NGUYỄN XUÂN LỰU

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

.

NHÀ XUẤT BẢN GIAO THÔNG VẬN TẢI HÀ NỘI - 2007

PPPTHH �3

LỜI NÓI ðẦU

Trong những phương pháp tính toán kết cấu hiện nay, các phương pháp số, ñặc biệt là phương pháp phần tử hữu hạn ngày càng ñược ứng dụng rộng rãi. Ở các trường ñại học kỹ thuật, môn học Phương pháp phần tử hữu hạn ñã ñược ñưa vào chương trình giảng dạy.

ðể ñáp ứng yêu cầu học tập và nghiên cứu của sinh viên, chúng tôi biên soạn cuốn sách này nhằm cung cấp cho người ñọc những kiến thức cơ bản nhất của môn học, biết sử dụng phương pháp này ñể giải những dạng bài toán ñiển hình ñơn giản, từ ñó có cơ sở ñể vận dụng vào công tác tính toán, thiết kế công trình trong thực tế. Sách cũng có thể làm tài liệu tham khảo cho các học viên cao học, các kỹ sư thiết kế cơ khí và công trình.

ðể nắm vững môn học này người ñọc cần ôn lại hoặc bổ túc thêm các kiến thức về Cơ học vật rắn, Lý thuyết ñàn hồi, Lý thuyết ma trận, Phương trình ñạo hàm riêng. Vì vậy ở cuối cuốn sách chúng tôi giới thiệu thêm về ðại cương Lý thuyết ñàn hồi như là Phần phụ lục của cuốn sách.

Trong quá trình biên soạn cuốn sách, tác giả ñã nhận ñược nhiều ý kién ñóng góp quí báu của các bạn ñồng nghiệp, nhân ñây chúng tôi xin tỏ lòng cám ơn chân thành.

Tác giả

Chương 1

KHÁI NIỆM CHUNG VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1.1. Mô hình rời rạc hóa kết cấu

Trong mấy chục năm gần ñây, kỹ thuật tính toán kết cấu ñã có những bước phát triển mới do việc ứng dụng rộng rãi máy tính ñiện tử. Một trong những phương pháp tính toán ñang ñược sử dụng ngày càng nhiều và có hiệu quả là phương pháp phần tử hữu hạn (sau ñây viết tắt là PTHH).

Phương pháp PTHH trong tính toán kết cấu là tổng hợp của nhiều bộ môn, vì nó liên quan ñến kiến thức trong ba lĩnh vực sau ñây:

- Cơ học kết cấu: sức bền vật liệu, lý thuyết ñàn hồi, lý thuyết dẻo, ñộng lực học…

- Giải tích số: các phương pháp gần ñúng, giải hệ phương trình tuyến tính, bài toán trị riêng…

- Tin học ứng dụng.

Ý tưởng cơ bản của phương pháp PTHH trong tính toán kết cấu là coi vật thể liên tục như là tổ hợp của nhiều phần nhỏ liên kết với nhau bởi một số hữu hạn các ñiểm, gọi là nút. Các phần nhỏ ñược hình thành gọi là các phần tử hữu hạn (gọi tắt là phần tử). Hình dạng và kích thước các phần tử có thể khác nhau, tạo thành các mạng lưới khác nhau. Trên hình 1.1 giới thiệu một số sơ ñồ rời rạc hóa kết cấu liên tục thành mạng lưới PTHH.

Dĩ nhiên, quan niệm rời rạc hóa như vậy chỉ là gần ñúng. Khi thay thế kết cấu thực (hệ liên tục) bằng tổ hợp các phần tử như trên, người ta thừa nhận rằng, năng lượng bên trong mô hình thay thế phải bằng năng lượng trong kết cấu thực. Trong mỗi phần tử, các ñại lượng cần tìm (thí dụ chuyển vị, ứng suất) ñược lấy xấp xỉ theo một dạng hàm ñơn giản gọi là hàm xấp xỉ. Các hàm xấp xỉ, thí dụ hàm xấp xỉ chuyển vị, phải thỏa mãn ñiều kiện liên tục trên biên các phần tử tiếp xúc với nhau. Trong một số trường hợp, các ñiều kiện tương thích này chỉ thỏa mãn một cách gần ñúng.

Người ta căn cứ vào hình dạng và tình hình chịu lực của kết cấu ñể chọn loại phần tử thích hợp. ðối với hệ thanh, lấy ñoạn dầm và thanh làm PTHH. Với kết cấu tấm phẳng thường sử dụng các phần tử hình tam giác, phần tử hình chữ nhật, phần tử hình tứ giác có cạnh thẳng hoặc cong. ðối với kết cấu vỏ, ngoài các loại phần tử tấm phẳng còn sử dụng phần tử vỏ. ðối với vật thể khối, thường dùng các loại phần tử hình tứ diện, hình lập phương, hình lục diện. Còn ñối với vật thể ñối xứng trục, thường dùng phần tử hình vành khăn. Hình 1.2a giới thiệu một số loại phần tử thường dùng.

PPPTHH �5

Hình 1.1

Tùy theo số lượng nút và cách bố trí nút trong mỗi PTHH, người ta phân biệt các loại phần tử tuyến tính và phần tử bậc cao, tương ứng với các dạng hàm chuyển vị tuyến tính và dạng hàm chuyển vị bậc cao. Hình 1.2b giới thiệu 3 loại phần tử bậc cao.

a)

b)

Hình 1.2

Khi phân tích các kết cấu có thể sử dụng các mô hình tính như sau:

1. Mô hình chuyển vị chọn chuyển vị ở các nút làm ẩn. Các ẩn này ñược xác ñịnh từ hệ phương trình cân bằng thành lập trên cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần dừng. Nguyên lý này phát biểu như sau:

Trong tất cả các trường chuyển vị thỏa mãn các ñiều kiện tương thích và ñiều kiện biên ñộng học, thì trường chuyển vị tương ứng với sự cân bằng của vật thể sẽ làm cho thế năng toàn phần π ñạt giá trị dừng (ñạt giá trị cực tiểu).

0U Vδπ δ δ= + = (1.1)

trong ñó: U Vπ = + là hàm của các chuyển vị.

U – thế năng biến dạng ñàn hồi của vật thể, biểu diễn bằng phần diện tích vẽ trên hình 1.3.

V – công của ngoại lực sinh ra trên dịch chuyển của ngoại lực do vật thể bị biến dạng.

Nếu hệ ở trạng thái ổn ñịnh, thế năng toàn phần có giá trị cực tiểu.

Như vậy sau khi giả thiết một dạng hàm chuyển vị trong phần tử, từ ñiều kiện dừng của phiếm hàm π ta sẽ nhận ñược một hệ phương trình cân bằng trong khi các ñiều kiện liên tục ñã ñược thỏa mãn.

Hình 1.3

2. Mô hình cân bằng chọn các ứng suất hay nội lực ở các nút làm ẩn. Các ẩn này ñược xác ñịnh từ hệ phương trình tương thích thành lập trên cơ sở nguyên lý cực tiểu của thế năng bù toàn phần. Nguyên lý này phát biểu như sau:

Trong tất cả các trường ứng suất thỏa mãn ñiều kiện cân bằng và ñiều kiện biên tĩnh học, thì trường ứng suất thỏa mãn ñiều kiện tương thích sẽ làm cho thế năng bù toàn phần π ∗ ñạt giá trị dừng.

0U Vδπ δ δ∗ ∗ ∗= + = (1.2)

trong ñó: U Vπ ∗ ∗ ∗= + là hàm của các ứng suất.

U ∗ - thế năng bù của biến dạng, biểu diễn bằng phần diện tích phía trên vẽ trên hình 1.3.

V ∗ - công bù của ngoại lực.

PPPTHH �7

Thông thường người ta hay sử dụng mô hình chuyển vị vì nó thuận lợi hơn cho việc tự ñộng hóa tính toán trên máy tính. Do ñó trong tài liệu này chỉ ñề cập ñến mô hình chuyển vị của phương pháp PTHH.

1.2. Hàm chuyển vị. Hàm dạng

1.2.1. ða thức xấp xỉ. Hàm chuyển vị

Nếu sử dụng mô hình chuyển vị trong phương pháp PTHH thì hàm xấp xỉ của ñại lượng cần tìm là hàm chuyển vị. Hàm này mô tả gần ñúng chuyển vị của các ñiểm trong phần tử. Thông thường người ta chọn hàm chuyển vị dưới dạng ña thức, bởi vì ở dạng ña thức dễ ñạo hàm, tích phân, dễ thiết lập công thức khi xây dựng các phương trình cơ bản của phương pháp PTHH. Bậc của ña thức và số lượng số hạng trong ña thức phụ thuộc vào bậc tự do của phần tử, tức là số chuyển vị ở tất cả các nút của phần tử. ðiều này sẽ nói kỹ hơn khi phân tích những kết cấu cụ thể trong những phần sau.

Các ña thức xấp xỉ phải thỏa mãn ñiều kiện hội tụ, tức là khi kích thước phần tử nhỏ dần thì kết quả sẽ hội tụ ñến lời giải chính xác. Muốn vậy trong ña thức ñược chọn phải tồn tại số hạng tự do (hằng số) và tồn tại ñạo hàm riêng ñến bậc cao nhất trong phiếm hàm năng lượng.

Thí dụ, ñối với bài toán một chiều có thể chọn:

1 2( )f x xα α= + (xấp xỉ tuyến tính)

21 2 3( )f x x xα α α= + + (xấp xỉ bậc hai)

1

1

1

( )n

iif x xα

+−= ∑ (xấp xỉ bậc n)

ðối với bài toán hai chiều có thể chọn:

1 2 3( , )f x y x yα α α= + + (xấp xỉ tuyến tính)

2 21 2 3 4 5 6( , )f x y x y x xy yα α α α α α= + + + + + (xấp xỉ bậc hai)

1.2.2. Biểu diễn hàm chuyển vị qua chuyển vị nút. Hàm dạng

Hình 1.4

Ta xem xét một PTHH hình tam giác trong bài toán phẳng của Lý thuyết ñàn hồi. Phần tử có 3 nút là 3 ñỉnh của tam giác, nối khớp với các phần tử khác (hình 1.4). Mỗi nút có 2 bậc tự do, tức là có thể chuyển dịch theo 2 phương x và y. Như vậy phần tử có 6 bậc tự do, chúng ñược biểu diễn bằng 6 chuyển vị ở các nút là , , , , ,i i j j m mu v u v u v . Ta

gọi ñó là các chuyển vị nút. Chúng hợp thành vectơ chuyển vị nút của phần tử:

{ }

i

i

j

j

m

m

u

v

u

v

u

v

δ

=

(1.3)

Các chuyển vị nút này là ẩn của bài toán tính kết cấu theo mô hình chuyển vị của phương pháp PTHH. Trong nhiều trường hợp, các thành phần trong vectơ chuyển vị nút không chỉ bao gồm các giá trị hàm chuyển vị tại các nút, mà còn có cả giá trị ñạo hàm của hàm chuyển vị nữa (thí dụ trong bài toán uốn thanh, bài toán tấm…).

Như ñã thấy, hàm chuyển vị (ña thức xấp xỉ) là hàm của các tọa ñộ, cho phép xác ñịnh chuyển vị tại một ñiểm bất kỳ trong phần tử. Bây giờ ta tìm cách biểu diễn hàm chuyển vị theo các chuyển vị nút.

Thí dụ hàm chuyển vị của phần tử tam giác có dạng:

1 2 3

4 5 6

( , )

( , )

u x y x y

v x y x y

α α α

α α α

= + +

= + + (1.4)

hay { }( )( )

1

2

3

4

5

6

1 0 0 0

0 0 0 1

x yf

x y

αα

αααα

= =

u x, y

v x, y (1.5)

hoặc { } [ ]{ }αf = Q (1.6)

trong ñó: { }f là vectơ chuyển vị

[ ]Q là ma trận các ñơn thức

{ }α là vectơ các tham số

Chuyển vị tại các nút, theo (1.6) ta có

{ } [ ]{ }Cδ α= (1.7)

trong ñó: [ ]C là giá trị [ ]Q tại các nút, tức là ma trận tọa ñộ nút.

PPPTHH �9

Có thể xác ñịnh { }α theo [ ]C , ta có từ (1.7)

{ } [ ] { }1Cα δ

−= (1.8)

Do ñó theo (1.6): { } [ ][ ] { }1f Q C δ

−= (1.9)

hay { } [ ]{ }f N δ= (1.10)

trong ñó: [ ] [ ][ ] 1N Q C

−= (1.11)

Ma trận [ ]N gọi là ma trận các hàm dạng, còn gọi là ma trận các hàm nội suy, vì

có thể từ chuyển vị các nút nội suy ra chuyển vị của ñiểm bất kỳ. Các hàm dạng có một ý nghĩa rất quan trọng khi phân tích kết cấu theo phương pháp PTHH.

1.2.3. Lực nút Khi vật thể chịu lực, trong các phần tử sinh ra các nội lực. Phương pháp PTHH

giả thiết rằng các nội lực này ñều truyền qua nút. Các lực tác dụng lên nút gọi là lực nút, ñó là lực tương tác giữa các phần tử liên kết với nhau tại nút do các chuyển vị nút sinh ra. ðương nhiên tại các nút còn có thể có các ngoại lực (tải trọng). Nếu tải trọng không ñặt tại nút thì phải dời về nút theo phép biến ñổi tương ñương.

Trong mỗi phần tử các lực nút hợp thành vectơ lực nút { }eF . Vectơ này có số

thành phần bằng số thành phần của vectơ chuyển vị nút, ñược sắp xếp tương ứng với vectơ chuyển vị nút. Thí dụ ñối với phần tử tam giác phẳng ở hình 1.4, ta có vectơ lực nút (hình 1.5a) là:

{ }Te

i i j j m mF U V U V U V =

Hay thí dụ ñối với phần tử thanh chịu uốn (hình 1.5b), tương ứng với vectơ chuyển vị nút (gồm chuyển vị thẳng và góc quay)

{ }T

i i j jv vδ θ θ =

là vectơ lực nút

{ }Te

i i j jF V M V M =

a) b)

Hình 1.5

1.3. Phương trình cơ bản của phương pháp PTHH 1.3.1. Các quan hệ chuyển vị, biến dạng, ứng suất trong phần tử

Theo mô hình chuyển vị của phương pháp PTHH, ñại lượng cần tìm ñầu tiên là chuyển vị ở các nút. Sau khi chọn hàm xấp xỉ của chuyển vị, ta xác ñịnh ñược trường chuyển vị theo chuyển vị nút:

{ } [ ]{ }f N δ= (1.12)

Sử dụng phương trình biến dạng Cauchy trong Lý thuyết ñàn hồi

{ } [ ]{ }fε = ∂ (1.13)

trong ñó: [ ]∂ là toán tử vi phân

[ ]

0 0

0 0

0 0

0

0

0

x

y

z

x x

y y

z z

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(1.14)

ta có vectơ biến dạng:

{ } [ ][ ]{ }Nε δ= ∂

hay { } [ ]{ }δε B= (1.15)

trong ñó: [ ] [ ][ ]B N= ∂ (1.16)

gọi là ma trận tính biến dạng.

Ứng suất tại một ñiểm trong phần tử xác ñịnh theo ñịnh luật Hooke:

{ } [ ]{ }Dσ ε= (1.17)

trong ñó: [ ]D gọi là ma trận ñàn hồi.

Từ ñó theo (1.15) ta có vectơ ứng suất:

{ } [ ][ ]{ }D Bσ δ= (1.18)

PPPTHH �11

hay { } [ ]{ }Sσ δ= (1.19)

trong ñó: [ ] [ ][ ]S D B= (1.20)

gọi là ma trận tính ứng suất.

1.3.2. Phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn. Ma trận ñộ cứng phần tử. Vectơ tải phần tử

Sau ñây ta sử dụng nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần ñể thiết lập phương trình cơ bản của phương pháp PTHH.

Giả sử một PTHH có thể tích e

V chịu tác dụng của lực thể tích p và lực bề mặt q

trên diện tích e

S . Thế năng toàn phần của phần tử là e

U có thể viết dưới dạng:

[ ] { } [ ] { } [ ] { }1

2e e e

T T T

e

V V S

U dV f p dV f q dSε σ= − −∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ (1.21)

ðể ý tới (1.12), (1.15), (1.19) ta có

[ ] [ ] [ ][ ]{ } { }[ ] { } [ ] [ ] { }1

2e e e

T T T T T

V V S

B D B dV N p dV N q dSδ δ δ δ− −∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ (1.22)

hay [ ] [ ] [ ][ ] { } { } [ ] { } [ ] { }1

2e e e

T T T T T

e

V V S

U B D B dV N p dV N q dSδ δ δ

= − +

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫

(1.23)

ðặt [ ] [ ] [ ][ ]e

T

V

k B D B dV= ∫∫∫ (1.24)

và { } [ ] { } [ ] { }e e

e T T

V S

P N p dV N q dS= +∫∫∫ ∫∫ (1.25)

ta có [ ] [ ]{ } [ ] { }1

2

T T e

eU k Pδ δ δ= − (1.26)

Ma trận [ ]k gọi là ma trận ñộ cứng phần tử, còn vectơ { }eP là vectơ tải phần tử

bao gồm các thành phần lực ñặt tại nút, các lực này ñược quy ñổi sau khi dời các tải

trọng P và q về nút, do ñó { }eP còn gọi là lực nút tương ñương.

Trong trường hợp ở nút có tồn tại lực tập trung

{ }

1

2e

n

R

RR

R

=

M

thì phải cộng thêm các lực tập trung này vào vectơ tải { }eP .

Theo nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần, ñiều kiện cân bằng tại các nút của phần tử là:

{ }

0eU

δ∂

=∂

(1.27)

tức là { } { } { }1 2

0 , 0 , ... , 0e e e

n

U U U

δ δ δ∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂

(1.28)

Sau khi lấy cực tiểu từ (1.26) ta ñược

[ ]{ } { }ek Pδ = (1.29)

ðây là phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn tính theo mô hình chuyển vị. ðiều ñó có nghĩa là tại từng nút, lực nút do chuyển vị nút gây ra

{ } [ ]{ }eF k

δδ= phải cân bằng với tải trọng ñặt ở nút.

{ } { }e eF P

δ=

Trong trường hợp PTHH có biến dạng ban ñầu 0ε và ứng suất ban ñầu 0σ thì

quan hệ (1.18) ñổi thành:

{ } [ ][ ]{ } [ ]{ } { }0 0D B Dσ δ ε σ= − + (1.30)

Do ñó vectơ tải phần tử (1.25) có thêm thành phần do 0ε và 0σ gây ra:

{ } [ ] { } [ ] { } [ ] [ ]{ } [ ] { }0 0

e e e e

e T T T T

V S V V

P N p dV N q dS B D dV B dVε σ= + − +∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

(1.31)

1.3.3. Ma trận ñộ cứng tổng thể. Vectơ tải tổng thể. Phương trình cơ bản của hệ

Sau khi thiết lập ñược các ma trận ñộ cứng phần tử và vectơ tải phần tử của tất cả các phần tử trong mạng lưới kết cấu, ta cần phải tổ hợp tất cả chúng lại thành ma trận ñộ cứng tổng thể [ ]K và vectơ tải tổng thể [ ]P của kết cấu, từ ñó xây dựng phương trình

cơ bản ñối với toàn bộ kết cấu.

Việc tổ hợp này có nghĩa là phải sắp xếp các thành phần trong các ma trận [ ]k của

các phần tử vào các vị trí thích hợp trong ma trận [ ]K , và các thành phần trong các ma

trận { }eP của các phần tử vào các vị trí thích hợp trong { }P . Sự sắp xếp này ñược mô tả

bằng ma trận ñịnh vị của các phần tử.

Gọi vectơ chuyển vị nút của phần tử là { }δ và vectơ chuyển vị nút tổng thể của

toàn bộ kết cấu là { }∆ , thì quan hệ giữa chúng có thể biểu diễn dưới dạng:

{ } [ ] { }1

end nd n

Lδ× ×

= ∆ (1.32)

PPPTHH �13

trong ñó: [ ]eL là ma trận ñịnh vị của phần tử, nd là số chuyển vị nút trong mỗi

phần tử, n là số chuyển vị nút trong toàn bộ kết cấu. Thí dụ có thanh chịu kéo như hình 1.6.

Hình 1.6

Chia thanh thành 4 phần tử, 5 nút ñánh số như hình vẽ. Vectơ chuyển vị nút tổng thể:

{ } [ ]T54321 ∆∆∆∆∆=∆ (1.33)

Vectơ chuyển vị nút của các phần tử:

{ } { } [ ] { }

{ } { } [ ] { }

1 1

12

2 2

23

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

L

L

δ

δ

∆ = = ∆ = ∆ ∆

∆ = = ∆ = ∆ ∆

{ } { } [ ] { }

{ } { } [ ] { }

3 3

34

4 4

45

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

L

L

δ

δ

∆ = = ∆ = ∆ ∆

∆ = = ∆ = ∆ ∆

(1.34)

Căn cứ vào (1.26) ta có thể viết ñược biểu thức thế năng toàn phần của toàn bộ kết cấu:

[ ] [ ]{ } [ ] { }1 1 1

1

2

e e en n nT T e

ee e e

U U k Pδ δ δ= = =

= = −∑ ∑ ∑ (1.35)

ðể ý ñến (1.32) ta có

[ ] [ ] [ ][ ] { } [ ] [ ] { }

[ ] [ ] [ ][ ] { } [ ] [ ] { }

1 1

1 1

1

2

1

2

e e

e e

n nT T T T e

e e ee e

n nT T T T e

e e ee e

U L k L L P

L k L L P

= =

= =

= ∆ ∆ − ∆

= ∆ ∆ − ∆

∑ ∑

∑ ∑

hay [ ] [ ]{ } [ ] { }1

2

T TU K P= ∆ ∆ − ∆ (1.36)

với [ ] [ ] [ ][ ]1

enT

e ee

K L k L=

= ∑ (1.37)

là ma trận ñộ cứng tổng thể của toàn bộ kết cấu,

và { } [ ] { }1

enT e

ee

P L P=

= ∑ (1.38)

là vectơ tải tổng thể.

Sử dụng nguyên lý cực tiểu thế năng ñối với toàn bộ kết cấu, ta có ñiều kiện cân bằng của toàn hệ là

0U∂

=∂∆

(1.39)

Từ ñó ñược hệ phương trình cơ bản của toàn bộ kết cấu:

[ ]{ } { }K P∆ = (1.40)

Trong thực tế tính toán người ta không sử dụng các công thức (1.37) và (1.38) ñể thiết lập [ ]K và{ }P , mà sử dụng phương pháp ñơn giản và nhanh chóng hơn, ñó là

phương pháp chỉ số. ðiều này sẽ trình bày ở những phần sau.

1.4. Trình tự tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn

Quá trình giải bài toán tính kết cấu theo phương pháp PTHH bao gồm các bước sau ñây:

(1) Rời rạc hóa kết cấu, tức là chia kết cấu thành mạng lưới các PTHH. Việc chọn loại phần tử và số lượng phần tử tùy thuộc vào tính chất và ñộ chính xác yêu cầu của bài toán.

(2) Chọn hàm xấp xỉ chuyển vị mô tả chuyển vị của các ñiểm trong PTHH.

(3) Thiết lập ma trận ñộ cứng của từng PTHH. Nếu hệ tọa ñộ phần tử và hệ tọa ñộ kết cấu không trùng nhau thì phải thực hiện phép biến ñổi tọa ñộ.

(4) Thiết lập ma trận ñộ cứng tổng thể và vectơ tải tổng thể của toàn bộ kết cấu.

(5) Thành lập hệ phương trình cơ bản của kết cấu có dạng:

[ ]{ } { }K P∆ =

Cần chú ý là ma trận ñộ cứng [ ]K là ma trận suy biến vì ta ñã coi phần tử có

chuyển ñộng tự do (chuyển ñộng cố thể). Do ñó cần sử dụng các ñiều kiện biên ñộng

học ñể thành lập vectơ chuyển vị nút { }∗∆ chỉ chứa các chuyển vị nút là ẩn, và tương

ứng có các ma trận ñộ cứng K ∗ và vectơ tải tổng thể { }*P . Từ ñó có phương trình:

{ } { }K P∗ ∗ ∗ ∆ = (1.41)

Giải hệ phương trình này tìm ñược vectơ chuyển vị nút tổng thể trong hệ tọa ñộ tổng quát.

(6) Xác ñịnh vectơ chuyển vị nút của từng PTHH trong hệ tọa ñộ ñịa phương của từng phần tử. Từ ñó xác ñịnh biến dạng, ứng suất trong từng phần tử.

PPPTHH �15

Câu hỏi ôn tập

Chương I

1. Trình bày cơ sở lý thuyết ñể thiết lập các phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn.

2. Có mối liên hệ gì giữa phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp biến phân trong Cơ học kết cấu?

3. Trình bày cách chọn hàm xấp xỉ. Phân biệt phần tử tuyến tính và phần tử bậc cao.

4. Ý nghĩa của ma trận ñộ cứng của phần tử. Giải thích ý nghĩa các thành phần trong ma trận ñộ cứng phần tử.

5. Ý nghĩa hàm dạng của phần tử hữu hạn khi tính theo mô hình chuyển vị.

6. Nêu các tính chất chủ yếu và cách thiết lập ma trận ñộ cứng tổng thể và cách thiết lập vectơ tải tổng thể.

7. Trình bày trình tự giải một bài toán tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn.

Chương 2

TÍNH HỆ THANH

2.1. Phần tử hữu hạn trong hệ thanh

Trong các hệ thanh như kết cấu giàn, kết cấu khung, các ñoạn thanh hình lăng trụ ñược coi là các PTHH.

Trong kết cấu thanh, các thành phần chuyển vị của phần tử là hàm của một biến, tức là chỉ thay ñổi dọc theo trục thanh, do ñó bài toán hệ thanh là bài toán một chiều. Ở kết cấu giàn, các phần tử chịu biến dạng kéo hoặc nén, còn ở kết cấu khung phẳng các phần tử còn chịu thêm biến dạng uốn. Nếu là khung không gian còn có thể có thêm biến dạng xoắn. Vì vậy ñể dễ dàng nghiên cứu và tổng hợp, ta lần lượt phân tích ba loại phần tử nói trên.

2.1.1. Phần tử thanh chịu kéo (nén) dọc trục

Có một phần tử thanh hình lăng trụ có tiết diện không ñổi A, chiều dài a, chịu kéo hoặc nén dọc trục dưới tác dụng của tải trọng phân bố dọc trục q(x) (hình 2.1).

Hình 2.1

Chọn hệ tọa ñộ như hình vẽ. Phần tử thanh có 2 nút là hai ñầu thanh, nút ñầu là i, nút cuối là j, với các chuyển vị nút là iδ và jδ . Vì các chuyển vị nút ñều có phương

trùng với trục x nên ta có thể viết vectơ chuyển vị nút:

{ } i i

j j

u

u

δδ

δ

= =

(2.1)

Tương ứng với vectơ chuyển vị nút ta có vectơ lực nút của phần tử:

{ }

e i

j

UF =

U

Chọn hàm chuyển vị có dạng:

1 2( )u x xα α= + (2.2)

ðây là hàm bậc nhất chứa 2 hệ số, ñúng bằng số bậc tự do (số chuyển vị nút) của phần tử. ðiều này ñảm bảo ñiều kiện tương thích của hàm chuyển vị trên các biên chung giữa các phần tử lân cận.

Chuyển vị tại nút i (x = 0) là i

u , tại nút j (x = a) là j

u , thay vào (2.2) ñược

1

1 2

i

j

u

u a

α

α α

=

= + (2.3)

Viết dưới dạng ma trận:

1

2

1 0

1i

j

u

u a

αα

=

(2.4)

hay { } [ ]{ }Cδ α= (2.5)

Từ ñó có { } [ ] { }1Cα δ

−= (2.6)

trong ñó: [ ] 1C

−là ma trận nghịch ñảo của [ ]C

[ ] 11 0

1 1C

a a

− = −

(2.7)

Biểu diễn (2.2) dưới dạng ma trận và ñể ý tới (2.6) ta có

PPPTHH �17

[ ]

[ ]{ } [ ][ ] { }

1

2

1

1u x

Q Q C

αα

α δ−

=

= =

hay [ ]{ }u N δ= (2.8)

trong ñó [ ] [ ][ ] 1N Q C

−= (2.9)

Từ ñó ta có

[ ] 1x x

Na a

= − (2.10)

[ ]N gọi là ma trận các hàm dạng (còn gọi là hàm nội suy Lagrange

bậc 1)

[ ] [ ]1 2N N N= (2.11)

với các hàm dạng:

1 21 ,x x

N Na a

= − = (2.12)

Biểu thức (2.8) biểu diễn quan hệ giữa hàm chuyển vị với các chuyển vị nút. Hàm dạng là hàm của tọa ñộ, biểu diễn sự phân bố của chuyển vị trong phần tử khi chuyển vị nút bằng ñơn vị.

Trên hình 2.2 là biểu ñồ của các hàm dạng 1 2( ) , ( )N x N x và biểu ñồ của chuyển

vị ( )u x .

Hình 2.2

Bây giờ ta xét biến dạng và ứng suất trong phần tử.

Phương trình biến dạng Cauchy biểu diễn quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị trong bài toán một chiều có dạng

x

u

xε

∂=

∂ (2.13)

Theo (2.2) ta có

2xε α=

j i

hay viết dưới ma trận

{ } [ ] 1

2

0 1α

εα

=

ðể ý tới (2.6) ta có

{ } [ ][ ] { }

[ ] { }

{ }

10 1

1 00 1 1 1

1 1

C

a a

a a

ε δ

δ

δ

−=

= −

= −

hay { } [ ]{ }Bε δ= (2.14)

trong ñó [ ] 1 1B

a a = −

(2.15)

Ma trận [ ]B gọi là ma trận tính biến dạng.

Như vậy biến dạng phần tử có thể biểu diễn qua chuyển vị nút. Trong trường hợp này [ ]B là hằng số, chứng tỏ biến dạng trong phần tử chịu kéo (nén) là hằng số.

Ứng suất pháp tại một ñiểm trong phần tử theo phương dọc trục ñối với vật liệu ñàn hồi tuyến tính ñược xác ñịnh dựa vào ñịnh luật Hooke:

Eσ ε= (2.16)

trong ñó: E là mô ñun ñàn hồi Young của vật liệu. Viết (2.16) một cách tổng quát dưới dạng ma trận:

{ } [ ]{ }Dσ ε= (2.17)

trong ñó: [ ]D là ma trận ñàn hồi. Trong trường hợp bài toán một chiều có biến

dạng dọc trục thì

[ ]D =E

Ta có thể biểu diễn ứng suất qua chuyển vị nút

{ } [ ][ ]{ }D Bσ δ= (2.18)

hay { } [ ]{ }Sσ δ= (2.19)

trong ñó [ ] [ ][ ]S D B= (2.20)

gọi là ma trận tính ứng suất.

PPPTHH �19

Ta nhận thấy, do biến dạng là hằng số nên ứng suất trong phần tử cũng là hằng số.

Ma trận ñộ cứng phần tử ñược thiết lập dựa vào công thức (1.24):

[ ] [ ] [ ][ ]

0

11 1

1

e

T

V

a

k B D B dV

a E Adxa a

a

=

− = −

∫∫∫

∫ (2.21)

Sau khi tích phân ñược

[ ]

EA EA

a akEA EA

a a

− =

−

(2.22)

ðó là một ma trận vuông ñối xứng.

Vectơ tải phần tử, ở ñây là vectơ lực nút tương ñương, theo (1.25) ta có

{ } [ ] { }0

0

1( )

Tae

a

P N q dx

x

a q x dxx

a

=

− =

∫

∫

Trong trường hợp tải trọng phân bố ñều 0( )q x q const= = thì

{ }0

0

2

2

e

q a

Pq a

=

(2.23)

tức là phân bố theo sơ ñồ sau:

Hình 2.3

Trường hợp có tải trọng tập trung P ñặt tại ñiểm có tọa ñộ x thì

{ } [ ] .e T

P N P=

Trường hợp phần tử có biến thiên nhiệt ñộ ∆T với hệ số dãn nhiệt α thì

{ } [ ] [ ]{ }

{ }

0

0

1

1

1

1

e

e T

V

a

P B D dV

a E T Adx

a

EA T

ε

α

α

=

− = ∆

− = ∆

∫∫∫

∫ (2.24)

2.1.2. Phần tử thanh chịu uốn

Phần tử thanh có tiết diện không ñổi A , chiều dài a. Chọn trục x là trục thanh, trục y là một trục quán tính chính trung tâm của tiết diện thanh (hình 2.4).

Tại 2 nút i và j có các thành phần chuyển vị thẳng theo phương y là ,i jv v và các

thành phần chuyển vị góc (góc quay quanh trục z) là zjzi θθ , . Trên hình vẽ các chuyển vị

có dấu dương. Ta có vectơ chuyển vị nút

{ }

i

zi

j

zj

v

v

θδ

θ

=

(2.25)

Hình 2.4

Tương ứng với các thành phần chuyển vị nút là các lực nút. Ta có vectơ lực nút của phần tử

PPPTHH �21

{ }

i

e zi

j

zj

V

MF

V

M

=

(2.26)

Vectơ chuyển vị nút gồm 4 thành phần, do ñó ta chọn hàm chuyển vị là một ña thức bậc ba chứa 4 thông số ñộc lập:

2 31 2 3 4( )v x x x xα α α α= + + + (2.27)

Vì giữa chuyển vị thẳng ( )v x và chuyển vị góc z ( )xθ có quan hệ ñạo hàm

z

v

xθ

∂=

∂

do ñó chỉ cần chọn hàm xấp xỉ ñối với ( )v x là ñủ.

Viết (2.27) dưới dạng ma trận:

1

22 3

3

4

1v x x x

αααα

=

(2.28)

hay [ ]{ }v Q α= (2.29)

trong ñó: [ ] 2 31Q x x x = (2.30)

Các thành phần chuyển vị tại nút i ( 0)x = và nút j ( )x a= tính ñược

1

20

2 31 2 3 4

22 3 42 3

i

zix

j

zjx a

v

v

x

v a a a

va a

x

α

θ α

α α α α

θ α α α

=

=

=

∂ = = ∂

= + + +

∂ = = + + ∂

Viết dưới dạng ma trận:

1

22 3

32

4

1 0 0 0

0 1 0 0

1

0 1 2 3

i

zi

j

zj

v

v a a a

a a

αθ α

αθ α

=

(2.31)

hay { } [ ]{ }Cδ α= (2.32)

Từ ñó ta có

{ } [ ] { }1Cα δ

−= (2.33)

trong ñó: [ ] 1

2 2

3 2 3 2

1 0 0 0

0 1 0 0

3/ 2 / 3 / 1/

2 / 1/ 2 / 1/

Ca a a a

a a a a

−

= − − −

−

(2.34)

Kết hợp (2.29) và (2.33) ta ñược

[ ][ ] { }1( )v x Q C δ

−= (2.35)

hay [ ]{ }( )v x N δ= (2.36)

trong ñó ma trận các hàm dạng

[ ] [ ][ ] 1N Q C

−= (2.37)

[ ]2 3 2 3 2 3 2 3

2 3 2 2 3 2

3 2 2 3 21

x x x x x x x xN x

a a a a a a a a

= − + − + − − +

(2.38)

Ta cũng có thể viết

[ ] [ ]1 2 3 4N N N N N= (2.39)

trong ñó các hàm dạng là

2 3

1 2 3

2 3

2 2

2 3

3 2 3

2 3

4 2

3 21

2

3 2

x xN

a a

x xN x

a a

x xN

a a

x xN

a a

= − +

= − +

= −

= − +

(2.40)

Các hàm dạng này còn gọi là hàm nội suy Hermite.

Theo lý thuyết uốn của dầm, nếu trên phần tử thanh không có lực phân bố tác dụng (ñiều này phù hợp với giả thiết của phương pháp PTHH là ñưa tải trong trên phần tử về các nút) thì ñộ võng của thanh phải thỏa mãn phương trình vi phân

4

40

d vEJ

dx= (2.41)

Chuyển vị tính theo (2.27) rõ ràng có thể thỏa mãn phương trình (2.41). ðồ thị các hàm dạng và ñồ thị của chuyển vị (xấp xỉ) ñược biểu diễn trên hình 2.5.

PPPTHH �23

i zi j zjv x N u N N u N

1 2 3 4( ) = + θ + + θ

Hình 2.5

Bây giờ ta xét biến dạng và ứng suất trong từng phần tử.

Theo lý thuyết dầm ta có công thức tính biến dạng (ở ñây là ñộ cong):

{ }2

2x

v

xε

∂= −

∂ (2.42)

ðể ý tới (2.27) và (2.42) ñược

3 4(2 6 )x y xε α α= − +

hay { } [ ] [ ][ ] { }

1

12

3

4

0 0 2 6 0 0 2 6x y x y x C

αα

ε δαα

−

= − = −

{ } [ ]{ }Bε δ= (2.43)

trong ñó:

[ ] 2 3 2 2 3 2

6 12 4 6 6 12 2 6x x x xB y

a a a a a a a a = − − + − + − − +

(2.44)

Ứng suất trong phần tử thanh chịu uốn cũng ñược xác ñịnh bằng quan hệ

{ } [ ]{ }Dσ ε=

Trường hợp này ta cũng có

[ ]D E= (2.45)

Sau ñây ta thiết lập ma trận ñộ cứng phần tử.

Vẫn sử dụng công thức (1.24), trong ñó [ ]B lấy theo (2.44) và [ ]D lấy theo (2.45).

Khi tích phân cần chú ý rằng, tích phân

2z

A

y dydz J=∫∫ (2.46)

là mô men quán tính của tiết diện thanh ñối với trục z. Sau khi tích phân ta ñược kết quả sau:

[ ]

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

z z z z

z z z z

z z z z

z z z z

EJ EJ EJ EJ

a a a aEJ EJ EJ EJ

a a a akEJ EJ EJ EJ

a a a aEJ EJ EJ EJ

a a a a

− −

= − − − −

(2.47)

Vectơ lực nút tương ñương theo (1.25) ta có:

Trường hợp tải trọng q(x) phân bố trên toàn bộ chiều dài phần tử:

{ } [ ]0

( )Tae

P N q x dx= ∫ (2.48)

Trường hợp tải trọng phân bố trên một ñoạn từ 1x a= ñến 2x a= thì

{ } [ ]2

1

( )Tae

aP N q x dx= ∫ (2.49)

Trường hợp có lực tập trung P ñặt tại ñiểm có tọa ñộ x thì

{ } [ ] .e T

P N P= (2.50)

Trường hợp có mô men tập trung M ñặt tại ñiểm có tọa ñộ x thì

{ } .T

e dNP M

dx =

(2.51)

Thí dụ khi tải trọng q phân bố ñều trên toàn bộ chiều dài phần tử, ta có (hình 2.6 a,b)

{ }2 2

2 12 2 12

Te qa qa qa qa

P

= − − −

(2.52)

a)

Hình 2.6

PPPTHH �25

b)

2.1.3. Phần tử thanh chịu xoắn thuần túy

Phần tử chịu ngẫu lực xoắn phân bố ( )m x dọc trục thanh. Chuyển vị của thanh ñược ñặc trưng bởi góc xoắn ( )xθ (hình 2.7).

Hình 2.7

Vectơ chuyển vị nút có dạng

{ } xi

xj

θδ

θ

=

(2.53)

Vectơ lực nút là

{ }e xi

xj

MF

M

=

(2.54)

Hàm chuyển vị chọn dạng ña thức bậc nhất

1 2( )x x xθ α α= + (2.55)

Bằng cách lập luận tương tự như trường hợp thanh chịu lực dọc trục, ta có ñược công thức ma trận ñộ cứng phần tử của thanh chịu xoắn thuần túy:

[ ]x x

x x

GJ GJ

a akGJ GJ

a a

− =

−

(2.56)

trong ñó: G - mô ñun ñàn hồi trượt của vật liệu.

xJ - mô men quán tính cực của tiết diện.

Ta cũng có công thức tính hàm dạng

[ ] 1x x

Na a

= − (2.57)

Lực nút tương ñương xác ñịnh từ công thức

{ } [ ]0

( )Tae

P N m x dx= ∫ (2.58)

Thí dụ, trường hợp ( )m x phân bố ñều dọc theo trục thanh 0( )m x m= thì

{ }0

0

2

2

e

m a

Pm a

=

(2.59)

Trên ñây khi xác ñịnh vectơ lực nút tương ñương ta ñã sử dụng phương pháp năng lượng với công thức (1.25). Ngoài phương pháp ñó, còn có thể dùng phương pháp qui ñổi tương ñương tĩnh học, rất thuận tiện ñối với hệ thanh.

Cách làm theo các bước như sau:

- Cố ñịnh hai ñầu phần tử, tức là gắn cứng các nút, sau ñó tính các phản lực ở ngàm theo phương pháp của Cơ học kết cấu.

- Xác ñịnh lực nút tương ñương bằng cách bỏ ngàm (trở lại dạng ban ñầu của phần tử) và ñổi chiều các phản lực vừa tính ñược.

Thí dụ phần tử thanh chịu lực tập trung ñặt giữa thanh (hình 2.8) ta có

{ }2 8 2 8

Te P Pa P Pa

P = − − − (2.60)

Hình 2.8

PPPTHH �27

Trên Bảng 1.1. giới thiệu giá trị phản lực nút trong phần tử thanh 2 ñầu cố ñịnh ở một số trường hợp tải trọng thường gặp khi tính hệ thanh phẳng.

