1. Modeliranje ležišta savremenim alatimargf.bg.ac.rs/predmet/RO/VIII semestar/Projektovanje povrsinskih... · variograma, kontinuitet variograma, model i anizotropija. Parametri

Skripta iz Projektovanja površinskih kopova Rudarsko-geološki fakultet Beograd

Prof.dr Božo Kolonja, Doc.dr Ranka Stanković, Dejan Stevanović, Mirjana Jovanović

1

1. Modeliranje ležišta savremenim alatima Alat: Minex

Metode modeliranja, Kreiranje Minex strukturnog modela i modela kvaliteta

2.1. Uvod

2.1.1. Klasifikacija metoda modeliranja Prva podela modela se može uraditi prema tipovima matematičkih metoda na

osnovu kojih se izračunavaju: triangulacije (triangulation) ili primenom pravilne mreže (gridding). Kod trijangulacije formira se mreža trouglova kroz poznate tačke i zatim se vrši procena vrednosti posmatrane veličine između temena trouglova. Kod primene regularne mreže, u zadatom prostoru koji sadrži tačke sa poznatim veličinama se postavlja pravilna mreža i zatim se vrši proračun vrednosti tražene veličine u čvorovima mreže. Triangulacija spada u direktne metode, s obzirom da se konture izvlače na osnovu originalnih tačaka a primena mreže u indirektne budući da se konture konstruišu na osnovu procenjenih vrednosti u čvorovima mreže.

Modeli mogu biti interpolacioni, kod koji se izračunavaju vrednosti između tačaka sa poznatim vrednostima i ekstrapolacioni, kod kojih se modeliranje vrši i izvan mreže poznatih tačaka.

Izbor metode zavisi od broja poznatih tačaka, njihovog položaja, prirode promenljive koja se modelira i namene modela (i izvedenih karata). Kako bi se pravilno definisali parametri proračuna, potrebno je poznavati niz karakteristika, kao što su:

karakter modelirane veličine – da li je modelirana veličina lokalna ili globalna;

veličina modelirane oblasti;

oblik – da li je zahvaćena oblast pravilnog ili nepravilnog oblika, da li je slojevita ili, na primer nagnuta;

postojanje eventualnih diskontiniteta.

U slučaju primene metoda zasnovanih na mrežama, nabrojani parametri će uticati na izbor mreže, odnosno na njenu gustinu i orijentaciju. S obzirom na veliki broj parametara koje je potrebno uzeti u obzir, kao i na specifičnosti svakog konkretnog slučaja modeliranja, neophodno je eksperimentisati sa različitim metodama i variranjem parametara. Prethodna iskustva sa sličnim modelima mogu poslužiti da se ograniči broj metoda koje se uzimaju u razmatranje. Posle izvršene kontrole rezultata dobijenih svakom primenjenom metodom, usvaja se ona koja ima najmanju grešku. Bez obzira na primenjenu metodu, postojaće manja ili veća odstupanja, a osim toga, tačnost modela će u svakom slučaju zavisiti i od kvaliteta ulaza – tačan proračun sa netačnim ulaznim podacima i dalje nikome ne koristi.

Procena pouzdanosti dobijenih rezltata nije jednostavna i zavisi od više faktora. Neke medode imaju bolju „merljivost“ pouzdanosti dok su neke kao „crne kutije“ po principu „uzmi ili ostavi“. Neformalno govoreći, može se smatrati da su dobijeni rezultati pouzdani u sledećim slučajevima:

Ukoliko postoji "dovoljan broj" poznatih tačaka na "dovoljno bliskom" rastojanju i ukoliko postojeći podaci realno predstavljaju minimum i maksimum posmatrane veličine. Naravno, definicija "dovoljno velikog" i "dovoljno bliskog" zavisi kako od izabrane metode, tako i od prirode modelirane veličine.



2

Ukoliko posmatrana promenljiva može biti prikazana neprekidnom površi, tj. ukoliko ne postoje (nelogični) diskontinuiteti i druge nagle promene u vrednostima.

Ukoliko površ koja se postavlja kroz tačke može biti izražena matematičnom jednačinom.

Iako neki od ovih zahteva mogu izgledati na prvi pogled previše strogi, naročito kada je u pitanju zahtev dovoljnim brojem podataka, ne treba zaboraviti da svaka metoda ima specifične zahteve koje je potrebno zadovoljiti kako bi se dobili smisleni rezultati. Na primer, metoda inverznog rastojanja zahteva najmanje 6 poznatih tačaka kako bi uopšte mogla da se primeni, dok na primer krigovanje zahteva minimum od 30 tačaka.

2.1.2. Triangulacija Kod trijangulacije je svaka poznata tačka teme trougla, odnosno po tri

nekolinearne tačke se povezuju pravim linijama kako bi se dobio trougao u ravni, a potom površ definisala mrežom ovakvih trouglova. Da bi procena bila bolja, trouglovi treba da bude što bliži jednakostraničnom, sa približno jednakim stranicama. Ovakvi trouglovi se u engleskoj terminologiji nazivaju "fat triangles", za razliku od trouglova koji imaju jedan tup ugao i koji su manje povoljni sa aspekta modeliranja. Što su strane truoglova kraće (odnosno površina trouglova manja), to se dobija detaljnija mreža.

Postoje dva algoritma za triangulaciju linearni i Delauney-jev. Prvi je jednostavniji za implementaciju, ali daje manje kvalitetno rešenje, koje ne mora biti jedinstveno. Delaunay-eva triangulacija je kompleksnija, ali daje jedinstvenu mrežu trouglova.

Prednost triangulacije je što se veoma brzo i lako može implementirati i izvršiti. Takođe, dobija se odlično poklapanje dobijene površi sa poznatim tačkama. U teoriji, bez obzira na stepen glatkosti površi dobija se ista karta, dok na primer, kod primene metoda zasnovanih na mreži promena glatkosti daje potpuno različitu kartu. Dobijene površi se mogu koristiti za volumetrijska izračunavanja.

2.1.3. Pregled metoda zasnovanih na mreži Ove metode su zasnovane na korišćenju poznatih tačaka za proračun vrednosti u

čvorovima pravilne mreže. Da bi se ove metode mogla uspešno primentiti podaci koji se procenjuju moraju imati slučajnu prostornu raspodelu (ukoliko se sa istog prostora uzme drugi komplet uzoraka, oba kompleta moraju imati statistički sličnu srednju vrednost i varijansu). Osim toga, u prostoru koji se modelira ne smeju postojati diskontinuiteti.

Za izračunavanje vrednosti čvorova u mreži može se koristiti veliki broj algoritama, što zavisi i od podataka ali i od raspoloživog softverskog rešenja. Prihvatljiva površ je najčešće rezultat većeg broja eksperimenata sa različitim algoritmima i parametrima. Najčešće korišćeni algoritmi, koji su implementirani u alatima za modeliranje su:

Inverzno rastojanje - uticaj svake obližnje tačke se koriguje težinskim koeficijentom u zavisnosti od udaljenosti od tačke za koju se radi procena. Na taj način, bliže tačke imaju veći uticaj od udaljenijih.

Krigovanje – težinski koeficijenti se dobijaju korišćenjem variograma, koji će biti kasnije objašnjen. Ovakav pristup znači da je krigovanje geostatistička metoda, odnosno, statistička metoda koja je primenjena tako da uzima u obzir ono što se zna o lokalnoj geologiji, mineralogiji i strukturi. Kada se variogram dobro ponaša i kada je dobro poznat, za dobijenu procenu se često kaže da je BEST, LINEAR, UNBIASED ESTIMATE (BLUE).



