CALCULO VECTORIAL Guia unidad4 cvectorial-p44

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CÁLCULO VECTORIAL – NIVEL 3 GUIA UNIDAD 4

GUIA DE APRENDIZAJE GUIA DE APRENDIZAJE GUIA DE APRENDIZAJE GUIA DE APRENDIZAJE UNIDAD 4 : UNIDAD 4 : UNIDAD 4 : UNIDAD 4 : INTEGRALES MÚLTIPLESINTEGRALES MÚLTIPLESINTEGRALES MÚLTIPLESINTEGRALES MÚLTIPLES

Objetivos específicosObjetivos específicosObjetivos específicosObjetivos específicos � Interpretar las componentes de una integral doble � Bosquejar el área sobre la cual una integral doble es definida � Evaluar una integral doble por integración repetida � Revertir el orden de una integral doble � Convertir una integral doble a coordenadas polares y evaluarla � Encontrar volúmenes usando integrales dobles � Interpretar las componentes de una integral triple � Bosquejar la región sobre la cual una integral triple es definida � Evaluar una integral triple simple por repetida integración � Formular y evaluar una integral triple expresada en coordenadas cilíndricas

1. PREREQUISITOS :1. PREREQUISITOS :1. PREREQUISITOS :1. PREREQUISITOS : Los temas necesarios para esta unidad son :

� Dominio y rango de funciones de una variable � Cálculo de funciones de una variable . � Identificación y grafica de curvas en 2D. � Identificación de superficies y sus graficas 2. 2. 2. 2. MATERIAL DE APOYOMATERIAL DE APOYOMATERIAL DE APOYOMATERIAL DE APOYO

� Libro de texto: STEWART J., “Cálculo de Varias Variables: Trascendentes tempranas”, Editorial Cengage Learning , Séptima edición, México, 2012. � Tabla de derivadas e integrales � Software matemático � Calculadora con CAS 3. 3. 3. 3. ACTIVIDADES ESPECÍFICASACTIVIDADES ESPECÍFICASACTIVIDADES ESPECÍFICASACTIVIDADES ESPECÍFICAS

� Una lectura compresiva de las definiciones, enunciados, y ejemplos desarrollados en clase. � Elaboración de las respuestas de los ejercicios propuestos de la guía, justificación de cada etapa del desarrollo de ejercicios. � Análisis sobre resultados de los ejercicios desarrollados. 4.4.4.4. METODOLOGÍAMETODOLOGÍAMETODOLOGÍAMETODOLOGÍA DE TRABAJODE TRABAJODE TRABAJODE TRABAJO

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� El docente durante la clase definirá los conceptos necesarios para el desarrollo de la guía. Para lo cual es imprescindible que el estudiante analice la teoría con anterioridad usando el texto recomendado por el Docente. � Los estudiantes organizan grupos (dependiendo del número de estudiantes por curso) para desarrollar los ejercicios propuestos de la guía � El docente solucionará las dudas referentes a la guía y orientará su desarrollo. 5. 5. 5. 5. ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase)ACTIVIDADES PREVIAS( extraclase) Realizar los siguientes ejercicios para la siguiente sesión como preparación para el estudio de la unidad 4 sobre integrales múltiples. Esta tarea extraclase será evaluada con el fin de medir el nivel de conocimientos de los temas necesarios como prerrequisitos de la unidad unidad unidad unidad 4444. Además se le recuerda revisar la parte teórica de la unidad 4unidad 4unidad 4unidad 4.... 5.1 5.1 5.1 5.1 Encontrar las ecuaciones de la región limitada por la curva y el primer cuadrante.

5555.2 .2 .2 .2 Determinar ecuaciones para la región formada por una semiparábola, una recta inclinada y una recta horizontal como se ve en la siguiente gráfica :

5.3 5.3 5.3 5.3 Hallar las intersecciones de las siguientes curvas y graficar a) x² + y² – 2x – 6y = 12 b) 12x² + 20y² –12x + 40y –37 = 0 5.4 5.4 5.4 5.4 Encuentre la ecuación cartesiana de la curva descrita por la ecuación polar dada. r = 2 ∙ sen(θ) 5.5 5.5 5.5 5.5 Trace la gráfica representada por la ecuación polar dada.

−2 −1 1 2 3

−1

1

2

3

4

x

y

1 2 3 4 5

−1

1

2

3

4

x

y

3


r = 6 + 6 ∙cos(θ) 5.6 5.6 5.6 5.6 Represente en el plano polar la región comprendida en el interior de r = 4∙cos(2θ) y exterior a r = 2. 5.7 5.7 5.7 5.7 Determinar la ecuación de la superficie que se observa en la figura. 5.5.5.5.8 8 8 8 Grafique la región en el primer octante limitada por la superficie Z=4-X2-Y2. 5.5.5.5.9 9 9 9 Grafique la región comprendida dentro de la semiesfera 2216 YXZ −−= y del cilindro X2+Y2=1, limitado debajo por el plano Z=0. 5.10 5.10 5.10 5.10 Plantear una integral simple para calcular el área de la región sombreada. Evalue la integral. Sugerencia : Sugerencia : Sugerencia : Sugerencia : dividir en varias regiones adecuadas.