2.1.4. Phần tử giàn phẳng

Các phần tử thanh trong hệ giàn phẳng gọi là phần tử giàn phẳng (hình 2.9). Vectơ chuyển vị nút gồm 4 thành phần:

{ }T

i i j ju v u vδ = (2.61)

Hình 2.9

Có thể thiết lập ma trận ñộ cứng phần tử giàn phẳng bằng cách thêm vào ma trận (2.22) các thành phần liên quan ñến chuyển vị nút và lực nút theo phương y, các thành phần này bằng không vì phần tử giàn chỉ có ñộ cứng theo phương x. Ta có:

[ ]

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0 0 0

EA EA

a a

kEA EA

a a

− = −

(2.62)

Bảng 1.1. Giá trị phản lực nút trong phần tử thanh bị ngàm

)2

1(a

xqx −

a

xq

2

2

.

2.1.5. Phần tử khung phẳng

Trong kết cấu khung phẳng, phần tử thanh vừa có biến dạng dọc trục, vừa có biến dạng uốn (hình 2.10). Vectơ chuyển vị nút gồm có 6 thành phần:

{ }T

i i zi j j zju v u vδ θ θ = (2.63)

Hình 2.10

PPPTHH �29

Ma trận ñộ cứng của phần tử khung phẳng là tổ hợp của ma trận ñộ cứng phần tử chịu kéo (nén) và phần tử chịu uốn phẳng.

[ ]

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 4 6 20 0

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 2 6 40 0

z z z z

z z z z

z z z z

z z z z

EA EA

a aEJ EJ EJ EJ

a a a aEJ EJ EJ EJ

a a a akEA EA

a aEJ EJ EJ EJ

a a a aEJ EJ EJ EJ

a a a a

− − − = −

− − −

−

(2.64)

2.1.6. Phần tử thanh không gian

a)

b)

Hình 2.11

ðối với hệ thanh không gian (giàn không gian, khung không gian) hoặc hệ thanh phẳng chịu lực không gian thì các phần tử thanh sẽ chuyển vị theo cả 3 phương x, y, z.

ðối với phần tử giàn không gian (hình 2.11a) vectơ chuyển vị nút có dạng:

{ }T

i i i j j ju v w u v wδ = (2.65)

Ma trận ñộ cứng của phần tử giàn không gian:

[ ]

3 3

3 3

3 3

3 3

0 0 0 0

12 120 0 0 0

12 120 0 0 0

0 0 0 0

12 120 0 0 0

12 120 0 0 0

z z

y y

z z

y y

EA EA

a aEJ EJ

a aEJ EJ

a akEA EA

a aEJ EJ

a aEJ EJ

a a

− − −

= −

−

−

(2.66)

ðối với phần tử khung không gian (hình 2.11b) vectơ chuyển vị nút có dạng:

{ }T

i i i xi yi zi j j j xj yj zju v w u v wδ θ θ θ θ θ θ =

(2.67)

ðây là phần tử thanh ñồng thời chịu kéo (nén) dọc trục x, chịu uốn trong mặt phẳng xy và xz, chịu xoắn quanh trục x.

Như vậy tổng hợp các công thức ma trận ñộ cứng phần tử ở (2.22), (2.47), (2.56) ta ñược ma trận ñộ cứng phần tử khung không gian có cấp 12 12× biểu thị ở công thức (2.68).

Qua phân tích các công thức ma trận ñộ cứng nêu trên, ta thấy ma trận ñộ cứng phần tử có những tính chất sau ñây:

- ðó là một ma trận vuông ñối xứng, tức là các thành phần ñối xứng với nhau qua ñường chéo chính thì bằng nhau.

0 0

0

0

0 0

0

0

PPPTHH �31

3 2 3 2

3 2 3 2

2 2

2 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

12 6 12 60 0 0 0 0 0 0 0

12 6 12 60 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 4 6 20 0 0 0 0 0 0 0

6 4 6 20 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

120

z z z z

y y y y

x x

y y y y

z z z z

z

EA EAa a

EJ EJ EJ EJa a a a

EJ EJ EJ EJ

a a a aGJ GJa a

EJ EJ EJ EJ

a a a aEJ EJ EJ EJa a a ak

EA EAa a

EJ

−

−

− − −

−

−

−=

−

− 3 2 3 2

3 2 3 2

2 2

2 2

6 12 60 0 0 0 0 0 0

12 6 12 60 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 2 6 40 0 0 0 0 0 0 0

6 2 6 40 0 0 0 0 0 0 0

z z z

y y y y

x x

y y y y

z z z z

EJ EJ EJa a a a

EJ EJ EJ EJ

a a a aGJ GJa a

EJ EJ EJ EJ

a a a aEJ EJ EJ EJa a a a

− −

−

−

−

−

(2.68)

Tính chất này xuất phát từ ñịnh lý tương hỗ của chuyển vị. Nó ñược dùng một cách có hiệu quả ñể kiểm tra việc tính ma trận ñộ cứng. Trong quá trình tính ma trận

[ ]k chỉ cần xác ñịnh các phần tử phía trên bên phải ñường chéo chính ( ijk với 1j ≥ ), còn

các phần tử phía dưới bên trái ñường chéo chính ( ijk với 1j < ) thì xác ñịnh theo

quan hệ:

ij jik k=

Cấp của ma trận ñộ cứng phần tử cùng cấp với vectơ chuyển vị nút phần tử.

- Ma trận ñộ cứng là ma trận suy biến, tức là ñịnh thức của ma trận bằng không. Tính chất này xuất phát từ ñặc tính là PTHH cho phép có chuyển vị cố thể.

Các tính chất nêu trên không chỉ ñúng ñối với phần tử thanh mà cũng ñúng với các loại phần tử khác.

2.2. Biến ñổi tọa ñộ

Trên ñây, khi xác lập các vectơ chuyển vị nút và vectơ tải phần tử cũng như thiết lập ma trận ñộ cứng của PTHH, ta ñều chọn hệ tọa ñộ như sau: coi trục x là trục thanh,

các trục y và z là các trục quán tính chính của mặt cắt ngang của thanh, và chiều dương của trục x, y, z xác ñịnh theo qui tắc tam diện thuận.

Trong kết cấu thanh (giàn, khung…) thường các phần tử (thanh) có phương khác nhau, nên nói chung hệ tọa ñộ của từng phần tử không giống nhau. Hệ tọa ñộ riêng ñối với từng phần tử, ta gọi là hệ tọa ñộ phần tử hoặc hệ tọa ñộ ñịa phương. Khi tính kết cấu gồm nhiều phần tử, ñể thuận tiện khi thành lập các phương trình cân bằng, người ta cần sử dụng một hệ tọa ñộ chung cho toàn bộ kết cấu, gọi là hệ tọa ñộ kết cấu hoặc hệ tọa ñộ tổng quát.

Vì vậy, trước khi bắt tay vào việc lập phương trình cân bằng ở tất cả các nút, cần phải biến ñổi quan hệ giữa chuyển vị nút và tải trọng nút trong hệ tọa ñộ phần tử thành quan hệ giữa chuyển vị nút và tải trọng nút trong hệ tọa ñộ kết cấu. Phép biến ñổi ñó gọi là phép biến ñổi tọa ñộ.

Thí dụ ta xét một hệ thanh phẳng ở hình 2.12a.

Các hệ tọa ñộ ñịa phương là xyz , hệ tọa ñộ tổng quát là x y z′ ′ ′ (trục z và z′ hướng ra ngoài mặt giấy).

Gọi chuyển vị theo phương x,y là u,v, chuyển vị theo phương x y,′ ′ là ′ ′u ,v , góc

quay chung quanh trục z và z′ là xθ và xθ ′ , ñồng thời gọi các lực tương ứng là z

U,V, M

và ′ ′ ′z

U ,V , M .

Từ hình 2.12b ta có quan hệ:

a) b)

Hình 2.12

cos sin

sin cos

′ ′

′ ′

′ ′z z

u = u + v

v = -u + v

=

ϕ ϕϕ ϕ

θ θ (2.69)

trong ñó: ϕ là góc giữa trục x′ với trục x.

Tương tự, quan hệ giữa các lực trong hai hệ tọa ñộ là: ϕ

PPPTHH �33

cos sin

sin cos

z z

U U V

V U V

M M

′ ′= +

′ ′= +

′=

ϕ ϕϕ ϕ (2.70)

Viết dưới dạng ma trận ñối với một phần tử khung phẳng:

cos sin 0 0 0 0

sin cos 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 cos sin 0

0 0 0 sin cos 0

0 0 0 0 0 1

i

i

zi

j

j

zj

u

v

u

v

−

= −

ϕ ϕϕ ϕ

θ

ϕ ϕϕ ϕ

θ

hay { } [ ]{ }Tδ δ ′= (2.71)

trong ñó:

[ ]

cos sin 0 0 0 0

sin cos 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 cos sin 0

0 0 0 sin cos 0

0 0 0 0 0 1

T

−

= −

ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

(2.72)

Tương tự như (2.71) ta viết ñược

{ } [ ]{ }′e eP = T P (2.73)

Ma trận [ ]T gọi là ma trận biến ñổi tọa ñộ của phần tử khung phẳng.

Như ta ñã biết:

[ ]{ } { }ek Pδ = (2.74)

Thay (2.71) và (2.73) vào biểu thức trên ñược:

[ ][ ]{ } [ ]{ }ek T T Pδ ′ ′= (2.75)

Nhân hai vế với [ ] 1T

− ñược

[ ] [ ][ ]{ } { }1 eT k T Pδ

− ′ ′= (2.76)

Với mọi giá trị của ϕ ta có [ ] [ ]1 TT T

−= (vì[ ]T là ma trận trực giao), do ñó

[ ] [ ][ ]{ } { }T eT k T Pδ ′ ′=

hay [ ]{ } { }ek Pδ′ ′ ′= (2.77)

'

'

'

'

'

'

zj

j

j

zi

i

i

v

u

v

u

θ

θ

trong ñó: [ ] [ ] [ ][ ]Tk T k T′ = (2.78)

là ma trận ñộ cứng của phần tử trong hệ tọa ñộ tổng quát.

Bây giờ ta thành lập công thức tổng quát ñể xác ñịnh ma trận biến ñổi, dựa vào các quan hệ của hình học giải tích.

ðối với phần tử khung không gian, ta có:

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

x xx x xy y xz z

y yx x yy y yz z

z zx x zy y zz z

u u v w

v u v w

w u v w

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

θ λ θ λ θ λ θ

θ λ θ λ θ λ θ

θ λ θ λ θ λ θ

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′= + +

′ ′ ′= + +

′ ′ ′= + +

′ ′ ′= + +

′ ′ ′= + +

′ ′ ′= + +

(2.79)

hay [ ] [ ],x x

y y

z z

u u

v v

w w

θ θ

λ θ λ θθ θ

′ ′ ′ ′= = ′ ′

, (2.80)

trong ñó: [ ]xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

λ λ λλ λ λ λ

λ λ λ

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′

=

(2.81)

mnλ là côsin của góc từ trục m của hệ tọa ñộ ñịa phương ñến trục

n′ của hệ tọa ñộ tổng quát ( , , , , ,m x y z n x y z′ ′ ′ ′= = ).

Từ ñó ta có

[ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

T

λλ

λλ

=

(2.82)

Trường hợp khung phẳng, ta có

0

1

xz yz zx zy

zz

λ λ λ λ

λ′ ′ ′ ′

′

= = = =

=

Do ñó [ ]0

0

0 0 1

xx xy

yx yy

λ λ

λ λ λ′ ′

′ ′

=

(2.83)

[ ] [ ][ ]0

0T

λλ

=

(2.84)

’

PPPTHH �35

Trường hợp giàn không gian:

[ ] [ ][ ]0

0T

λλ

=

(2.85)

[ ]λ vẫn tính theo công thức (2.81).

Trường hợp giàn phẳng:

[ ] xx xy

yx yy

λ λλ

λ λ′ ′

′ ′

=

(2.86)

[ ] [ ][ ]0

0T

λλ

=

(2.87)

ðối với phần tử giàn phẳng và khung phẳng có thể xác ñịnh các côsin chỉ phương theo tọa ñộ nút một cách dễ dàng, tức là

,

,

j i j ixx xy

yy xx yx xy

x x y y

a aλ λ

λ λ λ λ

′ ′

′ ′ ′ ′

′ ′ ′ ′− −= =

= = − (2.88)

2.3. Ma trận ñộ cứng tổng thể và vectơ tải tổng thể

2.3.1. Phương pháp thiết lập ma trận ñộ cứng tổng thể và vectơ tải tổng thể

Trên ñây ta ñã có công thức (1.37) thiết lập ma trận ñộ cứng của kết cấu

[ ] [ ] [ ][ ]1

enT

e ee

K L k L=

= ∑

trong ñó: ma trận [ ]K và [ ]k ñược thiết lập trong hệ tọa ñộ tổng quát, [ ]eL là ma

trận ñịnh vị của phần tử, cho ta biết các thành phần trong ma trận

[ ]k chiếm vị trí nào trong ma trận [ ]K .

a) b)

Hình 2.13

Ta xem một thí dụ về giàn phẳng ở hình 2.13a.

Chia hệ thành 5 phần tử, 4 nút, ñánh số như hình vẽ. Các chuyển vị nút ñược vẽ trên hình 2.13b.

Vectơ chuyển vị nút của các phần tử trong hệ tọa ñộ tổng quát là

{ } { } { }

21 1

1 2 321 1

32 4

32 4

, , ,

uu u

vv v

uu u

vv v

δ δ δ

= = =

{ } { }

44

4 5 44

32

32

,

uu

vv

uu

vv

δ δ

= =

Vectơ chuyển vị nút tổng thể là

{ } [ ]1 1 2 2 3 3 4 4

Tu v u v u v u v∆ =

Cần chú ý là các thành phần chuyển vị trong { }∆ ñược sắp xếp theo số hiệu nút từ

nhỏ ñến lớn, ñối với mỗi nút thì chuyển vị theo phương x xếp trước, theo phương y xếp sau.

Ta có quan hệ giữa { }δ và { }∆ qua ma trận ñịnh vị [ ]L như sau:

PPPTHH �37

{ }{ }{ }{ }{ }

1

2

3

4

5

1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

δ

δ

δ

δ

δ

=

1

1

2

2

3

3

4

4

u

v

u

v

u

v

u

v

Tuy nhiên biểu thức trên ñây chỉ có ý nghĩa về mặt lý thuyết. Trong thực hành thường sử dụng một phương pháp thuận tiện hơn gọi là phương pháp chỉ số. Ở phương pháp này người ta sử dụng hai loại chỉ số: chỉ số cục bộ và chỉ số tổng thể ñể ñánh số các bậc tự do của các nút (các chuyển vị nút). Chỉ số cục bộ dùng ñể chỉ thứ tự sắp xếp các chuyển vị nút trong vectơ chuyển vị nút phần tử { }δ . Thí dụ ở phần tử 1 giàn ở

hình 2.3 ta có hệ thống chỉ số cục bộ:

{ }

4

4 4

2

2

(1)

(2)

(3)

(4)

u

v

u

v

δ

=

Chỉ số tổng thể dùng ñể chỉ thứ tự sắp xếp các chuyển vị nút trong vectơ chuyển vị nút tổng thể { }∆ . Thí dụ với kết cấu giàn ở hình 2.13 ta có hệ thống chỉ số tổng thể:

{ } [ ]1 1 2 2 3 3 4 4

Tu v u v u v u v∆ =

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

Căn cứ vào các chỉ số cục bộ ta ñánh số ñược các thành phần trong vectơ tải phần

tử { }eP cũng như các hàng các cột trong ma trận ñộ cứng phần tử [ ]k .

Căn cứ vào các chỉ số tổng thể ta ñánh số ñược các thành phần trong vectơ tải tổng thể { }P cũng như các hàng các cột trong ma trận ñộ cứng tổng thể [ ]K .

Khi thiết lập ma trận ñộ cứng tổng thể [ ]K các số hạng có cùng vị trí (cùng chỉ số

hàng và chỉ số cột) trong tất cả các ma trận ñộ cứng phần tử [ ]k ñược ñưa vào cùng một

vị trí (cùng chỉ số hàng và chỉ số cột như vậy) trong ma trận [ ]K .

ðối với giàn phẳng trên ñây ta thành lập ñược bảng các chỉ số tổng thể tương ứng với các chỉ số cục bộ như sau:

Chỉ số

cục bộ

Phần tử e 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 3 4 5 6

3 1 2 7 8

4 7 8 3 4

5 7 8 5 6

.

Các chỉ số tổng thể ñó lập thành một ma trận, ta gọi là ma trận chỉ số [ ]c .

[ ]

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

51 52 53 54

1 2 3 4

3 4 5 6

1 2 7 8

7 8 3 4

7 8 5 6

ij

c c c c

c c c c

c c c c c c

c c c c

c c c c

= = =

Như vậy ta thấy thành phần 11k trong [ ]2k của phần tử 2 sẽ chiếm vị trí của 33K

trong [ ]K , thành phần 23k trong [ ]5k của phần tử 5 sẽ chiếm vị trí của 85K trong [ ]K .

Một cách tổng quát có thể viết

→e

ij mn

®−a vµok K

PPPTHH �39

trong ñó: m là số hạng cei tức là số hạng ở hàng thứ e và cột thứ i trong ma trận

[ ]c , và n là số hạng cej tức là số hạng ở hàng thứ e và cột thứ j trong

ma trận [ ]c .

ðối với vectơ tải tổng thể ta cũng làm tương tự. Thành phần { }e

iP trong vectơ tải

phần tử { }eP sẽ ñưa vào vị trí của thành phần mP trong vectơ tải tổng thể { }P .

→e

i m

®−a vµoP P

trong ñó: m = cei .

Qui tắc trên ñược minh họa bằng sơ ñồ dưới ñây khi ta ñưa các thành phần của

[ ]4k vào [ ]K .

u1

v1

u2

v2

u3

v3

u4

v4

U1

V1

U2

k4

33

k4

34

k4

31

k4

32

V2

k4

43

k4

44

k4

41

k4

42

U3

V3

U4

k4

13

k4

14

k4

11

k4

12

V4

k4

23

k4

24

k4

21

k4

22

.

Làm tương tự như vậy ñối với các phần tử còn lại, ta thiết lập ñược ma trận ñộ cứng tổng thể [ ]K của giàn, biểu diễn ở ma trận (2.89).

Vectơ tải tổng thể của giàn có dạng:

{ } [ ]

[ ]1 2 3 4 5 5 5 5

1 1 2 3 4 40 0

T

T

P P P P P P P P P

R Q T Q H T

=

=

2.3.2. Tính chất của ma trận ñộ cứng tổng thể

Dưới ñây nêu mấy tính chất quan trọng của ma trận ñộ cứng tổng thể. (1) ðó là một ma trận ñối xứng. Tính chất này giúp cho việc tính toán ñược

thuận tiện hơn rất nhiều. Khi tính toán chỉ cần lưu trữ phần trên bên phải ñường chéo chính của [ ]K , phần còn lại không cần lưu trữ do quan hệ ij jiK K= . Ngoài ra tính chất

này còn dùng ñể kiểm tra chương trình tính ma trận ñộ cứng. (2) ðó là một ma trận suy biến. Thí dụ xét ma trận ở (2.89). Nếu lấy tổng của tất

cả các thành phần ở hàng thứ nhất, tức là

u4

v4 u2 v2

U4 k4

11

k4

12

k4

13

k4

14

V4 k4

21

k4

22

k4

23

k4

24

U2 k4

31

k4

32

k4

33

k4

34

V2 k4

41

k4

42

k4

43

k4

44

{ } [ ]TPPPPPPPPP 87654321=

1 1 1 1 3 3 3 311 12 13 14 11 12 13 14k k k k k k k k+ + + + + + +

ta thấy 4 số hạng ñầu chính là 4 số hạng ở hàng thứ nhất trong ma trận ñộ cứng của phần tử �, tổng của chúng, như ta ñã biết, là bằng không. Còn 4 số hạng sau chính là 4 số hạng ở hàng thứ nhất trong ma trận ñộ cứng của phần tử �, tổng của chúng cũng bằng không. Như vậy tổng 8 số hạng trên bằng không, do ñó [ ]K là ma trận suy biến.

Sở dĩ như vậy là vì kết cấu có chuyển vị cố thể. Vì vậy ta không thể dùng hệ phương trình tuyến tính này ñể giải ra các chuyển vị nút chưa biết. Trong phần sau sẽ ñề cập vấn ñề này.

(3) Ma trận [ ]K có dạng dải (dạng băng). Bề rộng của dải phụ thuộc vào cách

ñánh số nút và số bậc tự do của mỗi nút. Bề rộng B của dải tính như sau: 2( 1) 1B d q= + −

trong ñó: q - số bậc tự do của mỗi nút

d - hiệu của các số hiệu nút lớn nhất và nhỏ nhất trong một phần tử.

Giá trị B ảnh hưởng ñến số

lượng lưu trữ trong bộ nhớ của máy và thời gian giải, do ñó ảnh hưởng trực tiếp tới kích thước của bài toán. Ta so sánh 2 trường hợp ñánh số sau ñây ñối với một tấm phẳng chịu uốn.

Trường hợp a): q = 3, d = 4 , B = 2(4+1)3-1 = 29 Trường hợp b): q = 3, d = 6 , B = 2(6+1)3-1 = 41

[]

13

13

11

33

1111

1212

1314

1314

13

13

11

33

1212

2222

2324

2324

11

12

41

24

22

44

1323

3311

3334

1234

1314

3132

11

12

41

24

22

44

1424

3412

3444

2244

2324

4142

22

25

1323

3333

34

00

00

00

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

Kk

kk

kk

++

++

++

++

++

++

=+

25

55

3431

322

22

52

55

514

2434

3444

4441

423

34

45

53

45

34

513

2331

4131

4133

1111

3412

123

34

45

53

45

34

514

2432

4232

4234

1212

4422

22

00

kk

k

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

+

+

+

+

++

+

+

++

+

13

13

11

33

111

1112

1213

1413

141

31

31

13

31

1212

2222

2324

2324

11

12

41

24

22

44

1323

3311

3334

1234

1314

3132

11

12

41

22

1424

3412

3444

2244

3 4 4

00

00

0 0Rk

kk

kk

kk

k

Qk

kk

kk

kk

k

kk

kk

kk

kk

kk

kk

Tk

kk

kk

kk

k

Q H T

++

++

++

++

++

++

=

42

24

423

2441

422

22

52

55

513

2333

3334

3431

322

22

52

55

514

2434

3444

4441

423

34

45

53

45

34

513

2331

4131

4133

1111

3412

123

34

45

53

45

34

514

2432

4232

4234

1212

4422

22

00

00

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

kk

+

+

++

++

++

++

++

1 1 2 2 3 3 4 4u v u v u v u v

40 � PPPTHH

(2.9

0)

(2.8

9)

2.4. Thành lập phương trình cơ bản. Tính chuyển vị nút

2.4.1. Sắp xếp lại các phương trình cân bằng. áp ñặt ñiều kiện biên

Ta vẫn lấy giàn phẳng ở hình 2.13 làm thí dụ.

Sau khi thiết lập ñược vectơ chuyển vị nút tổng thể, ma trận ñộ cứng tổng thể và vectơ tải tổng thể ta có phương trình giải của toàn hệ (2.90) có dạng

[ ]{ } { }K P∆ =

ðây chính là hệ phương trình cân bằng ở tất cả các nút của phần tử. ðó là một hệ phương trình tuyến tính lấy các chuyển vị nút làm ẩn. Ta nhận thấy trong vectơ tải tổng thể các thành phần sắp xếp từ trên xuống dưới theo thứ tự số hiệu nút, còn trong mỗi nút thì lực nút theo phương x xếp trước, lực nút theo phương y xếp sau, trong ñó kể cả phản lực chưa biết 1 1 3, ,R Q Q . Trong vectơ chuyển vị nút tổng thể, thứ tự các thành phần sắp

xếp theo nguyên tắc tương ứng giữa chuyển vị nút và lực nút, trong ñó bao gồm cả chuyển vị nút ñã biết u1, v1, v3.

Tuy nhiên như ñã nói ở trên, ma trận [ ]K là ma trận suy biến nên hệ phương trình

không thể giải ñược. Bây giờ căn cứ vào ñiều kiện biên của bài toán ( 1 2 3 0u v v= = = ) ta

sắp xếp lại thứ tự các phương trình như sau.

Trong vectơ tải tổng thể, ñưa các phản lực chưa biết 1 1 3, ,R Q Q xuống phía dưới,

còn các thành phần khác ñôn lên phía trên như trong (2.91). Các thành phần trong vectơ chuyển vị nút tổng thể cũng sắp xếp theo nguyên tắc tương ứng giữa chuyển vị nút và lực nút. Kết quả là 5 thành phần ñầu là các chuyển vị chưa biết, 3 thành phần sau là các chuyển vị ñã biết. Ma trận ñộ cứng [ ]K cũng ñược sắp xếp lại như trong (2.91).

PPPTHH � 41

12

41

24

24

41

12

3311

3334

1234

1331

3231

3214

12

41

24

24

41

12

243

2143

4422

4423

4142

4142

242

22

55

52

531

3233

3331

3234

344

44

1314

1

4 1 1 30 00

0

...

kk

kk

kk

kk

kk

kk

Tk

kk

kk

kk

kk

kk

k

kk

kk

kk

kk

Hk

kk

T R Q Q

++

++

++

++

++

M M M

53

45

34

53

35

333

1111

3412

1231

3214

44

53

45

34

53

35

2324

2343

2121

4422

2241

4224

......

......

......

......

......

......

......

......

......

....

......

......

......

......

......

......

......

...

kk

kk

kk

kk

k

kk

kk

kk

kk

kk

kk

++

++

++

++

M M M

2 2 3 4 4

11

33

13

13

113

1413

1411

1112

121

13

31

31

31

2324

2324

2121

2222

22

25

55

25

341

4243

4341

4244

44

......

......

......

....

......

......

.

00

00

00

u v u u v uk

kk

kk

kk

k

vk

kk

kk

kk

k

vk

kk

kk

kk

k

+

+

+

+

+

+

M M M

(2

.91)

42 � PPPTHH

PPPTHH �43

2.4.2. Tính chuyển vị nút

Ta xem xét hệ phương trình (2.91). Phân vectơ tải { }P thành hai vectơ: { }AP gồm

5 thành phần ñã biết, và { }BP gồm 3 thành phần chưa biết. Tương tự chia vectơ

chuyểnvị nút { }∆ thành{ }A∆ gồm 5 thành phần chưa biết và { }B∆ gồm 3 thành phần ñã

biết. Lúc ñó ma trận ñộ cứng [ ]K cũng phân thành 4 ma trận [ ] [ ] [ ] [ ], , ,AA AB BA BBK K K K .

5 1 5 5 5 3 5 1

3 1 3 5 3 3 3 1

.... ...... ...... ....

A AA AB A

B BA BB B

P K K

P K K

× × × ×

× × × ×

∆

= ∆

M

M

M

(2.92)

Có thể phân tích (2.92) thành

{ } [ ]{ } [ ]{ }A AA A AB BP K K= ∆ + ∆ (2.93)

{ } [ ]{ } [ ]{ }B BA A BB BP K K= ∆ + ∆ (2.94)

Ta ñã biết

{ } { }1

1

3

0

0 0

0B

u

v

v

∆ = = =

(2.95)

trong ñó: { }0 là vectơ 0.

Từ ñó có thể viết (2.93) thành

{ } [ ]{ }A AA AP K= ∆ (2.96)

hay viết dưới dạng

{ } { }K P∗ ∗ ∗ ∆ = (2.97)

Hình 2.4

ðây là hệ phương trình bậc nhất có ẩn là các chuyển vị nút { }∗∆ . Vectơ tải thu

gọn { }P∗ chỉ chứa các tải trọng ñã biết. Ma trận K ∗ ñược thu gọn từ ma trận [ ]K hiển

nhiên không còn là ma trận suy biến. Dùng phương pháp PTHH giải bài toán tĩnh học thực chất là thành lập và giải hệ phương trình (2.97) trên ñây.

Lời giải của nó sẽ là

{ } { }1K P

−∗ ∗ ∗ ∆ = (2.98)

Sau khi tìm ñược { }∗∆ , ở bài toán trên là { }A∆ , ñem thay vào (2.94) ñược

{ } [ ]{ }B BA AP K= ∆ (2.99)

tức là tìm ñược các phản lực chưa biết.

Có thể thấy rằng, nếu từ hệ phương trình (2.90) ta xóa ñi các hàng và các cột tương ứng với các chuyển vị nút bằng không (phần mầu sẫm trên hình 2.14) thì sẽ ñược phần còn lại là [ ]AAK .

Trên ñây ta ñã lấy một giàn phẳng làm thí dụ, tuy nhiên phương pháp này vẫn dùng cho tất cả các loại kết cấu khác.

Thí dụ 2.1. Thành lập hệ phương trình cơ bản của khung vẽ trên hình 2.15. Cho biết a, A, J, E.

Hình 2.15

Ta giải bài toán này theo các bước sau ñây.

Rời rạc hóa kết cấu. Chia khung thành 3 phần tử �, 2, 3, ñánh số nút 1, 2, 3, 4. Các thông tin về phần tử và về nút ñược ghi vào các bảng sau.

a) Thông tin về phần tử

Số hiệu phần tử 1 2 3

Nút ñầu 1 2 4

Nút cuối 2 3 3

PPPTHH �45

b) Thông tin về nút

Số hiệu nút 1 2 3 4

Tọa ñộ x 0 0 a a

Tọa ñộ y 0 a a 0

c) Thông tin về chuyển vị nút

- Số chuyển vị nút: 12

- Số chuyển vị nút bằng 0 (do liên kết): 6

- Số ẩn chuyển vị nút: 6

ðánh số chuyển vị nút:

1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4u v u v u v u vθ θ θ θ

(0) (0) (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (0) (0) (0)

Ma trận ñộ cứng của các phần tử trong hệ tọa ñộ ñịa phương ñược xác ñịnh từ công thức (2.64). Ta có

[ ] [ ] [ ]

3 2 3 2

2 21 2 3

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 4 6 20 0

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 2 6 40 0

z z z z

z z z z

z z z z

z z z z

EA EA

a aEJ EJ EJ EJ

a a a aEJ EJ EJ EJ

a a a ak k kEA EA

a aEJ EJ EJ EJ

a a a aEJ EJ EJ EJ

a a a a

− − − = = = −

− − −

−

Ma trận ñộ cứng của các phần tử trong hệ tọa ñộ chung:

Phần tử 1 [ ] [ ] [ ][ ]1 1

Tk T k T′ =

trong ñó: [ ]1

0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1

T

−

= −

Tính ñược

(0) (0) (0) (1) (2) (3)

[ ]

3 2 3 2

2 21

3 2 3 2

2 2

12 6 12 60 0

0 0 0 0

6 4 6 20 0

12 6 12 60 0

0 0 0 0

6 2 6 40 0

EJ EJ EJ EJ

a a a aEA EA

a aEJ EJ EJ EJ

a a a akEJ EJ EJ EJ

a a a aEA EA

a aEJ EJ EJ EJ

a a a a

− − − − − ′ = −

−

−

(0)

(0)

(0)

(1)

(2)

(3)

Phần tử 2

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

[ ]

3 2 3 2

2 22

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 4 6 20 0

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 2 6 40 0

z z z z

z z z z

z z z z

z z z z

EA EA

a aEJ EJ EJ EJ

a a a aEJ EJ EJ EJ

a a a akEA EA

a aEJ EJ EJ EJ

a a a aEJ EJ EJ EJ

a a a a

− − − ′ = −

− − −

−

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

PPPTHH �47

Phần tử 3

(0) (0) (0) (4) (5) (6)

[ ]

3 2 3 2

2 23

3 2 3 2

2 2

12 6 12 60 0

0 0 0 0

6 4 6 20 0

12 6 12 60 0

0 0 0 0

6 2 6 40 0

EJ EJ EJ EJ

a a a aEA EA

a aEJ EJ EJ EJ

a a a akEJ EJ EJ EJ

a a a aEA EA

a aEJ EJ EJ EJ

a a a a

− − − − − ′ = −

−

−

(0)

(0)

(0)

(4)

(5)

(6)

- Ghi chỉ số hàng và chỉ số cột của các ma trận ñộ cứng phần tử: ghi ở phía trên và phía bên phải các ma trận [ ]k ′ .

- Thiết lập ma trận ñộ cứng tổng thể [ ]K . ðó là ma trận cấp 6x6, tương

ứng với 6 ẩn của chuyển vị nút (1), (2), (3), (4), (5), (6). Các số hạng trong [ ]K ñược xác

ñịnh theo phương pháp chỉ số ñã nói ở trên. Thí dụ, số hạng 11K ở hàng (1) cột (1) của

[ ]K bằng tổng của số hạng ở hàng (1) cột (1) trong [ ]1k ′ là 312 /EJ a cộng với số hạng

ở hàng (1) cột (1) trong [ ]2k′ là /EA a . Các số hạng khác cũng lần lượt tính như vậy.

Cuối cùng ta có

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

[ ]

3 2

3 2 3 2

2 2 2

3 2

3 2 3 2

2 2 2

12 60 0 0

12 6 12 60 0

6 6 8 6 20

12 60 0 0

12 6 12 60 0

6 2 6 6 80

EA EJ EJ EA

a a a aEA EJ EJ EJ EJ

a a a a aEJ EJ EJ EJ EJ

a a a a aKEA EA EJ EJ

a a a aEJ EJ EA EJ EJ

a a a a aEJ EJ EJ EJ EJ

a a a a a

+ − + − − = − +

− − + −

−

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

- Thành lập vectơ tải tổng thể { } { }eP P= ∑

trong ñó: { }eP là vectơ tải của phần tử, các thành phần của chúng bao gồm tải

trọng ở nút và phản lực ở gối, ñược viết trong hệ tọa ñộ tổng quát.

Ta có

{ } { } { } { }

1 4

1 4

1 2 31 4 0

0

0

0 0

0

0 0 0

0 0

0 0 0

U U P

V V

M M MP P P P

P

P P

M

−

= = = = − −

−

(0) (1) (0) (1)

(0) (2) (0) (2)

(0) (3) (0) (3)

(1) (4) (4) (4

(2) (5) (5)

(3) (6) (6)

)

(5)

(6)

Phương trình cân bằng:

3 2

3 2 3 2 2

2

2 2 22

33 2

3

3 2 3 2

2 2 2

12 60 0 0

12 6 12 60 0

6 6 8 6 20

12 60 0 0

12 6 12 60 0

6 2 6 6 80

EA EJ EJ EA

a a a aEA EJ EJ EJ EJ

ua a a a avEJ EJ EJ EJ EJ

a a a a auEA EA EJ EJ

a a a a vEJ EJ EA EJ EJ

a a a a aEJ EJ EJ EJ EJ

a a a a a

θ

+ − + − − − +

− − + −

−

0

3

0

0

0

P

M

P

θ

−

= −

2.5. Xác ñịnh nội lực trong phần tử hữu hạn

Như trên ñã nói, trạng thái ứng suất cuối cùng của kết cấu chính là tổng giá trị ứng suất do các chuyển vị nút và giá trị ứng suất cục bộ của mỗi phần tử do tải trọng ñặt lên nó và do biến dạng cưỡng bức ban ñầu gây ra. Như vậy nội lực trong phần tử cũng gồm hai phần: nội lực do các chuyển vị nút gây ra tức là nội lực khi phần tử ở trạng thái tự do, ký hiệu là Sδ , và nội lực do tải trọng ñặt trong phần tử gây ra ở trạng thái cố ñịnh

(các nút bị gắn cứng), ký hiệu là 0S tính theo công thức của Sức bền vật liệu. Do ñó nội

lực tổng cộng sẽ là

0S S Sδ= + (2.100)

PPPTHH �49

2.5.1. Nội lực trong phần tử thanh chịu kéo (nén)

Như ta ñã biết, nếu chọn hàm chuyển vị là hàm tuyến tính thì ứng suất và biến dạng trong loại phần tử này là hằng số. Ta có nội lực (lực dọc trục):

[ ]{ }x xS A EA EA Bδ σ ε δ= = = (2.101)

Thí dụ 2.2. Xác ñịnh nội lực trong thanh vẽ trên hình 2.16, ñộ cứng chống kéo EA, chịu tải trọng phân bố ñều q.

Hình 2.16

Trình tự giải bài toán như sau.

1) Rời rạc hóa kết cấu. Chia thanh thành 2 phần tử, 3 nút, ñánh số phần tử và ñánh số nút như hình vẽ. Ta lập bảng sau:

Phần tử Nút ñầu (i) Nút cuối (j)

1 1 2

2 2 3

2) Thành lập vectơ chuyển vị nút tổng thể, sau ñó ñánh số các thành phần của vectơ theo chỉ số tổng thể.

{ }1

2

3

u

u

u

∆ =

(1)

(2)

(3)

Vectơ chuyển vị nút của các phần tử là:

{ }1 1

2

u

uδ

=

(1)

(2), { }2 2

3

u

uδ

=

(2)

(3)

3) Thiết lập ma trận ñộ cứng phần tử và ma trận ñộ cứng tổng thể

[ ] [ ]1 2(1) (2)

,

(2) (3)

EA EA EA EA

a a a ak kEA EA EA EA

a a a a

− − = =

− −

Ghép nối các phần tử theo phương pháp chỉ số, ta ñược ma trận ñộ cứng tổng thể:

(1) (2) (3)

[ ]

0 (1)

2 (2)

(3)0

EA EA

a aEA EA EA

Ka a a

EA EA

a a

− = − − −

4) Thành lập vectơ tải phần tử và vectơ tải tổng thể

Vectơ tải phần tử (sau khi dời tải trọng phân bố về nút):

{ } { }1 2(1) (2)

2 2,

(2) (3)2 2

qa qa

P Pqa qa

= =

Vectơ tải tổng thể:

{ }

(1)2

(2)

(3)2

qaR

P qa

qa

+

=

5) Hệ phương trình cơ bản:

1

2

3

0

22

0 2

EA EAqa

Ra a uEA EA EA

u qaa a a

u qaEA EA

a a

− + − − = −

6) Xử lý ñiều kiện biên.

Tại nút 1, 1 0u = , ở ñó phản lực R là ẩn chưa biết. Bỏ ñi hàng 1 cột 1 tương ứng

với chuyển vị 1u , ta có phương trình dạng { } { }K P∗ ∗ ∗ ∆ = như sau:

PPPTHH �51

2

3

2

2

EA EAqa

ua aqa

uEA EA

a a

− =

−

Giải hệ phương trình trên ñược các chuyển vị nút:

{ }

2

2

23

3

2

2

qau EAu qa

EA

∗

∆ = =

{ }1 2

2

23

0

3

2

2

uqa

uEA

uqa

EA

∆ = =

Từ ñó ta có giá trị các vectơ chuyển vị nút phần tử

{ } { }

2

1 22

2

302,32

2

qa

EAqa

qaEA

EA

δ δ

= =

Chuyển vị của mặt cắt ngang bất kỳ trong phần tử ñược xác ñịnh từ quan hệ:

{ } [ ]{ }( )f u x N δ= =

trong ñó: [ ] 1x x

Na a

= −

Ta có

11 1 2 2

22

1 1 2 3

3( )

2

3( )

2 2

qau x N u N u x

EA

qa qau x N u N u x

EA EA

= + =

= + = +

Tính nội lực. Nội lực do chuyển vị nút gây ra trong từng phần tử:

{ } [ ]{ }1 12

01 1 3

3 22

S EA B EA qaqaa aEA

δδ

= = − =

{ } [ ]{ }

2

2 2

2

31 1 2

22

qaqaEAS EA B EA

a a qa

EA

δδ

= = − =

Căn cứ vào các giá trị trên ta vẽ ñược biểu ñồ nội lực (lực dọc trục) của thanh trên hình 2.17a. Biểu ñồ nội lực ở trạng thái cố ñịnh và biểu ñồ nội lực tổng cộng vẽ trên hình 2.17b, c.

a)

b)

c)

Hình 2.17

Ta nhận xét rằng, biểu ñồ 2.17a và 2.17c có chênh lệch nhau khá lớn. Tuy nhiên nếu ta chia thanh thành nhiều phần tử hơn, thí dụ 4 phần tử, thì nội lực ở 2.17b nhỏ dần, và nội lực ở trạng thái tự do 2.17a càng gần lời giải chính xác hơn (hình 2.18).

Hình 2.18

2.5.2. Nội lực trong phần tử chịu uốn ngang phẳng Trong thanh chịu uốn ngang phẳng, nội lực gồm hai thành phần: mô men uốn và

lực cắt. Các nội lực ở nút là tổng của lực nút do chuyển vị nút gây ra và các phản lực nút ở trạng thái cố ñịnh (các nút bị gắn cứng), tức là

PPPTHH �53

[ ]{ } { }

i

i

j

j

Q

Mk R

Q

M

δ

= +

ðể xác ñịnh mô men uốn tại mặt cắt bất kỳ do chuyển vị nút gây ra ta sử dụng hàm nội suy (hàm dạng). Như ta ñã biết:

[ ]{ }( )v x N δ=

Do ñó từ quan hệ

2

2( )

d vM x EJ

dx=

ta có [ ]{ }( )M x EJ N δ′′= (2.102)

trong ñó: [ ] [ ]1 2 3 4N N N N N′′ ′′ ′′ ′′ ′′= (2.103)

Các hàm dạng 1 2 3 4, , ,N N N N ñược xác ñịnh theo công thức (2.40).

Sau khi tính ñược mô men uốn, có thể suy ra lực cắt theo quan hệ:

dM

Qdx

=

Thí dụ 2.3. Xác ñịnh nội lực trong dầm chịu tải trọng tập trung như trên hình 2.19. ðộ cứng chống uốn là EJ.

