −−


a) 3 2

x 0lim(x 5x 10x)

→+ + b)

2

x 1

x 5x 6lim

x 2→

− +−

c) x 3lim x 1

→−

d) 2

2x 2

2x 3x 1lim

x 4x 2→−

+ +− + +

e) 3x 1

1 1lim1 x 1 2x→

− ÷+ − f)

2

3x 0

x 4limx 3x 2→

−− +

g) x 1

1 x 1 xlimx→

+ − −

j)0

tan sin2xlimcosx

xx→

+ h) x

2

sinxlimxπ→

k)x

4

tgxlimxπ→ π −

Daïng voâ ñònh 00



1. Tìm caùc giôùi haïn sau:

a)2

2x 2

x 4limx 3x 2→

−− +

b) 2

2x 1

x 1limx 3x 2→ −

−+ +

c)2

2x 5

x 5xlimx 25→

−−

d)2

2x 2

x 2xlim2x 6x 4→

−− + −

e)3

4x 1

x 3x 2limx 4x 3→

− +− +

f) 3 2

2x 1

x x x 1limx 3x 2→

− − +− + −

g) 2

3 2

2 6lim8x

x xx→ −

+ −+

h) 4 2

23

72lim2 3x

x xx x→

− −− −

i) 5

31

1lim1x

xx→−

++

j) 3 2

4 2x 3

x 5x 3x 9limx 8x 9→

− + +− −

k) 4 3 2

3 2x 1

2x 8x 7x 4x 4lim

3x 14x 20x 8→

+ + − −+ + +

l) 3 2

3x 2

x 3x 9x 2lim

x x 6 → −

− − +− +

m) 21

2 1lim1 1x x x→

− ÷− −

n) 311 3lim

1 1x x x→ − ÷− −

o)5 6

2x 1

x 5x 4xlim(1 x)→

− +−

p) 3 3

h 0

(x h) xlimh→

+ −q)

2

3 3x a

x (a 1)x alimx a→

− + +−

r) 4 4

x a

x alim

x a →

−−

s) 3 3

h 0

2(x h) 2xlim

h→

+ −

t) 2 2x 1

x 2 x 4lim

x 5x 4 3(x 3x 2)→

+ −+ ÷− + − + u)