3

Splajnovi – neprekidna površ se uklopi (fituje) u poznate tačke diferencijalnim jednačinama. Kada se koristi ovaj algoritam, izračunaju se početne vrednosti za svaki čvor mreže korišćenjem vrednostti okolnih poznatih tačaka, a zatim se nastavlja sa iterativnim postupkom sve dok se ne postigne unapred definisana razlika ili se postigne maksimalni broj iteracija.

Polinomne površi – neprekidna površ se uklapa sa vrednostima u poznatim tačkama, kao polinom prvog, drugog ili trećeg stepena X i Y kordinata. Nakon izračunavanja koeficijenata polinoma, vrši se izračunavanje vrednosti u tačkama čvorova mreže.

Primena algoritama zasnovanih na mreži omogućava ekstrapolaciju izvan skupa poznatih tačaka uz dobijanje tačnijih rezultata nego kod primene triangulacije. U zavisnosti od primenjene metode kao i faktora glatkosti, može se dobiti površ koja favorizuje lokalne anomalije ili pak prikazuje globalne trendove. Nedostaci ove metode su u tome što se često mogu dobiti netačni rezultati kod ekstrapolacije ukoliko se raspolaže malim brojem podataka. Takođe, veoma je teško automatizovati modeliranje diskontinuiteta. U pojedinim slučajevima može doći do pojave tzv. "artefakta" koji predstavljaju nepostojeće i/ili nerealne pojave i objekte.

2.1.4. Jednodimenzioni variogram Uočimo niz od n uzoraka (proba) raspoređenih na istom rastojanju d

(ekvidistantnih), duž linije dužine L. Neka je xi (i=1,N) koordinata koja odgovara broju uzorka i, a f(xi) njegova vrednost (sadržaj korisne komponente ili neka druga karakteristika, odnosno geološko obeležje od značaja). Ova notacija je prosto kraći matematički način označavanja da vrednost, f(xi), uzorka sa brojem i je fukcija pozicije xi (tj. mesta uzorkovanja, odnosno uzimanja proba), a f(xi) je vrednost sadržaja (f) izmerenog na mestu uzorkovanja xi. Kada vrednost promenjljive, kao što je recimo sadržaj, zavisi od njegovog mesta uzorkovanja promenjljiva se zove regionalizovana promenjljiva. Slika 1 prikazuje raspored n uzoraka duž linije.

Slika 1. Niz od n ekvidistantnih uzoraka xi označava poziciju i

f(xi) označava vrednost na mestu uzorkovanja xi

Uzorci mogu biti bilo kog tipa, ali se predpostavlja da svi imaju istu geometrijsku bazu (geometrijski oblik, zapreminu i orijentaciju), linija može da predstavlja jezgo bušotine isečeno na približno jednake dužine d ili liniju brazde uzoraka dužine d uzete duž stuba bušotine ili profila.

Variogram za uzorak na rastojanju d je polovina srednje kvadratne razlike između svih parova uzoraka koji se nalaze na rastojanju d. To se označava sa γ(d):

21

232

221 )]()([...)]()([)]()({[

)1(21)( nn xfxfxfxfxfxf

nd −++−+−

−= −γ

ili kraće:

∑−

=+−

−=

1

1

22 )]()([

)1(21)(

n

iii xfxf

ndγ

Za rastojanje 2d variogram je:



4

22

242

231 )]()([...)]()([)]()({[

)2(21)2( nn xfxfxfxfxfxf

nd −++−+−

−= −γ

ili kraće:

∑−

=+−

−=

2

1

22 )]()([

)2(21)2(

n

iii xfxf

ndγ

U opštem slučaju, za rastojanje md, odnosno za udaljenost m intervala (razmaka) između uzoraka variogram je:

∑−

=+−

−=

mn

imii xfxf

mnmd

1

2)]()([)(2

1)(γ

Uočimo da bi rezultat bio isti da je proračun počeo sa uzorkom f(xn) sa kraja linije i ako se izvodi unazad do prvog uzorka f(x1). Slika 2 prikazuje primer vrednosti olova u uzorcima uzete na 1.5m intervalima duž stuba (pillar).

Slika 2. Vrednosti olova u uzorcima uzetim na 1.5m intervalima

Jednostavan način ručnog računanja variograma je da se naprave dve kopije linije uzoraka. Za razmak od 1.5m se postave dve linije uzoraka jedna do druge i jedna od njih se pomeri u desno tako da su uzorci sa razmakom od 1.5m razdvojeni (poravnati) kao što je prikazano na slici (Slika 3).

Slika 3. Računanje variograma za rastojanje od jednog razmaka (intervala) uzorka

Variogram za rastojanje d=1.5m se računaka kao:

22222 (%)23])2522(...)2222()2220()2015[(262

1)5.1( =−++−+−+−⋅

=mγ

Da bi se izračunao variogram za udaljenost od 3m, donja linija uzoraka se pomeri za još jedan interval u desno, tako da se prvi i treći uzorak poravnaju kao što je prikazano na slici (Slika 4).

Slika 4. Računanje variograma za rastojanje od dva intervala uzorka

Variogram za rastojanje od 3m je:

22222 (%)47])2521(...)2622()2220()2215[(252

1)3( =−++−+−+−⋅

=mγ

Slično: γ(4.5m) = 57 (%)2

γ(6m) = 49 (%)2 γ(7.5m) = 41 (%)2 γ(9m) = 40 (%)2

γ(10.5m) = 43 (%)2



5

Ove vrednosti se mogu kao na slici (Slika 5) da bi se dobila grafička reprezentacija variograma.

Slika 5. Eksperimentalni variogram

Dakle, izračunata srednja kvadratna greška ili srednja kvadratna razlika, za određenu udaljenost uzoraka naziva se enu variogram. Polovina srednje kvadratne greške se ponekad naziva i semi-variogram, ali ćemo mi ovu polovinu srednje kvadratne razlike između vrednosti na određenooj razdaljini nazivati variogramom.

Čitanjem variograma se mogu interpretirati sledeća svojstva: parametri variograma, kontinuitet variograma, model i anizotropija. Parametri variograma se koriste za modeliranje ali i za interpretaciju rezultata. Tu spadaju:

Prag (Sill) predstavlja maksimalnu varijabilnost izmerenu između vrednostima u poznatim tačkama. Vrednsot sil-a je relativna u odnosu na anaizirani set podataka, ali se može smatrati da njegova visoka vrednost ukazuje na velike razlike u merenim podacima i obrnuto. Vrednost sil-a ne bi smela da bude značajno viša od statističke varijanse za dati skup vrednosti.

Radijus uticaja ili domet (Range predstavlja rastojanje (od čvora koji čija se vrednost izračunava) na kom se dostiže vrednost praga. Kao i kod praga, vrednost radijusa uticaja je relativna, ali generalno, velike vrednosti ukazuju na veću ujednačenost vrednosti po prostoru. Slika 6 prikazuje variograme za mineralizacije A i B: A se povećava duplo u odnosu na B, što govori da vrednosti uzoraka uzete iz B variraju mnogo sporije nego one koje su uzete iz uzorka A. Zona uticaja uzetih u B je veća nego zona uticaja uzoraka uzetih kod A, pa prema tome proširenje vrednosti uzorka na datu oblast će biti pouzdanije kod B nego kod A. Razlika može da potiče od različite mineralizacije ili od različitih tipova uzoraka.

