Upload
rukmono-budi-utomo
View
1.126
Download
7
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Graf Hamilton
Citation preview
1
SIKLUS HAMILTON DALAM LANGKAH KE -K PADA PERMAINAN
TRADISIONAL CONGKLAK
Oleh: Rukmono Budi Utomo (J2A 009 004)
Program Studi Matematika
Fakultas Sains dan Matematika Universitas Diponegoro, Semarang.
ABSTRAK
Paper ini mencoba membahas mengenai adanya Siklus Hamilton pada langkah ke-K
dalam permainan tradisional Congklak. Dimulai dengan mendeskripsikan mengenai apa
dan bagaiman cara memainkan permainan ini, selanjutnya ditentukan langkah perjalanan
yang tepat (langkah ke- K) untuk menghasilkan siklus Hamilton. Penentuan langkah ke-K
ini tidak dapat ditentukan secara sembarangan, namun harus melalui perhitungan cermat
dan trial and eror agar pengambilan biji congklak pada starting pole tepat habis (kembali)
pada starting pole tersebut dalam sekali putaran atau siklus.
Kata kunci: Permainan Congklak, Graf, Sklus Hamilton
PENDAHULUAN
Congklak adalah nama sebuah permainan tradisional yang cukup terkenal di
Indonesia. Permainan ini menggunakan papan dengan 12 lubang dan 2 lubang induk yang
ukurannya lebih besar serta biji congklak yang berjumlah 98 buah. Satu lubang induk
terletak pada ujung papan dan lubang induk lainnya terletak di ujung lainnya. Di antara
kedua lubang induk tersebut terdapat 2 baris yang tiap barisnya berisi 6 lubang yang
menjadi kepunyaan masing-masing pemain. Di Malaysia permainan ini juga dikenal
dengan nama congkak, namun di beberapa daerah di Indonesia, seperti di jawa, lampung
dan Sulawesi, permainan Ini lebih dikenal dengan nama dakon, dhakon atau dhakonan,
2
dentuman lamban dan Mokaotan. Dalam bahasa Inggris, permainan ini disebut Mancala[1]
.
Berikut adalah gambar permainan congklak
Gambar 1 : Congklak Gambar 2: 98 Buah biji congklak
PERMAINAN CONGKLAK
Secara umum, tiap-tiap daerah, dimanapun itu, baik di Indonesia maupun diluar
negeri dalam memainkan permainan congklak ini menggunakan aturan yang sama. Biji
congklak yang berjumlah 98 buah dibagikan secara merata ke 14 lubang papan, sehingga
setiap lubang tepat berisi 7 buah biji. Selanjutnya ditentukan mana pemain yang terlebih
dahulu untuk memulai permainan. Dalam bahasan paper ini dimisalkan pemain
digolongkan sebagai pemain A dan pemain B. Pemain A dan B seperti yang telah
diutarakan diatas masing-masing memiliki 6 buah lubang kecil dan 1 buah lubang induk.
Setiap pemain berhak memilih lubang yang berisi biji congklak untuk selanjutnya biji-biji
congklak tersebut disebarkan ke setiap lubang pada papan congklak kecuali lubang induk
milik lawan. Permainan ini terus berlangsung secara berganian apabila biji yang diputarkan
atau dijalankan tidak dapat diteruskan. Gambar dibawah menunjukan siklus perputaran
permainan congklak
Gambar 3: Mekanisme permainan congklak
B2 B3 B4B1 B5
A
A2 A3 A4 A5 A6
B
A1
B6
A RUN
B RUN
B RUN
A RUN
3
ISTILAH-ISTILAH PERMAINAN CONGKLAK DALAM PEMBAHASAN
Istilah-istilah disini merupakan ungkapan penulis untuk merepresentasikan keadaan-
keadaan atau kejadian yang umum terjadi dalam permainan congklak, misalnya :
a. Satu Jalan : Merupakan ungkapan yang digunakan untuk melukiskan proses
pengambilan 1 kali biji-biji congklak dalam suatu lubang dan
dilakukan perjalanan untuk menyebarkan tiap-tiap biji ke masing-
masing lubang pada papan congklak (kecuali lubang induk lawan)
sampai biji-biji tersebut habis. Misal: Pengambilan 7 buah biji
congklak pada lubang A4, kemudia habis pada lubang ke B3
b. Dua Jalan : Ungkapan ini identik untuk ungkapan-ungkapan lainnya seperti tiga
jalan, empat jalan dst yang menyatakan proses lanjutan dari satu
jalan dengan syarat jatunya lubang tempat biji terakhir mendarat ada
sekurang-kurangnya 1 biji yang mendiami sebelumnya.
