Embed Size (px)
Citation preview
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
HỒ XUÂN BÌNH
PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
DỰA TRÊN MÔ HÌNH TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số : 60.46.0113
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng - Năm 2014
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HOÀNG TRÍ
Phản biện 1: TS. Phan Đức Tuấn
Phản biện 1: PGS.TS. Trần Đạo Dõng
Luận văn đã được bảo vệ tại hội đồng chấm luận văn
thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 14
tháng 06 năm 2014.
Có thể tìm hiểu luận văn tại
- Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
1
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài
Trong việc dạy và học toán, đứng trước một khái niệm toán học, chắc hẳn mỗi chúng ta luôn tự đặt ra cho mình câu hỏi : khái niệm này bắt nguồn từ đâu ? chúng được hiểu như thế nào ? và có ứng dụng gì trong thực tế ? Trả lời đúng ba câu hỏi này bạn đã hiểu thấu đáo, làm chủ khái niệm đó và là nền tảng quan trọng để người dạy truyền tri thức toán đến người học, tạo sự lôi cuốn giúp người học xác định rõ mục đích của việc học toán là để phục vụ cuộc sống. Đây là một vấn đề lớn đòi hỏi sự nghiên cứu kỹ lưỡng, lâu dài bởi không phải bất kì khái niệm toán học nào chúng ta cũng biết rõ khởi nguồn và ứng dụng của nó.
Đạo hàm là một trong những vấn đề quan trọng của toán học và có nhiều ứng dụng thực tế. Do đó, tìm ra phương pháp dạy học đạo hàm sao cho hiệu quả là công việc cần thiết.
Đứng trước một bài toán thực tế đặt ra, việc giải quyết sẽ đơn giản nếu tìm ra một mô hình toán học tương ứng trên cơ sở mô hình hóa vấn đề thực tế và đó cũng chính là con đường hình thành phương pháp dạy học đạo hàm dựa trên mô hình toán học.
Xuất phát từ tình hình thực tiễn trên, tôi chọn đề tài làm luận văn tốt nghiệp cao học: Phương pháp dạy học đạo hàm của hàm số dựa trên mô hình toán học 2. Mục tiêu và nhiệm vụ
Mục đích của đề tài Mục tiêu nghiên cứu của đề tài này là nghiên cứu nguồn
gốc, ứng dụng của đạo hàm, xây dựng một số mô hình toán học liên quan đến đạo hàm từ đó hình thành phương pháp dạy học đạo hàm của hàm số dựa trên mô hình toán học.
Nhiệm vụ Ø Tìm hiểu lý thuyết về hàm số một biến số, giới hạn, đạo
hàm của hàm số một biến số.
2
Ø Tìm hiểu lý thuyết hàm nhiều biến, giới hạn, đạo hàm riêng, đạo hàm theo hướng của hàm nhiều biến.
Ø Tìm hiểu mô hình toán học. Ø Tìm hiểu nguồn gốc và ứng dụng của đạo hàm . Ø Xây dựng một số mô hình toán học liên quan đến đạo hàm
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Ø Lý thuyết tổng quan về hàm số, giới hạn và đạo hàm. Ø Mô hình toán học.
