一些偏微分方程的筆記

非連續的週期性邊界條件

非連續的週期性邊界條件，不能直接將 Fourier Series一項一項微分。這是因為在邊界的微分是 delta函數，直接微分得出的級數將不會收斂。以底下的一維熱傳方程為例：

∂t [u ]=k ∂xx [u ] ,{ u (0 ,t )=h(t)u (L , t )=g(t)u ( x ,0 )=φ(x )

我們可以用最標準的 Fourier Series表示 u，並延伸 u到負 x軸，使其成為一奇函數：

u ( x , t )= 12L∑−∞

∞

cn ( t ) eiπnxL , cn ( t )=∫

−L

L

ue−iπnxL dx=−2i∫

0

L

u sin ( πnxL

)dx

此時不要直接微分，而是用另外的 Fourier Series表達偏微分項：∂t [u ]= 1

2 L∑−∞∞

an (t ) eiπnxL

an (t )=∫−L

L

∂t [u ] e−iπnxL dx=∂t[∫

−L

L

ue−iπnxL dx ]=∂ t [cn (t ) ]

∂xx [u ]= 12 L∑−∞

∞

bn (t ) eiπnxL

bn ( t )=∫−L

L

∂xx [u ] e−iπnxL dx=−2 i∫

0

L

∂xx [u ]sin ( πnxL

)dx

¿−2i ∂x [u ]sin ( πnxL )|0L

−( i2 πnL )(u cos ( πnxL )|0

L

+( πnL )∫0

L

u ( x , t )sin ( πnxL

)dx )¿( i 2πnL ) ((−1 )n g (t )−h ( t ) )+ π

2n2

L2cn (t )

∂t [u ]−k ∂xx [u ]= 12L∑−∞

∞

(an ( t )−k bn (t ) )eiπnxL =0

∂t [ cn ( t ) ]−k (( i2 πnL )((−1 )n g ( t )−h(t ))+ π2n2

L2cn ( t ))=0

∂t [ cn ( t ) ]−π2n2kL2

cn ( t )=( i 2πnkL ) ((−1 )ng (t )−h(t ))

cn (t )=C(x )e−π2n2kL2

t+( i2πnkL )∫

0

t

( (−1 )ng ( t )−h( t))e−π 2n2kL2

(t−τ )dτ

u ( x , t )= 12L∑−∞

∞

cn (t ) eiπnxL =

c0 (t )2L

+ 12L∑0

∞

cn ( t ) eiπnxL +cn ( t ) e

−iπnxL

¿c0 ( t )2 L

+ 1L∑0

∞

cn ( t )sin ( πnxL

)=C (x)2L

+ 1L∑0

∞

cn ( t ) sin ( πnxL

)

