Modelo electromagnético de un electrodo enterrado en un suelo homogeneo

GUSTAVO A. RAMOS L. Ph.D.

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES ESPECIALIZACIÓN EN SISTEMAS DE TRANSMISIÓN Y

DISTRIBUCIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA 2009-II

CALIDAD DE LA POTENCIA ELECTRICA EN LOS SISTEMAS DE DISTRIBUCIÓN

Ing. Gustavo Andrés Ramos L. Ph.D. [email protected] MODELO ELECTROMAGNÉTICO DE UN ELECTRODO ENTERRADO EN UN

SUELO HOMOGENEO

TABLA DE CONTENIDO

MODELO ELECTROMAGNÉTICO DE UN ELECTRODO ENTERRADO EN UN SUELO HOMOGENEO ........................................................................................................ 3

1.1 Marco Teórico ............................................................................................................. 3 1.1.1 Formulación del Problema .......................................................................................................... 6

1.1.1.1 FDT entre un segmento de conductor dirigido en el eje X y un punto (x, y, z) ............... 14 1.1.1.2 FDT entre dos segmentos de conductor dirigidos en el eje X (paralelos): ...................... 16 1.1.1.3 FDT entre un segmento de conductor dirigido en el eje X y un segmento conductor dirigido en el eje Y. ............................................................................................................................ 18 1.1.1.4 FDT propio de un segmento de conductor dirigido en el eje X: ...................................... 19 1.1.1.5 Resumen de las ecuaciones para FDT para segmentos de conductor en coordenadas cartesianas: 22

1.1.2 Calculo de la Conductancia ....................................................................................................... 25 1.1.3 Calculo de la Capacitancia ........................................................................................................ 26 1.1.4 Calculo de la Inductancia .......................................................................................................... 26 1.1.5 Representación de los Elementos que conforman un Sistema de Puesta a Tierra ..................... 26

1.1.5.1 Definición de variables .................................................................................................... 26

1.2 Metodología en la Solución del Problema de Análisis y Modelamiento de Sistemas de Puesta a Tierra .................................................................................................................. 28

1.2.1 Datos de Entrada ....................................................................................................................... 28 1.2.2 Cálculo de los FDT ................................................................................................................... 28 1.2.3 Inversión de la Matriz FDT ....................................................................................................... 30 1.2.4 Circuito Equivalente de los Segmentos ..................................................................................... 31 1.2.5 Modelamiento del Sistema ........................................................................................................ 31


2

LISTA DE FIGURAS Figura 0.1 Conductor enterrado en suelo uniforme. ......................................................................................... 6 Figura 0.2 Representación de un elemento finito con elementos de circuitos. .................................................. 6 Figura 0.3 Una fuente puntual de corriente en tierra conductora semi-infinita. .............................................. 8 Figura 0.4 Método de la matriz. ...................................................................................................................... 13 Figura 0.5 Segmento conductor en tierra. ....................................................................................................... 14 Figura 0.6 Representación de un segmento de conductor como una fuente de corriente de línea de densidad

de corriente constante. ...................................................................................................................................... 15 Figura 0.7 Dos segmentos de conductor en tierra. .......................................................................................... 17 Figura 0.8 Dos segmentos de conductor en tierra. Dirección X y Y. .............................................................. 18 Figura 0.9 Segmento de conductor dirigido en el eje X................................................................................... 21 Figura 0.10 Representación de un elemento del sistema de puesta a tierra (después de la partición). .......... 28


3

MODELO ELECTROMAGNÉTICO DE UN ELECTRODO ENTERRADO EN UN SUELO HOMOGENEO

1.1 Marco Teórico

Para el análisis del comportamiento de los sistemas de puesta a tierra se requiere

inicialmente determinar los parámetros constitutivos de los elementos que conforman estos

sistemas y del terreno en que se analizan. También se requiere determinar los parámetros

circuitales que permiten modelar el sistema de puesta a tierra como un conjunto de

electrodos en contacto con un terreno, unidos físicamente, que pueden ser representados

como circuitos eléctricos conformados por elementos eléctricos lineales.

Para determinar los parámetros de los elementos eléctricos que conforman el modelo

circuital de los electrodos es preciso hacer un análisis físico del comportamiento de señales

electromagnéticas cuando estas son inyectadas al sistema de puesta a tierra. Este análisis

correspondería al campo de la electrodinámica y la geofísica; los cuales ayudan a

determinar las ecuaciones que rigen el comportamiento de diferentes señales cuando son

inyectadas a este sistema y a su vez, plantear una metodología de estos cálculos con el fin

sistematizar el procedimiento para obtener un mayor número de resultados pertinentes y

así, realizar un análisis con el mayor número de información, obteniéndose una gran

cantidad de conclusiones importantes.

La ecuación fundamental del electromagnetismo que rige el comportamiento de las señales

electromagnéticas en los sistemas de puesta a tierra es la ecuación de Laplace para

potenciales eléctricos, pero antes de discutir con detalle la razón y las consecuencias de la

anterior afirmación, es importante desarrollar los conceptos fundamentales de Física y los

métodos matemáticos propios del electromagnetismo que nos lleven a la obtención de esta

ecuación de acuerdo a la geometría propia del problema que se pretenda resolver, y que a

partir de esta se pueda afianzar el conocimiento del fenómeno, y encontrar la mejor

formulación a la solución del problema en cuestión.


4

El campo eléctrico terrestre es estacionario cuando los vectores de su intensidad de campo

eléctrico E y de su intensidad de corriente J son invariables en el tiempo. Con base en el

análisis vectorial se pueden establecer las ecuaciones fundamentales del campo eléctrico

estacionario de la tierra:

El vector B de la inducción magnética no depende del tiempo, E es un vector con un

rotacional nulo, por lo tanto el rotacional de dicho vector es:

0E∇× =r

(1.1)

Si se considera una curva cerrada C, de acuerdo con la anterior expresión, por la ley de la

conservación de la energía y la ley de Stokes, se tiene que el trabajo realizado al recorrer

esta curva es cero, así que:

( )

0CE ds⋅ =∫r r

� (1.2)

en el cual E ds⋅ representa el producto escalar del vector E con el infinitamente pequeño

vector de tramo recto ds de arco medido sobre la longitud C.