4. Phương pháp nghiên cứu Kết hợp lý thuyết + thực tế giảng dạy. Đề tài được thực hiện theo tiến trình sau: Ø Thu thập, phân tích tài liệu liên quan đến đề tài. Ø Nghiên cứu, lựa chọn phương pháp giải quyết vấn đề đặt ra. Ø Triển khai xây dựng ứng dụng thực tiễn, ứng dụng trong
giảng dạy. Ø Kiểm tra thử nghiệm và đánh giá kết quả đem lại.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Ø Cơ sở phát triển lý thuyết về đạo hàm, đạo hàm riêng, đạo
hàm theo hướng Ø Cơ sở phát triển các mô hình toán học Ø Tài liệu phục vụ cho việc dạy học Ø Ứng dụng trong thực tế
6. Bố cục luận văn Kết cấu luận văn bao gồm: Phần mở đầu, nội dung, kết luận và
hướng phát triển, tài liệu tham khảo, luận văn bao gồm 3 chương Chương 1: Kiến thức cơ sở Chương 2: Phương pháp dạy học đạo hàm của hàm số
một biến số dựa trên mô hình toán học Chương 3: Phương pháp dạy học đạo hàm riêng, đạo hàm
theo hướng của hàm nhiều biến dựa trên mô hình toán học
3
CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
1.1.1. Khái niệm hàm số một biến số Hàm được phát sinh khi một đại lượng này phụ thuộc vào một
đại lượng khác. Định nghĩa 1.1. Một hàm f là một quy tắc đặt tương ứng với
mỗi phần tử x thuộc tập A với một và chỉ một phần tử )(xf thuộc
tập B. Khi A, B là những tập số thì hàm được gọi là hàm số. Chúng ta chỉ xét những hàm trên tập A và B là tập con của tập
số thực. Tập A được gọi là miền xác định của hàm f . Số )(xf là
giá trị của hàm f tại x và đọc là “ f của x ”. Miền giá trị của f là
tập hợp tất cả các giá trị của )(xf khi x biến thiên trong miền xác
định. Đồ thị của một hàm là một đường cong trong mặt phẳng xoy. *Sự tăng và giảm của hàm số Định nghĩa hàm số tăng, giảm +) Hàm số f được gọi là tăng trên khoảng I nếu
)()( 21 xfxf < khi 21 xx < trong I .
+) Hàm số f được gọi là hàm giảm trên I nếu
)()( 21 xfxf > khi 21 xx < trong I .
4
1.1.2. Một số mô hình toán học thường gặp * Mô hình toán học
Hình 1.8. Mô hình toán học
* Mô hình tuyến tính: Hàm tuyến tính là hàm có dạng y = f(x) = mx+b
* Mô hình Parabol: y =ax2 + bx + c * Mô hình mũ : y = c.ax
1.1.3. Hàm hợp Định nghĩa: Cho hai hàm f và g, hàm hợp gf o (cũng được gọi
là sự hợp thành của f và g) được định nghĩa bởi
( ) ( ))()( xgfxgf =o
1.1.4. Hàm mũ- Hàm ngược và Logarit a. Hàm mũ
Định nghĩa 1.3. Hàm mũ là hàm số có dạng ( ) xf x a= trong
đó a là hằng số. b. Hàm ngược và Logarit Định nghĩa 1.4. Một hàm f được gọi là hàm một - một nếu nó
không bao giờ lấy giá trị giống nhau hai lần; tức là 1 2( ) ( )f x f x≠
5
trong đó 1 2x x≠ . Định nghĩa 1.5. Cho f là hàm một - một với miền xác định A
và miền giá trị B. Thì hàm ngược của nó f-1 có miền xác định B và miền giá trị A được định nghĩa bởi
1( ) ( )f y x f x y− = ⇔ =
với bất kỳ y trong B. *Hàm logarit: Hàm ngược của hàm mũ được gọi là hàm
logarit với cơ số a, ký hiệu loga . Ta có:
log ya x y a x= ⇔ =
1.1.5. Giới hạn và sự liên tục của hàm số một biến a. Giới hạn của hàm số Định nghĩa 1.6. Nếu f(x) tiến tới L khi x tiến tới a từ hai phía
thì L được gọi là giới hạn của f(x) khi x tiến tới a, kí hiệu:
lim ( )x a
f x L→
=
* Giới hạn một bên Định nghĩa 1.7. Nếu f(x) tiến tới L khi x tiến tới a từ phía bên
trái thì L được gọi là giới hạn trái của f(x) khi x tiến tới a từ phía bên
trái, kí hiệu: lim ( )t a
f x L−→
= .
Định nghĩa 1.8. Nếu f(x) tiến tới L khi x tiến tới a từ phía bên phải thì L được gọi là giới hạn phải của f(x) khi x tiến tới a từ phía bên phải, kí hiệu:
lim ( )x a
f x L+→
= .
