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REGULACIÓN AUTOMATICA (1)

(transformada inversa de Laplace)

Escuela Politécnica Superior

Profesor: Darío García Rodriguez

2

TRANFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Dada la función de s, ...

...

)(

)()(

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

+++

+++==

−−

−−−

nnn

nnn

sasas

sbsbsb

sB

sAsF las raíces del

denominador (son los polos ) pueden ser:

a) Reales diferentes

b) Reales múltiples (no todas las raíces)

c) Complejas conjugadas ( no todas las raíces)

Dependiendo de las raíces del denominador, se pueden descomponer en fracciones mas

simples, para calcular fácilmente su transformada inversa de Laplace.

a) Raíces reales diferentes:

........)...)·((

)·...)·(·(

)(

)()(

2121

21 ++

++

=++

++==

ps

B

ps

A

psps

zszsk

sB

sAsF

1

)(

)()·lim( 1

ps

sB

sApsA

−→

+=

2

)(

)()·lim( 2

ps

sB

sApsB

−→

+= ..........

La transformada inversa de Laplace de F(s) es:

...··)( 21 ++=−− tptp

eBeAtf

Ejemplo:

6116

6352)(

23

23

+++

+++=

sss

ssssF

el mayor exponente del denominador, tiene que ser como mínimo, superior al del

numerador en uno.

Dividiendo el numerador entre el denominador nos queda:

3212

6116

61972

6116

6352)(

23

2

23

23

+−

+−

+−=

+++

++−=

+++

+++=

s

C

s

B

s

A

sss

ss

sss

ssssF

Las raíces de la ecuación del denominador son –1 , -2 y –3.

3)3)·(2)·(1(

6197)·1(lim

2

1−=

+++

+++=

−→ sss

sssA

s

4)3)·(2)·(1(

6197)·2(lim

2

1=

+++

+++=

−→ sss

sssB

s

3

6)3)·(2)·(1(

6197)·3(lim

2

3=

+++

+++=

−→ sss

sssC

s Luego nos quedará:

3

6

2

4

1

32)(

+−

+−

++=

ssssF cuya transformada inversa de Laplace es:

f(t)=2·Dirac(t) + 3·e-t –4e

-2·t –6·e

-3·t

Si queremos resolverlo por el programa de Matlab Sería:

Utilizando la instrucción Residue del programa Matlab en el caso particular de

raíces diferentes el resultado es el que tenemos a la derecha, de la expresión puesta a

continuación.

6116

6352)(

23

23

+++

+++=

sss

ssssG

cuya interpretación es la siguiente:

21

3

2

4

3

6)( +

++

+

−+

+

−=

ssssG

Cuyas transformadas inversas de Laplace son

inmediatas e igual a:

)(*2*3*4*6)( 23tDiraceeetG

ttt++−−=

−−−

No obstante si utilizamos la instrucción

ilaplace (inversa de la transformada de Laplace)

dentro del lenguaje simbólico obtendremos lo siguiente

4

b) Polos de raíces Múltiples:

........)(

....)()()...·()(

)·...)·(·(

)(

)()(

21

1

1

1

1

121

21 ++

++

+++

++

=++

++==

−

−

ps

B

ps

A

ps

A

ps

A

psps

zszsk

sB

sAsF

n

n

n

n

n

Los residuos se calculan de la forma siguiente:

)(

)(·)(lim 1

1 sB

sApsA

n

psn +=

−→

)(

)(·)(lim 11

1 sB

sAps

ds

dA

n

psn +=

−→−

)(

)(·)(·

)!.(

1lim 11

1 sB

sAps

ds

d

inA n

n

in

psi +

−=

−

−

−→

2

)(

)()·lim( 2

ps

sB

sApsB

−→

+= .......