Siendo I y II puntos sobre C diferentes entre si, se tiene:

( ) ( )

0II I

I C II C

E ds E ds⋅ + ⋅ =∫ ∫r rr r

(1.3)

Los trayectos de unión entre I y II se pueden seleccionar a voluntad así que la diferencia de

potencial es:

, ,

( ) ( )

II I

I II II I

I C II C

V E ds E ds V= ⋅ = − ⋅ = −∫ ∫r rr r

(1.4)

de lo cual se infiere que la diferencia de potencial depende sólo de la posición de los puntos

I y II, así que entonces la expresión:

,I II I IIV ϕ ϕ= − (1.5)

define a una función φ independiente del tiempo, la cual quedará determinada de manera

unívoca para todo punto de referencia, en el momento de adicionar una cierta constante, en

principio arbitraria, determinada por las condiciones de frontera, para cada punto de

partida. A esta función se la denomina "potencial eléctrico escalar".


5

De manera inversa, las ecuaciones (4.4) y (4.5) conducen, por medio de la operación

vectorial:

E ϕ= −∇r

(1.6)

a la determinación de la intensidad de campo a partir de su función matriz.

También los campos de la electrostática, debido a su independencia del tiempo, se

describen por medio de un potencial escalar φ; Al analizar el campo electrostático de un

cuerpo cargado situado en el espacio considerado completamente aislante sobre la tierra

(anulando la conductividad finita de la tierra en cuya zona exista una intensidad de campo),

se infiere que predominará un potencial φ uniforme, por lo cual se asume cero. Por el

contrario, en el campo eléctrico terrestre, la densidad de corriente eléctrica j exige una finita

intensidad de campo E, cuyo valor estará dictado por la ley de Ohm:

J Eσ=r r

(1.7)

y por lo tanto, el potencial φ de la corriente de tierra variará de un punto a otro. Entonces

se podrá determinar el valor de la constante aditiva relacionada con la expresión (4.5),

asumiendo que el campo buscado, encerrado por medio de una semiesfera con radio

ilimitado, se le puede atribuir un potencial cero; entonces, el potencial del campo de la

corriente de tierra estacionaria resultará igual al potencial del punto de referencia contra

aquella semiesfera.

La ley de la continuidad de la electricidad postula que en un campo de corriente

estacionario no existen ni pasan líneas de corriente, por lo tanto se tiene:

0J∇⋅ =r

(1.8)

En una región del terreno donde γ es constante, con base en las leyes de Kirchhoff y de

(4.4), la fuente también es independiente del campo del campo eléctrico, es decir:

0E∇⋅ =r

(1.9)

Así que el potencial φ satisface la ecuación de Laplace:

2( ) 0ϕ ϕ∇⋅ ∇ = ∇ = (1.10)

Para poder integrar la expresión anterior, se debe referir además al sistema de coordenada

más conveniente al caso particular, lo cual plantea un paso importante en la determinación

de la expresión del campo buscada.


6

1.1.1 Formulación del Problema

El desarrollo del modelo de los sistemas de puesta a tierra para el cálculo de su respuesta

transitoria puede ser demostrado comenzando con un sistema simple de conductor

enterrado como se puede preciar en la Figura 1.

Un pequeño segmento de longitud lS del conductor de la Figura 4.1, es caracterizado con

una resistencia serie ∆r, una inductancia serie ∆L, conductancia a tierra remota ∆g y

capacitancia shunt ∆C. Esta representación es ilustrada en la Figura 2. Estos parámetros

son distribuidos a lo largo de la longitud lS del segmento.

Figura 0.1 Conductor enterrado en suelo uniforme.

Figura 0.2 Representación de un elemento finito con elementos de circuitos.

dS

lS

dl

(x, y, z)

AIRE

TIERRA

Conductividad


7

El valor numérico de las cantidades del circuito equivalente puede ser calculado

directamente de la conductancia y de la velocidad de las ondas electromagnéticas en el

suelo. Con base en la expresión:

S

r

cv

ε= (1.11)

Donde: c es la velocidad de propagación en el espacio libre.

εr es la permitividad relativa del suelo.

Con base en las ecuaciones de Maxwell:

C

g

εσ

∆=

∆ (1.12)

Donde: ε es la permisividad del suelo.

σ es la conductividad del suelo.

También considerando el segmento lS como una línea de transmisión con inductancia y

capacitancia distribuida, ∆L y ∆C, respectivamente:

SS

r

l cv

L C ε= =

∆ ⋅∆ (1.13)

Con lo anterior podemos obtener las expresiones para calcular la inductancia y capacitancia

del elemento finito:

C gεσ

∆ = ⋅∆ (1.14)

2

20

SlLc g

σε

⋅∆ =

⋅ ∆ (1.15)

Por lo tanto es necesario el conocimiento de ∆g para determinar los parámetros del

elemento finito.

Para determinar el valor de la conductancia del elemento finito del sistema de puesta a

tierra, se emplea la solución de la ecuación de Laplace, (1.10).


8

Meliopoulos y Moharan, plantean la solución de las ecuaciones con base en los factores de

distribución de tensión (F.D.T.), con lo cual es posible obtener los valores de conductancia

de los elementos finitos y determinar el valor de los parámetros del circuito equivalente por

segmento.

Los F.D.T. son utilizados para calcular la resistencia propia y de acople mutuo de

conductores rectilíneos enterrados en un suelo de resistividad homogénea. Se calcula una

matriz en la cual sus elementos se denominan F.D.T. ya que estos permiten determinar el

potencial en un punto debido a un flujo de corriente dado. Los F.D.T. están dados en

ohmios. Esta matriz es comúnmente conocida con el nombre de resistencias de puesta a

tierra propias y resistencias de puesta a tierra de acople mutuo. Sin embargo su significado

físico no se relaciona con el concepto de resistencia. El desarrollo de esta matriz se ilustra

inicialmente con el caso de la Figura 3.

(a)

(b)

Figura 0.3 Una fuente puntual de corriente en tierra conductora semi-infinita.