c. Iterasi : Istilah ini digunakan untuk menggambarkan penentuan lubang baru
untuk mengambil biji-biji congklak baru apabila dalan perjalanan
penyebaran biji congklak, biji –biji tersebut habis pada lubang induk.
GRAF
Graf adalah kumpulan simpul / vertex yang dihubungkan satu sama lain melalui
sisi/ busur (edges)[2].
Simpul adalah objek sembarang yang dapat dijabarkan. Busur adalah
relasi yang menghubungkan antara objek-objek tersebut, sehingga objek-objek tersebut
mempunyai makna. Secara umum, sebuah graf dapat dirumuskan dengan G adalah Graph
sedangkan V adalah simpul dan E adalah busur. Berdasarkan arah busurnya, graph dibagi
menjadi dua, yaitu graph berarah / directed graph dan graph tidak berarah / undirected
graph. Graf berarah adalah graph yang setiap busurnya mempunyai arah.
<V1, V2> ≠ <V2, V1>
Sedangkan untuk yang tidak berarah
<V1, V2> = <V2, V1>
4
TERMINOLOGI DASAR GRAF [2]
Berikut akan diberikan beberapa terminologi dasar teori Graf
A. Bertetangga (Adjacent)
Dua buah simpul pada graf tak berarah G dikatakan bertetangga bila keduanya
terhubung langsung dengan sebuah sisi.
B. Bersisian (Incident)
Suatu sisi e dikatakan bersisian dengan simpul 𝑉𝑖 dan 𝑉𝑗 jika e = (𝑉𝑖 , 𝑉𝑗 ) atau e
menghubungkan simpul 𝑉𝑖 dan 𝑉𝑗
C. Derajat (Degree) Suatu simpul pada graf tak – berarah dikatakan berderajat n jika
jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut berjumlah n. Hal ini dilambangkan
dengan d (v). Derajat maksimum simpul yang terdapat pada suatu graf dilambangkan
dengan B(G).
D. Lintasan (Path)
Lintasan adalah barisan berselang – seling simpul–simpul dan sisi–sisi yang berbentuk
𝑉0, 𝑒1 , 𝑉1, 𝑒2,..., 𝑉𝑛−1, 𝑒𝑛 , 𝑉𝑛 yang menghubungkan simpul awal 𝑉0 dan simpul tujuan
vn. Untuk graf sederhana, biasanya lintasan ditulis sebagai barisan simpul– simpulnya
saja, yaitu 𝑉0, 𝑉1, 𝑉2.., 𝑉𝑛
JENIS GRAF
Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori (jenis) bergantung pada sudut
pandang pengelompokkannya. Pengelompokkan graf dapat dipandang berdasarkan ada
tidaknya sisi ganda atau sisi kalang, berdasarkan jumlah simpul, atau berdasarkan orientasi
arah pada sisi. Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf, maka
secara umum graf dapat digolongkan menjadi 2 jenis:
1. Graf sederhana Graf sederhana merupakan graf yang tidak mengandung gelang
maupun sisi ganda
2. Graf tak-sederhana Graf tak-sederhana merupakan graf yang mengandung sisi
ganda atau gelang.
5
Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis:
1. Graf tak-berarah Graf tak-berarah merupakan graf yang sisinya tidak
mempunyai orientasi arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan simpul yang
dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi (vj,vk) dan (vk,vj) adalah sisi
yang sama.
2. Graf berarah Graf berarah merupakan graf yang setiap sisinya diberikan
orientasi arah. Jadi (vj,vk) dan (vk,vj) merupakan dua sisi yang berbeda.