為了滿足初始條件φ ( x )= 1

2 L∑−∞∞

cn (0 ) eiπnxL

cn (0 )=C ( x )=−2 i∫0

L

φ ( x ) sin ( πnxL

)dx

多維空間裡的偏微方程

假設要解底下的二維熱傳問題：∂t [u ]=k ∆2 [u ] , { u (0 , θ ,t )=0

u (R ,θ , t )=0u (r ,θ ,0 )=φ(r ,θ)},∀ R1≤r ≤R2

首先，我們必須知道二維的 laplacian要怎麼用圓柱座標表示；∂∂x

= ∂∂r∂ r∂ x

+ ∂∂θ∂θ∂x

= xr∂∂r

− yr∂∂θ

=cosθ ∂∂ r

− sinθr

∂∂θ

∂∂ y

= ∂∂r

∂r∂ y

+ ∂∂θ

∂θ∂ y

= yr∂∂r

+ xr∂∂θ

=sinθ ∂∂r

+ cosθr

∂∂θ

上式可以用幾何方式求出。接著各做兩次

∂2

∂x2=(cosθ ∂∂ r− sinθr ∂

∂θ )2

¿cos2θ ∂2

∂ r2−cosθ ∂

∂rsinθr

∂∂θ

−sinθ ∂∂θcosθr

∂∂r

+ sinθr

∂∂θsinθr

∂∂θ

¿cos2θ ∂2

∂ r2+ 2 cosθsinθ

r2∂∂θ

−2cosθsinθr

∂2

∂r ∂θ+ sin

2θr

∂∂ r

+ sin2θr2

∂2

∂θ2

∂2

∂ y2=(sinθ ∂∂r+ cosθr ∂

∂θ )2

¿ sin2θ ∂2

∂ r2+sinθ ∂

∂rcosθr

∂∂θ

+ cosθr

∂∂θsinθ ∂

∂r+ cosθ

r∂∂θ

cosθr

∂∂θ

¿ sin2θ ∂2

∂r2−2cosθsinθ

r2∂∂θ

+ 2cosθsinθr

∂2

∂ r ∂θ+ cos

2θr

∂∂ r

+ cos2θr 2

∂2

∂θ2

∆2=∂2

∂ x2+ ∂2

∂ y2= ∂2

∂ r2+ 1r∂∂r

+ 1r2∂2

∂θ2=1r∂∂rr ∂∂ r

+ 1r2∂2

∂θ2

如果有點難記，可以用連續方程式來輔助記憶：

如上圖，如果把 laplacian想成是單位面積內淨流出率，則

∆2u=∂ [rFdθ ]rdθ ∂r

+∂ [Fdr ]rdr ∂θ

=∂ [r ∂u∂r dθ ]rdθ ∂ r

+∂[ ∂u∂θ dr ]rdr ∂θ

¿ ∂2u∂r2

+ ∂ur ∂ r

+ ∂2ur2∂θ2

總之原來的方程式可以寫成∂t [u ]=k ∆2 [u ]=k ( ∂

2u∂r2

+ ∂ur ∂ r

+ ∂2ur2∂θ2

)

設u=R (r )Θ(θ)T (t)

則原偏微方程變成

T '( t)T (t )

=k ( R' ' (r )R (r )

+R' (r )rR (r )

+Θ' ' (θ)r2Θ(θ))=− λ , Θ

' ' (θ )Θ (θ )

=−γ

因為只有左右皆為常數等式才恆成立。從時間域和角度的微分可知

T ( t )=c+¿ e λt+c−¿e−λt=T ( 0)e−λt(不能爆掉) ¿¿

Θ (θ )=c+¿ e√−γ θ+c−¿ e−√− γ θ¿ ¿

但角度必須符合週期性條件，亦即Θ (θ )=Θ (θ+2π ) , γ=n2 ,Θm (θ )=an cos (nθ )+bnsin (nθ )

軸向的微分裡R ' ' (r )R (r )

+R ' (r )rR (r )

+Θ' ' (θ)r2Θ(θ)

=R ' ' (r )+R' (r )r

+(λ−n2r 2 )R (r )=0

經過底下的變數變換ρ=√ λ r

可以得到R' ' (ρ )+ R

' ( ρ )ρ

+(1−n2ρ2 )R ( ρ )=0

其解為一 Bessel function。Bessel function之解法如下：首先設解為R (ρ )= ρα∑

k=0

∞

ck ρk

R' ( ρ )=ρα∑k=0

∞

(k+α ) ck ρk−1

R' ' (ρ )=ρα∑k=0

∞

(k+α)(k+α−1)ck ρk−2

∑k=0

∞

(k+α)(k+α−1)ck ρk−2+∑

k=0

∞

(k+α ) ck ρk−2−∑

k=0

∞

n2ck ρk−2+∑

k=0

∞

ck ρk=0

∑k=0

∞

( (k+α )2−n2) ck ρk−2+∑k=2

∞

ck−2 ρk−2=0

{ ck=−ck−2

(k+α )2−n2, k ≥2

(α 2−n2 )c0=0∧¿ ((1+α )2−n2 )c1=0

從第二個限制得α=±n∧c1=0

取正值，可以將式子表示成

R ( ρ )= ρn∑k=0

∞

ck ρk=J n (√ λ r )

為了滿足徑向方向的邊界條件，我們要設定適當的 lambda使得{J n (√ λR1 )=Jn (√ λ R2 )=0 , n≥1J 0 (√ λ R1 )=1 , J 0 (√ λ R2 )=0

由於 Bessel function有無限多個根，每個根所對應的 lambda值可以表示成λnm , n=0,1,2 ,…m=1,2,3 ,…

所以Rn (r )Θn (θ )=J n (√ λnm r ) (ancos (nθ )+bn sin (nθ ) )

T nm ( t )Rn (r )Θn (θ )=e−λnm t J n (√λnmr )(anmcos (nθ )+bnm sin (nθ ) )

u (r ,θ ,t )=∑n , mT nm ( t ) Rn (r )Θn (θ )

¿ ∑n=0 , m

a0me− λ0m t J 0 (√ λ0m r )+¿

∑n , m=1,2 ,…

(anme−λnmt J n (√λnmr )cos (nθ )+bnme− λnm t J n (√λnmr )sin (nθ ) )

要求式中係數則需用初始條件：a0m=

12π j0m

∫0

R

∫0

2π

φ(r , θ)J0 (√ λ0m r )rdrd θ

anm=1π jnm

∫0

R

∫0

2 π

φ(r , θ)Jn (√ λnmr )cos (nθ ) rdrdθ

bnm=1π jnm

∫0

R

∫0

2π

φ (r , θ)Jn (√ λnm r )sin (nθ )rdrdθ

jnm=∫0

R

( Jn (√ λnm r ))2 rdr