Zona 2

θ2 = 0

Zona 1

θ1 = 0

z

y z x

• A

φ r

As

• A

As


9

Se considera una sección infinitesimal del sistema de puesta a tierra. Se asume que la

corriente IS fluye desde el conductor hacia la tierra. Esta fuente de corriente se denomina

"puntual" As.

El potencial en cualquier punto A de coordenadas (r, φ, z) en la tierra satisface la ecuación

de Laplace:

2 2

22 2 2

1 ( , , ) 1 ( , , ) ( , , )( , , ) 0

V r z V r z V r zV r z r

r r r r z

φ φ φφ

φ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = ⋅ + + = ∂ ∂ ∂ ∂

(1.16)

Debido a la simetría del problema la solución no depende de φ. Así que V(r, φ, z)=V(r, z) y

la ecuación de Laplace queda:

2

22

1 ( , , ) ( , , )( , , ) 0

V r z V r zV r z r

r r r z

φ φφ

∂ ∂ ∂ ∇ = ⋅ + = ∂ ∂ ∂ (1.17)

Esta solución viene dada en términos de la función de Bessel de orden cero (0), J0, así:

( ) ( )01 0

( , )4

kzSIV r z k J kr e dkθπσ

∞±= ∫ (1.18)

Donde k es una variable auxiliar y θ(k) es una función arbitraria de k. Para problemas

específicos θ(k) se determina a partir de las condiciones de frontera. El símbolo ± significa

la propagación en el eje +z o –z.

La solución general para el potencial en la zona 2 es:

( ) ( )2 2 01 0

( , )4

kzSIV r z k J kr e dkθπσ

∞−= ∫ (1.19)

En esta ecuación el término que corresponde a la dirección +z es omitido ya que V1(r, z)

tiende a cero a medida que z crece. En otras palabras, la condición de frontera que establece

que el potencial tiende a cero cuando z tiende al infinito indica que la constante que

acompaña este término es igual a cero.

Para la zona uno (1) se tiene:

( ) ( ) ( )1 0 1 01 10 0

( , )4 4

Sk z z kzS SI IV r z J kr e dk k J kr e dkθ

πσ πσ

∞ ∞− −= +∫ ∫ (1.20)


10

En esta ecuación, el término que corresponde a la propagación en la dirección -z, e-kz se

omite ya que V1(r, z) tiende a cero a medida que z decrece.

En las dos ecuaciones anteriores θ1(k) y θ2(k) son desconocidos. En la frontera que separa

ambas zonas, se debe cumplir que el potencial y la corriente deben ser funciones

constantes, entonces:

( ) ( )1 2,0 ,0V r V r= (1.21)

( ) ( )1 1 2 2,0 ,0V r V r

z z

σ σ∂ ∂=

∂ ∂ (1.22)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2 01 0

1 0 1 01 10 0

1 10 1 0

0 0

2 2

( ,0)4

( ,0)4 4

,0

4 4

,00

S

S

S

kzS S

kzS S

IV r k J kr dk

I IV r J kr e dk k J kr dk

V r I k I kJ kr e dk k J kr dk

z

V r

z

θπσ

θπσ πσ

σθ

π π

σ

∞

∞ ∞

∞ ∞

=

= +

∂= − +

∂

∂=

∂

∫

∫ ∫

∫ ∫

(1.23)

Sustituyendo en las ecuaciones determinadas de las condiciones de frontera se tiene que:

( ) ( )

( )

2 1

1 0

S

S

kz

kz

k e k

e k

θ θ

θ

= +

− + =

(1.24)

Resolviendo simultáneamente:

( )1Skzk eθ = (1.25)

( )2 2 Skzk eθ = (1.26)

Sustituyendo (1.25) y (1.26) en (1.19) y (1.20) se obtiene:

( ) ( )2 0

1 0

( , ) 24

Sk z zSIV r z J kr e dkπσ

∞− −= ∫ (1.27)


11

( ) ( ) ( )1 0 0

1 10 0

( , )4 4

S Sk z z k z zS SI IV r z J kr e dk J kr e dk

πσ πσ

∞ ∞− − += +∫ ∫ (1.28)

En adelante el interés será solo la zona 1.

Las integrales que aparecen para el potencial V1(r, z) son evaluadas utilizando la siguiente

identidad para las funciones de Bessel:

( )0 2 20

1kaJ kr e dkr a

∞

⋅ =+

∫ (1.29)

Sustituyendo en (1.28):

( ) ( )

1 2 22 21

1 1( , )

4S

S S

IV r z

r z z r z zπσ

= + + − + +

(1.30)

Convirtiendo a coordenadas cartesianas:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 2 2 2 2 21

1 1( , , )

4S

S S S S S S

IV x y z

x x y y z z x x y y z zπσ

= + − + − + − − + − + +

(1.31)

Este resultado muestra que el potencial en la zona 1 es igual a la generada por dos fuentes

puntuales de magnitud IS localizada en los puntos (xS, yS, zS) y (xS, yS, -zS) en una zona

infinita de conductividad σ1. Esto quiere decir que la interfaz entre las zonas 1 y 2 es la

imagen de la fuente puntual con respecto a la interfaz del plano, ver Figura 3 (b).

La ecuación (1.31) puede utilizarse de varias formas para permitir el análisis de un sistema

practico de puesta a tierra una vez éste ha sido dividido en pequeños segmentos. De tal

manera que la ecuación (1.31) es la relación entre el potencial de estos segmentos y la

corriente eléctrica que conduce desde la superficie de estos. Considerando el sistema

simple de la Figura 4 (a). Cada electrodo del sistema es dividido en n segmentos pequeños.

I1 es la corriente que conduce desde la superficie del segmento i y fluye en la tierra (Ver

Figura 4 (b)). La Figura también ilustra las vecindades del segmento i. Si el segmento i es

muy pequeño, éste puede ser representado mediante una fuente puntual de corriente Ii,

localizada en el centro del segmento; el potencial en la superficie del segmento es Vi (Ver

Figura 4 (c)). El mismo modelo se puede asumir para los segmentos i-1, i+1, y todos los

otros segmentos.


