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池袋物理学勉強会(11)
高橋康 量子力学を学ぶための解析力学入門第5章 Poisson括弧
@gm3d2Dec. 10, 2014
池袋バイナリ勉強会会場
Poisson括弧の定義● 物理量A, Bはそれぞれp, qの関数
● Poisson括弧を使うと今までに出てきた重要な式がシンプルな形で書ける– 正準変換– Hamilton方程式
● 量子力学にすぐに移行できる形
(5.2)
Poisson括弧の基本性質
● 反対称
● 正準変数q, pについてのPoisson括弧
(5.2)
(5.20)
(5.3)
Poisson括弧の定義の不変性● 一組の変数(q, p)を使って書かれている● 別の正準変数を使っても同じものになるか?● 無限小の正準変換について証明する
● 旧変数による微分操作を新変数で表す
(5.6)
Poisson括弧の定義の不変性(2)
(5.5)
Poisson括弧の定義の不変性(3)
(5.7)
Poisson括弧の定義の不変性(4)
(5.8)
Poisson括弧の定義の不変性(5)
(5.8)
Poisson括弧の定義の不変性(5)● Poisson括弧は、正準変数の選び方によらない
(ここでの証明→恒等変換から連続的に実現できる変換についてのみ)
● 記号は文献によって異なる
● 古典力学で二つの量の間の括弧式が出てきたらおおむねPoisson括弧
● 量子力学では通常演算子としての交換関係/反交換関係なので注意
例
● (x, p)で計算
(1.40)
(5.9)
例(続)
● (X, P)で計算
(5.10)
Poisson括弧を不変に保つ変換は正準変換になるか
● 新変数(Q, P)(まだ正準変換かどうか分からない)で計算しても
であったとする● 無限小変換に話を限る
(5.12)
Poisson括弧を不変に保つ変換は正準変換になるか(2)
(5.13)
無限小の一次までの計算
(5.14b)
無限小の一次までの計算(2)
(5.14a)
無限小の一次までの計算(3)
(5.14c)
無限小の一次までの計算(3)
(5.15a)
(5.15b)
(5.16)
(5.17)
(5.18)
(5.19)
Poisson括弧の性質● 反交換性: ● 自分自身とのPoisson括弧は0: ● 双線形性● Jacobiの恒等式
(5.20)
(5.21)
(5.22)
(5.23)
(5.25)
(5.24)
正準方程式をPoisson括弧を用いて書く
● 任意の物理量F(q, p)を考える
● qとpに対する正準方程式
● 任意の物理量の時間変化は、HamiltonianとのPoisson括弧によって求められる
(5.26)
(5.27)
q, pに対する正準方程式● 一般のFの特別な場合としてq、pをとってみる
…元の形の正準方程式にもどる● Poisson括弧を使えば、qもpもまったく同じ形で正準方
程式が記述できる
(5.29)
コメント:量子力学との対応● 一粒子のHamiltonian(一次元)
● 量子力学ではx、p、Hなどの物理量は直接値を持つのではなく、「状態」に作用する演算子と考える
● 「状態」Ψはこの演算子が作用する空間のベクトルとして表される
● Hamiltonianが状態Ψにおいて値Eを持つとする
HΨ = EΨ
量子力学との対応(2)● 古典力学でのPoisson括弧式の値が量子力学に
おける交換関係に引き継がれる
x、pについては特に● これを満たす最も単純な一つの実現方法は、x
を普通の値をとる変数、pをその微分、Ψをxの関数として表すこと
量子力学との対応(3)● 任意のf(x)に対し、
● この表示の下でのHΨ = EΨ
…Shrödinger方程式
Poisson括弧と無限小変換の母関数
● 任意の物理量F(q, p)について、q、pに(無限小)正準変換を施したときの変化を考える
● Fとしてq、pをとった場合:● 正準変換もPoisson括弧で書ける
(5.31)
(5.32)
Poisson括弧と無限小変換の母関数(2)
● FとしてHamiltonianをとる
● 正準変換によってHamiltonianが変化しなければ、その変換の母関数は保存量となる
…対称性と保存量の対応
空間推進(並進)⇔運動量
時間推進(時間発展)⇔ハミルトニアン
空間回転⇔角運動量
(5.33,34)
二粒子系の例● 二粒子系のHamiltonian
● 以下の正準変換(並進)の元で不変
● 母関数 : →全運動量保存
(5.35)
(5.36)
中心力場内の粒子の例● このHamiltonianは以下の正準変換(回転)の元で不
変(R: 3次元直交行列)
● 母関数: ● p^2の項(kinetic term)は常に回転不変→ポテンシャ
ルが回転に対して不変なら全角運動量は保存
ポテンシャルがrのみの関数(中心力)なら成り立つ
5章まとめ● Poisson括弧の定義
● Poisson括弧でHamilton方程式を表せる● 任意の物理量の時間発展をPoisson括弧で表せる ● Poisson括弧で正準変換を表せる● 正準変換でHamiltonianが不変
⇔正準変換の母関数が保存量になっている● 量子力学に移行すると交換関係に読み替えられる