Vetores

NOTAS DE AULA

Geometria Analítica e

Álgebra Linear

Capítulo 2

Professor: Luiz Fernando Nunes

Geometria Analítica e Álgebra Linear ii

Índice

2 Vetores .................................................................................................................. 2-1 2.1 Definições ...................................................................................................... 2-1 2.2 Operações com vetores .................................................................................. 2-3

2.2.1 Adição ...................................................................................................... 2-3 2.2.2 Multiplicação de número real por vetor ................................................... 2-5 2.2.3 Produto escalar ou produto interno ........................................................ 2-10 2.2.4 Produto vetorial ou produto externo ...................................................... 2-12 2.2.5 Produto misto ......................................................................................... 2-16

2.3 Exercícios sobre vetores .............................................................................. 2-18 2.4 Referências Bibliográficas ........................................................................... 2-19

Geometria Analítica e Álgebra Linear 2-1

2 Vetores

2.1 Definições

Definição 1

Um segmento orientado é um par ordenado BA, de pontos do espaço. A é dito

origem, e B extremidade do segmento orientado. Os segmentos orientados da forma AA,

são ditos nulos. Observe que se BA então ABBA ,, .

Definição 2

Dizemos que os segmentos orientados BA, e DC, têm o mesmo comprimento se

os segmentos geométricos AB e CD têm o mesmo comprimento.

Supondo BA, e DC, não nulos, então dizemos que BA, e DC, têm mesma

direção se AB // CD. Neste caso BA, e DC, são paralelos.

Supondo que BA, e DC, têm mesma direção, então:

a) Se as retas AB e CD são distintas, dizemos que BA, e DC, têm mesmo sentido

caso os segmentos AC e BD tenham interseção vazia. Caso BDAC , dizemos

que BA, e DC, têm sentido contrário.

b) Se as retas AB e CD coincidem, tome ´´,BA tal que A não pertença à reta AB e

´´,BA tenha mesma direção e mesmo sentido que BA, . Então dizemos que

dizemos que BA, e DC, têm mesmo sentido se ´´,BA e DC, têm mesmo

sentido. Se não, dizemos que BA, e DC, têm sentido contrário.


Verifique que BA, e AB, têm mesmo comprimento, mesma direção e sentido

contrário, sendo BA .

Definição 3

Dizemos que os segmentos orientados BA, e DC, são eqüipolentes, e indica-se

BA, ~ DC, , se um dos casos seguintes ocorrer:

a) ambos são nulos;

b) nenhum é nulo, e têm mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido.

Definição 4

Um vetor é uma classe de segmentos eqüipolentes.

Nas figuras, as flechas representam um mesmo vetor, o qual será indicado por AB ,

´´ AB , ou ´´´´ AB , de modo que AB = ´´ AB = ´´´´ AB . Costuma-se indicar AB

também por AB , ou então por uma letra latina minúscula com uma flecha em cima, como u

.

Desta forma temos que ABu

AB .


Observações:

O tamanho (intensidade ou comprimento) de um vetor u

é indicado por u

e

chama-se norma de u

. Se 1u

dizemos que o vetor é unitário. Alguns

autores utilizam para a norma de u

a notação u

.

O vetor BA é chamado de vetor oposto do vetor AB . Assim, AB e BA só

diferem entre si no sentido (se BA ). O vetor oposto do vetor AB é indicado

também por AB ; o vetor oposto de u

é u

.

O vetor nulo pode ser representado por AAAA 0

. Tem-se ainda que

00

e 00

.

Se u

e v

tem mesma direção, dizemos que eles são vetores paralelos e

indicamos por u

// v

.

Dizemos que u

e v

são ortogonais, se uma flecha que representa u

faz ângulo

reto com uma flecha que representa v

. Notação u

v

.