Hình 2.19

Coi dầm là 1 phần tử. ðánh số nút 1, 2 như hình vẽ. Vectơ chuyển vị nút:

{ } { } [ ]1 1 2 2

Tv vδ θ θ∆ = =

Ma trận ñộ cứng tổng thể

[ ] [ ]

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

EJ EJ EJ EJ

a a a aEJ EJ EJ EJ

a a a aK kEJ EJ EJ EJ

a a a aEJ EJ EJ EJ

a a a a

− −

= = − − − −

Dời tải trọng P về các nút ta ñược vectơ lực nút tương ñương (hình 2.19b).

ðồng thời tại các nút có các phản lực, do ñó vectơ lực nút bao gồm vectơ tải (lực nút tương ñương) và vectơ các phản lực { }R .

{ } [ ]1 20 0T

R R R=

Ta có phương trình giải:

13 2 3 2

1

2 21

223 2 3 2

2

2 2

12 6 12 6 20

276 4 6 2 4

2712 6 12 6 7

276 2 6 4 2

27

EJ EJ EJ EJP R

a a a avEJ EJ EJ EJ

Paa a a a

vEJ EJ EJ EJPa R

a a a aEJ EJ EJ EJ

Pa a a a

θ

θ

− − + − −

= − − − − +

−

(a)

Sau khi xử lý ñiều kiện biên 1 2( 0)v v= = ta có phương trình dạng

{ } { }K P∗ ∗ ∗ ∆ =

là

1

2

4 2 4

272 4 2

27

EJ EJPa

a aEJ EJ

Paa a

θθ

− =

Giải ra ñược

2 2

1 2

5 4,

81 81

Pa Pa

EJ EJθ θ= − =

Thay các kết quả này vào (a) ta ñược các phản lực:

PPPTHH �55

1 2

2,

3 3

PR P R= =

Nội lực (lực cắt và mô men uốn) tại các nút 1 và 2 là tổng cộng của nội lực do chuyển vị nút gây ra Sδ và nội lực ở trạng thái cố ñịnh 0S :

0S S Sδ= +

tức là ta có:

3 2 3 2

21

2 21

23 2 3 2 2

2

2 2

12 6 12 6 200 27

6 4 6 2 5 4

81 2712 6 12 6 0 7

2746 2 6 4 281

27

EJ EJ EJ EJP

a a a aQ EJ EJ EJ EJ Pa

PaM a a a a EJQ EJ EJ EJ EJ

Pa a a aM PaEJ EJ EJ EJ EJ Paa a a a

− − −

= + − − −

− −

2 20227 2734 4027 27

2 7

27 27 32 2 0

27 27

P PP

Pa Pa

PP Pa

Pa P

− −

= + =

−

Biểu ñồ lực cắt và mô men uốn vẽ trên hình 2.20.

Mô men uốn tại mặt cắt bất kỳ do chuyển vị nút gây ra tính theo (2.102).

Hình 2.20

ðể ý tới (2.40) và (2.102) ta có

1 2

1 2

1 2 3

1 2

6 12

4 6

6 12

2 6

xN

a ax

Na a

xN

a ax

Na a

′′= − +

′′= − +

′′= −

′′= − +

Thí dụ mô men uốn tại mặt cắt 3

ax =

2

2 23

2

0

52 2 2 10810

0 81

4

81

ax

Pa

EJM EJ Paa a a

Pa

EJ

=

− = − − =

2.5.3. Nội lực trong phần tử giàn phẳng

Trong hệ thanh, hệ tọa ñộ ñịa phương và hệ tọa ñộ tổng quát thường không trùng nhau, do ñó khi tính nội lực phải dựa vào chuyển vị nút trong hệ tọa ñộ tổng quát.

Nội lực trong phần tử giàn là lực dọc trục (lực kéo hoặc lực nén) ký hiệu là ijN

(nút ñầu là i, nút cuối là j). Bởi vì

{ } [ ]{ }Tδ δ ′=

trong ñó: { }δ ′ là vectơ chuyển vị nút phần tử trong hệ tọa ñộ tổng quát, nên từ

(2.101) ta có

[ ][ ]{ }ijN EA B T δ ′= (2.104)

trong ñó như ñã biết

PPPTHH �57

[ ]

{ }

1 1

T

i i j j

Ba a

u v u vδ

= −

′ =

[ ]

cos sin 0 0

sin cos 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

T

ϕ ϕϕ ϕ

− =

2.5.4. Nội lực trong phần tử khung phẳng

Nội lực trong phần tử khung phẳng bao gồm lực dọc, lực cắt và mô men uốn. Ta có vectơ nội lực

{ }T

i i i j j jS N Q M N Q M =

Ta vẫn sử dụng công thức

{ } [ ]{ } [ ][ ]{ }S k k Tδ δ ′= = (2.105)

trong ñó: { }T

i i i j j ju v u vδ θ θ′ =

[ ]k tính theo công thức (2.64).

[ ]

cos sin 0 0 0 0

sin cos 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 cos sin 0

0 0 0 sin cos 0

0 0 0 0 0 1

T

ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕϕ ϕ

−

= −

Từ các công thức trên có thể suy rộng ra ñể tính nội lực trong các phần tử giàn không gian, khung không gian.

Thí dụ 2.4. Tính nội lực trong khung vẽ ở hình 2.21. Cho biết:

7 2 2 32.10 / , 0,15 , 4 , 100 , 0,003E kN m A m a m P kN J m= = = = = .

Hình 2.21

Ở bài toán này, việc rời rạc hóa làm giống như ở thí dụ 2.3. Ta có vectơ chuyển vị nút tổng thể:

{ } 2 31 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4

Tu v u v u v u vθ θ θ θ θ ∆ =

(0) (0) (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (0) (0) (0)

Ma trận ñộ cứng của các phần tử trong hệ tọa ñộ tổng quát giống như trong thí dụ 2.3. Từ ñó thiết lập ñược ma trận ñộ cứng tổng thể

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

[ ]

3 2

3 2 3 2

2 2 2

3 2

3 2 2 2

2 2

2

12 60 0 0 0

12 6 12 60 0 0

6 6 8 6 20 0

12 60 0 0 0

12 6 6 60 0 0

6 2 6 40 0 0

6 40 0 0 0 0

EA EJ EJ EA

a a a a

EA EJ EJ EJ EJ

a a a a a

EJ EJ EJ EJ EJ

a a a a a

EA EA EJ EJK

a a a a

EJ EJ EA EJ EJ

a a a a a

EJ EJ EJ EJ

a a a a

EJ EJ

a a

+ −

+ −

−

= − +

− − + −

−

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1

2

3

4

5

6

7

Sau khi thay vào các giá trị số ta có phương trình:

2

2

23

3

32333

761,25 0 22,5 750 0 0 0 100

0 761,25 22,5 0 11, 25 22,5 0 0

22,5 22,5 120 0 22,5 30 0

10 750 0 0 761, 25 0 0 22,5

0 11,25 22,5 0 761, 25 22,5 0

0 22,5 30 0 22,5 60 0

0 0 0 22,5 0 0 60

u

v

u

v

θ

θθ

− − −

× =− − − −

−

0

0

0

0

0

Giải ra ñược các chuyển vị nút:

PPPTHH �59

2

2

2

3

32333

u

v

u

v

θ

θθ

= ×

-2

1,0852

0,0035

-0,2333

10 1,0811

-0, 0035

0,1140

-0, 4054

Sử dụng công thức (2.105) ta lần lượt tính ñược các thành phần nội lực tại các nút:

1

1

1

1 3

2

2

2

10

N

Q

M

N

Q

M

= × ×

-2

0 750 0 0 -750 0 0

-11,25 0 22,5 11,25 0 22,5 0

-22,5 0 60 22,5 0 30 010

0 -750 0 0 750 0 1,0852

11,25 0 -22,5 -11,25 0 -22,5 0,0035

-22,5 0 -30 22,5 0 60 -0,2333

-26,25

69,593

174,17=

26,25

-69,593

104,19

2

2

2

2

3

3

3

310

N

Q

M

N

Q

M

= × ×

-2

750 0 0 -750 0 0 1, 0852

0 11,25 22,5 0 -11,25 22,5 0,0035

0 22,5 60 0 -22,5 30 -0,233310

-750 0 0 750 0 0 1,0811

0 -11,25 -22,5 0 11,25 -22,5 -0, 0035

0 22,5 30 0 -22,5 60 0,1140

30,75

-26,055

-104,21=

-30,75

26, 055

0

4

4

4

3

3

3

3N

Q

M

N

Q

M

× ×

3 -2

0 750 0 0 -750 0 0

-11,25 0 22,5 11,25 0 22,5 0

-22,5 0 60 22,5 0 30 0=10 10

0 -750 0 0 750 0 1,0811

11,25 0 -22,5 -11,25 0 -22,5 -0,0035

-22,5 0 -30 22,5 0 60 -0,4054

26,25

30,409

121,628=

-26,25

-30,409

0

Biểu ñồ lực dọc trục N, lực cắt Q và mô men uốn M ñược thể hiện trên hình vẽ.

2.6. Một số trường hợp cần chú ý

2.6.1. Trường hợp có chuyển vị cưỡng bức

Ngoài các chuyển vị và nội lực do tải trọng gây ra, trong hệ thanh còn có thể có nội lực sinh ra do các chuyển vị cưỡng bức như gối lún, lắp ghép các bộ phận không chính xác, thay ñổi nhiệt ñộ v.v… Thông thường ảnh hưởng của các nhân tố này ñươc xem xét khi thành lập vectơ tải. Sau ñây ta phân tích một thí dụ cụ thể.

Thí dụ 2.5. Có một dầm liên tục như hình 2.22. Vẽ biểu ñồ nội lực của dầm khi gối 4 bị lún 0,015 mm và gối 3 bị lún 0,01 mm. Biết:

8 2 4 2, 0, 26.10 / , 3,375 , 4,5EJ const E kN m J m A m= = = =

Hình 2.22

Chia dầm thành 4 phần tử, 5 nút. Chọn hệ tọa ñộ như hình vẽ.

Hình 2.23

Vectơ chuyển vị nút tổng thể

{ } [ ]1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

Tv v v v vθ θ θ θ θ∆ =

ðiều kiện biên:

1 4 1

2 3

0

0, 015 , 0, 001

v v

v v

θ= = =

= =

Ta có vectơ chuyển vị nút chưa biết và ñược ñánh số như sau:

{ } [ ]2 3 4 5 5

(1) (2) (3) (4) (5)

Tvθ θ θ θ∗∆ =

Cách thiết lập ma trận ñộ cứng phần tử và ma trận ñộ cứng tổng thể của hệ này không có gì ñặc biệt, tương tự như các thí dụ trước. Do ñó ở ñây chỉ giới thiệu kết quả ma trận ñộ cứng tổng thể.

PPPTHH �61

64,360 14,625 0 0 0

73,125 21,938 0 0

160,875 0 58,250

39 0

117

K ∗

=

®x

Vectơ tải trong bài toán này bao gồm các phản lực sinh ra tại các liên kết khi hai gối bị lún (có chuyển vị cưỡng bức). Do ñó cần phải xác ñịnh các phản lực ở các phần tử 1 và 2 khi gối 2 bị lún, và phản lực ở phần tử 2 và 3 khi gối 3 bị lún. Sau ñây lần lượt xét từng phần tử.

Khi gối 2 bị lún, có thể tính ñược phản lực ở hai ñầu phần tử 1 và 2 ở trạng thái cố ñịnh theo phương pháp của Sức bền vật liệu (hình 2.24).

Vectơ tải phần tử:

{ } { }1 2

15795 (0) 9140 (0)

78975 (0) 54843 (1),

15795 (0) 9140 (0)

78975 (1) 54843 (2)

P P

− −

= = −

−

Hình 2.24

Tương tự, khi gối 3 bị lún ta cũng tính ñược phản lực ở hai ñầu phần tử 2 và 3 ở trạng thái cố ñịnh.

Hình 2.25

{ } { }

)3(

)0(

)2(

)0(

82265

20566

82265

20566

)2(

)0(

)1(

)0(

36562

6094

36562

6904

32

−

−

−

=

−= PP

Ở phần tử 4 không có tải trọng nên

{ }40P =

Tổng hợp các vectơ tải phần tử trên ñây ta có vectơ tải tổng thể, sau khi xử lý ñiều kiện biên chỉ giữ lại những hàng tương ứng với các chuyển vị chưa biết

{ }

60694 (1)

100546 (2)

82265 (3)

0 (4)

0 (5)

P∗

−

= −

Phương trình cân bằng { } { }K P∗ ∗ ∗ ∆ =

Giải phương trình này ñược

{ }

θθθ

θ

∗

∆ =

2

3

-9

4

5

5

-1225989

124435

.101252825

3758475

1252825

=

v

Từ vectơ { }∆ có thể viết ñược các vectơ chuyển vị nút phần tử { }δ , sau ñó tính nội lực tại các nút theo các công thức (2.105), kết quả ghi ở bảng dưới ñây.

Phần tử ij Qi Mi Qj Mj

1 9340 -57459 9340 -35942

2 -2979 35942 -2979 186

3 -23 186 23 0

4 0 0 0 0

Biểu ñồ mô men uốn và lực cắt như trên hình vẽ.

PPPTHH �63

2.6.2. Trường hợp có gối ñàn hồi

Nếu trong hệ thanh có các gối ñàn hồi thì ma trận ñộ cứng của hệ phải biến ñổi bằng cách cộng thêm ñộ cứng của gối ñàn hồi vào các thành phần tương ứng trên ñường chéo chính của ma trận ñộ cứng. Như vậy nếu theo phương chuyển vị thứ m trong vectơ chuyển vị nút có gối ñàn hồi ñộ cứng c thì thành phần kmm trong ma trận [k] phải ñổi thành kmm+c. Thí dụ ta xét một dầm có gối ñàn hồi sau ñây.

Hình 2.26 Nếu coi dầm là một phần tử ta có

{ } { }

1

1

2

2

2

8,

2

8

P

v Pa

Pv P

Pa

θ

θ

− −

∆ = = −

Vì theo phương 2v có gối ñàn hồi ñộ cứng c nên ta có ma trận ñộ cứng:

[ ]

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

EJ EJ EJ EJ

a a a aEJ EJ EJ EJ

a a a aKEJ EJ EJ EJ

ca a a aEJ EJ EJ EJ

a a a a

− −

= − − + − −

(2.106)

Giải hệ phương trình { } { }K P∗ ∗ ∗ ∆ = sau khi xử lý ñiều kiện biên 1 1 0v θ= = ta

ñược

3 3

2 23 3

5 15, 1

16(3 ) 32 3

Pa Pa EJv

EJ ca EJ EJ caθ = − = − + +

Các phản lực gối ñược xác ñịnh từ phương trình sau ñây:

13 2 3 2

12 2

223 2 3 2

2

2 2

12 6 12 6

206 4 6 20 8

12 6 12 6

26 2 6 4

8

EJ EJ EJ EJ PV

a a a aEJ EJ EJ EJ Pa

Ma a a a

vEJ EJ EJ EJ Pc V

a a a aPaEJ EJ EJ EJ

a a a a

θ

− − + − − +

= − − + − − +

−

Giải ra ñược

1 3

2 3

1 3

11 151

16 11 3

5 31

16 3

3 51

16 3

EJV P

EJ ca

EJV P

EJ ca

EJM Pa

EJ ca

= + +

= − +

= + +

Trường hợp gối phải là ñầu tự do ( 0)c = :

3 2

2 2

1 2 1

5,

48 8

, 0 ,2

Pa Pav

EJ EJPa

V P V M

θ= − = −

= = =

Trường hợp gối phải là gối cứng ( )c = ∞ :

2

2 2

1 2 1

0 ,32

11 5 3, ,

16 16 16

Pav

EJ

V P V P M Pa

θ= =

= = =

Nếu lấy 3

EJc

a= thì ta có

3 2

2 2

1 2 1 2

5 11,

64 12859 5 27

, , , 064 64 24

Pa Pav

EJ EJ

V P V P M Pa M

θ= − = −

= = = =

Biểu ñồ nội lực như trên hình vẽ.

PPPTHH �65

Trạng thái tự do

Trạng thái cố ñịnh

Tổng hợp

Trên ñây ñã nêu một số cách xử lý ñiều kiện biên của hệ thanh khi có gối cứng, gối ñàn hồi và chuyển vị cưỡng bức. Khi lập trình và giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss, người ta có thể xử lý ñiều kiện biên bằng cách sử dụng số rất lớn. Cách xử lý như sau:

Giả sử có ñiều kiện biên (chuyển vị theo phương m) là mm ∆=∆ . Ta dùng một số

rất lớn B, với máy tính có thể lấy 2010B = , sau ñó ñối với thành phần mmK trên ñường

chéo chính của ma trận ñộ cứng ta gán

mm mmK K B= +

và thành phần trong vectơ tải ta gán

( ) mmmm BKP ∆+=

tức là ta có phương trình:

11 12 1 1 1 1

21 22 2 2 2 2

1 2

1 2

... ...

... ...

... ... ( )

... ...

m n

m n

m m mm mn m mm m

n n nm nn n n

K K K K P

K K K K P

K K K B K K B

K K K K P

∆ ∆

= + ∆ + ∆

∆

M M M M M M

M M M M M M

Khi giải ra ta sẽ có mm ∆=∆ .

Nếu tồn tại liên kết cứng 0m =∆ theo phương m thì từ phương trình trên ñương nhiên sẽ ñược 0=∆ m .

2.6.3. Trường hợp có gối xiên Ta xét một giàn phẳng có gối xiên trên hình 2.27.

a) b)

Hình 2.27

Giả sử giàn có n nút. Phương trình giải của toàn hệ là

[ ]{ } { }K P∆ =

hoặc viết dưới dạng triển khai

11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2

1 1 2 2

...........................................................

...................................................

m m n n

m m n n

m m mm m mn n m

k k k k P

k k k k P

k k k k P

∆ + ∆ + + ∆ + + ∆ =

∆ + ∆ + + ∆ + + ∆ =

∆ + ∆ + + ∆ + + ∆ =

L L

L L

L L

1 1 2 2

........

n n nm m nn n nk k k k P∆ + ∆ + + ∆ + + ∆ =L L

(2.107)

trong ñó: m∆ là vectơ chuyển vị nút tại nút m, nó bao gồm 2 thành phần mu và

theo phương x và y, mP là vectơ lực nút tại nút m gồm 2 thành phần

,m mU V theo phương x và y của hệ tọa ñộ tổng quát, 11 12,k k … là ma

trận cấp 2 x 2.

,m mm m

m m

u UP

v V

∆ = =

(2.108)

Trong số n nút của hệ, giả sử có nút m trượt trên mặt xiên góc ϕ với trục x∗ (hình

2.27b). Chọn hệ tọa ñộ ñịa phương ,x y∗ ∗ như hình vẽ, các chuyển vị nút ở nút m trong

hệ tọa ñộ này là ,m mx y∗ ∗ . Ta có quan hệ:

cos sin

sin cos

m m m

m m m

u u v

v u v

ϕ ϕ

ϕ ϕ

∗ ∗

∗ ∗

= −

= + (2.109)

hay viết dưới dạng ma trận

cos sin

sin cosm m

m m

u u

v v

ϕ ϕϕ ϕ

∗

∗

− =

(2.110)

hoặc { } [ ]{ }m mλ ∗∆ = ∆ (.111)

Tương tự như trên ñối với lực nút

PPPTHH �67

{ } [ ]{ }m mP Pλ ∗= 2.112)

Thay (2.111) và (2.112) vào (2.107) ñược

[ ][ ]

[ ] [ ]

11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2

1 1 2 2

....................................................................

..................................

m m n n

m m n n

m m mm m mn n m

k k k k P

k k k k P

k k k k P

λ

λ

λ λ

∗

∗

∗ ∗

∆ + ∆ + + ∆ + + ∆ =

∆ + ∆ + + ∆ + + ∆ =

∆ + ∆ + + ∆ + + ∆ =

L L

L L

L L

[ ]1 1 2 2

..................................

n n nm m nn n nk k k k Pλ ∗∆ + ∆ + + ∆ + + ∆ =L L

(2.113)

Nhân phương trình ở hàng thứ m của (2.113) với [ ] [ ]1 Tλ λ

−= ta ñược

[ ][ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2

1 1 2 2

....................................................................

...........................

m m n n

m m n n

T T T T

m m mm m mn n m

k k k k P

k k k k P

k k k k P

λ

λ

λ λ λ λ λ

∗

∗

∗ ∗

∆ + ∆ + + ∆ + + ∆ =

∆ + ∆ + + ∆ + + ∆ =

∆ + ∆ + + ∆ + + ∆ =

L L

L L

L L

[ ]1 1 2 2

.........................................

n n nm m nn n nk k k k Pλ ∗∆ + ∆ + + ∆ + + ∆ =L L

2.114)

Viết dưới dạng ma trận

[ ][ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

11 12 1 1 1 1

21 22 2 2 2 2

1 2

1 2

... ...

... ...

... ...

... ...

m n

m n

T T T Tm mm m mm mn

n nn n nm nn

k k k k Pk k k k P

Pk k k k

Pk k k k

λλ

λ λ λ λ λ

λ

∗ ∗

∆ ∆ =

∆

∆

M M M M

M MM M

(2.115)

Tóm lại, trong các thành phần của vectơ lực nút và vectơ chuyển vị nút, những số hạng liên quan ñến nút m thì biểu diễn trong tọa ñộ ñịa phương, còn trong ma trận ñộ

cứng, các số hạng ở hàng thứ m sẽ nhân với [ ]Tλ từ phía trái, các số hạng ở cột thứ m sẽ

nhân với [ ]λ từ phía phải.

Sau khi biến ñổi tọa ñộ như vậy ta sẽ xét ñiều kiện biên tại nút m (gối di ñộng trên mặt xiên), ñiều kiện ñó là

0mv∗ =

Do ñó trong ma trận (2.115) ta bỏ ñi các hàng và các cột tương ứng với chuyển vị

mv∗ . Nếu gặp trường hợp có nhiều gối xiên như trên thì cần lặp lại quá trình xử lý

tương tự.

2.7. Dầm trên nền ñàn hồi 2.7.1. Phần tử hữu hạn của dầm trên nền ñần hồi

Khi tính dầm trên nền ñàn hồi người ta thường ñưa ra nhiều mô hình nền khác nhau. Thông dụng nhất là mô hình nền Winkler, mô hình nền Pasternak, và mô hình nền bán không gian ñàn hồi. Dưới ñây giới thiệu phương pháp tính dầm trên nền ñàn hồi theo mô hình nền Pasternak, còn gọi là mô hình có hai hệ số nền. Theo mô hình này, ngoài việc xét tới lực nén còn xét tới lực trượt trong nền, tức là còn xét tới ảnh hưởng của phần nền nằm ngoài phạm vi tiếp xúc với dầm.

Hình 2.28a giới thiệu một PTHH của dầm trên nền ñàn hồi, chiều dài a, bề rộng b, ñộ cứng chống uốn EJ , ñộ cứng chống xoắn oEJ , ñộ cứng chống nén của nền 1c , ñộ

cứng trượt 2c .

Chọn hệ tọa ñộ như hình vẽ. Phần tử hữu hạn ở ñây ñược quan niệm bao gồm cả phần tử dầm và phần tử nền, mặt cắt ngang của nó ñược biểu thị trên hình 2.28b. Chọn hệ tọa ñộ như hình vẽ. Phần tử hữu hạn gồm hai nút 1 và 2, tại mỗi nút có 3 thành phần chuyển vị nút là , ,y xw θ θ và 3 thành phần lực nút là lực cắt Q , mô men uốn yM và mô

men xoắn xM .

a) b) Hình 2.28

Ta có quan hệ

{ } [ ]{ }eF k δ=

hay [ ]

1 1

1 1

1 1

2 2

2 2

2 2

x x

y y

x x

y y

Q

M

Mk

Q

M

M

θ

θ

θθ

=

w

w (2.116)

PPPTHH �69

2.7.2. Hàm chuyển vị

Như ta ñã biết ở lý thuyết dầm trên nền ñàn hồi, thế năng biến dạng ñàn hồi của PTHH trên ñây là

1 2 3 4U U U U U= + + + (2.117)

trong ñó: 1U - thế năng biến dạng của phần tử dầm

2 22 2

1 20

1

2

a

o

w wU EJ GJ dx

x x y

∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂

∫ (2.118)

2U - thế năng biến dạng ñàn hồi của nền trong phạm vi tiếp xúc với

dầm

222

22 1 2

02

1

2

ba

b

w wU c w c dxdy

x y−

∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∫ ∫ (2.119)

3 4,U U - thế năng biến dạng của phần tử nền không tiếp xúc với dầm,

tức là ở ngoài các biên 1’- 2’ và 1’’- 2’’.

22

23,4 1 2

0 0

1

2

a w wU c w c dxdy

x y

∞ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∫ ∫ (2.120)

Biểu thức ( , )w x y trong các công thức 1U và 2U trên là ñộ võng của dầm và cũng

là ñộ lún của nền, chọn theo dạng ña thức sau ñây:

3 2 3 3 2

1 2 13 3

3 2 2 3 2

2 1 22 2

2 3 2 3( , )

2

x

x y y

x ax a x ax a xw x y w w y

a a a

x x ax a x x axy

a a a

θ

θ θ θ

− + − − = − +

− + −+ − −

(2.121)

Biểu thức chuyển vị ( , )w x y trong các công thức 3U và 4U của phần tử nền ở hai

phía ngoài phạm vi dưới dầm (hình 2.28b) chọn theo dạng ña thức sau ñây:

3 2 3 3 2

1 2 13 3

3 2 2 3 2

2 1 22 2

2 3 2 3( , )

2

2

2

y y yx

y y yx y y

x ax a x ax b a xw x y e w e w e

a a a

b x x ax a x x axe e e

a a a

α α α

α α α

θ

θ θ θ

− − −

− − −

− + − −= − ±

− + −± − −

(2.122)

trong ñó: 1

2

c

cα =

Trong biểu thức (2.122) ở hai số hạng cuối, lấy dấu (+) với phần tử có biên1’-2’, lấy dấu (-) với phần tử có biên 1’’- 2’’.

2.7.3. Ma trận ñộ cứng của phần tử

Trên cơ sở các biểu thức 1 2,U U ở (2.118), (2.119) và biểu thức chuyển vị ở

(2.121), bằng phương pháp dựa vào nguyên lý cực tiểu thế năng, ta thiết lập ñược ma trận ñộ cứng của phần tử dầm (Bảng 2.1) và ma trận ñộ cứng của phần tử nền ở phía dưới dầm (Bảng 2.2).

Tương tự như vậy, từ các biểu thức 3 4,U U ở (2.113) và biểu thức chuyển vị ở

(2.122) ta thiết lập ñược ma trận ñộ cứng của phần tử nền có biên 1’- 2’(Bảng 2.3) và ma trận ñộ cứng của phần tử nền có biên 1’’- 2’’(Bảng 2.1).

Bảng 2. 1. Ma trận ñộ cứng của phần tử dầm

[ ]

1

1

1

12

2

2

1 0 2 3 0 2

0 4 0 0 5 0

2 0 6 7 0 8

3 0 7 1 0 7

0 5 0 0 4 0

2 0 8 7 0 6

x

y

x

y

v

kv

θθ

θθ

=

Chú thích các ký hiệu:

3 2 3

3

12 6 121. , 2. , 3. , 4. ,

4 6 25. , 6. , 7. , 8.

o

o

GJEJ EJ EJ

a a a aGJ EJ EJ EJ

a a a a

−

− −

Bảng 2.2. Ma trận ñộ cứng của phần tử nền ñàn hồi ở dưới dầm

[ ]

1

1

1

22

2

2

1 0 2 3 0 4

0 5 0 0 6 0

2 0 7 8 0 9

3 0 8 1 0 10

0 6 0 0 5 0

4 0 9 10 0 7

x

y

x

y

v

kv

θθ

θθ

=

PPPTHH �71

Chú thích các ký hiệu:

21 2 1 2

21 2 1 2

3 33 3

1 2 2 1 2 2

3 21 2 1 2

3 21 2 1 2

13 6 11 11. 2.

35 5 210 109 6 13 1

2. 4.70 5 420 10

1 15. 6.

36 12 3 72 12 61 2 13 1

7. 8.105 15 420 10

1 1 11 19. 10.

140 30 210 10

bc ab c c a b c b

ab

c ab c c a b c ba

b ab b abc ab c c c ab c c

a a

c a b c ab c a b c b

c a b c ab c a b c b

+ − −

− −

+ + − +

+ − +

− − +

Bảng 2.3. Ma trận ñộ cứng của phần tử nền ñàn hồi ở ngoài dầm (phần tử 3)

[ ]

1

1

1

32

2

2

1 2 3 4 5 6

2 7 8 5 9 10

3 8 11 12 13 14

4 5 12 1 2 15

5 9 13 2 7 16

6 10 14 15 16 11

x

y

x

y

v

kv

θθ

θθ

=

Chú thích các ký hiệu:

1 2 2 1 2 2

2 21 2 2 1 2 2

13 6 13 7 71. , 2.

70 10 70 40 2 40 2

11 11 9 6 93. , 4.

420 20 420 140 10 140

c a c c a c a c c a b

a a

c a c c a c a c c a

a

α αα α α α

α αα α α α

+ + + +

− − − − +

2 21 2 2 1 2 2

2 221 2 2 1 2

2 221 2 2 1 2

3 3 13 135. , 6.

40 2 40 2 840 20 840

7. , 8.6 2 6 4 40 40 2

9. , 10.12 2 12 4 60 60 2

c a c c a c a c c ab

a

c a c c a c a c ab b

a

c a c c a c a c ab b

a

α αα α α α

α αα α α

α αα α α

− + − +

+ + − +

− + +

3 3 2 21 2 2 1 2 2

2 2 3 31 2 1 2 2

2 2 2 21 2 2 1 2

2 13 1311. , 12.

210 30 210 840 20 840

13. , 14.60 60 2 280 60 280

11 1115. , 16.

420 20 420 40 40 2

c a c c a c a c c a

c a c a c a c c ab

c a c c a c a c a b

α α αα α α α

α α αα α α

α αα α α

+ + − + −

− + − − −

+ + +

Bảng 2.4. Ma trận ñộ cứng của phần tử nền ñàn hồi ở ngoài dầm (phần tử 4)

[ ]

1

1

1

42

2

2

1 2 3 4 5 6

2 7 8 5 9 10

3 8 11 12 13 14

4 5 12 1 2 15

5 9 13 2 7 16

6 10 14 15 16 11

x

y

x

y

v

kv

θθ

θθ

=

Chú thích các ký hiệu:

1 2 2 1 2 2

2 21 2 2 1 2 2

2 21 2 2 1 2 2

1 2 2

13 6 13 7 71. , 2.

70 10 70 40 2 40 2

11 11 9 6 93. , 4.

420 20 420 140 10 140

3 3 13 135. , 6.

40 2 40 2 840 20 840

7.6 2 6

c a c c a c a c c a b

a a

c a c c a c a c c a

a

c a c c a c a c c ab

a

c a c c a

a

α αα α α α

α αα α α α

α αα α α α

αα α

+ + + +

− − − − +

− − + − −

+ +

2 221 2

2 221 2 2 1 2

, 8.4 40 40 2

9. , 10.12 2 12 4 60 60 2

c a c ab b

c a c c a c a c ab b

a

αα

α αα α α

+

− + − +

3 3 2 21 2 2 1 2 2

2 2 3 31 2 1 2 2

2 2 2 21 2 2 1 2

2 13 1311. , 12.

210 30 210 840 20 840

13. , 13.60 60 2 280 60 280

11 1115. , 16.

420 20 420 40 40 2

c a c c a c a c c a

c a c a c a c c ab

c a c c a c a c a b

α α αα α α α

α α αα α α

α αα α α

+ + − + −

+ − − −

− + − − +

Ma trận ñộ cứng của phần tử dầm trên nền ñàn hồi là tổng của 4 loại phần tử nói trên.

PPPTHH �73

Việc thiết lập ma trận ñộ cứng tổng thể, thiết lập và giải hệ phương trình cân bằng ñối với các nút hoàn toàn giống như phương pháp ñã trình bày ở các phần trước.

Cần nói thêm là, trên ñây ta ñã sử dụng mô hình nền ñàn hồi của Pasternak ñể xây dựng các ma trận ñộ cứng của phần tử, tức là ñã dùng hai hệ số nền 1c và 2c . Nếu sử

dụng mô hình nền ñàn hồi Winkler thì ta coi 1c là hệ số nền Winkler, còn hệ số 2c lấy

bằng không.

Câu hỏi ôn tập

1. Phân biệt các loại phần tử thanh , phần tử giàn và phần tử khung. Viết các ma trận ñộ cứng tương ứng với các loại phần tử này.

2. Khi thay ñổi hệ tọa ñộ, ma trận ñộ cứng và vectơ tải thay ñổi như thế nào?

3. Cách xử lý một số trường hợp có liên kết ñặc biệt (liên kết khớp, liên kết trượt cứng, gối ñàn hồi, gối có chuyển vị cưỡng bức…) như thế nào khi thiết lập ma trận ñộ cứng phần tử?

Chương 3

BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ðÀN HỒI

3.1. Khái niệm chung

Bài toán phẳng của Lý thuyết ñàn hồi bao gồm bài toán ứng suất phẳng và bài toán biến dạng phẳng. Trong bài toán ứng suất phẳng, các thành phần ứng suất là hàm của hai biến, thí dụ x và y, còn trong bài toán biến dạng phẳng thì các thành phần biến dạng là hàm của hai biến, nói cách khác ta chỉ xét các thành phần ứng suất hoặc biến dạng trong một mặt phẳng. Hai loại bài toán này tuy khác nhau về ý nghĩa nhưng phương pháp giải thì giống nhau, khác biệt chỉ là ở công thức xác ñịnh ma trận ñàn hồi

[ ]D trong biểu thức ñịnh luật Hooke.

Mô hình rời rạc hóa của vật thể ñàn hồi liên tục trong bài toán phẳng là coi kết cấu như là tổ hợp các tấm nhỏ gọi là các phần tử hữu hạn, các phần tử này nối khớp với nhau tại các nút. Hình 3.1 là sơ ñồ tính một dầm tường (bài toán ứng suất phẳng), còn hình 3.2 là sơ ñồ tính ñập chắn nước (bài toán biến dạng phẳng). Tất cả các tải trọng tác dụng trong kết cấu ñều ñược dời về các nút, gọi là các tải trọng nút.

Hình 3.1

Khác với trường hợp hệ thanh các phần tử chỉ liên kết với nhau ở các nút, trong bài toán phẳng các phần tử tiếp xúc với nhau theo một ñường. Vì vậy phải chọn mô

PPPTHH �75

hình chuyển vị sao cho ñiều kiện liên tục ñược ñảm bảo không những ở các nút mà còn ở cả trên toàn bộ biên chung giữa các phần tử lân cận nhau.

Các loại phần tử thường dùng trong bài toán phẳng là phần tử hình tam giác và phần tử hình chữ nhật, trong ñó phần tử hình tam giác là ñơn giản nhất và ñược sử dụng nhiều nhất. ðể tăng ñộ chính xác của kết quả, người ta còn dùng các phần tử bậc cao như phần tử tam giác 6 nút, phần tử tứ diện 8 nút.

Hình 3.2

3.2. Phần tử hình tam giác. Hàm xấp xỉ chuyển vị Hình 3.3 biểu diễn một phần tử hình tam giác có 3 ñiểm nút là i,j,m ñánh số theo

chiều ngược kim ñồng hồ. Vì tại các nút là các khớp nên tại mỗi nút có 2 chuyển vị thẳng u, v theo hai phương tọa ñộ x, y, như vậy phần tử tam giác này có 6 bậc tự do.

Hình 3.3

Ta có vectơ chuyển vị nút của phần tử

{ }T

i i j j m mu v u v u vδ = (3.1)

Chọn hàm xấp xỉ là các ña thức tuyến tính

1 2 3

4 5 6

u x y

v x y

α α α

α α α

= + +

= + + (3.2)

Các hệ số 1 2 6, ,...α α α có thể xác ñịnh bằng cách ñưa các toạ ñộ và các thành phần

chuyển vị nút ở i,j, m vào (3.2). Ta có

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

,

,

,

i i i i i i

j j j j j j

m m m m m m

u x y v x y

u x y v x y

u x y v x y

α α α α α α

α α α α α α

α α α α α α

= + + = + +

= + + = + +

= + + = + +

(3.3)

Giải hệ phương trình này ñược 1 2 6, ,...,α α α rồi thay lại vào (3.2) tìm ñược

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

21

2

i i i i j j j j m m m m

i i i i j j j j m m m m

u a b x c y u a b x c y u a b x c y u

v a b x c y v a b x c y v a b x c y v

= + + + + + + + + ∆

= + + + + + + + + ∆

(3.4)

trong ñó:

i j m m j

i j m jm

i m j mj

a x y x y

b y y y

c x x x

= −

= − =

= − =

(3.5)

Các hệ số còn lại , ,...,j j ma b c có thể tìm ñược bằng cách hoán vị vòng các chỉ số i,

j, m, ∆ là diện tích tam giác ijm ñược tính như sau:

11

12

1

i i

j j

m m

x y

x y

x y

∆ = (3.6)

Có thể viết hai biểu thức (3.4) dưới dạng

i i j j m m

i i j j m m

u N u N u N u

v N v N v N v

= + +

= + + (3.7)

hoặc viết dưới dạng ma trận:

{ } [ ]{ }u

f Nv

δ

= =

(3.8)

trong ñó: [ ]0 0 0

0 0 0i j m

i j m

N N NN

N N N

=

(3.9)

với ( ) ( , , )1

2i i i i i j mN a b x c y= + +∆

(3.10) , ,i j mN N N là hàm của các toạ ñộ, chúng phản ánh dạng chuyển vị của

phần tử nên gọi là hàm dạng. Mô hình chuyển vị chọn trên ñây ñảm bảo ñược sự liên tục về chuyển vị trên biên

giới giữa các phần tử bởi vì nó thay ñổi tuyến tính dọc theo các cạnh của tam giác.

3.3. Biến dạng và ứng suất. Ma trận ñàn hồi Như ta ñã biết, biến dạng tại một ñiểm của phần tử ñược ñịnh nghĩa bằng vectơ

biến dạng:

PPPTHH �77

{ }

∂∂

+∂∂

∂∂∂∂

=

=

x

v

y

uy

vx

u

xy

y

x

γε

ε

ε

Thay (3.7) vào biểu thức trên ñược

{ }

0 0 0

0 0 0

iji m

i

j ji m

j

mj ji i m m

m

uNN Nvx x x

N uN N

vy y y

uN NN N N Nvy x y x y x

ε

∂∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

= ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(3.11)

hoặc { } [ ]{ }Bε δ= (3.12)

trong ñó: ma trận [ ]B có dạng

[ ]0 0 0

10 0 0

2

i j m

i j m

i i j j m m

b b b

B c c c

c b c b c b

= ∆

(3.13)

Cần chú ý rằng trong trường hợp này ma trận [ ]B không phụ thuộc vào vị trí của ñiểm ñang xét ở bên trong phần tử, do ñó biến dạng bên trong phần tử là hằng số.

Bây giờ ta xét quan hệ giữa ứng suất và biến dạng.

Như ñã biết trong bài toán phẳng ta có vectơ ứng suất:

{ }x

y

xy

σσ σ

τ

=

(3.14)

Nếu không xét tới biến dạng ban ñầu thì

{ } [ ]{ } [ ][ ]{ } [ ]{ }D D B Sσ ε δ δ= = = (3.15)

[ ]D gọi là ma trận ñàn hồi, phụ thuộc vào tính chất của vật liệu.

ðối với bài toán ứng suất phẳng và vật liệu ñẳng hướng ta có

2(1 )

yxx

yxy

xy xy

E E

E E

E

= −

= − +

+=

σσε ν

σσε ν

ντ τ

(3.16)

Giải hệ này theo ứng suất, ta rút ra

[ ]

−−

=

2/)1(00

01

01

1 2

νν

ν

νE

D (3.17)

ðối với bài toán biến dạng phẳng:

EEE

zyxx

σν

σν

σε −−=

EEE

zyxy

σν

σσνε −+−=

xyxy Eτ

νγ

)1(2 +=

0=+−−=EEE

zyxz

σσν

σνε

Giải hệ phương trình trên theo các ứng suất xyyx τσσ ,, rồi so sánh với (3.15) ta

ñược

[ ]1 /(1 ) 0

(1 )/(1 ) 1 0

(1 )(1 2 )0 0 (1 2 ) / 2(1 )

ED

ν νν

ν νν ν

ν ν

− − = − + −

− −

(3.18)

Ma trận [ ]D là ma trận ñối xứng, tính ñối xứng của nó xuất phát từ ñịnh lý Betti-Maxwell và ñịnh luật bảo toàn năng lượng.

Ma trận [ ]S trong công thức (3.15) gọi là ma trận tính ứng suất

[ ] [ ][ ]S D B= (3.19)

ðối với bài toán ứng suất phẳng

PPPTHH �79

[ ] 22(1 )1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

i i j j m m

i i j j m m

i i j j m m

b c b c b cE

S b c b c b c

c b c b c b

ν ν νν ν ν

νν ν ν ν ν ν

= − ∆ − − − − − −

(3.20)

ðối với bài toán biến dạng phẳng, chỉ cần từ (3.20) thay E bằng ( )21/ ν−E và

thay ν bằng ( )νν −1/ , ta có

[ ]

1 1 1(1 )

2(1 )(1 2 ) 1 1 11 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2(1 ) 2(1 ) 2(1 ) 2(1 ) 2(1 ) 2(1 )

i i j j m m

i i j j m m

i i j j m m

b c b c b c

ES b c b c b c

c b c b c b

ν ν νν ν ν

ν ν ν νν ν ν ν ν

ν ν ν ν ν νν ν ν ν ν ν

− − −

− = + − ∆ − − −

− − − − − − − − − − − −

(3.21)

3.4. Ma trận ñộ cứng

Ma trận ñộ cứng của phần tử tam giác phẳng ñược xác ñịnh theo công thức

[ ] [ ] [ ][ ]Tk B D B tdxdy= ∫∫ (3.22)

trong ñó: t là bề dày của phần tử. Tích phân thực hiện trên toàn bộ diện tích của phần tử. Nếu t = const thì

[ ] [ ] [ ][ ] ∆= tBDBk T (3.23)

Ma trận ñộ cứng phụ thuộc vào hình dáng, kích thước và phương vị của phần tử mà không phụ thuộc vào vị trí của gốc toạ ñộ.

