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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”ESCUELA DE INGENIERIA DE SISTEMAS
EXTENSIÓN MATURÍN
CONDICIONES DE KUHN TUCKER
Bachiller:Gerardo Caolo
La utilización de este método se ha convertido en una de las
mayores herramientas utilizadas en las organizaciones para la toma de
decisiones debido a su complejidad y la manera en que representan los
problemas tomando en cuenta todas las variables que intervienen dentro
del mismo, facilitando de esta manera a los directivos seleccionar la
solución más óptima para cada problema. El mismo es representados
de forma sencilla y específica para su fácil comprensión.
El objetivo de la optimización matemática es, por tanto, encontrar los
máximos y mínimos de funciones de varias variables sujeta a una serie
de restricciones.
Albert William Tucker (28 de noviembre
de 1905 – 25 de enero de 1995) fue un matemático
estadounidense nacido en Canadá que realizó
importantes contribuciones a la Topología, Teoría de
juegos y a la Programación no lineal.
Kuhn Tucker
Condiciones de Kuhn Tucker
Las condiciones de Karush-Kunh-Tucker, son una generalización del método de los multiplicadores de Lagrange para restricciones de desigualdad. En programación matemática, las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker
(también conocidas como las condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son condiciones
necesarias y suficientes para que la solución de un problema de programación
matemática sea óptima.
A
CONDICIONES DE
PRIMER ORDEN
=0B
CONDICIONES DE HOLGURA
COMPLEMENTATIA
Condiciones de Kuhn Tucker I/II:
Condiciones de Kuhn Tucker II/II
C
En todos los casos debemos comprobar
que se cumple:
D
Los multiplicadores de LaGrange deben coincidir con el problema de
optimización:
Si maximizamos, es Si minimizamos, es
Objetivos de las Condiciones Kuhn-Tucker
Cubrir todos los aspectos necesarios para satisfacer los problemas relacionados
con la optimización de programaciones lineales y no lineales, independientemente
de la causa o de la intensidad de estas, otorgando como resultado final que no
existan restricciones de desigualdad que generen incertidumbre.
Aplicación de la Condiciones de Kuhn-Tucker La toma de decisiones organizacionales, se fundamenta matemáticamente el
teorema de suficiencia de Kuhn-Tucker los problemas de restricción de
desigualdad pueden ajustarse mejor a situaciones reales, puede pensarse que
una restricción de igualdad significa agotar completamente cierto recurso.
Importancia
La importancia de este teorema radica en que nos dice que podemos
asociar una función de utilidad a unas preferencias, esto nos abre la puerta de la
potente herramienta del análisis matemático al estudio del comportamiento del
consumidor.
Uso de las Condiciones KKT
La forma de operar las condiciones de KKT es la siguiente:
Como lo que buscamos es el punto xo y de inicio se desconoce, entonces las
ecuaciones de las condiciones de los bloques I y II se piensan como un sistema
de ecuaciones en las variables xj ′ s y λj ′ s: Se intenta resolver tal sistema de
ecuaciones y en caso de encontrarse las soluciones se revisan una a una para
ver cual de ella cumple que los λj ′ s son no negativos y que también se
cumplen las restricciones gi ≤ 0 en los puntos encontrados.
Ejemplo:
Encuentre los valores mínimo y máximo de la función f(x1, x2) = 3 − x1 − x2
sujeta a las restricciones 0 ≤ x1, 0 ≤ x2 y 2 x1 + x2 ≤ 2.
Solución o Primero cambiemos las restricciones a la forma gi≤0:
0 ≤ x1 → g1 = −x1 ≤ 0
0 ≤ x2 → g2 = −x2 ≤ 0
x1 + x2 ≤ 2 → g3 = 2 x1 + x2 − 2 ≤ 0
o Resolvamos el problema de minimización primeramente. En este caso las
condiciones son:
Bloque I
∂f(xo) ∂x1 + Pm i=1 λi ∂gi(xo) ∂x1 = −1 + 2 λ1 − λ2 = 0
∂f(xo) ∂x2 + Pm i=1 λi ∂gi(xo) ∂x1 = −1 + λ1 − λ3 = 0
Bloque II: Condición de Holgura Complementaria
λ1 g1 = λ1 (2 x1 + x2 − 2) = 0
λ2 g2 = −λ2 x1 = 0
λ3 g3 = −λ3 x2 = 0
El sistema de ecuaciones es resuelto en Maple y se arma la siguiente tabla.
