Mediciones y-cálculo-de-incertidumbre-experimental

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA I.A.P AGROINDUSTRIAL

MEDICIONES Y CÁLCULO DE INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL

I: OBJETIVOS:

1.1: Conocer el manejo del calibrador vernier y del cronometro.

1.2: Evitar los errores sistemáticos en las mediciones directas.

1.3: Determinar en forma directa las longitudes y masas pequeños objetos de diversas geometrías con sus respectivas incertidumbres experimentales, registrando los datos con el numero apropiado de cifras significativas de acuerdo a la exactitud del instrumento.

1.4: Determinar el volumen y la densidad de los objetos en forma indirecta con sus respectivas incertidumbre experimentales, teniendo en cuenta la regla de las operaciones con cifras significativas.

1.5: determinar la aceleración de la gravedad con su respectiva incertidumbre experimental utilizando un péndulo simple.

II: FUNDAMENTO TEORICO:

Las mediciones que se realizan en la ciencia y la ingeniería tienen por objetivo establecer el valor numérico de determinada magnitud. Este valor numérico no corresponde al valor real de la magnitud que se mide porque los resultados que se obtienen en el proceso de medición son aproximados debido a la presencia del error experimental. Al posible valor del error experimental se le conoce como incertidumbre experimental.

Medidas directas.- Son aquellas que resultan de la comparación de cierta cantidad física con una cantidad conocida o estandarizada, esto implica, un instrumento de medida. Ejemp: Cálculo de la longitud de una mesa, el peso de un libro, el volumen de agua contenido en un depósito, etc.

Medidas indirectas.- Son aquellas que resultan del cálculo de un valor como una función, haciendo uso para ello de medidas directas. Ejemp: Área de un terreno, volumen de aire contenido en una habitación, período de oscilación de un péndulo, etc.

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CLASICIFICACIÓN DE ERRORES:

A) ERRORES SISTEMATICOS: Son aquellos que se caracterizan por desviar sistemáticamente el resultado de una medición de su valor real, debido a la presencia de circunstancias que pueden ser prevenidas, en tal sentido se pueden evitar, corregir o compensar. Dentro de ellos tenemos:-Error en la calibración de un instrumento. Se puede evitar colocando a cero cada instrumento a utilizar (calibración previa).-Error de paralaje. Este tipo de error se comete cuando el observador no presenta una buena posición para poder tomar un dato, lo recomendable es hacer la lectura directamente encima del dato a leer.-El estado del medio ambiente en que se realizan los experimentos.Los errores sistemáticos pueden ser disminuidos en la medida que antes de iniciar la sesión de práctica se realice la calibración de los instrumento a utilizar.

B) ERRORES ACCIDENTALES: También denominados aleatorios o al azar, se deben a la suma de un gran número de perturbaciones individuales y fluctuantes que se combinan para dar lugar a que la repetición de una misma medición dé en cada ocasión un valor distinto. Estos errores no se pueden eliminar pero si estimar. Ejemp: errores debido a las condiciones fluctuantes de la energía eléctrica, presencia de viento dentro de la habitación, estimación de la fracción de menor división de una escala, etc.INCERTIDUMBRE ABSOLUTA: (∆x)Se le designa por ∆x representa los límites de confianza dentro de los cuales se está seguro (alrededor de un 99%) de que el valor verdadero se encuentra en dicho intervalo.

INCERTIDUMBRE RELATIVA (Iᵣ)Se le define como el cociente de la incertidumbre absoluta y el valor medido, se le designa por:

Iᵣ=∆ xx ˳

INCERTIDUMBRE PORCENTUAL: (I%)Se le define como la incertidumbre relativa por 100%, y se le representa por :

I%=Iᵣx 100%

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INCERTIDUMBRE EN MEDIDAS DIRECTAS:

Cuando se realiza una medición directa de una magnitud y no es posible repetir la medición, o cuando la hacer una serie de lecturas se obtienen los mismos resultados para la magnitud, a la lectura que se obtiene se le asocia generalmente una incertidumbre absoluta, igual a la mitad de la división más pequeña de la escala del instrumento.