LINTASAN DAN SIRKUIT HAMILTON
Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graph tepat
satu kali
Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap simpul di dalam graph tepat satu
kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui dua kali.
Graph yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graph Hamilton, sedangkan
graph yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut graph semi-Hamilton
TEOREMA
Syarat cukup (bukan syarat perlu) agar graph sederhana G dengan n ( 3) buah
simpul adalah graph Hamilton ialah bila derajat tiap simpul paling sedikit n/2 (yaitu,
d(v) n/2 untuk setiap simpul v di G).
Setiap graph lengkap adalah graph Hamilton
Di dalam graph lengkap G dengan n buah simpul (n 3), terdapat (n - 1)!/2 buah
sirkuit Hamilton
Di dalam graph lengkap G dengan n buah simpul (n 3 dan n ganjil), terdapat (n -
1) /2 buah sirkuit Hamilton yang saling lepas (tidak ada sisi yang beririsan). Jika n
genap dan n 4, maka di dalam G terdapat (n - 2)/2 buah sirkuit Hamilton yang
saling lepas.
6
MENCARI LANGKAH KE-K PADA PERMAINAN CONGKLAK UNTUK
MENDAPATKAN GRAF HAMILTON
Misal pemain kita notasikan dengan pemain A dan B. Dimana setiap pemain telah
mendapatkan jumlah biji yang sama untuk setiap lubang miliknya ( berjumlah 6 lubang).
Kita anggap pemain A adalah pemain yang terlebih dahulu melangkah, sehingga ia bebas
memilih lubang manapun yang menjadi miliknya untuk selanjutnya menjalankan biji yang
terdapat didalam setiap lubang. Kita beri notasi setiap lubang milik A dengan nama A1, A2,
A3, A4, A5 dan A6.
Gambar 4. Dua orang pemain congklak
Karena pemain A diberi kesempatan untuk melangkah terlebih dahulu maka ia
bebas memilih lubang mana (miliknya sendiri) yang berisi 7 buah biji congklak yang akan
dipilihnya untuk dijalankan ia memiliki kesempatan memilih lubang A1, A2, …., A6.
Karena pembahasan disini adalah menentukan terjadinya graf Hamilton, maka andaikan ia
memilih lubang A4. Lubang A4 yang berisi 7 buah biji ia ambil semua dan mulai
diputarkannya (dijatuhkan) biji dari lubang A5 ke masing-masing lubang dalam papan
congklak, kecuali lubang induk lawan (berada di sebelah kanannya). Perhitungan
perputaran biji yang ia mulai dari lubang A4 jika habis atau selesai di lubang besar
miliknya dianggap sebagai suatu iterasi untuk mewujudkan graf Hamilton. Perhitungannya
disajikan seperti dibawah ini.
B2 B3 B4B1 B5
A
A2 A3 A4 A5 A6
B
A1
B6
PEMAIN A
PEMAIN B
A RUN
B RUN
B RUN
A RUN
7
PEMAIN B
PEMAIN A
Gambar 5: Langkah-langkah dalam menemukan siklusHamilton
Keterangan:
: Batas antara pemain A dan B
Dengan bermacam-macam warna : Jalan atau langkah
Mula-mula pemain A mengambil Biji congklak pada lubang A4 ( yang ditunjukkan oleh
tanda “ I” pada batas pemain). Kemudian biji-biji tersebut diputarkan disebarkan ke
masing-masing lubang lainnya. Biji congklak yang ia ambil pada lunbang A4 habis atau
selesai disebarkan pada kotak B3. Akibatnya kotak B3 yang semula memiliki 7 biji, kini
menjadi 8 buah biji congklak akibat tambahan satu biji oleh pengambilan biji pada lubang
A4 tersebut. Tambahan satu biji ini juga berlaku pada lubang-lubang yang dilewati oleh
pengambilan biji pada lubang A4 tersbut. Pengambilan biji pada lubang A4 dan disebarkan
hingga habis pada kotak B3 dinamakan satu jalan.