Slika 6. Variogrami za dve različite mineralizacije: A i B

Efekat grumena (nugget) predstavlja vrednost variograma na nultom rastojanju, tj. da li modelovana linija prolazi kroz koordinatni početak ili kroz neku tačku na Y



6

osi. Nuget predstavlja varijabilnost koja se javlja na malim rastojanjima, kao i zbog grešaka u uzorkovanju i analizi. Vrednost nuget-a ne bi smela da prelazi jednu trećinu vrednosti sil-a. Kontinuitet variograma se koristi za opisivanje prostorne ujednačenosti ili

regularnosti merene veličine na malim rastojanjima. Kontinuitet mineralizacije može se posmatrati kroz rast variograma za mala rastojanja. Ako postoji visok stepen kontinuitetata da će, u proseku, razlike između bliskih uzoraka biti male pa će i vrednosti variograma za mala rastojanja biti mala. Sa druge strane, što su vrednosti variograma manje to su, u proseku, sličnije vrednosti uzoraka koje su korišćene pri njegovom izračunavanju Vellike promene u vrednostima uzorka dovode do većih vrednosti variograma. Slika 7 prikazuje četiri kategorije kontinuiteta (po opadajućem kontinuitetu).

Slika 7. Četiri vrste variograma u odnosu na kontinuitet

(a) za male vrednosti h variogram je veoma blizu nule, što upućuje na to da su promene vrednosti uzoraka veoma postupne, odnosno da se radi o promenljivoj koja ima vrlo visok stepen kontinuieta, kao što je slučaj kada je u pitanju moćnost slojevitih ležišta, kod koje se javljaju veomamale deformacije kao što su rasedi i raspadanje, ako ih uopšte i ima

(b) upućuje na postupne promene u uzorku koje nisu uvek male kao kodtipa (a) ali su u proseku u velikoj meri postupne, što je karakterističnoza sedimentna ležišta i za širinu stratigrafskih rudnih tela

(c) ima diskontinuitet na početku (teorijski, vrednost variograma zarastojanje h=0 mora biti 0), što govori da već kod vrlo malih rastojanja postoje nagle promene vrednosti u uzorku; ako se mineralizacija pojavljuje kaogrumenje (nugget) ili postoje koncentracije u malim žilama tada se brze promene mogu javiti i kod veoma malih rastojanja; razlika između dve polovine jezgra bušotine može proizvesti ovaj tip variograma

(d) ukazuje na promenjljivu koja uopšte nema kontinuitet: njene vrednosti su potpuno slučajne i upućuje na to da je interval uzorkovanja većiod promenjljivosti geološke strukture koja se ispituje

Model variograma se koristi za opisivanje vizualnog i matematičkog fitovanja krive kroz podatke prikazane na variogramu.

Sferični model je najčešći tip variograma, sa izraženim pragom, radijusom uticaja i nugget-om (karakterizacija tranzicionig tipa variograma).

Eksponencijalni model nema jasno definisan radijus uticaja, budući da se asimptotski približava pragu.

Linearni model nema jasno izražen prag ili radijus uticaja. Kod ovog tipa, varijabilnost nastavlja da se uvećava sa porastom rastojanja, ukazujući na postojanje trenda i visokog nivoa kontinuiranosti (sličnosti ili razlike) između poznatih tačaka.



7

Hole Effect model je sličan ostalim modelima variograma, osim što se u modeliranoj krivoj mogu pojaviti „padovi“. Ova pojava ukazuje na periodičnost u pojavljivanju vrednosti u poznatim tačkama.

Ugneždeni variogrami predstavljaju kombinaciju dva variograma. Na primer, za sferični variogram sa nugget-om se može reći da je ugneždeni variogram, obzirom da se sastoji od sferičnog i nugget modela variograma.

S obzirom da se najčešće koristi sferni model ovde će ukratko biti predstavljen:

ahzaCCh

ahzaah

ahCCh

c

c

≥+=

≤−+=

)(

}21

23{)( 3

3

γ

γ gde su:

C0 slučajna komponenta varijacije, tj. nugget varijansa (varijansa grumena) C strukturna komponenta varijanse C0+C ukupna varijacija ili prag (sill) a domet uticaja

Slika 8 prikazuje crtež sfernog modela variograma sa ucrtanim parametrima.

Slika 8. Sferični model variograma

Fitovanje eksperimentalnog variograma sfernim modelom se može uraditi u nekoliko koraka:

1) Nacrtati liniju kroz vrednost oko koje izgleda da se kreću vrednosti variograma. Ova vrednost treba da bude približno jednaka varijansi vrednosti korišćenih za proračun variograma. Ova linija daje vrednost C0+C.

2) Nacrtati pravu liniju kroz prve dve ili tri vrednosti variograma i produžiti je tako da seče γ(h) osu. Ovo daje vrednost C0.

3) Po definiciji, linija u 2) seče prag (liniju nacrtanu u 1)) na rastojanju jednakom dve trećine dometa (a).

4) Svi parametri (C0, C i a) sferičnog modela su sada definisani.



8

Slika 9. Metod fitovanja eksperimentalnog variograma sferičnim modelom

Izotropnost ili anizotropnost variograma se određuje upoređivanjem variranja paremetrima po normalnim pravcima i utvrđivanjem ortogonalnih pravaca po kojima je razlika praga, radijusa uticaja i nugget-a najveća.

Potrebni uslovi za modeliranje variograma treba da budu slučajno izabrani iz populacije koja ima normalnu ili lognormalnu

raspodelu.

Uzorci moraju biti uzeti iz jedinstvene, homogene populacije – na primer, ukoliko se vrši modeliranje sadržaja korisne mineralne sirovine, uzorci moraju biti samo iz rude, a ne iz okolnih stena.

Uzorci moraju imati iste dimenzije, masu i orijentaciju.

Trend ne sme biti prisutan.

Potrebno je uzeti statistički značajan skup uzoraka.

Ukoliko navedeni uslovi nisu ispunjeni, nije preporučljivo primeniti geostatističke metode. U takvim slučajevima, neka druga lokalna ili globalna metoda je bolje rešenje.

Karakteristike interpretirane na osnovu variograma se pre koriste za proveru pretpostavki o prostornom izgledu podataka, nego za „predviđenje“ njihovog izgleda. To takođe znači da se variogrami mogu koristiti i za definisanje kontrola za bilo koji algoritam, a ne samo za krigovanje.

Napomena: Samo konstruisanje eksperimentalnog variograma, a potom i njegovo modeliranje je tema koja zahteva mnogo više prostora Detaljnije informacije o modeliranju varigrama, dvodimenzionim i trodimenzionim variogramima se može naći u materijalu za nastavu iz Geostatistike.

2.2. Metode modeliranja

2.2.3. Inverzno rastojanje Ova metoda predstavlja najčešće implementiran i korišćen algoritam. Njegovom

primenom, vrednosti u čvorovima mreže se proračunvaju na osnovu vrednosti u okolnim, poznatim tačkama korišćenjem težinskih koeficijenata na osnovu rastojanja. Suma svih težinskih koeficijenata za sve tačke koji se koriste u poračunu, mora biti 1. Slika 10 daje prikaz koraka i elemenata metode inverznog rastojanja.