1992

1990x 1

x x 2lim

x x 2→

+ −+ −

k) n

2x 1

x nx n 1lim

(x 1)→

− + −−


A = 8x

18xx4lim

3

2

2x −−+

→ B =

2

2x 5

x x 30lim

2x 9x 5→

+ −− −

D = 2

3 21x

2

4x 1lim

4x 2x 1→

−+ − C = 3 2x 1

x 1lim

x 2x x 2→−

++ − −

E = 2

2x 1

x 4x 3lim

x 2x 3→

− ++ −

G =2

2x 1

2x 3x 1lim

x 4x 5→−

+ +− + +



H =4

2x 2

x 16lim

x 2x→−

−+

L = 3 2

2x 1

x x x 1lim

x 5x 6→

− + −− − +

I = 3

2x 1

x 1lim

x x→

−−

J = 3x4x

27xlim

2

3

3x +−−

→

N = 3 2

3x 2

x 2x 6x 4lim

8 x→

+ − −−

O = 3 2

2x 2

x x 5x 2lim

x 3x 2→

+ − −− +

F = 2

21x

2

2x 5x 2lim

4x 1→

− +−

P = 3 2

2x 1

x 4x 6x 3lim

x x 2→−

+ + +− −

Q = 3

2x 1

x 3x 2lim

x 2x 1→

− +− +

R = 5

3x 1

x 1lim

x 1→

−−

M = 3

2x 2

8x 64lim

x 5x 6→

−− +


a) 2

x 0

x 1 x x 1lim

x→

+ − + + b) 2x 7

x 3 2lim

49 x→

− −−

c) 2x 2

2 x 2lim

x 3x 2→

− +− +

e) 3 2x 1

2x 7 3limx 4x 3→

+ −− +

f)x 4

x 5 2x 1limx 4→

+ − +−

g) 2

21

2 3lim3 2x

xx x→

− +− + −

d) 2x 2

4x 1 3lim

x 4→

+ −−

h) 32

2lim8x

x xx→

− +−

0) 3

21

1lim2 5 3x

xx x→−

++ +

i) 2

2x 1

3x 2 4x x 2lim

x 3x 2→

− − − −− +

j) x 4

3 5 xlim1 5 x→

− +− −

k) x 1

3 8 xlim2x 5 x→

− +− −

o) 3

20

1 1lim2x

xx x→

− −+

p) x 2

x x 2lim

4x 1 3→

− ++ −

x)3 2 3

2x 1

x 2 x 1lim(x 1)→

− +−

2

31

2 6 4 1) lim2 1x

x x xmx x→

+ + − +− +

n) 4

3 2x 1

x 1lim

x x 2→

−+ −

q) 3

2x 2

2x 12 xlim

x 2x→−

+ ++

r) 3

x 1

x 7 2limx 1→

+ −−

s) 30

1 1lim1 1x

xx→

+ −+ −

t) 3

x 1

x 7 2lim

x 1→

+ −−

v) 3

4x 1

x 1lim

x 1→

−−

w)3

3x 1

x 1lim4x 4 2→

−+ −

4. Tính caùc giôùi haïn sau:



a. x 0

x 1 x 4 3lim

x→

+ + + − b. x 0

x 9 x 16 7lim

x→

+ + + − c. 3

x 0

x 1 x 4 3limx→

+ + + −

d.3

x 0

x 1 x 1limx→

+ − +e.

3

21

3 3 5lim

1x

x x

x→

+ − +−

f.3

2x 1

8x 11 x 7limx 3x 2→

+ − +− +

Daïng voâ ñònh ∞∞


a) x

2x 1limx 1→+∞

+− b)

2

2x

x 1lim1 3x 5x→−∞

+− −

c) 2x

x x 1limx x 1→+∞

++ +

d) 2

2x

3x(2x 1)lim(5x 1)(x 2x)→−∞

−− +

e) 3

3 2

3 2 2lim2 2 1x

x xx x→±∞

− +− + −

f)3 2

4

3 2 1lim4 3 2x

x xx x→±∞

− −+ −

g)3 2

2

2 2lim3 1x

x xx x→±∞

− −− −

h)4 2

3

3 1lim2 2x

x xx x→±∞

− +− + −

i) 2 2

4x

(x 1) (7x 2)lim

(2x 1)→±∞

− ++

j) 2 3

2 2x

(2x 3) (4x 7)lim

(3x 4) (5x 1)→±∞

− +− −

l) 2 3 2lim3 1x

x x xx→+∞

− +−

k) 2

x

4x 1lim

3x 1→∞

+−

m) 2 3 2lim3 1x

x x xx→−∞

− +−

n)2

2x

x x 2 3x 1lim4x 1 1 x→± ∞

+ + + +

+ + −

o) 2

2x

4x 2x 1 2 xlim9x 3x 2x→±∞

− + + −

− +

p) 2

2x

x 2x 3 4x 1lim4x 1 2 x→ ±∞

+ + + +

+ + − q)

2x

x x 3lim

x 1→+∞

++

r)3 3 22lim

2 2x

x x xx→−∞

+ +−

s)33 2 2 3 2 23

2

( 2 ) 2lim3 2x

x x x x x xx x→−∞

+ + + +−

t)x

(x x x 1)( x 1)lim(x 2)(x 1)→ +∞

+ − ++ −

Giôùi haïn moät beân

1. Tìm caùc giôùi haïn sau



a) 2

2

2lim3 1x

x xx−→

−+

b)2

3 1lim2x

x+→

− c)

1

1lim

1x

xx+→

−−

d)1

1lim

1x

xx−→

−−

e)2 3

x 0

x xlim2x+→

+

f) 2 3x 0

2xlim4x x±→ +

g)2

33lim

2

2 −+−

−→ x

xxx

h)2

33lim

2

2 −+−

+→ x

xxx

i) 4

3lim4x

xx±→

−−

j) 2

33lim

2

2

2 −++−

−−→ xx

xxx

k) 2

33lim

2

2

2 −++−

+−→ xx

xxx

l)3

2x 1

x 3x 2limx 5x 4−→

− +− +

g)x 0

1 xlim xx±→

− ÷ ÷

h)2

x 1

x x 2limx 1+→

+ −−

i)x

2

1 cos2xlimx

2+π→

+π −

2. Tìm giôùi haïn beân phaûi, giôùi haïn beân traùi cuûa hs f(x) taïi xo vaø xeùt xem haøm soá coù giôùi haïn taïi xo khoâng ?

