Cac bai toan ve mat cau

CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦUCHUYÊN ĐỀ VỀ MẶT CẦU

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT1. Định nghĩa : * Mặt cầu là tập hợp những điểm M cách một điểm I cố định một khoảng không đổi .* Điểm I cố định gọi là tâm của mặt cầu .* Khoảng cách không đổi là R : Gọi là bán kính của mặt cầu .2. Phương trình của mặt cầu :- Giả sử điểm cố định I=(a;b;c) và R là khoảng không đổi M=(x;y;z) thì theo định nghĩa :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 1IM R x a y b z c R x a y b z c R= ⇔ − + − + − = ⇔ − + − + − =

- Nếu khai triển (1) ta có :( ) ( )2 2 2 2 2 2 22ax 2 2 z 0 0 2x y z by c d a b c R d⇔ + + − + + + = + + − = >

- Như vậy (1) và (2) gọi là phương trình tổng quát của mặt cầu . Riêng trường hợp phương trình (2) muốn là phương trình của mặt cầu thì phải thỏa mãn điều kiện :

( )2 2 2 2 0 *R a b c d= + + − >

3. Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) : Ax+By+Cz+D=0 tiếp xúc với cầu (S) thì :Khoảng cách từ tâm I của cầu đế mặt phẳng (P) phải bằng bán kính của (S) :

( ) ( )2 2 2

aA; 3

bB cC Dh I P R

A B C

+ + +⇔ = =

+ +Khi đó mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện của cầu (S) .

B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

BÀI TOÁN 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU .

Để lập được phương trình mặt cầu ta phải biết tọa độ của tâm I của cầu : ( Có ba ẩn số - là ba tọa độ của I ) và biết bán kính của R của mặt cầu , như vậy có bốn ẩn số . Vì thế bài toán đã cho ta phải thiết lập được bốn phương trình thì ta mới giải được .Đặc biệt khi tâm I của mặt cầu mà nằm trên một đường thẳng d , thì ta chuyển đường thẳng d sang tham số , vì vậy ba tọa độ của I ta biểu diễn qua ẩn t , sau đó ta chỉ cần tìm một phương trình nữa là đủ .Sau đây chúng ta cùng nhau tham khảo một số dạng toán hay gặp trong các kỳ thi tôt nghiệp cũng như thi đại học trong những năm gần đây .1. Lập (S).đi qua bốn điểm :

• Bước 1: Viết phương trình của (S) dạng (2).• Bước 2: Cho (S) đi qua lần lượt bốn điểm ta được bốn phương trình .• Bước 3: Giải hệ bốn phương trình tìm được , suy ra bốn ẩn là : a,b,c và d .• Bước 4: Thay bốn ẩn tìm được vào (2) ta suy ra phương trình của (S).

VÍ DỤ MINH HỌA

Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608 Trang 1

CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦUVí dụ 1. ( TN-02-03).Trong không gian với tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A,B,C,D có tọa độ xác định bởi hệ thức A(2;4;-1) , 4 ; (2;4;3); D 2 2OB i j k C O i j k= + − = = + −

uuur r r r uuur r r r.

1/ Chứng minh rằng : AB , D, DAC AC A A AB⊥ ⊥ ⊥ . Tính thể tích khối tứ diện ABCD.2/ Viết phương trình tham số đường vuông góc chung ∆ của hai đường thẳng AB và CD. Tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (ABD) .3. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D . Viết phương trình tiếp diện ( )α của cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD) .

GIẢI1/ Chứng minh rằng : AB , D, DAC AC A A AB⊥ ⊥ ⊥ . Tính thể tích khối tứ diện ABCD.Ta có : A(2;4;-1),B(1;4;-1),C(2;4;3) và D(2;2;-1) suy ra :

( )( )( )

1;0;0 0

0;0;4 . D 0 ; D, D .

D. 0D 0; 2;0

AB ABAC

AC AC A AB AC AC A A AB

A ABA

= − = = ⇒ = ⇔ ⊥ ⊥ ⊥ == −

uuur uuuruuur

uuur uuur uuur

uuur uuuruuur

2/ Viết phương trình tham số đường vuông góc chung ∆ của hai đường thẳng AB và CD. Tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (ABD) . Do ∆ là đường vuông góc chung cho nên :

0 0 0 1 1 0, D ; ;

D 2 4 4 0 0 2

ABu AB C

C ∆

∆ ⊥ − − ⇒ = = ÷ ∆ ⊥ − − − −

uur uuur uuur( ) ( )

2

0; 4;2 / / 0;2; 1 : 4 2

1

x

u y t

z t

== − = − ⇔ ∆ = + = − −

r

Vì : ( )D 0; 2; 4C = − −uuur

và ∆ qua A(2;4;-1).

- Mặt phẳng (ABD) qua A(2;4;-1) có ( ) ( ) ( )0;0;4 / / 0;0;1 D : 1 0n AC k AB z= = = ⇒ + =r uuur r

- Gọi ( ) ( ) . 1 1; D sin os ,

4 1.1 5

u kAB c u k

u kϕ ϕ ∆

∆∆

−= ∆ ⇒ = = = =

+

uur ruur r

uur r

3. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D . Viết phương trình tiếp diện ( )α của cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD) .Cách 1:Gọi (S) : ( ) ( )2 2 2 2 2 2 22ax-2 2 z 0 0 2x y z by c d a b c R d⇔ + + − − + = + + − = >

- (S) qua A(2;4;-1) suy ra : 4a +8b-2c-d= 21 (1)

Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608Trang 2

A

B

C

D

x

y

z

E

J

NI

CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU- (S) qua B(1;4;-1) suy ra : 2a +8b-2c-d= 18 (2)- (S) qua C(2;4;3) suy ra : 4a +8b+6c-d= 29 (3)- (S) qua D(2;2;-1) suy ra : 4a +4b-2c-d= 9 (4)Như vậy giải hệ bốn phương trình trên ta có :

( ) 2 2 23 1; 4, 1; 8 3x 8 8 0

2 2a b c d S x y z y z= = = = ⇔ = + + − − − + =

Cách 2:

- Tâm của đường tròn đáy của tam giác (ABC) là J là trung điểm của BC , suy ra J(3

;4;12

)

- Lập phương trình đường thẳng d qua J và vuông góc với (ABC) cho nên d có véc tơ chỉ

phương ( )

3

20;0;1 : 4

1

x

u k y

z t

=

= = ⇒ ∆ = = +

r r

- Lập phương trình mặt phẳng (P) qua K(2;3;-1) là trung điểm của AD và vuông góc với AD suy ra (P) có véc tơ pháp tuyến là ( ) ( )0;0;1 : 1 0k P z= ⇒ − =

r.

- Tâm I của cầu (S) là giao của d với (P) cho nên I có tọa độ là nghiệm của hệ :3

234 1 1 0 0 ;4;12

1

1 0

x

y t t Iz t

z

= = ⇔ + − = ⇔ = ↔ = ÷ = +

− =

- Tính bán kính R bằng IA = ( ) ( )2 2

21 5 3 1 54 : 4

4 2 2 2 4S x y z + = ⇔ − + − + − = ÷ ÷

Ví dụ 2.( TN : 2003-2004 )Trong không gia tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(1;-1;2),B(1;3;2),C(4;3;2) và D(4;-1;2).1. Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện .2. Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy . Hãy viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A’,B,C,D.3. Viết phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tại điểm A’.

GIẢI1. Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện .

- Ta có :

( )( )( )

0;4;04 0

3;4;0 , D 3. 04 0

D 3;0;0

AB

AC AB AC A

A

= = ⇒ = = ⇔

=

uuur

uuur uuur uuur uuur

uuur A,B,C,D đồng phẳng .

2. Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy . Hãy viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A’,B,C,D.- Nếu A’ là hình chiếu của A trên (Oxy) thì A’(1;-1;0).- Gọi (S) là mặt cầu đi qua bốn điểm thì (S):


CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU( ) ( )2 2 2 2 2 2 22ax-2 2 z 0 0 *x y z by c d a b c R d⇔ + + − − + = + + − = >

- (S) qua A’(1;-1;0) thì : 1+1-2a+2b+d=0 ; hay : 2a-2b-d=2 (1)- (S) qua B(1;3;2) thì : 1+9+4-2a-6b-4c+d=0 ; hay : 2a+6b+4c-d=14 (2)-(S) qua C(4;3;2) thì : 16+9+4-8a-6b-4c+d=0 ; hay : 8a+6b+4c-d=29 (3)-(S) qua D(4;-1;2) thì : 16+1+4-8a+2b-4c+d=0 ; hay : 8a-2b+4c-d =21 (3).Từ bốn phương trình trên ta có một hệ .Giải hệ ta tìm được : a=5/2,b=2,c=1 và d=-1 . Thay vào (*) :

( ) 2 2 2: 5x-4 2z-1 0S x y z y+ + − − =

3. Viết phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tại điểm A’.

Nếu (P) là tiếp diện của (S) tại A’(1;-1;0) thì : ( )3;3;1 / / 3;6;2

2IA n = = ÷

uur r làm véc tơ pháp

tuyến . Cho nên (P): 3(x-1)+6(y+1)+2z=0 ; Hay (P): 3x+6y+2z+3=0 .Ví dụ 3.(ĐH-KD-2008) .Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(3;3;0),B(3;0;3),C(0;3;3),D(3;3;3). Viét phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D ?

GIẢI

Gọi phương trình của (S) : ( )2 2 2x 2ax 2 2 z 0 *y z by c d+ + − − − + =

Nếu (S) qua bốn điểm A,B,C,D thì ta thay tọa độ bốn điểm vào (*) ta có hệ :

( )2 2 2

3

26 6 18 03

6a 6 18 0 3 3 3 27:2

6 6 18 6a 9 2 2 2 43

6a 6 6 27 6 9 20

ab c d a b

c d d bS x y z

b c dcb c d b

d

=+ − = − =

+ − = = = ⇔ ⇔ ⇒ − + − + − = ÷ ÷ ÷+ − = = = + + − = =

=

BÀI TẬP TỰ LUYỆNBài 1. ( ĐHQG-KA-98 ).Trong không gian tọa độ Oxyz , cho A(a;0;0),B(o;b;0),C(o;o;c) ( a,b,c>0 ). Dựng hình hộp chữ nhật có O,A,B,C làm bốn đỉnh . Gọi D là đỉnh đối diện của O .

1. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABD)2. Tìm tọa độ hình chiếu của C lên mặt phẳng (ABD)3. Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC ?

Bài 2.( HVCNBCVT-99).Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a với A(a;0;0) ,D(0;0;0),C(0;a;0),D’(0;0;a). Gọi M là trung điểm của AD, N là tâm hình vuông CC’D’D.

1. Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BC’MN ?2. Gọi (P) là mặt phẳng qua (BMN) . Tính diện tích thiết diện hình lập phương tạo bới

mặt phẳng (BMN) ?Bài 3.( HVHCQG-2000)


CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦUTrong không gian Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ sao cho A trùng với gốc tọa độ O ,B(1;0;0),D(0;1;0),A’(0;0;1) . Gọi M là trung điểm của AB , N là tâm hình vuông ADD’A’ .

1. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm C,D’M,N ?2. Tìm bán kính đường tròn (C ) là giao của (S) với mặt mặt cầu (S’) đi qua A’BC’D ?3. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương tạo bởi mặt phẳng (CMN).

Bài 4. ( ĐHAn Giang-2001).Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bên BB’,CC’,DD’. Với AB=a ,hai điểm M,N trên CC’sao cho CM=MN=NC’. Xét mặt cầu (K)đi qua bốn điểm A,B’M và N.

1. Chứng minh các điểm A’,B thuộc mặt cầu (K)2. Tính độ dài bán kính của mặt cầu (K).

Bài 5. ( BK-KD-2011).Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên các dường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại B và C lấy hai điểm D và E nằm về cùng một phía đối với mp(P) sao cho

3D , 3

2

aB CE a= = .

1. Tính độ dài cạnh AD ,AE và DE của tam giác ADE 2. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE ?

Bài 6.(ĐHCĐ-2001).Trong không gian Oxyz , cho A(3;0;0),B(0;3;0),C(0;0;3) và H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC).

1. Tính diện tích tam giác ABC và độ dài OH 2. Gọi D là điểm đối xứng với O qua H . Chứng minh tứ diện ABCD là tứ diện đều .

Tính thể tích tứ diện ABCD ?3. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ?

Bài 7. ( ĐHKTCN-2001).Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A(3;6;-2),B(6;0;1),C(-1;2;0),D(0;4;1).

1. Chứng minh ABCD là một tứ diện 2. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ?3. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ? Tìm tâm và bán kính của

đường tròn đó ?Bài 8. ( CĐKTKT-2004).Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm S(2;2;6),A(4;0;0),B(4;4;0),C(0;4;0)

1. Chứng minh S.ABCO là hình chóp tứ giác đều ?2. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCO ?

BÀI TOÁN 2:

LẬP MẶT CẦU (S) CÓ LIÊN QUAN ĐẾ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I. LẬP PHƯƠNG TRÌNH (S) BIẾT (S) QUA BA ĐIỂM A,B,C VÀ TÂM NẰM TRÊN MỘT MẶT PHẲNG (P) CHO SẴN HOẶC TIẾP XÚC VỚI (P).

CÁCH GIẢI


CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU• Bước 1: Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng quát , sau đó cho (S) đi qua ba

điểm A,B,C ta được ba phương trình • Bước 2: Thay tạo độ tâm I với a,b,c vào phương trình mặt phẳng (P) ta được phương

trình thứ tư . Vậy ta có hệ bốn phương trình bốn ẩn .• Bước 3: Giải hệ , ta suy ra a,b,c và d . Thay vào phương trình tổng quát ta có

phương trình của (S) .VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1.(ĐH-KD-2004 ).Cho ba điểm A(2;0;1),B(1;0;0) ,C(1;1;1) và mặt phẳng (P): x+y+z-2=0 . Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua A,B,C và có tâm thuộc (P) .

GIẢIMặt cầu (S) có dạng : ( )2 2 2x 2ax 2 2 z 0 *y z by c d+ + − − − + =

(S) qua A,B,C ta thay tọa độ của A,B,C vào (*) ta được hệ ba phương trình :

( ) ( ) ( )2 22

4 2 5 2a 2 4 1

2a 1 2a 1 1: 1 1 1

2a 2 2 3 1 0

2 1 1

a c d c c

d d dS x y z

b c d b c b

a b c a a

+ − = + = = − = = − = ⇔ ⇔ ⇒ − + + − = + + − = + = = + + = = =

Ví dụ 2.Lập mặt cầu (S) qua ba điểm A(-2;4;1) ,B(3;1;-3),C(-5;0;0) và có tâm thuộc mặt phẳng (P) : 2x+y-z+3=0 .

GIẢIGọi (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R . Nếu (S) qua A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) thì ta có hệ :

( )( )

( )( )

4a+8b+2c-d=21 A 4a+8b+2c-d=21 4a+8b+2c-d=21 1

6a 2 6 0 10a 6 8 21 3a 4 2 2

3a 4 2 3 4 310a 25

6a 7 3 24 34a=34 352a 3 0

S a

b c d B S b c b c b

b c b c cd C S

b c db c I P

− ⇔ ∈ − − = + − − = ⇔ ∈ − − = − + + = = − ⇔ ⇔ ⇔ + + = + = =− − = ⇔ ∈ − − = − = − + − + = ⇔ ∈

Vậy mặt cầu (S) có phương trình 2 2 2 2x 4 6z 35 0x y z y+ + − + − − =Chú ý : Dạng toán này còn có dạng Lập mặt cầu (S) có tâm là I và tiếp xúc với một mặt phẳng (P) cho sẵn .