6. 6. 6. 6. REVISIÓN DE CONCEPTOS REVISIÓN DE CONCEPTOS REVISIÓN DE CONCEPTOS REVISIÓN DE CONCEPTOS 6.1 6.1 6.1 6.1 INTEGRALES DOBLES INTEGRALES DOBLES INTEGRALES DOBLES INTEGRALES DOBLES La integral definida para funciones de una variable se la definió de la siguiente manera:

La cual se llama Integral (Suma) de Riemann, que significa el área bajo la curva y= f(x) en un intervalo [a,b].

1

1 2 y

x

4


Si quisiéramos obtener una Integral definida para una función de dos variables; primero deberíamos suponer que ahora la región de integración sería de la forma [a,b]×[c,d], es decir un rectángulo de R 2 , la cual la denotamos como R.

Haciendo particiones de la región R, de dimensiones no necesariamente iguales:

La ij − ésima partición tendrá forma rectangular. Ahora cabe referirse al área de esta partición, que estaría dada por:

ΔAij = Δxi .Δyj Podemos definir una función de dos variables z= f(x,y) en la región R, que para la ij − ésima partición sería:

Bien, veamos ahora su significado geométrico. Observe la gráfica siguiente:

5


El punto ( Z̅i ,\]j ) , representa cualquier punto del ij − ésimo rectángulo. El volumen del ij − ésimo paralelepípedo, denotémoslo como ΔVij , estaría dado por:

Por tanto, si deseamos el volumen bajo la superficie, tendríamos que hacer una suma de volúmenes de una cantidad infinita de paralelepípedos, es decir:

De aquí surge la definición de Integral doble : Sea f(x,y) una función de dos variables definida en una región plana [a,b]×[c,d] . La expresión

lim^→`a→` b b cdZe, \fg∆Ze∆\f = i i c(Z, \)jZj\kl

mn

^eop

afop

Se denomina Integral doble de la función f(x,y) sobre la región de integración R y si el límite existe se dice que la función es integrable en R. 6.1.16.1.16.1.16.1.1 REGLAREGLAREGLAREGLA DEL PUNTO MEDIODEL PUNTO MEDIODEL PUNTO MEDIODEL PUNTO MEDIO Los métodos que se emplearon para aproximar integrales simples (regla del punto medio, regla del trapecio, regla de Simpson) tienen contrapartes para integrales dobles. Aquí se considera sólo la regla del punto medio para integrales dobles, Esto significa que se usa una suma de Riemann doble para aproximar la integral doble, donde el punto muestra (Zef∗ , \ef∗ ) en ref se elige como el centro (Z̅e , \]f) de ref. En otras palabras, Z̅e es el punto medio de[Zesp, Ze] y \]f es el punto medio de t\fsp, \fu. v c(Z, \)jw ≈ b b c(Z̅e , \]f)∆w^

fopa

eopy

6


EjemploEjemploEjemploEjemplo 1 1 1 1 Use la regla del punto medio con m = n = 2 para estimar el valor de la integral ∬ (Z + 3\{)jwy , donde r = {(Z, \)| 0 ≤ Z ≤ 2, 1 ≤ \ ≤ 2}. Al usar la regla del punto medio con m = n = 2, se evalúa c(Z, \) = Z + 3\{ en los centros de los cuatro subrectángulos mostrados en la figura. Por lo tanto, Z̅p = p{, Z̅{ = �{, \]p = �� y \]{ = ��. El área de cada subrectángulo es ∆w = p{. Así que

� = v(Z + 3\{)jw ≈ b b c(Z̅e , \]f)∆w{

fop{

eopy

≈ c(Z̅p, \]p)∆w + c(Z̅p, \]{)∆w + c(Z̅{, \]p)∆w + c(Z̅{, \]{)∆w ≈ c �12 , 54� ∆w + c �12 , 74� ∆w + c �32 , 54� ∆w + c �32 , 74� ∆w ≈ �8316� 12 + �15516 � 12 + �9916� 12 + �17116 � 12 = 1278 � = v(Z + 3\{)jw ≈

y1278

6.26.26.26.2 EVALUACIÓN DE INTEGRALES DOBLES EVALUACIÓN DE INTEGRALES DOBLES EVALUACIÓN DE INTEGRALES DOBLES EVALUACIÓN DE INTEGRALES DOBLES Recuerde que por lo común es difícil evaluar integrales simples directamente de la definición de una integral, pero el teorema fundamental del cálculo provee un método mucho más fácil. La evaluación de integrales dobles a partir de primeros principios es incluso más difícil, pero en esta sección se ve cómo expresar una integral doble como una integral iterada, que se puede evaluar entonces calculando dos integrales simples. EjemploEjemploEjemploEjemplo 2 2 2 2 Evalúe la integral iterada � � Z{\ j\ jZ{p�� . Se considera a x constante y se obtiene :

i Z{\ j\ jZ{p = Z{ \{2 � 21

0.50 1.00 1.50 2.00 2.50

−0.50

−0.25

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

2.25

x

y

R11

R22R12

R21

7


Z{ �2{2 � − Z{ �1{2 � = 32 Z{ Así, la función A está dada por w(Z) = �{ Z{ en este ejemplo. Ahora integrará esta función de x de 0 a 3:

i i Z{\ j\ jZ{p

�� = i �i Z{\ j\{

p � jZ��

i 32 Z{jZ�� = Z�2 � 30 = 272

6.2.16.2.16.2.16.2.1 TEOREMA DE FUBINITEOREMA DE FUBINITEOREMA DE FUBINITEOREMA DE FUBINI Si f es continua en el rectángulo r = {(Z, \)� ≤ Z ≤ �, � ≤ \ ≤ j}, entonces

v c(Z, \)jw = i i c(Z, \) j\ jZmn

kl = i i c(Z, \) jZ j\k

lm

ny

En términos generales, esto es cierto si se supone que f está acotada en R, f es discontinua sólo en un número finito de curvas uniformes y existen integrales iteradas. 6.2.26.2.26.2.26.2.2 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIOINTEGRALES DOBLES SOBRE REGIOINTEGRALES DOBLES SOBRE REGIOINTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES MÁS GENERALESNES MÁS GENERALESNES MÁS GENERALESNES MÁS GENERALES El teorema de Fubini puede ser extendido para regiones generales. En adelante vamos a hacer planteamientos directos. Una región plana, como la que se muestra en la figura, puede ser particionada de la siguiente manera:

Lo cual da a lugar un elemento diferencial de la forma:

Cuya área, denotada como dA, está dada por: dA dA dA dA = = = = dxdy dxdy dxdy dxdy = = = = dydxdydxdydxdydx Entonces, igual como lo habíamos mencionado anteriormente, una integral doble sobre la región plana R tiene la forma:

8


v �(Z, \)jwy

Esta integral doble puede ser calculada de dos maneras: a) a) a) a) Haciendo un barrido vertical

i i �(Z, \)j\ jZ �(�)

�(�)k

l

b) b) b) b) Haciendo primero un barrido horizontal

i i �(Z, \)jZ j\ �(�)

�(�)m

n

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 3333 Evalúe� � (Z + 2\)jw� , donde D es la región acotada por las parábolas y= 2x2 , , , , y = 1 + x2. Las parábolas se cortan cuando 2x2 = 1 + x2, es decir x2 = 1, por lo tanto Z = ±1. � = {(Z, \) : − 1 ≤ Z ≤ 1 , 2Z{ ≤ \ ≤ 1 + Z{}

9


i i(Z + 2\)jw

�= i i (Z + 2\) j\ jZp��

{��p

sp = i [Z\ + \{]1 + Z{2Z{

psp jZ

= i (−3Z� − Z� + 2Z{ + Z + 1)�

s� jZ

= �−3 Z�5 − Z�4 + 2 Z�3 + Z{2 + Z� 1−1 = 3215 6.2.3 CAMBIO DEL ORDEN DE INTEGRACIÓN6.2.3 CAMBIO DEL ORDEN DE INTEGRACIÓN6.2.3 CAMBIO DEL ORDEN DE INTEGRACIÓN6.2.3 CAMBIO DEL ORDEN DE INTEGRACIÓN Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 4444 Calcular � � \{��jZj\��p� . . . . Las curvas que acotan la región de integración es R = � Z = \Z = 0 0 ≤ \ ≤ 1 Los puntos de intersección son (0,0) y (1,1), como tenemos primero a dx entonces el rectángulo se dibuja horizontal.

−1 1

1

2

3

x

y

y=1+x^2

y=2x^2

10


Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos: i i \{��jZj\ =�

�p

� i �\{��\ � \0

p�

j\

i i \{��jZj\ =��

p� i[\ ��] \

0p

�j\ = id\�� − \gj\ = 12 t�� − \{u10 p

�

i i \{��jZj\ =��

p�

�2 − 1 Cambiando el orden de integración tenemos. � � \{��j\jZp�p� Las curvas que acotan la región de integración, son las mismas. Pero es necesario dejar a “y” en función de “x”, para los limites, entonces tenemos R = � \ = 1\ = Z 0 ≤ Z ≤ 1 Los puntos de intersección son (0,0) y (1,1), como ahora tenemos primero a dx entonces el rectángulo se dibuja horizontal.

Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos:

i i \{��j\jZp�

p� = i �Z{��\ − 2Z��\{ + 2��\� �p

�1Z jZ

= i �Z{��1 − 2Z��1 + 2��1 − Z{��Z + 2Z��

Z{ − 2��Z� �p

� jZ = �Z{�� − 2Z�� + 2�� − 2Z�� + 2Z�� + 2�� − ��

2 + 2��Z − 2��

Z� � 10 = �Z{�� − 2Z�� + 4�� − ��

2 + 2��Z − 2��

Z� � 10 = �Z{�� − 2Z�� + 4�� − ��

2 + 2��Z − 2��

Z� � 10 = �2 − 1

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Nota: Para este ejemplo es conveniente, y mucho más sencillo integrar primero por dx y luego a dy. 6.3 ÁREAS Y VOLÚMENES6.3 ÁREAS Y VOLÚMENES6.3 ÁREAS Y VOLÚMENES6.3 ÁREAS Y VOLÚMENES

v �(Z, \)jwy

Si F(x, y) = 1, la integral doble representa el área de la región área de la región área de la región área de la región R , es decir:

w = v jwy

Si F(x, y) = z con z ≥ 0, la integral doble representa el volumen bajo la superficie “S” z= F(x,y), es decir:

� = v jwy

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 5555 Calcular el volumen de = c(Z, \) = 4 − Z{ − \{, con ≥ 0

� = v jw = v[(4 − Z{ − \{)]jw

yy

Para ponerle los límites de integración identificamos la región R, en este caso sería la curva de intersección de ¡ = 4 − Z{ − \{ = 0 proyectada en el plano xy. 4 − Z{ − \{ = 0 Z{ + \{ = 4

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� = i i (4 − Z{ − \{)�√(�s��)s√(�s��)

{s{ j\jZ = i �4\ − Z{\ − \�3 �{

s{+√(4 − Z{)−√(4 − Z{) jZ

= i ��4(£4 − Z{) − Z{(£4 − Z{) − (√4 − Z{)�3 � − �4(−£4 − Z{) − Z{(−£4 − Z{) − (−√4 − Z{)�3 ��{s{ jZ

= i �2 �4(£4 − Z{) − Z{(£4 − Z{) − (√4 − Z{)�3 ��{s{ jZ

= 2 ¤¥2Z£4 − Z{ + 2¦§�¨sp ©Z2ª45 « − Z�d√4 − Z{g4 + Z(√4 − Z{)2 − ¦§�¨sp ©Z2ª90 + Z�d√4 − Z{g12 − 5Z(√4 − Z{)6− ¦§�¨sp ©Z2ª90 ¤ 2−2

� = 8¦ ¬� Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 6666 Hallar el volumen del sólido limitado por el plano �l + �k + n = 1 y el plano xy en el primer octante. Para obtener los limites, encontramos la región de integración, que nos da reemplazando z = 0, en la ecuación del sólido. �l + �k + �n = 1 → �l + �k = 1

El volumen del elemento diferencial sería

dV =hdA=zdA Por tanto el volumen total está dado por:

� = v � ©1 − Z� − \�ª jwy

Donde la región R sería:

13


Escogemos un barrido vertical primero, es decir que la integral iterada quedaría:

� = i i � ©1 − Z� − \�ª j\jZk©ps�lª�

l�

� = i � �1 − Z\� − \{2�� ©1 − Z�ª0 jZl�

� = i ��2 ®1 − Z�¯{ jZ = ��2 ©− �3ª °©1 − Z�ª�± �0l� = ��6

Ahora consideremos un sólido limitado por superficies. Por ejemplo:

En el gráfico, el elemento diferencial de volumen limitado por las superficies está dado por:

j� = dc(Z, \) − ²(Z, \)gjw RRRR,,,, es la región plana que tiene por proyección la superficie en el plano xy. Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 7777 Hallar el volumen del sólido limitado por z = 4 - x2 - 2y2 y el plano z = 2

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En este caso j� = ℎ ∙ jw = d(4 − Z{ − 2\{) − 2gjw � = v ℎjw = v[(4 − Z{ − 2\{) − (2)]jw

yy

Para ponerle los límites de integración identificamos la región R, en este caso sería la curva de intersección de ¡ = 4 − Z{ − 2\{ = 2 proyectada en el plano xy. Igualando y simplificando:

4 − Z{ − 2\{ Z{ + 2\{ = 2 Z{2 + \{1 = 1

Entonces la región sería:

Se utiliza solo un cuadrante debido a la simetría y al final el resultado multiplicamos por cuatro.

� = 4 i i (2 − Z{ − 2\{)j\jZµ{s��{

�√{

�

15


� = 4 i i �2\ − Z{\ − 2\�3 � �

µ{s��{ jZ

µ{s��{

�

√{

�

� = 83√2 i (2 − Z{)�{ jZ = 8

3√2 ∙ 3¦4

√{�

= 2¦√2

6.46.46.46.4 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES.INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES.INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES.INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES. Suponga que la región de integración es simple-θθθθ, la integral doble ∬ c(Z, \)jwy puede ser expresada de la forma:

v c(¶�·§¸, ¶§�¨¸)jwy

Definamos el dA en coordenadas cilíndricas. Observe la figura:

En este caso dA = dsdr pero ds = rdθ entonces dA = rdrdθ Finalmente la integral doble en coordenadas polares quedará de la forma:

v c(¶, ¸)¶j¶j¸y

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 8888 Hallar el volumen del sólido limitado por z = x2+y2 y el plano z = 9 . Haciendo un dibujo de las superficies, e identificando el sólido

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j� = ℎ ∙ jw = d(9 − Z{ − \{)gjw

Por tanto el volumen estará dado por � = ∬ T9 − (Z{ + \{)Ujwy Cambiando a polares � = � � (9 − ¶{)�

�{¹

� ¶j¶j¸

� = i i (9¶ − ¶�)��

{¹�

j¶j¸ = i �9¶{2 − ¶�

4 � 30{¹

� j¸ = 81¦

2 Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 9 9 9 9 Encuentre el volumen de la región limitada por las superficies x2+y2+z2= 4, x2 +(y −1)2 =1 .Haciendo un dibujo de las superficies, e identificando el sólido

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Calcularemos el volumen de la porción superior, ya que el sólido es simétrico y lo multiplicaremos por dos.