Có thể viết ma trận ñộ cứng dưới dạng

[ ]ii ij im

ji jj jm

mi mj mm

k k k

k k k k

k k k

=

(3.24)

trong ñó: ñối với bài toán ứng suất phẳng, các ma trận con có dạng:

[ ] 2

1 1

2 21 14(1 )

2 2

r s r s r s r s

rs

r s r s r s r s

b b c c b c c bEt

k

c b b c c c b b

ν νν

ν ννν

− − + + =

− −− ∆ + +

(3.25)

(r = i, j, m s = i, j, m)

Các chỉ số r,s lần lượt lấy bằng i,j, m.

ðối với bài toán biến dạng phẳng:

[ ]

1 2 1 2

2(1 ) 1 2(1 )(1 )

1 2 1 24(1 )(1 2 )

1 2(1 ) 2(1 )

r s r s r s r s

rs

r s r s r s r s

b b c c b c c bE t

k

c b b c c c b b

ν ν νν ν νν

ν ν νν νν ν ν

− − + + − − −− =− −+ − ∆

+ + − − −

(3.26)

(r = i, j, m s = i, j, m)

Sau ñây ta xét một thí dụ. Phần tử ijm ở trạng thái ứng suất phẳng. Chọn hệ toạ ñộ như hình 3.4. Ta có

0,,0

0,0,

===

===

mji

mji

yayy

xxax

Theo (3.5) và (3.6) ta có

acacc

abbab

mji

mji

−===

−===

,,0

,0,

2

2a=∆ Hình 3.4

Thay vào (3.25) ñược

2

1 0 0 1

1 1 1 10 0

2 2 2 21 1 1 1

0 02 2 2 20 0 1 12(1 )

1 1 3 11

2 2 2 21 1 1 3

12 2 2 2

i i

i i

j j

j j

m m

m m

U u

V v

U uEtV v

U u

V v

ν νν ν ν ν

ν ν ν ν

ν ννν ν ν ν

ν

ν ν ν νν

− − − − − − − − − − − − − − = − −− − − − − − − − − − − − − − − − −

Sử dụng cụng thức (3.17) ta ñược

2

1 0 0 1

0 0 1 11

1 1 1 10 0

2 2 2 2

i

ix

jy

jxy

m

m

u

v

uEt

v

u

v

σ ν ν

σ ν νν

τ ν ν ν ν

− −

= − − − − − − − − −

3.5. Dời tải trọng về nút. Lực nút tương ñương Trường hợp lực tập trung

PPPTHH �81

Nếu lực tập trung P ñặt tại một ñiểm bất kỳ trong phần tử (hình 3.5a) thì

{ } [ ] .e T

P N P= (3.27)

trong ñó: x

y

PP

P

=

[ ]N là ma trận các hàm dạng.

Nếu lực tập trung ñặt trên biên phần tử, thí dụ lực P tác dụng theo phương x trên biên ij (hình 3.5b) thì

{ } 0 0 0 0T

j il l

P Pl l

=

(3.28)

a) b)

Hình 3.5

Trường hợp tải trọng phân bố trên toàn bộ thể tích của phần tử (thí dụ trọng lượng bản thân) với lực thể tích là

{ } x

y

pp

p

=

Lúc này ta có

{ } [ ] { }e TP N p tdxdy= ∫∫ (3.29)

Nếu p là hằng số thì toàn bộ lực thể tích sẽ phân ñều lên 3 nút. Thí dụ phần tử có trọng lượng Q thì

{ } 0 0 03 3 3

Te Q Q Q

P P = (3.30)

Trường hợp tải trọng phân bố trên biên phần tử, ta có

{ } [ ] { }Te

P N p ds= ∫ (3.31)

trong ñó: t ds là diện tích bề mặt ñoạn biên có chiều dài ds.

Hình 3.6

Thí dụ ñối với tải trọng phân bố ở hình 3.6, ta có

{ } 2 10 0 0 0

2 3 3

Te qlt

P = (3.32)

3.6. Ma trận ñộ cứng kết cấu. Hệ phương trình cân bằng

Sau khi thiết lập ñược ma trận ñộ cứng của từng phần tử và dời các tải trọng trung gian về các nút, ta có thể viết ñược phương trình cân bằng tại nút i như sau:

[ ]{ } { }, ,

in n ie n i j m

k Pδ=

=∑ ∑ (3.33)

Phương trình liên quan ñến tất cả các phần tử chứa nút i. ðối với mỗi nút trong mạng lưới phần tử, ta ñều có thể viết ñược một phương trình cân bằng như vậy.

Tổng hợp các phương trình viết ñối với tất cả các nút ta ñược hệ phương trình cân bằng ñối với toàn bộ kết cấu:

[ ]{ } { }K P∆ =

trong ñó: { }∆ là vectơ các ẩn chuyển vị nút tổng thể,{ }P là vectơ tải tổng thể, bao

gồm tải trọng ñặt tại nút và tải trọng tác dụng bên trong phần tử ñã ñược dời về nút, [ ]K là ma trận ñộ cứng tổng thể. Phương pháp thiết lập

ma trận [ ]K về nguyên tắc cũng giống như trường hợp tính hệ thanh, do

ñó có thể tham khảo ở mục 2.3, chương II.

3.7. Trình tự giải bài toán phẳng bằng phương pháp phần tử hữu hạn

(1) Rời rạc hóa kết cấu, thông thường chia kết cấu thành mạng lưới các phần tử tam giác hoặc tứ giác.

(2) Chọn hàm xấp xỉ mô tả chuyển vị trong phần tử. Bậc của ña thức xấp xỉ phụ thuộc vào số nút trong phần tử. Thí dụ phần tử tam giác 3 ñiểm nút chọn ña thức tuyến tính, phần tử tam giác 6 ñiểm nút chọn ña thức bậc hai.

(3) Thiết lập ma trận ñộ cứng phần tử, tức là tính các giá trị của các thành phần

[ ]rsk . Chú ý là ma trận ñàn hồi [ ]D trong bài toán ứng suất phẳng và trong bài toán biến

dạng phẳng có giá trị khác nhau.

(4) Thiết lập ma trận ñộ cứng tổng thể và dời tải trọng về nút, từ ñó thành lập vectơ tải tổng thể.

(5) Thành lập hệ phương trình cơ bản, sau ñó xử lý ñiều kiện biên ñể ñược phương trình giải có dạng

PPPTHH �83

{ } { }K P∗ ∗ ∗ ∆ =

(6) Giải hệ phương trình tuyến tính tìm ñược các chuyển vị nút.

(7) Xác ñịnh các vectơ ứng suất tùy theo bài toán ứng suất phẳng hay biến dạng phẳng. Xác ñịnh ứng suất chính và phương chính bằng các công thức của Sức bền vật liệu.

Thí dụ 3.1. Một tấm mỏng dạng công xon chịu tải trọng p phân bố ñều theo chiều cao H ở mặt cắt ñầu tự do (hình 3.7a). Mạng lưới phần tử chia như trên hình 3.7b. Xác ñịnh các chuyển vị u và v ở tất cả các nút và các phản lực ở biên ngàm. Cho biết hệ số Poisson 1/ 3ν = .

a) b)

Hình 3.7

Mạng lưới có 12 nút, gồm 12 phần tử tam giác. Các phần tử ñều thuộc một trong hai loại sau ñây:

Loại I:

bi =- b ; ci = 0

bj = b ; cj = - a

bm = 0 ; cm = a

.

.

Loại II:

bi = 0 ; ci = - a

bj = b ; cj = 0

bm = - b ; cm = a

.

.

.

Theo công thức (3.25) và ñể ý tới (3.5) ta có

[ ]

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2

0 0

0 0

( )

4 (1 ) ( )

0 0

0 0

I

b b ab ab

b ab b ab

b ab b a ab a abEtk

ab b ab a b ab a

ab a ab a

ab ab a a

ν ν

β β β ββ β ν β β ν

ν ν β ν β β ββ β β β

ν ν

− −

− − − + − + −

= ∆ − − − + + −

− − − −

[ ]

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

0 0

0 0

0 0

4 (1 ) 0 0

( )

( )

II

a ab a ab

a ab ab a

ab b b abEtk

ab b ab b

a ab b ab b a ab

ab a ab b ab a b

β β β β

ν νν ν

ν β β β ββ ν β β ν β

β ν β ν β β

− −

− − − −

= ∆ − − −

− − + − +

− − − + +

Trong bài toán này, 1 1 1 1

, , 4 , 83 2 3 2

a b abν

ν β−

= = = = = ∆ = =

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 3 5 7 9 11

3 0 3 1 0 1

0 1 1 1 1 0

3 1 4 2 1 13

1 1 2 4 1 116

0 1 1 1 1 0

1 0 1 1 0 3

Ik k k k k k k

Et

= = = = = =

− − − − − − −

= − − −

− − − −

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2 4 6 8 10 12IIk k k k k k k= = = = = =

PPPTHH �85

1 0 0 1 1 1

0 3 1 0 1 3

0 1 3 0 3 13

1 0 0 1 1 116

1 1 3 1 4 2

1 3 1 1 2 4

Et

− − − − − −

= − −

− − −

− − −

Ma trận ñộ cứng của toàn hệ có dạng

[ ]

11 12 14 15

21 22 23 25 26

32 33 35 36

41 44 45 47 48

51 52 54 55 56 57 58 59

62 63 65 66 69

74 75 77 78 7,10 7,11

84 85 87 88 89 8,11 8,12

9

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

K K K K

K K K K K

K K K K

K K K K K

K K K K K K K K

K K K K KK

K K K K K K

K K K K K K K

K

=

5 96 98 99 9,12

10,7 10,10 10,11

11,7 11,8 11,10 11,11 11,12

12,8 12,9 12,11 12,12

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

K K K K

K K K

K K K K K

K K K K

Các phần tử ijK (các ma trận con) trong ma trận trên ñược xác ñịnh bằng cách lấy

tổng của các thành phần tương ứng từ các ma trận ñộ cứng phần tử.

Thí dụ ma trận con K55 (tương ứng với các thành phần chuyển vị nút 5u và 5v )

là

1 2 3 6 7 855 55 55 55 55 55 55

1 0 3 0 4 2 4 2 3 0 1 03

0 3 1 0 2 4 2 4 0 1 0 316

16 43

4 1616

K k k k k k k

Et

Et

= + + + + +

− − = + + + + + − −

− = −

Sau khi tính ñược tất cả các khối con ( , 1, 2,3,...,12)ijK i j = trong ma trận [ ]K ta

ñược hệ phương trình sau ñây:

[ ]{ } { } { }K P R∆ = +

{ }P là vectơ tải tổng thể, { }R là vectơ các phản lực. Ta có hệ phương

trình: (tr 85).

ðể tính các chuyển vị nút, ta sử dụng ñiều kiện biên:

1 1 2 2 3 3 0u v u v u v= = = = = =

Bỏ ñi 6 hàng ñầu và 6 cột ñầu trong ma trận [ ]K , giải hệ phương trình còn lại (18

phương trình) ta ñược các chuyển vị nút:

.

Nút up

Et vp

Et

4 -16,220 -20,548

5 0,384 -17,520

6 15,387 -19,685

7 - 25,777 -51,552

8 - 0,139 - 49,384

9 25,146 - 49,221

10 - 29,296 - 89,158

11 - 0,432 - 87,344

12 28,218 - 86,728

.

PPPTHH �87

40

11

00

31

02

00

00

00

00

00

00

00

41

30

01

12

00

00

00

00

00

00

00

0

82

11

00

62

02

00

00

00

00

00

00

81

30

02

22

00

00

00

00

00

00

0

42

00

00

31

00

00

00

00

00

00

40

00

01

10

00

00

00

00

00

0

82

22

00

31

02

00

00

00

00

82

60

01

12

00

00

00

00

0

164

22

00

62

0

−−

−

−−

−

−−

−−

−−

−

−−

−

−−

−−

−−

−

−−

−2

00

00

00

162

60

02

22

00

00

00

0

82

00

00

31

00

00

00

80

00

01

10

00

00

0

82

22

00

31

02

00

82

60

01

12

00

0

164

22

00

62

02

162

60

02

22

0

82

00

00

31

8

00

00

11

42

11

00

41

30

0

82

11

81

3

40 4

−

−−

−

−−

−

−−

−−

−−

−

−−

−−

−−

−

−−

−

−−

− −−

−

®èi

xøng

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 016

03

0 0

u v u v u v u v u v u v uE

t

v u v u v u v u v u v

−=

1 1 2 2 3 3

0 0 0 0 0 0 0 0 0

00

00

00

00

20

00

40

00

20x y x y x y

R R R R R R

p p p

+

PPPTHH �85

Thay giá trị các chuyển vị nút vừa tìm ñược vào 6 phương trình ñầu ñể xác ñịnh các phản lực:

Giải ra tìm ñược

1

1

2

2

3

3

11,841

0,681

0,492.

0,943

12,346

6,576

x

y

x

y

x

y

R

R

Rp

R

R

R

= −

Thí dụ 3.2. Tính các chuyển vị nút của một tấm mỏng hình vuông cạnh l, bề

dày t, chịu lực P tác dụng trong mặt phẳng của tấm (hình 3.8a). Lấy 6

1=ν .

a) b)

Hình 3.8

PPPTHH �87

Vì lý do ñối xứng nên ta chỉ xét nửa phần bên phải của tấm (hình 3.8b). Ở sơ ñồ tính có 4 phần tử, 6 nút. Sau khi xử lý ñiều kiện biên ta có vectơ chuyển vị nút cần tìm

{ } [ ]1 2 3 3 4 4 5 6

Tv v u v u v v u∆ =

Dựa vào (3.24) và (3.25) ta thiết lập ñược ma trận ñộ cứng của các phần tử trong hệ toạ ñộ ñịa phương (trùng với hệ toạ ñộ chung). Sau ñó sắp xếp các thành phần trong ma trận này vào ma trận ñộ cứng tổng thể, từ ñó ñược hệ phương trình:

1

2

3

3

4

4

5

6

1,456 0,515 0,3 0 0,3 0,428 0,514 0

0,728 0,086 0,214 0 0 0 0

0.728 0 0,214 0,214 0 0

0,728 0,086 0,514 0 0

1,456 0,3 0,3 0,214

1,456 0 0,086

0,728 0,214

0,728

v

v

u

vEt

u

v

v

u

− − − − − −

− − − −

®èi

xøng

0

0,5

0

0

0

0

0

0

p

−

=

Nghiệm của hệ phương trình trên là

{ } { } { }PK 1−=∆

Trong bài toán này:

{ }

1

2

3

3

4

4

5

6

1, 2728

1,9033

0,0692

1,1090

0,0066

0,7772

1,0109

0,3909

v

v

u

v P

u Et

v

v

u

− − −

− ∆ = =

−

−

Từ { }∆ có thể xác ñịnh ñược vectơ chuyển vị nút của từng phần tử { }δ , sau ñó

xác ñịnh biến dạng và ứng suất trong từng phần tử theo các quan hệ ñã biết. Ứng suất tại trọng tâm các phần tử tính theo các công thức (3.15) và (3.20). Thí dụ tính ứng suất ở trọng tâm phần tử 4.

Ta có

{ } [ ] { }444 δσ S=

trong ñó:

{ }

−

−

=

=

7772,0

0066,0

0

3909,0

0109,1

0

4

4

6

6

5

5

4

Et

P

v

u

v

u

v

u

δ

Theo (3.20) ta có

[ ]( )

4

2

2ES

l

ν νν ν

νν ν ν ν

= −

-1 0 1 - 0

- 0 -1 0 11

1- 1- 1- 1-0 - - 0

2 2 2 2

2,057 0 2,057 0,342 0 0,342

0,342 0 0,342 2,057 0 2,057

0 0,857 0,857 0,857 0,857 0

E

l

− − = − − − −

`

Từ ñó tính ñược

0,538

1, 464

0,536

x

y

xy

P

l t

σστ

= −

3.8. Vấn ñề chia phần tử

Việc phân chia ñối tượng nghiên cứu thành mạng lưới, tức là thành các phần tử hữu hạn, là một bước quan trọng trong quá trình tính toán. Sau ñây trình bày những ñiều chú ý cần thiết.

Khi chia phần tử, nói chung, kích thước lớn nhỏ của phần tử là do yêu cầu ñộ chính xác tới mức nào và khả năng của máy ñến ñâu. Phần tử càng nhỏ thì ñộ chính xác càng cao. Ở các vùng khác nhau của kết cấu, có thể và nên dùng các loại phần tử có kích thước khác nhau. Thí dụ, ñối với những chỗ mà ta cần phân tích trạng thái ứng suất và biến dạng một cách kỹ lưỡng thì kích thước phần tử nên nhỏ hơn các chỗ khác. ðó thường là những chỗ ứng suất và chuyển vị thay ñổi ñột ngột. Kinh nghiệm cho thấy, khi chia cố gắng chia sao cho cạnh các phần tử không chênh lệch nhau nhiều. Nếu tỉ lệ chiều dài giữa cạnh dài nhất và cạnh ngắn nhất quá lớn, thí dụ lớn hơn 3:1 thì ở vùng lân cận phần tử ñó các giá trị ứng suất và chuyển vị tính ñược sẽ có sai số ñáng kể so

PPPTHH �89

với thực tế (trừ phi tại vùng lân cận phần tử, ứng suất và chuyển vị thực tế thay ñổi rất ít).

ðối với những kết cấu ñối xứng chịu tải trọng ñối xứng hay phản ñối xứng thì nên chia mạng lưới ñối xứng.

Trường hợp kết cấu có bề dày thay ñổi ñột ngột (hình 3.9a) hoặc các hằng số ñàn hồi của vật liệu có thay ñổi lớn (hình 3.9b) thì tại ñấy ta cần lấy kích thước tương ñối nhỏ, ngoài ra cần lấy ñường ñột biến (ñường kẻ ñậm trên hình) làm ñường biên của các phần tử.

Nếu kết cấu chịu tải trọng thay ñổi bậc (hình 3.9c) hoặc chịu tải trọng tập trung (hình 3.9d) thì ở vùng này nên lấy kích thước phần tử nhỏ hơn, ñồng thời lấy ñiểm thay ñổi tải trọng ñột ngột hoặc ñiểm ñặt lực tập trung làm nút của phần tử.

3.9. Tính ứng suất nhiệt

Khi nhiệt ñộ thay ñổi, trong kết cấu sinh ra ứng suất nhiệt do có các liên kết hạn chế sự biến dạng của kết cấu.

Gọi T là lượng thay ñổi của nhiệt ñộ, trong bài toán phẳng T là hàm của tọa ñộ x và y. Khi nhiệt ñộ thay ñổi T, một phân tố chiều dài của vật thể sẽ có biến dạng Tα , trong ñó α là hệ số nở nhiệt. ðối với vật liệu ñồng nhất, biến dạng này giống nhau theo các phương, do ñó không có biến dạng góc. Ở trường hợp bài toán ứng suất phẳng ta có

, 0x y xyTε ε α γ= = =

a) b)

c) d)

Hình 3.9

Vì vật thể không ñược tự do biến dạng mà bị hạn chế do các liên kết ngoài hoặc giữa các bộ phận kết cấu với nhau nên sinh ra các ứng suất xσ và yσ . Ta có

2(1 )

yxx

yxy

xy xy

TE E

TE E

E

σσε ν α

σσε ν α

νγ τ

= − +

= − +

+=

(3.37)

Trong phần tử tam giác trên ñây, các thành phần ứng suất biến dạng ñều là hằng số, giá trị T trong (3.37) không thể lấy là hàm của tọa ñộ x,y mà phải lấy một giá trị bình quân nào ñấy của các ( , )T x y . Cách ñơn giản nhất là lấy

1

( , )T T x y dxdy∆

=∆ ∫∫ (3.38)

Dễ dàng chứng minh rằng, với mô hình truyền nhiệt tuyến tính tức là khi T là hàm tuyến tính của x,y thì từ (3.38) ta ñược

( )1

3 i j mT T T T= + + (3.39)

trong ñó: , ,i j mT T T là số gia nhiệt ñộ ở ba nút i, j, m.

ðối với mô hình truyền nhiệt phi tuyến vẫn có thể tính gần ñúng T theo (3.39) mà sai số không lớn.

ðem T trong (3.37) ñổi thành T và chuyển vế ta ñược

( )

( )

1

1

2(1 )0

x x y

y y x

xy xy

TE

TE

E

ε α σ νσ

ε α σ νσ

νγ τ

− = −

− = −

+− =

(3.40)

Như vậy biến dạng trong trường hợp này viết dưới dạng ma trận sẽ là { } { }0ε ε=

trong ñó: { } ( )α

αε α α

0

1 1

1 13

0 0

i j m

T

= T = T = T +T + T

0

(3.41)

Do ñó quan hệ ứng suất-biến dạng sẽ là

{ } [ ] { } { }( ) [ ][ ]{ } [ ]{ }0 0D D B Dσ ε ε δ ε= − = − (3.42)

ðồng thời ta có

{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ]{ }0

e T TP B D B t B D tδ ε= − ∆

PPPTHH �91

hay { } [ ]{ } [ ] [ ]{ }0

e TP k B D tδ ε= − ∆ (3.43)

∆ là diện tích, t là bề dày của phần tử.

Số hạng thứ hai ở vế phải trong công thức trên là lực nút sinh ra do sự thay ñổi nhiệt ñộ. ðổi dấu số hạng này ta sẽ ñược tải trọng tác dụng vào nút do ảnh hưởng của thay ñổi nhiệt ñộ, nói chính xác hơn là lực nút tương ñương:

Thay (3.16),(3.20) và (3.41) vào công thức này ta ñược

{ }( )

( )6 1

i i

i i

e i j mj j

j j

m m

m m

U b

V c

T T T EtU bR

V c

U b

V c

α

ν

+ + = =

−

(3.44)

trong ñó: , ,...,i i mb c c tính theo công thức (3.5).

ðối với bài toán biến dạng phẳng, quan hệ vật lý là

yx zx

y xzy

yxzz

TE E E

TE E E

TE E E

σσ σε ν ν α

σ σσε ν ν α

σσσε ν ν α

= − − +

= − − +

= − − +

(3.45)

Từ phương trình thứ ba rút ra ( )z x y E tσ ν σ σ α= + − rồi thay vào hai phương

trình ñầu ta ñược

2

2

1(1 )

1

1(1 )

1

x x y

y y x

TE

TE

ν νε σ σ ν α

ν

ν νε σ σ ν α

ν

− = − + + −

− = − + + −

Cuối cùng ta ñược

2

2

1(1 )

1

1(1 )

1

2(1 )0

x x y

y y x

xy xy

TE

TE

E

ν νε ν α σ σ

ν

ν νε ν α σ σ

νν

γ τ

− − + = − −

− − + = − − +

− =

(3.46)

Bằng cách biến ñổi tương tự như trường hợp bài toán ứng suất phẳng, ta ñược công thức xác ñịnh lực nút tương ñương trong bài toán biến dạng phẳng:

{ }( ) ( ) ( )

( )21

16 1 26 1

1

i i

i i

i j me i j mj j

j j

m m

m m

b b

c cEtT T T T T T Etb b

Rc c

b b

c c

ν α ανν ν

ν

+ + + + + −= = − − −

(3.47)

3.10. Sử dụng phần tử hình chữ nhật

Trên hình 3.10 là phần tử hình chữ nhật ijmp. ðể ñơn giản ta chọn các trục tọa ñộ x và y là hai trục ñối xứng song song với các cạnh biên của hình. Chiều dài các cạnh là 2a và 2b.

Mô hình chuyển vị chọn như sau:

1 2 3 4

5 6 7 8

u x y xy

v x y xy

α α α α

α α α α

= + + +

= + + + (3.48)

Tại các nút ta có

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

5 6 7 8

5 6 7 8

5 6 7 8

5 6 7 8

i

j

m

p

i

j

m

p

u a b ab

u a b ab

u a b ab

u a b ab

v a b ab

v a b ab

v a b ab

v a b ab

α α α α

α α α α

α α α α

α α α α

α α α α

α α α α

α α α α

α α α α

= − − +

= + − −

= + + +

= − + −

= − − +

= + − −

= + + +

= − + −

(3.49)

PPPTHH �93

Từ 8 phương trình trên rút ra 1 2 8, ,...,α α α rồi thay vào (3.48) ñược

ppmmjjii

ppmmjjii

vNvNvNvNv

uNuNuNuNu

+++=

+++= (3.50)

trong ñó các hàm dạng

)1)(1(4

1

)1)(1(4

1

)1)(1(4

1

)1)(1(4

1

b

y

a

xN

b

y

a

xN

b

y

a

xN

b

y

a

xN

p

m

j

i

+−=

++=

−+=

−−=

(3.51)

hoặc viết dưới dạng ma trận:

{ } [ ]{ } { }i j m p

uf N IN IN IN IN

vδ δ

= = =

(3.52)

trong ñó: { }T

i i j j m m p pu v u v u v u vδ =

Hình 3.10

Trong biểu thức (3.48) các hệ số 1 2 8, ,...,α α α biểu thị các chuyển vị cố thể và biến

dạng, còn trên các biên của phần tử ( , )x a y b= ± = ± thì các thành phần chuyển vị biến ñổi tuyến tính, do ñó ta có thể thấy chuyển vị của hai phần tử lân cận nhau trên biên chung là liên tục, ñảm bảo ñiều kiện hội tụ của lời giải.

Biến dạng của phần tử vẫn xác ñịnh theo công thức

{ } [ ]{ }Bε δ=

trong ñó: [ ]B là ma trận cấp 3 x 8 có dạng

[ ]( ) 0 0 0 ( ) 0

0 ( ) 0 ( ) 0 0

( ) ( ) ( ) ( )

b y b y b y b y

B a x a x a x a x

a x b y a x b y a x b y a x b y

− − − + − + = − − − + + − − − − − − + − + + − − +

(3.53)

Ứng suất tại các ñiểm trong phần tử ñược xác ñịnh theo công thức ñã biết

{ } [ ][ ]{ } [ ]{ }D B Sσ δ δ= =

Cần chú ý là, ñối với phần tử chữ nhật ứng suất trong phần tử không phải là hằng số mà là thay ñổi tuyến tính, bởi vì [ ]B là hàm bậc nhất của các tọa ñộ x và y. Thay

(3.53) và (3.17) hoặc (3.18) vào (3.25) ta ñược ma trận ñộ cứng phần tử [ ]k có dạng ở

Bảng 3.1 và Bảng 3.2.

ðể thực hiện việc dời tải trọng về nút, vẫn có thể sử dụng các công thức (3.27),(3.29) ñối với phần tử tam giác nhưng cần chú ý:

{ }Te

i i j j m m p pP U V U V U V U V = (3.54)

[ ] i j m pN IN IN IN IN = (3.55)

Thí dụ, trọng lượng bản thân G của phần tử dời về các nút sẽ là

{ } 1 1 1 10 0 0 0

4 4 4 4

Te

P G = − (3.54)

Tải trọng phân bố theo qui luật tam giác tác dụng trên biên (hình 3.11)

Hình 3.11

Do ứng suất trong phần tử thay ñổi tuyến tính nên loại hình phần tử chữ nhật so với phần tử tam giác sẽ phản ánh tốt hơn tình hình thay ñổi ứng suất thực tế. Tuy nhiên sử dụng phần tử chữ nhật có hai nhược ñiểm: thứ nhất không thích hợp với trường hợp tấm có biên xiên hoặc biên cong, thứ hai là không thể ñồng thời sử dụng hai loại phần tử tử có kích thước

PPPTHH �95

khác nhau. Vì vậy trong một số trường hợp người ta sử dụng hỗn hợp cả hai loại phần tử tam giác và chữ nhật.

Thí dụ ñối với kết cấu ở hình 3.12. Tại vùng giữa tấm ta dùng phần tử chữ nhật kích thước lớn. Tại vùng CD do ứng suất thay ñổi nhanh dùng phần tử chữ nhật kích thước nhỏ hơn. Giữa hai vùng này có các phần tử tam giác làm quá ñộ. Tại biên cong AB cũng sử dụng phần tử tam giác. ðương nhiên làm như vậy sẽ tương ñối phức tạp khi lập trình.

Hình 3.12

Ma

trận

ñộ

cứn

g củ

a p

hần

tử

ch

ữ n

hật

cạn

h 2

a, 2

b (

bài t

oán

ứng

suất

phẳ

ng)

Bản

g 3.

1

[]

2

(1)

1(1

)1

3(1

)1

(1)

13

36

83

128

612

86

68

(1)

13

(1)

1(1

)1

3(1

)

36

86

68

612

83

12(1

)1

(1)

13

(1)

1

36

86

68

612

1

ba

ba

ba

ba

ab

ab

ab

ab

ab

ab

ab

ab

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

ab

ab

ab

Et

k

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

ν

νν

νν

νν

ν

−+

−−

−+

−−

+−

+−

−+

−−

−−

−+

−−

−+

−−

−−

−−

+

−+

−−

−+

+−

−−

−−

=−

8(1

)1

3(1

)1

(1)

36

83

128

612

(1)

1(1

)1

3

36

83

128

(1)

13

(1)

36

86

6(1

)1

36

8 (1)

36

ab

ab

ab

ba

ba

ba

ba

ba

ab

ab

ab

ab

ba

ba

ba

ab

ab

ba

νν

νν

ν

νν

νν

νν

ν

νν ν

−−

−+

−

+

−+

−−

−+

−−

+−

+−

−−

−

+

−

−

+

+

−

−

+

®èi

xøng

PPPTHH �95

P

PP

TH

H �

97

Ma

trận

ñộ

cứn

g củ

a p

hần

tử

ch

ữ n

hật

cạn

h 2

a, 2

b (

bài t

oán

biến

dạn

g ph

ẳng)

Bản

g 3.

2.

[]

()

()

()

()

()

()

()

(1)

(1)(1

2)

(12

)1

(12

)1

4(1

2)

1(1

2)

14

36

18(

1)

312

18(

1)

612

18(

1)

66

18(

1)

(12

)1

4(1

2)

1(1

2)

14

36

18(

1)

66

18(

1)

612

18(

1

Et

k

ba

ba

ba

ba

ab

ab

ab

ab

ab

ab

ab

ba

ba

ba

ν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

ν

νν

νν

ν

−=

+−

−−

−−

−−

+−

+−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−+

−−

−−

−−

−−

−−

()

()

()

()

()

()

()

()

(12

)

)3

121

(12

)1

(12

)1

4(1

2)

1

36

18(

1)

66

18(

1)

612

18(

1)

1(1

2)

14

(12

)1

(12

)

8(1

)3

61

8(1

)3

121

8(1

)6

121

(12

)1

36

18(

1)

3

ab

ba

ba

ba

ba

ab

ab

ab

ab

ab

ab

ba

ba

ba

ba

b

ab

ν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

νν

ν νν

−−

+−

−

−−

−−

+−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−+

−+

−−

−−

−−

−−

−+

−−

−(

)

()

()

()

()

(12

)1

4

121

8(1

)

(12

)1

4(1

2)

36

18(

1)

66

1

(12

)1

36

18(

1)

(12

)

36

1

a

ab

ab

ab

ba

ba

ba

ab

ab

ba

νν

νν

νν

ν

νν

ν

ν νν ν ν

−−

+−

−−

−−

−+

−−

−−

−+

−−

− −+

−

®èi

xøng

96 � PPPTHH

98 � PPPTHH

3.11. Tọa ñộ diện tích

ðể nghiên cứu sử dụng loại phần tử bậc cao, trước hết cần tìm hiểu khái niệm về tọa ñộ diện tích.

Có một phần tử tam giác như hình 3.13. Vị trí của một ñiểm A bất kỳ trong phần tử có thể ñược xác ñịnh bởi 3 giá trị (tỉ số) sau ñây:

, ,ji mi j mL L L

∆∆ ∆= = =

∆ ∆ ∆ (3.55)

trong ñó: ∆ - diện tích tam giác ijm

, ,i j m∆ ∆ ∆ lần lượt là diện tích các tam giác Ajm, Ami, Aij.

Ba tỉ số này gọi là các tọa ñộ diện tích của ñiểm A. Bởi vì

i j m∆ + ∆ + ∆ = ∆

nên ta có 1i j mL L L+ + = (3.56)

Hình 3.13

Có thể thấy ngay rằng, tất cả các ñiểm nằm trên cùng một ñường thẳng song song với cạnh jm ñều có chung một giá trị iL (vì i∆ như nhau), mà iL lại bằng tỉ số giữa

khoảng cách từ ñường thẳng này ñến cạnh jm với khoảng cách từ nút i ñến cạnh jm. Như trên hình vẽ, ta có các ñường iL có khoảng cách như nhau.

Tọa ñộ diện tích tại các nút là:

Tại nút i: 1 , 0 , 0i j mL L L= = =

Tại nút j: 0 , 1 , 0i j mL L L= = = (3.57)

Tại nút m: 0 , 0 , 1i j mL L L= = =

Bây giờ ta xét mối quan hệ giữa tọa ñộ diện tích và tọa ñộ trực giao.

PPPTHH �99

Diện tích tam giác Ajm là:

( , , )

11

12

1

1( ) ( ) ( )

2

i j j

m m

j m m j j m m i

i j m

x y

x y

x y

x y x y y y x x x y

∆ =

= − + − + − (3.58)

Tương tự như trên ta viết ñược ,j m∆ ∆ .

Cũng như trước ñây ta ñã ñặt:

i j m m j

i j m

i j m

a x y x y

b y y

c x x

= −

= −

= − +

(3.59)

thì 1

( )2i i i ia b x c y∆ = + + (3.60)

do ñó:

( ) / 2

( ) / 2

( ) / 2

i i i i

j j j j

m m m m

L a b x c y

L a b x c y

L a b x c y

= + + ∆

= + + ∆

= + + ∆

(3.61)

Ta thấy biểu thức này chính là các hàm dạng , ,i j mN N N trong các phần tử tam

giác ñã nói trước ñây.

, ,i i j j m mN L N L N L= = = (3.62)

Viết (3.61) dưới dạng ma trận:

11

2

i i i i

j j j j

m m m m

L a b c

L a b c x

L a b c y

= ∆

(3.63)

Lần lượt nhân 3 biểu thức trong (3.61) với xi, xj, xm rồi cộng lại với nhau, và ñể ý ñến (3.59) ta ñược

i i j j m mx x L x L x L= + + (3.64)

Tương tự ta có

i i j j m my y L y L y L= + +

Kết hợp (3.56) và (3.64) và viết dưới dạng ma trận, ta có

100 � PPPTHH

1 1 1 1 i

i j m j

i j m m

L

x x x x L

y y y y L

=

(3.65)

Khi lấy ñạo hàm của các hàm viết theo tọa ñộ diện tích ñối với tọa ñộ trực giao, có thể dùng công thức sau ñây:

2 2 2

2 2 2

j ji m i m

i j m i j m

j ji m i m

i j m i j m

L bL L b b

x x L x L x L L L L

L cL L c c

y y L y L y L L L L

∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + = + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ ∂ ∆ ∂ ∆ ∂

∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + = + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ ∂ ∆ ∂ ∆ ∂

(3.66)

Khi lấy tích phân của hàm tọa ñộ diện tích ñối với phần tử tam giác, có thể dùng công thức sau ñây:

! ! !

2( 2)!

a b ci j m

a b cL L L dxdy

a b c∆

= ∆+ + +∫∫ (3.67)

trong ñó: a,b,c là các số mũ.

Thí dụ:

2

( , , )3

6

12

i

i

i j

i j mL dxdy

L dxdy

L L dxdy

∆

∆

∆

∆=

∆=

∆=

∫∫

∫∫

∫∫

(3.68)

Hình 3.14

PPPTHH �101

3.12. Sử dụng phần tử tam giác bậc cao

Những loại phần tử mà hàm chuyển vị ñược chọn là những ña thức bậc cao, thường gọi là phần tử bậc cao. Khi số nút trong phần tử tăng lên thì bậc của phần tử cũng tăng lên. Thí dụ phần tử tam giác có 6 nút là phần tử bậc hai, phần tử tam giác có 10 nút là phần tử bậc ba (hình 3.14). Sau ñây ta nghiên cứu loại phần tử tam giác bậc hai.

Trên mỗi cạnh của phần tử lấy tăng thêm 1 nút. Như vậy phần tử có 6 nút, 12 bậc tự do. Do ñó ta dùng hàm chuyển vị là ña thức bậc hai ñủ (12 số hạng). Với mô hình này ứng suất trong phần tử sẽ thay ñổi tuyến tính, phản ánh tốt hơn trạng thái ứng suất thực tế, ñồng thời so với phần tử chữ nhật thì nó thích hợp hơn với các dạng biên của phần tử.

Mô hình chuyển vị chọn như sau:

2 2

1 2 3 4 5 6

2 27 8 9 10 11 12

u x y x xy y

v x y x xy y

α α α α α α

α α α α α α

= + + + + +

= + + + + + (3.69)

Nếu sử dụng tọa ñộ trực giao như biểu thức này thì việc xác ñịnh các vectơ tải, ma trận ứng suất, ma trận ñộ cứng v.v… sẽ rất phức tạp. Vì vậy ở ñây ta sử dụng tọa ñộ diện tích.

Trên hình 3.15 ta lấy thêm các nút trung gian 1,2,3 ñối ứng với các nút i,j,m. Tọa ñộ diện tích của chúng , ,i j mL L L ghi trong dấu ngoặc ñơn trên hình vẽ.

Hình 3.15

Các chuyển vị ,u v là hàm của các chuyển vị nút:

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

i i j j m m

i i j j m m

u N u N u N u N u N u N u

v N v N v N v N v N v N v

= + + + + +

= + + + + + (3.70)

trong ñó:

1

2

3

(2 1) , 4

(2 1) , 4

(2 1) , 4

i i i j m

j j j m i

m m m i j

N L L N L L

N L L N L L

N L L N L L

= − =

= − =

= − =

(3.71)

102 � PPPTHH

Viết dưới dạng ma trận:

{ } [ ]{ }δ

uf = = N

v (3.72)

trong ñó: [ ] 1 2 3

1 2 3

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0i j m

i j m

N N N N N NN

N N N N N N

=

(3.73)

{ } 1 2 3 1 2 3

T

i j m i j mu u u u u u v v v v v vδ = (3.74)

Có thể thấy các hàm dạng là các hàm phi tuyến (bậc hai) ñối với tọa ñộ diện tích.

Khi dời tải trọng về nút ta vẫn dùng công thức chung ñể xác ñịnh lực nút tương ñương:

{ } [ ] { }TP N p dV= ∫ (3.75)

Ta xét một vài trường hợp làm thí dụ.

* Trường hợp PTHH có trọng lượng bản thân là G thì

{ }0

Xp G

Yt

= = ∆

(3.76)

trong ñó: ∆ là diện tích, t là bề dày của phần tử. Ta có

{ } [ ] { }e TP N p t dxdy= ∫∫

1 2 3

1 2 3

00 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

T

i j m

i j m

N N N N N NtdxdyGN N N N N N

t

=

∆

1 2 30 0 0 0 0 0 Ti j m

GN N N N N N dxdy = − ∆ ∫∫

(3.77)

Dựa vào công thức tích phân (3.68) ta ñược vectơ lực nút tương ñương:

{ } [ ]0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 13

e TGP = − (3.78)

tức là 1 2 3

1 2 3

0

3

i j m i j mX X X X X X Y Y Y

GY Y Y

= = = = = = = = =

= = = −

Ta thấy chỉ có các nút 1, 2, 3 chịu trọng lượng bản thân.

* Trường hợp cạnh biên PTHH chịu tải trọng phân bố bậc nhất.

PPPTHH �103

Hình 3.16 Trên cạnh ij tải trọng phân bố theo phương x. Ta biết 1iL = tại i và 0jL = tại j

nên ta có thể viết:

{ }0

iX qLp

Y

= =

(3.79)

Thay(2.77) vào công thức xác ñịnh lực nút tương ñương:

{ } [ ] { }Te

P N p tdxdy= ∫

1 2 3

1 2 3

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

T

i j m i

i j m

N N N N N N qLtds

N N N N N N

=

1 2 3 0 0 0 0 0 0T

i j m iqt N N N N N N L ds = ∫ (3.80)

Gọi s là khoảng cách từ một ñiểm a bất kỳ trên cạnh ij ñến nút i, l là ñộ dài của cạnh ij thì ta có

,i is lL ds ldL= = (3.81)

Trên cạnh ij, do 0 , 1m j iL L L= = − nên ta có

( )( ) ( ) ( )

2

2

2 1 2

2 1 1 2 1 1 1 3 2

i i i i i

j j j i i i i

N L L L L

N L L L L L L

= − = −

= − = − − − = − + (3.82)

( )1

2

3

2 1 0

4 0

4 0

4 0

m m m

j m

m i

i j

N L L

N L L

N L L

N L L

= − =

= =

= =

= =

(3.83)

ðem 6 biểu thức này thay vào (3.80) và ñể ý rằng tại nút j thì 0iL = và tại nút i

thì 0jL = khi lấy cận tích phân, ta ñược

104 � PPPTHH

{ }1

2 2 2

0

13 2 2 3 2 3

0

4 3 2 3 4 3 41 1 4

2 2 3

2 1 3 2 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0

2 3 2 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0

1 10 0 0 0 0 0 0 0 0

2 3

1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0

6 3

Te

i i i i i

T

i i i i

T

i i i i i i i

i i i

i i i i

T

P qlt L L L L L L L

qlt L L L L L L L

qlt L L L L L L L

qlt

dL

dL

= − − + −

= − − + −

= − − + −

=

∫

∫

(3.84)

Như vậy:

{ } 1 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 3 3

Te qlt

P

= (3.85)

tức là lực nút tương ñương ñặt ở nút i và nút 3, và có giá trị bằng 1/3 và 2/3 tổng tải trọng phân bố.