9

Slika 10. Prikaz koraka i elemenata metode inverznog rastojanja

Pošto je proračunata vrednost u čvoru praktično "uprosečena" vrednost okolnih tačaka, ne može se desiti da se dobije vrednost koja bi bila van granica definisanih minimalnom i maksimalno vrednošću u tačkama korišćenim za proračun.

Promenom vrednosti stepena na koji se diže rastojanje između tačaka, dobijaju se različiti rezultati, od varijante koja favorizuje najbližu tačku, do varijante u kojoj se svim tačkama dodeljuju praktično isti koeficijenti. Povećanjem vrednosti stepena, povećava detaljnost, ali smanjuje glatkoću. Vrednost eksponenta utiče na dobijene rezultate na sledeći način:

Mala vrednost (0-2) naglašava lokalne anomalije.

Velika vrednost (3-5) prigušuje ("pegla") lokalne anomalije.

Vrednost eksplonenta jednaka ili veća od 10 daje poligonalnu procenu.

Eksponent jednak nuli daje procenu pokretnih sredina (eng. moving average).

Mala zona uticaja i mali broj tačaka pojačavaju lokalne anomalije, obzirom da se "uprosečuje" mali broj tačaka. Shodno tome, velika zona uticaja i veliki broj tačaka dovode do ublažavanje lokalnih anomalija.

U opštem slučaju, tačke koje se uzimaju u obzir bi morale biti raspoređene manje-više sa različitih strana čvora za koju se vrši proračun. Ukoliko to nije slučaj, na primer ako je većina poznatih tačkaka sa jedne strane čvora doći će do njihovog preteranog naglašavanja.

Jednačina koja se koristi za izračunavanje vrednosti metodom inverznog rastojanja glasi:

∑

∑

=

=

⋅= n

i iwi

n

iiw

ie

D

VDZ

1

1

1

1

Gde je: Ze – procenjena vrednost u čvoru, ’ D1...Dn – rastojanja poznazih tačaka od čvora, V1...Vn – vrednosti u poznatim tačkama, W – stepen.



10

Ovaj algoritam se može koristiti za brzo testiranje ideja zbog velike brzine i varijabilnosti. Algoritam identifikuje najbliže tačke unutar zadatog radijusa (zona uticaja). Vrednost čvora se izračunava na sledeći način:

Ukoliko se u zoni uticaja nalazi manje od minimalnog potrebnog broja tačaka, vrednost čvora se ne izračunava.

Ukoliko se u zoni uticaja nalazi broj tačaka koji odgovara zadatom opsegu (min-max broj tačaka) vrednost čvora se računa korišćenjem svih poznatih vrednosti.

Ukoliko se u zoni uticaja nalazi veći broj tačaka od maximalnog, proračun se vrši korišćenjem maksimalnog broja tačaka.

Prednosti algoritma: o Lak za razumevanje

o Uključen u većinu komercijalnih paketa za modeliranje

o Kratkotrajna izračunavanja

o "Prilično dobro" procenjuje vrednosti u poznatim tačkama

o Dobar je za analiziranje lokalnih anomalija

Nedostaci algoritma o Vrednosti dobijene proračunom ne mogu biti veće od maksimalne niti

manje od minimalne poznate vrednosti (Ovaj algoritam je odličan za procenu debljine, koncentracije (hemijske) ili fizičkih osobina materijala – na primer, u koliko je minimalna izmerena debljina jednaka nuli, neće se dobijati negativne vrednosti. U isto vreme, algoritam nije dobar za modeliranje povlate ili podine stratigrafskih članova, budući da poznate vrednosti ne moraju biti globalni maksimum, odnosno minimum).

o Ne može se lako ukloniti uticaj lokalnih anomalija, pa prema tome grupisane poznate tačke mogu značajno naglasiti procenjene vrednsoti, naročito ukoliko se koristi kružna zona uticaja, a poznate tačke se nalaze u blizini čvora. Ovo se može ublažiti korišćenjem kvadranta ili oktanta zone uticaja i ostavljanjem dodatnog zahteva da najmanje jedna poznata tačka leži u svakom kvadrantu/oktantu.

o Primena ovog algoritma može rezultovati pojavom velikog broja artefakta.

o Kod upotrebe ovog algoritma, primena kružne zone uticaja ne uzima u obzir smer u kom se nalaze poznate tačke, već samo njihovu udaljenost od čvora. Ovo se može eliminisati korišćenjem eliptične zone uticaja.

2.2.4. Krigovanje Slično metodi inverznog rastojanja, i krigovanje uzima u obzir rastojanja između

tačaka pri proračunu vrednosti u čvoru mreže. Kod ove metode, težinski koeficijenti se dobijaju na osnovu funkcije (variograma) srednjih kvadratnih razlika na određenim rastojanjima. Ovim krigovanje postaje geostatisička metoda, tj. statistička metoda primenjena na takav način da uzme u obzir poznate prostorne karakteristike lokalne geologije, mineralogije ili strukturnih karakteristika. Površ dobijena primenom krigovanja, u slučaju da se variogram dobro ponaša i kada je dobro poznat, je najbolja linearna nepristrasna procena (eng. skr. BLUE: Best, Linear, Unbiased Estimate) koja se može izračunati.

Kod krigovanja, uticaj svake od poznatih tačaka je pod uticajem:

Rastojanja od čvora za koji se vrši izračunavanje – što je tačka bliža, njen uticaj je veći.



11

Pravca u kom leže tačke – tačke koje leže po pravcu za koji je detektovan najveći kontinuitet (uniformnost ili homogenost) dobijaju veću težinu od tačaka van njega.

Relativnog položaja tačaka – tačke koje su blisko grupisane ne dobijaju istu težinu kao usamljene tačke na istom rastojanju.

Veličine procenjenog entiteta u odnosu na veličinu poznatih tačaka.

Izrada variograma predstavlja prvi korak u krigovanju. Variogram predstavlja meru promenljivosti vrednosti uzoraka u funkciji njihovog rastojanja. Možemo ga opisati i kao varijaciju u vrednosti u poznatim tačkama na nekom rastojanju kao meru korelacije između njih. Jednostavno rečeno, pokušava da definiše koliki uticaj ima vrednost u jednoj tački na okolne tačke i obrnuto.

Nakon modeliranja variograma, pristupa se izračunavanju vrednosti u čvorovima mreže primenom krigovanja. Ovo se svodi na rešavanje sistema linernih jednačina sa da bi se odredili težinski koeficijenati koje treba primeniti na vrednosti u poznatim tačkama kako bi se minimizirala greška procene vrednosti u čvoru mreže.

Sistemom jednačina se izračunava srednja kvadratna razlika svih mogućih parova poznatih tačaka tako da je srednje kvadratno odstupanje u poznatim tačkama jednako nuli. Ova matrica se najčešće naziva [K] matrica (Slika 11).

Definiše se druga matrica koja daje srednju kvadratnu razliku između svake poznate tačke i čvora za koji se radi proračun, a na osnovu vrednosti variograma. Ova matrica se najčešće naziva [M2] matrica. K matrica se deli M2 matricom da bi se dobili težinski koeficijenti za krigovanje za svaku poznatu tačku.

Bilo kakav zaostala razlika ili neobjašnjiva vrednost se uzimaju u bzir preko Lagražovog koeficijenta.

Slika 11. Krigovanje

Postoji veći broj varijacija u algoritmu Krigovanja, koji se primenjuju u različitim uslovima.