CÁCH GIẢI• Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với (P) d Pu n⇒ =

uur uur

• Bước 2: Tìm tọa độ H là giao của d với (P) ( H chính là tiếp diểm ).• Bước 3: Tính độ dài IH = R

VÍ DỤ ÁP DỤNG


I

PH

CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦUVí dụ 1. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x+y-z+5=0 và các điểm

A(0;0;4),B(2;0;0) . Viết phương trình mặt cầu đi qua O,A,B và tiếp xúc với mặt phẳng (P)GIẢI

Cách 1:Gọi (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R có dạng tổng quát : Nếu (S) qua O,A,B thì ta có hệ ba phương trình :

( ) ( )2 22 2 2

01

2 28 161

1 14a-d=42

2a 5 5 10 5 02 2 5 6 1 2 0 04 1 1

da

c cc db

a ac

b c b bb b dR

== = =− = = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + − + − + =+ − + = + + − == + +

Vậy (S) : ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 6x y z− + − + − = .

Cách 2:Nhận xét : A ,B nằm trên hai trục Ox và Oz , cho nên OAB thuộc mặt phẳng (Oxz) vuông góc với trục Oy . Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là trung điểm M(1;0;2) của AB Lập đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(OAB) ( Là trục của đường tròn qua

OAB ) thì d song song với Oy ( )1

0;1;0 :

2

x

u j d y t

z

=⇒ = = ⇔ = =

r r. Tâm I của mặt cầu thuộc d cho

nên tọa độ của I(1;t;2) .Vì (S) tiếp xúc với (P) cho nên : h(I,P)=R =IO

( ) ( )2 22 2 55 5 2 1 0 1 1;1;2

6

tt t t t I

+ − +⇔ + = ⇔ − + = ⇒ = ↔ =

Do đó mặt cầu (S) có phương trình là : ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 6x y z− + − + − =

Ví dụ 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x+2y-2z+2=0 , và điểm I có tọa độ là I(1;2;2) .a/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P)b/ Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đường thẳng đi qua hai điểm M(1;2;1);N(2;1;1).c/ Lập phương trình mặt phẳng qua M,N và tiếp xúc với (S).

GIẢIa/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P)

- Lập đường thẳng d qua I(1;2;2) và vuông góc với (P) cho nên ( )1;2; 2u n= = −r r

. Cho nên d có phương trình : x=1+t ; y=2+2t;z=2-2t .

- Tìm tọa độ H là giao của d với (P) , tọa độ H là nghiệm của hệ :

( ) ( ) ( )

1

2 2 1 1 4 81 2 2 2 2 2 2 2 0 9 3 ; ;

2 2 3 3 3 3

2 2z 2 0

x t

y tt t t t t H

z t

x y

= + = + ⇒ + + + − − + = ↔ = − → = − ⇔ = − ÷= − + − + =


CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU

Vậy : 2 2 2

1 4 8 11 2 2 216

3 3 3 3IH = − − + − + + = ÷ ÷ ÷

Cho nên : ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 216: 1 2 2 24

9S x y z− + − + + = = (*)

b/ Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đường thẳng đi qua hai điểm M(1;2;1);N(2;1;1).

- Đường thẳng (MN) qua M(1;2;1) có véc tơ chỉ phương ( )1

1; 1;0 ( ) : 2

1

x t

u MN y t

z

= += − ⇒ = − =

r.

- Nếu (MN) cắt (S) thì : thay giao điểm A của (MN) với cầu (S) vào (*) A(t+1;2-t;1)

ta có : ( ) ( ) ( )2 2 2 2 301 1 2 2 1 2 24 2 24 9 15

2t t t t+ − + − − + + = ⇔ = − = ↔ = ± .

- Do đó có hai điểm : 1 2

30 30 30 301 ;2 ;1 ; 1 ;2 ;1

2 2 2 2A A

= − − = + + ÷ ÷ ÷ ÷

c/ Lập mặt phẳng (P) qua (MN) và tiếp xúc với (S) .

- Đường thẳng (MN) là giao của hai mặt phẳng :1 0

1 0

x y

z

+ − = − =

.

- Suy ra (P) qua (MN) thì (P) thuộc chùm : x+y-1+m(z-1)=0 hay : x+y+mz-1-m=0 (*)- Nếu (P) tiếp xúc với (S) thì :

( ) 2 6 61 2 2 1, 24 2 3 24

1 4 4 2 6 6

mm mh I P R m

m

= − −+ + − −= ⇔ = ⇔ + = ⇔

+ + = − +

- Thay vào (*) ta có hai mặt phẳng : ( )( ) ( )2 6 6 1 6 6 0

6 6 2 1 6 6 0

x y z

x y z

+ − + + + = + + − + − =

II. LẬP (S) CÓ TÂM I ĐỒNG THỜI CẮT (P) THEO MỘT ĐƯỜNG TRÒN XÁC ĐỊNH ( Biết bán kính-hoặc chu vi-hoặc diện tích )

CÁCH GIẢI• Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và

vuông góc với (P) khi đó Pu n=r r

.• Bước 2: Tìm tọa độ tâm K của đường tròn giao

tuyến là giao của d với (P) . Từ đó tìm được IK .• Bước 3:Dựa vào giả thiết cho biết đường tròn (C )

ta tính được r .• Bước 4: Tính 2 2 2R IK r= + . Thay vào phương trình

mặt cầu .MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 . Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm I(1;2;-2) và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng 2x-y-5=0 và y-z+3=0 .


I

KB

CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU1.Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I ,đồng thời mặt phẳng (P): 2x+2y+z+5=0 cắt (S) theo một giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng 8π . 2.Viết phương trình tiếp diện của (S) qua d ?

GIẢI

1. Tính h(I,P)=2 4 2 5

33

d+ − +

= = . Theo giả thiết : 8 2 4r rπ π= ⇒ = ( là bán kính của đường

tròn C ). Vậy : ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2R 9 16 25 5 : 1 2 2 25d r R S x y z= + = + = ⇔ = ⇔ − + − + + = .2. Mặt phẳng tiếp diện của (S) gọi là (Q) . Do mp(Q) qua d cho nên (Q) thuộc chùm mặt phẳng : m(2x-y-5)+n(y-z+3)=0 ; hay : 2mx-(m-n)y-nz+3n-5m =0 (*).

H(I,Q)= ( )( ) ( ) ( )2 22 2

22 2

7 55 7 5 25 5 2 2 10 0

4

n mn m m mn n m n

m m n n

−= ⇔ − = − + ⇔ + =

+ − +

Nếu chọn : m=1, thì n=-10 , thay vào phương trình (*) ta có phương trình tiếp diện là :2x-11y+10z-35=0 .Ví dụ 2. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;3;-1) và định ra trên đường thẳng d có phương trình là giao tuyến của hai mặt phẳng : 5x-4y+3z+20=0 , 3x-4y+z-8=0 một dây cung có độ dài bằng 16.

GIẢITa tính h(I,d) .

- Đường thẳng d viết lại :

1 2

5

15 2

x t

y t

z t

= + = − + = − −

. Gọi H là một điểm

bất kỳ thuộc d thì H(1+2t;-5+t;-15-2t) ( ) ( )2 1; 8; 2 14 2;1; 2IH t t t u⇒ = − − − − ⇔ = −

uuur r

( ) ( ) ( ). ' 0 2 2 1 8 2 2 14 0 9 18 2IH u t t t t t⇔ = ⇔ − + − − − − = ⇔ = − → = −uuur ur

Vậy : ( )2

2 2 25; 10; 10 25 100 100 225 64 225 2694

ABH IH R IH= − − − ⇔ = + + = ⇒ = + = + =

Vậy : ( ) ( ) ( )2 2 2S: 2 3 1 289x y z− + − + + = .

