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Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”Ingeniería Civil
Extensión Porlamar
Realizado porAlexander Valdiviezo
Transformadas de Fourier
Jean Baptiste Joseph Fourier
(Auxerre, Francia, 1768 - París, 1830) Ingeniero y matemático francés. Era hijo de un sastre, y fue educado por los benedictinos. Los puestos en el cuerpo científico del ejército estaban reservados para familias de estatus reconocido, así que aceptó una cátedra militar de matemáticas.
Tuvo un papel destacado durante la revolución en su propio distrito, y fue recompensado con una candidatura para una cátedra en la École Polytechnique. Fourier acompañó a Napoleón en su expedición oriental de 1798, y fue nombrado gobernador del Bajo Egipto. Aislado de Francia por la flota británica, organizó los talleres con los que el ejército francés debía contar para sus suministros de munición. También aportó numerosos escritos sobre matemáticas al Instituto Egipcio que Napoleón fundó en El Cairo.
Tras las victorias británicas y la capitulación de los franceses al mando del general Menou en 1801, Fourier volvió a Francia, donde fue nombrado prefecto del departamento de Isère, y empezó sus experimentos sobre la propagación del calor. Se trasladó a París en 1816, y en 1822 publicó Teoría analítica del calor, basándose en parte en la ley del enfriamiento de Newton.
A partir de esta teoría desarrolló la denominada «serie de Fourier», de notable importancia en el posterior desarrollo del análisis matemático, y con interesantes aplicaciones a la resolución de numerosos problemas de física (más tarde, Dirichlet consiguió una demostración rigurosa de diversos teoremas que Fourier dejó planteados). Dejó inacabado su trabajo sobre resolución de ecuaciones, que se publicó en 1831 y que contenía una demostración de su teorema sobre el cálculo de las raíces de una ecuación algebraica.
La transformada de Fourier
Es una aplicación que hace corresponder a una función f con valores complejos y definida en la recta, otra función g definida de la manera siguiente: Donde f es L1, o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal.
La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas. Además, tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas.
En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la descomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f. La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico. Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. He aquí algunas de ellas:
Transformada a la inversa
Propiedades de la serie de Fourier
Linealidad Demostración
La transformada de Fourier de la combinación lineal de dos funciones.
)}({)}({)}()({
tgbFtfaFtbgtafF
Semejanza Demostración
Desplazamiento en el tiempo Demostración
Conjugación y Simetría Demostración
Corolario Demostración
Transformada de la derivada Demostración
Transformada de la convolución Demostración
CONVOLUCION
Propiedades de la convolución
Commutativa:
Asociativa:
Distributiva:
fggf
f (g h)( f g) h
f (gh) f g f h
El teorema de convolución o teorema de Wiener-Khitchine )()()(*)( wGwFtgtfF Convolución en el espacio real es equivalente a multiplicación en el espacio recíproco.
Escalamiento Demostración
La transformada del escalón Demostación
La transformada de una constante Demostración
La transformada de la integral Demostración
El teorema de Parseval Demostración
Tablas de transformadas de Fourier
Análisis de señalesTabla numero 1 para el análisis de las señalesDe Fourier.
Pares seleccionados para la transformada de Fourier.
Función de sinc (x)Sinc(x/2) es la transformada de Fourier de una función rectángulo.Sinc2(x/2) es la transformada de Fourier de una función triangulo.Sinc2(ax) es el patrón de difracción de una ranura.
Demostrar que la transformada de Fourier de la función triángulo, D(t), es sinc2(w/2)
La función impulso o delta de Dirac
Recordemos que podemos pensar en la función delta como el límite de una serie de funciones como la siguiente:
fm(t) = m exp[-(mt)2]/√p
Transformada de Fourier de la (t):
)(ttf 1)(ˆ
dtetf tiw w
t
(t)
w
1
Observa que la transformada de Fourier de f(t) = 1/(2p) es: )(dtef̂ ti wpw
w 21
t
(t)
t
p21
w
(w)
f t
0 , t T2
1 , T2t
T2
0 , T2 t
2
2)(ˆT
TsenTf
w
ww
2
, 022
, 1
2
, 0
tT
TtT
Tt
tf
2
2)(ˆT
TsenTf
w
ww
T ∞
f t 1
dtef ti1ˆ ww )( wp2
Transformada de Fourier de la función coseno
Transformada de Fourier de la función seno:
La transformada de Fourier de la onda plana exp(iw0 t)
)(2
}{
0)( 0
00
wwpww
www
dte
dteeeF
ti
tititi
La TF de exp(iw0t) es una
frecuencia pura.
