7 3-2016 tuyen tap 50 bai he pt hay va dac sac tang hs online-p1

Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!

VIDEO BÀI GI ẢNG và LỜI GIẢI CHI TI ẾT CÁC BÀI T ẬP chỉ có tại website MOON.VN

Câu 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau ( )

( )

2 4 2 4 2 4

2 3 3 2

3 2 1 2

1 1 ( ) 2

x y x y x x y

x y x x x y

− − + − =

+ + − = − +

HD: Lấy pt(1) trừ pt(2) rồi đánh giá được ( ) ( )2 2

3 2

1 0

0 ; 1;1

0

x y

x y x y

x y

− = − = ⇒ = − =

Lời giải.

Điều kiện: 2 4 23 2 0− − ≥x y x y

Hệ đã cho tương đương với 2 4 2 4 6 4

6 4 2 3 2

3 2 2

1 1 ( ) 2

− − = + −

− = + + − −

x y x y y x x

x x x y x y

Cộng vế với vế 2 phương trình và rút gọn ta được

( )22 6 3 2 4 24 1 2 1 1 ( )− + = − + + + + −x y x x y y x y

( ) ( )2 22 3 2 24 1 1 1 ( ) (1)⇔ − + = − + + + −x y x y x y

Ta có ( ) ( )2 22 2 3 24 1 4 2 1 1 ( )− + ≤ = ≤ + + − + −x y x y x y

Dấu “=” xảy ra khi

2

3 2

1 0

0 1

0

+ = − = ⇔ = = − − =

x y

x y x y

x y

Nên (1) 1⇔ = = −x y . Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy hệ đã cho có nghiệm ( , ) ( 1; 1)= − −x y

Câu 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau 2 1 1

8 8

x y

x x y

− − − =

+ + =

Đ/s: Đánh giá pt(1) được ( ) ( )3 ; 3;1x x y≥ → =

Lời giải.

Điều kiện 2

1

≥ ≥

x

y

Phương trình (1) tương đương với 2 1 1− = + −x y 2 1 3⇒ − ≥ ⇒ ≥x x

Nên 8 3 8.3 1 8+ + ≥ + + =x x y

Đẳng thức xảy ra khi 3

1

= =

x

y

Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy hệ đã cho có nghiệm ( , ) (3;1)=x y .

50 BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUÀ TẶNG HỌC SINH NHÂN DỊP 7/3/3016

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn



Câu 3: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau 3 3 2

2 3 5

3 3 2 2

2 11 0

y x

x x y

x y xy

− + = −

+ − + =

Đ/s: ( ) ( ); 4;5x y = .

Lời giải.

Điều kiện

20

3 33

02

0

2 0

y

xx

x y

x

x y

− ≥ ≥ −

≠ − ≠

Phương trình (1) tương đương với 2 1 5

23 3 23 3

− + =−

yyxx

. Đặt 2

( 0)3 3

= − ≥yt t

x ta được

2

21 5

2 5 2 0 (2 1)( 2) 0 12

2

=+ = ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ =

tt t t t t

t t

Với 2

2 4 103 3

= ⇔ − = ⇔ = −yt y x

x thay vào (2) ta được:

3 3 33

1 1 101199 11

109 109 109

−− = − ⇔ = ⇔ = ⇒ =x x x y (thỏa mãn điều kiện).

Với 1 2 1 5

2 3 3 4 4= ⇔ − = ⇔ =y

t y xx

thay vào (2) ta được 31111 4 5

64= ⇔ = ⇒ =x x y

Thỏa mãn điều kiện. Vậy hệ đã cho có nghiệm 3 3

1 10( , ) (4;5), ;

109 109

− =

x y .

Câu 4: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau ( ) ( )( )

2

2 2 2

2 4 1

22 1 9 9

x y y

y x x y

− = +

− = + +

Đ/s: ( ) ( ) ( ){ }; 2;0 , 0; 2x y = −

Lời giải. Điều kiện: 1≥ −y . Phương trình (2) tương đương với

[ ][ ]

2 4 2 4 2

4 2

22 2

2

22 125 22 9 ( 1) (2 11)(11 2) (11 2) (11 2 )

(11 2) (11 2 ) (11 2)(11 2 ) 0

2 11( 11 2)( 11 2 ) 0

2 11

y y x x y y y x x y y

x x y y y y

x yx y x y

x y

− + = + + ⇔ − − = + − + −

⇔ + − + − + − − =

= −⇔ + − + − = ⇔

= −

Xét 2 2 11 4 1 (2 11 ) 2 11 (4 1 11) 0 0 2x y y y y y y y y x= − ⇒ + = − − = − ⇒ + + = ⇔ = ⇒ = ±

Xét 2 2 11 4 1 (2 11) 2 2 13= − ⇒ + = − − = −x y y y y y .

Đặt 21 0 1= + ≥ ⇒ = −t y y t . Thay vào ta được 2 2 3 2 2 2 24 ( 1) 2( 1) 13 4 2 4 15 0 4 ( 1) 4( 1) 2 11 0− = − − ⇔ − − + = ⇔ − + − + + =t t t t t t t t t t (vô nghiệm).



Vậy hệ đã cho có nghiệm ( ) ( ) ( ), 2;0 , 2;0x y = − .

Câu 5: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau ( ) ( )

( )2

6 3 3 8 3 0

8 24 417 3 1 3 17

x y xy y y y x

x x y y y y

+ + + = + +

− + − + = + − + +

HD: Đặt (1)3; 2pta x b y a b= + = → = ( ) ( ); 1;1x y⇒ = .