En la tabla vemos que solo el ultimo renglón tiene valores de los multiplicadores
no negativos. Por tanto, el mínimo valor de f(x1, x2) lo alcanza en P(0, 2) y es 1.
Para determinar el máximo las condiciones quedan:
Bloque I
Bloque II: Condición de Holgura Complementaria
El sistema de ecuaciones es resuelto en Maple y se arma la siguiente tabla
En la tabla vemos que solo el primer renglón tiene valores de los
multiplicadores no negativos. Por tanto, el máximo valor de f(x1, x2) lo
alcanza en Q(0, 0) y es 3.
Observamos que las tablas para minimización y para maximización son idénticas
salvo que los valores de los multiplicadores están cambiados de signo. Por tanto, la
estrategia conveniente para optimizar una función sujeta a restricciones de
desigualdad por el método de las condiciones de KKT es:
1. Plantear el problema como si se tratara solo de minimización y resolver el
sistema de ecuaciones correspondientes.
2. Eliminar aquellos puntos encontrados que no satisfacen las restricciones gi ≤ 0.
3. Eliminar aquellos puntos que tienen a la vez multiplicadores positivos y
negativos.
4. Para minimización: escoger dentro de aquellos puntos que tienen
multiplicadores no negativos aquel que tienen la menor evaluación de la función
objetivo.
5. Para maximización: escoger dentro de aquellos puntos que tienen
multiplicadores no positivos aquel que tienen la mayor evaluación de la función
objetivo.
Campo de aplicación
Básicamente el procedimiento consiste en resolver el problema no
lineal como uno sin restricciones, luego si la solución óptima de dicho
problema no cumple la totalidad o parte de las restricciones del problema se
activan dichas restricciones (en conjunto y/o secuencialmente) y se resuelve
nuevamente. Esto se repite hasta llegar a un conjunto de restricciones activas
cuya solución también satisface las restricciones omitidas. Esta característica
particular de los modelos no lineales permite abordar problemas donde existen
economías o de economías de escala o en general donde los supuestos
asociados a la proporcionalidad no se cumplen. Los multiplicadores de Kuhn-
Tucker , al igual que los multiplicadores de Lagrange en el caso de
restricciones de igualdad, son calculados simultáneamente a los puntos
óptimos. Además de servir para utilizar las condiciones de optimización de
segundo orden y para indicar las restricciones que se encuentran saturadas,
tienen una clara interpretación económica y financiera.
Dado el óptimo de un programa con restricciones de desigualdad podría
plantearse un programa equivalente eliminando las restricciones no saturadas y
expresando en forma de igualdad las saturadas. También son aplicados en
sistemas eléctricos, en el área de sistemas, matemática, toma de decisiones
entre otras.
Diferencias entre las condiciones de Khun-Tucker y Lagrange.
La principal diferencia entre las condiciones de Kuhn Tucker y
LaGrange, y a pesar que comparten más similitudes que diferencias, es que la
primera fue creada con el fin de dar solución a problemas relacionados con la
programación lineal, la segunda se adapta a una mayor cantidad de casos
(inclusive cotidianos), por lo que se podría decir que a pesar de tener un mayor
tiempo desde su creación, tiende a ser más importante la de LaGrange.
La optimización en la toma de decisiones
Una de las características del ser humano es su capacidad para tomar
decisiones, lo que incluye, básicamente, su capacidad para analizar las alternativas y
evaluarlas en términos de su comportamiento respecto de los objetivos que desea
conseguir. Es una actividad tan cotidiana que prácticamente no le prestamos atención. En
muchos casos hemos ‘automatizado’ ese proceso de toma de decisiones como fruto de la
experiencia. Sin embargo, cuando el problema al que nos enfrentamos es muy complejo,
hay muchas alternativas posibles, y son graves sus consecuencias, por lo que resulta
difícil realizar este proceso de análisis y evaluación. Los problemas que surgen en las
grandes organizaciones, tanto en el sector privado como en el público, son tan complejos
que no pueden resolverse usando exclusivamente sentido común y experiencia práctica.
Se deben tomar decisiones sobre la manera ‘óptima’ de usar los recursos disponibles,
generalmente escasos, para lograr unos ciertos objetivos. La Investigación Operativa
proporciona modelos y técnicas para abordar estos problemas, que permiten comprender
los sistemas reales y, en general, facilitan información sobre la decisión o el conjunto de
decisiones más adecuado de acuerdo con los objetivos establecidos y el impacto que
pueden tener sobre el funcionamiento del sistema como un todo.