lim ( )x a
f x L→
= khi và chỉ khi lim ( )t a
f x L−→
= và lim ( )t a
f x L+→
=
* Tính thay thế trực tiếp: Nếu a nằm trong miền xác định
của f thì lim ( ) ( )x a
f x f a→
=
6
* Giới hạn tại vô cùng, giới hạn đến vô cùng +) Giới hạn đến vô cùng. Ta viết cho hàm f(x) có giới hạn vô cùng khi x tiến về a
là: ∞=→
)(lim xfax
. Ký hiệu ∞=→
)(lim xfax
có nghĩa giá trị của f(x)
tiến đến một giá trị rất lớn khi x tiến gần về a. Tương tự
−∞=→
)(lim xfah
có nghĩa giá trị của f(x) tiến đến một giá trị âm rất
lớn khi x tiến gần về a nhưng không bằng a. Giới hạn một bên:
−∞=+→
)(lim xfax
; −∞=−→
)(lim xfax
; +∞=+→
)(lim xfax
;
+∞=−→
)(lim xfax
−∞=→
)(lim xfax
* Giới hạn tại vô cùng Định nghĩa 1.9. Cho f là hàm xác định trên khoảng (a, )∞ . Khi
đó, Lxfx
=∞→
)(lim nghĩa là giá trị của hàm f(x) tiến đến L khi x đủ lớn.
* Giới hạn vô cùng tại vô cùng Kí hiệu ∞=
∞→)(lim xf
xđể mô tả giá trị của hàm f(x) tiến đến
vô cực khi x tiến đến vô cực. Tương tự ta cũng có các ký hiệu
sau: ∞=−∞→
)(lim xfx
, −∞=∞→
)(lim xfx
−∞=−∞→
)(lim xfx
b. Sự liên tục Định nghĩa 1.10. Hàm f được gọi là liên tục tại a nếu
lim ( ) ( )x a
f x f a→
= .
Định nghĩa 1.11. Hàm f được gọi là liên tục phải tại a nếu
lim ( ) ( )x a
f x f a+→
= và liên tục trái tại a nếu _
lim ( ) ( )x a
f x f a→
= .
Định nghĩa 1.12. Hàm f được gọi là liên tục trên khoảng nếu nó liên tục với mọi giá trị nằm trên khoảng đó.
7
1.2. HÀM NHIỀU BIẾN 1.2.1. Hàm hai biến Định nghĩa 1.14. Một hàm hai biến f là một quy tắc cho tương
ứng với mỗi cặp số thực được sắp xếp thứ tự (x,y) trong tập D cho duy nhất một số thực được kí hiệu f(x,y).
D: được gọi là tập xác định của f,
tập giá trị của f: Dyxyxf }),(|),({ ∈ .
1.2.2. Đồ thị của hàm hai biến Định nghĩa 1.15. Nếu f là hàm hai biến với miền xác định D
thì đồ thị của f là tập hợp các điểm 3),,( Rzyx ∈ sao cho z = f(x,y)
với Dyx ∈),( .
1.2.3. Đường mức Định nghĩa 1.16. Các đường mức của hàm hai biến f là họ
đường cong có phương trình f(x,y) = k trong đó k là hằng số thuộc miền giá trị của f.
Một đường mức f(x,y) = k là tập hợp các điểm thuộc miền xác định D mà tại đó f nhận giá trị bằng k.
1.2.4. Hàm ba biến và nhiều hơn ba biến
* Định nghĩa 1.17. (hàm nhiều biến). Cho tập nD ⊆ ¡ , hàm
f:D → ¡ được gọi là hàm n biến xác định trên D và nhận giá trị trên ¡ .Tập xác định của f (Df) là tập hợp tất cả các giá trị x D∈ làm cho f có nghĩa. Miền giá trị của f (Tf) là tập tất cả các giá trị f(x)∈¡ , x D∈ .