Lời giải. Điều kiện: 1, ( 3) 0≥ + ≥y y x

Đặt 3, ( 1, 0)= + = ≥ ≥a x b y b a . Phương trình (1) trở thành

2 2 2 2 2( 6 ) (8 3 )+ = +ab a b b b a2 215

( 2 ) 02 4

⇔ − − + =

b bb a b a 2 3 4⇔ = ⇔ + =a b x y .

Thay vào (2) ta được 2(4 3) 8(4 3) 24 417 ( 3) 1 3 17− − + − − + = + − + +y y y y y y

( )2216 32 384 ( 3) 1 3 17 400 16 1 17 3 ( 3) 1⇔ − + + = + − + + ⇔ − − = + + + −y y y y y x y y y

Ta thấy 20≤ ≤VT VP (Do 1≥y ) nên phương trình tương đương với 1 1= ⇒ =y x

Vậy hệ đã cho có nghiệm ( , ) (1;1)=x y .

Câu 6: [ĐVH]. Giải hệ phương trình sau ( )

2

2

1

2 5 2

x y x y y

x x y x y

− + = −

+ − + = +

HD: Đặt 2 31

;2

axa b x y

by

=+= = + ⇒ =

Lời giải. Điều kiện: 0+ ≥x y

+) Nếu 0=y , thay vào (1) ta được 2 1= −x vô nghiệm.

+) Nếu 0≠y , hệ đã cho tương đương với

22

22

111

1

1.( 2) 6( 1)( 2) 6

+ − + = + − + = ⇔ + + − =+ + − =

xx yx

x y yy

xx yx x y y

y

Đặt 2 1

, ( 0)+= = + ≥x

a b x y by

.

Hệ trở thành 22 2

1 1( 1)( 2) 6 0

( 2) 6 ( 2) 6

a b a bb b

a b a b

− = = + ⇔ ⇒ + − − = − = − =

2

3 2

2 2

13

2 8 0 2 3

4

3 53 11 53

2 21 3(4 ) 3 11 03 53 11 53

2 2

x

b b b b a y

x y

x yx x x x

x y

+ =⇔ + − − = ⇔ = ⇒ = ⇒ + =

− + −= ⇒ =⇒ + = − ⇒ + − = ⇔ − − += ⇒ =



Vậy hệ có nghiệm ( ) 3 53 11 53 3 53 11 53, ; , ;

2 2 2 2

− + − − − +=

x y

Câu 7: [ĐVH]. Giải hệ phương trình ( ) ( )

( )3 2 3

2 3 24

2 4 13 5 3 1,;

17 2 3 1 6 2 4 1 .

x x x y y yx y

x x x y y y

+ + = + + − ∈+ − + + + = +

ℝ .

Lời giải. Điều kiện 1; 1y x≥ ≥ . Phương trình thứ nhất của hệ biến đổi thành

( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

3 2 3

23 3 2

3 2

3 2

2

2

2 5 4 13 3 1

3 1 2 5 4 1 14 1 2 1 14 14

3 48 3 1 6 0 2 2 4 0

1 2

3 22 2 4 0 2 0 2

1 2

x x x y y y

y y y x x x x x

y yy y y y y y

y y

y yy y y y y

y y

− + + = + −

⇒ + − = − + − + = − − + ≥

− −⇔ − + − − ≥ ⇔ − + + + ≥

− +

+ + ⇔ − + + + ≥ ⇒ − ≥ ⇔ ≥

− +

Phương trình thứ hai của hệ tương đương với

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 3 24

2 3 24

17 2 3 1 6 2 4 1

17 2 3 1 6 8 2 2

x x x y y y

x x x y y y f x g y

+ − + + + = +

⇔ + − + + + − = ⇔ + =

Xét hàm số ( ) ( ) ( )2417 2 3 1 6 1 6f x x x x f= + − + ≥ = .

Xét hàm số ( ) 3 2 8 ; 2g y y y y y= + − ≥ ta có ( ) 23 2 8 0, 2g y y y y′ = + − > ∀ ≥ nên hàm số đồng biến, liên tục.

Suy ra ( ) ( ) ( ) ( )2 4 6 4 2g y g f x g y≥ = − ⇒ + ≥ − = . Dấu đẳng thức xảy ra khi 2; 1y x= = .

Thử lại ta thu được nghiệm duy nhất của hệ.

Câu 8: [ĐVH]. Giải hệ phương trình( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )3

2 2

3 2 1 1 3 8,;

2 2 2 5 7 .

x y y y xx y

x y y y x y x x

+ + − − + = + ∈+ + + + + = −

ℝ

Lời giải. Điều kiện 1y ≥ . Phương trình thứ hai của hệ đã cho tương đương với

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

2 3

2 3

2 3

2 2 4 2 3 2

2 2 2 2 3 2

1 2 3 2

x y y y x y x y y x x

x y y x y y y x x

x y y x x

+ + + + + + + + = − +

⇔ + + + + + + + = − +

⇔ + + + = − +

Dễ thấy ( ) ( ) ( ) ( )2 23 11 2 0, 1 3 2 0 1 2 0

2

xx y y y x x x x

x

=+ + + > ∀ ≥ ⇒ − + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≥ −

Xét 1x = thì ( )2 1 1 53y y− − = − (Vô nghiệm). Xét 2x ≥ − thì phương trình thứ nhất của hệ trở thành

( )( ) ( ) ( ) ( )

3 2

2

9 24 19 2 1 1 0

2 5 2 1 1 1 0 1

x x x y y y

x x y y y

+ + + + + − − =

⇔ + + + − − + − =

Để ý rằng ( ) ( ) ( )22 5 2 1 1 1 0, 2; 1x x y y y x y+ + + − − + − ≥ ∀ ≥ − ∀ ≥ nên (1) có nghiệm khi và chỉ khi các

dấu đẳng thức xảy ra, nghĩa là 2; 1x y= − = .