� = 2 i i £4 − Z{ − \{y

jw La región de integración es:

Cambiando a coordenadas polares :

� = 2 i i√(4 − Z{ − \{)y jw = 2 i i √(4 − ¶{){º»^¼�

¹� ¶j¶j¸

= 2 i 23 (4 − ¶{)−2 � 2§�¨¸0¹� j¸

= 23 i �8 − (4 − 4§�¨{¸)�{�¹� j¸

= 23 i (8 − 8�·§�¸)¹� j¸ = 163 ¦

6.56.56.56.5 ÁREA DE UNA SUPERFICIE.ÁREA DE UNA SUPERFICIE.ÁREA DE UNA SUPERFICIE.ÁREA DE UNA SUPERFICIE. El área de un paralelogramo es: Área = Magnitud del producto Cruz de ¬½¾ y ¿¾

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w = ‖¬½¾Z¿¾‖ Si tuviésemos una superficie con ecuación z = f(x,y), y quisiéramos hallar el valor del área de una porción R de la superficie, podemos actuar con la misma metodología con la que hemos resuelto nuestros problemas hasta el momento; es decir, particionar la región R y luego sumar dando lugar a una integral. Observe la gráfica:

Llamemos S, al valor del área de la porción R de la superficie, entonces:

Á = v jÁy

El asunto sería ahora proyectar la superficie al plano xy obteniendo la región R´. Podemos pensar en una transformación de R3 a R2 . Denotando como R R R R la función vectorial para la superficie, tenemos:

R R R R = (x,y, f ( x, y )) Los vectores de derivadas parciales con respecto a x ( RRRRx ) y con respecto a y ( RRRRy ), serían:

ÃÄ = (1,0, c�) y ÃÅ = (1,0, c�) Entonces:

jÁ = ÆÃÄxÃÅÆjw Calculando el vector producto cruz y luego su magnitud:

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ÃÄxÃÅ L ¤Ç È É1 0 c�0 1 c�¤ L DXc�, Xc�, 1E

ÆÃÄxÃÅÆ L µ1 J c�{ J c�{ Finalmente:

Á L v jÁy L v µ1 J c�{ J c�{y jw

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 10101010 Encuentre el área de la región de la esfera Z{ J \{ J { L 9, limitada por el cilindro Z{ J \{ X 3x L0

La región R´ en este caso sería:

Z{ J \{ L 3x ¶{ L 3rcosθ

r L 3cosθ

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El área estaría dada por Á L 2 ∬ £1 J c�{ J c�{y jw Reemplazando: Á L 2 ∬ µ1 J ��

Ês��s�� J ��Ês��s��y jw

Cambiando a polares: : Á L 2 ∬ �√ÊsË�y jw Á L 2 ∬ �√ÊsË�y jw L 6 � � p√ÊsË��ÌÍÎ D¼E�¹� ¶j¶j¸ Á L 6D3¦ X 6E L 18¦ X 36 Puede ocurrir que no sea posible proyectar la superficie en el plano xy y que si se la pueda proyectar en el plano xz o en el plano yz , en tales casos tenemos:

� Proyectando en el plano Proyectando en el plano Proyectando en el plano Proyectando en el plano xzxzxzxz. Si la ecuación de la superficie está dada por \ = c(Z, )

jÁ = µ1 J c�{ J c{ jZj Proyectando en el plano Proyectando en el plano Proyectando en el plano Proyectando en el plano yzyzyzyz. Si la ecuación de la superficie está dada por Z = c(\, )

jÁ = µ1 J c�{ J c{ j\j 6.66.66.66.6 INTEGRALES TRIPLESINTEGRALES TRIPLESINTEGRALES TRIPLESINTEGRALES TRIPLES Para definir una integral para una función de tres variables, análogamente a integrales dobles, deberíamos pensar que nuestra región de integración se extendería a la forma [a,b]×[c,d]×[e,g]; es decir, ahora se tendría un paralelepípedo, una región de R3 , la cual se la denota como Q:

Si hacemos particiones de Q, la ijk -ésima partición tendría la forma:

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Y su volumen sería: ∆�efÐ L ∆Ze∆\f∆ Ð Una función de tres variables Ñ L cDZ, \, ) definida en Q, para esta partición sería de la forma

c(Z̅e , \]f , Ð̅)∆Ze∆\f∆ Ð Donde (Z̅e , \]f , Ð̅) representa un punto cualquiera de la ijk –ésima partición. Para todo Q, habría que considerar una cantidad infinita de particiones, es decir:

De aquí surge la definición de integrales triples : Sea f una función de tres variables definida en una región R3 , Ò = [�, �] × [�, j] × [�, ²] . Al límite :

se le denomina integral triple de f sobre Q :

i i i c(Z, \, )jZ j\ j kl

mn

�»