12

Jednostavno (prosto) krigovanje koristi najjednostavniji sistem jednačina i koristi se u slučajevima kada je poznata poznata konstantna srednja vrednost za promenljive kojima se predstavljaju vrednosti u poznatim tačkama i kada su te vrednosti normalno raspoređene.

Obično krigovanje predstavlja generalni alat za krigovanje i koristi se u najvećem broju slučajeva. Primenjuje se u slučajevima kada srednje se vrednosti za promenljive kojima se predstavljaju vrednosti u poznatim tačkama kreću oko konstantne srednje vrednosti i kada su poznate tačke normalno raspoređene.

Univarzalno krigovanje se koristi u slučajevima kada postoji trend (sistematska varijacija po pravcu) i kada su poznate tačke normalno raspoređene.

Logaritamsko krigovanje se koristi kada vrenosti u poznatim tačkama imaju logaritamsku raspodelu.

Disjunktivno krigovanje se koristi kada je poznata raspodela učestalosti vrednosti u poznatim tačkama, ali kada se ne može predstaviti jednotavnim modelima raspodele, na primer, kada nema normalnu ili log-normalnu raspodelu.

Indikatorsko krigovanje predstavlja proširenje prostog krigovanja.

Prednost modeliranja metodo krigovanja je što se proračun zasniva na variogramu. Ukoliko se može formirati variogram koji se „dobro ponaša“, moguće je odrediti:

Optimalne parametre uzorkovanja, kao što su veličina uzorka, raspored mesta uzorkovanja i gustinu.

Optimalne parametre zone uticaja, uključujući veličinu, oblik (kružna ili elipsoidna) i ukoliko je u pitanju elipsodina, orijentaciju glavnih osa.

Optimalne parametre mreže (veličinu ćelije, oblik i orijentaciju).

Prirodu prostorne raspodele za posmatrane promenljive.

Predvidljivost prostorne raspodele posmatranih promenljivih.

Kvalitetno konstruisan variogram se može koristiti za kontrolu procesa krigovanja:

Izbegavanje davanja prevelike težine pojedinim tačkama, kao što se često dešava kod metode inverznog rastojanja.

Redukcija regresionog efekta koji se javlja kada se visoke vrednosti dodatno precene, dok se niske vrednosti dodatno potcene.

Upotrebu nepristrasne procene sadržaja

Vrednosti dobijene krigovanjem imaju sledeće pozitivne osobine

o Pouzdane su: dobijene vrednosti imaju srednje kvadratno odstupanje 0.

o Površ dobijena krigovanjem prolazi kroz poznate tačke.

o Krigovanje koristi različite težinske koeficijente.

o Dobijene vrednosti mogu biti veće od maksimalnih i manje od minimalnih izmerenih vrednosti.

o Model uzima u obzir kako lokalne anomalije, tako i globalne trendove.

o Dostipan je veliki broj softverskih alata u kojima je implementirano krigovanje.

o Greške proračuna mogu da se iskoriste za definisanje tačaka u kojima je potrebno prikupiti još podataka.



13

o Krigovanje je robustna metoda, odnosno, korektni rezultati se mogu dobiti i pored neadekvatnih variograma i kontrole.

2.2.3. Splajnovi Kod metode modeliranja splajnovima, diferencijalne jednačine se koriste da se

fituje kontinualna površ na vrednosti u poznatim tačkama. Kada se koristi ova metoda, početne vrednosti se izračunavaju u svakom čvoru korišćenjem vrednosti okolnih poznatih tačaka. Proračun se ponavlja sve dok se ne ostvari zadata konvergentnost ili razlika, ili dok se ne postigne maksimalan broj iteracija.

Primenom ove metode dobijaju se veoma glatke konture. Najmanje jedna tačka u svakoj ćeliji će imati tačnu vrednost. Artefakti se mogu javiti po ivicama i kod onih ćelija kod kojih je kao početna vrednost zadata srednja vrednost svih uzoraka, a nije zadat dovoljan broj iteracija.

Prednosti metode Generisana površ je jedinstvena, obzirom da parcijalne diferencijalne jednačine

zadovoljavaju granične uslove.

Dobijna površ ne zavisi od raspodele podataka i prisistva „buke“.

Dobijena površ je glatkija od površi dobijene bilo kom drugom metodom.

Površ prolazi kroz poznate tačke.

Nedostaci metode Dobijena površ će biti glatka bez obzira da li zaista treba da bude.

Korišćenje graničnih uslova dovodi do pojave artefakta na ivicama, ukoliko ne postoje poznate tačke blizu ivica.

2.2.4. Regresione površi Metoda regresionih površi je zasnovana na postavljanju kontiualne površi

metodom najmanjih kvadrata, matematički definisana polinomom. Pošto se postigne zadovoljavajuće poklapanje površi sa poznatim podacima, pristupa se izračunavanju vrednosti čvorova. Polinomi mogu biti prvog stemena (ravan), drugog ili višeg stepena:

CyBxAZE ++=

22 FyExyDxCyBxAZE +++++=

322322 JyIxyyHxGxFyExyDxCyBxAZE +++++++++=

432234322322 OyNxyyMxyLxKxJyIxyyHxGxFyExyDxCyBxAZE ++++++++++++++=

Gde je: ZE – Proračunata vrednost u čvoru, X i Y – koordinate, A...O – koeficijenti (Ponekad se obeležavaju sa B1...Bn).

Ovaj algoritam proizvodi veoma glatke površi koje ne moraju nužno prolaziti tačno kroz poznate tačke (Slika 12). Kada postoji regionalni pad, površ postaje ravan – primeniti polinom prvog reda, ukoliko je prisutno ispupčenje ili udubljenje – primeniti površ drugog reda.



14

Slika 12. Regresione površi

Prednosti Generiše se jedinstvena površ

Bez obzira na orijentaciju mreže dobija se ista površ

Vreme izračunavanja za polinome nižeg reda je malo

Moguće je uočiti i „šumu“ (regionalni trend) i „drveće“ (lokamne anomalije)

Moguće je dobiti i vrednosti veće i manje od polaznih vrednosti

Nedostaci Lokalne anomalije ne mogu biti uočene na karti izolinija dobijenoj polinomima

nižeg reda.

Veoma je lako preterati. U mnogim slučajevima, uzimaju se polinomi suviše visokog reda jer se postiže veoma dobro poklapanje, bez obzira što se dobijaju geološki nerealne površi. Malo je geoloških tela koja se mogu smisleno modelirati polinomom 12. reda

Hardverski zahtevi drastično rastu sa porastom stepena polinoma.

2.1.5. Poređenje algoritama U tabeli 1 je dat pregled ocene algoritama, preuzete iz (Krajewski, 2003) prema

više kriterijuma. Ocene se kreću od 1=najbolje do 5=najgore.

Algoritam Poštovanje poznatih podataka

Glatakoća krivih

Brzina izračunavanja

Ukupna tačnost

Trijangulacija 1 5 1 5

Inverzno rastojanje 3 4 2 4

Krigovanje 2 3 5 1

Splajnovi 4 2 4 3

Trend površi 5 1 3 2



15

Poređenje procenjenih površi (pogled na poprečne preseke)

Trijangulacija

tačno uklapanje u poznate

tačke

Inverzno rastojanje

kriva sa vrhovima, jamama i

zaravnima

Krigovanje

glatke krive sa lokalnim

anomalijama

Splajnovi

glatke krive između podataka

Trend površi

glatke krive ali slabo uklapanje

u poznate podatke

Slika 13. Pregled algoritama za modeliranje



16

2.3. Faktori koji utiču na formiranje mreže Izgled reprezentativne karte zavisi od mnogih faktora. Dobijeni izlaz može

značajno da varira u zavisnosti od izbora ulaznih parametara i podešavanja. Metod izračunavanja vrednosti čvorova u mreži određuje izgled izolinija na karti. Ukoliko se veličina čvorova mreže i paremetri njihovog formiranja pogrešno usvoje, dobijena karta će biti pogrešna.