INCERTIDUMBRE EN MEDICIONES INDIRECTAS:Las mediciones que se realizan en la ciencia y en la ingeniería, la mayoría son indirectas y para calcular la incertidumbre de una medida indirecta Z que depende de las variables x,y,w, se emplea la siguiente ecuación:

Sea Z= f(x, y, w), la incertidumbre experimental (absoluta) de Z es:

∆ z=( ∂ f∂ x )∆x+( ∂ f∂ y )∆ y+( ∂ f∂w )∆wDESVIACIÓN MEDIA

∆ x=∑i=1

n

(xᵢ−x)

n=∑i=1

n

∆ xᵢ

n

DESVIACIÓN ESTANDAR (SX) para un conjunto finito de lecturas es:

S X=√∑i=1n

( xᵢ−x )2

n−1

Al reportar el resultado de una medición como x ± SX, se establece que el 68% de las lecturas se encuentran en dicho intervalo; pero si el

resultado se reporta como x ± 2SX o como x ± 3SX, entonces el 95% y el 99% de las medidas se encuentran respectivamente en dichos intervalos.DESVIACIÓN ESTANDAR DE LA MEDIA:

σm=S X√n √∑i=1

n

(xᵢ−x ) ²

n(n−1)

III: PARTE EXPERIMENTAL:

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INSTRUMENTOS Y MATERIALES:

- Calibrador Vernier- Centímetro- Esfera metálica- Taco de madera- Péndulo simple- Un cronómetro- Varillas y soportes

PROCEDIMIENTO:PARA LA ESFERA Y EL TACO

Para realizar las medidas exteriores de la esfera y del taco de madera, desplazar la parte móvil del vernier lo suficiente como para colocar el objeto a medir.

Una vez colocado el objeto, cerrar hasta que quede aprisionado suavemente.

MEDIMOS EL DIAMETRO DE LA ESFERA

MEDIMOS EL LARGO DEL TACO DE MADERA

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La lectura de la medida se efectuara de la siguiente manera: leer sobre la regla fija la longitud que hay hasta el cero de la regla móvil (nonio). Mirar luego que división del nonio coincide o se aproxima más a una división de la regla fija; el número de orden de aquella (el nonio) son los decimales que hay que añadir a la longitud leída en la regla móvil.

MEDIMOS LA ALTURA DEL TACO DE MADERA

MEDIMOS EL ANCHO DEL TACO DE MADERA

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Cada integrante de grupo, hizo las respectivas medidas y conseguimos los siguientes datos:

N° L(mm) H(mm) A(mm)1 133.5 77.1 75.12 133.52 85.9 77.183 137.48 82.8 77.24 137.5 82.82 77.55 137.52 82.84 77.526 134.9 80.4 76.687 134.64 80.38 76.7

PARA MEDIR TIEMPO Y LONGITUD (PENDULO SIMPLE)

Instalar el péndulo simple.

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N° D(mm) R(mm) V(mm^3)1 20.52 11.26 5977.004132 20.68 10.34 4628.390583 20.6 10.3 4574.883714 20.2 10.1 4313.526855 20.5 10.25 4508.582086 20.48 10.24 4495.39917 20.64 10.32 4601.5853


Cada integrante del grupo, con el centímetro medimos la longitud del péndulo y con el cronometro medimos el tiempo (t) que demora el péndulo en realizar 10 oscilaciones.

Luego calculamos el periodo del péndulo (T=t/10), las mediciones lo anotamos en la siguiente tabla.

N° L(cm) t(s) T=(t/10) T1 33.6 12.3 1.23 1.232 33.7 11.79 1.179 1.183 35.1 11.8 1.18 1.84 36.2 12.1 1.21 1.215 35.3 12 1.2 1.26 35.8 11.7 1.17 1.177 35.9 11.65 1.165 1.178 32 11.35 1.135 1.149 32.1 11.9 1.19 1.1910 32.2 11.88 1.188 1.19

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RESULTADOS:Tabla N°1:

Resultados de la tabla de datos N°1

1.- Cálculo del valor medio (Xm):

Xm=∑i=1

7 Xi7 ∑

i=1

7

Xi=¿143.62 ¿ Xm=143.627

=20.517 x 1cm10mm

=2.051cm

2.- Calculo de la desviación (δXi):

3.- Calculo de la desviación media (δXi):

XiΔ =∑i=1

7 δ Xi7

=0.0747

=¿ δXi= 0.0106cm

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N° D(cm) R(cm) V(cm^3)1 20.52 11.26 5977.004132 20.68 10.34 4628.390583 20.6 10.3 4574.883714 20.2 10.1 4313.526855 20.5 10.25 4508.582086 20.48 10.24 4495.39917 20.64 10.32 4601.5853

|Xi - Xm| (δXi)|20.52 - Dm| 0.003|20.68 - Dm| 0.163|20.6 - Dm| 0.083|20.2 - Dm| 0.317|20.5 - Dm| 0.017

|20.48 - Dm| 0.037|20.64 - Dm| 0.123


4.- Error Absoluto (ΔXi)

XiΔ = 0.0106 cm

5.- Error Relativo (Er)