12

Luego se utilizan las ecuaciones básicas para obtener expresiones entre las corrientes

eléctricas Ii, i = 1, 2,..., n, y los potenciales Vi, i = 1, 2,..., n. En forma especifica:

( ), , , , , ,1

n

i Ai Ai Ai j j j j

j

V f x y z x y z Iσ=

= ⋅∑

Donde:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

, , , , , ,

2 2 2

1

1

14

Ai j Ai j Ai j

Ai Ai Ai j j j

Ai j Ai j Ai j

x x y y z zf x y z x y z

x x y y z z

σπσ

+ − + − + −

= − + − + +

(1.32)

Con:

(xAi, yAi, zAi) : coordenadas del punto A localizado en la superficie del segmento i.

(xj, yj, zj) : coordenadas del centro del segmento j.

Ij : corriente total que sale desde la superficie del segmento j.

Debido a que la mayoría de los sistemas de puesta a tierra tienen alta conductividad todo el

sistema se encuentra esencialmente al mismo potencial de tierra (GPR). Entonces:

V1 = V2 =… = Vn = V. De la ecuación (1.31) se puede escribir en notación matricial:

[ ][ ] [ ][ ]1V FDT I= (1.33)

Donde se tiene que,

[1]: vector unidad

[I]: vector de corriente de cada segmento

[FDT]i,j = f (xAi, yAi, zAi, xj, yj, zj, σ)

[V] = G.P.R.

Las corrientes eléctricas I se calculan de:

[ ] [ ] [ ][ ]11I FDT V

−= (1.34)

Así la resistencia se puede calcular para el sistema de puesta a tierra como la razón del GPR

sobre la corriente eléctrica total. La corriente eléctrica total es:

[ ] [ ]1

1n

t

T j

j

I I I=

= =∑ (1.35)


13

T

VR

I= (1.36)

(a) Sistema de puesta a tierra simple.

(b) Segmentos pequeños i-1, i, i+1.

(c) Modelo matemático del segmento i.

Figura 0.4 Método de la matriz.

Vi

i + 1

i - 1

•

•

Corriente total I

Vi A

Ii

•

I


14

Por lo cual este proceso se denomina el método de la matriz ya que envuelve la matriz

[FDT].

La ecuación (1.36) es determinante. Como se verá más adelante, R (FDT) es una función

dependiente de la geometría del sistema y la conductividad del suelo.

Debido al gran número de configuraciones que pueden presentar los conductores de puesta

a tierra la geometría del problema se va complicando. Para limitar posibilidades, se asumirá

que los conductores están orientados solamente a lo largo de las tres coordenadas x, y, ó z

(como es el escaso práctico) y desarrollar expresiones para el FDT en cada caso.

La derivación de estas expresiones se ilustra con base en los cuatro casos siguientes, en los

cuales se analizan las disposiciones físicas de mallas de puesta a tierra más comunes en los

sistemas de puesta a tierra para subestaciones.

1.1.1.1 FDT entre un segmento de conductor dirigido en el eje X y un

punto (x, y, z)

Figura 0.5 Segmento conductor en tierra.

z

y

x

•

(x, y, z)

•

(x1, y1, z1)

I1

2l1


15

Considerando el sistema de la Figura 5. La coordenada del centro del segmento de

conductor es (x1, y1, z1). Se asume que una corriente total I1, sale desde la superficie del

segmento conductor y fluye entre la tierra. También se asume que el flujo de corriente es

uniforme sobre la superficie de este segmento (densidad de superficie constante). El punto

(x, y, z) en la tierra es arbitrario.

El objetivo será calcular el potencial en el punto (x, y, z), debido al flujo de corriente I1,

despreciando otras fuentes de corriente eléctrica (despreciando la presencia de los demás

segmentos). Típicamente el radio del conductor es pequeño, por lo cual es razonable que la

fuente de esta corriente es una línea ideal localizada sobre el eje del segmento conductor.

La densidad de corriente de la línea es 1

12

I

l (A/m). La corriente eléctrica de una longitud

infinitesimal de la fuente de línea, Sdx , es 1

12SI dx

l. La contribución de esta corriente para el

potencial en el punto (x, y, z) es:

( ) ( )

( ) ( )

1

2 22 21

2 221 1

1 1( , , )

8

:

S

S S

I dxdV x y z

l x x A x x A

Donde

A y y z z

πσ− +

±

= + − + − +

= − + ±

(1.37)

La Figura 6 muestra por simplicidad que el segmento de conductor tiene una longitud que

se denotará 2l y la corriente total como I.

Figura 0.6 Representación de un segmento de conductor como una fuente de corriente de línea de densidad de corriente constante.

y

x

dxS

z

(x, y, z)

•

(x1, y1, z1) (xS, y1, z1)


16

El potencial en el punto (x, y, z) es la contribución de todas las fuentes de corriente

infinitesimales:

( ) ( )( ) ( )

1

1

1

2 22 21

1 1, , , ,

8

x l

S

x lS S

IV x y z dV x y z dx

l x x A x x Aπσ

+

− − +

= = + − + − +

∫ ∫ (1.38)

La integral anterior corresponde a la siguiente identidad:

( )2 2

2 2

1lndt t t u

t u

= + ±

± ∫ (1.39)

Reemplazando obtenemos:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

2 21

( , , ) , , , ,8

:

, ln

IV x y z F x x l A F x x l A F x x l A F x x l A

l

Donde

F t u t t u

πσ − − + += − + − − − + − + − − −

= + +

(1.40)

De acuerdo con la ecuación (4.40) y a la definición de FDT se llega a:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11

1, , , ,

8FDT F x x l A F x x l A F x x l A F x x l A

l πσ − − + += − + − − − + − + − − −

(1.41)

La ecuación (1.41) da una forma de los FDT entre un segmento de conductor de longitud 2l

paralelo al eje X y un punto (x, y, z) (resistencia transferida).

1.1.1.2 FDT entre dos segmentos de conductor dirigidos en el eje X

(paralelos):

Considerando la Figura 7 el flujo de corriente I1 transferirá un potencial hacia el segmento

del conductor dos, V2.