Poznavanje geologije konkretnog ležišta i pouzdanost podataka su takođe važni faktori za dobijanje pouzdane karte. Loše uzorkovanje može dovesti do pojave pogrešnih kontura. Takođe, poznavanje uniformnosti i varijabilnosti modeliranog tela je od velikog značaja za pravilan izbor parametara algoritama. Dodatna otežavajuća okolnost predstavlja nesistematičnost grešaka – greške ne moraju (uglavnom i nisu) biti iste na svim mestima uzorkovanja. U početnim fazama projekta, informacije o modeliranom telu neće biti dostupne, tako da je veoma važno da se isproba veći broj metoda i pristupa kako bi se mogao izabrati optimalni. Savremeni programi su opremljeni velikim brojem algoritama, tako da se proces modeliranja svodi na metodu pokušaja i greške. Na osnovu poznatih parametara se izaberu metode koje bi mogle dati smisleno rešenje, podese se parametri i zatim se obavi procena. Sam proces je veoma brz i omogućava izradu velikog broja varijantnih karata za kratko vreme.

U parametre i ograničenja koja se mogu podešavati, a koja utiču na dobijene rezultate interpolacije spadaju:

Parametri mreže – veličina ćelija, oblik i orijentacija mreže.

Parametri zone pretrage – veličina, oblik i orijentaciju zone koja se pretražuje u potrazi za tačkama sa poznatim vrednostima.

Broj potrebnih poznatih tačaka za procenu vrednosti čvora – minimalni i maksimalni broj poznatih tačaka koje se moraju nalaziti u zoni pretrage da bi se izvršila procena vrednosti čvora mreže, kao i o njihovom rasporedu.

Matematički algoritmi za formiranje mreže – mogu biti upotrebljeni kako bi se izvršio proračun površi.

Podešavanja parametara algoritama – zadaju ograničenja i/ili granice pri proceni.

Prisustvo ili odsustvo lomova, granica ili diskontinuiteta u prostiranju ležišta može biti podešeno u pojedinim softverima.

2.3.1. Parametri mreže Da bi se algoritimi zasnovani na mreži mogli primeniti, potrebno je prethodno

definisati parametre same mreže: površinu zahvaćenu mrežom, koordinete početne tačke, oblik jedne ćelije i njenu veličinu, broj ćelija po X i Y pravcu, položaj čvora. U opštem slučaju, veličina ćelije treba da bude definisana raspodelom podataka, veličinom modeliranog tela, postojanjem površinskog kontinuiteta, itd.

Može se reći da bi veličina čvorova morala da bude manja od ciljne veličine, kao i da ne bi trebala da prelazi srednje rastojanje između poznatih tačaka. Za većinu algoritama, prosečna veličina ćelije mreže mora biti takva da se na svake dve do tri ćelije mreže nalazi jedna poznata tačka (poznata kao najkvistovo pravilo - Nyquist). Za algoritam zasnovan na splajnovima, veličina ćelije mora biti takva da u svaku ćeliju pada jedna poznata tačka.

Oblik ćelije može biti kvadrat, pravougaonik, varijabilan ili nepravilan. U pojedinim slučajevima, oblik može biti uslovljen korišćenim programom.

Konačna veličina ćelije se usvaja nakon testiranja više varijanti kako bi se dobila veličina koja daje najbolje rezultate. Za svaku varijantu se prati promena dobijenih kontura. Ukoliko su konture izopahe, svaki put se izračunava njihova zapremina – ako



17

je promena zapremine do 5%, smatra se da veličina ćelije nema značaja za proračun. U takvim slučajevima se može koristiti veća veličina ćelija, ukoliko se tom prilikom ne dobija preveliki broj artefakata ili drugih nepoželjnih efekata.

Slika 14. Izbor veličine i oblika ćelije za optimalno prektivanje modelirane oblasti

Većina danas dostupnih komercijalnih programa koristi pravilnu mrežu. Ukoliko se pravac pružanja modeliranog tela ne poklapa sa pravcem istok-zapad, moguće je rotirati model za potrebni ugao kako bi se dobilo poklapanje (Slika 15).

Slika 15. Orijentacija mreže: rotiranjem se prilagođava pravcu modelirane oblasti

Slika 16 prikazuje uobičajene greške koje se mogu javiti ukoliko se usvoji neadekvatna veličine ćelija u mreži. U prvom slučaju, definisane su suviše velike ćelije, u drugom slučaju suviše male, dok je su trećem slučaju zadata pogrešna lokacija.



18

Slika 16. Uobičajene greške uzrokovane neadekvatnom mrežom

2.3.2. Parametri zone pretrage Zona pretrage predstavlja oblast oko čvora mreže čiju vrednost proračunavamo.

Bušotine koje se nalaze u zoni pretrage mogu biti uzete u obzir pri proceni vrednosti čvora. Parametri zone pretrage uključuju: veličinu, oblik, orijentaciju, rastojanje eliptičnih osa i težinske koeficijente (Slika 17).

Zona pretrage mora biti dovoljno velika da obuhvati dovoljan broj tačaka – ukolino je zona pretrage suviše mala, neće biti dovoljno podataka kako bi se izvršio proračun (osim tačaka u neposrednoj blizini). Definisanje previše male zone pretrage može imati isti efekat kao i uzimanje suviše malog broja tačaka. U ovim slučajevima, proračun se izvršava veoma brzo, a lokalne anomalije dobijaju na značaju.

Naravno, prevelika zona pretrage takođe dovodi do pojave određenih problema – suviše mnogo tačaka je potrebno uzeti u obzir za proračun svakog čvora. Takođe, zona pretrage može biti tolika da zahvata i više čvorova mreže. U ovim slučajevima, proračun traje dugo, a lokalne anomalije bivaju prigušene.



19

Slika 17. Zona pretrage

Izbor tačaka koje se koriste za procenu se može usloviti po pravcima kako bi se dodatno povećao stepen kontrole nad rezultatima interpolacije. Najveći broj danas dostupnih komercijalnih programa za modeliranje omogućava definisanje više kriterijuma za pretragu zone oko čvora mreže za koji procenjujemo vrednost. Definisanje ograničenja da sve tačke ne mogu ležati u istom smeru, tako što se zona pretrage podeli na sektore i uvede maksimalan broj tačaka po sektoru koji mogu biti uzeti u obzir u proračunu. Takođe, ukoliko su poznate tačke postavljene po liniji ili se uklapaju u trend, moguće je relativno lako umanjiti efekte ovakvog rasporeda.

U daljem tekstu nabrojane su metode koje se najčešće koriste u komercijalnim programima.

Pretraga najbližih suseda – Najbližih „N“ tačaka će biti uzeto u obzir. Ovaj metod treba primenjivati sa velikim oprezom, budući da grupisanje tačaka po nekom sistemu, može umanjiti tačnost.

