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Composito de Leyes para determinación de variograma, ajuste a histograma
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
INFORME DE GEOESTADISTICA I VARIOGRAMA E HISTOGRAMA DE GRUPOS DE VARIABLES
ALUMNO: HUAYRA GABRIEL, Jhan Carlos
CODIGO: 20101036E
CURSO: GEOESTADISTICA I
PROFESOR: PhD. MARIN SUAREZ, Valeriano Alfredo
PROFESOR DE PRACTICA: Ing. TEVES ROJAS, Augusto
“AÑO DE LA INVERSIÓN PARA EL
DESARROLLO RURAL Y
LA SEGURIDAD ALIMENTARIA”
FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA MINERA Y METALURGICA
UNIVERSIDAD NACINAL DE INGENIERIA FIGMM
1 GEOESTADISTICA I
INDICE
I. OBJETIVOS…………………………………………………………………………………...……………………2
II. ALCANCES…………………………………………………………………………………….……..………..…..2
III. INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………….……….……..…..………4
IV. ANTECEDENTES DE LA GEOESTADISTICA………………………………………………………….5
V. MARCO TEÓRICO……………………………………………………………………….……….….………….7
VI. SIMULACION DE VARIABLES ALEATORIAS……………………………….……….……………….9
VI.1 Definición del Problema
VI.2 Algoritmo De Simulación de Mil variables aleatorias en Visual Basic 6.0
VI.3 Algoritmo para cálculo del promedio y hallar el Variograma del
promedio que resulta en Visual Basic 6.0
VII. CALCULO DEL VARIOGRAMAS Y LEYES DEL GRUPO…………………………………………..12
VIII. SIMULACIONES DE DATOS , HISTOGRAMA Y VARIOGRAMA………………...…..13
VIII.1. PRIMERA SIMULACION (Leyes entre 2 y 9)
VIII.2. SEGUNDA SIMULACION (Leyes entre 0 y 12)
IX. ANALISIS DE RESULTADOS…………………………………………………………………....…………23
X. CONCLUSIONES………………………………………………………………………………………….…….24
XI. RECOMENDACIONES………………………………………………………………………………….…….25
XII. BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………………………………….……25
UNIVERSIDAD NACINAL DE INGENIERIA FIGMM
2 GEOESTADISTICA I
I. OBJETIVOS
Aprender y comprender el Variograma.
Analizar el Variograma con datos aleatorios producto de una simulación, en
este caso de 10000 datos.
Comprender el comportamiento del Variograma con datos agrupados de
diferentes maneras.
Comprender que las herramientas estadísticas no son suficientes para
analizar un conjunto de variables ubicadas en una región determina del
espacio.
Analizar el grafico del histograma en función a los resultados estadísticos.
Analizar el grafico del Variograma y analizarlo en relación a resultados
estadísticos.
II. ALCANCES
En el transcurso de este primer informe se podrá dar cuenta de que el análisis
del Variograma es muy útil para saber cómo cambia una variable en el espacio.
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3 GEOESTADISTICA I
III. INTRODUCCIÓN
La necesidad de acudir a herramientas estadísticas para el análisis de datos en todas las áreas del conocimiento, ha hecho que aparezcan con el correr de los años nuevas metodologías que, no obstante se centran en fundamentos probabilísticos comunes, son específicas para cada una de las diversas disciplinas del saber. Algunos ejemplos son, entre otros, la econometría, psicometría o la bioestadística. La gran relevancia que tiene actualmente a nivel mundial el tema ambiental ha hecho que los profesionales en estadística encaminen esfuerzos en el desarrollo de nuevas técnicas apropiadas para el análisis de información enmarcada dentro de este contexto. Como consecuencia de este impulso surgió la geoestadística, teniendo como padre a George Matheron. El presente informe tiene como propósito servir de ayuda para poder observar cómo se realiza un Variograma, cuáles son sus resultados para variables aleatorias de gran numero y como varia su grafica dependiendo como están ordenados estas variables. El principal soporte teórico del presente es la teoría aprendida en clase de geoestadística I, gracias al método constructivo con el cual se dicta el curso.