Cặp số 2; 1x y= − = thỏa mãn hệ nên là nghiệm duy nhất của bài toán.




4 2 2 4

2 2 2 2

4 2 2 1 1 ,;

1 3 .

y x x x y yx y

x y y xy

− + − = + + ∈ + + =

ℝ .

Lời giải.

Điều kiện 1

2x ≥ .

Nhận xét các trường hợp 1

02

y x= ∨ = đều không thỏa mãn hệ đã cho.

Ngoài các khả năng đó, phương trình thứ nhất của hệ biến đổi về

( )

( ) ( )

4

2 2 4

2 4

1 1 12 2 1 2 1

1 12 1 2 1 1 1

yx x x

y y y

x xy y

+− + − = +

⇔ − + = + + ∗

Xét hàm số ( ) ( ) ( )( )

222

11 1 ; 0 1 0, 0f t t t t f t t

t t′= + + > ⇒ = + > ∀ >

+.

Hàm số liên tục, đồng biến với 0t > nên ( ) ( ) 2

1 12 1 2 1

2f x f x

y y

∗ ⇔ − = ⇔ − =

.

Khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành

( )( )

( ) ( ) ( )( )

22 2 2

2 2

22

3 13 1 1 0 1 0 2 1 3 1 0

2 1

4 2 1 4 12 4 0 4 4 1 4 2 1 4 2 1 1

2 1 12 1 2 2 1 1

1 2 1 2

x xy x x x x x

x

x x x x x x x

x xx x

x x

− +− + + = ⇔ + = ⇔ − + − + =−

⇔ − + − + = ⇔ − + = − − − +

= −⇔ − = − − ⇔ − = −

Xét hai trường hợp sau

• ( ) ( )22

001 1

2 1 0 1 0

xxx

x x x

≥≥ ⇔ ⇔ ⇔ = − + = − =

.

• ( ) { }2

2

11

2 2 2 2 1 2 1; 2 122 1 2 1

xx y y

x x x

≤ ≤⇔ ⇔ = − ⇒ = + ⇒ ∈ + − + − + = −

.

Đối chiếu điều kiện ban đầu ta có bốn cặp nghiệm

( ) ( ) ( ) ( ) ( ); 1;1 , 1; 1 , 2 2; 2 1 , 2 2; 2 1x y = − − + − − + .

Câu 10: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

3 26 8 6 202

2

13 1 9 1 2 16 2

x x yy

x y

x y y

− − ++ = + + − + + + = +

Lời giải. Điều kiện 1, 2x y≥ > − . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

( ) ( )3 2

26 2 86 8 8 82 6 2 6 2

2 2

yx xy x x y y

x xy y

+ +− − = + − ⇔ − − = + − + − ∗+ +

.



Xét hàm số ( ) ( ) ( ) ( )23 22

2 2 2

2 18 1 4 3 46 ; 0 3 0, 0

2

t tt tf t t t t f t t t

t t t t

− +− +′= − − > ⇒ = − + = = ≥ ∀ > .

Rõ ràng hàm số trên liên tục và đồng biến trên toàn tia Ox thực nên thu được

( ) ( ) ( )2 2f x f y x y∗ ⇔ = + ⇔ = + .

Phương trình thứ hai của hệ trở thành 13 1 9 1 16 16 13 1 9 1 0x x x x x x− + + = ⇔ − − − + =

2 2

1 913 1 1 3 1 3 1 0

4 4

11

1 3 5213 1 3 1 032 2 4

12

x x x x

xx x x

x

⇔ − − − + + + − + + =

− = ⇔ − − + + − = ⇔ ⇔ = + =

Kết luận hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( ) 5 7; ;

4 16x y

= −

.


2

3

1 3 43 1

1

9 2 7 2 2 2 3

xx y y

y x

y x y y

+ + + = − + + − + + + = +

Lời giải.

Điều kiện 2

; 19

y x≥ > − . Phương trình thứ nhất của hệ đã cho tương đương với

( )

( )

2 2

2

3 1 13 4 1 11 3 1 3

1 1

1 11 3 1 3

1

xxx y y x y y

y yx x

x x y yyx

+ +++ − = − − ⇔ + − = − −+ +

⇔ + − + − = − − ∗+

Vì 2

; 19

y x≥ > − nên ta xét hàm số

( ) ( ) ( )( )23 22

2 2 2

2 1 11 1 2 3 13 ; 0 2 3 0, 0

t tt tf t t t t f t t t

t t t t

+ −− +′= − − > ⇒ = − + = = ≥ ∀ > .

Hàm số liên tục và đồng biến trên miền t dương nên thu được

( ) ( ) ( ) 21 1 1f x f y x y x y∗ ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − .

Phương trình thứ hai của hệ trở thành

( ) ( ) ( )2 23 39 2 7 2 5 2 3 9 2 2 7 2 5 1 0 1y y y y y y y y y − + + − = + ⇔ − − + + + − − + = .

Đặt 2 2 23 7 2 5 ; 1 0y y a y b a ab b+ − = + = ⇒ + + > vì 0a b y= = ⇔ ∈∅ . Cho nên

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2 3 2

2 2

22

2 2

22 2

9 2 4 4 7 2 5 3 3 11 0

9 2 2

1 5 65 60

9 2 2

1 15 6 0 2

9 2 2

y y y y y y y y

a ab by y

y y yy y

a ab by y

yy y

a ab by y

− − + + + − − + + +⇔ + =

+ +− + +

+ − +− +⇔ + =+ +− + +

+⇔ − + + = + +− + +



Vì 2 2

1 1 20,

99 2 2

yy

a ab by y

++ > ∀ ≥+ +− + +

nên

( ) ( )( ) { } ( ) ( ) ( )2 2 3 0 2;3 ; 8;3 , 3;2y y y x y⇔ − − = ⇔ ∈ ⇒ = .