Nếu tải trọng ( )q x q const= = (phân bố ñều) tức là

{ }0

qp

=

(3.86)

thì sử dụng công thức trên ta ñược

{ } 1 1 20 0 0 0 0 0 0 0 0

6 6 3

Te

P qlt = (3.87)

Dùng phương pháp cộng tác dụng có thể tìm ñược lực nút tương ñương ñối với dạng tải trọng bề mặt phân bố bất kỳ theo qui luật tuyến tính tác dụng trên biên.

Sau ñây thiết lập ma trận ñộ cứng của phần tử.

Sử dụng công thức (3.66) ta có thể biểu diễn ñược các biến dạng qua chuyển vị. Thí dụ:

31 21 2 3

ji mx i j m

NN N NN Nuu u u u u u

x x x x x x xε

∂∂ ∂ ∂∂ ∂∂= = + + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (3.88)

Dùng công thức ñạo hàm (3.66) và ñể ý ñến (3.71) ta ñược

( )

( )1

( , , )

( , , ,1, 2,3)

4 1

2

4

2

i ii

j m j m

i j m

i j m

b LN

x

b L L bN

x

−∂=

∂ ∆

+∂=

∂ ∆

(3.89)

Từ ñó ta có

PPPTHH �105

[

1 2 3

1(4 1) (4 1) (4 1)

2

4( ) 4( ) 4( )

x i i i j j j m m m

j m j m m i m i i j i j

b L u b L u b L u

b L L b u b L L b u b L L b u

ε = − + − + − +∆

+ + + + +

(3.90)

Bằng cách tương tự, xác ñịnh ñược yε và xyγ . Cuối cùng ta có

{ } [ ]{ }x

y

xy

B

εε ε δ

γ

= =

(3.91)

trong ñó

[ ]{ } { }{ } { }

{ } { }

1

2

2 1

0

0

T T

T T

T T

B

B B

B B

=

(3.92)

{ } [

]

2

1(4 1) (4 1) (4 1)

24( ) 4( ) 4( )

T

i i j j m m

j m j m m i m i i j i j

B c L c L c L

c L L c c L L c c L L c

= − − −∆

+ + +(3.93)

Có thể thấy, các thành phần biến dạng là biểu thức bậc nhất của tọa ñộ diện tích, do ñó cũng là hàm tuyến tính của tọa ñộ trực giao.

Ứng suất trong phần tử là

{ } [ ]{ } [ ][ ]{ }x

y

xy

S D B

σσ σ δ δ

τ

= = =

(3.94)

{ } [1

1(4 1) (4 1) (4 1)

2

4( ) 4( ) 4( )

T

i i j j m m

j m j m m i m i i j i j

B b L b L b L

b L L b b L L b b L L b

= − − −∆

+ + +

106 � PPPTHH

trong ñó:

[ ] [ ][ ]{ } { }{ } { }

{ } { }

{ } { }{ } { }

{ } { }

1

22

2 1

1 2

2 22

2 1

01 0

1 0 01

10 0

2

11 1

2 2

T T

T T

T T

T T

T T

T T

BE

S D B B

B B

B BE

B B

B B

νν

νν

ν

νν

ν ν

= = − −

= − − −

(3.95)

Tại trọng tâm phần tử: 1

3i j mL L L= = =

do ñó ta có { } ( ) ( ) ( )1

1 4 4 4

2 3 3 3 3 3 3

T ji mj m m i i j

bb bB b b b b b b

= + + + ∆

{ } ( ) ( ) ( )2

1 4 4 4

2 3 3 3 3 3 3

T ji mj m m i i j

cc cB c c b b c c

= + + + ∆

(3.96)

ðể ý tới 0i j mb b b+ + = và 0i j mc c c+ + = , biểu thức trên có thể viết ñơn

giản hơn:

{ }

{ }

1

2

14 4 4

61

4 4 46

T

i j m i j m

T

i j m i j m

B b b b b b b

B c c c c c c

= − − − ∆

= − − − ∆

(3.97)

do ñó:

[ ] 2

2 2 2 8 8 8

2 2 2 8 8 812(1 )

(1 ) (1 ) (1 ) 4(1 ) 4(1 ) 4(1 )

2 2 2 8 8 8

2 2 2 8 8 8

(1 ) (1 ) (1 ) 4(1 ) 4(1 )

i j m i j m

i j m i j m

i j m i j m

i j m i j j

i j m i j m

i j m i j

b b b b b bE

S b b b b b b

c c c c c c

c c c c c c

c c c c c c

b b b b b

ν ν ν ν ν νν

ν ν ν ν ν ν

ν ν ν ν ν ν

ν ν ν ν ν

− − −

= − − −− ∆ − − − − − − − − −

− − −

− − −

− − − − − − − 4(1 ) mbν

− −

(3.98)

Bây giờ ta thiết lập ma trận ñộ cứng của phần tử. Ta vẫn dùng quan hệ

{ } [ ]{ }eP k δ=

trong ñó: vectơ tải phần tử

PPPTHH �107

{ } 1 2 3 1 2 3

Te

i j m i j mP U U U U U U V V V V V V = (3.99)

[ ]k là ma trận ñộ cứng cấp 12x12.

Ta ñã biết

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]T Tk B D B tdxdy B S tdxdy= =∫∫ ∫∫ (3.100)

Thay (3.92) và (3.95) vào biểu thức trên rồi tiến hành tích phân, ñồng thời ñể ý tới 0i j mb b b+ + = , 0i j mc c c+ + = và sau khi ñơn giản hóa ta ñược

[ ]

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

T T T

T T

T

k k k k

k k k kk

k k k k

k k k k

=

(3.101)

Các ma trận con trong (3.101) ñược xác ñịnh theo các công thức ở (3.102).

[ ]

2 2

2 211

2 2

6 3(1 )

2 (1 ) 6 3(1 )

2 (1 ) 2 (1 ) 6 3(1 )

i i

j i j i j j

m i m i m j m j m m

b c

k b b c c b c

b b c c b b c c b c

νβ ν ν

ν ν ν

+ −

= − − − + − − − − − − − + −

®x

[ ]21

0 8 4(1 ) 8 4(1 )

8 4(1 ) 0 8 4(1 )

8 4(1 ) 8 4(1 ) 0

j m j m m j m j

i m i m m i m i

i j i j j i j i

b b c c b b c c

k b b c c b b c c

b b c c b b c c

ν νβ ν ν

ν ν

+ − + −

= + − + − + − + −

[ ]31

3(1 ) 2 (1 ) 2 (1 )

2 (1 ) 3(1 ) 2 (1 )

2 (1 ) 2 (1 ) 3(1 )

i i i j i j i m i m

j i j i j j j m j m

m i m i m j m j m m

b c c b b c c b b c

k c b b c b c c b b c

c b b c c b b c b c

ν ν ν ν νβ ν ν ν ν ν

ν ν ν ν ν

+ − − − − − −

= − − − + − − − − − − − − − +

[ ]41

0 8 4(1 ) 8 4(1 )

8 4(1 ) 0 8 4(1 )

8 4(1 ) 8 4(1 ) 0

j m j m m j m j

j m j m m i m i

i j i j j i j i

b c c b b c c b

k b c c b b c c b

b c c b b b c c

ν ν ν νβ ν ν ν ν

ν ν ν

+ − + −

= + − + − + − + −

108 � PPPTHH

[ ]

2 2

2 222

2 2

16 8(1 )

16 8(1 ) 16 8(1 )

16 8(1 ) 2 (1 ) 16 8(1 )

i i

j i j i j j

m i m i m j m j m m

b c

k b b c c b c

b b c c b b c c b c

νβ ν ν

ν ν ν

+ −

= + − + − + − − − − + −

®x

[ ]32

0 8 4(1 ) 8 4(1 )

8 4(1 ) 0 8 4(1 )

8 4(1 ) 8 4(1 ) 0

i m i m i j i j

j m j m j i j i

m j m j m i m i

c b b c c b b c

k c b b c c b b c

c b b c c b b c

ν ν ν νβ ν ν ν ν

ν ν ν ν

+ − + −

= + − + − + − + −

[ ]42

4(1 )

4(1 ) ( ) 4(1 )

4(1 ) ( ) 4(1 ) ( ) 4(1 )

i i

j i j i i i

m i m i m j m j i i

b c

k b c c b b c

b c c b b c c b b c

νβ ν ν

ν ν ν

+ Σ

= + + + Σ + + + + + Σ

®x

[ ]

2 2

2 233

2 2

6 3(1 )

2 (1 ) 6 3(1 )

2 (1 ) 2 (1 ) 6 3(1 )

i i

j i j i j j

m i m i m j m j m m

c b

k c c b b c b

c c b b c c b b c b

νβ ν ν

ν ν ν

+ −

= − − − + − − − − − − − + −

®x

[ ]43

0 8 4(1 ) 8 4(1 )

8 4(1 ) 0 8 4(1 )

8 4(1 ) 8 4(1 ) 0

j m j m m j m j

i m i m m i m i

i j i j j i j i

c c b b c c b b

k c c b b c c b b

c c b b c c b b

ν νβ ν ν

ν ν

+ − + −

= + − + − + − + −

[ ]

2 2

2 244

2 2

16 8(1 )

16 8(1 ) 16 8(1 )

16 8(1 ) 2 (1 ) 16 8(1 )

i i

j i j i j j

m i m i m j m j m m

c b

k c c b b c b

c c b b c c b b c b

νβ ν ν

ν ν ν

+ −

= + − + − + − − − − + −

®x

(3.102)

trong ñó: 224(1 )

i i i i j j m mb c b c b c b c

Etβ

ν

Σ = + +

=− ∆

PPPTHH �109

Câu hỏi ôn tập

1. Khi phân tích bài toán phẳng của Lý thuyết ñàn hồi, người ta thường sử dụng các loại phần tử nào? Nêu vài thí dụ về chia mạng lưới phần tử trong bài toán phẳng.

2. So sánh hàm chuyển vị của bài toán phẳng với bài toán hệ thanh.

3. Trình bày cách thiết lập ma trận ñộ cứng của phần tử tam giác và phần tử chữ nhật.

4. Có gì giống nhau và khác nhau khi phân tích bài toán ứng suất phẳng và bài toán biến dạng phẳng theo phương pháp phần tử hữu hạn?

110 � PPPTHH

Chương 4

BÀI TOÁN ðỐI XỨNG TRỤC

4.1. Mở ñầu

Bài toán xác ñịnh trạng thái ứng suất trong vật thể tròn xoay chịu tải trọng ñối xứng trục có ý nghĩa quan trọng trong thực tế. Về mặt toán học, bài toán này rất giống bài toán ứng suất phẳng và bài toán biến dạng phẳng. Do tính ñối xứng trục, hai thành phần chuyển vị tại một ñiểm trên tiết diện ñi qua trục ñối xứng hoàn toàn xác ñịnh một trạng thái biến dạng, và từ ñó xác ñịnh một trạng thái ứng suất (hình 4.1).

Gọi r và z là tọa ñộ bán kính và tọa ñộ trục, u và v là các chuyển vị tương ứng với các tọa ñộ ñó. Dễ dàng nhận thấy rằng, các hàm chuyển vị mà ta ñã dùng ñối với phần tử tam giác phẳng ở chương 3 cũng có thể dùng ñể xác ñịnh chuyển vị của phần tử tam giác ijm vẽ trên hình 4.1.

Hình 4.1

Phần tử hữu hạn thường dùng là loại phần tử vành có tiết diện tam giác hoặc chữ nhật. Các phần tử vành liên kết với nhau bằng các vòng khớp. Giao ñiểm của các vòng khớp với mặt phẳng rz là các nút. Các phần tử sẽ hình thành một mạng lưới trên mặt rz, giống như mạng lưới các phần tử trên mặt xy ở bài toán phẳng.

4.2. Phần tử vành tiết diện tam giác

4.2.1. Hàm chuyển vị

Tiết diện của phần tử vành có dạng tam giác như trên hình 4.2, với các nút i,j,m ñánh số theo ngược chiều quay kim ñồng hồ.

Chuyển vị tại nút i ñược xác ñịnh bởi hai thành phần:

{ } ii

i

u

vδ

=

(4.1)

PPPTHH �111

còn vectơ chuyển vị nút của phần tử có dạng:

{ }

i

ii

jj

jm

m

m

u

v

u

v

u

v

δ

δ δδ

= =

(4.2)

Hình 4.2

Tương tự như bài toán phẳng, ta chọn mô hình chuyển vị như sau:

1 2 3

4 5 6

( , )

( , )

u r z r z

v r z r z

α α α

α α α

= + +

= + + (4.3)

Trường chuyển vị cũng có dạng:

{ } [ ]{ } { }i j m

uf N IN IN IN

vδ δ

= = =

(4.4)

trong ñó: I là ma trận ñơn vị cấp 2x2, và

( ) ( , , )/ 2i i i i i j mN a b r c z= + + ∆ (4.5)

với

11

12

1

i i

j j

m m

r z

r z

r z

∆ =

(4.6)

i j m m j

i j m

a r z r z

b z z

= −

= −

( , , )i m j i j mc r r= − (4.7)

112 � PPPTHH

hay có thể viết i i j j m m

i i j j m m

u N u N u N u

v N v N v N v

= + +

= + + (4.8)

4.2.2. Biến dạng

Một cách tổng quát, ở trạng thái ñối xứng trục có 4 thành phần biến dạng, và tương ứng với nó có 4 thành phần ứng suất, biểu diễn trên phân tố ở hình 4.3. Thay (4.8) vào phương trình hình học ñã biết ở Lý thuyết ñàn hồi ta có

Hình 4.3

{ }

0 0 0

0 0 0

0 0 0

i

i j m ir

i j m j

i j m jz

i i j j m m mzr

m

uur

b b b vuf f f ur

c c c vv

z c b c b c b uv u vr z

θ

εε

εεε

∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ ∂ +

∂ ∂

(4.9)

trong ñó: ( , , )i ii i i j m

a c zf b

r r= + + (4.10)

hoặc có thể viết gọn hơn:

{ } [ ]{ } { }i j mB B B Bε δ δ = = (4.11)

trong ñó: [ ] ( , , )

0

01

02

i

ii

i

i i

i j m

b

fB

c

c b

= ∆

(4.12)

Vì ma trận [ ]B chứa các tọa ñộ r và z nên biến dạng trong phần tử không phải là

hằng số như trong trường hợp bài toàn phẳng. ðó là do có thêm thành phần θε trong biểu

thức { }ε . Nếu các chuyển vị u tỉ lệ với r thì lúc ñó tất cả các biến dạng là hằng số trong

mặt phẳng của tiết diện.

PPPTHH �113

Trong trường hợp xét tới biến dạng do sự thay ñổi nhiệt ñộ gây ra thì vectơ biến dạng nhiệt là

{ }

ro

o

zo

rzo

θ

ε

εε

εε

=

(4.13)

Vectơ này có giá trị không ñổi trong phần tử. ðối với vật liệu ñẳng hướng ta có

{ }

0

o

T

T

T

αα

εα

=

(4.14)

trong ñó: T là ñộ tăng nhiệt ñộ trung bình trong phần tử, α là hệ số nở nhiệt.

4.2.3. Ma trận ñàn hồi

Ma trận ñàn hồi [ ]D biểu thị quan hệ giữa biến dạng và ứng suất. Ta có

{ } [ ] { } { }( )r

oz

rz

Dθ

σσ

σ ε εστ

= = −

(4.15)

ðối với vật liệu ñẳng hướng, từ ñịnh luật Hooke rút ra

[ ]

1 01 1

1 0(1 ) 1 1

(1 )(1 2 ) 1 01 1

1 20 0 0

2(1 )

ED

ν νν ν

ν νν ν ν

ν νν νν ν

νν

− − − − −

= + −

− − −

−

(4.16)

4.3. Ma trận ñộ cứng

Sử dụng công thức tổng quát

[ ] [ ] [ ][ ]T

V

k B D B dV= ∫ (4.17)

và chú ý rằng ở ñây phải tích phân trên toàn bộ thể tích phần tử vành. Ta có

[ ] [ ] [ ][ ]2T

k B D B rdrdzπ= ∫ (4.18)

114 � PPPTHH

Thực hiện phép tính trên ñây không ñơn giản như trong bài toán phẳng, bởi vì [ ]B

phụ thuộc vào các tọa ñộ. Có hai cách thực hiện, hoặc là tích phân số, hoặc là tiến hành nhân ma trận rồi tích phân từng số hạng một. Cũng có thể tính gần ñúng bằng cách thay giá trị của r và z trong [ ]B bằng

( ) / 3

( ) / 3

i j m

i j m

r r r r

z z z z

= + +

= + + (4.19)

tức là tính [ ]B ñối với trọng tâm tiết diện phần tử. Vì r và z là hằng số nên từ (4.17)

ta có: [ ] [ ] [ ][ ]2T

k r B D Bπ= ∆ (4.20)

trong ñó: ∆ là diện tích tam giác ijm. Hoặc viết (4.19) dưới dạng

[ ]ii ij im

ji jj jm

mi mj mm

k k k

k k k k

k k k

=

(4.21)

trong ñó các ma trận con rsk là ma trận cấp 2x2 ñược tính như sau:

[ ] 1 2 1 2

1 2 2

( , , , , )

( ) ( )(1 )

( )2 (1 )(1 2 )r s r s r s r s r s r s r s r s

rsr s r s r s r s r s

r i j m s i j m

b b f f A b f f b A c c A b c f c A c bErk

A c b c f A b c c c A b b

π νν ν

= =

+ + + + + + −= + + +∆ + −

(4.22)

với 1 2

1 2,

1 2(1 )A A

ν νν ν

−= =

− −

4.4. Ngoại lực nút và lực nút tương ñương

Ngoại lực nút ở ñây cần hiểu là tải trọng tác dụng lên các ñường nút, tức là các ñường chu vi vành. Nếu gọi R là thành phần ngoại lực nút theo phương bán kính phân bố ñều trên một ñơn vị chiều dài của vành có bán kính r, thì khi tính ta phải lấy ngoại lực nút là 2 rRπ . Tương tự như vậy, theo phương trục ñối xứng của vật thể ta phải lấy ngoại lực nút là 2 rZπ .

Trường hợp trong phần tử có lực thể tích, thí dụ trọng lượng của phần tử hoặc lực li tâm tác dụng ñối xứng với trục z, ta ký hiệu lực phân bố trong một ñơn vị thể tích của vật thể theo phương r và phương z là

{ }R

pZ

=

(4.23)

Lực nút tương ñương trong trường hợp này tính theo công thức

{ } [ ]2Te R

P N rdrdzZ

π

=

∫ (4.24)

PPPTHH �115

hoặc các thành phần của nó

{ } [ ]

{ }

{ } [ ]

2

2

2

i i

j j

m m

RP N rdrdz

Z

RP N rdrdz

Z

RP N rdrdz

Z

π

π

π

=

=

=

∫

∫

∫

(4.25)

Nếu lực thể tích là hằng số và chọn gốc tọa ñộ là trọng tâm tam giác thì ta có

{ } { } { } 2 / 3i j m

RP P P r

Zπ

= = = ∆

tức là lực thể tích phân ñều lên 3 nút.

Trường hợp có tải trọng bề mặt, có thể sử dụng các công thức dời tải trọng trong bài toán phẳng. Thí dụ trên cạnh ij có tải trọng phân bố tam giác theo phương r hoặc phương z, mật ñộ tải trọng tại i là p và tại j là 0 thì phải dời 2/3 tổng tải trọng tới nút i, và dời 1/3 tới nút j.

4.5. Tính ứng suất

Sau khi thiết lập ñược ma trận ñộ cứng của các phần tử, từ ñó ñược ma trận ñộ cứng tổng thể và xây dựng ñược vectơ tải tổng thể, ta có thể xác ñịnh ñược các chuyển vị nút bằng cách thành lập và giải hệ phương trình dạng

[ ]{ } { }K P∆ =

Việc xác ñịnh ứng suất trong phần tử cũng thực hiện tương tự như các phần ñã nói ở trên.

Câu hỏi ôn tập

1. ðặc ñiểm của bài toán ñối xứng trục.Loại phần tử nào thường ñược dùng trong bài toán ñối xứng trục?

2. Viết và giải thích biểu thức ma trận ñộ cứng của phần tử vành sử dụng trong bài toán ñối xứng trục.

Chương 5

5.1. BÀI TOÁN KHÔNG GIAN

5.2. Sơ ñồ tính. Phần tử tứ diện

Trong phần này sẽ giới thiệu các quan hệ và công thức cơ bản nhất khi sử dụng phương pháp PTHH ñể giải bài toán không gian của Lý thuyết ñàn hồi dựa trên các hiểu biết ñã ñề cập ở các phần trước. ðối tượng của bài toán là những vật thể hình khối, trong ñó các trường ứng suất, biến dạng và chuyển vị ñược biểu diễn bằng những hàm của ba biến x,

Vật thể khối ñàn hồi liên tục (dầm lớn, ống vỏ dày, nền móng, thân máy…) ñược rời rạc hóa thành một tập hợp các phần tử hình khối (phần tử ba chiều). Các phần tử liên kết với nhau tại các nút bằng các khớp không gian. Khi theo một phương nào ñó không có chuyển vị thì người ta gắn theo phương ñó một gối khớp không gian. Có nhiều loại phần tử khác nhau, với số nút và bậc tự do khác nhau. Hai loại phần tử thường hay dùng là phần tử tứ diện có 4 ñiểm nút và phần tử lục diện có 8 ñiểm nút (hình 5.1). Ngoài ra sử dụng phần tử bậc cao và phần tử ñẳng tham số cũng rất có hiệu quả khi giải bài toán loại này.

So với bài toán phẳng thì bài toán không gian có khối lượng tính toán lớn hơn rất nhiều. Nếu chọn hàm xấp xỉ của chuyển vị có dạng giống như bài toán phẳng thì số nút tăng lên dẫn ñến số bậc tự do tăng và bề rộng dải của ma trận ñộ cứng cũng tăng. Thí dụ, Nếu trong bài toán phẳng lấy mạng lưới 10 x10 có 100 nút, số phương trình là 200 và bề rộng dải là 20, thì trong bài toán không gian tương ñương, với mạng lưới 10 x 10 x10, số nút là 1000, số phương trình là 3000 và bề rộng dải là 300. Nếu lấy mạng lưới 30 x30 thì trong bài toán phẳng số phương trình là 1800, bề rộng dải 60, còn trong bài toán không gian là 81000 phương trình, bề rộng dải 2700. Nghĩa là khối lượng tính toán tăng lên rất nhiều. Vì vậy chọn dạng phần tử hợp lý trong bài toàn không gian là rất quan trọng.

Sau ñây giới thiệu cách sử dụng phần tử tứ diện tuyến tính và phần tử ñẳng tham số.

Hình 5.1

PPPTHH �115

Ta xét một phần tử tứ diện có 4 nút i, j, m, p (hình 5.2). Vectơ chuyển vị nút có dạng

{ }T

i i i j j j m m m p p pu v w u v w u v w u v wδ = (5.1)

Vectơ tải phần tử có dạng

{ }Te

i i i j j j m m m p p pP U V W U V W U V W U V W = (5.2)

ðể tìm ứng suất sau khi xác ñịnh ñược chuyển vị nút ta vẫn sử dụng quan hệ:

{ } [ ][ ]{ } [ ]{ }D B Sσ δ δ= =

trong ñó vectơ ứng suất gồm 6 thành phần:

{ }T

x y z xy yz zxσ σ σ σ τ τ τ =

5.2. Hàm chuyển vị

Hình 5.2

ðặt phần tử tứ diện ijmp trong hệ tọa ñộ không gian xyz. Trạng thái chuyển vị của một ñiểm bất kỳ trong phần tử ñược xác ñịnh bởi 3 thành phần chuyển vị u, v, w tương ứng với 3 phương x,y,z. Ta có

{ }

u

f = v

w

(5.3)

Ta biết rằng vị trí của tứ diện phụ thuộc hoàn toàn vào vị trí 4 ñiểm nút, tức là phụ thuộc vào 12 thành phần chuyển vị nút. Do ñó có thể giả thiết hàm chuyển vị có dạng sau ñây:

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

u x y z

v x y z

x y z

α α α α

α α α α

α α α α

= + + +

= + + +

= + + +w

(5.4)

Tại các nút i, j, m, p ta có

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

i i i i

j j j j

m m m m

p p p p

u x y z

u x y z

u x y z

u x y z

α α α α

α α α α

α α α α

α α α α

= + + +

= + + +

= + + +

= + + +

(5.5)

Giải hệ phương trình trên ñối với 1 2 3 4, , ,α α α α , sau ñó thay lại vào (5.4) ta ñược

biểu thức liên hệ giữa chuyển vị u và các chuyển vị nút:

1( ) ( )

6

( ) ( )

i i i i i j j j j j

m m m m m p p p p p

u a b x c y d z u a b x c y d z uV

a b x c y d z u a b x c y d z u

= + + + − + + +

+ + + + − + + +

(5.6)

trong ñó: V là thể tích của tứ diện ijmp:

1

1116

1

i i i

j j j

m m m

p p p

x y z

x y zV

x y z

x y z

= (5.7)

Còn các hệ số , ,...,i i pa b d là:

j j j

i m m m

p p p

x y z

a x y z

x y z

=

1

1

1

j j

i m m

p p

y z

b y z

y z

= −

( , , , )

1

1

1

1

1

1

j j

i m m

p p

j j

i m m

p p

i j m p

x z

c x z

x z

x y

d x y

x y

= −

= − (5.8)

ðể cho thể tích V của tứ diện không mang giá trị âm thì các số hiệu nút i, j,m,p phải xác ñịnh theo qui tắc vặn nút chai: khi i,j,m quay theo chiều → →i j m thì p hướng ñi lên.

PPPTHH �117

Bằng cách tương tự ta ñược các biểu thức ñối với các chuyển vị còn lại:

1( ) ( )

6

( ) ( )

i i i i i j j j j j

m m m m m p p p p p

v a b x c y d z v a b x c y d z vV

a b x c y d z v a b x c y d z v

= + + + − + + +

+ + + + − + + +

(5.9)

1( ) ( )

6

( ) ( )

i i i i i j j j j j

m m m m m p p p p p

w a b x c y d z w a b x c y d z wV

a b x c y d z w a b x c y d z w

= + + + − + + +

+ + + + − + + +

(5.10)

Thay (5.6),(5.9) và (5.10) vào (5.3) ñược vectơ chuyển vị

{ } [ ]{ } { }i j m pf N IN IN IN INδ δ = =

trong ñó: I là ma trận ñơn vị cấp 3x3, và

( ) / 6

( ) / 6

( ) / 6

( ) / 6

i i i i i

j j j j j

m m m m m

p p p p p

N a b x c y d z V

N a b x c y d z V

N a b x c y d z V

N a b x c y d z V

= + + +

= + + +

= + + +

= + + +

(5.11)

Dễ dàng thấy rằng, do hàm chuyển vị là tuyến tính, các mặt biên chung của hai phần tử lân cận vẫn liền nhau, tức là ñảm bảo ñiều kiện liên tục.

5.3. Biến dạng và ứng suất. Ma trận ñàn hồi

Theo lý thuyết biến dạng tuyến tính ta có vectơ biến dạng gồm 6 thành phần:

{ }

x

y

z

xy

yz

zx

u

xv

y

w

zu v

y x

v w

z y

w u

x z

εεε

εγγγ

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

= = ∂ ∂ +∂ ∂

∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂

(5.12)

Thay (5.6), (5.9), (5.10) vào biểu thức trên ta có

{ } [ ]{ } { }i j m pB B B B Bε δ δ = = − − (5.13)

trong ñó:

[ ] ( , , , )

0 0

0 00 0

0 00 0

0 01060

0

00

0

i

i

i

ii

ii

i i i i

i i

i i i i

i i

i j m p

N

xN

bycN

dzB

N N c bVy x d c

N N d bz y

N N

z x

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

= = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

(5.14)

Ta thấy các thành phần trong [ ]B ñều là hằng số, nên biến dạng trong phần tử là

hằng số.

Ứng suất trong phần tử cũng có thể biểu diễn qua chuyển vị nút:

{ } [ ]{ }Sσ δ=

trong ñó:

[ ] i j m pS S S S S = − −

với

[ ]

1 1

1 1

1 1

2 2

2 2

2 2

( , , , )(1 )

06(1 )(1 2 )

0

0

i i i

i i i

i i ii

i i

i i

i i

i j m p

b A c A d

Ab c A d

Ab A c dES

A c A bV

A d A c

A d A b

νν ν

−

= + −

(5.15)

1 2

1 2,

1 2(1 )A A

ν νν ν

−= =

− − (5.16)

Rõ ràng là ứng suất trong mỗi phần tử cũng là hằng số.

PPPTHH �119

Ma trận ñàn hồi ñối với vật liệu ñẳng hướng có dạng:

[ ]

1 0 0 0(1 ) (1 )

1 0 0 0(1 )

1 0 0 0(1 )

1 20 0(1 )(1 2 )

2(1 )

1 20

2(1 )

1 2

2(1 )

ED

ν νν ν

νν

νν

ν νν

νν

νν

− − −

− = − + − − − − − −

®èi

xøng

(5.17)

5.4. Ma trận ñộ cứng Trước ñây ta ñã thành lập ñược biểu thức tổng quát của ma trận ñộ cứng của

phần tử:

[ ] [ ] [ ][ ]T

V

k B D B dV= ∫

Vì các thành phần trong [ ]B là hằng số nên ta có

[ ] [ ] [ ][ ]Tk B D B V= (5.18)

Cũng có thể viết

[ ]

ii ij im ip

ji jj jm jp

mi mj mm mp

pi pj pm pp

k k k k

k k k kk

k k k k

k k k k

− − − − = − − − −

(5.19)

Các thành phần ( , , , ; , , , )rsk r i j m p r i j m p= = trong ma trận trên ñược tính

như sau:

[ ]2 1 2 1 2

1 2 2 1 2

1 2 1 2 2

( )(1 )

( )36(1 )(1 2 )

( )

r s r s r s r s r s r s r s

rs r s r s r s r s r s r s r s

r s r s r s r s r s r s r s

b b A c c d d Ab c A c b Ab d A d bE

k Ac b A b c c c A b b d d Ac d A d cV

Ad b A b d Ad c A c d d d A b b c c

νν ν

+ + + + − = + + + + + −

+ + + +

(5.20)

5.5. Dời tải trọng về nút

Việc dời các tải trọng tác dụng trong phần tử về bốn nút cũng vẫn dựa trên nguyên lý công ảo, tuy nhiên việc tính toán tương ñối phức tạp, ở ñây chỉ giới thiệu kết quả ñối với một số trường hợp.

* Lực thể tích có mật ñộ là p:

{ }X

p Y

Z

=

Các lực nút tương ñương là

{ } [ ] { }e T

V

P N p dV= ∫ (5.21)

Các thành phần của nó là

{ }i i

V

P N p dV= ∫ (5.22)

Thí dụ, trọng lượng bản thân của phần tử là Vγ , trong ñó γ là trọng lượng riêng, ñược phân ñều lên 4 nút:

{ } 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0

4 4 4 4

Te

P Vγ = − (5.23)

* Tải trọng phân bố bậc nhất lên một mặt bên của tứ diện và vuông góc với mặt ñó, thí dụ áp lực thủy tĩnh tác dụng lên mặt ijm.

Gọi mật ñộ phân bố tại các nút i, j, m là , ,i j mq q q thì lực nút tương ñương theo

phương vuông góc với mặt ijm là

1 1 1

6 2 2

1 1 1

6 2 2

1 1 1

6 2 2

i i j m ijm

j j i m ijm

m m i j ijm

P q q q

P q q q

P q q q

= + + ∆

= + + ∆

= + + ∆

(5.24)

trong ñó: ijm∆ là diện tích của mặt ijm.

5.6. Ứng suất nhiệt Cũng giống như trong bài toán phẳng, ở ñây ta vẫn sử dụng quan hệ vật lý

{ } [ ] { } { }( )oD= −σ ε ε

PPPTHH �121

trong ñó: { }

1

1

1

0 0

0 0

0 0

o

T

T

TT

ααα

ε α

= =

(5.25)

Từ ñó ta có { } [ ][ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }o oD B D S Dσ δ ε δ ε= − = − (5.26)

Ma trận [ ]S tính theo công thức (5.15). Lực nút tương ñương

{ } [ ]{ } [ ] [ ]{ }e T

oP k B D Vδ ε= − (5.27)

Số hạng thứ hai ở vế phải

{ } [ ] [ ]{ }e T

oR B D Vε=

biểu thị lực nút tương ñương do ảnh hưởng của thay ñổi nhiệt. Thay [ ]B ở (5.14), [ ]D ở (5.17) và { }oε ở (5.25) vào biểu thức này ta ñược

{ }( )

6(1 2 ) 24(1 2 )

i i

i i

i i

j j

j j

e j ji j m p

m m

m m

m m

p p

p p

p p

X b

Y c

Z d

X b

Y c

Z dE T T T TE TR

X b

Y c

Z d

X b

Y c

Z d

ααν ν

− −

−+ + + = = =

− − −

− −

(5.28)

trong ñó: , , ,i j m pT T T T là thay ñổi nhiệt ñộ ở các nút, có thể lấy giá trị trung

bình của chúng T thay cho ñộ thay ñổi nhiệt ñộ của phần tử.

5.7. Về cách chia phân tử

a) b)

Hình 5.3

Giả sử ta xét một tường chắn như trên hình 5.3a. Nếu dùng các mặt cắt song song với các mặt phẳng tọa ñộ ñể chia kết cấu thành các phần tử rời rạc, ta sẽ ñược hai loại phần tử: phần tử lăng trụ tứ giác gồm 8 ñiểm nút và loại phần tử lăng trụ tam giác gồm 6 ñiểm nút.

Lại có thể dùng một mặt cắt chéo ñể chia một phần tử lăng trụ tứ giác thành hai phần tử lăng trụ tam giác. Có thể ñưa hai loại phần tử này về loại phần tử tứ diện bằng cách dùng một số mặt cắt chéo. Thí dụ, lăng trụ tam giác trên hình 5.3b có thể phân thành 3 hình tứ diện: ABCD, EBFD và FBCD. Như vậy ta có thể sử dụng tất cả các công thức ñã trình bày trên ñây.

Tuy nhiên cách chia vật thể khối thành các phần tử tứ diện như trên ñây thường làm cho mạng lưới dễ bị rối, và việc ñánh số nút cũng dễ bị lầm lẫn. Trong nhiều trường hợp, sẽ thuận tiện hơn. Nếu ta chia vật thể thành các khối có dạng hộp (hình 5.4) có 6 mặt với 8 ñiểm nút.

Hình 5.4

Phần tử loại này có tất cả 24 bậc tự do, tức là cũng có thể lấy 24 thông số chưa biết trong các biểu thức biểu diễn qui luật gần ñúng của chuyển vị. Nhờ ñó, trạng thái ứng suất và biến dạng trong phần tử ñược miêu tả chính xác hơn. Chẳng hạn, giả thiết các thành phần chuyển vị ñược biểu diễn gần ñúng bằng ña thức:

21 2 3 4 5 6 7 8

29 10 11 12 13 14 15 16

217 18 19 20 21 22 23 24

u x y z xy yz zx x

v x y z xy yz zx y

w x y z xy yz zx z

α α α α α α α α

α α α α α α α α

α α α α α α α α

= + + + + + + +

= + + + + + + +

= + + + + + + +

(5.29)

PPPTHH �123

Cách thiết lập ma trận ñộ cứng cũng tương tự như ñối với phần tử tứ diện, ở ñây không trình bày lại.

Ta xem một thí dụ ñơn giản về bài toán không gian vẽ trên hình 5.5. ðó là bài toán Boussinesq quen thuộc ñối với nửa không gian ñàn hồi chịu lực tập trung theo phương thẳng ñứng. Nửa không gian ñược thay bằng hình hộp 6 mặt. Do tính ñối xứng trên hình vẽ chỉ thể hiện một góc phần tư. Vùng ở gần ñiểm ñặt lực tập trung, các phần tử khối lấy kích thước nhỏ hơn.

ðiều kiện biên lấy như sau:

0u v w= = = trên mặt ABCD tức là ở vùng ñủ xa ñiểm ñặt lực;

0u = trên mặt AEHD và 0v = trên mặt AEFB vì lý do ñối xứng.

Các biên khác tự do.

Hình 5.5

5.8. Khái niệm về phần tử ñẳng tham số

Ta bắt ñầu từ một phần tử tứ giác phẳng có hình dạng bất kỳ ñể tìm hiểu một số khái niệm cơ bản về phần tử ñẳng tham số (nhưng mục ñích là ñể dùng vào phần tử ñẳng tham số trong bài toán không gian).

Như trên ñã nói, ñối với bài toán phẳng, loại phần tử có 3 ñiểm nút ñược dùng nhiều nhất, sau ñó là phần tử chữ nhật có 4 ñiểm nút. ðối với phần tử chữ nhật do mô hình chuyển vị là hàm bậc hai của tọa ñộ nên ứng suất trong phần tử không phải là hằng số mà là thay ñổi tuyến tính, cho nên nó có thể phản ánh tốt hơn tình hình phân bố ứng suất so với phần tử tam giác. Nhưng phần tử chữ nhật không thích hợp với vật thể có biên cong hoặc các biên không trực giao cũng như kích thước phần tử không dễ tùy ý thay ñổi. Nếu bây giờ ta sử dụng một loại phần tử tứ giác bất kỳ như hình 5.6 mà vẫn dùng mô hình chuyển vị của phần tử chữ nhật thì ở trên biên chung của hai phần tử lân cận chuyển vị sẽ không phải là thay ñổi tuyến tính nữa, do ñó tính liên tục của chuyển vị ở biên chung không ñược bảo ñảm. Sử dụng phương pháp biến ñổi tọa ñộ ta có thể giải quyết ñược mâu thuẫn này.

Hình 5.6 Hình 5.7

Trên hình 5.6 là một phần tử tứ giác bất kỳ. Ta dùng hai họ ñường thẳng phân ñều bốn cạnh. Lấy trung tâm của hai họ này ( 0ξ η= = ) làm gốc, vẽ các trục ξ và η theo các phương tăng của ξ và η , ñồng thời lấy giá trị ở trên bốn biên là 1± , ta sẽ ñược một hệ tọa ñộ mới. Hệ tọa ñộ này là hệ tọa ñộ cục bộ, chỉ dùng trong phạm vi phần tử.

Sau ñây ta xây dựng mô hình chuyển vị cũng như thành lập công thức biến ñổi tọa ñộ giữa tọa ñộ cục bộ và tọa ñộ tổng quát x,y. ðể ñơn giản ta xem xét một phần tử hình vuông bốn nút (hình 5.7).

Như ta ñã biết ở Chương III, mô hình chuyển vị của phần tử này là:

1 1 2 2 3 3 4 4

1 1 2 2 3 3 4 4

u N u N u N u N u

v N v N v N v N v

= + + +

= + + + (5.30)

trong ñó các hàm dạng:

1

2

3

4

1(1 )(1 )

41

(1 )(1 )41

(1 )(1 )41

(1 )(1 )4

N

N

N

N

ξ η

ξ η

ξ η

ξ η

= − −

= + −

= − +

= + +

(5.31)

Cũng có thể ñưa vào biến mới:

( 1, 2,3, 4),o i o i iξ ξ ξ η η η == =

Thay vào (5.31) và viết chung vào một biểu thức:

( 1, 2,3, 4)1

(1 )(1 )4i o o iN ξ η == + + (5.32)

ðem mô hình chuyển vị (5.30) và hàm dạng (5.31) hoặc (5.32) dùng vào phần tử tứ giác ở hình 5.7 và quan niệm ξ và η là tọa ñộ cục bộ của phần tử ñó thì có thể thấy

PPPTHH �125

rõ, mô hình chuyển vị (5.30) sẽ cho các chuyển vị tại bốn nút, và trên các cạnh của phần tử chuyển vị sẽ thay ñổi tuyến tính, do ñó bảo ñảm ñược tính liên tục của chuyển vị. Do ñó (5.30) là mô hình chuyển vị cần tìm. ðồng thời theo (5.30) công thức biến ñổi tọa ñộ là:

1 1 2 2 3 3 4 4

1 1 2 2 3 3 4 4

x N x N x N x N x

y N y N y N y N y

= + + +

= + + + (5.33)

nghĩa là công thức này sẽ cho các tọa ñộ tổng thể tại bốn nút, và trên bốn cạnh của phần tử thì một tọa ñộ cục bộ bằng 1± còn tọa ñộ cục bộ còn lại là thay ñổi tuyến tính. Do ñó (5.33) là công thức biến ñổi tọa ñộ cần tìm.

Như vậy có thể hiểu rằng phần tử hình vuông ở hình 5.7 là phần tử cơ bản, còn phần tử tứ giác bất kỳ ở hình 5.6 là phần tử thực tế do phần tử cơ bản qua biến ñổi mà thành. Do ñó trong biểu thức mô hình chuyển vị và trong biểu thức biến ñổi tọa ñộ ta dùng chung một hàm dạng, vì lẽ ñó phần tử thực tế này ñược gọi là phần tử ñẳng tham số hoặc phần tử ñồng tham số.