Encontrar la transformada de Fourier de la función:
00,00 ,
attetf
at
0
ˆ dteef tiat ww
2222
0
)(
0
)(
1
1)10(1
ww
w
ww
w
ww
w
ww
ai
aa
iaia
ia
iaia
iaedte
tiatia
Transformada Continua De Fourier
El físico francés, Joseph Fourier (1768-1830), desarrolló una representación de funciones basada en la frecuencia, que ha tenido una gran importancia en numerosos campos de matemáticas y ciencia. Una interpretación simplificada de la transformada de Fourier se ilustra en la siguiente figura Como se muestra, la teoría que Fourier desarrolló, propone que mediante la suma de señales co/sinusoidales de diferentes amplitudes, frecuencias y fases, es posible construir casi cualquier función arbitraria. Dentro de este conjunto de señales puede existir una con frecuencia cero, que es un término constante, a menudo referido como la componente continua (DC), debido al hecho de que cierta terminología en este área está derivada del procesado de señal y electrónica. La representación gráfica de la transformada de Fourier es un diagrama, denominado espectro de Fourier, donde se representa la frecuencia y amplitud de cada una de las componentes sinusoidales determinadas.
Como se ve, el gráfico de la transformada de Fourier representa tanto la amplitud como la frecuencia. Hemos seguido el convenio general, mostrando sinusoides de frecuencia positiva y negativa
La transformada de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales tal como comúnmente se presentan en el calculo de intensidades de corrientes y otros factores relevantes en los circuitos eléctricos. Se presentará una descripción del método por el cual una ecuación diferencial “en el dominio del tiempo” se transforma en una ecuación algebraica en el “dominio de la frecuencia”.
Transformada de la place
EJEMPLO
Transformada de Laplace
La series de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras).
Serie de Fourier
EJEMPLO
Funciones de las series de Fourier •Funciones pares e impares Una función, f(x), se dice que es par si f(-
x) = f(x). En este caso, Si f(x) es una función par periódica y de periodo 2π, cumpliendo las hipótesis para que sea representable por su serie de Fourier, entonces se tiene que:
Una función, f(x), se dice que es par si f(-x) = - f(x). En este caso, Si f(x) es impar (en las mismas condiciones que en el caso anterior) es cierto que
•Función periódica de periodo 2T Si f(x) es una función periódica y de periodo 2T, se puede, como dijimos en 11.2.2, hacer un cambio de variables, de tal forma que la función resultante sea de periodo 2π. De esta manera obtenemos que. si f verifica las hipótesis del teorema de Dirichlet es:
•Función no periódica Si tenemos definida una función, f(x), en un intervalo [a, b] también se puede desarrollar en series de Fourier pues podemos proceder a definir una función periódica, g(x), de tal manera que sea g(x) = f(x) cuando x sea un punto del intervalo [a, b]. Esta nueva función podrá definirse de la forma siguiente: Si x es un número real, existe t 0 [a, b] y k=0, ±1, ±2,...
•tales que x=t+k(b-a). Pues bien, definiremos g(x) = f(t). Podemos ver gráficamente cual es la función g(x) en la siguiente figura:
La serie de Fourier de esta nueva función periódica, g(x), será, por tanto, la serie de Fourier para la función f(x) en [a, b]. Muchas veces, se pretende que la serie de Fourier asociada a una función, f(x), sea una serie de senos o de cosenos sólamente, para esto habrá que proceder definiendo, si se puede, la función g(x) de tal manera que resulte impar o par, si se puede, respectivamente. Esto es posible, por ejemplo, si la función f(x) está definida en un intervalo de la forma [0, a] entonces se puede definir una función impar que coincida con esta en la forma siguiente g(x) = f(x) si x 0 [0, a] y g(x) = f(-x) si x 0 [-a, 0), ahora ampliaríamos como en el caso anterior y ya estaría el problema resuelto. Cuando f(x) es impar diremos g(x) = f(x) para x 0 [0, a] y g(x) = - f(-x) si x 0 [-a, 0)
• Forma compleja de las series de Fourier Si tenemos en cuenta las fórmulas de Euler que nos determinan el seno y el coseno de un ángulo en función de la exponencial compleja, sabemos que
Evidentemente, el cálculo de la serie de Fourier en forma compleja que aquí hemos hecho para funciones periódicas de periodo 2π se puede ampliar, como hacíamos en 11.5.2, a funciones periódicas con periodo 2T obteniéndose, en este caso, que:
Transformadas integrales
dttftKFb
a )(),()(
– K(,t): núcleo o kernel.– Asocia a cada función f(t) en el espacio t, directo o real, otra
función F() en el espacio o recíproco.– Ejemplos: de Fourier, Wavelet, transformada Z, de Laplace,
de Hilbert, de Radon, entre otros.
Un problema que es difícil de resolver en sus "coordenadas" (espacio t) originales, a menudo, es más sencillo de resolver al transformarlo a espacio . Después, la transformada inversa nos devuelve la solución en el espacio original.
Ejercicios resueltos.
Integral de Fourier Vimos como las series de Fourier representan a una considerable familia de funciones periódicas. Ahora nos proponemos extender esto para funciones no periódicas reemplazando la serie por una integral. Tomemos en principio una función f tal que ella y su derivada son continuas a trozos en el intervalo En tal caso, salvo para un numero finito de puntos de ese intervalo, se tiene:
