Cac Chuyen de Toan

Trng THCS Hp Minh www.vnmath.com Nm hc 2011-2012

www.vnmath.com 1

PHN I: I S CH 1: CN THC BIN I CN THC. Dng 1: Tm iu kin biu thc c cha cn thc c ngha. Bi 1: Tm x cc biu thc sau c ngha.( Tm KX ca cc biu thc sau).

3x16x 14) x2x

1 )7

x5

3x

3x

1 13)

x7

3x 6)

65xx

1 12)

27x

x3 5)

35x2x 11) 12x 4)

73xx 10) 147x

1 3)

2x 9) 2x5 2)

3x 8) 13x 1)

2

2

2

2

2

2

Dng 2: Bin i n gin cn thc. Bi 1: a mt tha s vo trong du cn.

22 x

7x e) ;

x25

x5)(x d) ;

5

2x c) 0);x (vi

x

2x b) ;

3

5

5

3 a)

Bi 2: Thc hin php tnh.

333;3

33

3152631526 h) ;2142021420 g)

725725 f) ;10:)4503200550(15 c)

26112611 e) ;0,4)32)(10238( b)

;526526 d) ;877)714228( a)

Bi 3: Thc hin php tnh.

1027

1528625 c)

57

1:)

31

515

21

714 b)

6

1)

3

216

28

632( a)

B

i 4: Thc hin php tnh.

62126,5126,5 e)

77474 d) 25353 c)

535)(3535)(3 b) 1546)10)(15(4 )

a

Bi 5: Rt gn cc biu thc sau:


www.vnmath.com 2

53

53

53

53 d)

65

625

65

625 c)

113

3

113

3 b)

1247

1

1247

1 a)

Bi 6: Rt gn biu thc:

10099

1...

43

1

32

1

21

1c)

34710485354b) 4813526a)

Bi 7: Rt gn biu thc sau:

4

3y6xy3x

yx

2 e)

)4a4a(15a12a

1 d)

;4a

a42a8aa c)

1.a v 0a vi,1a

aa1

1a

aa1 b)

b.a v 0b 0,a vi,ba

1:

ab

abba a)

22

22

24

Bi 8: Tnh gi tr ca biu thc

a.)y)(1x(1xybit , x1yy1xE e)

1.x2x9x2x16bit , x2x9x2x16D d)

3;3yy3xxbit , yxC c)

;1)54(1)54(x vi812xxB b)

549

1y;

25

1x khi2y,y3xxA a)

2222

2222

22

333

2

Dng 3: Bi ton tng hp kin thc v k nng tnh ton.

Bi 1: Cho biu thc 21x

3xP

a) Rt gn P.

b) Tnh gi tr ca P nu x = 4(2 - 3 ).

c) Tnh gi tr nh nht ca P.

Bi 2: Xt biu thc 1.a

a2a

1aa

aaA

2

a) Rt gn A.


www.vnmath.com 3

b) Bit a > 1, hy so snh A vi A .

c) Tm a A = 2. d) Tm gi tr nh nht ca A.

Bi 3: Cho biu thc x1

x

2x2

1

2x2

1C

a) Rt gn biu thc C.

b) Tnh gi tr ca C vi 9

4x .

c) Tnh gi tr ca x .3

1C

Bi 4: Cho biu thc 222222 baa

b:

ba

a1

ba

aM

a) Rt gn M.

b) Tnh gi tr M nu .2

3

b

a

c) Tm iu kin ca a, b M < 1.

Bi 5: Xt biu thc .2

x)(1

1x2x

2x

1x

2xP

2

a) Rt gn P. b) Chng minh rng nu 0 < x < 1 th P > 0. c) Tm gi tr ln nht ca P.

Bi 6: Xt biu thc .x3

1x2

2x

3x

6x5x

9x2Q

a) Rt gn Q. b) Tm cc gi tr ca x Q < 1. c) Tm cc gi tr nguyn ca x gi tr tng ng ca Q cng l s nguyn.

Bi 7: Xt biu thc

yx

xyyx:

yx

yx

yx

yxH

233

a) Rt gn H. b) Chng minh H 0.

c) So snh H vi H .

Bi 8: Xt biu thc .1aaaa

a2

1a

1:

1a

a1A

a) Rt gn A. b) Tm cc gi tr ca a sao cho A > 1.

c) Tnh cc gi tr ca A nu 200622007a .

Bi 9: Xt biu thc .x1

2x

2x

1x

2xx

39x3xM

a) Rt gn M. b) Tm cc gi tr nguyn ca x gi tr tng ng ca M cng l s nguyn.


www.vnmath.com 4

Bi 10: Xt biu thc .3x

3x2

x1

2x3

3x2x

11x15P

a) Rt gn P.

b) Tm cc gi tr ca x sao cho .2

1P

c) So snh P vi 3

2.

Ch 2: PHNG TRNH BC HAI NH L VI-T. Dng 1: Gii phng trnh bc hai.

Bi 1: Gii cc phng trnh 1) x2 6x + 14 = 0 ; 2) 4x2 8x + 3 = 0 ; 3) 3x2 + 5x + 2 = 0 ; 4) -30x2 + 30x 7,5 = 0 ; 5) x2 4x + 2 = 0 ; 6) x2 2x 2 = 0 ;

7) x2 + 2 2 x + 4 = 3(x + 2 ) ; 8) 2 3 x2 + x + 1 = 3 (x + 1) ;

9) x2 2( 3 - 1)x - 2 3 = 0.

Bi 2: Gii cc phng trnh sau bng cch nhm nghim: 1) 3x2 11x + 8 = 0 ; 2) 5x2 17x + 12 = 0 ;

3) x2 (1 + 3 )x + 3 = 0 ; 4) (1 - 2 )x2 2(1 + 2 )x + 1 + 3 2 = 0 ;

5) 3x2 19x 22 = 0 ; 6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ;

7) ( 3 + 1)x2 + 2 3 x + 3 - 1 = 0 ; 8) x2 11x + 30 = 0 ;

9) x2 12x + 27 = 0 ; 10) x2 10x + 21 = 0.

Dng 2: Chng minh phng trnh c nghim, v nghim. Bi 1: Chng minh rng cc phng trnh sau lun c nghim.

1) x2 2(m - 1)x 3 m = 0 ; 2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ; 3) x2 (2m 3)x + m2 3m = 0 ; 4) x2 + 2(m + 2)x 4m 12 = 0 ; 5) x2 (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ; 6) x2 2x (m 1)(m 3) = 0 ; 7) x2 2mx m2 1 = 0 ; 8) (m + 1)x2 2(2m 1)x 3 + m = 0 9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0.

Bi 2:

a) Chng minh rng vi a, b , c l cc s thc th phng trnh sau lun c nghim: (x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) = 0

b) Chng minh rng vi ba s thc a, b , c phn bit th phng trnh sau c hai nghim phn bit:

x) (n 0cx

1

bx

1

ax

1

c) Chng minh rng phng trnh: c2x2 + (a2 b2 c2)x + b2 = 0 v nghim vi a, b, c l di ba cnh ca mt tam gic. d) Chng minh rng phng trnh bc hai:

(a + b)2x2 (a b)(a2 b2)x 2ab(a2 + b2) = 0 lun c hai nghim phn bit. Bi 3:

a) Chng minh rng t nht mt trong cc phng trnh bc hai sau y c nghim: ax2 + 2bx + c = 0 (1)

bx2 + 2cx + a = 0 (2)

cx2 + 2ax + b = 0 (3)


www.vnmath.com 5

b) Cho bn phng trnh (n x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = 0 (1)

x2 - 2bx + 4a2 = 0 (2)

x2 - 4ax + b2 = 0 (3)

x2 + 4bx + a2 = 0 (4)

Chng minh rng trong cc phng trnh trn c t nht 2 phng trnh c nghim. c) Cho 3 phng trnh (n x sau):

(3) 0cb

1x

ba

ba2acx

(2) 0ba

1x

ac

ac2cbx

(1) 0ac

1x

cb

cb2bax

2

2

2

vi a, b, c l cc s dng cho trc. Chng minh rng trong cc phng trnh trn c t nht mt phng trnh c nghim.

Bi 4:

a) Cho phng trnh ax2 + bx + c = 0. Bit a 0 v 5a + 4b + 6c = 0, chng minh rng phng trnh cho c hai nghim. b) Chng minh rng phng trnh ax2 + bx + c = 0 ( a 0) c hai nghim nu mt trong hai iu kin sau c tho mn: a(a + 2b + 4c) < 0 ;

5a + 3b + 2c = 0.

Dng 3: Tnh gi tr ca biu thc i xng, lp phng trnh bc hai nh nghim ca phng trnh bc hai cho trc. Bi 1: Gi x1 ; x2 l cc nghim ca phng trnh: x2 3x 7 = 0.

Tnh:

4

2

4

1

3

2

3

1

1221

21

21

2

2

2

1

xxF ;xxE

;x3xx3xD ;1x

1

1x

1C

;xxB ;xxA

Lp phng trnh bc hai c cc nghim l 1x

1 v

1x

1

21 .

Bi 2: Gi x1 ; x2 l hai nghim ca phng trnh: 5x2 3x 1 = 0. Khng gii phng trnh, tnh gi tr ca cc biu thc sau:

.x4xx4x

3xx5x3xC

;x

1

x

1

1x

x

x

x

1x

x

x

xB

;x3x2xx3x2xA

2

2

1

2

21

2

221

2

1

2

211

2

1

2

2

1

2

1

2

21

3

22

2

1

3

1

Bi 3:


www.vnmath.com 6

a) Gi p v q l nghim ca phng trnh bc hai: 3x2 + 7x + 4 = 0. Khng gii phng trnh hy

thnh lp phng trnh bc hai vi h s bng s m cc nghim ca n l 1p

q v

1q

p

.

b) Lp phng trnh bc hai c 2 nghim l 2610

1 v

7210

1

.

Bi 4: Cho phng trnh x2 2(m -1)x m = 0. a) Chng minh rng phng trnh lun lun c hai nghim x1 ; x2 vi mi m.

b) Vi m 0, lp phng trnh n y tho mn 1

22

2

11x

1xy v

x

1xy .

Bi 5: Khng gii phng trnh 3x2 + 5x 6 = 0. Hy tnh gi tr cc biu thc sau:

2

2

1

121

1

2

2

11221

x

2x

x

2xD ;xxC

;1x

x

1x

xB ;2x3x2x3xA

Bi 6: Cho phng trnh 2x2 4x 10 = 0 c hai nghim x1 ; x2. Khng gii phng trnh hy thit lp phng trnh n y c hai nghim y1 ; y2 tho mn: y1 = 2x1 x2 ; y2 = 2x2 x1 Bi 7: Cho phng trnh 2x2 3x 1 = 0 c hai nghim x1 ; x2. Hy thit lp phng trnh n y c hai nghim y1 ; y2 tho mn:

1

2

2

2

2

2

1

1

22

11

x

xy

x

xy

b) 2xy

2xy a)

Bi 8: Cho phng trnh x2 + x 1 = 0 c hai nghim x1 ; x2. Hy thit lp phng trnh n y c hai nghim y1 ; y2 tho mn:

0.5x5xyy

xxyy b) ;

3x3xy

y

y

y

x

x

x

xyy

a)

21

2

2

2

1

2

2

2

121

21

1

2

2

1

1

2

2

1

21

Bi 9: Cho phng trnh 2x2 + 4ax a = 0 (a tham s, a 0) c hai nghim x1 ; x2. Hy lp phng trnh n y c hai nghim y1 ; y2 tho mn:

21

2121

21 xxy

1

y

1 v

x

1

x

1yy

Dng 4: Tm iu kin ca tham s phng trnh c nghim c nghim kp,v nghim.

Bi 1:

a) Cho phng trnh (m 1)x2 + 2(m 1)x m = 0 (n x). Xc nh m phng trnh c nghim kp. Tnh nghim kp ny. b) Cho phng trnh (2m 1)x2 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0. Tm m phng trnh c nghim.


www.vnmath.com 7

a) Cho phng trnh: (m 1)x2 2mx + m 4 = 0. - Tm iu kin ca m phng trnh c nghim. - Tm iu kin ca m phng trnh c nghim kp. Tnh nghim kp . b) Cho phng trnh: (a 3)x2 2(a 1)x + a 5 = 0. Tm a phng trnh c hai nghim phn bit.

Bi 2:

a) Cho phng trnh:

06mm1x

x12m2

12xx

4x 2224

2

.

Xc nh m phng trnh c t nht mt nghim. b) Cho phng trnh: (m2 + m 2)(x2 + 4)2 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0. Xc nh m

phng trnh c t nht mt nghim.

Dng 5: Xc nh tham s cc nghim ca phng trnh ax2 + bx + c = 0 tho mn iu kin cho trc.

Bi 1: Cho phng trnh: x2 2(m + 1)x + 4m = 0 1) Xc nh m phng trnh c nghim kp. Tm nghim kp . 2) Xc nh m phng trnh c mt nghim bng 4. Tnh nghim cn li. 3) Vi iu kin no ca m th phng trnh c hai nghim cng du (tri du) 4) Vi iu kin no ca m th phng trnh c hai nghim cng dng (cng m). 5) nh m phng trnh c hai nghim sao cho nghim ny gp i nghim kia. 6) nh m phng trnh c hai nghim x1 ; x2 tho mn 2x1 x2 = - 2. 7) nh m phng trnh c hai nghim x1 ; x2 sao cho A = 2x12 + 2x22 x1x2 nhn gi tr nh

nht. Bi 2: nh m phng trnh c nghim tho mn h thc ch ra:

a) (m + 1)x2 2(m + 1)x + m 3 = 0 ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 b) mx2 (m 4)x + 2m = 0 ; 2(x12 + x22) = 5x1x2 c) (m 1)x2 2mx + m + 1 = 0 ; 4(x12 + x22) = 5x12x22 d) x2 (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 ; 3x1x2 5(x1 + x2) + 7 = 0.

Bi 3: nh m phng trnh c nghim tho mn h thc ch ra: a) x2 + 2mx 3m 2 = 0 ; 2x1 3x2 = 1 b) x2 4mx + 4m2 m = 0 ; x1 = 3x2 c) mx2 + 2mx + m 4 = 0 ; 2x1 + x2 + 1 = 0 d) x2 (3m 1)x + 2m2 m = 0 ; x1 = x22 e) x2 + (2m 8)x + 8m3 = 0 ; x1 = x22 f) x2 4x + m2 + 3m = 0 ; x12 + x2 = 6.

Bi 4:

a) Cho phnmg trnh: (m + 2)x2 (2m 1)x 3 + m = 0. Tm iu kin ca m phng trnh c hai nghim phn bit x1 ; x2 sao cho nghim ny gp i nghim kia.

b) Ch phng trnh bc hai: x2 mx + m 1 = 0. Tm m phng trnh c hai nghim x1 ; x2

sao cho biu thc )xx2(1xx

3x2xR

21

2

2

2

1

21

t gi tr ln nht. Tm gi tr ln nht .

c) nh m hiu hai nghim ca phng trnh sau y bng 2. mx2 (m + 3)x + 2m + 1 = 0.

Bi 5: Cho phng trnh: ax2 + bx + c = 0 (a 0).


www.vnmath.com 8

Chng minh rng iu kin cn v phng trnh c hai nghim m nghim ny gp i nghim kia l 9ac = 2b2.

Bi 6: Cho phng trnh bc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0). Chng minh rng iu kin cn v phng trnh c hai nghim m nghim ny gp k ln nghim kia (k > 0) l :

kb2 = (k + 1)2.ac

Dng 6: So snh nghim ca phng trnh bc hai vi mt s. Bi 1:

a) Cho phng trnh x2 (2m 3)x + m2 3m = 0. Xc nh m phng trnh c hai nghim x1 ; x2 tho mn 1 < x1 < x2 < 6.

b) Cho phng trnh 2x2 + (2m 1)x + m 1 = 0. Xc nh m phng trnh c hai nghim phn bit x1 ; x2 tho mn: - 1 < x1 < x2 < 1.

Bi 2: Cho f(x) = x2 2(m + 2)x + 6m + 1. a) Chng minh rng phng trnh f(x) = 0 c nghim vi mi m. b) t x = t + 2. Tnh f(x) theo t, t tm iu kin i vi m phng trnh f(x) = 0 c hai

nghim ln hn 2. Bi 3: Cho phng trnh bc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.

a) Vi gi tr no ca tham s a, phng trnh c nghim kp. Tnh cc nghim kp. b) Xc nh a phng trnh c hai nghim phn bit ln hn 1.

Bi 4: Cho phng trnh: x2 + 2(m 1)x (m + 1) = 0. a) Tm gi tr ca m phng trnh c mt nghim nh hn 1 v mt nghim ln hn 1. b) Tm gi tr ca m phng trnh c hai nghim nh hn 2.

Bi 5: Tm m phng trnh: x2 mx + m = 0 c nghim tho mn x1 - 2 x2.

Dng 7: Tm h thc lin h gia hai nghim ca phng trnh bc hai khng ph thuc tham s.

Bi 1:

a) Cho phng trnh: x2 mx + 2m 3 = 0. Tm h thc lin h gia hai nghim ca phng trnh khng ph thuc vo tham s m.

b) Cho phng trnh bc hai: (m 2)x2 2(m + 2)x + 2(m 1) = 0. Khi phng trnh c nghim, hy tm mt h thc gia cc nghim khng ph thuc vo tham s m.

c) Cho phng trnh: 8x2 4(m 2)x + m(m 4) = 0. nh m phng trnh c hai nghim x1 ; x2. Tm h thc gia hai nghim c lp vi m, suy ra v tr ca cc nghim i vi hai s 1 v 1.

Bi 2: Cho phng trnh bc hai: (m 1)2x2 (m 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phng trnh c nghim, hy tm mt h thc gia cc nghim khng ph thuc vo tham s m. Bi 3: Cho phng trnh: x2 2mx m2 1 = 0.

a) Chng minh rng phng trnh lun c hai nghim x1 , x2 vi mi m. b) Tm biu thc lin h gia x1 ; x2 khng ph thuc vo m.

c) Tm m phng trnh c hai nghim x1 ; x2 tho mn: 2

5

x

x

x

x

1

2

2

1 .

Bi 4: Cho phng trnh: (m 1)x2 2(m + 1)x + m = 0. a) Gii v bin lun phng trnh theo m. b) Khi phng trnh c hai nghim phn bit x1 ; x2: - Tm mt h thc gia x1 ; x2 c lp vi m. - Tm m sao cho |x1 x2| 2.

Bi 5: Cho phng trnh (m 4)x2 2(m 2)x + m 1 = 0. Chng minh rng nu phng trnh c hai nghim x1 ; x2 th: 4x1x2 3(x1 + x2) + 2 = 0.


www.vnmath.com 9

Dng 8: Mi quan h gia cc nghim ca hai phng trnh bc hai. Kin thc cn nh: 1/ nh gi tr ca tham s phng trnh ny c mt nghim bng k (k 0) ln mt nghim ca phng trnh kia: Xt hai phng trnh:

ax2 + bx + c = 0 (1)

ax2 + bx + c = 0 (2) trong cc h s a, b, c, a, b, c ph thuc vo tham s m. nh m sao cho phng trnh (2) c mt nghim bng k (k 0) ln mt nghim ca phng trnh (1), ta c th lm nh sau:

i) Gi s x0 l nghim ca phng trnh (1) th kx0 l mt nghim ca phng trnh (2), suy ra h phng trnh:

(*) 0c'kxb'xka'

0cbxax

0

2

0

2

0

2

0

Gii h phng trnh trn bng phng php th hoc cng i s tm m. ii) Thay cc gi tr m va tm c vo hai phng trnh (1) v (2) kim tra li.

2/ nh gi tr ca tham s m hai phng trnh bc hai tng ng vi nhau. Xt hai phng trnh:

ax2 + bx + c = 0 (a 0) (3) ax2 + bx + c = 0 (a 0) (4)

Hai phng trnh (3) v (4) tng ng vi nhau khi v ch khi hai phng trnh c cng 1 tp nghim (k c tp nghim l rng). Do , mun xc nh gi tr ca tham s hai phng trnh bc hai tng ng vi nhau ta xt hai trng hp sau:

i) Trng hp c hai phng trinhg cung v nghim, tc l:

0

0

)4(

)3(

Gii h trn ta tm c gi tr ca tham s. ii) Trng hp c hai phng trnh u c nghim, ta gii h sau:

(4)(3)

(4)(3)

(4)

(3)

PP

SS

0

0

Ch : Bng cch t y = x2 h phng trnh (*) c th a v h phng trnh bc nht 2 n nh sau:

c'ya'xb'

caybx

gii quyt tip bi ton, ta lm nh sau: - Tm iu kin h c nghim ri tnh nghim (x ; y) theo m. - Tm m tho mn y = x2. - Kim tra li kt qu. -

Bi 1: Tm m hai phng trnh sau c nghim chung:


www.vnmath.com 10

2x2 (3m + 2)x + 12 = 0 4x2 (9m 2)x + 36 = 0

Bi 2: Vi gi tr no ca m th hai phng trnh sau c nghim chung. Tm nghim chung : a) 2x2 + (3m + 1)x 9 = 0; 6x2 + (7m 1)x 19 = 0. b) 2x2 + mx 1 = 0; mx2 x + 2 = 0. c) x2 mx + 2m + 1 = 0; mx2 (2m + 1)x 1 = 0.

Bi 3: Xt cc phng trnh sau: ax2 + bx + c = 0 (1)

cx2 + bx + a = 0 (2)

Tm h thc gia a, b, c l iu kin cn v hai phng trnh trn c mt nghim chung duy nht.

Bi 4: Cho hai phng trnh: x2 2mx + 4m = 0 (1) x2 mx + 10m = 0 (2)

Tm cc gi tr ca tham s m phng trnh (2) c mt nghim bng hai ln mt nghim ca phng trnh (1).

Bi 5: Cho hai phng trnh: x2 + x + a = 0

x2 + ax + 1 = 0

a) Tm cc gi tr ca a cho hai phng trnh trn c t nht mt nghim chung. b) Vi nhng gi tr no ca a th hai phng trnh trn tng ng.

Bi 6: Cho hai phng trnh: x2 + mx + 2 = 0 (1)

x2 + 2x + m = 0 (2)

a) nh m hai phng trnh c t nht mt nghim chung. b) nh m hai phng trnh tng ng. c) Xc nh m phng trnh (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0 c 4 nghim phn bit

Bi 7: Cho cc phng trnh: x2 5x + k = 0 (1) x2 7x + 2k = 0 (2)

Xc nh k mt trong cc nghim ca phng trnh (2) ln gp 2 ln mt trong cc nghim ca phng trnh (1).

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com


www.vnmath.com 11

Ch 3: H PHNG TRNH A - H hai phng trnh bc nht hai n: Dng 1: Gii h phng trnh c bn v a c v dng c bn Bi 1: Gii cc h phng trnh

1815y10x

96y4x 6) ;

142y3x

35y2x 5) ;

142y5x

024y3x 4)

106y4x

53y2x 3) ;

53y6x

32y4x 2) ;

5y2x

42y3x 1)

Bi 2: Gii cc h phng trnh sau:

56y5x

103y-6x

83yx

2-5y7x

4) ;

7

5x6yy

3

1x

2x4

27y5

3

5x-2y

3)

;121x3y33y1x

543y4x42y3-2x 2) ;

4xy5y54x

6xy32y23x 1)

Dng 2: Gii h bng phng php t n ph Gii cc h phng trnh sau

13.44yy548x4x2

72y31x5 5) ;

071y22xx3

01y2xx2 4)

;

42y

5

1x

2

72y

3y

1x

1x

3) ;

94y

5

1x

2x

44y

2

1x

3x

2) ;

12xy

3

2yx

4

32xy

1

2yx

2

1)

222

2

Dng 3: Xc nh gi tr ca tham s h c nghim tho mn iu kin cho trc

Bi 1:

a) nh m v n h phng trnh sau c nghim l (2 ; - 1).

32m3nyx2m

nmy1n2mx

b) nh a v b bit phng trnh: ax2 - 2bx + 3 = 0 c hai nghim l x = 1 v x = -2. Bi 2: nh m 3 ng thng sau ng quy:

a) 2x y = m ; x = y = 2m ; mx (m 1)y = 2m 1 b) mx + y = m2 + 1 ; (m + 2)x (3m + 5)y = m 5 ; (2 - m)x 2y = - m2 + 2m 2.

Bi 3: Cho h phng trnh

s) thaml (m 4myx

m104ymx

a) Gii h phng trnh khi m = 2 .


www.vnmath.com 12

b) Gii v bin lun h theo m. c) Xc nh cc gi tri nguyn ca m h c nghim duy nht (x ; y) sao cho x > 0, y > 0. d) Vi gi tr nguyn no ca m th h c nghim (x ; y) vi x, y l cc s nguyn dng. e) nh m h c nghim duy nht (x ; y) sao cho S = x2 y2 t gi tr nh nht. (cu hi tng

t vi S = xy). f) Chng minh rng khi h c nghim duy nht (x ; y) th im M(x ; y) lun nm trn mt ng

thng c nh khi m nhn cc gi tr khc nhau.

Bi 4: Cho h phng trnh:

5my2x

13mmyx1m

a) Gii v bin lun h theo m. b) Vi cc gi tr nguyn no ca m th h c nghim duy nht (x ; y) sao cho x > 0, y < 0. c) nh m h c nghim duy nht (x ; y) m P = x2 + y2 t gi tr nh nht. d) Xc nh m h c nghim duy nht (x ; y) tho mn x2 + 2y = 0. (Hoc: sao cho M (x ; y) nm

trn parabol y = - 0,5x2).

e) Chng minh rng khi h c nghim duy nht (x ; y) th im D(x ; y) lun lun nm trn mt ng thng c nh khi m nhn cc gi tr khc nhau.

Bi 5: Cho h phng trnh:

12ymx

2myx

a) Gii h phng trnh trn khi m = 2. b) Tm cc s nguyn m h c nghim duy nht (x ; y) m x > 0 v y < 0. c) Tm cc s nguyn m h c nghim duy nht (x ; y) m x, y l cc s nguyn. d) Tm m h c nghim duy nht (x ; y) m S = x y t gi tr ln nht.

B - Mt s h bc hai n gin: Dng 1: H i xng loi I

V d: Gii h phng trnh

28yx3yx

11xyyx

22

Bi tp tng t: Gii cc h phng trnh sau:

35yyxx

30xyyx 10)

5xyyx5

6yxyx 9)

yx7yxyx

yx19yxyx 8)

6yx

232yxyx 7)

31xyyx

101y1x 6)

17xy1yy1xx

81y1x 5)

133yxy3x

1y3xyx 4)

84xyyx

19yxxy 3)

2yxyx

4yxyx 2)

7xyyx

8yxyx 1)

22

2

22

222

22

22

22

22

22

22

22

22


www.vnmath.com 13

Dng 2: H i xng loi II

V d: Gii h phng trnh

x21y

2y1x

3

3

Bi tp tng t: Gii cc h phng trnh sau:

8x3yy

8y3xx 8)

y

3

x

12y

x

3

y

12x

7)

y

x43xy

x

y43yx

6) x2y2xy

y2x2yx 5)

1yxyx

1yxyx 4)

x2yy

y2xx 3)

x2xy

y2yx 2)

3x1y

3y1x 1)

3

3

22

22

2

2

3

3

22

22

2

2

3x7yy

3y7xx 10)

x3yy

y3xx 9)

3

3

2

2

Dng 3: H bc hai gii bng phng php th hoc cng i s Gii cc h phng trnh sau:


www.vnmath.com 14

141y5y8x2x

61y3y8xx 15)

084y4xyx

084y4xyx 14)

5y3xxy

1yxxy 13)

02y3xxy

02y2xxy 12)

183y2x

362y3x 11)

40yx

53y2x 10)

0222

12 9)

02

0 8)

02

022 7)

1232

835 6)

05

0532 5)

4

01122 4)

452

442 3)

8

12 2)

03

01 1)

22

22

2222

22

2

2

22

2

2

22

22

2

yxyyx

xyyx

yx

yx

xy

yx

yx

yxyx

yx

yxyx

xyxy

xyyx

xyxyx

xxxy

yxxy

yxyx

xyx

yx

Ch 4: HM S TH.

Dng 1: V th hm s Bi 1: V th cc hm s sau:

a) y = 2x 5 ; b) y = - 0,5x + 3 Bi 2: V th hm s y = ax2 khi:

a) a = 2 ; b) a = - 1.

Dng 2: Vit phng trnh ng thng Ba 1: Vit phng trnh ng thng (d) bit:

a) (d) i qua A(1 ; 2) v B(- 2 ; - 5)

b) (d) i qua M(3 ; 2) v song song vi ng thng () : y = 2x 1/5. c) (d) i qua N(1 ; - 5) v vung gc vi ng thng (d): y = -1/2x + 3. d) (d) i qua D(1 ; 3) v to vi chiu dng trc Ox mt gc 300. e) (d) i qua E(0 ; 4) v ng quy vi hai ng thng

f) (): y = 2x 3; (): y = 7 3x ti mt im. g) (d) i qua K(6 ; - 4) v cch gc O mt khong bng 12/5 (n v di).

Bi 2: Gi (d) l ng thng y = (2k 1)x + k 2 vi k l tham s. a) nh k (d) i qua im (1 ; 6). b) nh k (d) song song vi ng thng 2x + 3y 5 = 0. c) nh k (d) vung gc vi ng thng x + 2y = 0.


www.vnmath.com 15

d) Chng minh rng khng c ng thng (d) no i qua im A(-1/2 ; 1). e) Chng minh rng khi k thay i, ng thng (d) lun i qua mt im c nh.

Dng 3: V tr tng i gia ng thng v parabol Bi 1:

a) Bit th hm s y = ax2 i qua im (- 2 ; -1). Hy tm a v v th (P) . b) Gi A v B l hai im ln lt trn (P) c honh ln lt l 2 v - 4. Tm to A v B t

suy ra phng trnh ng thng AB.

Bi 2: Cho hm s 2x2

1y

a) Kho st v v th (P) ca hm s trn. b) Lp phng trnh ng thng (d) qua A(- 2; - 2) v tip xc vi (P).

Bi 3:

Trong cng h trc vung gc, cho parabol (P): 2x4

1y v ng thng (D): y = mx - 2m - 1.

a) V th (P). b) Tm m sao cho (D) tip xc vi (P). c) Chng t rng (D) lun i qua mt im c nh A thuc (P).

Bi 4: Cho hm s 2x2

1y

a) V th (P) ca hm s trn. b) Trn (P) ly hai im M v N ln lt c honh l - 2; 1. Vit phng trnh ng thng MN. c) Xc nh hm s y = ax + b bit rng th (D) ca n song song vi ng thng MN v ch ct (P) ti mt im.

Bi 5:

Trong cng h trc to , cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) v ng thng (D): y = kx + b. 1) Tm k v b cho bit (D) i qua hai im A(1; 0) v B(0; - 1). 2) Tm a bit rng (P) tip xc vi (D) va tm c cu 1). 3)V (D) v (P) va tm c cu 1) v cu 2).

4) Gi (d) l ng thng i qua im

1;

2

3C v c h s gc m

a) Vit phng trnh ca (d). b) Chng t rng qua im C c hai ng thng (d) tip xc vi (P) ( cu 2) v vung gc vi nhau.

Ch 5: GII BI TON BNG CCH LP PHNG TRNH H PHNG TRNH A. Cc bc gii bi ton bng cch lp h phng trnh: Bc 1 : Lp h phng trnh(phng trnh) 1) Chn n v tm iu kin ca n (thng thng n l i lng m bi ton yu cu tm). 2) Biu th cc i lng cha bit theo n v cc i lng bit. 3) Lp h phng trnh, (phng trnh)biu th mi quan h gia cc lng. Bc 2 : Gii h phng trnh, (phng trnh) Bc 3 : Kt lun bi ton. Dng 1: Chuyn ng (trn ng b, trn ng sng c tnh n dng nc chy)


www.vnmath.com 16

Bi 1: Mt t i t A n B trong mt thi gian nht nh. Nu xe chy vi vn tc 35 km/h th n chm mt 2 gi. Nu xe chy vi vn tc 50 km/h th n sm hn 1 gi. Tnh qung ng AB v thi gian d nh i lc u.

Bi 2:

Mt ngi i xe my t A n B cch nhau 120 km vi vn tc d nh trc. Sau khi c 3

1

qung ng AB ngi tng vn tc thm 10 km/h trn qung ng cn li. Tm vn tc d nh v thi gian xe ln bnh trn ng, bit rng ngi n B sm hn d nh 24 pht.

Bi 3: Mt can xui t bn sng A n bn sng B vi vn tc 30 km/h, sau li ngc t B tr v A. Thi gian xui t hn thi gian i ngc 1 gi 20 pht. Tnh khong cch gia hai bn A v B. Bit rng vn tc dng nc l 5 km/h v vn tc ring ca can lc xui v lc ngc bng nhau.

Bi 4: Mt can xui mt khc sng di 90 km ri ngc v 36 km. Bit thi gian xui dng sng nhiu hn thi gian ngc dng l 2 gi v vn tc khi xui dng hn vn tc khi ngc dng l 6 km/h. Hi vn tc can lc xui v lc ngc dng.

Dng 2: Ton lm chung lm ring (ton vi nc)

Bi tp 1: Hai vi nc cng chy y mt b khng c nc trong 3h 45ph . Nu chy ring r , mi vi phi chy trong bao lu mi y b ? bit rng vi chy sau lu hn vi trc 4 h .

Gii Gi thi gian vi u chy chy mt mnh y b l x ( x > 0 , x tnh bng gi ) Gi thi gian viau chy chy mt mnh y b l y ( y > 4 , y tnh bng gi )

1 gi vi u chy c x

1( b )

1 gi vi sau chy c y

1( b )

1 gi hai vi chy c x

1 +

y

1( b ) (1)

Hai vi cng chy th y b trong 3h 45ph = 4

15h

Vy 1 gi c hai vi chy c 1: 4

15=

15

4( b ) ( 2)

T (1) v (2) ta c h phng trnh x

1 +

y

1=

15

4

Mt khc ta bit nu chy mt mnh th vi sau chy lu hn vi trc 4 gi tc l y x = 4 Vy ta c h phng trnh

x

1 +

y

1=

15

4

y x = 4


www.vnmath.com 17

)(5,1

5,2

)(10

6

4

5,2

6

4

03072

4

060144

4

5

4

4

11 22

by

x

ay

x

xy

x

x

xy

xx

xy

xx

xy

xx

H (a) tho mn k ca n H (b) b loi v x < 0 Vy Vi u chy mt mnh y b trong 6 h Vi sau chy mt mnh y b trong 10 h

Bi tp 2: Hai ngi th cng lm mt cng vic . Nu lm ring r , mi ngi na vic th tng s gi lm vic l 12h 30ph . Nu hai ngi cng lm th hai ngi ch lm vic trong 6 gi. Nh vy , lm vic ring r c cng vic mi ngi mt bao nhiu thi gian ?

Gii Gi thi gian ngi th nht lm ring r xong na cng vic l x ( x > 0 ) Gi thi gian ngi th hai lm ring r xong na cng vic l y ( y > 0 )

Ta c pt : x + y = 122

1 ( 1 )

thi gian ngi th nht lm ring r xong cng vic l 2x => 1 gi ngi th nht lm c

x2

1cng vic

Gi thi gian ngi th hai lm ring r xong cng vic l 2y => 1 gi ngi th hai lm c

y2

1cng vic

1 gi c hai ngi lm c 6

1cng vic nn ta c pt :

x2

1+

y2

1=

6

1 (2)

T (1) v (2) ta c h pt :

5

2

15

2

15

5

6

1

2

1

2

1

2

112

y

x

y

x

yx

yx

Vy nu lm vic ring r c cng vic mt ngi lm trong 10 gi cn ngi kia lm trong 5 gi

Bi tp 3: Hai t thanh nin tnh nguyn cng sa mt con ng vo bn trong 4 gi th xong . Nu lm ring th t 1 lm nhanh hn t 2 6 gi . Hi mi i lm mt mnh th bao lu s xong vic ?

Gii Gi thi gian mt mnh t 1sa xong con ng l x( gi ) ( x 4 ) Thi gian mt mnh t 2 sa xong con ng l x + 6 ( gi )

Trong 1 gi t 1 sa c x

1( con ng )

Trong 1 gi t 2 sa c 6

1

x (con ng )

Trong 1 gi c hai t sa c 4

1 (con ng )

Vy ta c pt: x

1+

6

1

x =

4

1 0242)6(4)6(4 2 xxxxxx x1= 6; x2 = -4


www.vnmath.com 18

X2 = - 4 < 4 , khng tho mn iu kin ca n Vy mt mnh t 1 sa xong con ng ht 6 ngy mt mnh t 2 sa xong con ng ht 12 ngy

Bi tp 4: Hai i cng nhn lm mt on ng . i 1 lm xong mt na on ng th i 2 n lm tip na cn li vi thi gian di hn thi gian i 1 lm l 30 ngy . Nu hai i cng lm th trong 72 ngy xong c on ng .Hi mi i lm bao nhiu ngy trn on ng ny ?

Gii Gi thi gian i 1 lm l x ngy ( x > 0 ) th thi gian i 2 lm vic l x + 30 ( ngy )

Mi ngy i 1 lm c x2

1( on ng )

Mi ngy i 2 lm c )30(2

1

x( on ng )

Mi ngy c hai i lm c 72

1( on ng )

Vy ta c pt : x2

1+

)30(2

1

x=

72

1

Hay x2 -42x 1080 = 0

/ = 212 + 1080 = 1521 => / = 39

x1 = 21 + 39 = 60 ; x2 = 21- 39 = - 18 < 0 khng tho mn k ca n Vy i 1 lm trong 60 ngy , i 2 lm trong 90 ngy . Bi 5:

Hai i cng nhn trng rng phi hon thnh k hoch trong cng mt thi gian . i 1 phi trng 40 ha , i 2 phi trng 90 ha . i 1 hon thnh cng vic sm hn 2 ngy so vi k hoch .i 2 hon thnh mun hn 2 ngy so vi k hoch . Nu i 1 lm cng vic trong mt thi gian bng thi gian i 2 lm v i 2 lm trng thi gian bng i 1 lm th din tch trng c ca hai i bng nhau . Tnh thi gian mi i phi lm theo k hoch ?

Gii Gi thi gian mi i phi lm theo k hoch l x ( ngy ) , x > 0 Thi gian i 1 lm l x 2 ( ngy ) Thi gian i 2 lm l x + 2 ( ngy )

Mi ngy i 1 trng c 2

40

x (ha)

Mi ngy i 2 trng c 2

90

x (ha)

Nu i 1 lm trong x + 2 ngy th trng c 2

40

x(x + 2) (ha)

Nu i 2 lm trong x - 2 ngy th trng c 2

90

x(x - 2) (ha)

Theo u bi din tch rng trng dc ca hai i trong trng ny l bng nhau nn ta c pt:

2

40

x(x + 2) =

2

90

x(x - 2)

Hay 5x2 52x + 20 = 0


www.vnmath.com 19

/ = 262 5.20 = 576 , / = 24

x1 = 5

2426 = 10 ; x2 =

5

2

5

2426

x2 < 2 , khng tho mn k ca n Vy theo k hoch mi i phi lm vic 10 ngy .

Bi 6:(197/24 500 BT chn lc ) Hai ngi th cng lm mt cng vic trong 16 gi th xong . Nu ngi th nht lm trong 3 gi v ngi th hai lm trong 6 gi th h lm c 25% cng vic . Hi mi ngi lm cng vic trong my gi th xong .

Gii: Gi x , y ln lt l s gi ngi th nht ngi th hai mt mnh lm xong cng vic ( x > 0 , y > 0 )

Ta c h pt

28

24

4

163

16

111

y

x

yx

yx

Bi 7 : ( 198/24 500 BT chn lc )

Hai vi nc cng chy vo mt b khng cha nc th sau 6 gi y b . Nu vi th nht chy

trong 2 gi , vi th 2 chy trong 3 gi th c 5

2b . Hi mi vi chy mt mnh trong bao lu th

y b ?

Gii : Gi x , y ln lt l s gi vi th nht , vi th hai chy y b mt mnh ( x > 0 , y > 0 )

Ta c h pt

15

10

5

232

2

133

5

232

6

111

y

x

yx

yx

yx

yx

x = 10 , y = 15 tho mn k ca n . Vy vi th nht chy mt mnh mt 10 gi , vi th hai chy mt mnh mt 15 gi . Bi tp 8 ( 199/24 - 500 BT chn lc )

Hai ngi d nh lm mt cng vic trong 12 gi th xong . H lm vi nhau c 8 gi th ngi th nht ngh , cn ngi th hai vn tip tc lm . Do c gng tng nng sut gp i , nn ngi th hai lm xong cng vic cn li trong 3gi 20pht . Hi nu mi ngi th lm mt mnh vi nng sut d nh ban u th mt bao lu mi xong cng vic ni trn ? ( thi chuyn ton vng 1 tnh Khnh ho nm 2000 2001 )

Gii: Gi x , y ln lt l thi gian ngi th th nht v ngi th th hai lm xong cng vic vi nng sut d nh ban u .

Mt gi ngi th nht lm c x

1(cng vic )

Mt gi ngi th hai lm c y

1(cng vic )

Mt gi c hai ngi lm c 12

1(cng vic )


www.vnmath.com 20

Nn ta c pt : x

1 +

y

1=

12

1 (1)

trong 8 gi hai ngi lm c 8. 12

1=

3

2(cng vic )

Cng vic cn li l 1 - 3

2=

3

1( cng vic )

Nng sut ca ngi th hai khi lm mt mnh l 2.y

1=

y

2 (Cng vic )

M thi gian ngi th hai hon thnh cng vic cn li l 3

10(gi) nn ta c pt

3

1:

y

2=

3

10 hay

6

y=

3

10 (2)

T (1) v (2) ta c h pt :

1

x+

1

y=

1

12

y

6=

10

3

x=30

y=20

Vy theo d nh ngi th nht lm xong cng vic ht 30gi v ngi th hai ht 20 gi . Bi tp 9: ( 400 bai tp ton 9 )

Hai ngi A v B lm xong cng vic trng 72 gi , cn ngi A v C lm xong cng vic trong trong 63 gi v ngo B v C lm xong cng vic y trong 56 gi . Hi nu mi ngi lm mt mnh th trong bao lu th trong bao lu s lm xong cng vic >Nu ba ngi cng lm s hon thnh cng vic trong my gi ?

Gii :

Gi ngi A mt mnh lm xong cng vic trong x (gi ), x > 0 th mi gi lm c x

1( cng

vic).Ngi B mt mnh lm xong cng vic trong y (gi ), y > 0 th mi gi lm c y

1( cng

vic)Ngi C mt mnh lm xong cng vic trong z (gi ), z > 0 th mi gi lm c z

1( cng vic)

Ta c hpt :

4

5100

5

504

1264

504

1683

504

56

111

63

111

72

111

z

y

x

zy

zx

yx

Nu c ba ngi cng lm yh mi gi lm c x

1+

y

1+

z

1=

504

12( cng vic )

Vy c ba ngi cng lm s hon thnh cong vic trong 4212

504 (gi )

Bi tp 10: ( 258 /96 nng cao v chuyn )

Hai i cng nhn cng lm chung mt cng vic . Thi gian i I lm mt mnh xong cng vic t hn thi gian i II lm mt mnh xong cng vic l 4 gi . Tng thi gian ny gp 4,5 ln thi


www.vnmath.com 21

gian hai i cng lm chung xong cng vic . Hi mi i lm mt mnh th phi bao lu mi xong .

Gii : Gi thi gian i I lm mt mnh xong cng vic l x gi ( x > 0 ) Suy ra thi gian i II lm mt mnh xong cng vic l x + 4 gi

Trong 1 gi hai i lm chung c : )4(

42

4

11

xx

x

xx( cng vic )

Thi gian hai i lm chung xong cng vic l 42

)4(

x

xx(gi)

Vy ta c pt : 2x + 4 = 4,5 . 42

)4(

x

xx hay x2 + 4x 32 = 0 x1 = - 8 ( loi ) x2 = 4 ( tho mn iu

kin ca n ). Vy i I lm mt mnh xong cng vic ht 4 gi , i hai ht 8 gi . Bi 1:

Hai ngi th cng lm chung mt cng vic trong 7 gi 12 pht th xong. Nu ngi th nht lm

trong 5 gi v ngi th hai lm trong 6 gi th c hai ngi ch lm c 4

3 cng vic. Hi mt

ngi lm cng vic trong my gi th xong? Bi 2:

Nu vi A chy 2 gi v vi B chy trong 3 gi th c 5

4 h. Nu vi A chy trong 3 gi v vi B

chy trong 1 gi 30 pht th c 2

1 h. Hi nu chy mt mnh mI vi chy trong bao lu mi y

h. Bi 3:

Hai vi nc cng chy vo mt b th sau 6 gi y b. Nu mi vi chy mt mnh cho y b th vi II cn nhiu thi gian hn vi I l 5 gi. Tnh thi gian mi vi chy mt mnh y b?

Dng 3: Ton lin quan n t l phn trm. Bi 1:

Trong thng ging hai t sn xut c 720 chi tit my. Trong thng hai, t I vt mc 15%, t II vt mc 12% nn sn xut c 819 chi tit my. Tnh xem trong thng ging mi t sn xut c bao nhiu chi tit my?.

Bi 2: Nm ngoi tng s dn ca hai tnh A v B l 4 triu ngi. Dn s tnh A nm nay tng 1,2%, cn tnh B tng 1,1%. Tng s dn ca c hai tnh nm nay l 4 045 000 ngi. Tnh s dn ca mi tnh nm ngoi v nm nay?

Dng 4: Ton c ni dung hnh hc. Bi 1:

Mt khu vn hnh ch nht c chu vi l 280 m. Ngi ta lm li i xung quanh vn (thuc t trong vn) rng 2 m. Tnh kch thc ca vn, bit rng t cn li trong vn trng trt l 4256 m2.

Bi 2:

Cho mt hnh ch nht. Nu tng chiu di ln 10 m, tng chiu rng ln 5 m th din tch tng 500 m2. Nu gim chiu di 15 m v gim chiu rng 9 m th din tch gim 600 m2. Tnh chiu di, chiu rng ban u.

Bi 3:


www.vnmath.com 22

Cho mt tam gic vung. Nu tng cc cnh gc vung ln 2 cm v 3 cm th din tch tam gic tng 50 cm2. Nu gim c hai cnh i 2 cm th din tch s gim i 32 cm2. Tnh hai cnh gc vung.

Dng 5: Ton v tm s. Bi 1:

Tm mt s t nhin c hai ch s, tng cc ch s bng 11, nu i ch hai ch s hng chc v hng n v cho nhau th s tng thm 27 n v.

Bi 2:

Tm mt s c hai ch s, bit rng s gp 7 ln ch s hng n v ca n v nu s cn tm chia cho tng cc ch s ca n th c thng l 4 v s d l 3.

Bi 3:

Nu t s ca mt phn s c tng gp i v mu s thm 8 th gi tr ca phn s bng 4

1. Nu t

s thm 7 v mu s tng gp 3 th gi tr phn s bng 24

5. Tm phn s .

Bi 4:

Nu thm 4 vo t v mu ca mt phn s th gi tr ca phn s gim 1. Nu bt 1 vo c t v

mu, phn s tng 2

3. Tm phn s .

Ch 6: PHNG TRNH QUY V PHNG TRNH BC HAI. Dng 1: Phng trnh c n s mu. Gii cc phng trnh sau:

1t

5t2tt

1t

t c)

12x

3x3

x

12x b)

61x

3x

2x

x a)

22

Dng 2: Phng trnh cha cn thc.

2BA

0BBALoi

BA

0)(hayB 0ABALoi

Gii cc phng trnh sau:

3xx1x e)

9x32x1x d) 1x53x2x c)

145x3x2x b) 1x113x2x a)

2

2

2222

Dng 3: Phng trnh cha du gi tr tuyt i. Gii cc phng trnh sau:


www.vnmath.com 23

3x44xx1x d) 4x xxx22xx c)

32xx12x2x b) 3xx1x a)

224224

22

Dng 4: Phng trnh trng phng. Gii cc phng trnh sau:

a) 4x4 + 7x2 2 = 0 ; b) x4 13x2 + 36 = 0; c) 2x4 + 5x2 + 2 = 0 ; d) (2x + 1)4 8(2x + 1)2 9 = 0.

Dng 5: Phng trnh bc cao. Gii cc phng trnh sau bng cch a v dng tch hoc t n ph a v phng trnh bc hai:

Bi 1:

a) 2x3 7x2 + 5x = 0 ; b) 2x3 x2 6x + 3 = 0 ; c) x4 + x3 2x2 x + 1 = 0 ; d) x4 = (2x2 4x + 1)2.

Bi 2:

a) (x2 2x)2 2(x2 2x) 3 = 0 c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 = 0

7.3xx53xxk) 63x2x

13x

35x2x

2x i)

0x

4

3

x10

x

48

3

xh) 02433x2x513x2x3 g)

064xx104xx

21f) 04

5xx

3x

x

5xx e)

023x

1x16

x

1x4 d) 03xx2x xc)

22

22

2

2222

2

22

2

2

222

Bi 3:

a) 6x5 29x4 + 27x3 + 27x2 29x +6 = 0 b) 10x4 77x3 + 105x2 77x + 10 = 0 c) (x 4,5)4 + (x 5,5)4 = 1 d) (x2 x +1)4 10x2(x2 x + 1)2 + 9x4 = 0

Bi tp v nh: Gii cc phng trnh sau:

823xx

22x

9x

32xxd)

4x

2xx

4

22xc)

6x

3x

1x

4xb)

4

1

1x

3

1x2

1a) 1.

2

2

2

2

2

2.

a) x4 34x2 + 225 = 0 b) x4 7x2 144 = 0 c) 9x4 + 8x2 1 = 0 d) 9x4 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = 0 e) a2x4 (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = 0 (a 0)

3.

a) (2x2 5x + 1)2 (x2 5x + 6)2 = 0 b) (4x 7)(x2 5x + 4)(2x2 7x + 3) = 0 c) (x3 4x2 + 5)2 = (x3 6x2 + 12x 5)2 d) (x2 + x 2)2 + (x 1)4 = 0 e) (2x2 x 1)2 + (x2 3x + 2)2 = 0


www.vnmath.com 24

4.

a) x4 4x3 9(x2 4x) = 0 b) x4 6x3 + 9x2 100 = 0 c) x4 10x3 + 25x2 36 = 0 d) x4 25x2 + 60x 36 = 0

5.

a) x3 x2 4x + 4 = 0 b) 2x3 5x2 + 5x 2 = 0 c) x3 x2 + 2x 8 = 0 d) x3 + 2x2 + 3x 6 = 0 e) x3 2x2 4x 3 = 0

6.

a) (x2 x)2 8(x2 x) + 12 = 0 b) (x4 + 4x2 + 4) 4(x2 + 2) 77 = 0

c) x2 4x 10 - 3 6x2x = 0 d) 032x

12x4

2x

12x2

e) 5x5xx5x 7.

a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 5

c) 026x

1x16

x

1x3

2

2

d) 02

x

1x7

x

1x2

2

2

8.

1xx1xx f) 3x2x14x4x e)

2x43xx d) 2x16x2x c)

1x9x2x b) 14x4xx a)

32322

32

22

9. nh a cc phng trnh sau c 4 nghim a) x4 4x2 + a = 0 b) 4y4 2y2 + 1 2a = 0 c) 2t4 2at2 + a2 4 = 0.