Er=ΔXiXm

=0.01062.0517

=Er=0.00516

6.- Error Porcentual (Er%)

E%= Er x 100% = 0.00516 x 100%= E% = 0.516%

7.- Medida Final (X)

X= Xm + Xi = Δ 2.0517 + 0.0106 = 2.0623

X= Xm – Xi =Δ 2.0517 - 0.0106 = 2.0411

8.- Desviación estándar (Sx):

Sx=√∑i=17

(x−ΔXi )2

n−1=√ 0.07186

=0.034

9.- Desviación Estándar de la Media:

Sx=√∑i=17

(x−ΔXi )2

n(n−1)=√ 0.071842

=¿0.013

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TABLA N° 2:

N° L(cm) H(cm) A(cm)1 133.5 77.1 75.12 133.52 85.9 77.183 137.48 82.8 77.24 137.5 82.82 77.55 137.52 82.84 77.526 134.9 80.4 76.687 134.64 80.38 76.7

Resultados de la tabla de datos N°2

LARGO EN CM

1.- Cálculo del valor medio L (cm)

Xm=∑i=1

7 Xi7 ∑

i=1

7

Xi=¿¿949.06 Xm=949.067

=135.58 x 1cm10mm

=13.558 cm

2.- Cálculo de la desviación media (δXi):

|Xi - Xm| (δXi)|133.5 - Xm| 2.08|133.52 - Xm| 2.06|137.48 - Xm| 1.9|137.5 - Xm| 1.92|137.52 - Xm| 1.94|134.9 - Xm| 0.68|134.64 - Xm| 0.94


XiΔ =∑i=1

7 δ Xi7

=1.1527

=¿ δXi= 0.164

4.- Error Absoluto (ΔXi):

Xi= Δ 0.164

5.- Error Relativo (Er):

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Er=ΔXiXm

=0.16413.55

=Er=0.0121

6.- Error Porcentual (Er%):

E%= Er x 100% = 0.0121 x 100%= E% = 1.21%

7.- Medida Final (X):

X= Xm + Xi = Δ 13.558 + 0.164 = 13.722

X= Xm – Xi =Δ 13.558- 0.164 = 13.393


Sx=√∑i=17

(x−ΔXi )2

n−1=√ 0.2016 =¿0.183


Sx=√∑i=17

(x−ΔXi )2

n(n−1)=¿√ 0.20142 =¿¿

0.069

ANCHO EN CM

1.- Cálculo del valor medio (Xcm)

Xm=∑i=1

7 Xi7 ∑

i=1

7

Xi=¿¿537.88 Xm=537.887

=76.84 x 1cm10mm

=7.684 cm


|Xi - Xm| (δXi)|75.1 - Xm| 1.74

|77.18 - Xm| 0.34|77.2 - Xm| 0.36|77.5 - Xm| 0.66

|77.52 - Xm| 0.68|76.68 - Xm| 0.16|76.7 - Xm| 0.14


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XiΔ =∑i=1

7 δ Xi7

=4.087

=¿ δXi= 0.5828 x 1cm10mm

=0.058 cm

4.- Error Absoluto ΔXi:

Xi= Δ 0.058cm


Er=ΔXiXm

=0.0587.684

=Er=0.075

6.- Error Porcentual (Er%):

E%= Er x 100% = 0.075 x 100%= E% = 7.5%

7.- Medida Final (X):

X= Xm + Xi = Δ 7.5 + 0.058= 7.558

X= Xm – Xi =Δ 7.5- 0.058 = 7.442


Sx=√∑i=17

(x−ΔXi )2

n−1=√ 0.2536 =0.205


Sx=√∑i=17

(x−ΔXi )2

n(n−1)=√ 0.25342 =¿

0.77

ALTURA EN CM

1.- Cálculo del valor medio (Xm)

Xm=∑i=1

7 Xi7 ∑

i=1

7

Xi=¿¿572.24

Xm=572.247

=81.7485mm x 1cm10mm=¿8.47cm


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XiΔ =∑i=1

7 δ Xi7

=14.7287

=¿ δXi= 2.104mm x 1cm10mm

=0.21 cm

4.- Error Absoluto (Ea):