Tương tự hàm hai biến, đồ thị hàm ba biến là tập hợp
}),,(|),,(,,,({ Dzyxzyxfzyx ∈
8
1.2.5. Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến a. Giới hạn Định nghĩa 1.18. (Giới hạn của hàm hai biến). Cho f(x,y) là
hàm hai biến với miền xác định 2D ⊂ ¡ . Cho 2( , )a b ∈ ¡ là một
điểm tụ của D. Khi đó chúng ta nói giới hạn của f(x,y) khi (x,y) dần tới (a,b) bằng L và viết
( , ) ( , )lim ( , )
x y a bf x y L
→=
nếu với mọi 0ε > tồn tại một số 0δ > sao cho với mọi
( , )x y D∈ thỏa 2 20 ( ) ( )x a y b δ< − + − < thì | ( , ) |f x y L ε− <
9
CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT
BIẾN SỐ DỰA TRÊN MÔ HÌNH TOÁN HỌC. 2.1. MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ ĐẦU
2.1.1. Bài toán tiếp tuyến Định nghĩa 2.1. Tiếp tuyến với đường cong y =f(x) tại điểm
(a,f(a) ) là đường thẳng qua P với độ dốc là m = ax
afxfax −
−→
)()(lim
( nếu giới hạn trên tồn tại). Từ định nghĩa 2.1, ta có công thức tính độ dốc của tiếp tuyến như
sau:
hafhafm
h
)()(lim0
−+=
→
2.1.2. Bài toán vận tốc Vận tốc của vật với phương trình chuyển động s = f(t) tại thời
điểm t = a là h
afhafavh
)()(lim)(0
−+=
→
2.2. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ 2.2.1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm Định nghĩa 2.2. Đạo hàm của hàm f tại a được ký hiệu là f’(a)
và được xác định
hafhafaf
h
)()(lim)('0
−+=
→ ( nếu giới hạn này tồn tại).
Hay ax
afxfafax −
−=
→
)()(lim)('
2.2.2. Đạo hàm của hàm số Ở phần trước chúng ta đã xét đạo hàm của một hàm f tại số cố
định a :
10
[1]. 0
( ) ( )'( ) limh
f a h f af ah→
+ −=
Nếu thay a trong phương trình [1] bằng một biến x thì ta sẽ nhận được
[2]. 0
( ) ( )'( ) limh
f x h f xf xh→
+ −=
Định nghĩa 2.3. Một hàm f khả vi tại a nếu f’(a) tồn tại. Nó
khả vi trên miền mở (a,b) [hay [ ),a ∞ , ( ], a−∞ , ( ),−∞ ∞ ] nếu như
nó khả vi tại mọi giá trị trong khoảng đó. 2.3. PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM
2.3.1. Đạo hàm của hàm đa thức, lượng giác, hàm mũ
( C )’ = 0 ( ) 1' −= nn nxx ( ) aaa xx ln.'= ( ) xx ee ='
2 2
1 1(sin )' cos (cos )' sin (tan )' (cot )'cos sin
x x x x x anxx x
= =− = =−
2.3.2. Các quy tắc tính đạo hàm Định lý 2.3.2.1. Nếu u(x) và v(x) đều có đạo hàm thì
2
' '( ) ' ' '; ( ) ' ' ' ; ( ) 'u u v v uu v u v uv u v v uv v
−± = ± = + =
2.3.3. Quy tắc tính đạo hàm hàm hợp Định lý 2.1. (đạo hàm hàm hợp).Nếu hàm u(x) có đạo hàm
u’(x0) tại x0 và hàm y(u) có đạo hàm y’(u0) tại u0 thì hàm hợp y(u(x))
có đạo hàm tại x0 và )()()( 0'
0'
0' xuuyxy xux = .
2.3.4. Công thức vi phân Hàm số f(x) khả vi tại x, khi đó ta có
)()(')()( xxxfxfxxf ∆+∆=−∆+ α
Định nghĩa 2.4. Vi phân của hàm f (kí hiệu là df) bằng tích đạo hàm nhân với số gia của biến số.
11
'( )df f x x= ∆
* Vi phân cấp cao d2y = d(dy) = d(y’dx) = d(y’)dx = y’’dxdx = y’’dx2
, dny = y(n)dxn.
2.3.5. Đạo hàm của hàm ẩn Hàm ẩn. Nếu y là hàm của x được biểu diễn dưới dạng
F(x,y) = 0, trong đó F(x,y) là biểu thức chứa x và y thì y được gọi là hàm ẩn của x.