2.2 Operações com vetores

2.2.1 Adição

Sejam os vetores ABu

e BCv

, então ACBCABvu


Propriedades da adição de vetores

(A1) Propriedade Associativa:

wvuwvu

(A2) Propriedade Comutativa:

uvvu

(A3) Elemento Neutro:

uuu

00

(A4) Elemento Oposto:

0

uu

Ilustração da propriedade associativa (A1):

Exemplos

1. Encontre o vetor soma dos vetores destacados nas figuras que seguem:

ABDBCDAC

ABEBDECDAC


0

ABEADECDBC

Observação:

Podemos também definir a diferença entre vetores como:

vuvu

Exemplo

2. Dados os vetores u

e v

destacados no paralelepípedo que segue, identifique na figura

um representante para o vetor vu

:

2.2.2 Multiplicação de número real por vetor

Dado um vetor v

e um número real , definimos o vetor v , como:

Se 0 ou 0

v , então 0

v ;

Se 0 e 0

v , então v é o vetor tal que:

v é paralelo a v

;

v e v

tem mesmo sentido se 0 ;


v e v

tem sentido contrário se 0 ;

A norma de v é vv

.

Exemplos

3. Na sequência são apresentados alguns casos de produto de vetor por número real:

a) Para 02 :

b) Para 02 :

c) Para 03

1

Proposição

Se u

e v

são paralelos e 0

u , existe tal que uv .

Exemplos

4. Sejam u

e v

paralelos, 30u

e 50v

. Sendo uv , determine nos

casos:

a) u

e v

têm mesmo sentido.

b) u

e v

têm sentido contrário.

uv

uuv

3

5

u

v

. Logo 3

5 .

Assim, u

e v

têm mesmo sentido se 3

5 , e u

e v

tem sentido contrário se

3

5 .


5. É dado um vetor 0

u . Determine um vetor v

de tamanho 3, paralelo a u

e de

mesmo sentido que ele.

Então temos que uv , com 0 .

uv

uuv

uu

v

3

. Como 0 , temos que u3

.

Substituindo este valor de em uv , obtemos:

u

uu

uvuv

33

Logo u

uv

3

Definição

Dado um vetor 0

u , chama-se versor do vetor u

, um vetor unitário, paralelo e de

mesmo sentido que u

.

Exemplo

6. Dado um vetor 0

u , mostre que o versor de u

é u

u

.

Chamando de v

ao versor de u

, temos que uv , com 0 .

uv

uuv

uu

v

1

. Como 0 , temos que u1

.

Substituindo este valor de em uv , obtemos:

u

uu

uvuv

1

Logo u

uv

.

Propriedades da multiplicação de número real por vetor

(M1) vuvu

(M2) vvv

(M3) vv

1

(M4) vvv

Definição

Sejam nvvvv

,.....,,, 321 vetores do 3 , 1n e n ,.....,,, 321 . Chama-se

combinação linear dos vetores nvvvv

,.....,,, 321 , com coeficientes n ,.....,,, 321 , ao

vetor: nn vvvvv .....332211 .


Definição

Uma base do 3 é uma tripla ordenada de vetores 321 ,, eee

do 3 , tais que não

existe nenhum plano paralelo simultaneamente aos vetores 321 e, eee

.

Proposição

Dado um vetor qualquer 3v

, existe uma única tripla ordenada 321 ,, , tal

que 332211 eeev .

Assim, na figura anterior temos:

11 eOR , 22 eOS

e 33 eOT

Sendo 321 ,, eeeE

uma base do 3 , escreve-se:

332211 eeeOPv =

E321 ,, .

7. Sendo Eu 4,1,1

e Ev 5,3,1

, calcule: vu 32 , na base 321 ,, eeeE

.

vu 32 = EEEEE 7,7,515,9,38,2,25,3,134,1,12

Ou seja, vu 32 = 321 775 eee

.

8. Sendo Eu 1,4,1

e E

bav

2

1,,

e Ecacw 2,,1

, e sabendo que

uwv

2 , calcule os valores de a, b e c.

Resposta: a= 1 , b=2 e c=0


Proposição

Seja 321 ,, eeeE

uma base do 3 . Dados os vetores 321 e, fff

, podemos

escrever:

3213

3212

3211

eteserf

epenemf

ecebeaf

.

Então 321 ,, fff

é uma base, se e somente se: 0det

tsr

pnm

cba

.