Kružna ili eliptična zona pretrage – zona u kojoj se vrši pretraga je kružnog ili eliptičnog oblika, a u obzir pri proceni se uzima „N“ najbližih tačaka.

Pretraga po sektorima – Zona pretrage se deli na određeni broj sektora (kvadranata ili oktanata), pri čemu je u većini slučajeva moguće definisati da ukoliko je određen broj sektora prazan neće se vršiti procena vrednosti. Ovaj metod može može da ograniči broj najbližih tačaka koje se koriste za procenu u delu prostora sa malim brojem tačaka, na primer po njegovim ivicama.

Pretraga prirodnih suseda – Vrši se pretraga samo tačaka po obodu kruga. Ovo je najefikasniji način pretrage.

U slučaju da se koristi eliptična oblast pretrage, rastojanje između poznatih tačaka i čvorova mreže može biti dato na jedan od dva načina – stvarno rastojanje od čvora do poznate tačke ili se eliptično rastojanje normalizuje na jednačinu elipse. Drugi pristup se koristi kada ležište ima izdužen oblik, a kada je njegova homogenost vezana za oblik.



20

2.3.3. Broj i raspored poznatih tačaka Broj tačaka koji se koristi za izračunavanje vrednosti u čvorovima utiču na

rezultat. Na primer, mali broj poznatih tačaka u algoritmu za inverzno rastojanje uvećava uticaj lokalnih anomalija.

Minimalan i maksimalan broj tačaka definiše korisnik. Kada je moguće, minimalan broj tačaka za algoritam inverznog rastojanja je tri. Ukoliko se za procenu vrednosti ćelije koristi samo jedna poznata tačka i ukoliko je njena vrednost mnogo viša ili niža od vrednsoti okolnih poznatih tačaka, dobija se poremećena mreža.

Parametri koji se definišu za primenjeni algoritam treba da budu optimizovani tako da su poznate tačke raspoređene što je moguće ujednačenije oko čvorova mreže.

Po prirodi metode za prikupljanje uzoraka, pojedine poznate tačke nisu ujednačeno raspoređene. Na primer, ukoliko su tačke dobijene po linije, kao što je slučaj kod seizmičkih merenja, ili uzorci sedimentacije uzeti duž toka ili izdanka, pripmenom standardne, kružne zone uticaja ne dobijaju se tačni rezultati. U ovakvim slučajevima, poželjno je primeniti elipsoidnu zonu, koja bi pratila pravac pružanja uzoraka (Slika 18).

Slika 18. Primeri izbora tačaka sa različitim zonama pretrage i brojem tačaka

Ako se u ćeliji nalazi samo jedna poznata tačka, njena vrednost će biti dodeljena ćeliji. Ukoliko je tačaka više, mora se doneti odluke o tome koja tačka će dati svoju vrednost ćeliji ili da li će se ići na uprosečavanje vrednosti.

Grupisane tačke daju netačne težinske koeficijente. Ponekad je potrebno primeniti „degrupisnje“ kako bi se dobili bolji rezultati modeliranja. Pojedini programi problem grupisanih tačaka rešavaju tako što ih svode na jednu tačku.



21

2.4. Modeliranje u Minex-u

2.4.1. Korigovanje podataka na bušotinama Kada su podaci o interpretiranim slojevima na bušotinama uvezeni vrši se analiza

podataka pre nego što se pristupi samoj izradi geološkog modela ležišta. Ukoliko je pri importu podataka bilo nekih grešaka koje Minex nije mogao sam da ispravi te greške se isprave. Takođe, ako se pri vizuelnom pregledu uoče neke nepravilnosti i njih je moguće ispraviti ili će se bušotine koje se smatraju problematičnim izuzeti prilikom pravljenja modela.

Slika 19 prikazuje 3D pogled na bušotine, gde se uočavaju bušotine B-035 koja je prazna (nema podataka o slojevima) i B-075 koja nema potpune intervale. Izmenu intervala na bušotini B-075 moguće je izvršiti na sledeći način: u meniju izabrati BoreholeDB -> Edit -> Add/Edit Seam Intervals.

Slika 19. 3D prikaz jednog dela ležišta

Na panelu (Slika 20) izabrati bušotinu B-075 i na njoj sloj POD. U konkretnom primeru treba u polju Seam Floor izmeniti postojeću vrednost i umesto nje staviti vrednost dna bušotine (što je u ovom slučaju 100) jer suma debljina intervala treba da bude jednaka dubini bušotine. U slučaju greške na nekom drugom sloju pomeriti krovinu ili podinu zavisno od okolnosti. Potvrdom na OK sistem automatski preračunava debljinu sloja.



22

Slika 20. Panel za izmenu slojeva na bušotini

Bušotina B-035 nema nikakve podatke i neće biti korišćena u daljem radu. U meniju BoreholeDB izabrati Select boreholes. Na panelu izabrati bušotine All i B-035 i za nju štiklirati opciju Exclude (Slika 21).

Slika 21. Izbor bušotina za rad

2.4.2. Priprema slojeva za modeliranje Bušotine koje se nalaze u bazi nisu šifrirane na istom nivou (neke imaju U1, neke

podeljeno na U11 i U12...). Da bi model mogao da se napravi sve bušotine moraju imati isti (najniži) nivo podele. U Minexu se to radi na sledeći način: prvo se ugljevi podele na najnižu podelu (U122, U121, UB22...), a zatim se između njih ’’uvuku’’ odgovarajući jalovi proslojci sa debljinom nula.

Izabrati SeamModel - >Bore Seam Modelling ; na panelu na kartici Ply Splitting & Merging popuniti polja kao na slici (Slika 22).



23

Slika 22. Deljenje slojeva na najniži nivo

Klikom na Validate Minex izvrši proveru da li može da podeli slojeve na taj način i ako je podela uspešna izbaci izveštaj u Output-u:

Validation Successful - no errors were found

Fajl se sačuva i klikne se na OK. Kada izvrši podelu slojeva traži potvdu da se pristupi split intervalu.

U Exploreru bi trebalo da se pojavi novi Split Interval kao na slici (Slika 23). Kada se ponovo da prikaz bušotina na ekranu, pojavljuju se slojevi koji pored imena u zagradi imaju slovo E, što je oznaka za procenjene (eng. estimated) slojeve.



24

Slika 23. Podela intervala

Sledeći korak je da se slojevi koji nedostaju dodaju na bušotine (npr. nije nabušen U3 ili jalovi proslojci između procenjenih slojeva).

Kao i malopre, izabere se SeamModel ->Bore Seam Modelling, kartica Set Missing Seams. Postupak se radi za sve slojeve na celim bušotinama (Slika 24).

Slika 24. Dodavanje nedostajućih slojeva na bušotine



25

Kada kliknemo OK u Output-u se pojavljuje spisak dodatih slojeva po bušotinama. Slojevi su sada dodati u šifarnike bušotina, ali još uvek nisu prikazani na njima. Da bi se slojevi totalno rekonstruisali na bušotinama prebacimo se na karticu Missing Seam Interpolation. Rekonstrukcija se radi na svim dodatim slojevima na svim bušotinama u jednom prolazu, izvan i unutar poznatih intervala (Slika 25).

Slika 25. Rekonstrukcija dodatih slojeva

Kada kliknemo na OK vratimo se na karticu Set Missing Seams da bi slojevima koji su u predhodnom koraku interpolirani dodelili debljinu nula (Slika 26).