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com

www.vnmath.com


www.vnmath.com 25

Phn II: HNH HC PHN HNH HC

H THNG L THUYT H THNG BI TP 1.H THC LNG TRONG TAM GIC VUNG

T S LNG GIC CA GC NHN

A.KIN THC C BN 1.nh l Pitago

ABC vung ti A 2 2 2AB AC BC 2.H thc lng trong tam gic vung

BH

C

A

1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC

2) AB.AC = AH.BC

3) AH2 = BH.HC

4) 2 2 2

1 1 1

AH AB AC

Kt qu:

-Vi tam gic u cnh l a, ta c:

2a 3 a 3h ; S

2 4

3.T s lng gic ca gc nhn

t ACB ; ABC khi :

AB AH AC HC AB AH AC HC

sin ; cos ; tg ; cot gBC AC BC AC AC HC AB AH

b asin B acosC ctgB ccot gC

c acosB asinC bctgB btgC

Kt qu suy ra:

1) sin cos ; cos sin ; tg cotg ; cotg tg

sin cos2) 0 sin 1; 0 cos


www.vnmath.com 26

1.Tam gic bng nhau

a) Khi nim: A A'; B B'; C C'

ABC A'B'C' khiAB A'B'; BC B'C'; AC A'C'

b) Cc trng hp bng nhau ca hai tam gic: c.c.c; c.g.c; g.c.g. c) Cc trng hp bng nhau ca hai tam gic vung: hai cnh gc vung; cnh huyn v mt cnh gc vung; cnh huyn v mt gc nhn. d) H qu: Hai tam gic bng nhau th cc ng cao; cc ng phn gic; cc ng trung tuyn tng ng bng nhau.

2.Chng minh hai gc bng nhau -Dng hai tam gic bng nhau hoc hai tam gic ng dng, hai gc ca tam gic cn, u; hai gc ca hnh thang cn, hnh bnh hnh, -Dng quan h gia cc gc trung gian vi cc gc cn chng minh. -Dng quan h cc gc to bi cc ng thng song song, i nh. -Dng mi quan h ca cc gc vi ng trn.(Chng minh 2 gc ni tip cng chn mt cung hoc hai cung bng nhau ca mt ng trn, )

3.Chng minh hai on thng bng nhau -Dng on thng trung gian. -Dng hai tam gic bng nhau. -ng dng tnh cht c bit ca tam gic cn, tam gic u, trung tuyn ng vi cnh huyn ca tam gic vung, hnh thang cn, hnh ch nht, -S dng cc yu t ca ng trn: hai dy cung ca hai cung bng nhau, hai ng knh ca mt ng trn, -Dng tnh cht ng trung bnh ca tam gic, hnh thang,

4.Chng minh hai ng thng, hai on thng song song -Dng mi quan h gia cc gc: So le bng nhau, ng v bng nhau, trong cng pha b nhau, -Dng mi quan h cng song song, vung gc vi ng thng th ba. -p dng nh l o ca nh l Talet. -p dng tnh cht ca cc t gic c bit, ng trung bnh ca tam gic. -Dng tnh cht hai dy chn gia hai cung bng nhau ca mt ng trn.

5.Chng minh hai ng thng vung gc -Chng minh chng song song vi hai ng vung gc khc. -Dng tnh cht: ng thng vung gc vi mt trong hai ng thng song song th vung gc vi ng thng cn li. -Dng tnh cht ca ng cao v cnh i din trong mt tam gic. -ng knh i qua trung im ca dy. -Phn gic ca hai gc k b nhau.

6.Chng minh ba im thng hng -Dng tin clit: Nu AB//d; BC//d th A, B, C thng hng. -p dng tnh cht cc im c bit trong tam gic: trng tm, trc tm, tm ng trn ngoi tip, -Chng minh 2 tia to bi ba im to thnh gc bt: Nu gc ABC bng 1800 th A, B, C thng hng.

-p dng tnh cht: Hai gc bng nhau c hai cnh nm trn mt ng thng v hai cnh kia nm trn hai na mt phng vi b l ng thng trn. -Chng minh AC l ng knh ca ng trn tm B.


www.vnmath.com 27

7.Chng minh cc ng thng ng quy -p dng tnh cht cc ng ng quy trong tam gic. -Chng minh cc ng thng cng i qua mt im: Ta ch ra hai ng thng ct nhau ti mt im v chng minh ng thng cn li i qua im . -Dng nh l o ca nh l Talet.

3.CHNG MINH HAI TAM GIC NG DNG H THC HNH HC

A.KIN THC C BN 1.Tam gic ng dng

-Khi nim:

A A'; B B'; C C'

ABC A'B'C' khi AB AC BC

A'B' A'C' B'C'

-Cc trng hp ng dng ca hai tam gic: c c c; c g c; g g. -Cc trng hp ng dng ca hai tam gic vung: gc nhn; hai cnh gc vung; cnh huyn - cnh gc vung *Tnh cht: Hai tam gic ng dng th t s hai ng cao, hai ng phn gic, hai ng trung tuyn tng ng, hai chu vi bng t s ng dng; t s hai din tich bng bnh phng t s ng dng.

2.Phng php chng minh h thc hnh hc -Dng nh l Talet, tnh cht ng phn gic, tam gic ng dng, cc h thc lng trong tam gic vung,

Gi s cn chng minh MA.MB = MC.MD -Chng minh hai tam gic MAC v MDB ng dng hoc hai tam gic MAD v MCB. -Trong trng hp 5 im cng nm trn mt ng thng th cn chng minh cc tch trn cng bng tch th ba. Nu cn chng minh MT2 = MA.MB th chng minh hai tam gic MTA v MBT ng dng hoc so snh vi tch th ba. Ngoi ra cn ch n vic s dng cc h thc trong tam gic vung; phng tch ca mt im vi ng trn.

4.CHNG MINH T GIC NI TIP A.KIN THC C BN Phng php chng minh -Chng minh bn nh ca t gic cng cch u mt im.

-Chng minh t gic c hai gc i din b nhau. -Chng minh hai nh cng nhn on thng to bi hai im cn li hai gc bng nhau. -Chng minh tng ca gc ngoi ti mt nh vi gc trong i din b nhau. -Nu MA.MB = MC.MD hoc NA.ND = NC.NB th t gic ABCD nt tip. (Trong M AB CD; N AD BC )

-Nu PA.PC = PB.PD th t gic ABCD ni tip. (Trong P AC BD ) -Chng minh t gic l hnh thang cn; hnh ch nht; hnh vung; Nu cn chng minh cho nhiu im cng thuc mt ng trn ta c th chng minh ln lt 4 im mt lc. Song cn ch tnh cht Qua 3 im khng thng hng xc nh duy nht mt ng trn B. BI TP TNG HP:


www.vnmath.com 28

Bi 1. Cho tam gic ABC c ba gc nhn ni tip ng trn (O). Cc ng cao AD, BE, CF ct nhau ti

H v ct ng trn (O) ln lt ti M,N,P. Chng minh rng:

1. T gic CEHD, ni tip . 2. Bn im B,C,E,F cng nm trn mt ng trn. 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. 4. H v M i xng nhau qua BC. 5. Xc nh tm ng trn ni tip tam gic DEF.

Li gii: 1. Xt t gic CEHD ta c:

CEH = 900 ( V BE l ng cao)

CDH = 900 ( V AD l ng cao)

=> CEH + CDH = 1800

H

( (

2

-

- 2 1

1

1 P

N

F

E

M

D C B

A

O

M CEH v CDH l hai gc i ca t gic CEHD , Do CEHD l t gic ni tip

2. Theo gi thit: BE l ng cao => BE AC => BEC = 900.

CF l ng cao => CF AB => BFC = 900. Nh vy E v F cng nhn BC di mt gc 900 => E v F cng nm trn ng trn ng

knh BC.

Vy bn im B,C,E,F cng nm trn mt ng trn.

3. Xt hai tam gic AEH v ADC ta c: AEH = ADC = 900 ; l gc chung

=> AEH ADC => AC

AH

AD

AE => AE.AC = AH.AD.

* Xt hai tam gic BEC v ADC ta c: BEC = ADC = 900 ; C l gc chung

=> BEC ADC => AC

BC

AD

BE => AD.BC = BE.AC.

4. Ta c C1 = A1 ( v cng ph vi gc ABC)

C2 = A1 ( v l hai gc ni tip cng chn cung BM)

=> C1 = C2 => CB l tia phn gic ca gc HCM; li c CB HM => CHM cn ti C => CB cng l ng trung trc ca HM vy H v M i xng nhau qua BC. 5. Theo chng minh trn bn im B,C,E,F cng nm trn mt ng trn

=> C1 = E1 ( v l hai gc ni tip cng chn cung BF) Cng theo chng minh trn CEHD l t gic ni tip

C1 = E2 ( v l hai gc ni tip cng chn cung HD) E1 = E2 => EB l tia phn gic ca gc FED.

Chng minh tng t ta cng c FC l tia phn gic ca gc DFE m BE v CF ct nhau ti H do H l tm ng trn ni tip tam gic DEF. Bi 2. Cho tam gic cn ABC (AB = AC), cc ng cao AD, BE, ct nhau ti H. Gi O l tm ng trn ngoi tip tam gic AHE.

1. Chng minh t gic CEHD ni tip . 2. Bn im A, E, D, B cng nm trn mt ng

trn.

3. Chng minh ED = 2

1BC.

4. Chng minh DE l tip tuyn ca ng trn (O).

5. Tnh di DE bit DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.


www.vnmath.com 29

Li gii: 1. Xt t gic CEHD ta c:

CEH = 900 ( V BE l ng cao)

H

1

3

2

1

1

O

E

D C B

A

CDH = 900 ( V AD l ng cao)

=> CEH + CDH = 1800

M CEH v CDH l hai gc i ca t gic CEHD , Do CEHD l t gic ni tip

2. Theo gi thit: BE l ng cao => BE AC => BEA = 900.

AD l ng cao => AD BC => BDA = 900. Nh vy E v D cng nhn AB di mt gc 900 => E v D cng nm trn ng trn ng knh AB.

Vy bn im A, E, D, B cng nm trn mt ng trn. 3. Theo gi thit tam gic ABC cn ti A c AD l ng cao nn cng l ng trung tuyn

=> D l trung im ca BC. Theo trn ta c BEC = 900 .

Vy tam gic BEC vung ti E c ED l trung tuyn => DE = 2

1BC.

4. V O l tm ng trn ngoi tip tam gic AHE nn O l trung im ca AH => OA = OE =>

tam gic AOE cn ti O => E1 = A1 (1).

Theo trn DE = 2

1BC => tam gic DBE cn ti D => E3 = B1 (2)

M B1 = A1 ( v cng ph vi gc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3

M E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE OE ti E. Vy DE l tip tuyn ca ng trn (O) ti E.

5. Theo gi thit AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. p dng nh l Pitago cho tam gic OED vung ti E ta c ED2 = OD2 OE2 ED2 = 52 32 ED = 4cm Bi 3 Cho na ng trn ng knh AB = 2R. T A v B k hai tip tuyn Ax, By. Qua im M thuc na ng trn k tip tuyn th ba ct cc tip tuyn Ax , By ln lt C v D. Cc ng thng AD v BC ct nhau ti N.

1. Chng minh AC + BD = CD.

2. Chng minh COD = 900.

3.Chng minh AC. BD = 4

2AB.

4.Chng minh OC // BM 5.Chng minh AB l tip tuyn ca ng trn ng knh CD.

5.Chng minh MN AB. 6.Xc nh v tr ca M chu vi t gic ACDB t gi tr nh nht.

Li gii:

/

/

y

x

N C

D

I M

B O A


www.vnmath.com 30

1. Theo tnh cht hai tip tuyn ct nhau ta c: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. M CM + DM = CD => AC + BD = CD

2. Theo tnh cht hai tip tuyn ct nhau ta c: OC l tia phn gic ca gc AOM; OD l tia

phn gic ca gc BOM, m AOM v BOM l hai gc k b => COD = 900.

3. Theo trn COD = 900 nn tam gic COD vung ti O c OM CD ( OM l tip tuyn ). p dng h thc gia cnh v ng cao trong tam gic vung ta c OM2 = CM. DM,

M OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = 4

2AB.

4. Theo trn COD = 900 nn OC OD .(1) Theo tnh cht hai tip tuyn ct nhau ta c: DB = DM; li c OM = OB =R => OD l trung

trc ca BM => BM OD .(2). T (1) V (2) => OC // BM ( V cng vung gc vi OD). 5. Gi I l trung im ca CD ta c I l tm ng trn ngoi tip tam gic COD ng knh

CD c IO l bn knh.

Theo tnh cht tip tuyn ta c AC AB; BD AB => AC // BD => t gic ACDB l hnh thang. Li c I l trung im ca CD; O l trung im ca AB => IO l ng trung bnh ca hnh thang ACDB

IO // AC , m AC AB => IO AB ti O => AB l tip tuyn ti O ca ng trn ng knh CD

6. Theo trn AC // BD => BD

AC

BN

CN , m CA = CM; DB = DM nn suy ra

DM

CM

BN

CN

=> MN // BD m BD AB => MN AB. 7. ( HD): Ta c chu vi t gic ACDB = AB + AC + CD + BD m AC + BD = CD nn suy

ra chu vi t gic ACDB = AB + 2CD m AB khng i nn chu vi t gic ACDB nh nht khi CD nh nht , m CD nh nht khi CD l khong cch gi Ax v By tc l CD vung gc vi Ax v By. Khi CD // AB => M phi l trung im ca cung AB. Bi 4 Cho tam gic cn ABC (AB = AC), I l tm ng trn ni tip, K l tm ng trn bng tip gc A , O l trung im ca IK.