Quy tắc tính đạo hàm hàm ẩn. B1: Lấy đạo hàm theo x , B2: Giải phương trình vừa thu được tìm y’. 2.3.6. Đạo hàm của hàm ngược
Định lý 2.3. Nếu hàm y = y(x) có đạo hàm 0)( 0' ≠xy x và nếu
tồn tại hàm ngược x = x(y) liên tục tại điểm y0 = y(x0) thì hàm ngược này có đạo hàm tại y0 và
)(1)(
0'0
'
xyyx
xy =
2.3.7. Đạo hàm cấp cao
Đạo hàm cấp n của f được ký hiệu bởi ( )nf và nó nhận được
từ f bằng phép vi phân n lần. Nếu y=f(x) thì chúng ta viết :
( ) ( ) ( )n
n nn
d yy f xdx
= =
* Bảng các đạo hàm cơ bản
1. C’ = 0 ; C = const 2. 1)'( −= αα αxx
3. (sinx)’ = cosx 4. (cosx)’ = - sinx 5. (tgx)’ = 1 + tg2x 6. (cotgx)’ = -(1+cotg2x)
7. (arcsinx)’ = 21
1x−
8. (arccosx)’ = -21
1x−
12
9 (arctanx)’ = 211x+
10. (arccotx)’ = - 211x+
11. (ax)’ = ax.lna ; (ex)’ = ex 12. (loga x)’ = ax ln
1 ; (lnx)’ =
x1
2.3.8. Cực trị hàm số ■ Định nghĩa 2.5. Một hàm số f xác định trên D gọi là cực đại
tuyệt đối (hay cực đại hoàn toàn) tại điểm c nếu với mọi x thuộc D . Số còn được gọi là giá trị lớn nhất của f trên miền D. Tương tự, f xác định trên D gọi là cực tiểu tuyệt đối (hay cực tiểu hoàn toàn) tại c nếu với mọi x thuộc D. Số
còn được gọi là giá trị nhỏ nhất của f trên miền D. ■ Định nghĩa 2.6. Một hàm có cực đại cục bộ (hay cực đại
địa phương) tại nếu khi x ở lân cận điểm c. Tương tự có cực tiểu cục bộ (hay cực tiểu địa phương) tại nếu
khi x ở lân cận điểm c . ♦ Định lý 2.4. Nếu hàm f liên tục trên đoạn , thì đạt giá
trị lớn nhất là và giá trị nhỏ nhất là với các số và trong đoạn .
* Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số một biến số trên khoảng cho trước
Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một khoảng đóng (hay đoạn) , ta sử dụng phương pháp sau
1.Tìm giá trị của f tại các điểm tới hạn của f trong khoảng (a,b) 2.Tìm các giá trị của f tại các đầu mút của đoạn. Giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất tìm được từ hai bước trên chính
là giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của hàm số.
13
2.3.9. Xấp xỉ nghiệm của phương trình Yêu cầu bài toán đặt ra: giải phương trình f(x) = 0. Ta tìm nghiệm xấp bắt đầu từ x1. Nghiệm xấp xỉ thứ n+1:
2.4. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM-MỘT SỐ MÔ HÌNH TOÁN HỌC
2.4.1. Mô hình tìm phương án tối ưu của đại lượng phụ thuộc vào một đại lượng
* Mô hình bài toán tối ưu
Hình 2.6. Mô hình bài toán tối ưu
14
2.4.2. Mô hình quan hệ giữa các đại lượng biến thiên
Hình 2.7. Mô hình quan hệ giữa các đại lượng biến thiên
2.4.3. Mô hình tìm đại lượng theo một điều kiện ràng buộc
Hình 2.8. Mô hình tìm đại lượng theo một điều kiện ràng buộc
Đưa ra
Bài toán tìm tỉ lệ thay đổi của đại lượng này
theo đại lương kia
Xây dựng biểu thức giữa đại lượng A (tìm tỉ lệ) và đại lượng B.
Kết luận tỉ lệ thay đổi
của A
Tỉ lệ thay đổi
của đại lượng
Mô hình hóa
Đạo hàm hai
vế theo thời Kiểm thử
15
2.4.4. Tốc độ biến thiên và ứng dụng trong một số lĩnh vực Trong phần này ta nghiên cứu một vài ứng dụng của đạo hàm
trong các lĩnh vực vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế và các lĩnh vực khác. 2.5. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
MỘT BIẾN SỐ
Đạo hàm là một khái niệm toán học bắt nguồn từ yêu cầu thực
tế và việc dạy và học đạo hàm là để phục vụ cho cuộc sống thực tế của chúng ta. Trong mỗi ứng dụng thực tế có liên quan đến đạo hàm hàm số một biến số, ta dạy cho học sinh giải quyết bài toán trên cơ sở vận dụng các mô hình toán học tương ứng. Vậy việc dạy học đạo hàm theo phương pháp này giúp người học nhìn thấy bức tranh toàn cảnh về đạo hàm, nắm được cách thức dựa vào mô hình toán học giải quyết các vấn đề thực tế đặt ra, giúp người học rèn luyện năng lực tư duy, mô hình hóa.