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4 GEOESTADISTICA I
IV. ANTECEDENTES DE LA GEOESTADISTICA.
La geoestadística es uno de los más grandes descubrimientos de siclo XX. Teniendo como
padre a Profesor Georges Matheron (1930 - 2000). De la escuela Fontainebleau, Francia.
"UNE VIE CONSACRÉE À LA MODÉLISATION PROBABILISTE"
Al llegar la geoestadística a américa latina se aplicó en Chile, esto debido a que las
condiciones burocráticas lo permitían.
La geoestadística en américa latina tiene como antecedente el trabajo presentado por
Michel Dagbert(SGS-geoestat Blainville, Quebec, Canadá) en la charla inaugural del Octavo
Congreso Internacional de Geoestadística, llevado a cabo en Santiago de Chile en diciembre
del 2008 En efecto, en el marco de la cooperación entre Francia y Chile, el Dr. Alain
Marechal, investigador del centro de geoestadística de Fontainebleau, Francia, enseñó
geoestadística y formó un equipo de geoestadística en el Departamento de Ingeniería de
Minas de la Universidad de Chile desde 1971 a 1973.
El equipo de investigación dirigido por el profesor Alain Marechal estaba constituido por 3
grupos:
1) Un grupo de 4 investigadores (Issac Ugarte (De nacionalidad Boliviana), Marco
Alfaro y Jorge Walton) para trabajar en proyectos de Codelco.
2) Un grupo de Desarrollo de Software en Geoestadística para el desarrollo y
programación de Métodos Numéricos, que permitan aplicar la Geoestadística
teórica de Matheron en las minas principales de Chile, a cargo de Alfredo Marín con
3 estudiantes de apoyo.
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5 GEOESTADISTICA I
3) Un grupo de investigación operativa a cargo de Jorge Mas y Hernán Buchi
(Posteriormente ministro de Hacienda de la república de Chile), con 3 estudiantes
de apoyo.
Luego se comentará sobre aplicaciones en Perú, Chile, Colombia, Ecuador y Estados Unidos
de Norteamérica.
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6 GEOESTADISTICA I
UNIVERSIDAD NACINAL DE INGENIERIA FIGMM
7 GEOESTADISTICA I
V. MARCO TEÓRICO
VARIOGRAMA:
Es una función vectorial que permite medir las discrepancias de una propiedad en una región
del espacio. Siendo un herramienta de uso en el análisis de reservas minerales en una región
definida.
Una vez que se ha obtenido el variograma experimental y se ha estudiado su comportamiento,
el paso siguiente es encontrar algún modelo paramétrico que ajuste adecuadamente los datos
muestrales, esto es realizado por medio de variogramas teóricos. A continuación se muestras
los diferentes modelos de variogramas teóricos.
Como se puede observar cada modelo puede tener una forma diferente que se ajustara a un
comportamiento determinado del variograma experimental. Cada modelo tiene una meseta
que es el máximo valor del variograma, al alcanzarse la meseta se dice que se esta en el rango
que es el máximo valor de h al cual se puede decir que los puntos discretizados están
correlacionados, por lo tanto, un valor del rango muy pequeño conlleva a altas
heterogeneidades. En muchos casos, para un h igual a cero, el variograma no da cero lo cual es
un error ya que se estaría realizando un estudio continuo de la propiedad de interés, esto es
llamado efecto pepita y es provocado por errores en la toma de los datos en la mayoría de los
casos. A continuación se muestra un ejemplo del ajuste del variograma experimental con un
variograma teórico Gausiano.
Los variogramas son realizados en
varias direcciones para definir
adecuadamente el comportamiento de
la propiedad estudiada en toda la
extensión del yacimiento, en caso de
que se este estudiando en un plano
horizontal. Dependiendo de los
resultados se utilizará un método
geoestadístico u otro.