1. Chng minh B, C, I, K cng nm trn mt ng trn. 2. Chng minh AC l tip tuyn ca ng trn (O). 3. Tnh bn knh ng trn (O) Bit AB = AC = 20 Cm, BC =

24 Cm.

Li gii: (HD) 1. V I l tm ng trn ni tip, K l tm ng trn bng

tip gc A nn BI v BK l hai tia phn gic ca hai gc k b nh B

Do BI BK hayIBK = 900 .

Tng t ta cng c ICK = 900 nh vy B v C cng nm trn ng trn ng knh IK do B, C, I, K cng nm trn mt ng trn.

2. Ta c C1 = C2 (1) ( v CI l phn gic ca gc ACH.

C2 + I1 = 900

(2) ( v IHC = 900 ).

o

1 2

1

H

I

C

A

B

K

I1 = ICO (3) ( v tam gic OIC cn ti O)

T (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 900 hay AC OC. Vy AC l tip tuyn ca ng trn (O). 3. T gi thit AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm.


www.vnmath.com 31

AH2 = AC2 HC2 => AH = 22 1220 = 16 ( cm)

CH2 = AH.OH => OH = 16

1222

AH

CH = 9 (cm)

OC = 225129 2222 HCOH = 15 (cm)

Bi 5 Cho ng trn (O; R), t mt im A trn (O) k tip tuyn d vi (O). Trn ng thng d ly im M bt k ( M khc A) k ct tuyn MNP v gi K l trung im ca NP, k tip tuyn

MB (B l tip im). K AC MB, BD MA, gi H l giao im ca AC v BD, I l giao im ca OM v AB.

1. Chng minh t gic AMBO ni tip. 2. Chng minh nm im O, K, A, M, B cng nm trn mt

ng trn . 3. Chng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 4. Chng minh OAHB l hnh thoi. 5. Chng minh ba im O, H, M thng hng. 6. Tm qu tch ca im H khi M di chuyn trn ng

thng d

Li gii: 1. (HS t lm).

2. V K l trung im NP nn OK NP ( quan h ng knh

d

H I

K

N

P

M

D

C

B

A

O

V dy cung) => OKM = 900. Theo tnh cht tip tuyn ta c OAM = 900; OBM = 900. nh vy K, A, B cng nhn OM di mt gc 900 nn cng nm trn ng trn ng knh OM.

Vy nm im O, K, A, M, B cng nm trn mt ng trn. 3. Ta c MA = MB ( t/c hai tip tuyn ct nhau); OA = OB = R

=> OM l trung trc ca AB => OM AB ti I .

Theo tnh cht tip tuyn ta c OAM = 900 nn tam gic OAM vung ti A c AI l ng cao.

p dng h thc gia cnh v ng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; v OI. IM = IA2.

4. Ta c OB MB (tnh cht tip tuyn) ; AC MB (gt) => OB // AC hay OB // AH.

OA MA (tnh cht tip tuyn) ; BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => T gic OAHB l hnh bnh hnh; li c OA = OB (=R) => OAHB l hnh thoi.

5. Theo trn OAHB l hnh thoi. => OH AB; cng theo trn OM AB => O, H, M thng hng( V qua O ch c mt ng thng vung gc vi AB).

6. (HD) Theo trn OAHB l hnh thoi. => AH = AO = R. Vy khi M di ng trn d th H cng di ng nhng lun cch A c nh mt khong bng R. Do qu tch ca im H khi M di chuyn trn ng thng d l na ng trn tm A bn knh AH = R

Bi 6 Cho tam gic ABC vung A, ng cao AH. V ng trn tm A bn knh AH. Gi HD l ng knh ca ng trn (A; AH). Tip tuyn ca ng trn ti D ct CA E.

1. Chng minh tam gic BEC cn. 2. Gi I l hnh chiu ca A trn BE, Chng minh rng AI =

AH.

3. Chng minh rng BE l tip tuyn ca ng trn (A; AH).

4. Chng minh BE = BH + DE. Li gii: (HD)


www.vnmath.com 32

1. AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) v AE = AC (2).

V AB CE (gt), do AB va l ng cao va l ng trung tuyn

ca BEC => BEC l tam gic cn. => B1 = B2

2 1

I

E

H

D

C

A

B

2. Hai tam gic vung ABI v ABH c cnh huyn AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB =>

AI = AH.

3. AI = AH v BE AI ti I => BE l tip tuyn ca (A; AH) ti I. 4. DE = IE v BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED

Bi 7 Cho ng trn (O; R) ng knh AB. K tip tuyn Ax v ly trn tip tuyn mt im P sao

cho AP > R, t P k tip tuyn tip xc vi (O) ti M. 1. Chng minh rng t gic APMO ni tip c mt

ng trn. 2. Chng minh BM // OP. 3. ng thng vung gc vi AB O ct tia BM ti N. Chng minh t gic OBNP l hnh bnh hnh. 4. Bit AN ct OP ti K, PM ct ON ti I; PN v OM ko di ct nhau ti J. Chng minh I, J, K thng hng.

Li gii: 1. (HS t lm).

2.Ta c ABM ni tip chn cung AM; AOM l gc tm

chn cung AM => ABM = 2

AOM(1) OP l tia phn gic

AOM ( t/c hai tip tuyn ct nhau ) => AOP = 2

AOM (2)

T (1) v (2) => ABM = AOP (3)

X

( (

2

1

1 1

K

I

J

M

N P

A B O

M ABM v AOP l hai gc ng v nn suy ra BM // OP. (4)

3.Xt hai tam gic AOP v OBN ta c : PAO=900 (v PA l tip tuyn ); NOB = 900 (gt NOAB).

=> PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5)

T (4) v (5) => OBNP l hnh bnh hnh ( v c hai cnh i song song v bng nhau).

4. T gic OBNP l hnh bnh hnh => PN // OB hay PJ // AB, m ON AB => ON PJ

Ta cng c PM OJ ( PM l tip tuyn ), m ON v PM ct nhau ti I nn I l trc tm tam gic POJ. (6)

D thy t gic AONP l hnh ch nht v c PAO = AON = ONP = 900 => K l trung im ca PO ( t/c ng cho hnh ch nht). (6)

AONP l hnh ch nht => APO = NOP ( so le) (7)

Theo t/c hai tip tuyn ct nhau Ta c PO l tia phn gic APM => APO = MPO (8).

T (7) v (8) => IPO cn ti I c IK l trung tuyn ng thi l ng cao => IK PO. (9) T (6) v (9) => I, J, K thng hng.


www.vnmath.com 33

Bi 8 Cho na ng trn tm O ng knh AB v im M bt k trn na ng trn ( M khc A,B). Trn na mt phng b AB cha na ng trn k tip tuyn Ax. Tia BM ct Ax ti I; tia phn gic ca gc IAM ct na ng trn ti E; ct tia BM ti F tia BE ct Ax ti H, ct AM ti K.

1) Chng minh rng: EFMK l t gic ni tip. 2) Chng minh rng: AI2 = IM . IB. 3) Chng minh BAF l tam gic cn. 4) Chng minh rng : T gic AKFH l hnh thoi. 5) Xc nh v tr M t gic AKFI ni tip c mt ng

trn.

Li gii:

1. Ta c : AMB = 900 ( ni tip chn na ng trn )

=> KMF = 900 (v l hai gc k b).

AEB = 900 ( ni tip chn na ng trn )

=> KEF = 900 (v l hai gc k b).

=> KMF + KEF = 1800 . M KMF v KEF l hai gc i ca t gic EFMK do EFMK l t gic ni tip.

X

2 1

2 1

E

K

I

H

F

M

B O A

2. Ta c IAB = 900 ( v AI l tip tuyn ) => AIB vung ti A c AM IB ( theo trn). p dng h thc gia cnh v ng cao => AI2 = IM . IB.

3. Theo gi thit AE l tia phn gic gc IAM => IAE = MAE => AE = ME (l do )

=> ABE =MBE ( hai gc ni tip chn hai cung bng nhau) => BE l tia phn gic gc ABF. (1)

Theo trn ta c AEB = 900 => BE AF hay BE l ng cao ca tam gic ABF (2). T (1) v (2) => BAF l tam gic cn. ti B .

4. BAF l tam gic cn. ti B c BE l ng cao nn ng thi l ng trung tuyn => E l trung im ca AF. (3)

T BE AF => AF HK (4), theo trn AE l tia phn gic gc IAM hay AE l tia phn gic HAK (5)

T (4) v (5) => HAK l tam gic cn. ti A c AE l ng cao nn ng thi l ng trung tuyn => E l trung im ca HK. (6). T (3) , (4) v (6) => AKFH l hnh thoi ( v c hai ng cho vung gc vi nhau ti trung im ca mi ng).

5. (HD). Theo trn AKFH l hnh thoi => HA // FK hay IA // FK => t gic AKFI l hnh thang. t gic AKFI ni tip c mt ng trn th AKFI phi l hnh thang cn. AKFI l hnh thang cn khi M l trung im ca cung AB.

Tht vy: M l trung im ca cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c gc ni tip ). (7)

Tam gic ABI vung ti A c ABI = 450 => AIB = 450 .(8)

T (7) v (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI l hnh thang cn (hnh thang c hai gc y bng nhau).

Vy khi M l trung im ca cung AB th t gic AKFI ni tip c mt ng trn. Bi 9 Cho na ng trn (O; R) ng knh AB. K tip tuyn Bx v ly hai im C v D thuc na ng trn. Cc tia AC v AD ct Bx ln lt E, F (F gia B v E).

1. Chng minh AC. AE khng i.

2. Chng minh ABD = DFB. 3. Chng minh rng CEFD l t gic ni tip.


www.vnmath.com 34

Li gii:

1. C thuc na ng trn nn ACB = 900 ( ni tip chn na ng

trn ) => BC AE.

ABE = 900 ( Bx l tip tuyn ) => tam gic ABE vung ti B c BC l ng cao => AC. AE = AB2 (h thc gia cnh v ng cao ), m AB l ng knh nn AB = 2R khng i do AC. AE khng i.

2. ADB c ADB = 900 ( ni tip chn na ng trn ).

=> ABD + BAD = 900 (v tng ba gc ca mt tam gic bng 1800)(1)

ABF c ABF = 900 ( BF l tip tuyn ).

=> AFB + BAF = 900 (v tng ba gc ca mt tam gic bng 1800) (2)

T (1) v (2) => ABD = DFB ( cng ph vi BAD)

D

C

A O B

F

E

X

3. T gic ACDB ni tip (O) => ABD + ACD = 1800 .

ECD + ACD = 1800 ( V l hai gc k b) => ECD = ABD ( cng b vi ACD).

Theo trn ABD = DFB => ECD = DFB. M EFD + DFB = 1800 ( V l hai gc k

b) nn suy ra ECD + EFD = 1800, mt khc ECD v EFD l hai gc i ca t gic CDFE do t gic CEFD l t gic ni tip.

Bi 10 Cho ng trn tm O ng knh AB v im M bt k trn na ng trn sao cho AM < MB. Gi M l im i xng ca M qua AB v S l giao im ca hai tia BM, MA. Gi P l chn ng vung gc t S n AB.

1.Gi S l giao im ca MA v SP. Chng minh rng PSM cn. 2.Chng minh PM l tip tuyn ca ng trn .

Li gii:

1. Ta c SP AB (gt) => SPA = 900 ; AMB = 900 ( ni tip

chn na ng trn ) => AMS = 900 . Nh vy P v M cng nhn AS di mt gc bng 900 nn cng nm trn ng trn ng knh AS.

Vy bn im A, M, S, P cng nm trn mt ng trn. 2. V Mi xng M qua AB m M nm trn ng trn nn M cng nm trn ng trn => hai cung AM v AM c s o bng nhau

3

( )

4

3

1

1

) (

1 2

2

1

1

H O

S'

M'

M

A B

S

P

=> AMM = AMM ( Hai gc ni tip chn hai cung bng nhau) (1)

Cng v Mi xng M qua AB nn MM AB ti H => MM// SS ( cng vung gc vi AB)

=> AMM = ASS; AMM = ASS (v so le trong) (2).

=> T (1) v (2) => ASS = ASS.


www.vnmath.com 35

Theo trn bn im A, M, S, P cng nm trn mt / trn => ASP=AMP (ni tip cng chn AP )

=> ASP = AMP => tam gic PMS cn ti P.

3. Tam gic SPB vung ti P; tam gic SMS vung ti M => B1 = S1 (cng ph vi S). (3)

Tam gic PMS cn ti P => S1 = M1 (4)

Tam gic OBM cn ti O ( v c OM = OB =R) => B1 = M3 (5).