Thử lại, kết luận hệ có hai nghiệm kể trên.

Câu 12: [ĐVH]. Giải phương trình ( ) ( ) ( )22 2 231 2 2 1 2x x x x x x− = − − + − + + ∈ℝ

Lời giải. Điều kiện 1 1x− ≤ ≤ .

Phương trình tương đương ( )22 2 232 2 2 2 1 1x x x x x x− − − − − + = − + .

Ta có ( )22 2 21 1 2 1 1 1 1x x x x x x− + = + − ≥ ⇒ − + ≥ .

Đặt 3 2 2 2x x t− − = thu được ( )3 2 2 01 1 1 0

1

tt t t t

t

=− + ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥

� { }20 2 2 0 1 3;1 3t x x x= ⇔ − − = ⇔ ∈ + − .

� ( )( )3 2 31 1 2 3 0 3 1 0 1

1

xt t x x x x x

x

≥≥ ⇒ ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ⇒ = − ≤ −

.

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm duy nhất 1x = − .


2 2 2

33

2 4 2 3 4 2

3 2 12 1 3 2 2 1

2

x y x y y

x yx y x y

+ + + + = + + + + −− + − = + − −

Lời giải.

Điều kiện 31 2

;2 3

x y≥ ≥ . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

( )( )

( ) ( )

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 4 3 4 0

2 2 2 4 3 4

10

1 1 1 2 1

x y x y y

x y x yx y

x y x y y

x yx y x y

x y x y y

+ − + + + + − + =

− +−⇔ ++ + + + + + +

+⇔ − + = ⇒ =

+ + + + + + +

Phương trình thứ hai của hệ trở thành 3

3 3 2 12 1 3 2 1

2

x xx x x

+ −− + − = + − .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3 3 3

3 2 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 12 1 3 2 1

2 2 2 2

x x x x x xx x x

− + − + + − + −− + − ≤ + = ≤ + − .

Do đó phương trình ẩn x có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra, tức là 32 1 3 2 1 1x x x− = − = ⇔ = .


( ) ( )2 2 2 2

2 2

2 33

5 6 5 6 8 6

2 4

x x y

x xy y x xy y

x y x x y

+ + = − + − + − − + + =

Lời giải.



Điều kiện

00

22

0

xx

y xy x

y

≥≥

⇒ ≥ ≥ ≥

Nhận xét ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2 2 22 2

2 2 22 2 2 2

5 6 55 6 5 4

6 8 6 5 6 8 6

x xy y x y x yx xy y x y x y x y

x xy y x y x y x y x xy y x y x y

− + ≥ + = +− + = + + − ≥ + ⇒

− + = + + − ≥ + − + ≥ + = +

Dẫn đến ( )

2 2 2 2

32 3 2 33

5 6 5 6 8 6

x yx x y x x y

x y x y x yx xy y x xy y

++ ++ ≤ + = =+ + +− + − +

.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y= . Phương trình thứ hai trở thành

( ) ( )( )2 1 2 024 1 1

0 0

x xx xx x x x

x x

− + =+ = + = ⇔ ⇔ ⇔ = ⇔ = ≥ ≥

.

Kết luận hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1x y= = .

Câu 15: [ĐVH]. Giải bất phương trình ( ) ( )24 1 2 2 3 1 2 .x x x x+ + + ≤ − −

Lời giải: ĐK: 1x ≥ − (*)

Khi đó (1) 3 24 1 2 2 3 2 2x x x x x⇔ + + + ≤ − − +

( ) ( ) 3 24 1 2 2 2 3 3 2 12x x x x x⇔ + − + + − ≤ − − −

( ) ( ) ( ) ( )24 1 4 2 2 3 9

3 2 41 2 2 3 3

x xx x x

x x

+ − + −⇔ + ≤ − + +

+ + + +

( ) ( ) ( )( )24 3 4 3

3 2 4 02 1 3 2 3

x xx x x

x x

− −⇔ + − − + + ≤

+ + + +

( ) ( )24 43 1 3 0

2 1 3 2 3x x

x x

⇔ − + − + − ≤ + + + + (2)

Nhận thấy 1x = − thỏa mãn bất phương trình đã cho.

Xét với ( )24 4 4 41 1 3 0 3 0.

2 02 1 3 2 3 3 2 3x x

x x≥ − ⇒ + − + − < + − − =

++ + + + + − +

Khi đó (2) 3 0 3.x x⇔ − ≥ ⇔ ≥ Kết hợp với (*) ta được 3x ≥ thỏa mãn.

Đ/s: 1x = − hoặc 3.x ≥

Câu 16: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 2 23

1 2 1

12 7 8 15

x y x y y

xy x x y

+ + + − = +

+ = + +

Lời giải.

Điều kiện 2

1 0; 0 0

2 1 0; 7 0

x y x y x

x yy xy x

+ + ≥ − ≥ ≥ ⇔ ≥+ ≥ + ≥

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

1 2 1 0 01 2 1

. 0 1 01 2 1 1 2 1

x yx y y x y x y

x y y

x y x yx y x y x y

x y y x y y

−+ + − + + − = ⇔ + − =+ + + +

− −⇔ − + − = ⇔ − + = + + + + + + + +



Ta có 1 0 01 2 1

x yx y x y

x y y

−+ > ⇒ − = ⇔ =

+ + + +.

Phương trình thứ hai của hệ tương đương 3 3 212 7 8 15x x x x+ = + + .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số thực không âm ta có

( ) ( )2 2

32 2 3 23 38 8 7 8 15

4 7 8.8 7 12 7 8 153 3

x x x xx x x x x x x x

+ + + + ++ = + ≤ = ⇒ + ≤ + + .