2

2

o

x 3x 2 (x 1)x 1a) f (x)x (x 1)2

vôùi x 1

− + > −= − <

=

2

o

4 x (x 2)b) f (x) x 21 2x (x 2)

vôùi x 2

− <= − − >

=

3

1 x 1x 0

c) f (x) 1 x 13/ 2 x 0

0

+ − >= + − ≤

=o

vôùi x

3. Tìm A ñeå haøm soá sau coù giôùi haïn taïi xo:

a)

3x 1 (x 1)f (x) x 1Ax 2 (x 1)

− <= − + ≤

vôùi x0 = 1

b) 3 2

2

x 6 2x 9A x 3

f (x) x 4x 3x

3x 2 x 3

+ + −+ <= − + − ≥

vôùi x0 = 3

Giôùi haïn haøm löôïng giaùc

1. Tính caùc giôùi haïn sau:



a) x 0

sin5xlim3x→

b) 2x 0

1 cos2xlimx→

− c) 2x 0

cosx cos7xlimx→

−

d) 2x 0

cosx cos3xlimsin x→

− e) 3x 0

tgx sinxlimx→

− f)

x 0

1 3lim xsinx sin3x→

− ÷

g) 0

sin2 sinlim3sinx

x xx→

+ h)

0

1 sin cos2limsinx

x xx→

− −

D¹ng 1: x → aBµi 1: Thay vµo lu«n.

1) 2

3lim

3

2

1 +−

−→ x

xx

2) 5

3 72

34lim

+−

→ x

xx

3) 32

4

2 2

232lim

+−++

−→ xx

xxx

4) 6

lim3

2

3 −−→ xx

xx

5) 72

15lim

1 +−

→ x

xx

6)

622

35lim

23

2

2 +++++

−→ xxx

xxx

Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.

1) 253

103lim

2

2

2 −−−+

→ xx

xxx

2) ax

ax nn

ax −−

→lim

3) 2

1

)(

)(lim

ax

axnaax nnn

ax −−−− −

→4) 21 )1(

1lim

−−+−

→ x

nnxx n

x

5)

−−

−→ 31 1

3

1

1lim

xxx 6)

−−

−→ xx

nnx 1

1

1lim

1

7) ( )h

xhxh

33

0lim

−+→

8) x

xx −

−→ 1

1lim

1 9)3

152lim

2

3 −−+

→ x

xxx

10) 5

152lim

2

5 +−+

−→ x

xxx

11) 6)5(

1lim

3

1 −+−

→ xx

xx

12) 6

293lim

3

23

2 −−−−+

→ xx

xxxx

13) xx

xxx 4

43lim

2

2

4 +−+

−→

14) 2012

65lim

2

2

4 +−+−

−→ xx

xxx

15) 6

23lim

2

23

2 −−++

−→ xx

xxxx

16)32

1lim

2

4

1 −+−

→ xx

xx

17) 6

44lim

2

23

2 −−++

−→ xx

xxxx

Bµi 3: Nh©n lîng liªn hîp (cã mét c¨n bËc hai)

1) .2

35lim

2

2 −−+

→ x

xx

2)7

29lim

4

7 −−+

→ x

xx

3) x

xx −

−→ 5

5lim

5

4) 2

153lim

2 −−−

→ x

xx

5) 11

lim0 −+→ x

xx



6) xx

xx 336

1lim

21 ++

+−→ 7)

x

xxx

11lim

2

0

−++→

8) 25

34lim

25 −−+

→ x

xx

9) ( )x

xxxx

+−+−→

121lim

2

0

10) 4102

3lim

3 −+−

→ x

xx 11)

1

23lim

3

1 −−−

→ x

xxx

12)x

xn

x

11lim

0

−+→

(n ∈N, n ≥ 2) 13) 6

22lim

6 −−−

→ x

xx

14) 23

2423lim

2

2

1 +−−−−−

→ xx

xxxx

15) 1

132lim

21 −+−

→ x

xxx

16) 2

583lim

3

2 −+−

→ x

xxx

17)32

1lim

21 −+−

→ xx

xx

Bµi 4: Nh©n lîng liªn hîp (cã hai c¨n bËc hai)

1) x

xxx

−−+→

55lim

0 2)

x

xxx

−−+→

11lim

0

3) 1

12lim

1 −−−

→ x

xxx

4) x

axax

−+→0

lim (a > 0)

5) x

xxxx

11lim

2

0

++−+→

6) 23

2423lim

2

2

1 +−−−−−

→ xx

xxxx

7) 23

2423lim

2

3 23

1 +−−−−−

→ xx

xxxx

10) x

xxxx

+−+−→

131lim

2

0

8) x

axax

33

0lim

−+→

9) 1

12lim

2

3 23

1 −+−+−

→ x

xxxx

Bµi 5: Nh©n lîng liªn hîp (cã mét c¨n bËc ba)

a) x

xx

141lim

3

0

−+→

b) 2

24lim

3

2 −−

→ x

xx

c) x

xx 3

11lim

3

0

+−→

d) 11

lim30 −+→ x

xx

Bµi 6: Nh©n lîng liªn hîp (c¶ tö vµ mÉu)