T (3), (4) v (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 m M3 + M2 = AMB =

900 nn suy ra M1 + M2 = PMO = 900 => PM OM ti M => PM l tip tuyn ca ng trn ti M

Bi 11. Cho tam gic ABC (AB = AC). Cnh AB, BC, CA tip xc vi ng trn (O) ti cc im D, E, F . BF ct (O) ti I , DI ct BC ti M. Chng minh :

1. Tam gic DEF c ba gc nhn.

2. DF // BC. 3. T gic BDFC ni tip. 4. CF

BM

CB

BD

Li gii: 1. (HD) Theo t/c hai tip tuyn ct nhau ta c AD = AF => tam gic ADF

cn ti A => ADF = AFD < 900 => s cung DF < 1800 => DEF < 900 ( v gc DEF ni tip chn cung DE).

Chng minh tng t ta c DFE < 900; EDF < 900. Nh vy tam gic DEF c ba gc nhn.

2. Ta c AB = AC (gt); AD = AF (theo trn) => AD AF

AB AC => DF // BC.

3. DF // BC => BDFC l hnh thang li c B = C (v tam gic ABC cn) => BDFC l hnh thang cn do BDFC ni tip c mt ng trn .

M

I

O

F

E

D

C B

A

4. Xt hai tam gic BDM v CBF Ta c DBM = BCF ( hai gc y ca tam gic cn).

BDM = BFD (ni tip cng chn cung DI); CBF = BFD (v so le) => BDM = CBF .

=> BDM CBF => CF

BM

CB

BD

Bi 12 Cho ng trn (O) bn knh R c hai ng knh AB v CD vung gc vi nhau. Trn on thng AB ly im M (M khc O). CM ct (O) ti N. ng thng vung gc vi AB ti M ct tip tuyn ti N ca ng trn P. Chng minh :

1. T gic OMNP ni tip. 2. T gic CMPO l hnh bnh hnh. 3. CM. CN khng ph thuc vo v tr ca im M. 4. Khi M di chuyn trn on thng AB th P chy trn on

thng c nh no.

Li gii:

1. Ta c OMP = 900 ( v PM AB ); ONP = 900 (v NP l tip tuyn ).

Nh vy M v N cng nhn OP di mt gc bng 900 => M v N cng nm trn ng trn ng knh OP => T gic OMNP ni tip. 2. T gic OMNP ni tip

=> OPM = ONM (ni tip chn cung OM) Tam gic ONC cn ti O v c


www.vnmath.com 36

ON = OC = R => ONC = OCN

B' A'

O

P

N

M

D

B A

C

=> OPM = OCM.

Xt hai tam gic OMC v MOP ta c MOC = OMP = 900; OPM = OCM

=> CMO = POM li c MO l cnh chung => OMC = MOP => OC = MP. (1)

Theo gi thit Ta c CD AB; PM AB => CO//PM (2). T (1) v (2) => T gic CMPO l hnh bnh hnh.

3. Xt hai tam gic OMC v NDC ta c MOC = 900 ( gt CD AB); DNC = 900 (ni tip chn na

ng trn ) => MOC =DNC = 900 li c C l gc chung => OMC NDC

=> CM CO

CD CN => CM. CN = CO.CD m CO = R; CD = 2R nn CO.CD = 2R2 khng i => CM.CN

=2R2 khng i hay tch CM. CN khng ph thuc vo v tr ca im M.

4. ( HD) D thy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chy trn ng thng c nh vung gc vi CD ti D. V M ch chy trn on thng AB nn P ch chy trn don thng A B song song v bng AB. Bi 13 Cho tam gic ABC vung A (AB > AC), ng cao AH. Trn na mt phng b BC cha in A , V na ng trn ng knh BH ct AB ti E, Na ng trn ng knh HC ct AC ti F.

1. Chng minh AFHE l hnh ch nht. 2. BEFC l t gic ni tip. 3. AE. AB = AF. AC. 4. Chng minh EF l tip tuyn chung ca hai na ng trn .

Li gii:

1. Ta c : BEH = 900 ( ni tip chn nc ng trn )

=> AEH = 900 (v l hai gc k b). (1)

CFH = 900 ( ni tip chn nc ng trn )

=> AFH = 900 (v l hai gc k b).(2)

EAF = 900 ( V tam gic ABC vung ti A) (3)

(

) 1

2

2 1 1 I

F

E

O 2 O 1 H C B

A

1

T (1), (2), (3) => t gic AFHE l hnh ch nht ( v c ba gc vung).

2. T gic AFHE l hnh ch nht nn ni tip c mt ng trn =>F1=H1 (ni tip

chn cung AE) . Theo gi thit AH BC nn AH l tip tuyn chung ca hai na ng trn (O1) v (O2)

=> B1 = H1 (hai gc ni tip cng chn cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC =

AFE + EFC m AFE + EFC = 1800 (v l hai gc k b) => EBC+EFC = 1800

mt khc EBC v EFC l hai gc i ca t gic BEFC do BEFC l t gic ni tip.

3. Xt hai tam gic AEF v ACB ta c A = 900 l gc chung; AFE = ABC ( theo Chng minh trn)


www.vnmath.com 37

=> AEF ACB => AE AF

AC AB => AE. AB = AF. AC.

* HD cch 2: Tam gic AHB vung ti H c HE AB => AH2 = AE.AB (*) Tam gic AHC vung ti H c HF AC => AH2 = AF.AC (**) T (*) v (**) => AE. AB = AF. AC

4. T gic AFHE l hnh ch nht => IE = EH => IEH cn ti I => E1 = H1 .

O1EH cn ti O1 (v c O1E vO1H cng l bn knh) => E2 = H2.

=> E1 + E2 = H1 + H2 m H1 + H2 = AHB = 900 => E1 + E2 = O1EF = 900

=> O1E EF .

Chng minh tng t ta cng c O2F EF. Vy EF l tip tuyn chung ca hai na ng trn .

Bi 14 Cho im C thuc on thng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. V v mt pha ca AB cc na ng trn c ng knh theo th t l AB, AC, CB v c tm theo th t l O, I, K. ng vung gc vi AB ti C ct na ng trn (O) ti E. Gi M. N theo th t l giao im ca EA, EB vi cc na ng trn (I), (K).

1.Chng minh EC = MN. 2.Ch/minh MN l tip tuyn chung ca cc na /trn (I), (K).

3.Tnh MN.

4.Tnh din tch hnh c gii hn bi ba na ng trn

Li gii:

1. Ta c: BNC= 900( ni tip chn na ng trn tm K)

1 H

1

N

M

C I O K B

E

A

3

2

2

1

1

=> ENC = 900 (v l hai gc k b). (1)

AMC = 900 ( ni tip chn nc ng trn tm I) => EMC = 900 (v l hai gc k b).(2)

AEB = 900 (ni tip chn na ng trn tm O) hay MEN = 900 (3) T (1), (2), (3) => t gic CMEN l hnh ch nht => EC = MN (tnh cht ng cho hnh ch nht )

2. Theo gi thit EC AB ti C nn EC l tip tuyn chung ca hai na ng trn (I) v (K)

=> B1 = C1 (hai gc ni tip cng chn cung CN). T gic CMEN l hnh ch nht nn => C1=

N3

=> B1 = N3.(4) Li c KB = KN (cng l bn knh) => tam gic KBN cn ti K => B1 = N1 (5)

T (4) v (5) => N1 = N3 m N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay

MN KN ti N => MN l tip tuyn ca (K) ti N. Chng minh tng t ta cng c MN l tip tuyn ca (I) ti M, Vy MN l tip tuyn chung ca cc na ng trn (I), (K).

3. Ta c AEB = 900 (ni tip chn nc ng trn tm O) => AEB vung ti A c EC AB (gt) => EC2 = AC. BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trn EC = MN => MN = 20 cm.

4. Theo gi thit AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta c S(o) = .OA2 = 252 = 625 ; S(I) = . IA2 = .52 = 25 ; S(k) = .KB2 = . 202 = 400 .

Ta c din tch phn hnh c gii hn bi ba na ng trn l S = 1

2 ( S(o) - S(I) - S(k))


www.vnmath.com 38

S = 1

2( 625 - 25 - 400 ) =

1

2.200 = 100 314 (cm2)

Bi 15 Cho tam gic ABC vung A. Trn cnh AC ly im M, dng ng trn (O) c ng knh MC. ng thng BM ct ng trn (O) ti D. ng thng AD ct ng trn (O) ti S.

1. Chng minh ABCD l t gic ni tip . 2. Chng minh CA l tia phn gic ca gc SCB. 3. Gi E l giao im ca BC vi ng trn (O). Chng minh rng cc ng thng BA,

EM, CD ng quy. 4. Chng minh DM l tia phn gic ca gc ADE. 5. Chng minh im M l tm ng trn ni tip tam gic ADE.

Li gii:

3 2

3

3

2 2

2

1

1

1

1 F

O

M S

D

E

B A

C

Hnh a

F

1 2

C

A B

E

D

S M

O

1

1

1 1

2

2 2

3

2

Hnh b

1. Ta c CAB = 900 ( v tam gic ABC vung ti A); MDC = 900 ( gc ni tip chn na

ng trn ) => CDB = 900 nh vy D v A cng nhn BC di mt gc bng 900 nn A v D cng nm trn ng trn ng knh BC => ABCD l t gic ni tip.

2. ABCD l t gic ni tip => D1= C3( ni tip cng chn cung AB).

D1= C3 => SM EM => C2 = C3 (hai gc ni tip ng trn (O) chn hai cung bng

nhau)

=> CA l tia phn gic ca gc SCB.

3. Xt CMB Ta c BACM; CD BM; ME BC nh vy BA, EM, CD l ba ng cao ca tam gic CMB nn BA, EM, CD ng quy.

4. Theo trn Ta c SM EM => D1= D2 => DM l tia phn gic ca gc ADE.(1)

5. Ta c MEC = 900 (ni tip chn na ng trn (O)) => MEB = 900.

T gic AMEB c MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 m y l hai gc

i nn t gic AMEB ni tip mt ng trn => A2 = B2 .

T gic ABCD l t gic ni tip => A1= B2( ni tip cng chn cung CD)

=> A1= A2 => AM l tia phn gic ca gc DAE (2) T (1) v (2) Ta c M l tm ng trn ni tip tam gic ADE

TH2 (Hnh b)

Cu 2 : ABC = CME (cng ph ACB); ABC = CDS (cng b ADC) => CME =

CDS

=> CE CS SM EM => SCM = ECM => CA l tia phn gic ca gc SCB.


www.vnmath.com 39

Bi 16 Cho tam gic ABC vung A.v mt im D nm gia A v B. ng trn ng knh BD ct BC ti E. Cc ng thng CD, AE ln lt ct ng trn ti F, G.

Chng minh : 1. Tam gic ABC ng dng vi tam gic EBD. 2. T gic ADEC v AFBC ni tip . 3. AC // FG. 4. Cc ng thng AC, DE, FB ng quy.

Li gii:

1. Xt hai tam gic ABC v EDB Ta c BAC = 900 ( v tam gic ABC

vung ti A); DEB = 900 ( gc ni tip chn na ng trn )

=> DEB = BAC = 900 ; li c ABC l gc chung => DEB CAB

2. Theo trn DEB = 900 => DEC = 900 (v hai gc k b); BAC = 900

( v ABC vung ti A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 m y l hai gc i nn ADEC l t gic ni tip .

G 1

1

O

S

D

E

B

A C

1

F

* BAC = 900 ( v tam gic ABC vung ti A); DFB = 900 ( gc ni tip chn na ng

trn ) hay BFC = 900 nh vy F v A cng nhn BC di mt gc bng 900 nn A v F cng nm trn ng trn ng knh BC => AFBC l t gic ni tip.

3. Theo trn ADEC l t gic ni tip => E1 = C1 li c E1 = F1 => F1 = C1 m y l hai gc so le trong nn suy ra AC // FG.

4. (HD) D thy CA, DE, BF l ba ng cao ca tam gic DBC nn CA, DE, BF ng quy ti S. Bi 17. Cho tam gic u ABC c ng cao l AH. Trn cnh BC ly im M bt k ( M khng trng B. C, H ) ; t M k MP, MQ vung gc vi cc cnh AB. AC.

1. Chng minh APMQ l t gic ni tip v hy xc nh tm O ca ng trn ngoi tip t gic .

2. Chng minh rng MP + MQ = AH.

3. Chng minh OH PQ.

Li gii:

1. Ta c MP AB (gt) => APM = 900; MQ AC (gt)

=> AQM = 900 nh vy P v Q cng nhn BC di mt gc bng 900 nn P v Q cng nm trn ng trn ng knh AM => APMQ l t gic ni tip. * V AM l ng knh ca ng trn ngoi tip t gic APMQ tm O ca ng trn ngoi tip t gic APMQ l trung im ca AM.

2. Tam gic ABC c AH l ng cao => SABC = 1

2BC.AH.