UNIVERSIDAD NACINAL DE INGENIERIA FIGMM
8 GEOESTADISTICA I
HISTOGRAMA
En estadística, un histograma es una representación gráfica de una variable en forma
de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los
valores representados. Sirven para obtener una "primera vista" general, o panorama,
de la distribución de la población, o la muestra, respecto a una característica,
cuantitativa y continua, de la misma y que es de interés para el observador (como la
longitud o la masa). De esta manera ofrece una visión en grupo permitiendo observar
una preferencia, o tendencia, por parte de la muestra o población por ubicarse hacia
una determinada región de valores dentro del espectro de valores posibles (sean
infinitos o no) que pueda adquirir la característica. Así pues, podemos evidenciar
comportamientos, observar el grado de homogeneidad, acuerdo o concisión entre los
valores de todas las partes que componen la población o la muestra, o, en
contraposición, poder observar el grado de variabilidad, y por ende, la dispersión de
todos los valores que toman las partes, también es posible no evidenciar ninguna
tendencia y obtener que cada miembro de la población toma por su lado y adquiere un
valor de la característica aleatoriamente sin mostrar ninguna preferencia o tendencia,
entre otras cosas.
En el eje vertical se representan las frecuencias, es decir, la cantidad de población o la
muestra, según sea el caso, que se ubica en un determinado valor o subrango de
valores de la característica conocido como intervalo de clase. En el eje horizontal se
representa el espectro de valores posibles que toma la característica de interés,
evidentemente, cuando éste espectro de
valores es infinito o muy grande el mismo es
reducido a sólo una parte que muestre la
tendencia o comportamiento de la población,
en otras ocasiones éste espectro es extendido
para mostrar el alejamiento o ubicación de la
población o la muestra analizada respecto de
un valor de interés.
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9 GEOESTADISTICA I
VI. SIMULACION DE VARIABLES ALEATORIAS
VI.1 Definición del Problema
Simular el problema de variables aleatorias entre dos leyes, el número de variables aleatorias
es de 10000, las cuales deberán ser promediadas, primero de 1 en 1, luego de 5 en 5, luego de
10 en 10, de 20 en 20, de 50 en 50, de 100 en 100 y finalmente de 200 en 200.
VI.2 Algoritmo De Simulación de 10 Mil variables aleatorias en Visual Basic 6.0
Todas las aplicaciones de realizaran con Visual Basic con Excel.
VI.3 Algoritmo para calculo del promedio y hallar el Variograma del promedio
que resulta en Visual Basic 6.0
a) de 1 en 1
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10 GEOESTADISTICA I
b) de 5 en 5
c) de 10 en 10
d) de 20 en 20
UNIVERSIDAD NACINAL DE INGENIERIA FIGMM
11 GEOESTADISTICA I
e) de 50 en 50
f) de 100 en 100
g) de 200 en 200
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12 GEOESTADISTICA I
VII. CALCULO DE VARIOGRAMAS Y LEYES POR GRUPOS
Resultados de las leyes promedio y de los Variograma que resultan de las leyes
promedias: Ejemplo: Leyes entre 9 y 2
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13 GEOESTADISTICA I
VIII. SIMULACIONES DE DATOS , HISTOGRAMA Y VARIOGRAMA
VIII.1. PRIMERA SIMULACION (Leyes entre 2 y 9):
Histogramas :
0
50
100
150
200
250
300
9,1
20
08
84
34
9,3
60
08
07
67
9,6
00
07
30
99
9,8
40
06
54
32
10
,08
00
57
76
10
,32
00
50
1
10
,56
00
42
43
10
,80
00
34
76
11
,04
00
27
09
11
,28
00
19
43
11
,52
00
11
76
11
,76
00
04
09
11
,99
99
96
42
12
,23
99
88
76
12
,47
99
81
09
12
,71
99
73
42
12
,95
99
65
75
13
,19
99
58
09
13
,43
99
50
42
13
,67
99
42
75
13
,91
99
35
08
14
,15
99
27
42
14
,39
99
19
75
14
,63
99
12
08
14
,87
99
04
41
y m
ayo
r...