Xi= 2.104 x Δ 1cm10mm

=0.21 cm


Er=ΔXiXm

=0.218.47

=Er=0.024 cm


E%= Er x 100% = 0.024 x 100%= E% = 2.4%


X= Xm + Xi = Δ 8.47+ 0.21 = 8.62

X= Xm – Xi =Δ 8.47- 0.21 = 8.26


Sx=√∑i=17

(x−ΔXi )2

n−1=√ 1.4976 =¿0.49


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Sx=√∑i=17

(x−ΔXi )2

n(n−1)=¿√ 1.49742 =¿¿

0.18

TABLA N°3: Resultados de la tabla de datos N°3

LONGITUD


Xm=∑i=1

10 Xi710∑i=1

10

Xi=¿¿ Xm=341.910

=34.19



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N° L(cm) T(s)1 33.6 12.32 33.7 11.793 35.1 11.84 36.2 12.15 35.3 126 35.8 11.77 35.9 11.658 32 11.359 32.1 11.9

10 32.2 11.88


|32 - Xm| 2.19|32.1 - Xm| 2.09|32.2 - Xm| 1.99


XiΔ =∑i=1

10 δ Xi10

=14.710

=¿ δXi= 1.47


Xi= Δ 1.47


Er=ΔXiXm

= 1.4734.19

=Er=0.0429


E%= Er x 100% = 0.0429 x 100%= E% = 4.29%


X= Xm + Xi = Δ 34.19 + 1.47 = 35.66

X= Xm – Xi =Δ 34.19 - 1.47= 32.72


Sx=√∑i=17

(x−ΔXi )2

n−1=√ 3.729 =0.64


Sx=√∑i=17

(x−ΔXi )2

n(n−1)=¿√ 3.7290 =0.64 ¿

TIEMPO (S)


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Xm=∑i=1

10 Xi710∑i=1

10

Xi=¿¿ Xm=118.4710

=11.847


|Xi - Xm| (δXi)|12.3 - Xm| 0.453

|11.79 - Xm| 0.057|11.8 - Xm| 0.047|12.1 - Xm| 0.253|12 - Xm| 0.153

|11.7 - Xm| 0.147|11.65 - Xm| 0.197|11.35 - Xm| 0.497|11.9 - Xm| 0.053

|11.88 - Xm| 0.033


XiΔ =∑i=1

10 δ Xi10

=1.8910

=¿ δXi= 0.189


Xi= Δ 0.189


Er=ΔXiXm

= 0.18911.847

=Er=0.0159


E%= Er x 100% = 0.0159 x 100%= E% = 1.59%


X= Xm + Xi = Δ 11.847+ 0.189 = 12.036

X= Xm – Xi =Δ 11.847- 0.189 = 11.668


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Sx=√∑i=17

(x−ΔXi )2

n−1=√ 29.189 =1.8


Sx=√∑i=17

(x−ΔXi )2

n(n−1)=¿√ 29.1890 =0.56 ¿

CUESTIONARIO:1. ¿Cuál es la menor fracción de milímetros que puede ser leída en el

calibrador vernier?

El vernier mide hasta 0.02 mm.

2. Como mediría el espesor de una sola hoja de papel por medio del calibrador vernier.

Para medir el espesor de una hoja de papel utilizando el calibrador, para poder realizar la medida, se utilizado un libro midiendo el grosor de varias hojas. Al intentar medir el de una sola hoja el calibre no aprecia nada. Se debe medir, usando el calibrador, el grosor de 10, 20, 30,... hojas de un libro, calculando posteriormente el grosor de una hoja dividiendo el valor obtenido entre el número de hojas.

Ejemplo:

número de hojas grosor de todas las hojas (mm) grosor de 1 hoja (mm)10 0,9 0,09020 1,8 0,090

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30 2,9 0,09740 4,0 0,10050 4,8 0,09660 5,9 0,09870 6,8 0,09780 7,6 0,09590 8,8 0,098

100 10,0 0,100Valor medio = 0,096

3. Como se puede reducir el error aleatorio en las medidas de los objetos.

Para reducir los errores aleatorios en las medidas de los objetos solo tienes que calcular la media aritmética de tus resultados.

4. Comparar los resultados obtenidos de la densidad de los valores teóricos (hierro, madera) que dan en los libros. Enumera las posibles fuentes de error valores.

Teóricos Valores prácticos

Hierro: 7,96g/cm3 Hierro:

Madera: 0,6 – 0,9g/cm3 Madera:

• La medición puede ser falla física o geométrica.

• La calibración de los aparatos.

• Influencia de ciertos factores como la dilatación y humedad.

• En el paralaje.

5. Teniendo en cuenta que g=979cm/s2, comparar con el valor obtenido. Enumere las posibles fuentes de error.

G (teórico) = 979 cm/s2

G (práctico) =

• Las principales fuentes de error pueden ser las anomalías en la dirección y la intensidad de la aceleración de la gravedad están ligadas a

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la repartición de las diferentes masas en el espesor de la corteza terrestre.

• Se puede contribuir a la determinación de la estructura geológica de una región. Puede ser captada por la presencia en el subsuelo de una gran cantidad de gas que anuncia la variedad del peso.