Do đó phương trình ẩn x có nghiệm khi 28 7 8 1x x x= + = ⇔ = .

Kết luận hệ có nghiệm duy nhất 1x y= = .

Câu 17: [ĐVH]. Giải hệ phương trình ( )( )

3 2 2

2 2

2 2 1

4 3 4 3 1

y x x x x y

x x x x x y

− = + − + − + − + − =

Lời giải:

ĐK: 2 20;4 3 0x y x x y+ ≥ + − ≥ .

Cách 1: Đặt ( )2 0t x y t= + ≥ ta có: 2 2t x y− =

Khi đó ( ) ( )2 2 3 21 2 2 1PT t x x x x t⇒ − − = + − 2 2 2 32 2t x t x t x xt⇔ + − − = +

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

2 2 2

2

0 0 / 21 2 2 1 0

2 1 2 1

t x x y ko t mx t t x x t x t t x

t x x y x

= = ⇔ = =⇔ + − = + ⇔ + − − = ⇔ = + ⇔ + = +

.

Cách 2: Sử dụng CASIO nhận thấy 2 2 1x y x+ = + ta biến đổi như sau:

( ) ( )( ) ( )( )3 2 2 21 2 2 1 2 1 2 1 2 1PT y x x x x x x x y x⇔ − − + − + = + − + − − .

( )( )2 2 23 4 1 2 1 2 1y x x x x x y x⇔ − − − = + − + − − ( ) ( ) ( )( )22 2 22 1 2 1 2 1x y x x x x y x ⇔ + − + = + − + − −

( )( )2 2 22 1 0x y x x x y⇔ + − − + + = .

Thế 23 4 1y x x= + + vào PT(2) ta có: ( ) ( )2 22 4 3 1 1PT x x x x x⇔ − + − − − =

( )( ) ( )2 2 2

2

310 3 1 3 0 10 1 0

1 3

xx x x x x x x

x x

−⇔ − − + − − − − = ⇔ − − + = − − +

( )2

2

1 41 69 7 4110 0/2 2

1 1 0

x x x yt m

x x x x y

± ± − − = = ⇒ =⇔ ⇔ − − = − = − ⇒ =

Hướng 2: Đặt ẩn phụ không hoàng toàn: Đặt 2 1u x x= − − ta được ( )( )3 0u x u+ − = .

Vậy nghiệm của HPT là ( ) ( ) 1 41 69 7 41; 1;0 ; ;

2 2x y

± ± = −

.

Câu 18: [ĐVH]. Giải hệ phương trình ( )( ) ( ) ( )

2 2

4 3 12 0,

6 1 1

x y x y x yx y

x y x x y y

+ + − + + + = ∈− + + − − = +

ℝ

Lời giải: Điều kiện: 1x y− ≥ .



Phương trình một của hệ tương đương với: ( ) ( ) ( )4 2 4 4 0x y x y x y x y+ + − + + + − − + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

4 2 4 0 4 2 2 2 0x y x y x y x y x y x y x y ⇔ + + − + − − − = ⇔ + + − + − − − − + =

( ) ( )2 6 0 6 0 6x y x y x y x y x y x y x y⇔ − + + + − − = ⇔ + + − − = ⇔ = − − − .

Thế xuống phương trình thứ hai trong hệ, ta được: ( ) ( )2 21 1x y x x y x y x y y− + − − − + − − = + .

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

2 2 2 2

2

2

2

1 1

1 1 1 0

1 1 1 1 0

1 11 1 0 1 0 1

1

x x y x y x y x y x y y

x x y x y x y x y

x x y x y x y x y x y

x y x y x yx x y x y x y x y

x y

⇔ − + − − − + + − − = +

⇔ − − + − − − + − − =

⇔ − − + − − − + − + + − − =

− − − + − +⇔ − − + + − − = ⇔ − − = ⇔ − =

− +

Khi đó hệ phương trình đã cho 5 26

1 31

x y xx y x y

x y yx y

+ = − = −= − − − ⇔ ⇔ ⇔ − = = −− = .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là ( ) ( ); 2; 3x y = − − .


( )( )2 2

23

1 1 4

11 2 2

2 2 2 4

yx x y

y x y x

+ = −+ + − + − − =

Lời giải:

ĐK: 2

1

0

y

x y

>

+ >. Đặt 2 1; 1a x b y= + = − ta có

2 2

1 1 2 2

a b a b+ =

+

Mặt khác với

( )2 2

2 2

1 1 41 1 2 2

; 0

2 2

a b a ba ba b a ba b a b

+ ≥ +> ⇒ ⇒ + ≥+ + ≥ +

. Dấu đẳng thức xảy ra 0a b⇔ = >

Khi đó: 2 2x y= − thế vào PT(2) ta có ( ) ( )2 2 232 2 2, 1x x x x− + − =

Do 0x = không phải là nghiệm nên ta có: ( ) 32 2

1 2x xx x

⇔ − + − = . Đặt 32

t xx

= − ta có:

( ) 3 1 321 2 0 1 1

2 6

x yt t t x

x yx

= − ⇒ =⇒ + − = ⇔ = ⇒ − = ⇔ = ⇒ =

Vậy nghiệm của hệ phương tình ( ) ( ) ( ){ }; 1;3 ; 2;6x y = −


( ) ( )( )( )

2, .

1 1 4

xy x y xy x y yx y R

x y xy x x

+ − − + = + ∈ + + + − =

Lời giải:

ĐK: ( ) ( )0, 0, 2 0x y xy x y xy≥ ≥ + − − ≥ (*)

Khi đó (1) ( )( )2 0xy x y xy y x y⇔ + − − − + − = (3)



• Với 0y = khi đó (3) trở thành 2 0 2 0 0.x x x x x− + = ⇔ − = = ⇔ =

Thay vào (2) ta thấy không thỏa mãn ⇒ Loại.