El objetivo será calcular este potencial a lo largo del eje del segmento del conductor dos,

asumiendo la ausencia del otro conductor. Un punto en el eje de dicho segmento tendrá

coordenadas (x, y2, z2), donde x2 - l2< x < x2 + l2. El potencial en el punto (x, y2, z2) se

obtiene de la ecuación (1.41):

z

y

x


17

Figura 0.7 Dos segmentos de conductor en tierra.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

12 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1

2 2

2 1 2 1

( , , ) , , , ,8

:

IV x y z F x x l B F x x l B F x x l B F x x l B

l

Donde

B y y z z

πσ − − + +

±

= − + − − − + − + − − −

= − + ±

(1.42)

El potencial promedio a lo largo del eje es:

( )2 2

2 2

2 2 2 22

1, ,

2

x l

x l

V V x y z dxl

+

−

= ∫ (1.43)

La anterior integral corresponde a la siguiente identidad:

( ) ( )2 2 2 21 , lnF t u dt t t t u t u= + + − +∫ (1.44)

Reemplazando:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2

12 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2

1 2

2 2 1 1 2 2 2 1 1 2

, , ,

, , ,16

, ,

F x x l l B F x x l l B F x x l l BI

V F x x l l B F x x l l B F x x l l Bl l

F x x l l B F x x l l Bπσ

− + −

+ − +

− +

− + + + − + + − − + − −

= − + − − − − + − − − + + − − − + − − −

(1.45)

Donde:

( ) ( )2 2 2 22 , lnF t u t t t u t u= + + − + (1.46)

Entonces:


18

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2

2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 21 2

2 2 1 1 2 2 2 1 1 2

, , ,1

, , ,16

, ,

F x x l l B F x x l l B F x x l l B

FDT F x x l l B F x x l l B F x x l l Bl l


− + −

+ − +

− +

− + + + − + + − − + − −

= − + − − − − + − − − + + − − − + − − −

(1.47)

La ecuación (1.47) da una forma para los FDT entre dos segmentos de conductor de

longitudes 2l1 y 2l2 paralelos al eje X (resistencia mutua).

1.1.1.3 FDT entre un segmento de conductor dirigido en el eje X y un

segmento conductor dirigido en el eje Y.

Dicho arreglo está presentado en la Figura 8. La corriente eléctrica total del conductor

dirigido en el eje X es I1. El objetivo es calcular el potencial transferido al segmento

dirigido en el eje Y debida a la corriente del segmento, dirigido en el eje X.

Figura 0.8 Dos segmentos de conductor en tierra. Dirección X y Y.

Las coordenadas de un punto en el eje del conductor dirigido en Y son (x2, y, z2), donde y

varía en el intervalo y2 - l2 ≤ y ≤ y2 + l2. El potencial en el punto (x2, y, z2) debido a la

corriente del conductor dirigido en X resulta mediante la aplicación apropiada de la

ecuación (1.41):

y

x

•

2l1

(x1, y1, z1)

•

2l2

(x2, y2, z2)


19

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

12 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1

1

2 2

1 2 1

( , , ) , , , ,8

:

IV x y z F x x l C F x x l C F x x l C F x x l C

l

Donde

C y y z z

πσ − − + +

±

= − + − − − + − + − − −

= − + ±

(1.48)

El potencial promedio a lo largo del eje es:

( )2 2

2 2

2 2 2 22

1, ,

2

y l

y l

V V x y z dyl

+

−

= ∫ (1.49)

La integral anterior corresponde a la siguiente identidad:

( ) ( )

( ) ( )

2 2 23

2 2 22 2 2 2 2 2 1

, , ln

ln ln 2 tan

F t u v t t u v du

t u t u vu u t t u v t u t u v v

v

−

= + + +

+ + + += − + + + + + + + + +

∫(1.50)

Reemplazando en la ecuación (4.49):

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1

3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 112

1 2 3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1

3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2

, , , ,

, , , ,

16 , , , ,

, ,

F x x l y y l z z F x x l y y l z z

F x x l y y l z z F x x l y y l z zIV

l l F x x l y y l z z F x x l y y l z z

F x x l y y l z z F x

πσ

− + − + − − − + − − − −

− − − + − + − − − − − +=

− + − + + − − + − − + −

− − − + + + −( )1 1 2 1 2 2 1, ,x l y y l z z

− − − +

(1.51)

Por lo tanto el FDT (resistencia transferida) para este caso:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1

3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1

1 2 3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1

3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2

, , , ,

, , , ,1

16 , , , ,

, ,


F x x l y y l z z F x x l y y l z zFDT



πσ

− + − + − − − + − − − −

− − − + − + − − − − − +=

− + − + + − − + − − + −

− − − + + + −( )1 1 2 1 2 2 1, ,x l y y l z z

− − − +

(1.52)

1.1.1.4 FDT propio de un segmento de conductor dirigido en el eje X:

Es definido como la razón de la elevación de tensión de un segmento de conductor

enterrado a la corriente eléctrica total que fluye entre la tierra desde la superficie del

conductor. El cálculo del FDT requiere la consideración del diámetro finito del segmento.

Específicamente, en las discusiones anteriores el segmento se modeló como una fuente de

corriente en línea localizada sobre eje del conductor. Se asumió esta densidad de corriente

constante. Luego se calculó el potencial del segmento como el potencial promedio sobre la


20

superficie cilíndrica del segmento. Debido a que la longitud del segmento es típicamente

mucho mayor que el radio, la superficie de los extremos es ignorada.

Sea la longitud del segmento igual a 2l, su radio a, y la corriente total I. La densidad de

corriente de la fuente de línea es: 2

Ik

l= .