9. Sendo E uma base, verifique se 321 ,, fff

é uma base nos casos:

a) Ef 2,1,01

, Ef 4,0,02

e Ef 5,1,13

Resposta: Sim.

b) Ef 3,2,01

, Ef 2,1,12

e Ef 7,7,13

Resposta: Não.

Definição

Uma base 321 ,, eeeE

é ortonormal se 321 e, eee

são versores, dois a dois

ortogonais. ( 1321 eee

).

Proposição

Seja 321 ,, eeeE

uma base ortonormal. Se 332211 eeev , então:

23

22

21 v

.

10. Seja 321 ,, eeeE

uma base ortonormal. Sendo Eu 2,1,0

e Ev 6,4,2

,

calcule:

a) u

Resposta: 5

b) v

Resposta: 56

c) vu

Resposta: 45

d) vu 2 Resposta: 261

e) vu

2

1 Resposta: 27


2.2.3 Produto escalar ou produto interno

Sendo u

e v

vetores, definimos o número real vu , do seguinte modo:

i) Se 0

u ou 0

v , então 0vu

(zero)

ii) Se 0

u e 0

v , então cosvuvu

, onde é o ângulo convexo entre os

vetores u

e v

. ( 0 ).

11. Se 0vu

, pode-se concluir que 0

u ou 0

v ?

Não! Pois, 0 vuvu

.

Proposição

Se E

u 321 ,,

e E

v 321 ,,

e 321 ,, eeeE

é uma base ortonormal,

então: 332211 vu

.

Demonstração

Da Lei dos Cossenos temos que:

cos2222

vuvuQP = vu 22

322

21

23

22

21 ( I )

Mas temos também que:

2

332211

22

,, vuQP = 2

332

222

11

33221123

22

21

23

22

21 2 ( II )

Igualando ( I ) com ( II ), obtemos:

vu 22

322

21

23

22

21 =

33221123

22

21

23

22

21 2

Logo concluímos que 332211 vu

.

Observação

Seja 321 ,, eeeE

uma base ortonormal. Se 332211 eeeu , então:

23

22

21 u

uu

2uuu

Assim, uuu

2uuu

.




e Ev 1,4,2

,

calcule:

a) vu

7154121 vu

b) u

27551111 u

c) v

21114422 v

d) o ângulo entre u

e v

cosvuvu

cos21277

2127

7cos

arc



e Ev 8,1,0

,

calcule:

a) uvu2 Resposta: 32

b) vuvu

Resposta: 47



e Ev 0,32,2

,

calcule o ângulo convexo entre os vetores u

e v

. Resposta: 6

rad

Propriedades do produto escalar

(PE1) wuvuwvu

e wvwuwvu

(PE2) vuvuvu

(PE3) uvvu

(PE4) 0uu

; 00

uuu

15. Prove:

a) 222

2 vvuuvu

Lembrando que uuu

2uuu

, temos que:

vvvuuuvuvuvu 22 22

2 vvuu

b) 222

2 vvuuvu . Analogamente, temos:

vvvuuuvuvuvu 22 22

2 vvuu

c) vuvu (Desigualdade de Schwarz)

cosvuvu

cosvuvu

vuvu

cos


d) vuvu (Desigualdade Triangular)

222

2 vvuuvu 22

2 vvuu

22

2 vvuu

2

vu 2

vu

2

vu vuvu

2.2.4 Produto vetorial ou produto externo

Se u

// v

, então, por definição o produto vetorial (ou produto externo) de u

por v

é o

vetor nulo. Notação: 0

vu ou 0

vu .

Se u

e v

não são paralelos, então vu

é um vetor com as seguintes características:

a) senvuvu

; onde é o ângulo entre os vetores u

e v

.

b) vu

é ortogonal a u

e a v

;

c) o sentido de vu

pode ser dado pela regra da mão direita:

Assim, nas figuras que seguem tem-se: wvu

e wuv

A regra da mão direita pode ser melhor observada nas figuras que seguem, onde o

polegar indica o sentido do vetor oriundo do produto vetorial:


Observação

Se 321 ,, eeeE

é uma base ortonormal, então 321 eee

ou 321 eee

.