• Với ( ) ( )0 2 0y T xy x y xy y> ⇒ = + − − + > và 0.B x y= + >

Khi đó (3) ( )( ) 22

0xy x y xy y x y

T B

+ − − − −⇔ + =

( ) ( )( ) ( )

2 2 10 0

y x y x y xy y xyx yx y

T B T B

− + − − + −−⇔ + = ⇔ − + =

(4)

Từ (2) ( ) ( )2

2 24 1 24 4

2 21 1 1

x x xy xy x x y xy x x

x x x

+ + − −⇒ + + − = ⇒ + − = + − − =

+ + +

( ) ( )23 1 23 2

2 0, 01 1

x xx xy xy x

x x

− +− +⇒ + − = = ≥ ∀ ≥

+ +

Kết hợp với 2 1

, 0 0y xy

T BT B

+ −> ⇒ + > nên (4) .x y⇔ =

Thế vào (2) ta được ( ) ( ) ( ) ( )2 21 4 1 3 4 0x x x x x x x x+ + + − = ⇔ + − + =

( ) ( )3 2 2

1

2 3 4 0 1 4 0 1 17

2

x

x x x x x xx

=⇔ − − + = ⇔ − − − = ⇔ ± =

Kết hợp với (*) ta được

1 1

1 17 1 17

2 2

x y

x y

= ⇒ =

+ + = ⇒ =

Đ/s: ( ) ( ) 1 17 1 17; 1;1 , ; .

2 2x y

+ + =

Câu 21: [ĐVH]. Giải hệ phương trình ( )( )3

2 2

8 2 5 2

3 1 9 1 1

x y y x

x x y y

+ = + +

+ + + + =

Lời giải Điều kiện: 5 2 0+ + ≥y x

Phương trình (2) ( )( )2 2 2

2

13 1 9 1 1 3 1 9

1⇔ + + + + = ⇔ + + =

+ +x x y y x x

y y

( ) ( )223 1 9 1⇔ + + = − + + −x x y y

Xét hàm số ( ) ( )2

21 ' 1 0

1= + + ⇒ = + > ⇒

+t

f t t t f tt

hàm số ( )f t đồng biến trên Tập xác định

( ) ( )3 3⇒ = − ⇔ = −f x f y x y

Thay vào phương trình (2) ta có 38 6 2 2− = +x x x (Điều kiện : 1≥ −x )



( ) ( )( ) ( )

3

0

8 8 2 2 2

1 4 2 4 28 1 1 8 0 1

2 2 2 2 2 2>

⇔ − = + −

− + +⇔ − = ⇔ − + = ⇔ = + + + +

x x x x

x x xx x x x x

x x x x��

Kết hợp điều kiện vậy nghiệm của hệ là ( )1; 3−

Câu 22: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 3 3 2

2 2

3 6 3 4

6 10 5 4

x y x x y

x y x y y x y

+ = − − +

+ − + − = + − +

Lời giải

Điều kiện: 4 0

5

+ ≥ ≥ −

x y

y

Phương trình (1) ( ) ( )33 3 2 33 6 3 4 3 1 3 1⇔ + = − − + ⇔ + = − + −x y x x y y y x x

Xét hàm số ( ) ( ) ( )3 23 5 ' 3 1 0= − ≥ − ⇒ = − > ⇒f t t t t f t t hàm số ( )f t đồng biến trên Tập xác định

( ) ( )1 1⇒ − = ⇔ − =f x f y x y

Thay vào phương trình (2) ta có 22 7 10 6 3 1− − = − − +x x x x ( Điều kiện 1

5≥x )

( ) ( ) ( )

( )

2

0

3 552 9 5 6 1 4 3 1 5 2 1 0

6 1 4 3 1

1 35 2 1 0 5

6 1 4 3 1>

−−⇔ − − = − − + − + ⇔ − + + + =− + + +

⇔ − + + + = ⇔ = − + + +

xxx x x x x x

x x

x x xx x��

Kết hợp điều kiện vậy nghiệm của hệ là ( )5; 4−

Câu 23: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 3 3 2

2 2

3 6 3 4 0

2 4 3 3 2 3 2 0

x y x x y

x x y y x

− + + − + =

− − + − − + =

Giải:

Điều kiện: ( )2

2

4 0*

3 2 0

x x

y y

− ≥

+ − ≥

+) Xét phương trình (1): ( ) 3 2 31 3 6 4 3x x x y y⇔ + + + = +

( ) ( ) ( ) ( )3 31 3 1 3 1x x y y f x f y⇔ + + + = + ⇔ + =

Xét hàm số 3( ) 3f t t t t R= + ∀ ∈ Có 2'( ) 3 3 0f t t t R= + > ∀ ∈ nên ( )f t là hàm đồng biến trên R

1x y⇒ + = thế vào (2) ta có: ( ) 2 22 2 4 3 4 3 2 0x x x x⇔ − − − − + =

Do 20 2 2 4 0 2; 0x x x x x≤ ≤ ⇔ − + − = ⇔ = = (T/M)

+) Với 22 4 0 2; 0x x x x− + − ≠ ⇔ ≠ ≠ có: ( ) ( ) ( )2 22 2 2 4 3 2 4 0x x x x⇔ − − + − − − =

( ) ( ) ( )2

2 2 2 2

2 2 6 2 2 2 60 0

2 4 2 4 2 4 2 4

x x x x xVN

x x x x x x x x

− − −⇔ + = ⇔ + = ⇒

+ − − + − + − − + −



Do ( )

2 2

2 2 60, 0 2

2 4 2 4

x xx

x x x x

−+ > ∀ < <

+ − − + −.