3
1 2 2 3
0 1 1 13 2 13
12 0 0 12 1 12
11 11 2 11 0 11
10 10 1 10 10 10
9 9 0 9 9 9
8 8 8 8 8 8
7 7 7 7 7 7
∑=15 II III I
7 7 7 7 7 7
8 8 8 0 8 8
9 9 9 1 9 9
10 0 10 2 10 0
11 1 11 3 11 1
12 2 12 4 12 2
13 3 13 5 13 3
14 0 0 6 4
15 1 1
2
Jumlah biji Kotak
Induk pemain A
8
Karena lubang B3 menjadi lubang terakhir yang menjadi tempat mendarat biji
terakhir, maka lubang B3 menjadi lubang baru untuk semua biji yang ada didalamnya
diputarkan seperti langkah satu jalan sebelumnya. Delapan buah biji yang diambil dari
lubang B3 habis pada A2 atau dengan kata lain biji terakhir tepat habis pada lubang A2.
Perjananan pengambilan biji pada lubang B3 hingga biji habis disebar pada lubang A2
dinamakan dua jalan. Mekanisme ini terus berlanjut hingga ada kondisi dimana biji yang
disebarkan jatuh pada lubang induk yakni pada jalan ke 7. Pada jalan ke 6, pengmbilan biji
dilakukan pada lubang B5 dan biji habis pada lubang B2. Akibatnya biji pada lubang B2
yang semula berjumlah 10, kini akibat mendapat tambahan satu, menjadi 11 biji, dan
lubang B2 menjadi lubang baru untuk melanjutkan perjalanan penyebaran biji ( jalan 7).
Karena Biji dari lubang B2 habis pada lubang induk, maka terjadilah iterasi
pertama. Selanjutnya dipilih sembarang lubang baru yang dikehendaki. Misal, dipilih
lubang A2. Lubang A2 memiliki 3 buah biji. Kemudian disebarkan seperti mekanisme
sebelumnya, dan biji habis pada lubang B1 (Jalan 8). Karena lubang B1 menjadi lubang
terakhir pemberhentian biji, maka luabang B1 menjadi lubang lanjutan untuk penyebaran
biji yang berada didalamnya. Perhatikan perjalanan penyebaran Biji dari lubang B1 ini. Biji
yang diambil pada lubang B1 ternyata habis tepat pada lubang induk, sehingga timbullah
iterasi kedua. Dalam iterasi kedua ini, pengambilan biji pada lubang A3 mengakibatkan biji
jatuh atau habis pada lubang yang sama, sehinggga dapat dikatakan Siklus Hamilton terjadi
disini. Lihat ilustrasinya:
Gambar 6 : Siklus Hamilton Pada jalan ke 10, iterasi ke dua
B2 B3 B4B1 B5 B6
A0
A2 A3 A4A1 A5 A6
1212
8765
4
9
1113
3
10
9
Dalam Gambar dapat dilihat bahwa lubang yang baru, yakni lubang A3 adalah lubang
diman terjadi siklus Hamilton. Pada lubang ini, diambil 13 buah biji dan dijalankan atau
disebarkan seperti langkah-langkah atau mekanisme penjalanan biji sebelumnya. Biji
terakhir dari lubang A3 tepat habis pada lubang yang sama, sehingga jika direpresentasikan
dengan graf, maka terjadi Siklus Hamiton.
SARAN
Dalam hal pencarian Siklus Hamilton, sangatlah baik jika ditemukan rumus matematika
yang dapat mempresiksi jalan atau langkah tertentu yang menghasilkan siklus Hamilton.
REFERENSI
[1] Wikipedia, congklak
[2] Munir, Rinaldi, Diktat Kuliah IF 2153, Matematika Diskrit, Edisi Keempat, Program
Studi Teknik Informatika, STEI, ITB, 2006.
PERNYATAAN
Saya, Rukmono Budi Utomo
NIM: J2A 009 004
Menyatakan Bahwa Paper ” SIKLUS HAMILTON DALAM LANGKAH KE -K PADA
PERMAINAN TRADISIONAL CONGKLAK” adalah benar merupakan karya pribadi dan
bukan merupakan hasil jiplakan atau Plagiasi