Napomena: od opcija u dnu kartice treba da bude štiklirana samo opcija Int, da ne bi preveo na nulu i slojeve koji su već postojali.



26

Slika 26. Dodeljivanje debljine nula interpoliranim slojevima

Da bi se interpolirani slojevi videli na prikazu bušotina potrebno je na panelu Borehole Display štiklirati Interpolated; opciono može se zadati i posebna boja prikaza interpoliranih slojeva.

Ovim korakom je završena priprema za modeliranje ležišta.

2.4.3. Izrada geološkog modela ležišta Geološki model sačinjavaju dva modela: strukturni i model kvaliteta. Kreiranje

mreža za ove modele može se izvršiti na dva načina pojedinačnim kreiranjem svake mreže ili kreiranjem svih mreža odjednom. Kada je potrebno napraviti ceo model (a ne samo pojedine mreže za neki sloj) lakša varijanta je pravljenje svih mreža odjednom. Prvo je potrebno napraviti novi direktorijum u koji će biti smeštene sve mreže. Na kartici Runtime u Exploreru se u kontekstnom meniju DD Names izabere Add New DD Directory. Novi direktorijum nazvati Mreze.

Izabere se opcija SeamModel ->Multi-Seam Multi-Variable Gridding. Na panelu (Slika 27) se u Output DD Name izabere direktorijum Mreze. Pritiskom na dugme Add Variables vršimo odabir promenljivih za koje ćemo da pravimo mreže, u ovom slučaju to su strukturne promenljive podina, krovina i debljina sloja i promenljive kvaliteta DTE, pepeo i vlaga. Dugme Select Seams koristi za odabir slojeva za koje hoćemo da uradimo mreže (izaberu se svi slojevi).



27

Slika 27. Panel za kreiranje više mreža

U koloni Gridding Params treba navesti naziv skupa parametara po kojima će biti kreirani pojedine mreže. Da bi definisali parametre kliknemo na dugme pored polja i pojaviće se panel sa slike (Slika 28).

Što se tiče metode gridovanja za strukturne promenljive je preporučljivo koristiti internu Minex metodu General Purpose.

Na prvoj kartici se definiše površina na kojoj se vrši gridovanje. Ta površina može biti definisana nekom već postojećom mrežom Use Reference Grid, može biti ručno uneta preko koordinata, a može biti digitalizovana. Mesh Size je veličina mreže, koja je u našem slučaju 25x25.



28

Slika 28. Definisanje parametara za kreiranje mreža

Na drugoj kartici se definišu parametri algoritma za proračun vrednosti u čvorovima mreže.

Kada su svi parametri uneti moramo ih sačuvati pod nekim imenom da bi ih pozvali pri kreiranju mreža. Desnim tasterom miša kliknemo na ’’jezičak’’ u donjem levom uglu panela i izaberemo opciju Save parametars; damo im ime Struktur. Ovi parametri su zajednički za podinu i za krovinu, dok za debljinu sloja treba u odeljku Limits ograničiti Min na nula. Takve parametre istim postupkom sačuvati pod imenom Debljina.

Za mreže kvaliteta koristi se metoda Inverse Distance interpolaciona metoda Standard sa stepenom dva (Slika 29). Pošto smo pri uvozu podataka ograničili vrednosti DTE, vlaga i pepeo ovde se Limits može postaviti na Data. Ovako unete parametre sačuvati pod imenom Kvalitet.



29

Slika 29. Definisanje parametara za mreže kvaliteta

Kada smo definisali sve parametre vratimo se na panel Multi-Seam Multi-Variable Gridding i unesemo definisane parametre (Slika 30). Na kartici Advanced Options štiklirati opcije Data Accumulation (akumulacija je proizvod debljine intervala i vrednosti modelirane veličine) i Thickness.

Slika 30. Unos definisanih parametara



30

Kliknemo na Update List i zatim na OK. U Output-u daje izveštaj o napravljenim mrežama. U direktorijumu Mreze.grd se pojavljuju naprevaljene mreže (Slika 31).

Slika 31. Prikaz napravljenih mreža

Ovako napravljene mreže još uvek ne predstavljaju strukturni model. Model treba da bude u saglasnosti sa stratigrafskom sekvencom, odnosno da se slojevi ne seku međusobno u prostoru između bušotina.

Na isti način kako je napravljem direktorijum Mreze napraviti direktorijum Model. Izabrati SeamModel ->Seam Model Operations. Izgled panela dat je na slici (Slika 32). Jedna od potrebnih stavki je Top Grid što predstavlja teren odnosno površinu iznad koje nijedan sloj ne može da ide. Za potrebe ove opcije kreiraćemo mrežu od ’’usta’’ bušotina. Izabrati Grid -> Compute i izabrati parametre Struktur. Klikom na OK pojavljuje se panel sa slike Slika 33.

Slika 32. Kreiranje mreže ''terena''



31

Novu mrežu nazvati Teren i sačuvati u direktorijumu Mreze. Ovu mrežu sada odabiramo kao Top Grid.

Slika 33. Panel za pravljenje modela

Kada kliknemo na OK Minex u direktorijum Model smesti novonastale mreže koje sada predstavljaju strukturni model ležišta. Model kvaliteta predtavljaju mreže DTE, vlage i pepela koje se i dalje nalaze u direktorijumu Mreze.

Odabirom Grid -> Display pojavljuje se panel sa slike (Slika 34). na kome se mogu podesiti parametri prikaza svake pojedinačne na ekranu. Kao primer je dat prikaz terena na slici (Slika 35).



32

Slika 34. Parametri za prikaz mreža

Slika 35. Prikaz mreže Teren sa bušotinama

Vežba za samostalni rad van časa (domaći) Svaka grupa u svom projektu (A, B, C) treba da uradi strukturni model.

Uraditi model kvaliteta



33

Sadržaj časa 1. Modeliranje ležišta savremenim alatima.............................................................................. 1 2.1. Uvod ................................................................................................................................. 1

2.1.1. Klasifikacija metoda modeliranja ................................................................................ 1 2.1.2. Triangulacija ............................................................................................................... 2 2.1.3. Pregled metoda zasnovanih na mreži ........................................................................ 2 2.1.4. Jednodimenzioni variogram........................................................................................ 3

2.2. Metode modeliranja .......................................................................................................... 8 2.2.3. Inverzno rastojanje ..................................................................................................... 8 2.2.4. Krigovanje ................................................................................................................ 10 2.2.3. Splajnovi ................................................................................................................... 13 2.2.4. Regresione površi .................................................................................................... 13 2.1.5. Poređenje algoritama ............................................................................................... 14

2.3. Faktori koji utiču na formiranje mreže............................................................................. 16 2.3.1. Parametri mreže....................................................................................................... 16 2.3.2. Parametri zone pretrage........................................................................................... 18 2.3.3. Broj i raspored poznatih tačaka................................................................................ 20

2.4. Modeliranje u Minex-u .................................................................................................... 21 2.4.1. Korigovanje podataka na bušotinama ...................................................................... 21 2.4.2. Priprema slojeva za modeliranje .............................................................................. 22 2.4.3. Izrada geološkog modela ležišta .............................................................................. 26 Sadržaj časa....................................................................................................................... 33

Documents

1. Modeliranje ležišta savremenim alatimargf.bg.ac.rs/predmet/RO/VIII semestar/Projektovanje povrsinskih... · variograma, kontinuitet variograma, model i anizotropija. Parametri