Bài toán độ dốc đường cong, Bài toán vận tốc
Khái niệm đạo hàm
Kiến thức về đạo hàm
Ứng dụng của đạo hàm- Một số mô hình toán học
16
CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC ĐẠO HÀM RIÊNG, ĐẠO HÀM
THEO HƯỚNG CỦA HÀM NHIỀU BIẾN DỰA TRÊN MÔ HÌNH TOÁN HỌC
3.1. BÀI TOÁN ĐẶT RA
Cần tìm sự thay đổi của hàm số z = f(x,y) tại điểm (x0,y0) theo hướng vector đơn vị u =(a,b) ?. 3.2. HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM RIÊNG, ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG
3.2.1 Đạo hàm riêng a. Đạo hàm riêng cấp 1 Định nghĩa 3.1 .Đạo hàm của hàm f(x,y) theo biến x tại điểm
(x0 ,y0 ) được ký hiệu là 0 0( , )xf x y và được xác định
0 0 0 00 0 0
( , ) ( , )( , ) limx h
f x h y f x yf x yh→
+ −= (nếu giới hạn
này tồn tại).
Định nghĩa 3.2. Đạo hàm của hàm f(x,y) theo biến y tại điểm
(x0 ,y0 ) được ký hiệu là 0 0( , )yf x y và được xác định
0 0 0 00 0 0
( , ) ( , )( , ) limy h
f x y h f x yf x yh→
+ −= (nếu giới hạn
này tồn tại).
3.2.2. Đạo hàm theo hướng và vector gradient a. Đạo hàm theo hướng Định nghĩa 3.5. Đạo hàm theo hướng của hàm f tại
),( 00 yx theo hướng vector đơn vị u(a,b) là
17
(nếu giới hạn này tồn tại).
Ta dể dàng chỉ ra nếu u = i(1,0) thì xi ffD = , u = j(0,1) thì
yj ffD = .
b. Vector Gradient Định nghĩa 3.6. Cho f(x,y), vector gradient của f (kí hiệu f∇ )
là hàm vector được xác định
3.3. PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM
3.3.1. Đạo hàm riêng cấp cao Cho f là hàm hai biến thì fx, fy cũng là hàm hai biến, chúng ta xét
các đạo hàm riêng của những hàm này: yyxyyxxx ffff )(,)(,)(,)( và
chúng được gọi là đạo hàm riêng cấp hai của f(x,y). 3.3.2. Mặt phẳng tiếp xúc và xấp xỉ tuyến tính a. Mặt phẳng tiếp xúc Nếu mặt cong S cho bởi ),( yxfz = , Phương trình mặt phẳng
tiếp xúc của S tại ),,( 000 zyxM là:
))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx −+−=−
b. Xấp xỉ tuyến tính Xấp xỉ tuyến tính của f(x,y) tại lân cận (x0 ,y0 ):
),())(,())(,(),( 00000000 yxfyyyxfxxyxfyxf yx +−+−≈
3.3.3. Vi phân hàm nhiều biến Cho hàm hai biến z = f(x,y), khi đó vi phân dz hay còn được gọi
18
là vi phân toàn phần được xác định bởi công thức
x ydz f dx f dy= + (*) Nếu ta lấy dx = x – a, dy = y – a thì phương trình (*) trở thành
( , )( ) ( , )( )x ydz f a b x a f a b y b= − + − Vậy ( , ) ( , )f x y f a b dz≈ + 3.3.4. Quy tắc tính đạo hàm riêng của hàm hợp và hàm ẩn a. Đạo hàm riêng hàm hợp
* Cho hàm hai biến f xác định trên tập mở 2D ⊆ ¡ và x = x(t),
y = y(t) là hàm một biến xác định trên E ⊆ ¡ sao cho
(x(t),y(t)) D∈ .
t x t y tf f x f y= + [3.3.4.1]
* Cho hàm hai biến f xác định trên tập mở 2D ⊆ ¡ và x =
x(u,v), y = y(u,v) là hàm hai biến xác định trên 2E ⊆ ¡ sao cho
(x(u,v),y(u,v)) D∈ .
u x u y u
v x v y v
f f x f y
f f x f y
= +
= + [3.3.4.2]
b. Đạo hàm riêng của hàm ẩn Cho hàm ẩn F(x,y) = 0 ( y là hàm ẩn theo x).