1) x

xx −−

+−→ 51

53lim

4 2)

314

2lim

2 −++−

→ x

xxx

3) 1

lim2

1 −−

→ x

xxx

4) 23

1lim

2

3

1 −+

+−→ x

xx

5) 1

1lim

4

3

1 −−

→ x

xx

9) 1

1lim

3

1 −−

→ x

xx

6) 39

24lim

2

2

0 −−

−−→ x

xx

7) 3

527lim

9 −−+

→ x

xx

8) 364 4

8lim

x

xx −

−→

Bµi 7: Nh©n lîng liªn hîp (cã c¶ c¨n bËc hai vµ c¨n bËc ba)

1) x

xxx

3

0

812lim

−−−→

(§HQG – KA 97) 2) 23

2423lim

2

3 2

1 +−−−−−

→ xx

xxxx



3) 1

75lim

2

3 23

1 −+−−

→ x

xxx

4) 23

2423lim

2

23

1 +−−−−−

→ xx

xxxx

5) 1

57lim

23

1 −−−+

→ x

xxx

6) x

xxx

3

0

5843lim

+−+→

7) x

xxx

7121lim

3

0

+−+→

D¹ng 2: Giíi h¹n mét bªn

1)2

228lim

2 +−+

+−→ x

xx

2) xx

xxx 23

32lim

0 −−

+→

3) 2

4463lim

2

2 −+−+−

→ x

xxxx

4) ( )

>+≤−

=1;1

1;132 xx

xxxf . )(lim

1xf

x→

5) ( )

<

≥++=

0;sin

0;123 2

xx

x

xxxxf . T×m )(lim

1xf

x→ ;

6) ( )

≥+−−

<≤

<

=

1;12

10;

0;

2

2

xxx

xx

xo

xf . T×m )(lim1

xfx→ ; )(lim

0xf

x→

7)

>≤

=2;3

2;)(

2

x

xmxxf

8)

≤+

>+−=

2;4

2;65)(

2

xmx

xxxxf . T×m m ®Ó hµm sè cã giíi h¹n t¹i x = 2.

9) ( )

≥−<<−

≤+

=3;3

31;56

1;)32(5

1 2

xx

xx

xx

xf . T×m )(lim1

xfx→ ; )(lim

3xf

x→



10) 34

1lim

2

4

3 +++

+−→ xx

xx

11) 320 4

2lim

xx

xx +→

D¹ng 3: x → ∞: Cã c¸c d¹ng v« ®Þnh: ∞ - ∞ ; 0x∞ ; ∞∞. Khi ®ã chóng ta ph¶i khö:Chó ý: Khi x → -∞ hoÆc x → +∞ mµ chia cho x th× ph¶i chó ý tíi dÊu.

1) 32

3

662

13lim

xx

xxx −−

++∞→

2)

−++∞→

xxxxlim

3) ( ) ( )

( ) 50

3020

12

2332lim

++−

∞→ x

xxx

6) ( )2317lim 22 +−−+−+∞→

xxxxx

4) ( )21lim 22 −−++∞→

xxxx

5) ( ) ( )n

nn

x x

xxxx 11lim

22 −+−−−+∞→

7) ( )xxxxx

914lim 22 −−+−+∞→

8) ( )3612lim 22 +−−+−+∞→

xxxxx

9) ( )274lim 2 +−±−+∞→

xxxx

15) ( ) ( )( )xbxaxx

−+++∞→

lim

10) ( )34412lim 2 ++±++∞→

xxxx

11)

−++

+∞→xxxx

x3333lim

12) ( )xxxxx

−−−∞→

3 23 2lim 18) ( )xxxxx

22lim 23 23 −−++∞→

13) ( )13lim 3 23 +−+−∞→

xxxxx

14) ( )xxx

−−+∞→

1lim 2

16)

−−−++

+∞→xxxxxx

xlim 17) ( )2lim 2 +−+

+∞→xxx

x

19) ( )11.