• Por otra fuente sería por la variación del peso para eso se recomienda mantener las ventanas y puertas cerradas.

• Una de las posibles fuentes de error puede ser la imprecisión del experimentador al realizar las mediciones en el periodo y en la longitud del péndulo.

6. Al medir la resistencia de un resistor, la lectura del voltímetro era de15.2 ± 0,2V; y la lectura del amperímetro era de 2,6 ± 0,1A. ¿Cuál es la incertidumbre absoluta de la resistencia calculada usando la ecuación R = V/I?

V: 15.2 +- 0.2v 15 y 15.4

I: 2.6 +- 0.1A 2.7 y 2.5

R1 = 15.42.7 = 5.70 R3=

152.7 = 5.55

R2=15.42.5 = 6.16 R4=

152.5 = 6

7. En la medición de la masa de un cuerpo se obtuvieron los siguientes valores: 4,2 sg; 4,0 sg; 4,1 sg; 3,2 sg; 4,0 sg.

Calcular:

a) El valor más probable de la masa: X= 4.1 gr

b) La desviación media: x= 0.08

c) La desviación estándar: Sx = 0.1 gr

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d) La desviación estándar media: δm=0.044 (4 )=

0.0416 =0.0025

10. una serie de mediciones consecutivas del diámetro del corte transversal circular de un alambre, dio por resultado una media de 0.62 mm con una desviación estándar de la muestra de 0.04 mm ¿Cuál es la desviación estándar del valor calculado para el área de corte transversal?

π (r )2

(0.62)2

=0.31mm

π (0.31 )2=0.30mm2

π (0.04)2=0.005mm2

Resultado:

0.30mm2±0.005mm2

CONCLUSIONES

Al medir los objetos con las diferentes herramientas de medición nos hemos dado cuenta de la precisión de los diferentes aparatos de medición, además notamos que la precisión nunca llega a ser del 100% porque las escalas nos limitan y es por eso que necesitamos conocer los rangos de error.

También en algunas ocasiones nos valimos de los instrumentos de medición para lograr medidas indirectas, como la velocidad, que utilizamos un metro y el cronómetro para concluir la velocidad de un objeto. También es importante conocer las incertidumbres ya que de otra forma los resultados que se dan podrían ser inexactos y eso alteraría los resultados esperados. Realizamos la medición directa de los diferentes objetos, en forma individual tomando en cuenta sus pesos, longitudes, diámetros y alturas, según el caso. Al concluir con el experimento adquirimos mayor destreza en el manejo de los distintos instrumentos,

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familiarizándonos con las magnitudes, unidades y errores de los mismos. Consideramos la realización de esta práctica importante, ya que nos permitió, verificar por experiencia propia, lo aprendido en teoría.

DISCUSION DE RESULTADOS:

• Obtención de medidas directas:

-Encontramos que nuestros resultados no son iguales ya que cada uno delos integrantes del grupo tiene una percepción distinta. Como es el caso de la medición con el pie de rey en el cual el sentido de la vista nos engaña un poco, es por ello que en toda medición siempre hay un margen de error.

• Obtención de medidas indirectas

Estas medidas al depender de los resultados de las medidas directas en el primer procedimiento comparten el mismo margen de error. Pero esto sumado al hecho que en este tipo de medidas se utilizan fórmulas que incluyen valores aproximados en realidad aumenta este margen.

RECOMENDACIONES:En esta práctica se recomienda utilizar correctamente los instrumentos de medida de acuerdo con las instrucciones del profesor. Cada alumno del grupo efectúa una medida y pasa el material a sus compañeros. Practicar el uso de los instrumentos de laboratorio, pues esto facilitará la toma de mediciones de una manera acertada y rápida.

Siempre tener en cuenta en mediciones o cálculos que existirán siempre los errores de medida.

Se debe tener en cuenta de que los errores se presentan al momento de medir una magnitud física.

Parte importante de esta práctica es que cada integrante del grupo tome medidas exactas para poder tener una gran parte de aproximación.

Como los resultados no son totalmente exactos, ya que hay variaciones entre una y otra medida realizada. Se diría que nunca daremos con una medida

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exacta ni precisa solo una aproximación para lo cual necesitamos que cada integrante tenga mucho cuidado al ejecutar las mediciones.

BIBLIOGRAFIA

J. GOLDEMBERG. Física General y Experimental Volumen 1. SKIRES. Física Experimental RAYMOND CHANG. Química Experimental. B. L. WORSNOP Y H. T. FLINT, EUDEBA. Curso superior de física

práctica.

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Engineering

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