Nếu 0/ ≠∂∂ yF thì yFxF
dxdy
∂∂∂∂
−=//
3.3.5. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu a.Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu Định nghĩa 3.7. Ta nói hàm f (x,y) có cực đại (cực tiểu) địa
phương tại M(a,b) nếu tồn tại lân cận S của M sao cho
( ) với mọi (x,y) thuộc S.
19
Khi S trùng với tập xác định của f thì cực đại (cực tiểu ) địa phương được gọi là cực đại (cực tiểu ) toàn cục.
* Các bước tìm cực trị hàm hai biến. Giả sử f(x,y) là hàm khả vi trên tập xác định D.
B1. Tìm các điểm dừng( điểm nghi ngờ) là nghiệm của hệ
( , ) 0
( , ) 0x
y
f x yf x y
=
=
+) Nếu hệ vô nghiệm, hàm số không có cực trị trong D. +) Nếu hệ có nghiệm (x0,y0), sang B2 B2. Tính
2 2 2
0 0 0 0 0 02 2( , ), ( , ), ( , )f f fA x y B x y C x yx x y y
∂ ∂ ∂= = =
∂ ∂ ∂ ∂,
2AC B∆ = − +) ∆ > 0, A > 0: f đạt cực tiểu tại (x0,y0). +) ∆ > 0, A < 0: f đạt cực đại tại (x0,y0). +) ∆ < 0: f không có cực trị tại (x0,y0).( điểm (x0,y0) được gọi là
điểm yên ngựa) +) ∆ = 0: Không có kết luận. b. Giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất Định lý 3.2. Nếu f là hàm liên tục trên tập đóng, bị chặn D trên
R2 thì f đạt giá trị lớn nhất, bé nhất tại các điểm trên D. 3.3.6. Nhân tử Lagrange - Cực trị có điều kiện a. Cực trị với một điều kiện ràng buộc *Phương pháp bội Lagrange: Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của hàm f(x,y) với điều kiện ràng buộc g(x,y) = k.
20
i)Tìm tất cả các điểm (x,y) và giá trị (được gọi là bội Lagrange) thoả mãn hệ
ii)Tính giá trị f tại tất cả các điểm tìm được trong (i), Giá trị lớn
nhất chính là giá trị lớn nhất trong các giá trị tìm được, giá trị nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.
*Tương tự đối với việc tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm ba biến f(x,y,z)với điều kiện ràng buộc g(x,y,z) = k.
i)Tìm tất cả các điểm (x,y,z) và giá trị (được gọi là bội Lagrange) thoả mãn hệ
ii)Tính giá trị f tại tất cả các điểm tìm được trong (i), Giá trị lớn
nhất chính là giá trị lớn nhất trong các giá trị tìm được, giá trị nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.
b. Cực trị với hai điều kiện ràng buộc Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm ba biến f(x,y,z)với hai
điều kiện ràng buộc g(x,y,z) = k, h(x,y,z) = c.
i)Tìm tất cả các điểm (x,y,z) và giá trị (được gọi là bội Lagrange) thoả mãn hệ
ii)Tính giá trị f tại tất cả các điểm tìm được trong (i), Giá trị lớn
nhất chính là giá trị lớn nhất trong các giá trị tìm được, giá trị nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.