- Ta còn có cách tính IH bằng công thức : ( ) ( ),

, ; 1; 5; 15IM u

h I d Mu

= = − −

uuur r

r

( )

2 2 2

2 2 2

8 14 14 1 1 8, 1 2 2 2 2 1 30 30 15 2025

1;8;14 153 34 1 4

IM uIM IH

u

+ + ÷ ÷ ÷ − − + + ⇔ = ⇒ = = = = =

+ +

uuur ruuur

r

Theo cách tính : 2 2

2 2 16R 225 225 64 269

2 2

ABIH = + = + = + = ÷ ÷

.

Ví dụ 3.( ĐHLN-2001).


I

A B

H

d


Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: 1 2

2

x t

y t

z t

= − = − + = +

và mp (P): 2x-y-2z-2=0 .

1/ Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d và tâm I cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2 .đồng thời (S) cắt (P) theo đường tròn có bán kính bằng 3.2/ Viết phương trình mặt phẳng ® qua d và tạo với (P) một góc nhỏ nhất .

GIẢI1/ Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d và tâm I cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2 .

• Nếu I ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 2 2; 1 2 ;2 , 2 6 5 6

4 1 4

t t td I t t t h I P t

− − − − + −∈ ⇒ = − − + + ⇔ = = ⇔ − − =

+ +

•1

2

1 2 131 ; ;6 5 6 6 3 666 5 6 11 11 14 1

; ;6 6 3 6

Itt

tt I

= − −= ÷+ = ⇔ ⇔ ⇔ + = − = − = − ÷

. Tính khoảng cách từ hai tâm đến (P)

• ( ) ( )1 2

1 2 13 11 14 12 2 2 2 2 2

6 3 6 6 3 6, 2; , 2

4 1 4 4 1 4h I P h I P

− + − − + − − ÷ ÷ ÷ ÷ = = = =+ + + +

. Do đó :

•( ) ( )

( ) ( )

2 2 222

1 1

2 2 222

2 2

1 2 132 9 13 : 13

6 3 6

11 14 12 9 13 : 13

6 3 6

R S x y z

R S x y z

= + = → + + + + − = ÷ ÷ ÷ = + = → − + + + − = ÷ ÷ ÷

2/ Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng :

12x 1 01 2

2 2 0

1 1

x yy

x z x z

+ = + + =− ⇔ − + − = =−

.

Do vậy mặt phẳng (R ) qua d thì (R ) thuộc chùm : 2x+y+1+m(x+z-2)=0 .Hay mp( R) : (2+m)x+y+mz+1-2m=0 (*). Mp( R) có ( ) ( )1 2;1; ; 2; 1; 2Pn m m n= + = − −

r uur.

Vậy : ( )

( ) ( )1

2 2 221

2 2 1 2. 5 5 1 5os

3 3 33 2 4 52 1 4 1 4 2 1 3

P

P

m mn nc

n n m mm m mα

+ + −= = = = ≤

+ ++ + + + + +

uuruur

ur

Do α nhỏ nhất cho nên osc α lớn nhất khi m=-1 .Vậy thay vào (*) ta có mp( R): x+y-z+3=0 .

Chú ý : Dạng toán này còn có cách giải khác :Giả sử ( R) là mặt phẳng qua d và cắt (P) theo giao tuyến ∆ và A=d giao với (P) . B là một điểm bất kỳ trên d . Kẻ ( ) ( )( ),BH P BC BHC BHC⊥ ⊥ ∆ ⇒ ∆ ⊥ ⇔ ∠

Là góc phẳng của nhị diện tạo bởi (P) và ( R) .

Vì tanBH BH

HC HC HAHC HA

α⊥ ∆ ⇒ ≤ ⇔ = ≥ = hằng số .


B

AC

H

P

∆

d

CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦUNên α có giá trị nhỏ nhất khi C trùng với A d⇔ ⊥ ∆ . Vậy ( R) là mặt phẳng qua AB và cắt (P) theo giao tuyến ( )ABH∆ ⊥ .

Ta có : ( ) ( ) ( ) ( )1;2;1 , 2; 1; 2 , 3;0; 3 / / 1;0;1d P d Pv n v n v∆ = − = − − ⇒ = − − =

uur uur uur uur uur

Mặt khác ta lại có : ( ) ( ), 2;2; 2 / / 1;1; 1d Rv v n = − − = Vuur uur uur

. Để ý M(0;-1;2) thuộc d nằm trong ( R).

Ta có phương trình mặt phẳng ( R) : x+y+1-(z-2)=0 ,Hay : x+y-z+3=0 .

BÀI TOÁN 3:LẬP MẶT PHẲNG-ĐƯỜNG THẲNG KHI CHO PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT CẦU (S)I. LẬP MẶT PHẲNG TIẾP XÚC VỚI MẶT CẦU Chú ý : - Giả sử cần lập mặt phẳng (P) tiếp xúc với cầu (S) có tâm I(a;b;c;) và bán kính RMặt phẳng (P) : Ax+By+Cz+D=0 được xác định khi tối thiểu phải biết được ba ẩn số . Trong khi đó điều kiện để mặt phẳng (P) tiếp xúc với cầu (S) thì chỉ có một dữ kiện là

h(I,P)=R .2 2 2

aA bB cC DR

A B C

+ + +⇔ =

+ +.

- Vì thế cho nên bài ra bao giờ cũng cho thêm tối thiểu hai dự kiện nữa .1. Lập mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d cho sẵn ( hoặc song song với một mặt phẳng (Q) cho sẵn ) và tiếp xúc với cầu (S) .

CÁCH GIẢI• Bước 1: Nếu (P) vuông góc với d thì ( ) ( ) ( ); ; : x z 0 *P dn u A B C P A By C m= = ⇒ + + + =

uur uur

• Bước 2: Nếu (P) tiếp xúc với cầu (S) thì : ( )2 2 2

aA1

bB cC mR

A B C

+ + +⇔ =

+ +• Bước 3: Giải (1) ta tìm được ẩn m thay vào (*) ta có mặt phẳng (P) • Trường hợp (P) song song với (Q) thì véc tơ pháp tuyến của (Q) cũng là của (P).

MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1; Cho đường thẳng d : 2x 3 4z 1 0

2z 9 0

y

x y

+ − + =− − + − =

và mặt cầu (S) có phương trình là :

2 2 2 4x 2 6z 6 0x y z y+ + − + − − = . Hãy lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với d và tiếp xúc với mặt cầu (S).

GIẢI

Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương ( )1 2

3 4 4 2 2 3, ; ; 2;0;1

1 2 2 1 1 1 Pu n n n − − = = = = ÷ − − − −

r ur uur uur.

Mặt cầu (S) có tâm I(2;-1;3) và có bán kính là R= 20 .Do vậy (P) vuông góc với d có dạng : 2x+z+m=0 (*)

Nếu (P) tiếp xúc với (S) thì : ( ) 32.2 3, 20 7 10

174 1

mmh I P m

m

=+ + = = ⇔ + = ⇔ = −+



Vậy có hai mặt phẳng : ( )( )

1

2

: 2x 3 0

: 2x 17 0

P z

P z

+ + =

+ − =Ví dụ 2.( Bài 87- tr137-BTHH12NC).Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu : ( ) 2 2 2: 10x 2 26z 113 0S x y z y+ + − + + − = .

Và hai đường thẳng

7 35 1 13

d : ; ' : 1 22 3 2

8

x tx y z

d y t

z

= − ++ − + = = = − −− =

a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) và vuông góc với d .b/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) và song song với cả d ,d’.

GIẢIa/ Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) và vuông góc với d .Mặt cầu (S) có tâm I(5;-1;-13) và có bán kính R= 308

Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương ( )2; 3;2 Pu n= − =r uur

Nếu (P) vuông góc với d thì (P): 2x-3y+2z+m=0 (*).Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) thì :

( ) 10 3 26, 308 13 17.308 13 5236

4 9 4

mh I P m m

+ − += = ⇔ − = ⇒ = ± +

+ +Tóm lại có hai mặt phẳng : 2x-3y+2z 13 5236± + =0 .b/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) và song song với cả d ,d’.