Ejemplo:

133

32)(

23

2

+++

++=

sss

sssF las raíces del denominador es –1 triple, luego nos queda:

)1()1()1()1(

32

133

32)( 1

2

2

3

3

3

2

23

2

++

++

+=

+

++=

+++

++=

s

A

s

A

s

A

s

ss

sss

sssF en donde

2)1(

32·)1(lim

3

23

13 =

+

+++=

−→ s

sssA

s

0)22(lim)1(

32·)1(lim

13

23

12 =+=

+

+++=

−→−→s

s

sss

ds

dA

ss

1)2(2

1lim

)1(

32·)1(

2

1lim

13

23

2

2

11 ==

+

+++=

−→−→ ss s

sss

ds

dA

)1(

1

)1(

0

)1(

2

133

32)(

2323

2

++

++

+=

+++

++=

ssssss

sssF cuya transformada inversa es:

)1·(··1·0··2

2)( 222

+=+=++=−−−−−− teeeteteettf tttttt

Nota la transformada inversa de Laplace de n

assF

)(

1)(

+= es igual a

atnet

factntf

−−

−= ··

)1(

1)( 1

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Si queremos resolverlo por el programa de Matlab Sería

En el segundo caso tenemos raíces múltiples, las

transformadas inversas de Laplace se calcula con

residue, cuya interpretación es la siguiente:

32 )1(

2

)1(

0

)1(

1)(

++

++

+=

ssssG

Cuyas transformadas inversa serian:

tt etetG −−

+= **)2/1(*2)( 2

Utilizando ilaplace dentro del lenguaje simbólico

obtendríamos:

c) Raíces complejas conjugadas

nsms

GsF

ps

B

ps

A

psps

zszsk

sB

sAsF

++

+++

++

+=

++

++==

·

·........

)...)·((

)·...)·(·(

)(

)()(

2

2121

21

Donde los p son reales, y el denominador de la última fracción es compleja conjugadas

cuyas soluciones son:

ibas ·±−= Luego nos quedaría:

( ) 222

·

)·).(·(

·

·

·

bas

GsF

ibasibas

GsF

nsms

GsF

++

+=

−+++

+=

++

+

La transformada inversa de Laplace de esta función, hay que compararla con la

transformada de Laplace del seno y coseno.

La transformada inversa de Laplace de ( ) 22

)(bas

sF++

=ω

es tsenetf ta ω·)( ·=

Y la transformada inversa de Laplace de ( ) 22

)(bas

assF

++

+= es tetf ta ω·cos)( ·

=

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Se hacen los cambios oportunos del numerador F·s+G ,para que nos den en el

numerador una expresión de la forma k(s+a)+ qω donde k y q son constantes, y así

poder obtener su transformada inversa de Laplace.

( ) 222222 )(

·

)(

)(·

bas

q

bas

ask

bas

GsF

+++

++

+=

++

+ ω Aquí la transformada inversa de

Laplace es inmediata y es k·e-at

·cosωt +q·e-at

·senωt

Ejemplo:

5·2

12·2)(

2++

+=

ss

ssF Las raíces de denominador son: is ·21±−=

( ) 2222222 2)1(

2·5

2)1(

1·2

2)1(

10)1(2

)·21·(·21

12·2

5·2

12·2)(

+++

++

+=

++

++=

−+++

+=

++

+=

ss

s

s

s

isis

s

ss

ssF

Ahora la transformada inversa de Laplace son inmediata:

tsenetetf tt ·2··5·2·cos·2)( ·1·1 −−+=

Si queremos calcularlo por el programa Matlab

tendriamos:

En este tercer caso las raíces son complejas

conjugadas y las transformada inversa de Laplace

no serian inmediatas, sino al contrario tendríamos

que realizar unas series de operaciones.

22 2)1(

12

)·21(

·5.21

)·21(

·5.21)(

++

+=

−+

++

−+

−=

s

s

is

i

is

isF

es decir la solución no es inmediata.

En cambio con la instrucción ilaplace, del lenguaje simbolico, la solución es

inmediata. la ponemos a continuación.