Si c(Z, \, ) = 1 , sería el volumen de la región Q. En esta sección nos ocuparemos de calcular volúmenes con integrales triples para familiarizarnos con su planteo y con su evaluación; en otra sección calcularemos otras integrales triples y además con alternativas de evaluación. El teorema de Fubini es aplicable para estas integrales también, porque al igual que integrales dobles, estas pueden ser observadas como integrales iteradas. Y es más, si tuviésemos regiones generales también el teorema de Fubini es aplicable. Su aplicación es para calcular volumen de sólidos

� = Ó j�Ô

Ejemplo 11 Ejemplo 11 Ejemplo 11 Ejemplo 11 Encontrar el volumen de la región acotada por = Z{ + 3\{ y = 12 − p

� Z{ Se trata de la región comprendida entre 2 paraboloides, los cuales se intersectan en una elipse

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La integral triple para el volumen sería:

� L Ó j jwp{sp��

� L vD12 − 13 Z{ − Z{ − 3\{) jw = v �12 − 4

3 Z{ − 3\{� jw Para definir la región R, determinemos la curva de intersección entre las superficies:

Õ = Z{ + 3\{ = 12 − p

� Z{

Igualando, tenemos:

� = 4 i i �12 − 43 Z{ − 3\{� j\ jZ

£�Ös��

��

�

23


� L 4 i °12\ − 43 Z{\ − \�± �

£�Ös�� jZ�

�

� = 827 i (36 − 4Z{)�{ jZ = 8

27 ∙ 243¦2 = 36¦ �

�

Las integrales triples igual que las integrales dobles, pueden presentarse laboriosa en su evaluación; por tanto, aquí también es posible utilizar trasformaciones.trasformaciones.trasformaciones.trasformaciones. 6.76.76.76.7 INTEGRALES TRIPLES EN COORDINTEGRALES TRIPLES EN COORDINTEGRALES TRIPLES EN COORDINTEGRALES TRIPLES EN COORDEEEENADASNADASNADASNADAS CILÍNDRICASCILÍNDRICASCILÍNDRICASCILÍNDRICAS

En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en el espacio tridimensional está representado por el triple ordenado (¶, ¸, ) donde r y q son coordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida desde el plano hasta P. Las relaciones de las coordenadas rectangulares y las cilíndricas se presentan a continuación.

Z = ¶ cos ¸ ¶ ≥ 0 \ = ¶§�¨¸ 0 ≤ ¸ ≤ 2¦

= Z{ + \{ = ¶{

×�¨¸ = \/Z

Para usar en las integrales triples coordenadas cilíndricas, se una el diferencial de volumen dV el cual puede ser:

j� = jZ ¶ j¶ j¸ j� = j\ ¶ j¶ j¸ j� = j ¶ j¶ j¸

Ù··¶j�¨�j�§ ÙÇÚÇ¨j¶Ç��§: Û(¶, ¸, ) j� = j ¶ j¶ j¸

Los diferenciales dx, dy, dz dependen del plano al que se proyecta el sólido, por ejemplo si el sólido está proyectado al plano xy, se utilizada dz, si está proyectado al plano xz se usara dy y si está proyectado al plano yz se usara dx. Suponga que E es una región cuya proyección D en el plano xy describe convenientemente en coordenadas polares. En particular, suponga que f es continua y

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Ü L |DZ, \, )Ý(Z, \) ∈ �, ¬p(Z, \) ≤ ≤ ¬{(Z, \)� Donde D está en coordenadas polares por � = |(¶, ¸) Ý ß ≤ ¸ ≤ à, ℎp(¸) ≤ ¶ ≤ ℎ{(¸)� Se sabe que la ecuación: i i i c(Z, \, )j� = v �i c(Z, \, )j á�(�,�)

áâ(�,�) � jw�ã

Por lo tanto combinando las ecuaciones tenemos que:

i i i c(Z, \, )j� = i i i c(¶�·§¸, ¶§�¨¸, )j ¶ j¶ j¸á�(Ënäº¼,Ëº»^¼)áâ(Ënäº¼,Ëº»^¼)

å�(¼)åâ(¼)

æçã

Esta es la fórmula para integración triple en coordenadas cilíndricas. Esta dice que se convierte una integral triple en coordenadas rectangulares a cilíndricas al escribir Z = ¶�·§¸, \ = ¶§�¨¸, dejar a z como es, usar los límites de integración apropiados para z, r, θ y reemplazar dV por dz r dr dθ. Es importante usar esta fórmula cuando E es una región solida descrita fácilmente en coordenadas cilíndricas y en particular cuando la función f(x, y, z) tiene que ser con la expresión x2Jy2. Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 12121212 Evalúe

i i i (Äè + Åè)éêéÅéÄè£Äè�Åè

£ësÄè

s£ësÄèè

sè

Esta integral iterada es una integral triple sobre la región solida

Ü = ì(Z, \, ) ∶ −2 ≤ Z ≤ 2, £4 − Z{ ≤ \ ≤ £4 − Z{, £Äè + Åè ≤ ê ≤ èî y la proyección de E sobre el plano xy es el disco Z{ + \{ ≤ 4. La superficie inferior de E es el cono = £Z{ + \{ y su superficie superior es el plano z=2, esta región tiene una descripción mucho más simple en coordenadas cilíndricas.