Temos ainda que 11112

sen2121

eeee

Definição

Uma base ortonormal chama-se dextrógira se 321 eee

e levógira se

321 eee

.

Observação

Se kjiE

,, é uma base ortonormal dextrógira, então temos que:

kji

jik

ikj

jki

ijk

0

ii , etc.

Exemplo

16. Apresente os vetores kji

e, na base kjiE

,, .

Resposta: Ei 0,0,1

, Ej 0,1,0

e Ek 1,0,0


Propriedades do produto vetorial

(PV1) wuvuwvu

ou wvwuwvu

(PV2) vuvuvu

(PV3) uvvu

Proposição

Se kjiE

,, é uma base ortonormal dextrógira, e se Ecbau ,,

e Epnmv ,,

,

então:

pnm

cba

kji

vu

det .

Demonstração:

vu kpjnimkcjbia

kiapjianiiam

kjbpjjbnijbm

kkcpjkcnikcm

icnjcmibpkbmjapkan

kbmanjcmapicnbp

k

nm

baj

pm

cai

pn

cb detdetdet

pnm

cba

kji

det

Exemplos

17. Sendo kjiE

,, uma base ortonormal dextrógira, Eu 3,1,1

e Ev 4,1,1

,

calcule vu

:

kji

kji

vu

27

411

311det

.

18. Sendo kjiE

,, uma base ortonormal dextrógira, calcule vu

nos seguintes

casos:

a) Eu 0,1,2

e Ev 2,3,1

Resposta: E7,4,2

b) Eu 1,1,2

e Ev 4,5,2

Resposta: E8,10,9


19. Obtenha x

tal que kjx

e 5x

, sendo kjiE

,, uma base ortonormal

dextrógira.

Resolução:

kcjbiax

jx

kcba

kji

010

det kicka

a = 1 e c = 0.

Mas 5x

522 ba 51 22 b 51 22 b 2 b

Logo jix 2

20. Obtenha x

tal que 0 jix

e kikix

2

12 , sendo kjiE

,, uma

base ortonormal dextrógira.

Resolução:

kcjbiax

0 jix

bacba 0011

kikix

2

12

201

det caa

kji

ki

2

1

kajacia 22 ki

2

1

2

112 aa

102

1202 ccac

Logo kjix

2

1

2

1

21. Obtenha x

tal que ux

, vx

e 10x

, sabendo que kjivu 224 ,

sendo kjiE

,, uma base ortonormal dextrógira.

Resolução:

52241222 vu

Sabemos que vux

vux

2510

Logo x

kjivu 22422 = E24,8,2


22. Obtenha x

tal que Ex 1,1,1

, Ex 3,1,2

e 6x

, sendo kjiE

,, uma base

ortonormal dextrógira. Resposta: E1,1,2

Interpretação geométrica do produto vetorial

Assim, a área do paralelogramo que tem veu

como lados é a norma do produto

vetorial destes vetores, isto é vuS

.

2.2.5 Produto misto

Dados os vetores u

, v

e w

, o produto misto destes 3 vetores é um número real

representado por wvu

ou wvu

,, . (Efetua-se primeiro o produto vetorial)

Nulidade do produto misto

Dados os vetores u

, v

e w

, o produto misto destes 3 vetores wvu

= 0 se:

i) Pelo menos um destes vetores for nulo; ou

ii) u

// v

(pois neste caso 0

vu ), ou

iii) Os três vetores são coplanares.

Proposição

Se kjiE

,, é uma base ortonormal dextrógira, e se Ecbau ,,

, Epnmv ,,

e

Etsrw ,,

, então: wvu

tsr

pnm

cba

det .

Demonstração:

Sabemos que

pnm

cba

kji

vu

det = k

nm

baj

pm

cai

pn

cb

detdetdet

Logo vu

Enm

ba

pm

ca

pn

cb

det,det,det . Então


wvu

=

t

nm

bas

pm

car

pn

cbdetdetdet

tsr

pnm

cba

det

23. Calcule o produto misto dos vetores Eu 1,2,1

, Ev 1,0,1

e Ew 3,2,1

, sendo

kjiE

,, é uma base ortonormal dextrógira.