Tam gic ABM c MP l ng cao => SABM = 1

2AB.MP

Tam gic ACM c MQ l ng cao => SACM = 1

2AC.MQ

O

M

Q

P

H C B

A

2 1

Ta c SABM + SACM = SABC => 1

2AB.MP +

1

2AC.MQ =

1

2BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH

M AB = BC = CA (v tam gic ABC u) => MP + MQ = AH.


www.vnmath.com 40

3. Tam gic ABC c AH l ng cao nn cng l ng phn gic => HAP = HAQ =>

HP HQ ( tnh cht gc ni tip ) => HOP = HOQ (t/c gc tm) => OH l tia phn gic gc

POQ. M tam gic POQ cn ti O ( v OP v OQ cng l bn knh) nn suy ra OH cng l ng

cao => OH PQ Bi 18 Cho ng trn (O) ng knh AB. Trn on thng OB ly im H bt k ( H khng trng O, B) ; trn ng thng vung gc vi OB ti H, ly mt im M ngoi ng trn ; MA v MB th t ct ng trn (O) ti C v D. Gi I l giao im ca AD v BC.

1. Chng minh MCID l t gic ni tip . 2. Chng minh cc ng thng AD, BC, MH ng quy ti I. 3. Gi K l tm ng trn ngoi tip t gic MCID, Chng minh KCOH l t gic ni

Li gii:

1. BIC = 900 ( ni tip chn na ng trn ) => BID = 900 (v

l hai gc k b); DE AB ti M => BMD = 900

=> BID + BMD = 1800 m y l hai gc i ca t gic MBID nn MBID l t gic ni tip.

2. Theo gi thit M l trung im ca AB; DE AB ti M nn M cng l trung im ca DE (quan h ng knh v dy cung)

2 1 1

/ /

1

O'

E

3 2

1

I

O

D

C M

A B

=> T gic ADBE l hnh thoi v c hai ng cho vung gc vi nhau ti trung im ca mi ng .

3. ADC = 900 ( ni tip chn na ng trn ) => AD DC; theo trn BI DC => BI // AD. (1)

4. Theo gi thit ADBE l hnh thoi => EB // AD (2). T (1) v (2) => I, B, E thng hng (v qua B ch c mt ng thng song song vi AD m thi.) 5. I, B, E thng hng nn tam gic IDE vung ti I => IM l trung tuyn ( v M l trung im ca

DE) =>MI = ME => MIE cn ti M => I1 = E1 ; OIC cn ti O ( v OC v OI cng l bn

knh ) => I3 = C1 m C1 = E1 ( Cng ph vi gc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 =

I3 + I2 . M I3 + I2 = BIC = 900 => I1 + I2 = 900 = MIO hay MI OI ti I => MI l tip tuyn ca (O) Ch 1: Nhn bit hnh, tm iu kin ca mt hnh. Bi 1:Cho tam gic u ABC ni tip ng trn tm O. D v E ln lt l im chnh gia ca cc cung AB v AC. DE ct AB I v ct AC L.

a) Chng minh DI = IL = LE. b) Chng minh t gic BCED l hnh ch nht. c) Chng minh t gic ADOE l hnh thoi v tnh cc gc ca hnh ny.

Bi 2:Cho t gic ABCD ni tip ng trn c cc ng cho vung gc vi nhau ti I. a) Chng minh rng nu t I ta h ng vung gc xung mt cnh ca t gic th ng vung gc ny qua trung im ca cnh i din ca cnh . b) Gi M, N, R, S l trung im ca cc cnh ca t gic cho. Chng minh MNRS l hnh ch nht. c) Chng minh ng trn ngoi tip hnh ch nht ny i qua chn cc ng vung gc h t I xung cc cnh ca t gic.

Bi 3:Cho tam gic vung ABC ( A = 1v) c AH l ng cao. Hai ng trn ng knh AB v AC c tm l O1 v O2. Mt ct tuyn bin i i qua A ct ng trn (O1) v (O2) ln lt ti M v N.

a) Chng minh tam gic MHN l tam gic vung. b) T gic MBCN l hnh g? c) Gi F, E, G ln lt l trung im ca O1O2, MN, BC. Chng minh F cch u 4 im E, G, A, H.

d) Khi ct tuyn MAN quay xung quanh im A th E vch mt ng nh th no? Bi 4:Cho hnh vung ABCD. Ly B lm tm, bn knh AB, v 1/4 ng trn pha trong hnh vung.Ly AB lm ng knh , v 1/2 ng trn pha trong hnh vung. Gi P l im tu trn cung AC ( khng trng vi A v C). H v K ln lt l hnh chiu ca P trn AB v AD, PA v PB ct na ng trn ln lt I v M.

a) Chng minh I l trung im ca AP. b) Chng minh PH, BI, AM ng qui. c) Chng minh PM = PK = AH

d) Chng minh t gic APMH l hnh thang cn. ) Tm v tr im P trn cung AC tam gic APB l u.

Ch 2: Chng minh t gic ni tip, chng minh nhiu im cng nm trn mt ng trn.

Bi 1:Cho hai ng trn (O), (O') ct nhau ti A, B. Cc tip tuyn ti A ca (O), (O') ct (O'), (O) ln lt ti cc im E, F. Gi I l tm ng trn ngoi tip tam gic EAF.

a) Chng minh t gic OAO'I l hnh bnh hnh v OO'//BI. b) Chng minh bn im O, B, I, O' cng thuc mt ng trn. c) Ko di AB v pha B mt on CB = AB. Chng minh t gic AECF ni tip.

Bi 2:Cho tam gic ABC. Hai ng cao BE v CF ct nhau ti H.Gi D l im i xng ca H qua trung im M ca BC.

a) Chng minh t gic ABDC ni tip c trong mt ng trn.Xc nh tm O ca ng trn . b) ng thng DH ct ng trn (O) ti im th 2 l I. Chng minh rng 5 im A, I, F, H, E cng nm trn mt ng trn.

Bi 3:Cho hai ng trn (O) v (O') ct nhau ti A v B. Tia OA ct ng trn (O') ti C, tia O'A ct ng trn (O) ti D. Chng minh rng:

a) T gic OO'CD ni tip. b) T gic OBO'C ni tip, t suy ra nm im O, O', B, C, D cng nm trn mt ng trn.

Bi 4:Cho t gic ABCD ni tip na ng trn ng knh AD. Hai ng cho AC v BD ct nhau ti E. V EF vung gc AD. Gi M l trung im ca DE. Chng minh rng:

a) Cc t gic ABEF, DCEF ni tip c. b) Tia CA l tia phn gic ca gc BCF. c)* T gic BCMF ni tip c.

Bi 5:T mt im M bn ngoi ng trn (O) ta v hai tip tuyn MA, MB vi ng trn. Trn

cung nh AB ly mt im C. V CD AB, CE MA, CF MB. Gi I l giao im ca AC v DE, K l giao im ca BC v DF. Chng minh rng:

a) Cc t gic AECD, BFCD ni tip c. b) CD2 = CE. CF

c)* IK // AB

Bi 6:Cho tam gic ABC ni tip ng trn (O). T A v tip tuyn xy vi ng trn. V hai ng cao BD v CE.

a) Chng minh rng bn im B, C, D, E cng nm trn mt ng trn.

b) Chng minh rng xy// DE, t suy ra OA DE. Bi 7:Cho tam gic u ABC ni tip ng trn (O). Trn cung nh AB ly mt im M. ng thng qua A song song vi BM ct CM ti N.

a) Chng minh rng tam gic AMN l tam gic u. b) Chng minh rng MA + MB = MC.

c)* Gi D l giao im ca AB v CM. Chng minh rng: MD

1

MB

1

AM

1

Bi 8:Cho ba im A, B, C c nh vi B nm gia A v C. Mt ng trn (O) thay i i qua B v C. V ng knh MN vung gc vi BC ti D ( M nm trn cung nh BC).Tia AN ct ng trn (O) Ti mt im th hai l F. Hai dy BC v MF ct nhau ti E. Chng minh rng:

a) T gic DEFN ni tip c. b) AD. AE = AF. AN

c) ng thng MF i qua mt im c nh. Bi 9:T mt im A bn ngoi ng trn ( O; R) v hai tip tuyn AB, AC vi ng trn. Gi M l trung im ca AB. Tia CM ct ng trn ti im N. Tia AN ct ng trn ti im D.

a) Chng minh rng MB2 = MC. MN b) Chng minh rng AB// CD

c) Tm iu kin ca im A cho t gic ABDC l hnh thoi. Tnh din tch c hnh thoi . Bi 10:Cho ng trn (O) v mt dy AB. Gi M l im chnh gia ca cung nh AB. V ng knh MN Ct AB ti I. Gi D l mt im thuc dy AB. Tia MD ct ng trn (O) ti C.

a) Chng minh rng t gic CDIN ni tip c b) Chng minh rng tch MC. MD c gi tr khng i khi D di ng trn dy AB. c) Gi O' l tm ca ng trn ngoi tip tam gic ACD.

Chng minh rng MAB = 2

1 AO'D.

d) Chng minh rng ba im A, O', N thng hng v MA l tip tuyn ca ng trn ngoi tip tam gic ACD.

Bi 11:Cho tam gic ABC vung A ( AB < AC), ng cao AH. Trn on thng HC ly D sao

cho HD = HB. V CE vung gc vi AD ( E AD). a) Chng minh rng AHEC l t gic ni tip. b) Chng minh AB l tip tuyn ca ng trn ngoi tip t gic AHEC. c) Chng minh rng CH l tia phn gic ca gc ACE. d) Tnh din tch hnh gii hn bi cc on thng CA. CH v cung nh AH ca ng trn ni

trn bit AC= 6cm, ACB = 300. Bi 12:Cho ng trn tm O c ng knh BC. Gi A l Mt im thuc cung BC ( AB < AC), D l im thuc bn knh OC. ng vung gc vi BC ti D ct AC E, ct tia BA F.

a) Chng minh rng ADCF l t gic ni tip.

b) Gi M l trung im ca EF. Chng minh rng AME = 2 ACB. c) Chng minh rng AM l tip tuyn ca ng trn (O). d) Tnh din tch hnh gii hn bi cc on thng BC, BA v cung nh AC ca ng trn (O)

bit BC= 8cm, ABC = 600. Bi 13:Cho na ng trn tm O, ng knh AB = 2R. im M thuc na ng trn. V ng trn tm M tip xc vi AB ( H l tip im). K cc tip tuyn AC, BD vi ng trn (M) ( C, D l tip im).

a) Chng minh rng C, M, D thng hng b) Chng minh rng CD l tip tuyn ca ng trn (O). c) Tnh tng AC + BD theo R.

d) Tnh din tch t gic ABDC bit AOM = 600.

Bi 14:Cho tam gic vung cn ABC (A = 900), trung im I ca cnh BC. Xt mt im D trn tia AC. V ng trn (O) tip xc vi cc cnh AB, BD, DA ti cc im tng ng M, N, P.

a) Chng minh rng 5 im B, M, O, I, N nm trn mt ng trn. b) Chng minh rng ba im N, I, P thng hng. c) Gi giao im ca tia BO vi MN, NP ln lt l H, K. Tam gic HNK l tam gic g, ti sao?

d) Tm tp hp im K khi im D thay i v tr trn tia AC.

Ch 3: Chng minh cc im thng hng, cc ng thng ng quy. Bi 1:Cho hai ng trn (O) v (O') ct nhau ti hai im A v B. ng thng AO ct ng trn (O) v (O') ln lt ti C v C'. ng thng AO' ct ng trn (O) v (O') ln lt ti D v D'.

a) Chng minh C, B, D' thng hng b) Chng minh t gic ODC'O' ni tip c) ng thng CD v ng thng D'C' ct nhau ti M. Chng minh t gic MCBC' ni tip.

Bi 2:T mt im C ngoi ng trn ( O) k ct tuyn CBA. Gi IJ l ng knh vung gc vi AB. Cc ng thng CI, CJ theo th t ct ng trn (O) ti M, N.

a) Chng minh rng IN, JM v AB ng quy ti mt im D. b) Chng minh rng cc tip tuyn ca ng trn (O) ti M, N i qua trung im E ca CD.

Bi 3:Cho hai ng trn ( O; R) v ( O'; R' ) tip xc ngoi ti A ( R> R' ). ng ni tm OO' ct ng trn (O) v (O') theo th t ti B v C ( B v C khc A). EF l dy cung ca ng trn (O) vung gc vi BC ti trung im I ca BC, EC ct ng trn (O') ti D.

a) T gic BEFC l hnh gi? b) Chng minh ba im A, D, F thng hng. c) CF ct ng trn (O) ti G. Chng minh ba ng EG, DF v CI ng quy. d) Chng minh ID tip xc vi ng trn (O).

Bi 4:Cho ng trn (O) v (O) tip xc ngoi ti C. AC v BC l ng knh ca (O) v (O), DE

l tip tuyn chung ngoi (D (O), E (O)). AD ct BE ti M. a) Tam gic MAB l tam gic g?

b) Chng minh MC l tip tuyn chung ca (O) v (O). c) K Ex, By vung gc vi AE, AB. Ex ct By ti N. Chng minh D, N, C thng hng. d) V cng pha ca na mt phng b AB, v na ng trn ng knh AB v OO. ng thng qua C ct hai na ng tn trn ti I, K. Chng minh OI // AK.

Ch 4: Chng minh im c nh. Bi 1:Cho ng trn (O ; R). ng thng d ct (O) ti A, B. C thuc d ngoi (O). T im chnh gia P ca cun

Documents

Cac Chuyen de Toan