Phương pháp biến ñổi trên ñây có thể suy rộng ñối với những phần tử có nhiều nút hơn, thí dụ ñối với phần tử thực tế ở hình 5.8 có tám nút và bốn cạnh cong. ðể thiết lập mô hình chuyển vị có thể lấy phần tử cơ bản là phần tử hình vuông tám nút như hình 5.9.

Hình 5.8 Hình 5.9

Mô hình chuyển vị của phần tử cơ bản là:

8 8

1 1

,i i i ii i

u N u v N v= =

= =∑ ∑ (5.34)

trong ñó các hàm dạng là:

1 2

3 4

2 25 6

2 27 8

1 1(1 )(1 )( 1) , (1 )(1 )( 1)

4 41 1

(1 )(1 )( 1) , (1 )(1 )( 1)4 41 1

(1 )(1 ) , (1 )(1 )2 21 1

(1 )(1 ) , (1 )(1 )2 2

N N

N N

N N

N N

ξ η ξ η ξ η ξ η

ξ η ξ η ξ η ξ η

ξ η ξ η

η ξ η ξ

= − − − − − = + − − −

= − + − + − = + + + −

= − − = − +

= − − = − +

(5.35)

hoặc

2

2

( 1, 2, 3, 4)

( 5, 6)

( 7,8)

1(1 )(1 )( 1)

41

(1 )(1 )21

(1 )(1 )2

i o o o o

i o

i o

i

i

i

N

N

N

ξ η ξ η

ξ η

η ξ

=

=

=

= + + + −

= − +

= − +

(5.36)

Mô hình chuyển vị (5.34) sẽ cho các chuyển vị tại 8 nút. ðồng thời ở trên mỗi cạnh của hình vuông thì có tọa ñộ bằng 1± , do ñó ñều là hàm bậc hai của tọa ñộ còn lại. Vì vậy chỉ cần 3 nút trên biên chung của hai phần tử lân cận có cùng chuyển vị thì tính liên tục của chuyển vị ñược ñảm bảo.

ðem mô hình (5.34) và các hàm dạng (5.35) hoặc (5.36) ñưa vào phần tử thực tế ở hình (5.9), có thể thấy ñó chính là mô hình chuyển vị cần tìm. ðồng thời công thức biến ñổi tọa ñộ là:

8 8

1 1

,i i i ii i

x N x y N y= =

= =∑ ∑ (5.37)

tức là từ ñó xác ñịnh ñược tọa ñộ ở 8 nút. Trên một biên nào ñó luôn luôn có một tọa ñộ cục bộ bằng 1± , ñồng thời x và y ñều là biểu thức bậc hai của tọa ñộ cục bộ còn lại, do ñó ñường cong biên là ñường cong bậc hai (khi chia phần tử các tọa ñộ tổng thể của 8 nút phải xác ñịnh chính xác rồi từ ñó vẽ các ñường cong).

ðể nâng cao ñộ chính xác có thể chọn phần tử cơ bản có nhiều nút hơn, sử dụng phần tử bậc cao hơn dẫn ñến phần tử thực tế cũng có bậc cao hơn. ðương nhiên lúc ñó khối lượng tính toán sẽ tăng nhiều.

Bây giờ ta xét ñến phần tử không gian.

Cách tính toán ñối với phần tử không gian cũng tương tự như ñối với phần tử phẳng. Thí dụ ñối với phần tử cơ bản hình lập phương có 8 nút (hình 5.10) có thể căn cứ vào (5.30) và (5.33) có thể chọn mô hình chuyển vị và biểu thức biến ñổi tọa ñộ như sau:

PPPTHH �127

8 8 8

1 1 1

8 8 8

1 1 1

, ,

, ,

i i i i i ii i i

i i i i i ii i i

u N u v N v w N w

x N x y N y z N z

= = =

= = =

= = =

= = =

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

trong ñó:

1 1

(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )8 8i i i i o o oN ξ ξ ηη ζ ζ ξ η ζ= + + + = + + +

ðối với phần tử cơ bản hình lập phương có 20 nút (hình 5.11) ta có

20 20 20

1 1 1

20 20 20

1 1 1

, ,

, ,

i i i i i ii i i

i i i i i ii i i

u N u v N v w N w

x N x y N y z N z

= = =

= = =

= = =

= = =

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

trong ñó:

2

2

2

( 1, 2, ...,8)

( 9,10,11,12)

( 13,14,15,16)

( 17,18,19, 20)

1(1 )(1 )(1 )( 2)

81

(1 )(1 )(1 )41

(1 )(1 )(1 )41

(1 )(1 )(1 )4

i o o o o o o

i o o

i o o

i o o

i

i

i

i

N

N

N

N

ξ η ζ ξ η ζ

ξ η ζ

η ζ ξ

ζ ξ η

=

=

=

=

= + + + + + −

= − + +

= − + +

= − + +

Sau khi biến ñổi, từ phần tử hình lập phương ta ñược phần tử khối 6 mặt cong (hình 5.11b)

Hình 5.10 Hình 5.11

a) b)

5.9. Tính toán phần tử không gian ñẳng tham số

Như trên ñã biết, ñối với phần tử không gian ñẳng tham số có n nút thì mô hình chuyển vị và công thức biến ñổi tọa ñộ có dạng:

1 1 1

, ,n n n

i i i i i ii i i

u N u v N v w N w= = =

= = =∑ ∑ ∑ (5.38)

1 1 1

, ,n n n

i i i i i ii i i

x N x y N y z N z= = =

= = =∑ ∑ ∑ (5.39)

Khi tính toán, vì phải dùng ñến ñạo hàm của hàm dạng iN ñối với tọa ñộ tổng thể,

nên trước hết ta cần thành lập công thức tính ñạo hàm này.

ðạo hàm của hàm ña biến iN là:

. . . . . . . . . . . . . . . .

i i i iN N N Nx y z

x y zξ ξ ξ ξ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

do ñó ta có

[ ]

i i i

i i i

i i i

N x y z N N

x xN N Nx y z

Jy y

N x y z N N

z z

ξ ξ ξ ξ

η η η η

ζ ζ ζζ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

(5.40)

từ ñó ñược

[ ] 1

ii

i i

ii

NN

xN N

Jy

NN

z

ξ

η

ζ

−

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= ∂ ∂

∂∂

∂∂

(5.41)

trong ñó

PPPTHH �129

[ ]

x y z

x y zJ

x y z

ξ ξ ξ

η η η

ζ ζ ζ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(5.42)

gọi là ma trận Jacobien. ðể xác ñịnh ma trận này, ñưa (5.39) vào (5.42) ta ñược

[ ]

1 1 1

1 1 1

1 1 1

n n ni i i

i i ii i i

n n ni i i

i i ii i i

n n ni i i

i i ii i i

N N Nx y z

N N NJ x y z

N N Nx y z

ξ ξ ξ

η η η

ζ ζ ζ

= = =

= = =

= = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

1 2

1 1 1

2 2 21 2

1 2

n

n

n n n n

NN Nx y z

x y zNN N

N x y zN N

ξ ξ ξ

η η η

ζ ζ ζ

∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

L

LM M M

L

(5.43)

Như vậy sau khi tìm ñược iN (là hàm của , ,ξ η ζ ), tiến hành ñạo hàm ñối với tọa

ñộ cục bộ rồi thay vào (5.43) tìm ñược [ ]J , tính tiếp [ ] 1J

−và từ (5.41) tìm ñược các ñạo

hàm của các hàm dạng ñối với tọa ñộ tổng quát.

Trong quá trình tính toán còn cần dùng tới công thức tích phân các hàm của tọa ñộ cục bộ ñối với tọa ñộ tổng quát, do ñó có thể sử dụng quan hệ ñã biết trong hình học vi phân:

dV dxdydz J d d dξ η ζ= = (5.44)

trong ñó: J là ñịnh thức của ma trận Jacobien. Ở ñây J lấy giá trị tuyệt ñối.

Sau ñây ta tiến hành tính toán ñối với phần tử không gian ñẳng tham số, tức là thiết lập vectơ tải, ma trận ứng suất và ma trận ñộ cứng.

* Khi trong phần tử có lực tập trung ñặt tại ñiểm bất kỳ

{ }T

x y zP P P P = (5.45)

cần phải dời về các nút, ta vẫn dùng công thức quen thuộc:

{ } [ ] { }e TP N P= (5.46)

trong ñó

{ } [ ]1 1 1 2 2 2 ...e T

n n nP X Y Z X Y Z X Y Z= (5.47)

và [ ] [ ]1 2 ... nN IN IN IN= (5.48)

với I là ma trận ñơn vị cấp 3.

* Trường hợp có lực phân bố thể tích

{ } [ ]Tp X Y Z= (5.49)

có thể sử dụng quan hệ (5.52), và ta có

{ } [ ] { } [ ] { }1 1 1

1 1 1

e T T

V

P N p dV N p J d d dξ η ζ− − −

= =∫ ∫ ∫ ∫ (5.50)

* Trường hợp lực phân bố bề mặt

{ }T

p X Y Z = (5.51)

cũng có thể sử dụng công thức (5.46).

Thí dụ trên mặt 1ξ = có lực bề mặt { }p thì

{ } [ ] { } [ ] { }1 1

11 1 1

Te T

P N p dA N p J d dξξ

η ζ=− − =

= =∫ ∫ ∫ (5.52)

Các lực bề mặt khác cũng xử lý tương tự.

Bây giờ ta thiết lập ma trận ứng suất và ma trận ñộ cứng. Trước hết thay (5.38) vào quan hệ

{ } [ ]{ } [ ]{ }1 2 ... nB B B Bε δ δ= = (5.53)

với { } [ ]1 1 1 2 2 2 ...T

n n nu v w u v w u v wδ = (5.54)

PPPTHH �131

[ ]

0 0

0 0

0 0

0

0

0

i

i

i

ii i

i i

i i

N

xN

y

N

zB

N N

y x

N N

z y

N N

z x

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

= ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂

(5.55)

Sau ñó tính ứng suất trong phần tử theo quan hệ sau ñây:

{ } [ ][ ]{ } [ ]{ }D B Sσ δ δ= = (5.56)

trong ñó

[ ] [ ]1 2 ... nS S S S=

với [ ] [ ][ ] ( 1, 2, ..., )i i i nS D B ==

Lực nút trên phần tử là:

{ } [ ]1 1 1 2 2 2 ...e T

n n nP U V W U V W U V W=

Như ta ñã biết

{ } [ ]{ }eP k δ=

trong ñó ma trận ñộ cứng

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ]1 1 1

1 1 1

T

V

T

k B D B dV

B D B J d d dξ η ζ− − −

=

=

∫

∫ ∫ ∫ (5.57)

[ ]B tính theo tọa ñộ tổng thể, còn [ ]J viết theo tọa ñộ cục bộ.

Ma trận ñộ cứng của phần tử:

[ ]

11 12 1

21 21 21

1 1

n

n n nn

k k k

k k kk

k k k

=

L

L

M M M

L

(5.58)

trong ñó các ma trận con

[ ] [ ] [ ][ ]1 1 1

1 1 1

T

rs r sk B D B J d d dξ η ζ− − −

= ∫ ∫ ∫ (5.59)

Qua trình bày trên ñây ta thấy phần tử ñẳng tham số có ưu ñiểm là nó có thể phản ánh tương ñối tốt sự thay ñổi chuyển vị và ứng suất trong vật thể ñàn hồi so với phần tử thường khi số nút như nhau. Trên hình 5.12 là sơ ñồ tính một công xon chịu lực tập trung theo các phương án: sử dụng các phần tử tam giác (hình a), phần tử ñẳng tham số 4 nút (hình b), phần tử ñẳng tham số 8 nút (hình c), phần tử ñẳng tham số 12 nút (hình d). Theo [I], cùng số nút như nhau nhưng kết quả tính chuyển vị của ñiểm ñặt tải trọng theo sơ ñồ (a) bằng 53% giá trị tính theo lời giải chính xác, trong khi ñó theo sơ ñồ (c) là 65%, theo sơ ñồ (d) thì kết quả trùng với lời giải chính xác.

a) b)

c) d)

Hình 5.12

5.10. Tích phân Gauss

Khi thiết lập ma trận ñộ cứng và vectơ tải của phần tử ñẳng tham số ta cần tính tích phân sau ñây:

1 1 1

1 1 1( , , )f d d dξ η ζ ξ η ζ

− − −∫ ∫ ∫ (5.60)

Hàm ( , , )f ξ η ζ dưới dấu tích phân nói chung rất phức tạp, ngay cả khi viết ñược dưới dạng tường minh, cho nên ñể ñược kết quả người ta thường dùng phép tích phân số. Nội dung của phép tích phân này là người ta chọn một số ñiểm trong phần tử, gọi là ñiểm tích phân, rồi tìm giá trị của hàm f tại các ñiểm ñó, sau ñó căn cứ vào các giá trị số ñó ñể tìm giá trị số của biểu thức tích phân. Với phép tích phân Gauss, có thể dùng tương ñối ít số ñiểm tích phân mà vẫn cho ñộ chính xác tương ñối cao.

Trước hết giới thiệu công thức tích phân Gauss ñối với hàm một biến.

PPPTHH �133

Giả sử có hàm ( )f ξ là một ña thức thì

1

11

( ) ( )n

i ii

f d H fξ ξ ξ−

=

=∑∫ (5.61)

trong ñó: ( )if ξ là giá trị hàm f tại ñiểm tích phân iξ , iH là trọng số, n là số

lượng ñiểm tích phân. Bảng 5.1 giới thiệu các giá trị của iξ và iH với

2n = ñến 7n = .

Công thức tích phân Gauss ñối với hàm hai biến có dạng như sau:

1 1

1 11 1

( , ) ( , )n n

i j i jj i

f d d H H fξ η ξ η ξ η− −

= =

=∑∑∫ ∫ (5.62)

Số ñiểm tích phân theo một phương là n, số ñiểm tích phân theo hai phương là 2n .

Công thức tích phân Gauss ñối với hàm ba biến (ta sẽ dùng khi tính ma trận ñộ cứng của phần tử ñẳng tham số) có dạng:

1 1 1

1 1 11 1 1

( , , ) ( , , )n n n

i j m i j mm j i

f d d d H H H fξ η ζ ξ η ζ ξ η ζ− − −

= = =

=∑∑∑∫ ∫ ∫

(5.63)

Số ñiểm tích phân theo cả 3 phương là 3n .

Tọa ñộ ñiểm tích phân và trọng số của tích phân Gauss

Bảng 5.1

1

11

( ) ( )n

i ii

f d H fξ ξ ξ−

=

= ∑∫

________________________________________________________

iξ± iH

n = 2

0,5773502692 1,0000000000

n = 3

0,7745966692 0,5555555556

0,0000000000 0,8888888889

n = 4

0,8611363116 0,3478548451

0,3399810436 0,6521451549

n = 5

0,9061798459 0,2369268851

0,5384693101 0,4786286705

0,0000000000 0,5688888889

n = 6

0,9324695142 0,1713244924

0,6612093865 0,3607615731

0,2386191861 0,4679139346

n = 7

0,9491079123 0,1294849662

0,7415311856 0,2797053915

0,4058451514 0,3818300505

0,0000000000 0,4179591837

____________________________________________________________________

Câu hỏi ôn tập

1. Thế nào là bài toán không gian(bài toán ba chiều) của Lý thuyết ñàn hồi? Nêu vài thí dụ về mạng lưới phần tử khối khi tính một số kết cấu thực tế.

2. Cách lựa chọn hàm xấp xỉ chuyển vị ñối với phần tử tứ diện tuyến tính.

3. Thế nào là phần tử ñẳng tham số? Chỉ ra ưu ñiểm của loại kết cấu này khi tính kết cấu.

4. Trình bày cách sử dụng phép tích phân số ñể tính ma trận ñộ cứng của phần tử khối trong bài toán không gian.

PPPTHH �135

Chương 6

TẤM MỎNG CHỊU UỐN

6.1. Mở ñầu

Trong môn Lý thuyết ñàn hồi người ta ñã nghiên cứu bài toán tấm mỏng bằng các phương pháp khác nhau như giải phương trình vi phân, phương pháp biến phân, phương pháp sai phân hữu hạn. ðối với những tấm mỏng có bề dày không ñổi, ñiều kiện biên ñơn giản thì việc sử dụng các phương pháp trên không gặp khó khăn. Còn ñối với kết cấu tấm phức tạp hơn như tấm có lỗ lớn, có liên kết ở các biên khác nhau, tấm nhiều nhịp, tấm trên nền hoặc gối ñàn hồi… thì phương pháp phần tử hữu hạn lại là công cụ nghiên cứu có hiệu quả nhất.

Thông thường người ta tính tấm mỏng theo hai lý thuyết, lý thuyết tấm cổ ñiển của Kirchhoff-Love và lý thuyết tấm của Mindlin có xét tới biến dạng trượt. Sau ñây chỉ giới thiệu lý thuyết tấm cổ ñiển còn gọi là lý thuyết kỹ thuật vì ñược dùng nhiều trong kỹ thuật.

Theo lý thuyết tấm mỏng, trạng thái biến dạng của tấm có thể hoàn toàn ñược miêu tả bởi một ñại lượng duy nhất, ñó là chuyển vị ngang của mặt trung bình w. Phương trình vi phân cơ bản của tấm mỏng có dạng

4 4 4

4 2 2 42

w w w q

x x y y D

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ ∂

Vì vậy sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn ñể giải bài toán uốn tấm, về mặt ñường lối cũng tương tự như bài toán phẳng. Vấn ñề là cần chọn mô hình chuyển vị cho hợp lý. Thông thường người ta giả thiết hàm xấp xỉ là một ña thức chứa số thông số chưa biết bằng số bậc tự do của phần tử.

Khi chia tấm thành các PTHH, người ta giả thiết các phần tử nối cứng với nhau ở các nút. Tại ñường biên giữa các phần tử, về nguyên tắc phải ñảm bảo tính liên tục, bao gồm liên tục về ñộ võng và các ñạo hàm của chúng, tức là liên tục cả về góc quay và ñộ cong nữa. Những hàm chuyển vị thỏa mãn các ñiều kiện như vậy gọi là hàm tương thích. Tuy nhiên việc xác ñịnh các hàm này là rất khó khăn về mặt toán học.

Trong thực tế người ta sử dụng hàm “không tương thích”, chỉ thỏa mãn một phần các ñiều kiện ñã nêu trên. Những hàm này ñảm bảo ñiều kiện liên tục về ñộ võng và ñạo hàm bậc nhất của nó ở các nút của phần tử, còn ở trên ñường biên giới giữa các phần tử

thì chỉ ñảm bảo ñiều kiện liên tục về ñộ võng. ðương nhiên khi sử dụng hàm không tương thích, số lượng phần tử phải nhiều hơn, cách chia phần tử phải hợp lý và ñảm bảo bài toán hội tụ.

Khi tính tấm chịu uốn người ta thường sử dụng phần tử hình chữ nhật và phần tử hình tam giác(tuyến tính hoặc bậc cao).

6.2. Phần tử hình chữ nhật. Các quan hệ cơ bản Ta nghiên cứu một tấm chịu uốn (hình 5.1). Ở ñây vẫn sử dụng phương pháp

chuyển vị, tức là lấy các ñại lượng sau ñây làm ẩn: chuyển vị v theo phương vuông góc với mặt trung bình (ñộ võng), góc quay xθ quanh trục x và góc quay yθ quanh trục y.

Trên hình vẽ các chuyển vị có chiều dương.

a) (b) Hình 6.1

Như ta ñã biết ở lý thuyết tấm mỏng, biến dạng của mặt trung bình của tấm ñược biểu diễn bằng vectơ biến dạng:

{ } { }

2

2

2

2

2

2

w

x

wz k z

y

w

x y

ε

∂−

∂ ∂

= = − ∂

∂−

∂ ∂

(6.1)

trong ñó: { }k là vectơ ñộ cong, 2

2

w

x

∂∂

và 2

2

w

y

∂∂

là ñộ cong uốn, còn 2w

x y

∂∂ ∂

là ñộ

xoắn của tấm. Tương ứng với chúng là ứng suất, thực chất là mô men uốn và mô men xoắn trên một ñơn vị chiều dài theo các phương x và y (hình 6.1b):

{ } [ ]{ }x

y

xy

M

M M D

M

ε

= =

(6.2)

trong ñó: [ ]D là ma trận ñàn hồi.

ðối với tấm ñẳng hướng:

PPPTHH �137

[ ]3

2

1 0 0

0 1 012(1 )

10 0

2

E tD

νν

= − −

(6.3)

ðối với tấm trực hướng có các phương chính trùng với các trục x và y thì

[ ]1

1

0

0

0 0

x

y

xy

D D

D D D

D

=

(6.4)

trong ñó:

33

3 3

1

, ,12 12

,12 12

yxx y

xy

E tE tD D

E t GtD D

= =

′′= =

(6.5)

với t là bề dày của tấm, , ,x x y y x yE E Eν ν ν ν′′ = = là hệ số Poisson tương ứng với các

phương x,y.

Ta xét một phần tử chữ nhật ijmp (hình 6.2).

Vectơ chuyển vị nút và vectơ tải phần tử có dạng

{ }

i

j

m

p

δδ

δδδ

=

, { }

i

e j

m

p

P

PP

P

P

=

(6.6)

trong ñó: { } { },

i

i i

i xi i xi

iyi yi

i

ww W

wP M

yM

w

x

δ θθ

∂

= = = ∂ ∂ ∂

, (6.7)

(i, j, m, p)

6.3. Hàm chuyển vị. Hàm dạng Vectơ chuyển vị nút của phần tử hình chữ nhật có dạng

{ }T

i xi yi j xj yj m xm ym p xp ypw w w wδ θ θ θ θ θ θ θ θ = (6.8)

Hình 6.2

ðể tương ứng với 12 bậc tự do của phần tử trên ñây, ta chọn hàm chuyển vị là một ña thức chứa 12 thông số ñộc lập. Vì ña thức bậc bốn ñủ có 15 số hạng nên phải bớt ñi 3 số hạng. Ta lấy dạng sau:

2 2 3

1 2 3 4 5 6 7

2 2 3 3 38 9 10 11 12

w x y x xy y x

x y xy y x y xy

α α α α α α α

α α α α α

= + + + + + +

+ + + + + (6.9)

ða thức này có một số ưu ñiểm. Với cách chọn hệ tọa ñộ như trên hình 6.2, ta thấy các ñường biên của phần tử có phương trình là x = const và y = const. Nếu thay giá trị y = const (hoặc x = const) vào ña thức trên thì ta ñược một ña thức bậc ba gồm 4 số hạng

2 31 2 3 4w x x xα α α α= + + + (6.10)

Hàm này xác ñịnh duy nhất 4 hằng số, chúng là 2 giá trị góc quay và 2 giá trị ñộ võng ở hai ñầu các ñường biên. Bởi vì các giá trị này tại các nút là xác ñịnh duy nhất tức là giống nhau ñối với các phần tử cạnh nhau, do ñó sự liên tục của ñộ võng w ñược ñảm bảo trên toàn bộ biên chung. Nhưng cần chú ý rằng, ñiều kiện liên tục về góc quay (ñạo hàm bậc nhất của ñộ võng) theo dọc ñường biên không ñược thỏa mãn. Thật vậy ta có

22 3 42 3

wx x

xα α α

∂= + +

∂ (6.11)

dọc theo ñường y = const. Qui luật này không cho phép xác ñịnh một cách duy nhất góc nghiêng của pháp tuyến với ñường biên. Vì vậy hàm w này là hàm “không tương thích”.

ðể xác ñịnh các hệ số 1 2 12, ,...,α α α , ta lần lượt viết 12 biểu thức ñộ võng w và

góc quay θ tại các nút. Ta có

2 2 3

1 2 3 4 5 6 7

2 2 3 3 38 9 10 11 12

i i i i i i i i

i i i i i i i i i

w x y x x y y x

x y x y y x y x y

α α α α α α α

α α α α α

= + + + + + +

+ + + + +

2 2 3 23 5 6 8 9 10 11 12

2 2 2 32 4 5 7 8 9 11 12

2 2 3 3

2 3 2 3

xi i i i i i i i i i

i

xi i i i i i i i i ii

wx y x x y y x x y

y

wx y x x y y x y y

x

θ α α α α α α α α

θ α α α α α α α α

∂= = + + + + + + + ∂

∂ = − = − − − − − − − − ∂

………………………………………………………… (tương tự với j,m,p)

Viết dưới dạng ma trận:

yi

PPPTHH �139

2 2 3 2 2 3 3 3

2 2 3 2

3 2 2 3

2 2 3 2 2 3 3 3

1

0 0 1 0 2 0 2 3 3

0 1 0 2 0 3 2 0 3

1

.. ... ... .....

i i i i i i i i i i i i i i i i i

xi i i i i i i i i i

yi i i i i i i i i

j j j j j j j j j j j j j j j j j

yp

w x y x x y y x x y x y y x y x y

x y x x y y x x y

x y x x y y x y y

w x y x x y y x x y x y y x y x y

θθ

θ

− − − − − − −

=

M

3 2 2 3

. ...... ..... ...... ...... ...... ...... ...... ......

0 1 0 2 0 3 2 0 3p p p o p p p px y x x y y x y y

− − − − − − −

{ }α

(6.12)

hay { } [ ]{ }Cδ α= (6.13)

Do ñó: { } [ ] { }1Cα δ

−= (6.14)

Viết biểu thức (6.9) dưới dạng ma trận:

{ }2 2 3 2 2 3 3 31T

w x y x xy y x x y xy y x y xy α = (6.15)

hay [ ]{ }w Q α= (6.16)

Thay (6.14) vào (6.16) ñược

[ ][ ] { }1w Q C δ

−= (6.17)

hay [ ]{ }w N δ= (6.18)

trong ñó: [ ] [ ][ ] 1N Q C

−= (6.19)

là ma trận các hàm dạng. Ta có

[ ]T

i xi yi j xj yj m xm ym p xp ypN N N N N N N N N N N N N = (6.20)

với

[ ]

[ ]

[ ]

1 11 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 12 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 22 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2

1 21 2 2 1 1 2 1 2

2 2 2 216

2 2 2 216

2 2 2 216

2 216

i xi yi

j xj yj

m xm ym

p xp yp

X YN N N X Y X Y X X YY bYY aX X

X YN N N X Y X Y X X YY bYY aX X

X YN N N X Y X Y X X YY bY Y aX X

X YN N N X Y X Y X X YY

= − + + −

= − + + +

= − + + − +

= − + + [ ]1 21 1 12 2bYY aX X− −

(6.21)

trong ñó: 1 2 1 21 , 1 , 1 , 1x x y y

X X Y Ya a b b

= − = + = − = + (6.22)

6.4. Biến dạng và nội lực

Thay (6.9) vào(6.1) ta ñược

{ }4 7 8 11

6 9 10 122 2

5 8 9 11 12

2 6 2 6

2 2 6 6

2 4 4 6 6

x y xy

x y xy

x y x y

α α α αε α α α α

α α α α α

+ + +

= − + + + + + + +

(6.23)

hay { } [ ]{ }Pε α= (6.24)

trong ñó:

[ ]2 2

0 0 0 2 0 0 6 2 0 0 6 0

0 0 0 0 0 2 0 0 2 6 0 6

0 0 0 0 2 0 0 4 4 0 6 6

x y xy

P x y xy

x y x y

= −

(6.25)

Như vậy vectơ biến dạng có thể biểu diễn qua vectơ chuyển vị nút

{ } [ ]{ }Bε δ= (6.26)

trong ñó kết hợp (6.24) và (6.14) ta ñược

[ ] [ ][ ] 1B P C

−= (6.27)

Nội lực trong phần tử ñược xác ñịnh bằng vectơ nội lực, theo (6.2):

{ } [ ][ ]{ }M D B δ= (6.28)

hoặc { } [ ]{ }M S δ= (6.29)

Cần chú ý rằng, ma trận [ ]B phụ thuộc vào tọa ñộ của các ñiểm trong phần tử, do

ñó biến dạng và nội lực trong phần tử không phải là hằng số. Dọc các ñường biên của phần tử, các thành phần ứng suất xσ và yσ biến ñổi theo qui luật ñường thẳng,

còn xyτ biến ñổi theo qui luật ñường cong parabol bậc hai. Tuy nhiên nếu phần tử có kích

thước khá nhỏ thì có thể xem gần ñúng là ứng suất phân bố ñều trong phần tử và có giá trị bằng trung bình cộng của ứng suất tại 4 nút.

6.5. Ma trận ñộ cứng của phần tử

Như ñã biết ở trên, từ nguyên lý cực tiểu thế năng ta thiết lập ñược công thức xác ñịnh ma trận ñộ cứng của tấm chịu uốn:

PPPTHH �141

[ ] [ ] [ ][ ]T

k B D B dxdy= ∫∫

ðưa (6.27) vào biểu thức trên và ñem các số hạng không chứa x và y ra ngoài dấu tích phân ta có

[ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ]( )[ ]1 1T Tk C P D P dxdy C

− −= ∫∫ (6.30)

Bảng 6.1 giới thiệu ma trận ñộ cứng của phần tử hình chữ nhật cạnh 2a,2b, bề dày không ñổi, vật liệu ñẳng hướng.

Bảng 6.2 giới thiệu ma trận ñộ cứng của phần tử hình chữ nhật cạnh 2a,2b, bề dày không ñổi, vật liệu trực hướng.

Ma trận ñộ cứng của phần tử tấm uốn hình chữ nhật cạnh 2a,2b (vật liệu ñẳng hướng)

Bảng 6.1

[ ]3

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 14 5 15 0 16 17 0 18 19 0

20 21 0 22 23 0 24 12 0 25

1 2 26 10 11 27 7 8 23

13 28 18 19 0 16 17 0

20 27 0 25 9 0 24

1 29 26 4 30 21360(1 )

13 14 30 15 0

20 6 0 22

1 29 3

13 28

20

Etk

abν

= −

®èi

xøng

trong ñó:

2 2

1

2 2

1

2 2

1

2 2

1. 21 6 30 30

2. 3 12 30

3. 3 12 30

4. 21 6 30 15

5. 3 12 15

6. 3 3 30

7. 21 6 15 15

8. 3 3 15

9. 3 3 15

10. 21 6 15 30

b b a

a a b

b b a

a a b

b b a

a a b

ν λ λν λ

ν λ

ν λ λν λ

ν λ

ν λ λν λ

ν λ

ν λ λ

−

−

−

−

−

−

−

− + +

+ +

− − −

− + − +

− − +

− + −

− − −

− + +

− −

− + + −

1

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1

2 2 2

11. 3 3 30

12. 3 12 15

13. 8 8 40

14. 30

15. 8 8 20

16. 3 3 15

17. 2 2 10

18. 3 3 30

19. 2 2 20

20. 8 8 40

21. 3 3 30

22. 2 2 20

23. 3 3 15

b b a

a a b

b b a

ab

b b a

b b a

b b a

b b a

b b a

a a b

a a b

a a b

a a b

ν λ

ν λ

νν

νν λ

νν λ

ν

ν

ν λ

ν

ν λ

−

−

−

− +

+ −

− +

−

− + +

− −

− +

− + −

− + +

− +

− +

− + +

− + + 1

2 2 2

2 2 2

1

1

2 21 2 2

2 2

24. 2 2 10

25. 8 8 20

26. 3 12 30

27. 3 12 15

28. 30

29. 3 12 30

30. 3 12 15

, , ,

a a b

a a b

a a b

a a b

ab

b b a

b b a

a b a b

b a b a

ν

ν

ν λ

ν λν

ν λν λ

λ λ λ λ

−

−

− −

− +

− + +

+ +

− − +

− − −

+ −

= = = =

PPPTHH �143

Ma trận ñộ cứng của phần tử tấm uốn hình chữ nhật cạnh 2a,2b

(vật liệu trực hướng)

Bảng 6.2

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{ }[ ]1 2 1 3 4

1

60 x y xyk L D K D K D K D K Lab

= + + +

[ ]2

1 2

60 0 30 30 0 15 60 0 30 30 0 15

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

20 15 0 10 30 0 10 15 0 5

60 0 30 30 0 15 60 0 30

0 0 0 0 0 0 0 0

20 15 0 5 30 0 10

60 0 30 30 0 15

0 0 0 0 0

20 15 0 10

60 0 30

0 0

20

bK

a

− − − −

− −

− − = − − − −

®èi

xøng

[ ]2

2 2

60 30 0 60 30 0 30 15 0 30 15 0

20 0 30 10 0 15 10 0 15 5 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

60 30 0 30 15 0 30 15 0

20 0 15 5 0 15 10 0

0 0 0 0 0 0 0

60 30 0 60 30 0

20 0 30 10 0

0 0 0 0

60 30 0

20 0

0

aK

b

− − − − − − −

− − = − − −

®èi

xøng

[ ]3

30 15 15 30 0 15 30 15 0 30 0 0

0 15 0 0 0 15 0 0 0 0 0

0 15 0 0 0 0 0 0 0 0

30 15 15 30 0 0 30 15 0

0 15 0 0 0 15 0 0

0 0 0 0 0 0 0

30 15 15 30 0 15

0 15 0 0 0

0 15 0 0

30 15 15

0 15

0

K

− − − − − −

− − − = − − − −

®èi

xøng

[ ]4

84 6 6 84 6 6 84 6 6 84 6 6

8 0 6 2 0 6 8 0 6 2 0

8 6 0 8 6 0 2 6 0 2

84 6 6 84 6 6 84 6 6

8 0 6 2 0 6 8 0

8 6 0 2 6 0 2

84 6 6 84 6 6

8 0 6 2 0

8 6 0 8

84 6 6

8 0

8

K

− − − − − − − − − − − − −

− − − − − −

− − = − − − −

− − −

®èi

xøng

6.6. Xác ñịnh vectơ tải trọng nút

Nếu trong phần tử có các tải trọng không ñặt tại nút (gọi là tải trọng trung gian) thì cần phải dời chúng về nút. Vectơ tải phần tử có dạng

[ ]

0 0 01 0 0

0 0 0, 0 2 0

0 0 00 0 2

0 0 0

l

lL l b

la

l

= =

PPPTHH �145

{ }Te

i xi yi j xj yj m xm ym p xp ypP Z T T Z T T Z T T Z T T = (6.31)

Sau ñây giới thiệu một số trường hợp thường gặp.

Trường hợp lực tập trung P ñặt tại một ñiểm bất kỳ (x,y) trên phần tử:

{ } [ ] .e T

P N P= (6.32)

Nếu lực tập trung ñặt giữa phần tử (x = 0, y = 0) thì ta có

{ }4 8 8 4 8 8 4 8 8 4 8 8

Te P Pb Pa P Pb Pa P Pb Pa P Pb Pa

P = − − − −

(6.33)

Trường hợp tải trọng phân bố ( , )q x y trên bề mặt phần tử:

{ } [ ] ( , )e T

P N q x y dxdy= ∫∫ (6.34)

Nếu tải trọng q phân bố ñều trên toàn bộ mặt tấm:

{ } [ ]a b

e T

a b

P q N dxdy− −

= ∫ ∫ (6.35)

hay { } 1 1 1 14

4 12 12 4 12 12 4 12 12 4 12 12

Te b a b a b a b a

P qab = − − − −

(6.36)

6.7. Tấm mỏng trên tựa ñàn hồi

Trong các kết cấu hỗn hợp tấm mỏng, dầm và trụ thì giữa tấm với dầm và trụ thường là liên kết cứng. Dưới tác dụng của tải trọng, các dầm và trụ này sẽ phát sinh biến dạng và chuyển vị ñồng thời với tấm, do ñó có thể coi chúng là các gối tựa ñàn hồi của tấm.

ðối với các bài toán tấm mỏng trên tựa ñàn hồi, Nếu giải bằng phương pháp giải tích thì những trường hợp kết cấu tựa ñơn giản có thể thực hiện ñược nhưng khối lượng tính toán rất lớn, vì thông thường dùng lời giải dưới dạng chuỗi mà những chuỗi này thường hội tụ rất chậm. Với những bài toán loại này, phương pháp sai phân hoặc biến phân cũng không giải quyết ñược. Trong khi ñó phương pháp PTHH lại là công cụ có hiệu quả.

a) b)

Hình 6.3

Xét một tấm mỏng liên kết cứng với một dầm tựa ñặt dọc theo phương x (hình 6.3). Chia tấm thành các phần tử hình chữ nhật, phần tử này nối ghép với phần tử thanh ij.

ðối với phần tử thanh ta có

{ } [ ]{ }eP k δ= (6.37)

trong ñó: { }

{ }

T

i xi yi j xj yj

Te

i xi yi j xj yj

w w

P W M M W M M

δ θ θ θ θ =

=

(6.38)

ðây là phần tử thanh chịu uốn và xoắn ñồng thời, ma trận ñộ cứng của nó có dạng:

[ ]

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

12 6 12 60 0

0 0 0 0

6 4 6 20 0

12 6 12 60 0

0 0 0 0

6 2 6 40 0

y y y y

o o

y y y y

y y y y

o o

y y y y

EJ EJ EJ EJ

l l l lGJ GJ

l lEJ EJ EJ EJ

l l l lkEJ EJ EJ EJ

l l l lGJ GJ

l lEJ EJ EJ EJ

l l l l

− − −

− −

= − − −

(6.39)

Trường hợp có dầm tựa ñặt dọc theo phương y, thì ma trận ñộ cứng cũng có dạng tương tự như trên, và khi thành lập phương trình cân bằng tại các nút cần ñưa vào các thành phần lực nút của phần tử dầm tựa này.

Trường hợp tấm mỏng liên kết với trụ ñàn hồi, phương pháp tính cũng tương tự như trên. Thông thường trụ có mặt cắt không ñổi và không chịu lực ngang, nên có thể coi cả trụ là một phần tử thanh.

6.8. Phần tử tấm mỏng hình tam giác

Khi tấm mỏng có biên xiên hoặc biên cong, người ta thường sử dụng phần tử hình tam giác. Hay dùng nhất là loại phần tử có 3 ñiểm nút.

Xét phần tử ijm trên hình 6.4. Có 3 thành phần chuyển vị tại mỗi nút, do ñó vectơ chuyển vị nút của phần tử là

{ }T

i xi yi j xj yj m xm ymw w wδ θ θ θ θ θ θ = (6.40)

PPPTHH �147

Như vậy mô hình chuyển vị cần chọn là một ña thức có 9 số hạng, tức là chứa 9 thông số ñộc lập. Ta thử xem xét một ña thức bậc ba ñủ ñối với x và y:

2 2 3 2 2 31 2 3 4 5 6 7 8 9 10x y x xy y x x y xy yα α α α α α α α α α+ + + + + + + + + (6.41)

ða thức này gồm 10 số hạng. Ba số hạng ñầu phản ánh các chuyển vị cố thể, ba số hạng tiếp theo phản ánh biến dạng, nên cần phải giữ lại. ðể bớt ñi 1 số hạng, tức là bớt ñi 1 thông số, ta xem xét 4 số hạng cuối. Nếu bỏ ñi bất kỳ một số hạng bậc ba nào thì mô hình chuyển vị sẽ mất ñi tính ñối xứng ñối với x và y. Vì vậy hợp lý nhất là chọn ña thức ñối xứng sau ñây:

2 2 3 2 2 31 2 3 4 5 6 7 8 9( )w x y x xy y x x y xy yα α α α α α α α α= + + + + + + + + + (6.42)

Tuy nhiên như vậy lại nẩy sinh vấn ñề: trong một số trường hợp không thể xác ñịnh ñược 9 thông số 1 9α αL , bởi vì 9 chuyển vị nút có thể không ñộc lập với nhau. Sử

dụng tọa ñộ diện tích có thể giải quyết ñược vấn ñề này.

Hình 6.4

Biểu diễn mô hình chuyển vị dưới dạng:

{ } { } [ ]{ }{ }i xi yi j xj yj m xm ym

i i xi xi yi yi j j xj xj yj yj

m m xm xm ym ym

f w N

N N N N N N N N N

N w N N N w N N

N w N N

δ

δ

θ θ θ θ

θ θ

= =

= = + + + + +

+ + +

(6.43)

trong ñó các hàm dạng là các biểu thức bậc ba của tọa ñộ diện tích:

3 2 2 2 2

2 2

2 2 ( , , )

1( )

21

( )2

i i i j i m i j i m

xi j i m m i j j m i j m

yi j i m m i j j m i j m i j m

N L L L L L L L L L

N b L L b L L b b L L L

N c L L c L L c c L L L

= + + − −

= − + −

= − + −

(6.44)

, , , , , ,j m j m i j mb b c c L L L tính theo các công thức (3.59) và (3.61).

Dựa vào công thức (3.68) có thể thấy các hàm dạng trên có tính chất như sau:

Nút iN iNy

∂∂

iN

x

∂−∂

xiN xiN

y

∂∂

xiN

x

∂−∂

yiN yiNy

∂∂

yiN

x

∂−∂

i

j, m

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

ðiều ñó sẽ ñảm bảo rằng tại nút i:

( , , ), ,i xi yi i j mw w

w wy x

θ θ∂ ∂

= = − =∂ ∂

Việc thiết lập ma trận nội lực và ma trận ñộ cứng của phần tử khá phức tạp, ở ñây chỉ giới thiệu các kết quả ñã thu ñược.