+) Với ( )2 3 /x y t m= ⇒ =

+) Với 0 1( )x y L= ⇒ =

Vậy hệ có nghiệm ( ) ( ); 2;3x y =

Câu 24: [ĐVH]. Giải hệ phương trình ( )

( ) ( )

2 21 1

1 2 2 3 2

y x y x x y

x y y x

+ + + = + + − − + − − + =

Lời giải

ĐK: ( )2 23, 2, 1 0, 1x y x y x y≥ − ≥ − + + ≥ + ≥ (*)

Khi đó ( )1 1. 1 1 0.x y x y x y x y⇔ − + + + − + − + + =

Đặt ( )( ) ( )2 21 0

1 1 0 1 1 1 01 0

a x yx y b b ab a b b a b

b x y

= + + ≥⇒ − = − ⇒ − + − = ⇔ − + + − =

= − + ≥

( ) ( )1 1 0 1 1 1 1 1 .b a b b x y x y x y⇔ − + + = ⇔ = ⇒ − + = ⇔ − + = ⇔ =

Thế vào (2) có ( ) ( )1 2 2 3 2x x x x− + − − + =

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 4 2 3 41 2 2 2 3 2 0

2 2 3 2

x x x xx x x x

x x

− + − − + −⇔ − + − − − + − ⇔ − =

+ + + +

( )( )1

1 11 2 0 2

2 2 2 32 2 2 3

x

x x xx x

x x

= ⇔ − − − = ⇔ = + + + + + + = + +

( ) ( ) ( ){ }1

1 12 ; 1;1 , 2;2

2 22 3

xx y

x x yx y

x x

== ⇒ =⇔ = ⇔ ⇒ = = ⇒ = + = +

thỏa mãn (*).

Đ/s: ( ) ( ) ( ){ }; 1;1 , 2;2 .x y =

Câu 25: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 2 23

2 4 21 2 1

1

4 7 5 7 3 2

x yx x y

x

x x x y y

− + − + − + = − − + + − + = +

Lời giải

ĐK: 1, 1 2x x y< + ≥ (*). Đặt 1 0, 2 1 0a x b x y= − > = − + ≥

( )1⇒ thành ( ) ( )2

2 222 0 2 0

ba b a ab b a b a b

a+ = ⇔ + − = ⇔ − + = (3)

Với 0, 0 2 0a b a b> ≥ ⇒ + > nên ( )3 1 2 1a b x x y⇔ = ⇒ − = − +

1 2 1x x y x y⇒ − = − + ⇔ =

Thế vào (2) có 32 24 7 5 7 3 2x x x x x− + + − + = + 32 24 7 2 5 7 3x x x x x⇔ − + − = − − + (4)

Ta có 2

2 7 117 3 5 0,

202 5x x x

− + = − + >

xét ( )232 2 235 7 3 5 7 3T x x x x x x= + − + + − +



( )2

3 2223

5 7 3 35 7 3 0.

2 4

x xT x x x

− +⇒ = + + − + >

Do đó ( ) ( ) ( ) ( )3 2 22

2

5 7 3 1 4 34 7 44

4 7 2

x x x x x xx x

T Tx x

− − + − − +− + −⇔ = =− + +

( ) ( ) ( )22

2

2 2

1 4 34 1 10 4 3

2 4 7 2 4 7

x x xx x xx x

T Tx x x x

− − + − + −⇔ + = ⇔ − + + + − + + − +

(5)

Với 1x ≤ và 2

1 10 0.

2 4 7

xT

Tx x

−> ⇒ + >+ − +

Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ){ }2 1 15 4 3 0 ; 1;1 , 3;3

3 3

x yx x x y

x y

= ⇒ =⇔ − + = ⇔ ⇒ = = ⇒ =

thỏa mãn (*).

Đ/s: ( ) ( ) ( ){ }; 1;1 , 3;3 .x y =


2

5 3 2 2 3 4

2 2

x y x y x y x y x

y x

− + + − = + + − + −

+ − =

Lời giải.

Điều kiện 20;2 0

3 0;3 4

y x

x y x

≥ − ≥ + − ≥ ≥

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

( )( )

( ) ( )

( )

2 5 2 3 4 3 0

2 12 2 1 0

3 4 3

12 1 2 0

3 4 3

x y x y x y x x y

x yx y x y

x x y

x y x yx x y

+ − − + + + − − + − =− −⇔ + − − − + =

− + + −

⇔ − − + − + = − + + −

Vì 1

2 0 2 13 4 3

x y y xx x y

+ − + > ⇒ = −− + + −

. Phương trình thứ hai của hệ trở thành

Khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành ( )22 1 2 2 1x x− + − = .

Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có

( ) ( )( )

2 22 2

222

1 2 1 1 2 3 22 1 2 1 2 1 1 2

2 2 2

4 13 2 42 2 1 2 2

2 2 2

x x x xx x x x

xx xx x

+ − + − + −− + − = − + − ≤ + =

− −+ − = ≤ = ⇒ − + − ≤

Do đó phương trình (1) có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra, tức là 2

2 1 11

2 1

xx

x

− =⇔ = − =

.

Đối chiếu điều kiện, kết luận hệ vô nghiệm.

Câu 27: [ĐVH]. Giải hệ phương trình ( )4 4

3 3 2

5 2 0, .