Fre
cue
nci
a
Clase
Histograma de 1 en 1
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
2,7480460…
2,9639595…
3,1798730…
3,3957864…
3,6116999…
3,8276134…
4,0435268…
4,2594403…
4,4753538…
4,6912673…
4,9071807…
5,1230942…
5,3390077…
5,5549211…
5,7708346…
5,9867481…
6,2026615…
6,4185750…
6,6344885…
6,8504020…
7,0663154…
7,2822289…
7,4981424…
7,7140558…
7,9299693…
8,1458828…
y m
ayo
r...
Fre
cue
nci
a
Clase
Histograma de 5 en 5
UNIVERSIDAD NACINAL DE INGENIERIA FIGMM
14 GEOESTADISTICA I
0
20
40
60
80
100
120
140
Fre
cue
nci
a
Clase
Histograma de 10 en 10
0
10
20
30
40
50
Fre
cue
nci
a
Clase
Histograma de 20 en 20
0
5
10
15
20
25
30
Fre
cue
nci
a
Clase
Histograma de 50 en 50
UNIVERSIDAD NACINAL DE INGENIERIA FIGMM
15 GEOESTADISTICA I
Resultados estadísticos:
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Fre
cue
nci
a
Clase
Histograma de 100 en 1000
0
2
4
6
8
10
Fre
cue
nci
a
Clase
Histograma de 200 en 200
GRUPO
1 EN 1
GRUPO
5 EN 5
GRUPO
10 EN 10
GRUPO
20 EN 20
GRUPO
50 EN 5
GRUPO
100 EN 100
GRUPO
200 EN 200
MEDIA 5,47745843 5,47745843 5,47745843 5,47745843 5,47968979 5,48079938 5,48256306
VARIANZA 4,06941906 0,80823847 0,3817208 0,1973053 0,08348815 0,03437712 0,01453629
DESVIACIO ESTANDAR 2,01728011 0,89902084 0,61783558 0,44419061 0,28894317 0,18541068 0,12056654
COEF DE VARIACION 0,36828762 0,16413102 0,11279603 0,08109429 0,05272984 0,03382913 0,02199091
UNIVERSIDAD NACINAL DE INGENIERIA FIGMM
16 GEOESTADISTICA I
Variogramas :
0
1
2
3
4
5
6
7
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000h
𝜸(𝒉)
UNIVERSIDAD NACINAL DE INGENIERIA FIGMM
17 GEOESTADISTICA I
Vista de la parte inferior del Variograma:
UNIVERSIDAD NACINAL DE INGENIERIA FIGMM
18 GEOESTADISTICA I
VIII.1. SEGUNDA SIMULACION (Leyes de 0 a 12):
Histogramas :
050
100150200250300
0,0
00
18
45
36
0,4
80
16
92
01
0,9
60
15
38
66
1,4
40
13
85
31
1,9
20
12
31
96
2,4
00
10
78
61
2,8
80
09
25
25
3,3
60
07
71
9
3,8
40
06
18
55
4,3
20
04
65
2
4,8
00
03
11
85
5,2
80
01
58
5
5,7
60
00
05
15
6,2
39
98
51
8
6,7
19
96
98
45
7,1
99
95
45
1
7,6
79
93
91
75
8,1
59
92
38
4
8,6
39
90
85
04
9,1
19
89
31
69
9,5
99
87
78
34
10
,07
98
62
5
10
,55
98
47
16
11
,03
98
31
83
11
,51
98
16
49
y m
ayo
r...
Fre
cue
nci
a
Clase
Histograma de 1 en 1
020406080
100120140160180200
1,2
82
36
47
02
1,6
52
50
20
79
2,0
22
63
94
56
2,3
92
77
68
33
2,7
62
91
42
09
3,1
33
05
15
86
3,5
03
18
89
63
3,8
73
32
63
4
4,2
43
46
37
17
4,6
13
60
10
93
4,9
83
73
84
7
5,3
53
87
58
47
5,7
24
01
32
24
6,0
94
15
06
6,4
64
28
79
77
6,8
34
42
53
54
7,2
04
56
27
31
7,5
74
70
01
08
7,9
44
83
74
84
8,3
14
97
48
61
8,6
85
11
22
38
9,0
55
24
96
15
9,4
25
38
69
92
9,7
95
52
43
68
10
,16
56
61
75
10
,53
57
99
12
y m
ayo
r...
Fre
cue
nci
a
Clase
Histograma de 5 en 5
0
20
40
60
80
100
120
140
2,0
57
79
05
42
2,3
50
71
82
87
2,6
43
64
60
33
2,9
36
57
37
79
3,2
29
50
15
25
3,5
22
42
92
71
3,8
15
35
70
17
4,1
08
28
47
62
4,4
01
21
25
08
4,6
94
14
02
54
4,9
87
06
8
5,2
79
99
57
46
5,5
72
92
34
91
5,8
65
85
12
37
6,1
58
77
89
83
6,4
51
70
67
29
6,7
44
63
44
75
7,0
37
56
22
21
7,3
30
48
99
66
7,6
23
41
77
12
7,9
16
34
54
58
8,2
09
27
32
04
8,5
02
20
09
5
8,7
95
12
86
95
9,0
88
05
64
41
9,3
80
98
41
87
y m
ayo
r...
Fre
cue
nci
a
Clase
Histograma de 10 en 10
UNIVERSIDAD NACINAL DE INGENIERIA FIGMM
19 GEOESTADISTICA I
0
10
20
30
40
50
3,9
09
02
53
11
4,0
89
06
55
72
4,2
69
10
58
32
4,4
49
14
60
92
4,6
29
18
63
53
4,8
09
22
66
13
4,9
89
26
68
73
5,1
69
30
71
34
5,3
49
34
73
94
5,5
29
38
76
54
5,7
09
42
79
15
5,8
89
46
81
75
6,0
69
50
84
35
6,2
49
54
86
96
6,4
29
58
89
56
6,6
09
62
92
16
6,7
89
66
94
77
6,9
69
70
97
37
7,1
49
74
99
97
7,3
29
79
02
57
7,5
09
83
05
18
7,6
89
87
07
78
7,8
69
91
10
38
8,0
49
95
12
99
8,2
29
99
15
59
8,4
10
03
18
19
y m
ayo
r...
Fre
cue
nci
a
Clase
Histograma de 20 en 20
0
5
10
15
20
25
30
4,8
39
81
33
23
4,9
62
09
42
91
5,0
84
37
52
58
5,2
06
65
62
26
5,3
28
93
71
94
5,4
51
21
81
62
5,5
73
49
91
29
5,6
95
78
00
97
5,8
18
06
10
65
5,9
40
34
20
32
6,0
62
62
3
6,1
84
90
39
68
6,3
07
18
49
36
6,4
29
46
59
03
6,5
51
74
68
71
6,6
74
02
78
39
6,7
96
30
88
06
6,9
18
58
97
74
7,0
40
87
07
42
7,1
63
15
17
1
7,2
85
43
26
77
7,4
07
71
36
45
7,5
29
99
46
13
7,6
52
27
55
8
7,7
74
55
65
48
7,8
96
83
75
16
y m
ayo
r...