Ü = |(Z, \, ) 0 ≤ ¸ ≤ 2¦, 0 ≤ ¶ ≤ 2, ¶ ≤ ≤ 2�

xy

z

(2.00,2.00,0.00)

(-2.00,-2.00,2.00)

25


i i i DZ{ J \{Ej j\jZ{

£��£�s��

s£�s��{

s{

L i i iDZ{ J \{Ej�ã

L i i i ¶{{Ë

{�

{¹� j ¶ j¶ j¸

L i j¸{¹

� i ¶�D2 − ¶)j¶{�

= 2¦ °12 ¶� − 1

5 ¶�± 20 = 165 ¦

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 13131313 Encontrar el volumen del sólido que esta fuera del cilindro Z{ + \{ = 9 , y dentro de la esfera Z{ +\{ + { = 25 Para encontrar los límites de z, trazamos una línea paralela al eje z y las superficie que corta serán los limites, en este caso los límites son ïºáð = £25 − (Z{ + \{) y ïe^� = −£25 − (Z{ + \{)

La integral para el volumen sería:

� = 4 i i i j j\jZ√({�s(��)s√({�s(��)

√({�s��)√(Ês��)

�� J 4 i i i j j\jZ√({�s(��)

s√({�s(��)√({�s��)

��

� Como se puede ver tenemos una integral muy compleja, para ello transformaremos a polares:

Z{ J \{ = 25 → ¶{ = 25 → ¶ = 5 Z{ J \{ = 9 → ¶{ = 9 → ¶ = 3

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La nueva integral será: � L � � � j ¶j¶j¸√({�sË�)s√({�sË�)��{¹� Evaluando

� = i i ñ ñ √(25 − ¶{)−√(25 − ¶{)¶j¶j¸�� ={¹

� i i ®£25 − ¶{ − (−£25 − ¶{)¯ ¶j¶j¸�� ={¹

�

� = i i ®2¶£25 − ¶{¯ j¶j¸�� ={¹

� i ò− 2(25 − ¶{)�{3 ó 53 j¸ ={¹

�

� = i °1283 ± j¸ ={¹

�°128

3 ¸± 2¦0 = 256¦

3

6.86.86.86.8 INTEGRALES TRIPLES EN COORDINTEGRALES TRIPLES EN COORDINTEGRALES TRIPLES EN COORDINTEGRALES TRIPLES EN COORDEEEENADASNADASNADASNADAS ESFERICASESFERICASESFERICASESFERICAS Otro útil sistema de coordenadas en tres dimensiones es el sistema de coordenadas esféricas. Simplifica la evaluación de integrales triples sobre regiones acotadas por esferas o conos. Z = ô§�¨(õ) cos(¸) \ = ô§�¨(õ)sen(θ) ô ≥ 0, 0 ≤ ¸ ≤ 2¦, 0 ≤ õ ≤ ¦ = ôcos (õ) ô = £Z{ + \{ + {

Z{ + \{= ô{ ∙ §�¨{(õ) cos(õ) =

ö

i i i c(Z, \, )j�ã

= i i i c(ô§�¨õ �·§¸, ô§�¨õkl

mn

æç

§�¨¸, ô�·§õ)ô{§�¨õ jô jõ j¸ Esta sería la fórmula general para evaluar integrales triples de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas.

27


Siendo j� L ô{§�¨õ jô jõ j¸ Ù··¶j�¨�j�§ Ü§c�¶Ç��§: ÛDô, ¸, ∅), j� = ô{ §�¨ ∅ jô j∅ j¸

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo 14141414 Hallar el volumen de la porción del cono { = Z{ + \{ , limitada superiormente por la esfera Z{ +

\{ + { = �{ De la ecuación de la esfera Z{ + \{ + { = �{, pasamos a esféricas y tenemos

ρ{ = a{ ρ = a

Y de la ecuación del cono { = Z{ + \{, pasamos a esféricas y tenemos ρ{cos{∅ = ρ{sen{∅

cos∅ = sen∅ 1 = sen∅

cos∅ ×�¨∅ = 1

∅ = ×�¨sp(1) = ¦4

28


La integral para el volumen sería: � L i i i ô{§�¨DùEjôjùj¸l

�¹/�

�{¹

� � L i i �ô�3 ��

l §�¨DùE jù j¸ L ��3 i TXcos DùEU�¹�{¹

�¹/�

�{¹

� j¸ � L ��3 i �1 − 1

√2�{¹�

j¸ = 2¦ ��3 �1 − 1

√2�

6.96.96.96.9 APLICAPLICAPLICAPLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLESACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLESACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLESACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES Recuerde que si c(Z) ≥ 0, entonces la integral simple � c(Z)jZk

l representa al área bajo la curva \ = c(Z) de a a b, y si c(Z, \) ≥ 0, entonces la integral doble ∬ c(Z, \)jw� representa al volumen bajo la superficie = c(Z, \) y arriba de D. La interpretación correspondiente de una integral triple ∭ c(Z, \, )j�ã , donde c(Z, \, ) ≥ 0, no es muy útil porque sería el “hipervolumen” de un objeto tetradimensional y, por supuesto, es muy difícil representar. (Recuerde que E es sólo el dominio de la función f, la gráfica de f se localiza en el espacio tetradimensional.) No obstante, la integral triple ∭ c(Z, \, )j�ã se puede interpretar de varias maneras en diferentes situaciones físicas, lo que depende de las interpretaciones físicas de x, y, z y f(x, y, z).