5 4 4 5

x y y xx y R

x x y x y xy x y

+ + − + = ∈− − = − +

Lời giải:

Ta có (2) ( ) ( ) ( )3 3 25 5 4 4 0x x x y xy x y y⇔ + − + − + =



( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 25 1 4 1 1 0 1 5 4 0x x xy x y x x x xy y⇔ + − + − + = ⇔ + − − =

5 4 0 5 4 .x xy y y x xy⇔ − − = ⇔ − = −

Thế vào (1) ta được 4 4 4 44 2 0 2 4 .x y xy x y xy+ − + = ⇔ + + =

Áp dụng BĐT Côsi ta có 4 4 4 4 4 442 1 1 4 . .1.1 4 4 .x y x y x y xy xy+ + = + + + ≥ = ≥

Dấu " "= xảy ra 4 4 11

10

x yx y

x yxy

= = = = ⇔ ⇔ = = −≥

Thử lại ta được 1x y= = thỏa mãn.

Đ/s: ( ) ( ); 1;1 .x y =

Câu 28: [ĐVH]. Giải phương trình ( )2 2 2 213 1 1 7 4 .

2 2x x x x x x x− + − − + = − +

Lời giải:

ĐK: 2

2

13 1

1

3

xx

xx x

≥ ≥ ⇔ ≤ −≥

(*)

• Xét với ( ) ( ) ( )2 2 2 4 2 2 21 1 0 1 0x x x x x x x x x x x≥ ⇒ − − + = − − < ⇒ + > − ≥

( )2 2 2 2 21 1 0 1 3 1x x x x x x x x VT x⇒ + > − ⇒ − − + < ⇒ < − (2)

Áp dụng BĐT Côsi ta có ( )2 2 22 2. 3 1 2 3 1 3 1.x x x− ≤ + − = +

Mặt khác ( ) ( )2 2 2 27 4 3 1 4 3 3 1 3 0, 1x x x x x x x x x− + − + = − + = + − + > ∀ ≥

( ) ( )2 2 2 2 2 213 1 7 4 2 2. 3 1 7 4 3 1 7 4 1 .

2 2x x x x x x x x x VP⇒ + < − + ⇒ − < − + ⇒ − < − + =

Kết hợp với (2) ( ) ( )1 1 1VT VP x⇒ < ⇒∀ ≥ đều không thỏa mãn (1).

• Xét với 1

3x ≤ − ta đặt

1 1.

3 3x t t t= − ⇒ − ≤ − ⇒ ≥

Phương trình (1) trở thành ( )2 2 2 213 1 1 7 4

2 2t t t t t t t− + + + + = + +

2 2 2 22 6 2 2 2 2 2 2 2 7 4t t t t t t t⇔ − + + + + = + +

( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 1 2 2 2 3 1 2 6 2 3 1 5 10 5t t t t t t t t t t⇔ + − − + + − − + − − + = − +

( ) ( ) ( ) ( )

( )2 222 22

2

2 2 2

2 2 2 1 2 6 2 3 14 2 2 3 15 1

2 2 1 2 2 2 3 1 6 2 3 1

t t t t tt t tt

t t t t t t t

+ − + − − −+ − + ⇔ + + = −+ + + + + + − + −

( ) ( ) ( )

2 222

2 2 2

2 2 1 2 3 6 32 15 1

1 2 2 3 1 2 2 2 3 1 6 2

t t t t tt tt

t t t t t t t

− + − + −− + −⇔ + + = −+ + + + + + − + −

( )2

2 2 2

2 1 61 5 0

1 2 2 3 1 2 2 2 3 1 6 2

tt

t t t t t t t

⇔ − − − − =

+ + + + + + − + − (2)

Đặt 2 2 2

2 1 65.

1 2 2 3 1 2 2 2 3 1 6 2

tT

t t t t t t t= − − −

+ + + + + + − + −



Với 2

2 2

1 1 2 5 3 5 2 20 0 5 0.

33 1 2 2 1 2 2

t t tt T

t t t t

− − − +≥ > ⇒ < + + − = <+ + + + + +

Khi đó (2) ( )21 0 1 1 1t t x x⇔ − = ⇔ = ⇒ − = ⇒ = − thỏa mãn (*).

Đ/s: 1.x = −

Câu 29: [ĐVH]. Giải hệ phương trình ( )

( )44

2 2

1 1 2 ,;

2 1 6 1 0.

x x y yx y

x x y y y

+ + − − + = ∈+ − + − + =

ℝ .

Lời giải. Điều kiện 1x ≥ . Phương trình thứ hai của hệ tương đương với

( ) ( )22 22 1 2 1 4 1 4 4 0 0x x y y y y x y y y y+ − + − + = ⇔ − + = ⇒ ≥ ⇔ ≥ .

Khi đó phương trình thứ nhất trở thành

[ ]4 4 4 44 44 41 1 2 1 1 1 1 1 1x x y y x x y y+ + − = + + ⇔ + + − = + + + + − ∗ .

Xét hàm số ( ) 41 1, 1f t t t t= + + − ≥ thì ( )( )34

1 10, 1

2 1 4 1f t t

t t′ = + > ∀ >

+ −. Hàm số đồng biến với

1t ≥ .

Dễ thấy [ ] ( ) ( )4 41 1f x f y x y∗ ⇔ = + ⇔ = + . Thay thế vào phương trình thứ hai thu được

( ) ( ) ( )24 7 4

7 4

04 2 4 0

2 4 0

yy y y y y y y

g y y y y

=+ = ⇔ + + − = ⇔ = + + − =

Để ý rằng ( ) ( )6 37 8 1 0, 0g y y y y g y′ = + + > ∀ ≥ ⇒ đồng biến, liên tục với 0y ≥ . Hơn nữa

( )1 0 1g y= ⇒ = . Từ đây ta thu được hai nghiệm ( ) ( ) ( ){ }; 1;0 , 2;1x y = .

Thầy Đặng Việt Hùng

Food

7 3-2016 tuyen tap 50 bai he pt hay va dac sac tang hs online-p1