Ma trận [ ]S ở (6.29) ñược biểu diễn dưới dạng tích của 4 ma trận:

[ ] [ ][ ][ ][ ]3

1

8S D A C H=

∆ (6.45)

trong ñó: ∆ là diện tích tam giác ijm

[ ]D là ma trận ñàn hồi của phần tử tấm

Nếu lấy gốc tọa ñộ là trọng tâm tam giác ijm thì:

[ ]2 0 0 6 2 0 0

0 0 2 0 0 2 2

0 2 0 0 4 4 0

x y

A x y

x y

=

(6.46)

[ ]

1 0 0 0 0 02 2 2

0 1 0 0 0 02 2 2

0 0 1 0 0 02 2 2

0 0 0 1 0 02 2 2

0 0 0 0 1 02 2 2

0 0 0 0 0 12 2 2

ji m

ji m

ji m

ji m

ji m

ji m

cc c

bb b

cc c

Hbb b

cc c

bb b

− − − ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ − − − ∆ ∆ ∆= ∆ ∆ ∆ − − − ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

(6.47)

Ma trận [ ]C gồm 6 ma trận cột hợp thành:

[ ] { } { } { } { } { } { }i j mi j m

x y x y x yC C C C C C C = (6.48)

PPPTHH �149

trong ñó: { } { }11

22

77

( , , ),

iiyxii

ii yxx y

iiyx

i j m

CC

CCC C

CC

= =

MM

với ( , , )

i i i ixl l m l j l

i i i iyl l m l j l i j m

C X b Y b E F

C X c Y c E G

= − +

= − +

2 21 1

2 2

2 2( 2 ) ( 2 )

3 34 4

( ) ( )3 3

i ii i j i i m

i ii i j i i j i i m i i m

X b b b Y b b b

X b c b c b c Y b c b c b c

= ∆ + = ∆ +

= ∆ + + = ∆ + +

2 23 3

2 2( 2 ) ( 2 )

3 3i i

i i j i i mX c c c Y c c c= ∆ + = ∆ +

2 2

4 4

2 25 52 2

i ii j i m

i ii i j i j i i m i m

X b b Y b b

X b c b b c Y b c b b c

= =

= + = +

2 26 62 2i i

i j i i j i m i i mX c b b c b Y c b b c b= + = +

2 27 7i i

i j i mX c c Y c c= =

( ) / 2 ( ) /i im j m jF b b G c c= − = − 2

1

2

3

2( )

32

( )32

( )3

i j j m m i

i j i j j m j m m i m i

i j j m m i

E b b b b b b

E c b b c c b b c c b b c

E c c c c c c

= ∆ + +

= ∆ + + + + +

= ∆ + +

4 i j mE b b b=

5

6

i j m j m i m i j

i j m j m i m i j

E c b b c b b c b b

E c c b c c b c c b

= + +

= + +

7 i j mE c c c=

Ma trận ñộ cứng của phần tử cũng ñược biểu diễn bằng tích của các ma trận:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ][ ]5

1

64

T Tk H C I C H=

∆ (6.49)

trong ñó: [ ]H và[ ]C giống như trên, còn ma trận [ ]I có dạng:

[ ]3

1 3 1 32

3 2 1 3 2

1 3 1 2 3

3 2 3 2

1 0 0 0 0 0

0 (1 ) / 2 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 9 3 3 93(1 )

0 0 0 3 2(1 ) (2 ) 3

0 0 0 3 (2 ) 2(1 ) 3

0 0 0 9 3 3 9

EtI I I I I

I I I I I

I I I I I

I I I I

νν

νν ν

νν ν ν

ν ν νν ν

−

= − + − −

− + −

trong ñó:

2 2 21

2 2 22

3

1( )

121

( )121

( )12

i j m

i j m

i i j j m m

I x x x

I y y y

I x y x y x y

= + +

= + +

= + +

Khi sử dụng phần tử hình tam giác, thông thường hệ tọa ñộ ñịa phương xyz không trùng với hệ tọa ñộ chung x’y’z’. Vì vậy các vectơ lực nút và vectơ chuyển vị nút ở trên cần ñược biến ñổi về hệ x’y’z’ (hình 6.5).

Hình 6.5

Như trên hình vẽ, ta lấy trục z’ trùng với trục z, có phương vuông góc với mặt phẳng tấm. Ma trận côsin chỉ phương có dạng:

PPPTHH �151

[ ]1 0 0

0

0

l m

m l

λ = −

(6.50)

trong ñó:

cos( , ')

cos( , ')

cos( , ') 1

l x x

m y y

n z z

=

=

= =

Ma trận biến ñổi tọa ñộ [ ]T sẽ là:

[ ][ ]

[ ][ ]

0 0

0 0

0 0

T

λλ

λ

=

(6.51)

Như ñã trình bày ở Chương I ta có quan hệ:

{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }

e eP T P

Tδ δ

′=

′=

và { } [ ]{ }eP k δ′ ′ ′=

Ma trận ñộ cứng của phần tử trong hệ tọa ñộ chung có dạng:

[ ] [ ] [ ][ ]Tk T k T′ = (6.52)

Vectơ tải phần tử có dạng:

{ }Te

i xi yi j xj yj m xm ymP Z T T Z T T Z T T = (6.53)

Trường hợp có lực tập trung P ñặt tại ñiểm có tọa ñộ x,y theo phương vuông góc với mặt tấm thì sau khi dời P về các nút ta có

{ } [ ]e TP N P= (6.54)

trong ñó: [ ] i xi yi j xj yj m xm ymN N N N N N N N N N =

Trường hợp có tải trọng phân bố ñều q:

{ } [ ]e T

T

i xi ym

P q N dxdy

q N N N dxdy

=

=

∫∫

∫∫ L

(6.55)

Thay (6.44) vào (6.55) và sử dụng công thức tích phân (3.68) ta ñược

{ } 1 1 1

3 24 24 3 24 24 3 24 24

e j m j m i j i jm i m ib b c c b b c cb b c c

P q− − − − − −

= ∆

(6.56)

ðể công thức trên gọn hơn ta có thể ñặt gốc tọa ñộ ở trọng tâm tam giác. Lúc ñó:

T

0 , 0i j m i j mx x x y y y+ + = + + =

Do ñó ( , , )

( ) ( )

3 3

j m m i i j

i j m i i i j m

b b y y y y

y y y y y

− = − − −

= + + − = −

( , , )

( ) ( )

3 ( ) 3

j m m i i j

i i j m i i j m

c c x x x x

x x x x x

− = − + − − +

= − + + =

Như vậy (6.56) trở thành:

{ } 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 8 8 3 8 8 3 8 8

Te

i i j j m mP q y x y x y x = ∆ − − − (6.57)

Câu hỏi ôn tập

1. Phân tích mô hình chuyển vị của phần tử tấm hình chữ nhật (sử dụng hàm không tương thích) theo lý thuyết tấm Kirchhoff-Love.

2. Trình bày cách thiết lập ma trận ñộ cứng của phần tử chữ nhật cú 4 nút.

3. Trình bày cách thiết lập ma trận ñộ cứng của phần tử tam giác cú 3 nút.

PPPTHH �153

Chương 7

VỎ MỎNG ðÀN HỒI

7.1. Mở ñầu

Phương pháp PTHH là phương pháp rất có hiệu quả ñể tính vỏ mỏng, ñặc biệt là vỏ mỏng có hình dạng bất kỳ. Có nhiều cách khác nhau khi mô hình hóa vỏ mỏng theo phương pháp PTHH. Một mô hình thường dùng là coi vỏ như là tập hợp của nhiều phần tử phẳng có hình dạng tam giác hoặc chữ nhật. Khi tính vỏ trụ thường hay dùng phần tử hình chữ nhật hoặc phần tử mảnh trụ. Khi tính vỏ tròn xoay thường dùng phần tử dạng vành tròn. ðương nhiên sử dụng các phần tử cong là hợp lý, nhưng việc tính toán khá phức tạp.

Trong chương này chỉ ñề cập ñến loại phần tử phẳng (hình chữ nhật phẳng và hình tam giác phẳng). Ở ñây ta vẫn sử dụng giả thiết Kirchhoff-Love, tức là giả thiết về phần tử thẳng và bỏ qua ứng suất theo phương pháp tuyến của mặt trung bình.

Trạng thái ứng suất trên mặt trung gian của vỏ có thể xem là tổ hợp của hai trạng thái ứng suất: trạng thái ứng suất trong bài toán phẳng của Lý thuyết ñàn hồi, tức là trạng thái ứng suất màng, và trạng thái ứng suất trong bài toán uốn tấm mỏng.

7.2. Phần tử hình chữ nhật

Xét một phần tử phẳng hình chữ nhật trong hệ tọa ñộ ñịa phương vẽ trên hình 7.1.

a)

b)

Hình 7.1

Vectơ chuyển vị nút của phần tử vỏ này gồm 24 thành phần: 12 thành phần chuyển vị thẳng và 12 thành phần chuyển vị quay. Tương ứng với chuyển vị nút, vectơ lực nút cũng gồm 12 thành phần. Chúng có dạng sau:

{ }

{ }

T

i i i xi yi zi xp yp zp

Te

i i i xi yi zi xp yp zp

u v w

P U V W M M M M M M

δ θ θ θ θ θ θ =

=

L

L

(7.1)

Tại mỗi nút của phần tử thực ra không có thành phần chuyển vị quay quanh trục z là , , , ,zi zj zm zpθ θ θ θ do ñó cũng không tồn tại các lực nút , ,zi zjM M ,zm zpM M . Tuy

nhiên ta vẫn ñưa các chuyển vị này vào vectơ chuyển vị nút của bài toán nhằm mục ñích sau này khi nghịch ñảo ma trận ñộ cứng không gặp khó khăn do ma trận ñộ cứng trong bài toán vỏ có thể là ma trận suy biến.

Như trên ñã nói, ta có thể tách vectơ chuyển vị nút và vectơ lực nút thành hai vectơ riêng biểu diễn hai trạng thái:

* Trạng thái phẳng, với

{ }

{ }

T

i i j j m m p pph

Te

i i j j m m p pph

u v u v u v u v

P U V U V U V U V

δ =

=

(7.2)

Giữa chúng có quan hệ:

{ } [ ] { }e

ph ph phP k δ= (7.3)

trong ñó: [ ]phk chính là ma trận ñộ cứng của phần tử trong bài toán phẳng của

Lý thuyết ñàn hồi ñã nói ở Chương III.

* Trạng thái uốn, với

{ }

{ }

T

i xi yi j xj yj m xm ym p xp ypu

Te

i xi yi j xj yj m xm ym p xp ypu

w w w w

P W M M W M M W M M W M M

δ θ θ θ θ θ θ θ θ =

=

(7.4)

Giữa chúng có quan hệ:

{ } [ ] { }e

u u uP k δ= (7.5)

trong ñó: [ ]uk chính là ma trận ñộ cứng của phần tử hình chữ nhật trong bài toán

uốn tấm ñã nói ở Chương VI.

PPPTHH �155

Bởi vì { }e

phP ở trạng thái phẳng không liên quan với { }

uδ ở trạng thái uốn, cũng

như { }e

uP ở trạng thái uốn không liên quan với [ ]ph

δ ở trạng thái phẳng nên ta có thể

viết gộp (7.3) và (7.5) lại với nhau dưới dạng:

{ }

{ }

[ ][ ]

{ }{ }

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

e

ph phph

euuu

zizi

zjzj

zmzm

zpzp

P k

kP

M

M

M

M

δ

δ

θθθθ

=

(7.6)

hay { } [ ]{ }eP k δ= (7.7)

Ba hàng cuối và ba cột cuối của ma trận [ ]k ñều bằng 0 vì như ñã nói, các chuyển

vị và các mô men quanh trục z ñều bằng 0.

ðể thuận tiện khi chuyển hệ tọa ñộ ñịa phương về tọa ñộ chung, trong thực hành người ta thường ký hiệu vectơ chuyển vị nút và vectơ lực nút ở (7.1) dưới dạng sau:

{ }

{ }{ }{ }{ }

{ }

{ }{ }{ }{ }

,

i i

ej j

m m

p p

P

PP

P

P

δ

δδ

δ

δ

= =

(7.8)

trong ñó: { } { } ( , , ),

i i

i i

i i

i ixi xi

yi yi

zi zi

i j m

u U

v V

w WP

M

M

M

δθθθ

= =

(7.9)

Như vậy ta có thể viết:

{ }{ }{ }{ }

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

{ }{ }{ }{ }

ii ij im ipi i

j ji jj jm jp j

m mi mj mm mp m

p ppi pj pm pp

k k k kP

P k k k k

P k k k k

P k k k k

δ

δ

δ

δ

=

(7.10)

Dựa vào các biểu thức [ ]phk và [ ]u

k dã biết, ta có thể xác ñịnh ñược từng ma trận

[ ] [ ] [ ], ,...,ii ij pp

k k k trong (7.10).

ðể thiết lập ma trận ñộ cứng của phần tử trong hệ tọa ñộ chung, trước hết ta lập ma trận biến ñổi tọa ñộ. Gọi x, y, z là các tọa ñộ ñịa phương và x’,y’,z’ là các tọa ñộ chung, ta có các biểu thức chuyển vị nút và lực nút trong hệ tọa ñộ chung của nút i:

{ } { },

i i

i i

i i

i ixi xi

yi yi

zi zi

u U

v V

w WP

M

M

M

δθθθ

′ ′ ′ ′

′ ′ ′ ′= = ′ ′ ′ ′

′ ′

(7.11)

Công thức biến ñổi sẽ là:

{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }

i i

i iP P

δ λ δ

λ

′=

′= (7.12)

trong ñó: [ ]

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

λ λ λλ λ λλ λ λ

λλ λ λλ λ λλ λ λ

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′

=

(7.13)

là ma trận côsin chỉ phương.

Khi tính toán vỏ mặt trụ, ñể ñơn giản việc tính ma trận [ ]λ , ta lấy các trục x và x’

trùng nhau và trùng với phương ñường sinh như trên hình 7.2. Lúc ñó ta có

1 , 0 , 0

0 , ,

0 , ,

xx xy xz

p i p iyx yy yz

pi pi

p i p izx zy zz

pi pi

y y z z

l l

z z y y

l l

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′

= = =

′ ′ ′ ′− −= = =

′ ′ ′ ′− −= = =

(7.14)

trong ñó: pil là ñộ dài cạnh pi, tức là:

2 2( ) ( )pi p i p il z z y y′ ′ ′ ′= − + − (7.15)

Nếu xét ñối với toàn bộ vectơ chuyển vị nút và vectơ lực nút thì từ (7.12) ta có

{ } [ ]{ }

{ } [ ]{ }e e

T

P T P

δ δ ′=

′= (7.16)

PPPTHH �157

trong ñó ma trận biến ñổi tọa ñộ có dạng:

[ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

T

λλ

λλ

=

(7.17)

Từ ñó ta ñược công thức biến ñổi ma trận ñộ cứng của phần tử:

[ ] [ ] [ ][ ]Tk T k T′ = (7.18)

Hình 7.2

Bảng 7.1 giới thiệu ma trận ñộ cứng của phần tử vỏ mỏng hình chữ nhật có cạnh là 2a và 2b làm bằng vật liệu ñẳng hướng,

Ma trận ñộ cứng của phần tử vỏ mỏng chữ nhật cạnh 2a, 2b (vật liệu ñẳng hướng)

Bảng 7.1

[ ]3

2

1 2 0 0 0 0 3 4 0 0 0 0 5 6 0 0 0 0 7 8 0 0 0 0

9 0 0 0 0 8 10 0 0 0 0 6 11 0 0 0 0 4 12 0 0 0 0

13 14 15 0 0 0 16 17 18 0 0 0 19 20 21 0 0 0 22 23 24 0

25 26 0 0 0 17 27 0 0 0 0 28 29 0 0 0 0 31 31 0 0

32 0 0 0 33 0 34 0 0 0 35 0 36 0 0 0 24 0 37 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 6 0 0 0 0 7 4 0 0 0 0 5 2 0 0 0 0

9 0 0 0 0 8 1

360(1 )

Etk

abν=

−

2 0 0 0 0 2 11 0 0 0 0

13 14 38 0 0 0 22 23 39 0 0 0 19 20 35 0

25 40 0 0 0 30 31 0 0 0 0 28 29 0 0

32 0 0 0 39 0 37 0 0 0 21 0 36 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 2 0 0 0 0 3 4 0 0 0 0

9 0 0 0 0 8 10 0 0 0 0

13 41 38 0 0 0 16 42 33 0

25 26 0 0 0 42 27 0 0

32 0 0 0 18 0 34 0

0 0 0 0 0 0 0

1 6 0 0 0 0

9 0 0 0 0

13 41 15 0

25 40 0

32 0

0

®èi

xøng

Các chữ số trong bảng trên ñược minh họa bằng các biểu thức như sau:

1

1

1

1. 2 2

2.

3. 2

4.

5.

p q

r

p q

s

p q

λ λ

λ λ

λ λ

−

−

−

+

− +

−

− −

1

1

1

6.

7. 2

8.

9. 2 2

10. 2

r

p q

s

q p

q p

λ λ

λ λ

λ λ

−

−

−

−

−

+

− +

PPPTHH �159

1

1

2 2

1

11. 2

12. 2

13. 21 6 30 30

14. 3 12 30

15. 3 12 30

q p

q p

b b a

a a b

λ λ

λ λ

ν λ λν λ

ν λ

−

−

−

−

− −

−

− + +

+ +

− − −

2 2

1

2 2

1

16. 21 6 30 15

17. 3 12 15

18. 3 3 30

19. 21 6 15 15

20. 3 3 30

b b a

a a b

b b a

ν λ λν λ

ν λ

ν λ λ

ν λ

−

−

−

−

− + − +

− − +

− + −

− − −

− + −

1

2 2

1

2 2 2

21. 3 3 15

22. 21 6 15 30

23. 3 3 30

24. 3 12 15

25. 8 8 40

a a b

b b a

a a b

b b a

ν λ

ν λ λν λ

ν λ

ν

−

−

−

− −

− + + −

− +

+ −

− +

2 2 2

2 2 2

26. 30

27. 8 8 20

28. 3 3 15

29. 2 2 10

30. 3 3 30

ab

b b a

b b a

b b a

b b a

ν

νν λ

νν λ

−

− + +

− −

− +

− + −

2 2 2

2 2 2

1

2 2 2

1

31. 2 2 20

32. 8 8 40

33. 3 3 30

34. 2 2 10

35. 3 3 15

b b a

a a b

a a b

a a b

a a b

ν

ν

ν λ

ν

ν λ

−

−

− + +

− +

− +

− + +

− + +

2 2 2

2 2 2

1

1

36. 2 2 10

37. 8 8 20

38. 3 12 30

39. 3 12 15

40. 30

41. 3 12 30

42. 3 12 15

a a b

a a b

a a b

a a b

ab

b b a

b b a

ν

ν

ν λ

ν λν

ν λν λ

−

−

− +

− + +

+ +

− − +

− − −

+ −

2 2

2 2

60 30 (1 ), , ,

45 (1 ) 45 (1 3 ),

a ab abp q

b t tab ab

r st t

νλ

ν ν

−= = =

+ −= =

Khi có tải trọng tác dụng bên trong phần tử thì cần phải dời tải trọng về nút. Các lực nút tương ñương ñược xác ñịnh theo các phương pháp ñã trình bày ở Chương III và Chương IV. Công thức biến ñổi tọa ñộ ñối với chúng có dạng:

{ } [ ] { }e T eP T P′ = (7.19)

Việc thiết lập ma trận ñộ cứng tổng thể [ ]K về phương pháp cũng giống như ở bài

toán tấm mỏng ñã trình bày trước ñây. Sau khi xác ñịnh ñược [ ]K và vectơ tải tổng thể

{ }P ta thành lập ñược hệ phương trình cân bằng ñối với tất cả các nút:

[ ]{ } { }K P∆ = (7.20)

Sau khi xác ñịnh ñược các chuyển vị nút trong hệ tọa ñộ chung, cần phải tính các chuyển vị nút trong hệ tọa ñộ ñịa phương theo công thức:

{ } [ ]{ }Tδ δ ′=

từ ñó xác ñịnh nội lực và ứng suất trong phần tử. Ở ñây ta cũng có hai loại vectơ ứng suất tương ứng với hai trạng thái ứng suất: trạng thái phẳng và trạng thái uốn tấm:

{ } [ ] { }

{ } [ ] { }ph ph ph

u u u

S

S

σ δ

σ δ

=

= (7.21)

Giá trị ứng suất tại một ñiểm trong phần tử vỏ mỏng là tổng giá trị các thành phần tương ứng trong hai vectơ ứng suất trên ñây.

7.3. Phần tử hình tam giác

ðối với những vỏ mỏng có hai ñộ cong hoặc vỏ trụ có biên xiên hoặc biên cong thì sử dụng phần tử hình tam giác là rất thích hợp.

Cũng giống như ñối với phần tử hình chữ nhật, trạng thái ứng suất trong phần tử tam giác có thể phân tích thành trạng thái ứng suất phẳng và trạng thái uốn tấm.

Các thành phần chuyển vị nút và các thành phần lực nút ở hai trạng thái ñược biểu diễn trên hình 7.3 a,b. Chúng gồm 18 thành phần, trong ñó các thành phần chuyển vị nút

, ,zi zj zmθ θ θ và các thành phần lực nút , ,zi zj zmM M M thực tế không tồn tại, tuy nhiên ta

vẫn ñưa các chuyển vị này vào vectơ chuyển vị nút làm ẩn của bài toán với lý do như ñã nói ở trên.

PPPTHH �161

a) b)

Hình 7.3

Ma trận ñộ cứng của phần tử trong hệ tọa ñộ ñịa phương vẫn có dạng như ở (7.6). Các công thức biến ñổi tọa ñộ cũng tương tự như ñối với phần tử hình chữ nhật. Ma trận côsin chỉ phương có dạng (7.13):

[ ]

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

λ λ λλ λ λλ λ λ

λλ λ λλ λ λλ λ λ

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′ ′

=

Sau ñây trình bày cách tìm các thành phần trong ma trận trên ñây, tức là tìm các côsin chỉ phương.

Xét một phần tử ijm trên hình 7.4.

Tọa ñộ của 3 nút i, j, m trong hệ tọa ñộ chung là , , , , ..., .i i i j mx y z x z′ ′ ′ ′ ′ Chọn gốc tọa

ñộ ñịa phương là nút i, trục x trùng với cạnh ij, trục z vuông góc với mặt phẳng tam giác. Nếu coi cạnh ij (từ i ñến j) là một vectơ ijV thì vectơ này có thể biểu diễn bằng các

thành phần trong hệ tọa ñộ chung như sau:

ji

ij ji

ji

x

V y

z

′ ′= ′

(7.22)

trong ñó:

ji j i

ji j i

ji j i

x x x

y y y

z z z

′ ′ ′= −

′ ′ ′= −

′ ′ ′= −

(7.23)

Hình 7.4

Côsin chỉ phương của vectơ này (tức là côsin chỉ phương của trục x trong hệ tọa ñộ x’y’z’) là:

1

xx ji

x xy jiij

xz ji

x

v yl

z

λλλ

′

′

′

′ ′= =

′

(7.24)

trong ñó: ijl là chiều dài của cạnh ij:

2 2 2( ) ( ) ( )ij ji ji jil x y z′ ′ ′= + + (7.25)

Do trục z vuông góc với mặt phẳng tam giác nên sử dụng phép nhân vectơ ta có

....................

....................

ji mi ji mi

z ij im

y z z y

V V V

′ ′ ′ ′−

= × =

(7.26)

Bởi vì chiều dài của vectơ zV bằng 2 lần diện tích tam giác ijm, tức là

2 2 2( ) ( ) ( ) 2z ji mi ji mil y z z y′ ′ ′ ′= − + + = ∆L L (7.27)

cho nên côsin chỉ phương của trục z là:

1

....................2

....................

zx ji mi ji mi

z zy

zz

y z z y

v

λλλ

′

′

′

′ ′ ′ ′−

= = ∆

(7.28)

Tương tự có thể tìm ñược côsin chỉ phương của trục y:

.......................

.......................

yx zy xz zz xy

y yy z x

yz

v v v

λ λ λ λ λλλ

′ ′ ′ ′ ′

′

′

−

= = × =

(7.29)

Như vậy tất cả các thành phần trong ma trận (7.13) ñã tìm ñược, từ ñó có thể xác ñịnh ñược ma trận biến ñổi tọa ñộ [ ].T

[ ][ ]

[ ][ ]

0 0

0 0

0 0

T

λλ

λ

=

(7.30)

7.4. Vỏ tròn xoay

Bài toán tính vỏ tròn xoay có ý nghĩa thực tế rất lớn. Các phương pháp tính vỏ tổng quát trình bày ở trên ñều có thể dùng trong trường hợp này. Tuy nhiên do tính ñối xứng trục của kết cấu nên việc tính toán ñơn giản hơn rất nhiều. Trường hợp ñặc biệt Nếu vỏ và tải trọng ñều là ñối xứng trục thì sẽ hết sức ñơn giản.

Như ta ñã biết trong lý thuyết vỏ, nội lực trong vỏ mỏng không chỉ có mô men uốn mà còn có cả lực màng, biến dạng cũng gồm cả ñộ dãn và sự thay ñổi ñộ cong của

PPPTHH �163

mặt trung gian. Nếu ta xác ñịnh ñược chuyển vị của một ñiểm trong mặt trung gian thì có thể tính ñược biến dạng, và do ñó tính ñược ứng suất tại ñiểm ñó theo các công thức của lý thuyết vỏ.

Dưới ñây ta xét trường hợp vỏ ñối xứng trục chịu tải trọng ñối xứng trục (hình 7.5).

Hình 7.5

Vỏ ñược coi là tổ hợp của các PTHH có dạng vành tròn hình nón. Bề dày phần tử lấy bằng bề dày trung bình của ñoạn vành. Chuyển vị của một ñiểm trên mặt trung bình của vỏ ñược xác ñịnh duy nhất bởi các thành phần chuyển vị theo phương tiếp tuyến u và chuyển vị theo phương pháp tuyến w của mặt vỏ.

Ta ñã biết quan hệ sau ñây giữa hai thành phần chuyển vị nói trên với bốn thành phần biến dạng (với giả thiết gócΦ không ñổi tức là phần tử dạng hình nón):

{ } 2 2

/

( cos sin ) /

/

sin

s

s

du ds

w u r

d w ds

dw

r ds

θ

θ

εε

εχχ

Φ + Φ

= = Φ −

(7.31)

Các thành phần nội lực liên hệ với biến dạng qua ma trận ñàn hồi [ ]D :

{ } [ ]{ }

s

s

N

ND

M

M

θ

θ

σ ε

= =

(7.32)

ðối với trường hợp vỏ ñẳng hướng ta có

[ ] 2 22

2 2

1 0 0

1 0 0

0 0 /12 /121

0 0 /12 /12

EtD

t t

t t

νν

ννν

= −

(7.33)

trong ñó: t là bề dày của phần tử. Nửa trên của ma trận [ ]D tương ứng với trạng

thái phẳng, còn nửa dưới tương ứng với trạng thái uốn, và khi ñó bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt.

Hình 7.6 biểu diễn một phần tử vành có dạng hình nón cụt, cắt ra bởi các mặt phẳng vuông góc với trục ñối xứng của vỏ. Chuyển vị của các ñường nút tại các ñiểm i và j có thể xác ñịnh duy nhất biến dạng của các phần tử nhờ các hàm dạng mà sau ñây ta sẽ ñề cập tới.

Hình 7.6

Tại mỗi ñiểm i và j có các chuyển vị nút bao gồm chuyển vị theo phương trục z (trục ñối xứng của vỏ), chuyển vị theo phương bán kính và góc quay. Thí dụ tại ñiểm i ta có vectơ chuyển vị nút:

{ }i

ii

i

u

wδβ

=

(7.34)

trong ñó các phương của iu và iw trùng với phương của hệ tọa ñộ tổng quát (xem hình

vẽ). Như vậy phần tử có hai nút ij sẽ có 6 bậc tự do xác ñịnh bằng các chuyển vị:

{ }T

i i i j j ju w u wδ β β = (7.35)

Chuyển vị u, v của một ñiểm bất kỳ bên trong phần tử có thể xác ñịnh duy nhất bằng các chuyển vị nút và biến s (ñộ dài của cung) trên cơ sở ñảm bảo tính liên tục của chuyển vị và ñạo hàm của chuyển vị.

{ } [ ]{ }u

f Nv

δ

= =

(7.36)

Ta chọn u và v là hàm bậc nhất và hàm bậc ba của s với dạng sau:

PPPTHH �165

1 2

2 33 4 5 6

u s

w s s s

α α

α α α α

= +

= + + + (7.37)

Như vậy có 6 ẩn là các thông số 1 2 6, ,...,α α α có thể xác ñịnh chúng từ các giá trị

chuyển vị nút. Tại nút i ta có

[ ]{ }0

0

0 0 1

i i

i i i

i

i

u cos sin u

w sin cos w

dw

ds

λ δβ

Φ Φ = − Φ Φ =

(7.38)

Tương tự có thể viết biểu thức dạng (7.38) ñối với nút j. Sử dụng (7.37) và sau khi biến ñổi ta ñược

2 3 2 3 2 3 2 3

1 0 0 0 0

0 1 3 2 ( 2 ) 0 3 2 ( )

i

i

i

j

j

j

u

w

dw

dsu s s

uw s s L s s s s s L s s

w

dw

ds

′ ′−

= ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− + − + − − +

(7.39)

trong ñó: /s s L′ = .

Gọi ma trận 2x6 trên ñây là [ ]N ′ và ñể ý ñến (7.38) ta có

[ ] [ ]

[ ] { } [ ][ ] { }

[ ][ ] [ ] { } [ ]{ }

0 0

0 0i j

i j

uN N N

w

N N N

λ λδ δ

λ λ

λ λ δ δ

′ ′ ′ = =

′ ′ = =

(7.40)

Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị nút có thể biểu diễn như sau:

{ } [ ]{ } [ ][ ] [ ] { }i jB B Bε δ λ λ δ = = (7.41)

ðưa (7.20) vào (7.31) rồi so sánh với (7.41) ta xác ñịnh ñược ma trận [ ]B ,

trong ñó

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 3 2 3

2

2 2

1/ 0 0

1 / 1 3 2 / 2 /

0 6 12 / 4 6 /

0 6 6 / 1 4 3 /

i

L

s sin r s s cos r L s s s cos rB

s L s L

s s sin rL s s sin r

−

′ ′ ′ ′ ′ ′− Φ − + Φ − + Φ=

′ ′− + − +

′ ′ ′ ′− Φ − + − Φ

[ ]( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 3 2 3

2

2 2

1/ 0 0

/ 3 2 / 2 /

0 6 12 / 2 6 /

0 6 6 / 2 3 /

i

L

s sin r s s cos r L s s cos rB

s L s L

s s sin rL s s sin r

−

′ ′ ′ ′ ′Φ − Φ − + Φ = ′ ′− − +

′ ′ ′ ′− + Φ − Φ

(7.42)

Như vậy ta ñã biết ñược tất cả các thành phần cần thiết ñể tính ma trận ñộ cứng cũng như tính vectơ tải, ứng suất v.v…theo các công thức tổng quát ñã trình bày ở các phần trước. Ở ñây cần chú ý rằng, các phép tính tích phân thực hiện trên diện tích của phần tử, với

2 2d rds rLdsπ π ′∆ = =

trong ñó: s’ thay ñổi trong giới hạn từ 0 ñến 1. Do ñó ma trận ñộ cứng của phần tử có dạng:

[ ] [ ] [ ][ ]1

02

Tk B D B rLdsπ ′= ∫

Các thành phần của ma trận này là [ ]rsk ñược xác ñịnh theo biểu thức:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ]( )[ ]1

02

T T

rs r sk B D B rds Lλ λ π′= ∫

Trước khi tích phân cần biểu diễn r dưới dạng hàm của s.

Câu hỏi ôn tập

1. Trình bày cách thiết lập ma trận ñộ cứng của phần tử vỏ mỏng trên cơ sở tổ hợp phần tử màng và phần tử tấm uốn.

2. Thiết lập ma trân biến ñổi tọa ñộ khi sử dụng phần tử chữ nhật và phần tử tam giác.

Chương 8

BÀI TOÁN ðỘNG

PPPTHH �167

8.1. Phương trình ñộng lực học

Trong bài toán ñộng, ngoài việc xét tới trọng lượng bản thân của kết cấu cũng như các tải trọng khác, ta còn phải ñể ý tới lực quán tính và lực cản phân bố trong toàn bộ thể tích của kết cấu.

Nếu từ một kết cấu ñang chuyển ñộng ta tách ra một phân tố thì lực thể tích trong một ñơn vị thể tích của phân tố là:

{ } { } { } { }2

2tp p f ft t

ρ β∂ ∂

= − −∂ ∂

(8.1)

trong ñó: { }tp là trọng lượng và các lực thể tích tĩnh khác,

{ }2

2f

tρ

∂−

∂ là lực quán tính

{ }ft

β∂

−∂

là lực cản

ρ là mật ñộ của vật liệu, tức là khối lượng của một ñơn vị thể tích

β là hệ số cản, tức là lực cản trong một ñơn vị thể tích khi tốc ñộ bằng ñơn vị.

ðể giải bài toán ñộng bằng phương pháp PTHH ta vẫn dùng mô hình chuyển vị có dạng:

{ } [ ]{ }f N δ= (8.2)

trong ñó: [ ]N là ma trận các hàm dạng.

Thay (8.2) vào (8.1) ta ñược

{ } { } [ ] { } [ ] { }2

2tp p N Nt t

ρ δ β δ∂ ∂

= − −∂ ∂

(8.3)

Sử dụng công thức tổng quát dời tải trọng về nút ta có biểu thức xác ñịnh vectơ tải phần tử như sau:

{ } [ ] { }

[ ] { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] { }2

2

e T

V

TT T

t

V V V

P N p dV

N p dV N N dV N N dVt t

ρ δ β δ

=

∂ ∂= − −

∂ ∂

∫

∫ ∫ ∫

(8.4)

Ta ñặt:

{ } [ ] { }e T

t t

V

P N p dV= ∫ - vectơ tải trọng tĩnh ở nút của phần tử (8.5)

[ ] [ ] [ ]T

V

m N N dVρ= ∫ - ma trận khối lượng của phần tử (8.6)

[ ] [ ] [ ]T

V

c N N dVβ= ∫ - ma trận cản của phần tử (8.7)

{ } { }t

δ δ∂

=∂

& - vận tốc nút của phần tử (8.8)

{ } { }2

2tδ δ

∂=

∂&& - gia tốc nút của phần tử (8.9)

Biểu thức (8.4) có thể viết thành:

{ } { } [ ]{ } [ ]{ }e e

tP P m cδ δ= − −&& & (8.10)

Nếu xét tới ñiều kiện cân bằng ở tất cả các nút trong kết cấu, ta có ñược phương trình cân bằng ñộng lực học của toàn bộ kết cấu như sau:

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }tK C M P∆ + ∆ + ∆ =& && (8.11)

trong ñó: [ ]K - ma trận ñộ cứng của toàn bộ kết cấu

{ }∆ - vectơ chuyển vị nút của toàn bộ kết cấu

{ }tP - vectơ tải trọng tĩnh ở nút của toàn bộ kết cấu

[ ]C - ma trận cản của kết cấu

[ ]M - ma trận khối lượng của kết cấu

Hệ phương trình (8.11) là hệ phương trình cơ bản của bài toán ñộng lực học kết cấu ñược giải bằng phương pháp PTHH. Trong trường hợp kết cấu chịu dao ñộng cưỡng bức dưới tác dụng của lực kích thích thay ñổi theo thời gian ( )P t thì ta có:

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }( )K C M P t∆ + ∆ + ∆ =& &&

8.2. Ma trận khối lượng của phần tử

Ma trận khối lượng của phần tử xác ñịnh theo (8.6). Nếu khi tính các thành phần

ijm trong ma trận này ta dùng các hàm dạng giống như hàm dạng ñối với trường chuyển

vị trong phần tử thì ma trận nhận ñược theo cách ñó gọi là ma trận khối lượng tương thích. ðó là một ma trận ñối xứng bậc n, với n là số bậc tự do của phần tử. Ta có

[ ]11 1 1

1

... ...

. . . . . . . . . . . .

... ...

j k

k kj kk

m m m

m

m m m

=

(8.12)

trong ñó: k là số nút của phần tử. Kích thước của ma trận con ijm bằng số bậc tự

do của một nút.

Cũng giống như ma trận ñộ cứng, các thành phần trong ma trận khối lượng cũng có ý nghĩa vật lý (hình 8.1). Thành phần ijm chính là lực tổng quát tại nút i theo phương

k do gia tốc tổng quát bằng ñơn vị tại nút j theo phương l gây ra.

PPPTHH �169

Hình 8.1

Ma trận khối lượng của toàn hệ [ ]M cũng có dạng dải, giống như ma trận ñộ

cứng.

Thông thường ñể ñơn giản hóa tính toán người ta thường coi khối lượng phân bố ñều lên các nút. Trong trường hợp ñó ma trận khối lượng trở thành ma trận ñường chéo (chỉ có các thành phần trên ñường chéo) và gọi là ma trận khối lượng tập trung. Trong ma trận này một số thành phần trên ñường chéo chính có thể bằng không, thí dụ trong thanh bị uốn, khối lượng tương ứng với các bậc tự do theo phương quay bằng không.

Lời giải của bài toán sử dụng ma trận khối lượng tập trung là ñủ chính xác trong nhiều trường hợp. Nhưng trong một số trường hợp như sử dụng PTHH không tương thích thì các kết quả tính toán thường không chính xác. Vì vậy ñể giữ ñược dạng ma trận chéo [ ]M ñồng thời có lời giải chính xác, người ta không phân ñều khối lượng

phần tử lên các nút.

Sau ñây giới thiệu các dạng ma trận khối lượng của phần tử thanh và tấm trong các trường hợp dao ñộng khác nhau, tính theo công thức:

[ ] [ ] [ ]T

V

m N N dVρ= ∫ (8.13)

1. Phần tử thanh dao ñộng dọc trục

[ ]

1 1

3 61 1

6 3

docm m

=

(8.14)

trong ñó: ,m aAρ ρ= là khối lượng riêng, a là chiều dài phần tử, A là diện tích mặt cắt ngang của phần tử.

2. Phần tử thanh dao ñộng uốn

[ ]

2 2

3 2 3

2

3

13 11 9 13

35 210 70 4201 13 1

105 420 14013 11

35 2101

105

u n

a a a a

a a am m

a a

a

®èi

xøng

− −

= −

è (8.15)

3. Phần tử thanh dao ñộng xoắn

[ ]

1 1

3 61 1

6 3

oxoanm m

=

(8.16)

o om aJρ= (8.17)

trong ñó: oJ là mô men quán tính cực của mặt cắt.

Từ các công thức (8.14), (8.15) và (8.16) ta suy ra ma trận khối lượng tương thích của phần tử khung không gian như sau (tr. 168):

4. Phần tử tam giác ba nút ở ñỉnh của bài toán phẳng

Ma trận khối lượng tương thích có dạng:

ij i j

A

m tI N N dxdyρ= ∫ (8.18)

trong ñó ρ - khối lượng riêng t - bề dày phần tử I - ma trận ñơn vị cấp 2

Từ ñó ta có: [ ]

2 0 1 0 1 0

0 2 0 1 0 1

1 0 2 0 1 0

0 1 0 2 0 112

1 0 1 0 2 0

0 1 0 1 0 2

tm

ρ

∆

=

(8.19)

trong ñó: ∆ là diện tích của phần tử.

PPPTHH �171

[ ]

2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 6

13 11 9 130 0 0 0 0 0 0

35 210 70 420

13 11 9 130 0 0 0 0 0

35 210 70 420

1 10 0 0 0 0 0 0

3 3

1 13 10 0 0 0 0

105 420 140

1 13 10 0 0 0

105 420 140

10 0 0 0 0

3

13 110 0 0

35 210

13 110 0

35 210

10 0

3

1

105

o o

o

a a a a

a a a a

m m

m m

a a a

a a a

m

a a

a a

m

m

a

−

−

−

−

=

−

−®èi

xøng

2

2

0

1

105a

Ma trận khối lượng tập trung:

3ij

tm I

ρ ∆= (8.20)

I là ma trận ñơn vị cấp 6. 5. Phần tử hình chữ nhật có bốn nút ở ñỉnh của bài toán phẳng

[ ]

4 0 2 0 1 0 2 0

4 0 2 0 1 0 2

4 0 2 0 1 0

4 0 2 0 1

4 0 2 036

4 0 2

4 0

4

tm

ρ

∆ =

®èi

xøng

(8.21)

6. Phần tử tấm chữ nhật chịu uốn có bốn nút ở ñỉnh

Phần tử loại này có 24 bậc tự do. Ma trận khối lượng tương thích có dạng:

.

.

.

[]

22

22

22

22

2

3454

461

461

1226

199

274

394

116

116

1226

274

119

8063

199

4042

116

3028

276

6042

8027

442

6011

628

3019

942

40

3454

461

461

1226

274

199

394

116

116

8063

2520

0

ba

ba

ba

ba

bab

bb

abb

bab

bb

ab

aa

aba

aab

aa

aba

ba

ba

ba

ba

tab

mρ

−−

−−

−−

−−

−−

−−

−

−−

−

=

22

22

2

22

22

2

2

274

6042

116

3028

8019

942

4011

628

30

3454

461

461

1226

199

274

8063

199

4042

8027

442

60

3454

461

461

8063 80

bb

bab

bb

ab

aa

aba

aab

a

aa

ba

bab

bb

ab

aa

aba

ba

bab a

−−

−

−

−−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

®èi

xøng

PPPTHH � 169

trong ñó: a, b là các cạnh của phần tử.

170 � PPPTHH

8.3. Ma trận cản

Ma trận cản của phần tử ñược xác ñịnh theo biểu thức (8.7) cũng dựa trên hàm dạng giống như ma trận khối lượng, chỉ thay ρ bằng hệ số cản c, do ñó cấu trúc của ma trận cản cũng giống như ma trận khối lượng tương thích. Ý nghĩa vật lý của các thành phần trong ma trận cản cũng tương tự như ý nghĩa các thành phần ma trận khối lượng: thành phần ijc trong ma trận [ ]c là tổng các lực tác dụng tại nút i theo phương k do tốc

ñộ ñơn vị tại nút j theo phương l, trong khi tốc ñộ cũng như chuyển vị và gia tốc của tất cả các nút còn lại bằng không.