Considerando una superficie cilíndrica infinitesimal de segmento de conductor localizada

en el punto x, como se ve en la Figura 9. La longitud infinitesimal dxS representa una

fuente infinitesimal de corriente cuya corriente es 2SIdx

l. Ahora considerando un punto (x,

y, z) localizado sobre la superficie cilíndrica infinitesimal. El potencial en este punto

debido a la fuente de corriente infinitesimal es:

( )( ) ( )

( ) ( )

2 22 2

2 2

1 1

1 1, ,

8

:

S

S S

IdxdV x y z

I x x a x x A

Donde

A y y z z

πσ+

+

= + − + − +

= − + +

(1.53)

Si se asume que la profundidad del conductor es mucho mayor que el radio a, entonces A+

se puede aproximar de acuerdo al siguiente procedimiento:

( ) ( )2 2

1 1A y y z z+ = − + +

Entonces:

( ) ( )2 221 1A y y z z+ = − + +

Como ( ) ( )2 221 1a y y z z= − + − entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 21 1 1 1 1 1A y y z z z z z z a z z z z+ = − + + + − − − = + + − −

Usando la factorización por diferencia de cuadrados se tiene que:

2 214 A a z z+ = +

Como 1 1 entonces z z :z a ≈�

2 214A a z+ ≅ + (1.54)

•

•

(x, y, z)

dx

dxS φ


21

Figura 0.9 Segmento de conductor dirigido en el eje X.

El potencial en el punto (x, y, z) es la suma de las contribuciones de todas las fuentes

infinitesimales:

( ) ( )1

1

, , , ,x l

x l

V x y x dV x y x

+

−

= ∫ (1.55)

Sustituyendo A+ y evaluando la integral se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1( , , ) , , , 4 , 4

8

IV x y z F x x l a F x x l a F x x l a z F x x l a z

lπσ = − + − − − + − + + − − − +

(1.56)

Donde la función F1, está definida en la ecuación (1.40). De la ecuación (1.55) se ve, que

el potencial V(x, y, z) solamente depende de la coordenada X: V(x)=V(x, y, z).

Así que:

( )1

1

1

1

2

x l

x l

V V x dxl

+

−

= ∫ (1.57)

Evaluando la integral:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 22 2 2 2 1

1 22 2 2 2

2 1 2 1

2 , 2 0, 2 , 2 , 4

16 2 0, 4 2 , 4

F l a F a F l a F l a zI

Vl F a z F l a zπσ

− + − + + = − + + − +

(1.58)

Donde la función F2 está definida en la ecuación (1.46). Nótese que ( )2 0,F a a= − y

( )2 2 2 22 1 10, 4 4F a z a z+ = − + .


22

El FDT propio del segmento es:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 1 2 1 12

12 , 2 , 2 2 , 4 2 , 4 2 4

16FDT F l a F l a a F l a z F l a z a z

lπσ = + − + + + + − + + +

(1.59)

La ecuación (1.58) es el FDT propio (resistencia propia) de un segmento de conductor

dirigido en el eje X.

A continuación, en la siguiente sección, se presenta un resumen de los FDT para segmentos

de conductor paralelos a cualquiera de las tres coordenadas en el plano cartesiano. Dicha

tabla se puede utilizar en el análisis de la mayoría de sistemas de puesta a tierra prácticos en

subestaciones de alta y media tensión. Dichos FDT son válidos si se asume que la tierra es

un medio conductor semi-infinito de conductividad σ constante. Esto está lejos de la

realidad, ya que la conductividad de los suelos presenta variaciones espaciales y

estacionales. Sin embargo un análisis que incluya dichas variaciones sería prácticamente

imposible. De otro lado los efectos de las variaciones de la resistividad siempre son

substanciales. En cualquier caso, la conductividad del suelo bajo una cierta distancia desde

la superficie de la tierra se mantiene aproximadamente constante (prácticamente varía con

el paso del tiempo). La conductividad de la capa superior puede variar con las condiciones

climáticas (una alta conductividad después de un día lluvioso). Es conveniente modelar la

tierra como un medio semi-infinito estratificado. Típicamente como compromiso entre la

simplicidad del modelo y la necesidad de modelar la tierra en forma estratificada, se asume

un modelo de dos capas. El análisis presentado en las secciones anteriores se puede

extender a este tipo de modelos.

1.1.1.5 Resumen de las ecuaciones para FDT para segmentos de

conductor en coordenadas cartesianas:

1.1.1.5.1 FDT entre un segmento de conductor y un punto. Resistencia

transferida.

EJE X:


23

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1

1, , , ,

8 x x x xFDT F x x l A F x x l A F x x l A F x x l Alπσ

− − + + = − + − − − + − + − − −

EJE Y:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1

1, , , ,

8 y y y yFDT F y y l A F y y l A F y y l A F y y l Alπσ

− − + + = − + − − − + − + − − −

EJE Z:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1

1, , , ,

8 z z z zFDT F x x l A F x x l A F x x l A F x x l Alπσ

− − − − = − + − − − + − + − − −

1.1.1.5.2 FDT entre dos segmentos de conductor. Resistencia mutua.

EJE X - EJE X:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2

2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 21 2

2 2 1 1 2 2 2 1 1 2

, , ,1

, , ,16

, ,

F x x l l B F x x l l B F x x l l B

FDT F x x l l B F x x l l B F x x l l Bl l


− + −

+ − +

− +

− + + + − + + − − + − −

= − + − − − − + − − − + + − − − + − − −

EJE Y - EJE Y:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2

2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 21 2

2 2 1 1 2 2 2 1 1 2

, , ,1

, , ,16

, ,

y y y

y y y

y y

F y y l l B F y y l l B F y y l l B

FDT F y y l l B F y y l l B F y y l l Bl l

F y y l l B F y y l l B

πσ

− + −

+ − +

− +

− + + + − + + − − + − − = − + − − − − + − − − + + − − − + − − −


24

EJE Z - EJE Z:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2

2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 21 2

2 2 1 1 2 2 2 1 1 2

, , ,1

, , ,16

, ,

z z z

z z z

z z

F z z l l B F z z l l B F z z l l B

FDT F z z l l B F z z l l B F z z l l Bl l

F z z l l B F z z l l B

πσ

− − −

− − −

− −

− + + − − + − − − − + + = − − − + + + + − + + − − + − + + + − −

EJE X - EJE Y:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1

3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1

1 2 3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1

3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2

, , , ,

, , , ,1

16 , , , ,

, ,


F x x l y y l z z F x x l y y l z zFDT



πσ

− + − + − − − + − − − −

− − − + − + − − − − − +=

− + − + + − − + − − + −

− − − + + + −( )1 1 2 1 2 2 1, ,x l y y l z z

− − − +

EJE X - EJE Z:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1

3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1

1 2 3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1

3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2

, , , ,

, , , ,1

16 , , , ,

, ,

F x x l z z l y y F x x l z z l y y

F x x l z z l y y F x x l z z l y yFDT

l l F x x l z z l y y F x x l z z l y y

F x x l z z l y y F x

πσ

− + − + − − − + − − − −

− − − + − + − − − − − +=

− + + + − − − + + − − −

− − + + − + −( )1 1 2 1 2 2 1, ,x l z z l y y

− + − −

EJE Y - EJE Z:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1

3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1

1 2 3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 1 2 1 2 2 1

3 2 1 1 2 1 2 2 1 3 2

, , , ,

, , , ,1

16 , , , ,

, ,

F y y l z z l x x F y y l z z l x x

F y y l z z l x x F y y l z z l x xFDT

l l F y y l z z l x x F y y l z z l x x

F y y l z z l x x F y

πσ

− + − + − − − + − − − −

− − − + − + − − − − − +=

− + + + − − − + + − − −

− − + + − + −( )1 1 2 1 2 2 1, ,y l z z l x x

− + − −

1.1.1.5.3 FDT propio para un segmento de conductor. Resistencia propia.

EJE X:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 1 2 1 12

12 , 2 , 2 2 , 4 2 , 4 2 4


lπσ = + − + + + + − + + +

EJE Y:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 1 2 1 12

12 , 2 , 2 2 , 4 2 , 4 2 4


lπσ = + − + + + + − + + +


25

EJE Z:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1 2 1 2 12

12 , 2 , 2 2 2 , 2 2 , 2 2 ,

16FDT F l a F l a a F z l a F z l a F z a

lπσ = + − + + + + − −

Notas:

La longitud del segmento i es 21i

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

2 1 2 1

2 2

2 1 2 1

2 2

2 1 2 1

x

y

z

x

y

z

A y y z z

A x x z z

A x x y y

B y y z z

B x x z z

B x x y y

±

±

±

±

±

−

= − + ±

= − + ±

= − + −

= − + ±

= − + ±

= − + −

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

2 21

2 2 2 22

2 2 22 2 2 2 2 2 1

3

, ln

, ln

, , ln ln 2 tan

F t u t t u

F t u t t t u t u

t u t u vF t u v u u t t u v t u t u v v

v

−

= + +

= + + − +

+ + + += − + + + + + + + + +

Con las fórmulas del resumen anterior y con ayuda de las ecuaciones (1.14) y (1.15) se

pueden calcular los valores de todos los segmentos componentes del sistema de puesta a

tierra, ya sea un solo conductor (contrapeso o varilla), malla horizontal, y malla con

varillas.

1.1.2 Calculo de la Conductancia

Se obtiene a partir de la matriz de resistencias o FDT. Dado que [ ] [ ] 1Y R

−= . Invirtiendo la

matriz [R] para obtener 1a matriz de conductancia [Y], se puede decir que:

El valor negativo del elemento Yij para i diferente de j es igual a la conductancia de un

elemento conectado entre los segmentos i y j.


26

1

n

ij

j

Y=∑ , conductancia de un elemento de circuito equivalente conectado entre el

segmento i y la tierra remota.

1

1 1

n n

ij g

i j

Y R−

= =

=∑∑ , donde Rg es la resistencia de puesta a tierra.

1.1.3 Calculo de la Capacitancia

De la ecuación (1.14) se obtiene el valor de la capacidad de cada segmento de acuerdo con

la conductancia a tierra remota hallada en 1.1.2.

1.1.4 Calculo de la Inductancia

De la ecuación (1.15) se obtiene el valor de la inductancia de cada segmento de acuerdo

con la conductancia a tierra remota hallada en 1.1.2.

El valor de conductancia y capacidad se divide entre dos para efectos del modelo, pues

según la Figura 2 y su adecuación al EMTP, el segmento se modela como un segmento PI.

1.1.5 Representación de los Elementos que conforman un Sistema de

Puesta a Tierra

Se modelan los elementos que conforman el sistema de puesta a tierra como parámetros

concentrados, ya que este modelo permite un adecuado y eficiente desarrollo

computacional y una gran flexibilidad para modelar sistemas de puesta a tierra de múltiple

configuraciones geométricas.

1.1.5.1 Definición de variables

Las variables utilizadas se resumen a continuación:

K : Nodo inicial del segmento.

M : Nodo final del segmento.

G : Conductancia a tierra remota. (Mohs)

R : Resistencia óhmica del conductor. (Ohmios)


27

L : Inductancia. (Henrios)

C : Capacitancia. (Faradios)

σ : Conductividad del medio. (1/ohmios · m)

a : Radio del conductor. (Metros)

I : Corriente que emana el conductor hacia tierra.

[V] : Potencial del sistema.

(x, y, z) : Ubicación espacial de un punto.

L : Longitud del segmento

[R] : Matriz de resistencias.

[M] : Matriz de admitancias.

Rg : Resistencia de puesta a tierra del sistema.

A : Área de las placas paralelas del sistema.

ε : Permitividad del suelo.

εr : Permitividad relativa.

ε0 : Permitividad del espacio libre.

c : Velocidad de la luz en el espacio libre.

En la representación de dicho sistema se tiene en cuenta: El segmento se encuentra

representado por medio de su resistencia serie, inductancia serie, conductancia y

capacitancia a tierra remota.

El equivalente PI es un modelo sencillo y adecuado para el trabajo con parámetros

concentrados. La Figura 10 describe la representación circuital de un elemento del sistema

entre dos nodos diferentes.


28

Figura 0.10 Representación de un elemento del sistema de puesta a tierra (después de la partición).

1.2 Metodología en la Solución del Problema de Análisis y

Modelamiento de Sistemas de Puesta a Tierra

Con base en lo expuesto en la formulación del problema, así como en la representación de

dichos sistemas se procede a definir una metodología, con la cual se integre los diversos

pasos en el proceso de modelamiento de los sistemas de puesta a tierra.

