Modelo autorregresivo de primer orden aplicado a la predicción anual de caudales en la Amazonía peruana: cuenca del río Mayo

Santiago Alberto Casas Luna1,3, Jesús Abel Mejía Marcacuzco2,3

1 Universidad Nacional de San Martín – Tarapoto, San Martín - Perú2 Universidad Nacional Agraria La Molina, Lima - Perú

3 Programa de Doctorado en Recursos Hídricos EPG-UNALM, Lima 37 – Perú – JULIO 2016

INTRODUCCION

Los procesos hidrológicos, tienen características estocásticas o unacombinación de procesos determinísticas y estocásticas (Yevjevich, 1972).

El problema frecuente es la insuficiencia de datos hidrológicos, en la mayoríade casos, se asume que el futuro es estadísticamente similar al pasado y essostenido por la hidrología estocástica (García, 2010). La estocasticidad en losrecursos hídricos es doble: La distribución y los diferentes factores que afectanal comportamiento del agua en la superficie terrestre (conductividad, flujo deagua, cubierta vegetal, y otros) le confieren también cierta aleatoriedad(Marco, 1993).

Existen muchos modelos para la simulación de caudales, entre los que estánlos modelos estocásticos: AR(p), MA(q), ARMA(p,q) y ARIMA(p,i,q), como losmás frecuentes (Cadavid, J. et al. 2013).

El objetivo general de este trabajo es desarrollar un modelo autorregresivo deprimer orden aplicado a la predicción anual (100 años) de caudales del ríoMayo, mediante el análisis de datos históricos, generación de seriestemporales de caudales con distribución normal, log normal y gamma; con elfin de lograr una predicción de caudal confiable.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Cadavid, J., Carvajal, L. 2013. Modelo autorregresivo bilineal aplicado a la predicción mensual de caudales en Colombia. Medellín, Colombia.

Fiering, M., Jackson, B. 1971. Synthetic Streamflows. Colorado, EE.UU.

García, F. P. 2010, Modelación hidrológica estocástica: Desarrollo de un modelo de generación sintética de series temporales. Santa Cruz, Bolivia.

Marco, J. 1993. Hidrología estocástica y planteamiento hidráulico en conceptos y métodos para la planificación hidrológica. Barcelona, España.

Marengo, J. A. 2006. On the hydrological cycle of the amazon basin: a historical review and current state of the arty. São Paulo, Brazil.

Molinier, M., Guyot, J. L., De Olivera, E., Guimarães, V. 1995. Les régimes hydrologiques de I´Amazone et de ses affluents. Brasilia DF, Brésil-

Yevjevich, V. 1972. Probability and statistics in hydrology. Fort Collins, Colorado, USA.

Figura 1. Localización del área de estudio y estaciones hidrológicas

RESUMEN

La estimación de parámetros de flujos (altura de agua, velocidades y caudales deescurrimiento), son muy importantes para el tratamiento de la mitigación decrecidas, disminución de la carga de sedimentos y agentes contaminantes delescurrimiento, propios de los problemas de la gestión de drenajes pluviales enámbitos urbanos y rurales.

Los métodos de generación de series temporales hidrológicas, se basan en el usode los “registros históricos” como una muestra de la población total. Muchasseries hidrológicas presentan correlación serial; esto significa correlacionar unavariable aleatoria X con la misma variable, pero desfasada en un intervalo k detiempo. El coeficiente de correlación así obtenido se denota por ρx,k y cuando eldesfase es k = 1, el proceso será de autorregresivo de primer orden, si k = 2, elproceso es de segundo orden y así sucesivamente. El modelo autorregresivonormal de primer orden (AR1) es usado ampliamente en la generación decaudales anuales.

METODOLOGIA

La serie histórica (31 años) para el análisis, corresponde a caudales mensualesmedidos por SENAMHI (Servicio Nacional de Meteorología e Hidrología) en laestación de Shanao del Rio Mayo (1983 – 2013). Se ha elegido el modeloautorregresivo de primer orden (AR1), conocido también como el modelo deMarkov de primer orden (1).

Xi+1 = μx + ρx,1 (Xi – μx) + ε1+1 (1)

Para el proceso autorregresivo (Markov) de primer orden, el coeficiente decorrelación serial con desfase K está dado por: ρx,k, = ρk

X,1 (2)

La metodología para analizar si las series observadas son o no estacionarias,consiste en obtener, además de los gráficos de las series, los correlogramassimples o función de autocorrelación simple (FACS) y función de autocorrelaciónparcial (FACP). Los coeficientes de autocorrelación proporcionan informaciónsobre la relación lineal entre los residuos del modelo separados por k unidadestemporales. Es decir, indican el grado de correlación entre cada valor del residuo ylos desplazados en k periodos. La verificación del modelo se realiza observando lafunción autorregresivo simple (FACS) de los residuos, que es significativamentenula para cualquier retardo. La esencia básica para el análisis estocástico es que elproceso sea estacionario, es decir, que las propiedades estadísticas del proceso novarían en el tiempo. Así, las propiedades de los registros históricos se puedenutilizar para derivar series sintéticas largas.

Los cálculos se realizaron mediante un código computacional en MATLAB.