Cần chú ý rằng, ở ñây ta giả thiết lực cản tỉ lệ với tốc ñộ chuyển dịch của phần tử. Trong một số tài liệu người ta giới thiệu công thức xác ñịnh ma trận cản của phần tử như sau:

[ ] [ ] [ ] [ ]( )1

1

0

ln

il

c m a m k−

−

=

= ∑

trong ñó: [ ]k là ma trận ñộ cứng phần tử, ,ia l là các hệ số.

Nếu trong công thức trên chỉ lấy 2 số hạng thì

[ ] [ ] [ ]0 1c a m a k= + (8.23)

tức là tổ hợp tuyến tính của ma trận khối lượng và ma trận ñộ cứng.

8.4. Dao ñộng tự do không có lực cản

Trong phương trình (8.11) cho [ ]C và { }tP bằng 0, ta ñược phương trình dao ñộng

tự do không có lực cản:

[ ]{ } [ ]{ } 0K M∆ + ∆ =&& (8.24)

Giả sử một kết cấu có dao ñộng ñiều hòa sau ñây:

{ } { }0 cos tω∆ = ∆ (8.25)

Thay (8.25) vào phương trình (8.24) ta ñược:

[ ] [ ]( ){ }20 0K Mω− ∆ = (8.26)

Bởi vì khi dao ñộng tự do, biên ñộ dao ñộng của các nút trong kết cấu { }0∆ không

ñồng thời bằng không, cho nên ñịnh thức trong dấu ngoặc ở vế trái của phương trình trên phải bằng không, tức là

[ ] [ ]2 0K Mω− = (8.27)

ðây là hệ phương trình ñại số ñể xác ñịnh tần số dao ñộng tự do của kết cấu.

Ma trận ñộ cứng tổng thể [ ]K và ma trận khối lượng [ ]M ñều là các ma trận

vuông cấp n (n là số bậc tự do của tất cả các nút), do ñó (8.26) là hệ phương trình ñại số

PPPTHH �171

gồm n phương trình ñối với 2ω . Giải phương trình này ta tìm ñược n nghiệm thực dương, tức là n giá trị dương của 2ω , từ ñó tìm ñược n giá trị tần số riêng

( 1,2,... )i i nω = . Mỗi giá trị của tần số riêng ứngvới một dạng dao ñộng cụ thể, trong ñó

tỉ số giữa các chuyển vị nút trong mỗi dao ñộng là một ñại lượng hoàn toàn xác ñịnh, tuy nhiên giá trị của các chuyển vị nút lại chưa xác ñịnh. Thay iω vào phương trình

(8.26) ta tìm ñược vectơ riêng { }0 i∆ tương ứng với mỗi tần số riêng, ñó chính là biên ñộ

dao ñộng của các nút tương ứng với tần số riêng thứ i.

Ta thấy phương trình (8.26) là phương trình ñiển hình của bài toán trị riêng. Có nhiều phương pháp giải phương trình này ñể tìm trị riêng và dạng dao ñộng của hệ, tùy thuộc vào yêu cầu cụ thể của bài toán, thí dụ cần tính tất cả các giá trị riêng hay chỉ cần tính một vài giá trị riêng có mô ñun lớn nhất.

Rất nhiều bài toán xác ñịnh trị riêng ñều xuất phát từ phương trình ñiển hình có dạng sau ñây:

[ ]{ } { }H χ λ χ= (8.28)

trong ñó: [ ]H là ma trận vuông ñối xứng, λ là vectơ riêng cần tìm. Nếu ñặt 21/λ ω= ta có thể viết (8.26) dưới dạng:

[ ] [ ]{ } { }1

0 0K M λ−

∆ = ∆ (8.29)

Thông thường thì tích hai ma trận [ ] [ ]1K M

−không phải là ma trận ñối xứng nên

việc giải phương trình (8.29) ñể tìm trị riêngλ là rất phức tạp. ðể cho thuật toán ñơn giản ta tiếp tục biến ñổi phương trình (8.29) về dạng chứa ma trận ñối xứng. Muốn vậy

ta tách ma trận [ ]K thành hai ma trận tam giác [ ]L và [ ]TL , trong ñó [ ]L là ma trận

tam giác có tất cả các phần tử nằm phía trên ñường chéo chính ñều bằng không. Ta có:

[ ] [ ][ ]TK L L=

và [ ] [ ]( ) [ ]11 1T

K L L−− −

= (8.30)

Nhân hai vế của (8.29) với [ ]TL ta ñược

[ ] [ ]{ } [ ] { }1

0 0

TL M Lλ

−∆ = ∆ (8.31)

ðặt [ ] { } { }0

TL χ∆ =

và thay vào (8.31) ñược

[ ] { } { }H χ λ χ= (8.32)

trong ñó: [ ] [ ] [ ] [ ]( )1 1 T

H L M L− −

= (8.33)

172 � PPPTHH

là ma trận ñối xứng.

Từ phương trình (8.32) xác ñịnh các trị riêng λ , sau ñó lần lượt tìm ñược các các giá trị { }χ và { }0∆ của các dạng dao ñộng. Vì trong mỗi dạng dao ñộng các biên ñộ dao

ñộng của các nút là tương ñối với nhau, cho nên có thể cho một ẩn nào ñó trong { }χ

(thí dụ 1χ ) một giá trị bất kỳ, thí dụ lấy bằng 1, rồi từ ñó tính các giá trị khác trong { }χ .

Thí dụ. Dao ñộng ngang của thanh chịu uốn

Một thanh dài 2L l= , hai ñầu gối tựa (hình 8.2), ñộ cứng chống uốn EJ, khối lượng riêng ρ , diện tích mặt cắt ngang A. Ta tính trị riêng và dạng dao ñộng riêng của thanh.

Chia thanh thành 2 phần tử. Do tính ñối xứng của thanh ta chỉ cần giải bài toán ñối với một phần tử với 2 ñiều kiện biên như trên hình a) và b).

a)

b)

Hình 8.2

Ma trận ñộ cứng và ma trận khối lượng tương thích tính theo các công thức (2.47) và (8.15).

Trong trường hợp a), chuyển vị thẳng ñứng (ñộ võng) tại nút 1 và nút 2 bằng không, do ñó ma trận ñộ cứng và ma trận khối lượng có dạng:

[ ]

[ ]

2 2

3 2 2

2 2

2 2

4 2

2 4

4 3

420 3 4

l lEJk

l l l

l lmm

l l

=

−=

−

trong ñó: m l Aρ= .

Dựa vào (8.26) ta có phương trình trị riêng:

2 2 2 2

123 2 2 2 2

2

2 4 320

4202 3 4

l l l lEJ m

l l l l l

ϕω

ϕ

−− = −

(a)

ðưa vào ký hiệu

PPPTHH �173

3

2 2 1

840

mls

EJω=

ta có phương trình ñặc trưng của bài toán:

2 2

2 2

2(1 2 ) 1 30

1 3 2(1 2 )

s s

s s

− +=

+ − (b)

hoặc 4 27 22 3 0s s− + =

Từ ñó ta ñược

21 1 3

0,143 , 10,954EJ

sml

ω= =

22 2 3

3 , 50,200EJ

sml

ω= =

Dựa vào (a) và (b) ta có hệ phương trình xác ñịnh biên ñộ dao ñộng:

2 2

1 2

2 21 2

2(1 2 ) (1 3 ) 0

(1 3 ) 2(1 2 ) 0

s s

s s

ϕ ϕ

ϕ ϕ

− + + =

+ + − =

Với 21 0,143s = , Nếu lấy 1 1ϕ = thì 2 1ϕ = − ,

Với 21 0,3s = , Nếu lấy 1 1ϕ = thì 2 1ϕ =

Do ñó:

{ } { }1 101 02

2 2

1 1,

1 1

ϕ ϕϕ ϕ

∆ = = ∆ = =

−

Trong trường hợp ở hình b), chuyển vị tại nút 1 và góc quay tại nút 2 bằng không, do ñó ma trận ñộ cứng và ma trận khối lượng là

[ ]

[ ]

2 2

3 2

2

4 6

6 12

4 13

420 13 156

l lEJk

l l

l lmm

l

−=

−

=

Ta có phương trình trị riêng:

2 2 2

123 2

2

4 6 4 130

4206 12 13 156

l l l lEJ mvl l l

ϕω

−− = −

Lúc này ñịnh thức của hệ có dạng:

174 � PPPTHH

2 2 2

2 2

(2 4 ) ( 3 13 )0

( 3 13 ) 6 156

s l s l

s l s

− − −=

− − −

hoặc 4 2455 414 3 0s s− + =

Giải phương trình này ta ñược các trị riêng và vectơ riêng:

21 1 3

22 2 3

0,00730 , 2, 477

0,903 , 27,540

EJs

ml

EJs

ml

ω

ω

= =

= =

{ } { }1 101 02

2 2

1,572 1,

1 0,109l l

v v

ϕ ϕ

∆ = = ∆ = = −

Các dạng dao ñộng vẽ trên hình 8.3. Các hình a,b,c,d lần lượt tương ứng với các tần số:

3 3 3 3

2, 477 , 10,954 , 27,540 , 50,200EJ EJ EJ EJ

ml ml ml mlω ω ω ω= = = =

a)

b)

c)

d)

Hình 8.3

Câu hỏi ôn tập

1. Viết và giải thích phương trình cơ bản của bài toán ñộng theo phương pháp phần tử hữu hạn.

2. Cách xác ñịnh ma trận khối lượng của phần tử thanh dao ñộng (dao ñộng dọc, dao ñộng uốn, xoắn), tương tự với phần tử màng phẳng, phần tử tấm uốn.

3. Nêu một thí dụ xác ñịnh tần số dao ñộng riêng và dạng dao ñộng của thanh chịu uốn.

PPPTHH �175

Phụ lục

ðẠI CƯƠNG VỀ LÝ THUYẾT ðÀN HỒI

ðể có thể sử dụng phương pháp PTHH giải các bài toán của Lý thuyết ñàn hồi, trước hết cần nắm ñược các khái niệm và phương trình cơ bản của môn học này. Vì vậy phần này giới thiệu vắn tắt các khái niệm và phương trình ñó, coi như phần chuẩn bị cơ sở, người ñọc có thể tìm hiểu kỹ hơn ở các tài liệu chuyên sâu.

1. KHÁI NIỆM VỀ ỨNG SUẤT

Khi một vật thể ñàn hồi chịu lực thì trong vật thể sẽ sinh ra ứng suất. ðể biểu diễn ứng suất tại một ñiểm M trong vật thể, ta lấy ra từ vật thể một phân tố hình hộp MABC có 6 mặt vuông góc với các trục tọa ñộ (hình 1). Vectơ ứng suất trên mỗi mặt ñược phân thành ứng suất pháp và hai ứng suất tiếp, ba ứng suất này song song với ba trục tọa ñộ. Ta ký hiệu ứng suất pháp xσ là ứng suất trên mặt vuông góc với trục x và có phương

theo trục x, ứng suất tiếp xyτ là ứng suất trên mặt vuông góc với trục x và có phương

theo trục y v.v…

Hình 1

Qui ước dấu của các ứng suất như sau: ứng suất pháp là dương khi nó hướng ra phía ngoài mặt cắt, ứng suất tiếp là dương khi pháp tuyến ngoài của mặt cắt cùng chiều

176 � PPPTHH

với trục song song với pháp tuyến ấy, và bản thân ứng suất tiếp cũng cùng chiều với trục song song với nó, hoặc khi pháp tuyến ngoài ngược chiều với trục song song với nó, và bản thân ứng suất tiếp cũng ngược chiều với trục song song với nó. Trên hình 1 các ứng suất ñều có dấu dương.

Các ứng suất tiếp có quan hệ với nhau theo ñịnh luật ñối ứng, tức là

, ,xy yx yz zy zx xzτ τ τ τ τ τ= = =

Có thể chứng minh rằng, Nếu biết ñược 6 ñại lượng ứng suất , , , ,x y z xyσ σ σ τ ,yz zxτ τ tại một ñiểm M thì có thể tìm ñược ứng suất trên mặt bất kỳ ñi

qua ñiểm ñó cũng như ứng suất pháp và ứng suất tiếp lớn nhất. Như vậy 6 ñại lượng này hoàn toàn xác ñịnh trạng thái ứng suất tại ñiểm ñó, ta gọi chúng là các thành phần ứng suất tại ñiểm ñó.

Nói chung trạng thái ứng suất tại các ñiểm trong vật thể ñàn hồi là khác nhau, do ñó 6 thành phần ứng suất trên ñây là các hàm của tọa ñộ x,y,z. Các hàm này hợp thành một vectơ gọi là vectơ ứng suất, biểu diễn như sau:

{ }

x

y

Tzx y z xy yz zx

xy

yz

zx

σσσ

σ σ σ σ τ τ ττττ

= =

(1)

2. CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG. PHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC

Sau khi chịu lực vật thể sẽ phát sinh chuyển vị và biến dạng, tức là có sự chuyển dịch vị trí và biến ñổi hình dáng.

Chuyển vị của vật thể ñàn hồi tại một ñiểm ñược biểu diễn bằng các hình chiếu của nó là u,v,w lên các tọa ñộ x,y,z. Ta gọi chúng là các thành phần chuyển vị. Nói chung các thành phần này cũng là hàm của tọa ñộ x,y,z.

y

x

PPPTHH �177

Hình 2

ðể biểu diễn biến dạng tại một ñiểm M trong vật thể ñàn hồi người ta tách ra một phân tố có các cạnh MA = dx, MC = dy (hình 2). Sau khi biến dạng, chiều dài của 3 cạnh và góc vuông giữa 3 cạnh sẽ thay ñổi. Ta gọi sự thay ñổi ñộ dài của cạnh trên một ñơn vị dài theo các phương x,y,z là các biến dạng ñường , ,x y zε ε ε , và sự thay ñổi của

góc vuông giữa các cạnh là các biến dạng góc , ,xy yz zxγ γ γ . Nếu ñã biết 6 ñại lượng

biến dạng trên ñây tại ñiểm M thì có thể tìm ñược biến dạng của một phân tố thẳng bất kỳ ñi qua ñiểm ñó và biến dạng góc giữa hai phân tố thẳng bất kỳ ñi qua ñiểm ñó, cũng như biến dạng ñường lớn nhất và nhỏ nhất. Như vậy 6 ñại lượng này hoàn toàn xác ñịnh trạng thái biến dạng tại ñiểm ñó, ta gọi chúng là các thành phần biến dạng. ðương nhiên các thành phần biến dạng là hàm của các tọa ñộ. Các thành phần này hợp thành vectơ biến dạng, biểu diễn như sau:

{ }

x

y

Tzx y z xy yz zx

xy

yz

zx

εεε

ε ε ε ε γ γ γγγγ

= =

(2)

Giữa các thành phần biến dạng và các thành phần chuyển vị có quan hệ hình học với nhau. ðể ñơn giản ta xét bài toán phẳng rồi từ ñó suy ra trường hợp tổng quát. ðể ý ñến một phân tố hình chữ nhật lân cận ñiểm M có các cạnh dx, dy song song với các trục tọa ñộ (hình 2). Sau khi biến dạngphân tố này trở thành phân tố M A B C′ ′ ′ ′ . Từ hình vẽ ta xác lập ñược các quan hệ sau ñây:

( )

x

xy

udx u dx u dx

M A MA uxMA dx x

v u

x y

ε

γ α β

∂ + + − − ′ ′ − ∂∂ = = =∂

∂ ∂= + = +

∂ ∂

Suy rộng ra ta có phương trình hình học, gọi là phương trình biến dạng Cauchy ñối với bài toán không gian:

178 � PPPTHH

x

y

z

xy

yz

zx

u

xv

y

w

zv u

x y

w v

y z

u w

z x

ε

ε

ε

γ

γ

γ

∂=

∂∂

=∂

∂=

∂∂ ∂

= +∂ ∂

∂ ∂= +

∂ ∂

∂ ∂= +

∂ ∂

(3)

Phương trình (3) cho thấy, khi các thành phần chuyển vị ñược xác ñịnh thì các thành phần biến dạng cũng hoàn toàn ñược xác ñịnh. Nhưng ngược lại, khi các thành phần biến dạng ñược xác ñịnh thì các thành phần chuyển vị không hoàn toàn xác ñịnh. ðó là vì, với một vật thể có hình dáng nhất ñịnh có thể có các chuyển vị cố thể khác nhau. ðể chứng minh ñiều này, trong công thức (3) ta ñặt:

0x y z xy yz zxε ε ε γ γ γ= = = = = =

Lúc ñó

0 , 0 , 0 ,

0 , 0 , 0 ,

u v w

x y z

v u w v u w

x y y z z x

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = + = + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Sau khi tích phân ñược

0

0

0

y z

z x

x y

u u z y

v v x z

w w y x

ω ω

ω ω

ω ω

= + −

= + −

= + −

trong ñó: 0 0 0, , , , ,x y zu v w ω ω ω là các hằng số tích phân. Dễ dàng nhận thấy

rằng, 0 0 0, ,u v w là chuyển dịch cố thể theo các phương tọa ñộ, còn

, ,x y zω ω ω là chuyển ñộng quay cố thể quanh các phương tọa ñộ.

3. QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG. MA TRẬN ðÀN HỒI

PPPTHH �179

Giả thiết vật thể ñàn hồi tuyến tính có tính ñồng nhất, liên tục và ñẳng hướng. Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tuân theo ñịnh luật Hooke:

1( )

1( )

1( )

1 1 1, ,

x x y z

y y z x

z z x y

xy xy yz yz zx zx

E

E

E

G G G

ε σ ν σ σ

ε σ ν σ σ

ε σ ν σ σ

γ τ γ τ γ τ

= − +

= − +

= − +

= = =

(4)

trong ñó: E là mô ñun ñàn hồi về kéo nén, G là mô ñun ñàn hồi trượt, ν là hệ số Poisson, giữa chúng có quan hệ:

2(1 )

EG

ν=

+ (5)

Phương trình (4) gọi là phương trình vật lý.

Từ phương trình (4) giải ra các ứng suất và ñể ý ñến (5) ta có

(1 )

(1 )(1 2 ) 1 1

(1 )

(1 )(1 2 ) 1 1

(1 )

(1 )(1 2 ) 1 1

, ,2(1 ) 2(1 ) 2(1 )

x x y z

y y z x

z z x y

xy xy yz yz zx zx

E

E

E

E E E

ν ν νσ ε ε ε

ν ν ν ν

ν ν νσ ε ε ε

ν ν ν ν

ν ν νσ ε ε ε

ν ν ν ν

τ γ τ γ τ γν ν ν

− = + + + − − −

− = + + + − − −

− = + + + − − −

= = =+ + +

(6)

Có thể viết (6) dưới dạng ma trận:

1 0 0 01 1

1 0 0 01

1 0 0 0(1 ) 1 2

0 0(1 )(1 2 ) 2(1 )

1 20

2(1 )

1 2

2(1 )

x x

y y

z z

xy xy

yz yz

zx zx

E

ν νν ν

νσ εν

σ εσ εν ντ γν ν ντ γντ γν

νν

− − − − −= + − − − − −

−

®èi

xøng

(7)

180 � PPPTHH

hay { } [ ]{ }Dσ ε= (8)

trong ñó:

[ ]

1 0 0 01 1

1 0 0 01

1 0 0 0(1 ) 1 2

0 0(1 )(1 2 ) 2(1 )

1 20

2(1 )

1 2

2(1 )

ED

ν νν ν

νν

ν νν ν ν

νν

νν

− − − − −= + − − −

− −

−

®èi

xøng

(9)

gọi là ma trận ñàn hồi, bởi vì nó ñược xác ñịnh từ các hằng số ñàn hồi.

4. BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ðÀN HỒI

Bất kỳ vật thể nào cũng là vật thể khối, do ñó nói chính xác mọi bài toán thực tế ñều là bài toán không gian (bài toán 3 chiều), ñều phải xét tới tất cả các thành phần chuyển vị, biến dạng và ứng suất. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, khi vật thể ñàn hồi có hình dạng ñặc biệt và chịu tải trọng ñặc biệt thì có thể ñưa bài toán không gian ñơn giản hóa gần ñúng thành bài toán phẳng (bài toán 2 chiều) hoặc bài toán ñơn (bài toán 1 chiều). Bài toán phẳng là bài toán trong ñó các ñại lượng cần tìm (ứng suất, biến dạng, chuyển vị) là hàm của hai biến. Có thể phân bài toán phẳng thành hai loại: bài toán ứng suất phẳng và bài toán biến dạng phẳng.

A. Bài toán ứng suất phẳng

Có một tấm mỏng bề dày t như hình 3, trên biên của tấm có tải trọng song song với mặt tấm và phân bố ñều theo bề dày của tấm.

PPPTHH �181

Hình 3

Chọn hệ tọa ñộ như hình vẽ, mặt xy là mặt trung bình của tấm.

Do các mặt bên của tấm không chịu lực nên ta có

( ) ( ) ( )2 2 2

0 , 0 , 0t t tz zx zyz z zσ τ τ

=± =± =±= = =

Vì tấm là mỏng nên có thể giả thiết rằng trên toàn bộ bề dày của tấm:

0 , 0 , 0z zx xz zy yzσ τ τ τ τ= = = = = (10)

chỉ còn lại các ứng suất , ,x y xyσ σ τ , các ứng suất này phân bố ñều trên bề dày tức là

không phụ thuộc vào tọa ñộ z. Bài toán như vậy gọi là bài toán ứng suất phẳng. Vectơ ứng suất trong trường hợp này là

{ }x

y

xy

σσ σ

τ

=

(11)

Phương trình ñịnh luật Hooke có dạng:

( )

( )

1

1

2(1 )

x x y

y y x

xy xy

E

E

E

ε σ νσ

ε σ νσ

νγ τ

= −

= −

+=

(12)

Nếu biểu diễn ứng suất qua biến dạng ta có

2

2

( )1

( )1

2(1 )

x x y

y y x

xy xy

E

E

E

σ ε νεν

σ ε νεν

τ γν

= +−

= +−

=+

(13)

Viết dưới dạng ma trận:

182 � PPPTHH

2

1 0

1 01

10 0

2

x x

y y

xy xy

Eσ ν εσ ν ε

ντ ν γ

= − −

(14)

hay dưới dạng ñơn giản:

{ } [ ]{ }Dσ ε= (15)

trong ñó ma trận ñàn hồi là

[ ] 2

1 0

1 01

10 0

2

ED

νν

νν

= − −

(16)

Phương trình hình học có dạng:

{ }x

y

xy

u

xv

y

v u

x y

εε ε

γ

∂

∂ ∂

= = ∂

∂ ∂+

∂ ∂

(17)

B. Bài toán biến dạng phẳng

Ta xét một tường chắn dài như trên hình 4, có kích thước theo phương z rất lớn so với hai kích thước còn lại. Tường chịu lực bề mặt song song với mặt cắt ngang và không thay ñổi theo phương z.

Hình 4

PPPTHH �183

Do tường rất dài nên ở những những ñoạn xa hai ñầu tường có thể coi chỉ có u, v theo phương x và y, còn không có chuyển vị theo phương z, tức là

0w =

Như vậy theo (3) ta có

0z xz yz zx zyε γ γ γ γ= = = = = (18)

chỉ còn lại các biến dạng , ,x y xyε ε γ . Bài toán như vậy gọi là bài toán biến dạng phẳng.

ðể ý tới (18), từ phương trình vật lý (8) rút ra:

0

( )

xz yz

z x y

τ τ

σ ν σ σ

= =

= +

zσ tuy khác không, nhưng có thể tìm ñược nhờ ,x yσ σ nên không cần

ñể ý tới.. Do ñó phương trình (6) trở thành:

(1 )

(1 )(1 2 ) 1

(1 )

(1 )(1 2 ) 1

2(1 )

x x y

y y x

xy xy

E

E

E

ν νσ ε ε

ν ν ν

ν νσ ε ε

ν ν ν

τ γν

− = + + − −

− = + + − −

=+

(19)

Viết dưới dạng ma trận:

1 01

(1 )1 0

(1 )(1 2 ) 11 2

0 02(1 )

x x

y y

xy xy

E

ννσ ε

ν νσ ε

ν ν ντ γν

ν

−

− = + − − − −

(20)

trong ñó ma trận ñàn hồi

[ ]

1 01

(1 )1 0

(1 )(1 2 ) 11 2

0 02(1 )

ED

νν

ν νν ν ν

νν

−

− = + − −

− −

(21)

184 � PPPTHH

Tóm lại trong cả hai loại bài toán phẳng, phương trình hình học (17) là như nhau, còn phương trình vật lý có dạng như nhau nhưng với bài toán ứng suất phẳng [ ]D lấy

theo (16), còn với bài toán biến dạng phẳng [ ]D lấy theo (21). Cần chú ý rằng, Nếu

trong công thức (16) thay E bằng 21

E

ν− và thay ν bằng

1

νν−

thì sẽ ñược công

thức (21).

5. BÀI TOÁN ðỐI XỨNG TRỤC

Nếu một vật thể có hình dáng, ñiều kiện liên kết và tải trọng ñối xứng qua một trục (tức là tất cả các mặt ñi qua trục ñó ñều là mặt ñối xứng) thì tất cả ứng suất, biến dạng, chuyển vị của vật thể ñều ñối xứng qua trục ñó. Bài toán như vậy gọi là bài toán ñối xứng trục.

ðể biểu diễn ứng suất và biến dạng trong bài toán ñối xứng trục, người ta dùng hệ tọa ñộ trụ gồm 3 tọa ñộ , ,r zθ (hình 5). Vì z là trục ñối xứng nên các thành phần ứng suất, biến dạng, chuyển vị ñều là hàm của hai biến r và z, mà không phụ thuộc θ .

Hình 5

Từ vật thể ñàn hồi tách ra một phân tố sáu mặt có kích thước như hình vẽ. Trên các mặt bên có các ứng suất pháp rσ theo phương hướng kính r, θσ theo phương vòng

quanh θ và zσ theo phương trục z. Do tính ñối xứng vật thể và của tải trọng nên các ứng

suất tiếp , , ,r r z zθ θ θ θτ τ τ τ bằng không, chỉ còn lại zr rzτ τ= . Vectơ ứng suất trong trường

hợp này có dạng:

{ }

r

z

zr

θ

σσ

σστ

=

(22)

PPPTHH �185

Tương ứng với 4 thành phần ứng suất là 4 thành phần biến dạng: các biến dạng ñường , ,r zθε ε ε và biến dạng góc zrγ . Các biến dạng còn lại ,r zθ θγ γ bằng không do tính

ñối xứng.

Vectơ biến dạng là

{ }

r

z

zr

θ

εε

εεγ

=

(23)

Chuyển vị của một ñiểm trong vật thể có thể phân tích thành 2 thành phần: chuyển vị theo phương hướng kính là u và chuyển vị theo phương z là w. Phương trình hình học có dạng:

, ,r z

zr

u u w

r r zw u

r z

θε ε ε

γ

∂ ∂= = =

∂ ∂∂ ∂

= +∂ ∂

Viết dưới dạng ma trận:

{ }

u

ru

rw

zw u

r z

ε

∂ ∂

= ∂

∂ ∂ ∂ + ∂ ∂

(24)

Phương trình ñịnh luật Hooke sẽ là

[ ]

[ ]

[ ]

1( )

1( )

1( )

2(1 )

r r z

z r

z z r

zr zr

E

E

E

E

θ

θ θ

θ

ε σ ν σ σ

ε σ ν σ σ

ε σ ν σ σ

νγ τ

= − +

= − +

= − +

+=

Có thể biểu diễn ứng suất qua biến dạng:

186 � PPPTHH

1 01 1

1 0(1 ) 1 1

(1 )(1 2 ) 1 01 1

1 20 0 0

2(1 )

r r

z z

zr zr

Eθ θ

ν νν ν

σ εν νσ εν ν ν

ν νσ εν νν ντ γ

νν

− − − − −

= + −

− − −

−

(25)

Ta cũng có thể viết:

{ } [ ]{ }Dσ ε=

trong ñó ma trận ñàn hồi:

[ ]

1 01 1

1 0(1 ) 1 1

(1 )(1 2 ) 1 01 1

1 20 0 0

2(1 )

ED

ν νν ν

ν νν ν ν

ν νν νν ν

νν

− − − − −

= + −

− − −

−

(26)

6. BÀI TOÁN UỐN TẤM MỎNG

Khi tấm mỏng chịu tác dụng của ngoại lực vuông góc với mặt tấm (cũng tức là vuông góc với mặt trung bình của tấm) tấm sẽ bị uốn và xoắn. Mặt trung bình của tấm biến dạng thành mặt võng ñàn hồi.

Trên hình 6 là một tấm mỏng chịu uốn. Chọn hệ tọa ñộ có mặt xy là mặt trung bình, trục z vuông góc với mặt trung bình. ðể phân tích bài toán tấm người ta thường ñưa ra các giả thiết sau ñây:

(1) Phần tử thẳng vuông góc với mặt trung bình sau khi tấm bị uốn vẫn thẳng và vuông góc với mặt trung bình.

(2) Các mặt song song với mặt trung bình không ép hoặc ñẩy nhau.

(3) Các ñiểm trong mặt trung bình không có chuyển vị trong mặt phẳng ñó.

PPPTHH �187

Hình 6

Từ giả thiết (2) ta có 0zε = , suy ra 0w

z

∂=

∂, từ ñó ta có ñộ võng tấm là hàm của x

và y, ( , )w w x y= .

Từ giả thiết (1) ta có 0 , 0yz zxγ γ= = , phương trình hình học trở thành:

0 , 0w v u w

y z z x

∂ ∂ ∂ ∂+ = + =

∂ ∂ ∂ ∂ (27)

Từ ñó ta có

,v w u w

z y z x

∂ ∂ ∂ ∂= − = −

∂ ∂ ∂ ∂

Tích phân ñối với z ta ñược

1

2

( , )

( , )

wv z f x y

y

wu z f x y

x

∂= − +

∂

∂= − +

∂

(28)

Từ giả thiết (3) ta có

( ) ( )0 0

0 , 0z z

u v= =

= =

Thay vào (28) ta ñược

,w w

u z v zx y

∂ ∂= − = −

∂ ∂

Từ ñây ta có thể biểu diễn biến dạng qua chuyển vị:

2

2

2

2

2

2

x

y

xy

u wz

x x

v wz

y y

u v wz

y x x y

ε

ε

γ

∂ ∂= = −

∂ ∂∂ ∂

= = −∂ ∂

∂ ∂ ∂= + = −

∂ ∂ ∂ ∂

(29)

Trong giả thiết biến dạng nhỏ thì 2

2

w

x

∂−

∂ và

2

2

w

y

∂−

∂ biểu diễn ñộ cong của mặt

tấm, còn 2w

x y

∂−∂ ∂

biểu thị ñộ xoắn, chúng ñược gọi là các thành phần biến dạng của tấm

mỏng, và hợp thành vectơ biến dạng:

188 � PPPTHH

{ }

2

2

2

2

2

2

w

x

w

y

w

x y

χ

∂−

∂ ∂

= − ∂

∂−

∂ ∂

(30)

Theo (29) ta có quan hệ giữa biến dạng của tấm và biến dạng của các ñiểm (các thớ) của tấm như sau:

{ } { }zε χ= (31)

Vì ñã giả thiết bỏ qua ứng suất pháp zσ , và các ứng suất tiếp ,xz yzτ τ thường rất

nhỏ cũng có thể bỏ qua, nên ứng suất trong mặt cắt ngang của tấm chỉ còn lại là:

( )

( )

2

2

1

1

2(1 )

x x y

y y x

xy xy

E

E

E

σ ε νεν

σ ε νεν

τ γν

= +−

= +−

=+

ðể ý tới (29) ta có

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2

1

1

1

x

y

xy

E w wz

x y

E w wz

y x

E wz

x y

σ νν

σ νν

τν

∂ ∂= − + − ∂ ∂

∂ ∂= − + − ∂ ∂

∂= −

+ ∂ ∂

(32)

ðể xác ñịnh nội lực trong tấm ta tách ra một phân tố tấm có bề dày t và các cạnh theo phương x và phương y có ñộ dài bằng ñơn vị (hình 7). Từ hình vẽ ta thấy:

PPPTHH �189

Hình 7

Mô men uốn trên một ñơn vị bề rộng của mặt cắt vuông góc với trục x là

2

2

t

tx zM z dzσ−

= ∫

hay ñể ý ñến (30) ta có

3 2 2

2 2 212(1 )x

Et w wM

x yν

ν ∂ ∂

= − + − ∂ ∂ (33)

Mô men xoắn trên mặt cắt này:

3 2

2

2 12(1 )

t

txy xy

Et wM z dz

x yτ

ν−

∂= = −

+ ∂ ∂∫ (34)

Tương tự như trên ta có trên mặt cắt vuông góc với trục y:

3 2 2

2 2 2

3 2

12(1 )

12(1 )

y

yx xy

Et w wM

y x

Et wM M

x y

νν

ν

∂ ∂= − + − ∂ ∂

∂= − =

+ ∂ ∂

(35)

ðể ý ñến (3) ta có

3 3 3

12 1212, ,y xyx

x y xy

M MMz z z

t t tσ σ τ= = = (36)

Nếu ký hiệu vectơ nội lực ñơn vị là

{ }x

y

xy

M

M M

M

=

(37)

thì ta có quan hệ giữa ứng suất và nội lực:

{ } { }3

12z M

tσ = (38)

190 � PPPTHH

Từ (33),(34),(35) ta viết ñược

{ }

2 2

2 2

3 2 2

2 2 2

2

12(1 )

(1 )

w w

x y

Et w wM

x y

w

x y

ν

νν

ν

∂ ∂− − ∂ ∂

∂ ∂ = − −

− ∂ ∂ ∂

− − ∂ ∂

hay viết dưới dạng ma trận:

{ }

2

2

3 2

2 2

2

1 0

1 012(1 )

10 0

2 2

w

x

Et wM

y

w

x y

νν

νν

∂− ∂

∂ = − − ∂ −

∂ − ∂ ∂

(39)

Biểu thức trên biểu diễn quan hệ giữa nội lực và biến dạng, có thể viết gọn thành:

{ } [ ]{ }M D χ= (40)

trong ñó:

[ ]3

2

1 0

1 012(1 )

10 0

2

EtD

νν

νν

= − −

(41)

là ma trận ñàn hồi của tấm chịu uốn.

PPPTHH �191

192 � PPPTHH

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] O.C.ZIENKIEVICZ and R.L.TAYLOR.

The Finite Element Method, Volum1,2, 4th Edition, Mac Graw Hill,

London, 1991.

[2] R.H. GALLAGHER.

Finite Element Analysis, Prentice Hall, 1973.

[3] S. TIMOSHENKO, S. WOJNOWSKY KRIEGER.

Theory of Plates and Shells, 2th Edition, Mac Graw Hill, 1969.

[4] K.J.BATHE, E.L.WILSON.

Numerical Methods in Finite Element

Analysis, Prentice Hall, 1976.

[5] J.F. IMBERT.

Analyse des structures par éléménts finis.

Cepadues édition, 1979.

[6] JEAN-CHARLES CRAVEUR.

Modélisation des structures, Calcul par élémént finis avec problèmes corrigés,

Masson, Paris, 1979.

[7] MIODRAG SEKULOWIC.

Metod konacnih elemenata,

Iro Gnadevinska knjiga, Beograd, 1998.

PPPTHH �193

194 � PPPTHH

MỤC LỤC

Trang

Lời nói ñầu 3

Chương 1. KHÁI NIỆM CHUNG VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 5

1.1. Mô hình rời rạc hóa kết cấu -

1.2. Hàm chuyển vị. Hàm dạng 8

1.2.1. ða thức xấp xỉ. Hàm chuyển vị -

1.2.2. Biểu diễn hàm chuyển vị qua chuyển vị nút. Hàm dạng -

1.2.3. Lực nút 10

1.3. Phương trình cơ bản của phương pháp PTHH 11

1.3.1. Các quan hệ chuyển vị, biến dạng, ứng suất trong phần tử -

1.3.2. Phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn. 12

1.3.3. Ma trận ñộ cứng phần tử. Vectơ tải phần tử. 13

1.4. Trình tự tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn 15

Chương 2. TÍNH HỆ THANH 16

2.1. Phần tử hữu hạn trong hệ thanh -

2.1.1. Phần tử thanh chịu kéo (nén) dọc trục -

2.1.2. Phần tử thanh chịu uốn 20

2.1.3. Phần tử thanh chịu xoắn thuần túy 25

2.1.4. Phần tử giàn phẳng 27

2.1.5. Phần tử khung phẳng 29

2.1.6. Phần tử thanh không gian -

2.2. Biến ñổi tọa ñộ 31

2.3. Ma trận ñộ cứng tổng thể và vectơ tải tổng thể 35

2.3.1. Phương pháp thiết lập ma trận ñộ cứng tổng thể và vectơ tải tổng thể. -

2.3.2. Tính chất của ma trận ñộ cứng tổng thể 39

2.4. Thành lập phương trình cơ bản. Tính chuyển vị nút 41

2.4.1. Sắp xếp lại các phương trình cân bằng. Áp ñặt ñiều kiện biên -

2.4.2. Tính chuyển vị nút 43

2.5. Xác ñịnh nội lực trong phần tử hữu hạn 48

2.5.1. Nội lực trong phần tử thanh chịu kéo (nén) 49

2.5.2. Nội lực trong phần tử chịu uốn ngang phẳng 52

PPPTHH �195

2.5.3. Nội lực trong phần tử giàn phẳng 56

2.5.4. Nội lực trong phần tử khung phẳng 57

2.6. Một số trường hợp cần chú ý 59

2.6.1. Trường hợp có chuyển vị cưỡng bức -

2.6.2. Trường hợp có gối ñàn hồi 62

2.6.3. Trường hợp có gối xiên 65

2.7. Dầm trên nền ñàn hồi 67

2.7.1. Phần tử hữu hạn của dầm trên nền ñần hồi -

2.7.2. Hàm chuyển vị. 68

2.7.3. Ma trận ñộ cứng của phần tử 69

Chương 3. BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ðÀN HỒI 73

3.1. Khái niệm chung -

3.2. Phần tử hình tam giác. Hàm xấp xỉ chuyển vị 74

3.3. Biến dạng và ứng suất. Ma trận ñàn hồi 75

3.4. Ma trận ñộ cứng 78

3.5. Dời tải trọng về nút. Lực nút tương ñương 79

3.6. Ma trận ñộ cứng kết cấu. Hệ phương trình cân bằng 80

3.7. Trình tự giải bài toán phẳng bằng phương pháp phần tử hữu hạn 81

3.8. Vấn ñề chia phần tử 88

3.9. Tính ứng suất nhiệt 89

3.10. Sử dụng phần tử hình chữ nhật 92

3.11. Tọa ñộ diện tích 97

3.12. Sử dụng phần tử tam giác bậc cao 99

Chương 4. BÀI TOÁN ðỐI XỨNG TRỤC 108

4.1. Mở ñầu -

4.2. Phần tử vành tiết diện tam giác -

4.2.1. Hàm chuyển vị. -

4.2.2. Biến dạng 110

4.2.3. Ma trận ñàn hồi 111

4.3. Ma trận ñộ cứng -

4.4. Ngoại lực nút và lực nút tương ñương 112

4.5. Tính ứng suất 113

Chương 5. BÀI TOÁN KHÔNG GIAN 114

5.1. Sơ ñồ tính. Phần tử tứ diện -

5.2. Hàm chuyển vị 115

5.3. Biến dạng và ứng suất. Ma trận ñàn hồi 117

5.4. Ma trận ñộ cứng 119

196 � PPPTHH

5.5. Dời tải trọng về nút -

5.6. Ứng suất nhiệt 120

5.7. Về cách chia phân tử 121

5.8. Khái niệm về phần tử ñẳng tham số 123

5.9. Tính toán phần tử không gian ñẳng tham số 127

5.10. Tích phân Gauss 131

Chương 6. TẤM MỎNG CHỊU UỐN 134

6.1. Mở ñầu -

6.2. Phần tử hình chữ nhật. Các quan hệ cơ bản 135

6.3. Hàm chuyển vị. Hàm dạng 136

6.4. Biến dạng và nội lực 138

6.5. Ma trận ñộ cứng của phần tử 139

6.6. Xác ñịnh vectơ tải trọng nút 143

6.7. Tấm mỏng trên tựa ñàn hồi 144

6.8. Phần tử tấm mỏng hình tam giác 145

Chương 7. VỎ MỎNG ðÀN HỒI 151

7.1. Mở ñầu -

7.2. Phần tử hình chữ nhật -

7.3. Phần tử hình tam giác 158

7.4. Vỏ tròn xoay 160

Chương 8. BÀI TOÁN ðỘNG 164

8.1. Phương trình ñộng lực học -

8.2. Ma trận khối lượng của phần tử 165

8.3. Ma trận cản 169

8.4. Dao ñộng tự do không có lực cản 170

Phụ lục ðẠI CƯƠNG VỀ LÝ THUYẾT ðÀN HỒI 175

Tài liệu tham khảo 191

PPPTHH �197

Chịu trách nhiệm xuất bản LÊ TỬ GIANG

Biên tập

VŨ VĂN BÁI

Chế bản và sửa bài XƯỞNG IN TRƯỜNG ðẠI HỌC GTVT

NHÀ XUẤT BẢN GIAO THÔNG VẬN TẢI

80B Trần Hưng ðạo – Hà Nội ðT: 04. 9423345 – Fax: 04. 8224784

06GTVT

075(6V)MS

−119/12-06

In 520 cuốn, khổ 19 x 27cm, tại Xưởng in Trường ðại học GTVT. Quyết ñịnh xuất bản số: 151–2006/CXB/119–313–05/GTVT, ngày 28/2/2006. In xong và nộp lưu chiểu quý I năm 2007.

198 � PPPTHH