Fre
cue
nci
a
Clase
Histograma de 50 en 50
02468
1012141618
Fre
cue
nci
a
Clase
Histograma de 100 en 100
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20 GEOESTADISTICA I
Resultados estadísticos:
0123456789
Fre
cue
nci
a
Clase
Histograma de 200 en 200
GRUPO
1 EN 1
GRUPO
5 EN 5
GRUPO
10 EN 10
GRUPO
20 EN 20
GRUPO
50 EN 5
GRUPO
100 EN 100
GRUPO
200 EN 200
MEDIA 5,9613573 5,9613573 5,9613573 5,9613573 5,96518251 5,96708465 5,9701081
VARIANZA 11,9591091 2,37523141 1,12179173 0,57983599 0,24535294 0,10102664 0,04271889
DESVIACIO ESTANDAR 3,45819448 1,54117858 1,0591467 0,76146962 0,49533115 0,31784689 0,20668549
COEF DE VARIACION 0,58010186 0,25852813 0,17766872 0,12773427 0,08303705 0,0532667 0,03462006
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21 GEOESTADISTICA I
Variogramas :
0
1
2
3
4
5
6
7
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
𝜸(𝒉)
h
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22 GEOESTADISTICA I
Vista de la parte inferior del Variograma:
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23 GEOESTADISTICA I
IX. ANALISIS DE RESULTADOS
Al comparar los Variogramas, que resultaron de las simulaciones, se puede
observar que todos los Variogramas tienen el mismo comportamiento,
todos tienen la misma forma de curva, eso a pesar de estar en función a
promedios agrupados, ya sea de 5 en 5, 10 en 10, etc.
Se puede observar que todos los puntos del Variograma de las variables
simuladas tienden a una línea recta, el cual es un efecto pepita puro, la línea
recta a la cual tiende el Variograma tiene como efecto pepita igual a la varianza
de la distribución de las leyes.
El coeficiente de variación es una medida que indica, que puede ser
porcentualmente, qué tan dispersos o separados están los datos, unos con
respecto a otros. Un CV cercano a cero indica que los datos están muy juntos (o
son muy similares), mientras que un CV muy grande (cercano a 100% o a 1, o
mayor a estos valores) indica que los datos están muy dispersos o son muy
diversos. Se observa que a medida que se incrementa el número de variables
promediadas, disminuye el coeficiente de variación y la varianza.
Los Histogramas, a medida que se incrementa el número de agrupaciones, se
asemejan a una Distribución Normal, a diferencia del histograma en el que se
toman los datos por cada unidad y no agrupados.
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24 GEOESTADISTICA I
X. CONCLUSIONES
La curva Variograma de una zona siempre tendrá el mismo comportamiento
a pesar de que todos los datos sean agrupados de diferentes maneras, como
en los casos de la simulación realizada.
El Variograma de los datos simulados tienden a una línea recta, el cual es
el efecto pepita de nuestro yacimiento simulado, el cual tienen de a ser
numéricamente igual a la varianza, 𝑪𝟎 ≈ 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂
A medida que se incrementa el número de las agrupaciones de las variables
simuladas la dispersión disminuye, el cual es reflejado por la disminución
de la varianza y coeficiente de variación.
La media de todas las variables de simulación se mantiene a pesar de las
diferentes agrupaciones que se realizan.
A menor dispersión de los datos , el Histograma tiende a una Distribución
Normal desplazada hacia la media de toda las variables aleatorias
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25 GEOESTADISTICA I
XI. RECOMENDACIONES
En el cómputo de los códigos de Visual Basic se debe tener mucho cuidado,
ya que sino el programa no se ejecuta, también se deben declarar todas las
variables para que sean considerados números o no. La mala edición de los
códigos produce errores fatales en el resultado.
Al momento de ingresar la máxima y mínima ley se debe tener cuidado de
que se asemejen a datos cercanos a la realidad. Por ejemplo ley de Cu de
1.9%
Para tener una mejor apreciación de la gráfica de histogramas es
recomendable que se deba de realizar con varios anchos de clase.
Para un mejor análisis del grafico del Variograma se debe de incrementar el
tamaño, ya que cuando el coeficiente de variación tienen de a cero es muy
difícil visualizar el comportamiento de la curva.
XII. BIBLIOGRAFIA
clases de Informática por Ing. Chávez, Adolfo
Clases del PhD. Alfredo Marín Suarez
http://geoestadistica.org/index.html, página del CENTRO GEOESTADÍSTICO
PERUANO, Lima 12 de mayo del 2013.
SIMPOSIUM INTERNACIONAL DE PLANEAMIENTO DE MINA
(SIPLAMIN2012), Exposición realizada por el Dr. Alfredo Marín, Lima 15 de
noviembre del 2012.