21
3.3.7. Đạo hàm theo hướng cực đại Định lý 3.3. Cho f là hàm khả vi, giá trị lớn nhất của đạo hàm
theo hướng fDu là | ( , ) |f x y∇ và nó xuất hiện khi u cùng hướng
với vector gradient của f tại điểm đó. 3.3.8. Ý nghĩa của vector gradient Cho (S): F(x,y,z)=0, nếu 0 0 0( , , ) 0F x y z∇ ≠ thì mặt phẳng
tiếp xúc của mặt mức S tại điểm P có dạng:
Đường thẳng pháp của S tại P có dạng:
3.4. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM HÀM NHIỀU BIẾN- MỘT SỐ MÔ HÌNH TOÁN HỌC
3.4.1. Mô hình tìm phương án tối ưu của đại lượng phụ thuộc hai đại lượng
Hình 3.9. Mô hình tìm phương án tối ưu của đại lượng phụ thuộc
vào hai đại lượng
22
3.4.2. Mô hình tìm phương án tối ưu của đại lượng phụ thuộc hai (ba) đại lượng với một điều kiện ràng buộc
Hình 3.10. Mô hình tìm phương án tối ưu của đại lượng phụ thuộc
vào hai (ba) đại lượng với một điều kiện ràng buộc 3.4.3. Mô hình tìm phương án tối ưu của đại lượng phụ
thuộc ba đại lượng với hai điều kiện ràng buộc
Hình 3.13. Mô hình tìm phương án tối ưu của đại lượng phụ thuộc
ba đại lượng với hai điều kiện ràng buộc
23
3.5. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC ĐẠO HÀM CỦA HÀM
NHIỀU BIẾN SỐ
Hình 3.14. Sơ đồ phương pháp dạy học đạo hàm hàm nhiều
biến số
Đạo hàm riêng, đạo hàm theo hướng của hàm nhiều biến là
một khái niệm toán học bắt nguồn từ yêu cầu thực tế và việc dạy và
học đạo hàm của hàm nhiều biến là để phục vụ cho cuộc sống thực tế
của chúng ta. Trong mỗi ứng dụng thực tế có liên quan đến đạo hàm
hàm nhiều biến số, ta dạy cho học sinh giải quyết bài toán trên cơ sở
vận dụng các mô hình toán học tương ứng.
Vậy việc dạy học đạo hàm theo phương pháp này giúp người
học nhìn thấy bức tranh toàn cảnh về đạo hàm hàm nhiều biến, nắm
được cách thức dựa vào mô hình toán học giải quyết các vấn đề thực
tế đặt ra, giúp người học rèn luyện năng lực tư duy, mô hình hóa.
Bài toán độ dốc mặt cong
Khái niệm đạo hàm riêng, đạo hàm theo hướng
Kiến thức về đạo hàm riêng, đạo hàm theo hướng
Ứng dụng của đạo hàm riêng, đạo hàm theo hướng-Một số mô hình toán học
24
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN
Đề tài đi sâu nghiên cứu đi sâu kiến thức về đạo hàm, nguồn
gốc và ứng dụng của đạo hàm hàm một biến số. Nghiên cứu nguồn
gốc, kiến thức , ứng dụng của đạo hàm riêng, đạo hàm theo hướng
hàm nhiều biến.
Đề tài khái quát các khái niệm về hàm số, hàm nhiều biến,
giới hạn, sự liên tục, đồ thị của hàm một biến, hàm nhiều biến.
Đề tài trình bày chi tiết về mô hình toán học, đưa ra các mô
hình toán học thường gặp và cách vận dụng giải quyết vấn đề thực tế.
Dựa trên nền tảng kiến thức về đạo hàm, mô hình toán học, đề
tài tiếp tục xây dựng một số mô hình toán học vận dụng kiến thức về
đạo hàm, hình thành phương pháp dạy học đạo hàm của hàm số dựa
trên mô hình toán học .
Với thời gian hạn chế như vậy, chúng ta không thể nghiên cứu
toàn bộ lý thuyết về đạo hàm mà chỉ giải quyết một vài khía cạnh của
vấn đề. Việc xây dựng phương pháp chưa được hoàn thiện nguyên
nhân là bản thân còn thiếu kinh nghiệm về mặt phương pháp luận,
trong việc nghiên cứu phương pháp dạy học môn toán.
Chúng ta có thể phát triển đề tài theo ba hướng sau:
Ø Nghiên cứu và phát triển thêm một số mô hình toán học dựa
trên kiến thức đạo hàm.
Ø Tiếp tục nghiên cứu phương pháp dạy học tích phân dựa
trên mô hình toán học.
Ø Tiếp tục xây dựng các ứng dụng của đạo hàm vào thực tế
cuộc sống.