1lim

−−++∞→ xxxx 20) ( )xxxxxx

++−++∞→

22 22lim

21) ( )xxxx

+−−++∞→

122lim 24) ( )34.lim 22 −−++∞→

xxxx

22) ( )13.lim −−++∞→

xxxx

23) ( )13.2lim −−+−+∞→

xxxx

25) ( )7252lim −−++∞→

xxx

26) ( )xxxx

−+∞→

3 23 6lim

27) ( )3 233 23 11lim +−−++∞→

xxxxx

D¹ng 4: 1sin

lim0

=→ x

xx

1) x

xx

5sinlim

0→ 2)

x

xx 3

2tanlim

0→3) m

n

x x

x

sin

sinlim

0→

4) 20

cos1lim

x

xx

−→

5) 30 45

sin.3sin.5sinlim

x

xxxx→

6) nx xn

nxxx

!

sin....2sin.sinlim

0→7)

x

xxx 30 sin

sintanlim

−→

8) ax

axax −

−→

sinsinlim



9) bx

bxbx −

−→

coscoslim 10)

x

xx 2sin

121lim

0

+−→

11) cx

cxcx −

−→

tantanlim 12)

xx

xx sin

cos1lim

3

0

−→

13) cx

cxcx −

−→

cotcotlim

14) 22

22 sinsinlim

ax

axax −

−→

17) 20

coscoslim

x

xxx

βα −→

15) x

xxx sin

3sin5sinlim

0

−→

16) ( )2

tan1lim1

xx

x

π−→

18) )2tan(

8lim

3

2 ++

−→ x

xx

19) x

xxxx cos1

3cos.2cos.cos1lim

0 −−

→20)

( ) ( )20

sinsin22sinlim

x

axaxax

++−+→

21) ( ) ( )

20

tantan22tanlim

x

axaxax

++−+→

24) )0()(

tansinlim

0≠+

++

→ba

xba

bxaxx

22) 20

cos.coscoslim

x

cxbxaxx

−→

23) ( ) ( )( ) ( )xaxa

xaxax −−+

−−+→ tantan

sinsinlim

025)

x

xxx sin

112lim

3 2

0

+−+→

(GHN’00) 26) x

xx sin

cos1lim

0

−→

27) x

xaxax

)cos()cos(lim

0

−−+→

28) 30

tansinlim

x

xxx

−→

29) 2

sin

sincos.sinlim

0 xxxx

x

−→ 30)

x

x

x cos1

3sin11lim

0 −

+−→

(QG–KB 97)

31) x

xx cos1

cos1lim

0 −−

→ 34)

−

→xx

x 4tan.2tanlim

4

ππ (SPHN ‘00)

32) ( ) ( )

2

2

0

tantan.tanlim

x

axaxax

−−+→

33) 4

2

0

4sin.sin2sinlim

x

xxxx

−→

35)

x

xxx 11sin

7cos.5cos1lim

20

−→

36)

−

→ xxx tan

1

sin

1lim

0 37)

−

−→

2sin21

2sinsinlim

20 xx

xxx 38) ( )

xx

x

3sin2lim +

∞→

39) 2

2

0

cos1lim

x

xxx

−+→

(TM’99) 40) 30

sin1tan1lim

x

xxx

+−+→

(HH’00)41) )1tan(

23lim

1 −−+

→ x

xxx

(DLHP’00)

42) 20

cos1lim

x

axx

−→

43) x

xx 7tan

5sinlim

0→ 44)

2

coslim

2ππ

+−→ x

x

x



45) ( ) 2

cos1lim

ππ −+

→ x

xx 46)

−

−→

4sin

cos22lim

4ππ

x

x

x 50) 1cos2

1sin2lim

2

4−−

→ x

x

xπ

47) 20

7cos.5cos3coslim

x

xxxx

−→

48) x

xx

x 4

cossinlim

4++

−→ ππ 49)

( )x

x

x sin21

sinlim 6

6−

−

→

π

π

51) xxx tancos

1lim

2−→

π 52) xxx

xxx sin.tan.

sintanlim

0

−→

53) 20

cos1lim

x

axx

−→

(a

≠0)

55) bx

axx cos1

cos1lim

0 −−

→56)

xx

xx sin.

2cos1lim

2

0

−→

57) 34

)1sin(lim

21 +−−

→ xx

xx

58) 2

coslim

2ππ

−→ x

x

x 59) x

x

x −

−→

6

sin21lim

6ππ 54)

ax

axxx cos1

sin.lim

0 −→

60) 3cos4

1sin2lim

2

6−

−→ x

x

xπ 61)

x

xx 3cos1

5cos1lim

0 −−

→62)

x

xxx sin

5sin7sinlim

0

−→

63) x

x

x sin21

4sin

lim4

−

−

→

π

π
















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