1.2.1 Datos de Entrada

Los datos de entrada necesarios para la solución de este problema son: Las dimensiones del

sistema de puesta a tierra, resistividad y permitividad relativa del terreno, calibre de los

conductores, profundidad de enterramiento del sistema y la fuente de excitación o disturbio

que afecta al sistema.

1.2.2 Cálculo de los FDT

Se realiza el cálculo de los FDT de acuerdo con la configuración geométrica del sistema,

las fórmulas de 1.1.1.5. Se debe determinar la segmentación del sistema, la cual se realiza

por cruces de conductores en el caso de mallas, y teniendo en cuenta la exactitud requerida


29

para el modelo, cabe anotar que a un mayor número de segmentos se obtiene un mejor

modelo pero con un mayor tiempo de cálculo del sistema.

Luego de la segmentación se hace necesario seguir un método de ordenamiento del sistema

el cual permita la numeración de estos, de la siguiente forma:

Para los conductores horizontales, se organizan de tal manera que en un sistema

coordenado XY, los conductores se agrupen de acuerdo con sus coordenadas iniciales y

finales, partiendo de la menor coordenada XY y manteniendo la ordenada Y constante se

recorre en orden ascendente la abscisa X hasta alcanzar su valor máximo en X, se pasa al

siguiente valor en orden ascendente, de la ordenada Y, y se repite el recorrido de las

abscisas. Y, así sucesivamente se obtiene un orden en el cual se recorren los conductores

en el plano de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba.

Para los conductores verticales, la organización es análoga a la de los conductores

horizontales. Pero en este caso los conductores en el plano se recorren de abajo hacia

arriba y de izquierda a derecha.

Para las varillas de puesta a tierra, las cuales son vistas como puntos en el plano

coordenado XY, su organización final se hace de izquierda a derecha y de abajo hacia

arriba.

Con este ordenamiento y los datos de entrada de resistividad del terreno, características del

conductor, profundidad de enterramiento, se aplican las fórmulas de 1.1.1.5 y se determinan

los factores de distribución de tensión o matriz de resistencias, en el siguiente orden:

FDT para segmentos horizontales FDTH, verticales FDTV y varillas FDTB.

FDT mutua para segmentos horizontales y verticales FDTHV.

FDT mutua para segmentos horizontales y varillas FDTHB.

FDT mutua para segmentos verticales y varillas FDTVB.


30

Con estas matrices se conforma la FDT del sistema total, la cual tiene la estructura de la

Tabla 1. Donde M es el número de segmentos horizontales, N el número de conductores

verticales y LO el número de varillas.

Cabe anotar que cuando se trata de un solo conductor en cualquier dirección la matriz

resultante será solo una de las matrices de la diagonal principal de la matriz mostrada en la

Tabla 1.

Tabla 0.1 Matriz FDT de un sistema de puesta a tierra

1.2.3 Inversión de la Matriz FDT

Se invierte la matriz FDT del sistema total. Esta matriz resultante es la matriz de

admitancias del sistema, y con la cual se pueden hallar el resto de componentes del circuito

equivalente de cada segmento.

1,1 1,M

FDTH

M,1 M,M

1,M+1 1,M+N

FDTHV

M,M+1 M,M+N

1,M+N+1 1,M+N+LO

FDTHB

M,M+N+1 M,M+N+LO

M+1,1 M+1,M

FDTVH M+N,1 M+N,M

M+1,M+1 M+1,M+N

FDTV M+N,M+1 M+N,M+N

M+1,M+N+1 M+1,M+N+LO

FDTVB M+N,M+N+1 M+N,M+N+LO

M+N+1,1 M+N+1,M

FDTBH M+N+LO,1 M+N+LO,M

M+N+1,M+1 M+N+1,M+N

FDTBV

M+N+LO,M+1 M+N+LO,M+N

M+N+1,M+N+1 M+N+1,M+N+LO

FDTB

M+N+LO,M+N+1 M+N+LO,M+N+LO


31

1.2.4 Circuito Equivalente de los Segmentos

Con la matriz de admitancias del sistema segmentado se obtienen las conductancias a tierra

remota de todos los segmentos de conductor, sumando cada fila de la matriz. También se

obtiene la resistencia de puesta a tierra del sistema, Rg, sumando todos los elementos de la

matriz de admitancias del sistema, y luego invirtiendo dicho resultado.

Luego se obtienen los valores de capacidad e inductancia del sistema con las ecuaciones

(1.14) y (1.15), para lo cual se emplean los valores de conductividad y permitividad relativa

del terreno, longitud del segmento y la velocidad de la luz en el espacio libre. La resistencia

serie del segmento de conductor se halla con base en el valor de la resistencia por unidad de

longitud, el cual aparece en las tablas de fabricantes de cables, y su longitud de segmento.

Con el objeto de utilizar el circuito PI se determina la mitad de la conductancia y

capacitancia obtenidas de la matriz de admitancias del sistema para todos los segmentos.

Con esto se logra la representación del sistema de puesta a tierra con base en la partición en

segmentos del conductor y su representación como elementos del circuito, los cuales

pueden ser modelados en un paquete de simulación.

1.2.5 Modelamiento del Sistema

La solución de los transitorios en el sistema de puesta a tierra se puede resolver mediante el

método de integración trapezoidal para la solución de los transitorios electromagnéticos, el

cual consiste en reemplazar los elementos por circuitos de acompañamiento resistivo

equivalentes y fuentes de historia pasada que reconstruyen el efecto de los elementos no

resistivos. El algoritmo es muy conocido, ya que es el mismo utilizado por el EMTP de

amplia utilización en nuestro medio y de gran reconocimiento a escala mundial.

En este paso se introducen los datos de resistencia e inductancia serie del segmento de

conductor, capacidad a tierra remota y el valor de conductancia a tierra remota se introduce

con el valor de resistencia, el cual es el valor inverso. Con base en el ordenamiento de

segmentos se realiza la numeración de nodos y como parte final se aplica la fuente con la

cual se desea analizar el comportamiento del sistema.

Engineering

Modelo electromagnético de un electrodo enterrado en un suelo homogeneo