Ta có : ( )( )

( )'

'

2; 3;2 3 2 2 2 2 3, ; ; 4;6;5

2 0 0 3 3 23; 2;0

d

d d Q

d

uu u n

u

= − − − ⇒ = = = ÷ − −= −

uuruur uur uur

uur

Vậy (Q) có dạng : 4x+5y+6z+m=0 (*)

Nếu (Q) tiếp xúc với (S) thì : ( ) 10320 6 65, 308 51 154

20516 36 25

mmh I Q m

m

= −− − + = = ⇔ − = ⇒ =+ +

Vậy có hai mặt phẳng (Q) : ( )( )

1

2

: 4x 5 6z 103 0

: 4x 5 6z 205 0

Q y

Q y

+ + − =

+ + + =2. Lập mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tiếp xúc với cầu (S)

CÁCH GIẢI• Bước 1: Chuyển đường thẳng d sang dạng là giao tuyến của hai mặt phẳng .• Bước 2: Nếu (P) chứa d thì (P) thuộc chùm mặt phẳng . Viết phương trình chùm mặt

phẳng sau đó chuyển về dạng mẫu mực .• Bước 3: Sử dụng điều kiện : (P) tiếp xúc với (S) thì h(I,P) = R , ta sẽ thu được

phương trình của mặt phẳng (P)

VÍ DỤ MINH HỌAVí dụ 1.( MĐC-98).



Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : 13 1

1 1 4

x y z− += =− và mặt cầu (S) có

phương trình : 2 2 2 2x 4 6z 67 0x y z y+ + − − − − = .Hãy lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tiếp xúc với (S) .

GIẢI( Chuyển d về dạng giao tuyến của hai mặt phẳng ) Đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng :

134x 52 01 4

1 4 4 0

1 4

x zz

y z y z

− = + − = − ⇔ + − + = =

.

Nếu (P) chứa d thì (P) thuộc chùm : 4x+z-52+m(4y-z+4)=0 ; Hay : 4x+4my+(1-m)z+4m-52=0 (*) .

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và có bán kính R=9. Cho nên (P) tiếp xúc với (S) thì :Khoảng cách từ tâm I đến (P) bằng bán kính :

( )( ) ( )2 2 2

22

14 8 3(1 ) 4 52

9 9 45 9 17 2 17 2 1 0 116 16 1 2

mm m m

m m m m mmm m

= −+ + − + − ⇔ = ⇔ − = − + ⇔ + − = ⇒ =+ + −

Thay vào (*) ta có hai mặt phẳng : ( )( )

1

2

: 2x 2 28 0

:8x 4 100 0

P y z

P y z

− + − =

+ + − =.

Ví dụ 2. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : 8x 11 8z 30 0

2z 0

y

x y

− + − = − − =

và mặt

cầu (S) có phương trình : 2 2 2 2x 6 4z 15 0x y z y+ + + − + − = .Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tiếp xúc với cầu (S) .

GIẢICầu (S) có tâm I(-1;3;-2) và có bán kính R= 29 . Mặt phẳng (P) chứa d cho nên (P) thuộc cùm mặt phẳng :8x-11y+8z-30+m(x-y-2z)=0 ; hay : (8+m)x-(11+m)y+(8-2m)z-30=0 (*) Néu (P) tiếp xúc với (S) thì :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2

8 3 11 2 8 2 30 87, 29 29

6 6 2498 11 8 2

m m mh I P

m mm m m

− + − + − − −= = ⇔ =

+ ++ + + + −

2 2 16. 6. 249 3.87 2 0

2

mm m m m

m

=+ + = ⇔ + − = ⇔ = −

Nếu m=1: (P) : 9x-12y+6z-30=0 ; hay : 3x-4y+2z-10=0 .Nếu m=-2 thì (P): 6x-9y+12z-30=0 , hay (P): 2x-3y+4z-10=0 .Như vậy có hai mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với (S) .

II. MẶT PHẲNG CẮT MẶT CẦU – TÌM TỌA ĐỘ TÂM VÀ BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN GIAO TUYẾN .


d

HP

I

urM

CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦUBÀI TOÁN : Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R . Mặt phẳng (P) Ax+By +Cz+D=0 . Chứng minh (P) cắt (S) . Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến

CÁCH GIẢI• Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua tâm cầu I và

vuông góc với mặt phẳng (P) : ( ); ;u n A B C= =r r

• Bước 2: Tìm tọa độ giao điểm K của d với (P) . ( Đó chính là tâm của đường tròn giao tuyến ). Sau đó tính độ dài đoạn thẳng d=IK

• Bước 3: Để tính bán kính của đường tròn ( C) ta sử dụng công thức : 2 2 2 2 2r R d R IK= − = −

MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌAVí dụ 1.( Bài 3.59-Ôn chương III-tr117-BTHH12CB)Trong không gian cho bốn điểm A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1) và D(1;1;0) a/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D /b/ xác định tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng(ACD) với mặt cầu (S)

GIẢIa/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D

Từ hình vẽ , dễ dàng tìm được tọa độ tâm cầu (S) là I :

- Gọi J là trung điểm của AB 1 1

; ;02 2

J = ÷ - Kẻ đường thẳng m qua J và song song với Oz cắt

CD tại I ( I là trung điểm của CD ) . Do vậy : 1 1 1

;2 2 2

I = ÷ . Bán kính của cầu (S) bằng đoạn thẳng

OI=1 1 1 3

4 4 4 2+ + = .

Ta có :

( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 1 1 01;0;1 , D 0;1;0 , D ; ; 1;0; 1 / / 1;0;1

1 0 0 0 0 1AC A AC A n

− − = − = ⇒ = = − − = ÷

uuur uuur uuur uuur r

Mặt phẳng (ACD) qua A(1;0;0) và có véc tơ pháp tuyến là ( ) ( ), D 1;0; 1 D : 1 0AC A AC x z = − − ⇒ + − =

uuur uuur

b/ xác định tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng(ACD) với mặt cầu (S)


I

K

R

r

d

A

B

C

D

OI

J

K


- Gọi d là đường thẳng qua tâm cầu I và vuông góc với (ACD) thì

1

21

:21

2

x t

d y

z t

= + = = +

- Đường thẳng d cắt ACD) tại điểm H thì tọa độ H là nghiệm của hệ :1 1 1 1 1

1 0 0 ; ;2 2 2 2 2t t t H + + + − = ⇔ = ⇒ = ÷

- trùng với I . Vì thế (ACD) cắt (S) theo đường tròn lớn có bán kính bằng bán kính

của (S) 3

2r R= = .

Ví dụ 2.( Bài 3.54-Ôn chương III-tr116-BTHH12CB)Cho mặt phẳng (P): 2x-3y+4z-5=0 và mạt cầu (S): 2 2 2 3x 4 5z 6 0x y z y+ + + + − + =a/ Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) b/ Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P). Từ đó chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta ký hiệu là (C ). Xác định bán kính r và tâm H của đường tròn (C ).

GIẢIa/ Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)

Mặt cầu (S) có tâm I=3 5 9 25 26

; 2; ; 4 62 2 4 4 2

R − − = + + − = ÷

b.Ta có khoảng cách từ tâm I đến (P) : ( )3 5

2 3 2 4 52 2 8

( , ) 294 9 16 29

h I P R

− − − + − ÷ ÷ = = < =+ +

.

Chứng tỏ : (P) cắt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn .Tìm tâm và bán kính của ( C).