RESULTADOS Y DISCUSION1. Las medidas de tendencia central y dispersión son: xm = 408.9945 y sx = 31.94382. Los coeficientes de autocorrelación hasta k = 16 retardos explica la tendencia (Tabla 2)3. A partir del correlograma (fig. 2), el modelo hidrológico AR1 es modelo estacionaria.4. De la serie histórica, se obtiene la serie temporal de caudales anuales generados para

100 años, en el punto de aforo de la estación Shanao del río Mayo (Tabla 2).5. En la figura 4, 5 y 6 se presenta la serie anual de caudales generados a partir de la

serie histórica de caudales anuales (1983 – 2013) con distribución normal, log normaly gamma para los próximos 100 años. Del análisis de las distribuciones de caudalesgenerados podemos observar que la distribución log normal, es la que más se ajusta ala serie histórica de caudales anuales estudiados. Es decir las series de caudalesgenerados para 100 años con distribución log normal, muestra propiedadesestadísticas similares, que mejor se ajusta a la serie histórica de caudales (Tabla 1).

ZONA SE ESTUDIO

La cuenca del río Mayo es aproximadamente el 0.14 % del área total de la cuencadel río Amazonas y se ubica al Nor oeste del mismo (Fig.1), geopolíticamente seubica entre los departamentos de Amazonas, San Martín y Loreto y se extiende porlas provincias de Jumbilla (Amazonas); Rioja, Moyobamba, Lamas y San Martín (SanMartín) y Alto Amazonas (Loreto); el área de estudio comprende aguas arriba a laestación Shanao que abarca una superficie de 8372 km². Su altitud máxima es de4000 msnm y la mínima 200 msnm. El curso principal se denomina río Mayo y sutrayecto es de Nor-Oeste a Sur-Este y es uno de los principales afluentes del ríoHuallaga y este a su vez principal afluente del río Amazonas.

CONCLUSION

El desarrollo del modelo autorregresivos (AR1) para la generación de series anualesde caudales para 100 años, a partir de la serie histórica (1983-2013) en el punto deaforo de Shanao del río Mayo, con distribución normal, log normal y gamma, tienenpropiedades estadísticas variables; por lo que, para la fase de simulación hidrológica,se requieren de un mejor ajuste mediante procesos de calibración y validación. Sinembargo, en referencia al punto de aforo Shanao, la generación de serie anual decaudales con distribución log normal, es el que representa mejor acercamiento alcomportamiento de la serie histórica; por lo tanto, ofrece mayor confianza para lapredicción anual y descripción del comportamiento del río Mayo, para 100 años.

Año Q (m3/s) Año Q (m3/s) Año Q (m3/s) Año Q (m3/s)

1 369,99 26 382,81 51 406,21 76 383,47

2 383,31 27 387,95 52 411,46 77 374,11

3 353,38 28 386,04 53 421,16 78 376,80

4 325,06 29 393,27 54 421,01 79 385,64

5 336,13 30 401,13 55 432,84 80 374,79

6 330,45 31 388,08 56 434,89 81 374,48

7 345,87 32 387,88 57 420,06 82 383,80

8 363,47 33 358,32 58 391,62 83 359,17

9 381,72 34 381,49 59 421,60 84 380,60

10 374,54 35 375,27 60 411,03 85 420,38

11 385,34 36 361,14 61 412,35 86 433,46

12 389,64 37 362,96 62 420,42 87 425,84

13 404,33 38 346,90 63 420,78 88 430,30

14 412,94 39 353,89 64 405,80 89 412,22

15 425,97 40 351,94 65 399,14 90 440,07

16 421,99 41 391,39 66 398,42 91 450,55

17 418,25 42 410,57 67 421,90 92 457,50

18 432,31 43 372,85 68 407,44 93 438,63

19 397,65 44 383,74 69 419,42 94 439,95

20 391,40 45 365,69 70 422,83 95 427,92

21 374,37 46 366,95 71 417,69 96 421,01

22 372,69 47 374,37 72 400,78 97 411,03

23 386,71 48 389,68 73 397,47 98 395,37

24 401,74 49 387,85 74 397,53 99 383,32

25 387,34 50 414,03 75 376,79 100 383,18

k r k r k r k r

1 1,0000 5 0,3161 9 -0,7193 13 -0,7973

2 0,8824 6 0,0014 10 -0,8569 14 -0,5580

3 0,6996 7 -0,2532 11 -0,9017 15 -0,2697

4 0,5306 8 -0,5032 12 -0,8947 16 -0,0859

Figura 2. Límites de confianza del correlograma Figura 3. Tendencia del Correlograma.

Tabla 3. Caudales anuales generados para 100 años río Mayo – Estación Shanao

Tabla 2. Coeficientes de autocorrelaciónFigura 4. Serie anual de caudales generados con distribución normal

Figura 5. Serie anual de caudales generados con distribución log normal

Figura 6. Serie anual de caudales generados con distribución gamma

Año Q (m3/s) Año Q (m3/s) Año Q (m3/s) Año Q (m3/s)

1983 369,99 1991 448,23 1999 384,77 2007 432,611

1984 373,59 1992 456,08 2000 372,87 2008 426,980

1985 407,75 1993 444,82 2001 362,69 2009 428,782

1986 412,99 1994 425,99 2002 357,52 2010 431,446

1987 401,35 1995 413,25 2003 377,96 2011 434,878

1988 423,51 1996 397,12 2004 370,43 2012 444,077

1989 438,33 1997 397,12 2005 374,94 2013 462,400

1990 451,87 1998 366,03 2006 401,93

Tabla 1. Serie Histórica de Caudales río Mayo – Estación Shanao -