Se comenzará con el caso especial donde f (x, y, z) = 1 para los puntos en E. Entonces la integral triple representa al volumen de E:

�(Ü) = Ó j�ã

Las aplicaciones de las integrales dobles se pueden extender de inmediato a las integrales triples. Por ejemplo, si la función de densidad de un objeto sólido que ocupa la región E es ô(Z, \, ), en unidades de masa por unidad de volumen, en cualquier punto dado (x, y, z), entonces su masa es

29


û L Ó ôDZ, \, )j�ã

y sus momentos respecto a los tres planos coordenados son ü� = ∭ Zô(Z, \, )j�ã ü� = ∭ \ô(Z, \, )j�ã ü�� = ∭ ô(Z, \, )j�ã El centro de masa se localiza en el punto (Z̅, \], ̅), donde Z̅ = ýþ�a \] = ý��a ̅ = ý�þa Los momentos de inercia respecto a los tres ejes coordenados son Ý� = ∭ (\{ J {)ô(Z, \, )j�ã Ý� = ∭ (Z{ J {)ô(Z, \, )j�ã Ý = ∭ (Z{ J \{)ô(Z, \, )j�ã La carga eléctrica total sobre un objeto sólido que ocupa una región E y que tiene densidad de carga �(Z, \, ) es

Ò = Ó �(Z, \, )j�ã

7. EJERCICIOS y PROBLEMAS PROPUES7. EJERCICIOS y PROBLEMAS PROPUES7. EJERCICIOS y PROBLEMAS PROPUES7. EJERCICIOS y PROBLEMAS PROPUESTOSTOSTOSTOS 7.17.17.17.1 RealRealRealRealizar las siguientes izar las siguientes izar las siguientes izar las siguientes ejercicios aplicando software matemático para todas las gráficas y cálculos.ejercicios aplicando software matemático para todas las gráficas y cálculos.ejercicios aplicando software matemático para todas las gráficas y cálculos.ejercicios aplicando software matemático para todas las gráficas y cálculos.

LIBRO LIBRO LIBRO LIBRO –––– STEWART STEWART STEWART STEWART séptima edición séptima edición séptima edición séptima edición EJERCICIOSEJERCICIOSEJERCICIOSEJERCICIOS Seccion 15.1 4,6,7,17

Seccion 15.3 33,40,56,63,68

Seccion 15.4 18,24,28,35,36

Seccion 15.5 13,15,20,25,30

Seccion 15.6 10,13,23

Seccion 15.7 20,34,40,46,53

Seccion 15.8 13,25,26,27

Seccion 15.9 16,19,29,32,42

7.27.27.27.2 Problemas de aplicaciónProblemas de aplicaciónProblemas de aplicaciónProblemas de aplicación adicionalesadicionalesadicionalesadicionales

1)1)1)1) La carga eléctrica se distribuye sobre el disco Z{ J \{ ≤ 4 , de modo que la densidad de carga en ( x,y ) es � = Z J \ J Z{ J \{ (coulombs/m2) . Calcule la carga total sobre el disco. 2)2)2)2) Suponga que el triángulo R con vértices (0,0), (0,10) y (10,0) representa la región situada dentro del límite

de cierta región de una provincia . Después de una tormenta de invierno, la profundidad del agua en el

punto (x, y) de R era c(Z, \) =p

��

s�

â��s

þ

�� cm. Suponiendo que x e y se miden en centímetros . Halle una

expresión para establecer la profundidad media del agua en la región.

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3E3E3E3E Calcule el volumen, usando integrales múltiples, de un granero, que tiene una base rectangular de 6 por

12 metros y paredes verticales de 9 m de altura al frente (que está del lado que mide 6 m) y 12 m detrás.

(El granero tiene techo plano)

4)4)4)4) La temperatura en los puntos del cubo C L |Dx, y,z)/ −1≤ x ≤1, −1≤ y ≤1 y 1≤ z ≤ 1} es 32d2 , donde d

es la distancia al origen.

(a) ¿Cuál es la temperatura promedio? DbE ¿En cuáles puntos del cubo es la temperatura igual a la temperatura promedio? 8. 8. 8. 8. OBSERVACIONES ESPECIALESOBSERVACIONES ESPECIALESOBSERVACIONES ESPECIALESOBSERVACIONES ESPECIALES � Revise los conceptos vistos en clase y el material subido al AVAC. � Desarrollar todas las actividades, los ejercicios propuestos en esta guía y los recomendados por el docente. � Los talleres en clase pueden desarrollarse con grupos de 2 o 3 estudiantes � Utilice software matemático para ayuda con las gráficas de los ejercicios. � Ante cualquier duda, pregunte a su profesor y asista a las tutorías

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CALCULO VECTORIAL Guia unidad4 cvectorial-p44