• Đường thẳng d qua I và vuông góc với (P) :

32

22 3

54

2

x t

y t

z t

= − +

= − − = +

• Đường thẳng d cắt (P) tại H ( là tâm của đường tròn ) : Tọa độ của H là nghiệm của hệ :



( )

32

22 3 3 5 8 119 34 81

2 2 3 2 3 4 4 5 0 ; ;5 2 2 29 58 29 58

42

2x 3 4z 5 0

x t

y tt t t t H

z t

y

= − +

= − − ⇔ − + − − − + + − = ⇔ = − ↔ = − ÷ ÷ ÷ = + − + − =

Bán kính r của ( C) : ( )2 2 2 26 64 249 249,

4 26 58 58r R h I P r= − = − = ⇒ =

Ví dụ 3. ( ĐH-Đà lạt -2001)Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm I(0;1;2) ,A(1;2;3) ,B(0;1;3)1/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và đi qua A ?2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B có véc tơ pháp tuyến ( )1;1;1n =

r

3/ Chứng minh (P) cắt (S) theo một đường tròn ( C) . Tìm tâm và bán kính của ( C) ?GIẢI

1/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và đi qua A ?Nếu (S) qua A(1;2;3) , thì IA=R ( ) ( ) ( )2 2 22 2 1 0 2 1 3 2 3R IA⇔ = = − + − + − = .

Vậy (S) : ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 3x y z− + − + − = .

2/ Lập mặt phẳng (P) qua B(0;1;3) có ( )1;1;1n =r

, (P) : x+y+z-4=0 (*).

3/ Chứng minh (P) cắt (S) : Ta có ( ) ( ) ( )0 1 2 4 1, 3

3 3h I P R P S

+ + −= = < = ⇒ ∩

• Tìm tọa độ tâm : Lập d qua I ( 0;1;2) và vuông góc với (P) : d : 1

2

x t

y t

z t

= = + = +

• Tâm H của ( C) là d cắt (P) , 1 1 1 4 7

d : 3 1 ; ;2 3 3 3 3

4 0

x t

y tt t H

z t

x y z

= = + ⇔ = → = ⇔ = ÷= + + + − =

• Bán kính r của ( C) : ( )2 2 2 1 8 8 2 6, 3

3 3 3 3r R h I P r= − = − = ⇒ = =

BÀI TOÁN 4:TÌM ĐIỂM TRÊN CẦU (S) THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – (S) CHỨA THAM SỐ

BÀI TOÁN : Cho mặt cầu (S) : F(x,y,z)=0 (1) hoặc F(x,y,z,m)=0 (2) . Mặt phẳng (P) hay đường thẳng d ( cho phương trình ) 1/ Tìm điểm M trên (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) là nhỏ nhất , lớn nhất .2/ Tìm m để d cắt (S) : F(x,y,z,m) =0 tại hai điểm M,N sao cho MN=a ( hằng số )3/ Tìm quỹ tích tâm I của (S) ....CÁCH GIẢI


CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU1/ Tìm điểm M trên (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) là nhỏ nhất , lớn nhất .

• Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với (P) • Bước 2: Tìm tọa độ H ,K là giao của d với (Q) . Sau đó tính IH và IK . H,K là các

điểm cần tìm .2/ Tìm m để d cắt (S) : F(x,y,z,m) =0 tại hai điểm M,N sao cho MN=a ( hằng số )

• Bước 1: Chuyển d sang tham số . Lập hệ để tìm giao của d và (S) suy ra g(t,m)=0 • Bước 2: Lấy trên d một điểm H , tính IH theo công thức .(1)

• Bước 3: Sử dụng ( )2

2 2 22

MNIH R = − ÷

. Từ (1) và (2) suy ra m cần tìm .

3/ Tìm quỹ tích tâm I của (S) ....* Sử dụng phương pháp tìm quỹ tích trong hàm số .

MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌAVí dụ 1. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho (S) : 2 2 2 2x 2z 2 0x y z+ + − + − = và mặt phẳng (P) : 2x-2y+z+6=0 . Tìm điểm A trên (S) sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất , nhỏ nhất ?

GIẢI• Mặt cầu (S) : ( ) ( ) ( )2 221 1 4 1;0; 1 , 2x y z I R− + + + = ⇒ = − = .

• Đường thẳng d qua I(1;0;-1) và vuông góc với (P) :

1 2

: 2

1

x t

d y t

z t

= + = − = +

• Đường thẳng d cắt (S) thông qua phương trình :

( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 1 2 1 1 4 9 4t t t t+ − + − + − + − = ⇔ =

2 7 4 1 13; ; ( , )

3 3 3 3 32

3 2 1 4 5 1; ; ( , )

3 3 3 3 3

t A h A P

t

t A h A P

= → = − − ⇔ = ÷ ⇒ = ± ⇔ = − → = − − ⇔ = ÷

Ví dụ 2. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : 2x 2 1 0

2 2z 4 0

y z

x y

− − + = + − − =

và mặt cầu

(S) : 2 2 2 4x 6 0x y z y m+ + + − + = . Tìm m để d cắt (S) tại hai điểm M,N sao cho MN=8 .GIẢI

Mặt cầu (S) có tâm I(-2;3;0) và bán kính R= ( )4 9 13 0 13 *m m m+ − = − > ⇔ <

Mặt khác ta có : ( )2 2

2 2 2 813 13 3 3

2 2

MNIH R r m m m IH m = − = − − = − − = − − ⇔ = − − ÷ ÷

(1)


CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦULại có IH=h(I,d) . Ta có d qua M(0;1;-1) và có véc tơ chỉ phương là tích có hướng của hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng :

( ) ( ) ( )2 1 1 2 2 2, ' ; ; 6;3;6 / / ' 2;1;2 ; 2;2;1

2 1 1 2 2 2u n n u MI

− − − − = = = = = − ÷ − −

r r ur ur uuur.

Do đó : ( ), ' 9 36 36

, 34 1 4'

MI uh I P

u

+ + = = =+ +

uuur ur

ur (2)

Từ (1) và (2) : 3 3 12m m− − = ⇔ = − . Vậy với m=-12 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán .Ví dụ 3. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho họ :( ) 2 2 2 2: 4 x 2 6z 4 0mS x y z m my m m+ + − − − + + =

1/ Tìm m để ( )mS là phương trình của một mặt cầu ?

2/ Chứng minh rằng tâm I của ( )mS luôn nằm trên một đường thẳng cố định ( với các giá trị của m tìm được )

GIẢI1/ Tìm m để ( )mS là phương trình của một mặt cầu ?

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2: 2 3 4 4 9mS x m y m z m m− + − + − = − + (*)

Để ( )mS là phương trình của mặt cầu thì : 24 4 9 0 ' 4 36 32 0m m+ + > ⇒ ∆ = − = − < . Do đó với mọi m (*) luôn là phương trình của (S) .

2/ Ta có tọa độ tâm I của ( )mS là :

22 0

33

x mx y

y mz

z

=− = = ⇔ = =

. Đây chính là giao của hai mặt

phẳng . Do đó giao tuyến của chúng là một đường thẳng cố định ( ví không phụ thuộc vào m ).

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYÊNBài 1. ( ĐH-Thủy lợi -2000)Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) : 2 2 2 6x 4 2z 5 0x y z y+ + − + − + = và mặt phẳng (P) : x+2y+2z+11=0 .a/ Tìm tọa độ tâm và bán kính của (S) b/ Tìm điểm M trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ đó đến mặt phẳng (P) là ngắn nhất ?Bài 2. ( ĐHAN-KA-98) .Cho tam diện vuông Oxyz và một phần tám mặtcầu đơn vị : 2 2 2x 1y z+ + = (x,y,z 0≥ ), trong góc tam diện ấy . Một mặt phẳng (P) tiếp xúc với một phần tám mặt cầu ấy tại điểm M cắt các trục Ox, Oy,Oz thứ tự tại A,B,C sao cho OA=a,OB=b,OC=c (a,b,c>0).

a/ Chứng minh rằng : 2 2 2

1 1 11

a b c+ + = ?

b/ Chứng minh : ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 64a b c+ + + ≥ . Tìm vị trí của M khi dấu đẳng thức xảy ra ?Bài 3. ( ĐHQG-A-99).


CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU• Cho đường tròn ( C) là giao tuyến của cầu (S) : 2 2 2 4x 6 6z 17 0x y z y+ + − + + + = với

(P) có phương trình : x-2y+2z+1=0 .1/ Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ( C) 2/ Lập phương trình mặt cầu (S’) chứa đường tròn ( C) có tâm nằm trên mặt phẳng (Q) : x+y+z+3=0 .

• Cho họ : ( ) ( )2 2 2: 2 1 2 2 6 7 0mC x y z m x m y m+ + − + − + + + = . ( với m là tham số )1/ Tìm quỹ tích tâm I của họ Cm2/ Tìm tọa độ tâm thuộc họ mà tiếp xúc với Oy .

Bài 4. Cho đường thẳng 2x 2z 12 0

:4x 7 6 0

y

y z

− + − =∆ − − + =

. Lập phương trình đường tròn ( C) có tâm

I(1;-1;-2) và cắt ∆ tại hai điểm A,B sao cho AB=8 .Bài 5. ( ĐH-Thủy lợi -2000) .Cho mặt cầu (S) : 2 2 2 6x 4 2z 5 0x y z y+ + − + − + = . Và mặt phẳng (P) : x+2y+2z+11=0 .1/ Tìm tọa độ tâm và bán kính của ( C) là giao của (P) với (S) ?2/ Tìm tọa độ điểm M trên (S) sao cho khoảng cách từ đó đến (P) nhỏ nhất ?Bài 6. ( ĐH-YHP-2000).

Cho các điểm A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) ( a,b,c>0) và : 1 1 1

2a b c

+ + = .

1/ Chứng minh khi a,b,c thay đổi thì mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định . Tìm tọa độ điểm cố định ấy ?

2/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC ? và chứng minh : ( )1 3

4 2 3 1r< <

+

BỔ SUNG THÊMBµi 1.Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òçc vu«ng gãc Oxyz cho mÆt ph¼ng (Pm): 2x+2y+z –m2-3m=0 vµ mÆt cÇu (S): (x-1)2+(y+1)2+(z-1)2=9. a.T×m m ®Ó mÆt ph¼ng (Pm) tiÕp xóc mÆt cÇu (S). Víi m t×m ®îc, h·y x¸c ®Þnh to¹ ®é tiÕp ®iÓm cña mÆt ph¼ng (Pm) vµ mÆt cÇu (S) b. Cho m=2. Chøng minh r»ng mp(P2) tiÕp xóc víi (S). T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm c.

X¸c ®Þnh m ®Ó (Pm) c¾t (S) theo mét ®êng trßn (C) cã b¸n kÝnh r=2 2

Bµi2.Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òçc vu«ng gãc Oxyz cho ba ®iÓm A(2;0;1),B(1;0;0), C(1;1;1) vµ mÆt ph¼ng (P): x+y+z-2=0. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua ba ®iÓm A, B, C vµ cã t©m thuéc mÆt ph¼ng (P)

Bµi 3. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òçc vu«ng gãc Oxyz cho h×nh l¨ng trô ®øng ABCA1B1C1 víi A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B1 (4;0;4) a. T×m to¹ ®é çc ®Ønh A1, C1. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu cã t©m lµ A vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (BCC1B1).


CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦUb. Gäi M lµ trung ®iÓm cña A1B1. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua hai ®iÓm A, M vµ song song víi BC1. MÆt ph¼ng (P) c¾t ®êng th¼ng A1C1 t¹i N. TÝnh ®é dµi ®o¹n MN

Bµi 4. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òçc vu«ng gãc Oxyz cho ba ®iÓm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0;0;4). a. T×m to¹ ®é ®iÓm B thuéc mÆt ph¼ng Oxy sao cho tø gi¸c OABC lµ h×nh ch÷ nhËt. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua bèn ®iÓm O, B, C, S b. T×m to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi ®iÓm A qua ®êng th¼ng SCBµi 5. Trong kg víi hÖ to¹ ®é §Òçc vu«ng gãc Oxyz cho ba ®iÓm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2) a. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) qua gèc to¹ ®é O vµ vu«ng gãc víi BC. T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng AC víi mÆt ph¼ng (P) b. CM ∆ABC lµ tam gi¸c vu«ng. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn OABCBµi 6. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òçc vu«ng gãc Oxyz cho mÆt ph¼ng (P): 2x+y-z+5=0 vµ çc ®iÓm A(0;0;4), B(2;0;0) a. ViÕt ph¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®êng th¼ng AB trªn mÆt ph¼ng (P) b. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua O, A, B vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P)Bµi 7. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òçc vu«ng gãc Oxyz cho 4 ®iÓm S(2;2;6), A(4;0;0), B(4;4;0), C(0;4;0) a. CMR h×nh chãp SABCO lµ h×nh chãp tø gi¸c ®Òu b. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp SABCOBµi 8. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òçc vu«ng gãc Oxyz cho ®êng th¼ng d:

2 2 1 0

2 2 4 0

x y z

x y z

− − + = + − − =

vµ mÆt cÇu (S): x2+y2+z2+4x-6y+m=0. T×m m ®Ó ®êng th¼ng d

c¾t mÆt cÇu (S) t¹i hai ®iÓm M, N sao cho kho¶ng çch gi÷a hai ®iÓm ®ã b»ng 9Bµi 9.Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òçc vu«ng gãc Oxyz cho A(0;3;-3), B(1;1;3) vµ ®-

êng th¼ng d:

3 2

5 2

1

x t

y t

z t

= − = − + = +

a. CMR AB⊥d b. T×m h×nh chiÕu cña A, B trªn d c. T×m M∈d ®Ó MA+MB nhá nhÊt


CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦUd. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu nhá nhÊt qua A, B vµ tiÕp xóc dBµi 10. Gäi (C) lµ giao tuyÕn cña mÆt cÇu (S): (x-3)2+(y+2)2+(z-1)2=100 vµ (P): 2x-2y-z+9=0. X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m vµ b¸n kÝnh cña (C)Bµi11.Trong kg gian víi hÖ to¹ ®é §Òçc vu«ng gãc Oxyz cho mÆt ph¼ng (P): x+y+z-1=0

vµ ®êng th¼ng d: 1

1 1 1

x y z −= =− .

a. ViÕt PTCT cña çc ®êng th¼ng lµ giao tuyÕn cña mp(P) víi çc mÆt ph¼ng to¹ ®é. TÝnh thÓ tÝch cña khèi tø diÖn ABCD, biÕt A, B, C lµ giao ®iÓm t¬ng øng cña mp(P) víi çc trôc to¹ ®é Ox, Oy, Oz cßn D lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng d víi mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy b. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®i qua 4 ®iÓm A, B, C, D. X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m vµ b¸n kÝnh cña ®êng trßn lµ giao tuyÕn cña mÆt cÇu (S) víi mp(ACD)Bµi12. Trong kg §Òçc vu«ng gãc Oxyz cho A(-3;1;2) vµ mp(P): 2x+3y+z-13=0 a. H·y viÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d ®i qua A vµ vu«ng gãc víi mp(P). T×m to¹ ®é giao ®iÓm M cña d vµ (P) b. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu t©m A b¸n kÝnh R=4. CMR mÆt cÇu nµy c¾t mp(P) vµ t×m b¸n kÝnh cña ®êng trßn lµ giao cña mÆt cÇu vµ mp(P)Bµi13. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òçc vu«ng gãc Oxyz cho 4 ®iÓm A, B, C, D cã to¹ ®é x¸c ®Þnh bëi A(2;4;-1); 4OB i j k= + −

