1

2ª Avaliação de Geometria Analítica

(Resolução)

1. Sejam as retas ( ) ( ), ( ) ( ) e

( ) ( ), onde . Determine a equação vetorial da reta u perpendicular

e concorrente às retas s e t. Calcule a distância entre r e u.

i) Determinação da equação da reta

( )

( )

é vetor diretor de u

( )

Pela condição do problema , ou seja, .

( ) ( )

Pela condição do problema , ou seja, .

( ) ( )

Então,

( ) (

) (

)

( ) (

) ( )

Equação da reta u:

(

) ( )

ii) Cálculo da distância

r e u são paralelas, então ( ) ( ) | |

| | ( ) (

)

( ) ( ) | |

| | |( ) ( )|

|( )| |( )|

|( )| √

√

2. Seja . Determine:

(a) m e n de modo que a reta ( ) ( ) e o plano

sejam paralelos, mas não contém r.

e r são paralelos se, e somente se, , ou seja .

( é o vetor normal de e o vetor diretor de r)

( ) ( )

não contém r se ( ) não pertencer à .

2

R não pertence à , se, e somente, se √

Logo, e r são paralelos e não contém r se √ .

(b) uma equação vetorial da reta r concorrente com s, paralela ao plano e

perpendicular à reta AB, onde ( ) ( ), ,

( ) e ( ).

Equação da reta AB:

( ) ( )

( )

( )

é o vetor diretor de r.

( )

Condição 1: r é paralela ao plano , então

( ) ( )

Condição 2: r é perpendicular à AB, então

( ) ( )

Substituindo

na equação acima:

(

)

Assim:

(

)

(

) ( )

Então

(

) ( )

3. Calcule:

(a) a distância entre os planos e

3

( ) ( ), ( )

( ) ( ) | |

√

√

√ √

(b) a distância entre as retas e .

Reescrevendo as equações na forma paramétrica:

r e s são paralelas, então:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) | |

| | |( ) ( )|

|( )| |( )|

|( )| √ ( )

( ) ( ) √ √

4. Faça um esboço e determine o centro, vértices, focos e excentricidade da cônica:

[ ] [ ] [( ) ] [( ) ]

Observe que no primeiro colchete temos o equivalente a e no segundo

. Para que a segunda equação seja equivalente a primeira devemos

subtrair 9 no primeiro colchete e subtrair 16 no segundo.

[( ) ] [( ) ] ( ) ( )

Dividindo a equação por 144:

( )

( )

A equação acima representa uma hipérbole.

Centro: ( ).

√

Vértices (considerando que o centro da hipérbole é a origem):

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

𝑟 𝑠

4

Focos (considerando que o centro da hipérbole é a origem):

( ) (√ )

( ) ( √ )

Efetuando as translações (considerando o centro como ( )), temos:

( ) e ( )

( ) e ( )

(√ ) e ( √ )

Excentricidade:

√

5. Defina elipse como lugar geométrico. Identifique seus principais elementos e indique

sua equação geral.

Sejam e pontos distintos, 2c sua distância e a um número real tal que a > c. O

lugar geométrico E dos pontos X tais que ( ) ( ) , chama-se elipse.

Cada um dos pontos e é chamado foco da elipse, o segmento é chamado

segmento focal, seu ponto médio, centro da elipse, e 2c, distância focal. A reta é

chama-se reta focal, e qualquer segmento cujas extremidades (distintas) pertencem a E

chama-se corda da elipse. [1]

Equação geral:

.

1 CAMARGO, I. BOULOS, P. Geometria Analítica. 3 ed rev e ampl. São Paulo: Prentice Hall, 2005. p. 287