Resolução:

wvu

tsr

pnm

cba

det 4

321

101

121

det

Propriedades do produto misto

(PM1) wvuwvuwvuu

,,,,,, 2121

wvuwvuwvvu

,,,,,, 2121

2121 ,,,,,, wvuwvuwwvu

(PM2) wvuwvuwvuwvu

,,,,,,,,

(PM3) O produto misto wvu

,, muda de sinal permutando-se dois vetores:

uwvwuvwvu

,,,,,,

vuwuvwwvu

,,,,,,

vuwvwuwvu

,,,,,,

(PM4) O produto misto não se altera se permutarmos os símbolos e

wvu

= wvu

Interpretação geométrica do produto misto

Assim, o volume do sólido do paralelepípedo da figura anterior é

coswvuV

= wvu

24. Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores Eu 4,1,2

,

Ev 3,1,2

e Ew 1,4,5

, sendo kjiE

,, é uma base ortonormal dextrógira.

Resposta: V= 39


2.3 Exercícios sobre vetores

Considere em todos estes exercícios kjiE

,, uma base ortonormal dextrógira.

25. Determine x, sabendo que os vetores são paralelos, nos casos:

a) Eu 10,3,1

, Exv 20,,2

b) Exu ,2,0

, Ev 6,3,0

c) kjiu

32 e kjixv 39

26. Calcular a para que os vetores sejam coplanares, nos casos:

a) Eu 0,3,1

, Ev 14,1,2

e Eaw ,4,3

Resposta: a = 14

b) jiau 3 , kjav

e kjiw

Resposta:

2

131a

27. Dados iu 2 , kjiv

e kjiw

662 , escrever, se possível, w

como combinação linear de u

e v

. Resposta: vuw 64

28. Dados Eu 0,0,2

, Ev 1,1,1

e Ew 2,6,2

, escrever, se possível, w

como

combinação linear de u

e v

.

Resposta: É impossível, pois estes três vetores não são coplanares.

29. Sendo wvu

e, coplanares, 2u

, 3v

, 4w

e o ângulo entre os vetores

vu

e é de 2

radianos, ache:

a) vu Resposta: 13

b) o versor de vu

Resposta: 13

vu

c) vuvu

Resposta: 5

30. Determinar o ângulo entre os vetores vu

e , sabendo-se que 0

wvu ,

2u

, 3v

, 4w

. Resposta: 4

1cosarc

31. Seja um paralelogramo construído sobre os vetores vu

e . Determinar o ângulo

entre as diagonais deste paralelogramo, sabendo-se que: 3u

, 1v e o ângulo

entre os vetores vu

e é de 6

radianos. Resposta:

7

72cosarc

32. Sabendo que Ev 1,1,1

, calcular o(s) vetor(es) Eu ,,

, que satisfaçam

simultaneamente as 3 condições abaixo:

a) iu

b) 0vu

c) 63 vu

Resposta: Eu 3,3,0


33. Determinar a área do paralelogramo construído sobre vu

e , cujas diagonais são:

Evu 5,3,0

e Evu 1,1,2

. Resposta: 35

34. Determinar vetorialmente o ângulo formado por duas diagonais de um cubo.

Resposta: 703

1cosarc

35. (Importante !) Expresse vetorialmente a projeção de um vetor v

sobre um vetor u

.

Resposta: uu

uvvproju

2

2.4 Referências Bibliográficas

1. BARSOTTI, Leo. Geometria Analítica e Vetores. 3.a Edição. Curitiba: Artes Gráficas e

Editora Unificado, 1984.

2. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica – Um tratamento Vetorial.

São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1987.

3. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Introdução à Geometria Analítica no Espaço.

São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1997.

4. VENTURI, Jacir J. Sistemas de Coordenadas e Álgebra Vetorial. Curitiba: Artes Gráficas

e Editora Unificado, 1987.

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