uuur r r r; C(2;4;3); 2 2OD i j k= + −

uuur r r r

a. CMR AB⊥AC; AB⊥AD; AC⊥AD vµ tÝnh thÓ tÝch cña tø diÖn ABCD b. ViÕt PTTS cña ®êng vu«ng gãc chung ∆ cña 2 ®êng th¼ng AB vµ CD c. ViÕt PTmp(ABD) vµ tÝnh gãc gi÷a ®êng th¼ng ∆ víi mp(ABD) d. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®i qua 4 ®iÓm A, B, C, DBµi14. Trong kg hÖ to¹ ®é §Òçc vu«ng gãc Oxyz cho I(1;2;2) vµ mp(P): x+2y-2z+2=0 a. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) cã t©m I vµ tiÕp xóc víi (P). T×m tiÕp ®iÓm b. T×m giao ®iÓm cña (S) víi ®êng th¼ng qua ®iÓm M(1;2;1); N(2;1;1) c. LËp ph¬ng tr×nh mp qua MN vµ tiÕp xóc víi (S)Bµi15. Trong kg vu«ng gãc Oxyz cho mÆt cÇu (S): x2+y2+z2-2x+4y-6z=0 a. X¸c ®Þnh vÞ trÝ t¬ng ®èi cña (S) víi ®êng th¼ng d qua M(1;-1;1), N(2;1;5). T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (S) vµ d (nÕu cã). X¸c ®Þnh t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh cña ®-êng trßn giao tuyÕn gi÷a (S) víi mp Oxy b. T×m m ®Ó mp(P): x-y-z-m=0 lµ tiÕp diÖn cña (S). Khi ®ã t×m gãc t¹o bëi (P) vµ tiÕp diÖn (Q) cña (S) biÕt (Q) qua gèc O Bµi 16. Cho h×nh chãp tø gi¸c SABCD cã ®é dµi tÊt c¶ çc c¹nh ®Òu b»ng a. a. CMR ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng


CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦUb. N¨m ®iÓm S, A, B, C, D cïng n»m trªn mét mÆt cÇu. T×m t©m vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ®ãBµi17. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òçc vu«ng gãc Oxyz cho tø diÖn OABC cã O lµ gèc to¹ ®é, A∈Ox, B∈Oy. C∈Oz vµ mp(ABC) cã ph¬ng tr×nh lµ 6x+3y+2z-6=0 a. TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn OABC b. X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp khèi tø diÖn OABCBµi18. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òçc vu«ng gãc Oxyz cho mÆt cÇu (S): x2+y2+z2=2(x+2y+3z) a. Gäi A, B, C lµ giao ®iÓm (kh¸c ®iÓm O(0;0;0)) cña mÆt cÇu (S) víi çc trôc 0x, 0y, 0z. X¸c ®Þnh A, B, C vµ viÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (ABC) b. X¸c ®Þnh t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABCBµi19. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òçc vu«ng gãc Oxyz cho mÆt cÇu (S) cã ph¬ng tr×nh x2+y2+z2=4 vµ mÆt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh x+y+z=1 a. TÝnh kho¶ng çch tõ t©m I cña mÆt cÇu (S) tíi mÆt ph¼ng (P) vµ chøng tá r»ng mÆt ph¼ng (P) c¾t mÆt cÇu (S) theo mét ®êng trßn. b. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn (C) lµ giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng (P) vµ mÆt cÇu (S). H·y x¸c ®Þnh to¹ ®é t©m H vµ tÝnh b¸n kÝnh cña ®êng trßn (C) ®ã.Bµi20. Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òçc vu«ng gãc Oxyz cho A(0;-2;0), B(2;1;4) vµ mÆt ph¼ng (α): x+y-z+5=0 a. ViÕt PTTS cña ®êng th¼ng d ®i qua A vµ B b. T×m trªn ®êng th¼ng d ®iÓm M, sao cho kho¶ng çch tõ M ®Õn mÆt ph¼ng (α)

b»ng 2 3 . c. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) cã ®êng kÝnh AB. XÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi gi÷a mÆt cÇu (S) vµ mÆt ph¼ng (α)Bµi 21.

Cho ®êng th¼ng ∆: 5 4 3 20 0

3 4 8 0

x y z

x y z

− + + = − + − =

vµ ®iÓm I(2;3;-1)

a. TÝnh kho¶ng çch tõ ®iÓm I ®Õn ®êng th¼ng ∆ b. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) t©m I vµ c¾t ®êng th¼ng ∆ t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B sao cho AB=8 Bµi 22. Cho hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q) vu«ng gãc víi nhau, cã giao tuyÕn lµ ®êng th¼ng ∆. Trªn ∆ lÊy hai ®iÓm A, B víi AB=a. Trong mÆt ph¼ng (P) lÊy ®iÓm C, trong mÆt ph¼ng (Q) lÊy ®iÓm D sao cho AC, BD cïng vu«ng gãc víi ∆ vµ AC=BD=AB. TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD vµ tÝnh kho¶ng çch tõ A ®Õn mp(BCD) theo a


CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦUBµi 23. Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu SABCD, biÕt çc ®Ønh S(3;2;4), A(1;2;3), C(3;0;3). Gäi H lµ t©m h×nh vu«ng ABCD a. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp SABCD b. TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp cã ®Ønh S, ®¸y lµ thiÕt diÖn t¹o bëi h×nh chãp SABCD víi mp ®i qua H vµ vu«ng gãc víi SCBµi 24. Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi, AC c¾t BD tai gèc 0, biÕt

A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2 2 ). Gäi M lµ trung ®iÓm cña SC a. TÝnh gãc vµ kho¶ng çch gi÷a hai ®êng th¼ng SA vµ BM b. Gi¶ sö mp(ABM) c¾t ®êng th¼ng SD t¹i N. TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SABMNBµi 25.

LËp ph¬ng tr×nh mp chøa ®êng th¼ng: 8 11 8 30 0

2 0

x y z

x y z

− + − = − − =

vµ tiÕp xóc víi mÆt cÇu

x2+y2+z2+2x-6y+4z-15=0Bµi 26. LËp ph¬ng tr×nh mp tiÕp xóc víi mÆt cÇu: x2+y2+z2-10x+2y+26z-113=0 vµ song

song víi hai ®êng th¼ng ∆: 5 1 13

2 3 2

x y z+ − += =−

, ∆’:7 1 8

3 2 0

x y z+ + −= =−

Bµi 27.

LËp pt mÆt cÇu cã t©m I∈∆: 2 1 1

3 2 2

x y z− − −= =−

vµ tiÕp xóc víi hai mp

(P): x+2y-2z-2=0, (Q): x+2y-2z+4=0Bµi 28. Cho mÆt cÇu (S): (x-3)2+(y+2)2+(z-1)2=9 vµ mp(P): x+2y+2z+11=0. T×m ®iÓm M trªn mÆt cÇu sao cho kho¶ng çch tõ M ®Õn mp(P) lµ ng¾n nhÊtBµi 29.

Cho hai ®êng th¼ng d1: 2 4

1 1 2

x y z− += =− , d2:

8 6 10

2 1 1

x y z+ − −= =−

a. ViÕt pt®t d song song víi 0x vµ c¾t d1 t¹i M, c¾t d2 t¹i N. T×m to¹ ®é M, N b. A∈d1, B∈d2. AB vu«ng gãc d1 vµ d2. ViÕt pt mÆt cÇu ®êng kÝnh ABBµi 30. Cho A(3;6;-2), B(6;0;1), C(-1;2;0), D(0;4;1) a. CMR A, B, C, D lµ 4 ®Ønh cña tø diÖn. TÝnh thÓ tÝch cña tø diÖn ®ã b. ViÕt PT mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD. X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu nµy c. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn ®i qua A, B, C. X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m vµ b¸n kÝnh cña ®êng trßn ®ã

Bài 31.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

2

5

1

1

3

4:1 −

+=−−=− zyx

d 13

3

1

2:2

zyxd =+=−



Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2

Bài 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).


Engineering

Cac bai toan ve mat cau