池袋物理学勉強会(13)

高橋康 量子力学を学ぶための解析力学入門第6章 位相空間

@gm3d2Jan. 21, 2015

池袋バイナリ勉強会会場

座標による力学系の記述例:N個の粒子からなる系

● もともとのNewtonの運動方程式;

各x_i(t)に関する個別の方程式● Lagrangeの立場:N個の点の座標をすべて対等に一般

化座標q_iとして扱う● Hamiltonの立場:

q_iに加えてp_iも正準座標として扱う

例:一次元上の2粒子の記述

x1(t)、x2(t)が変数

衝突前

衝突後● Lagrangeの立場: q = (x1, x2)平面内での運動

（テキストの図6.1)● Hamiltonの立場: (x1, x2, p1, p2)空間内での運

動（図示は4次元になるので面倒）

位相空間● 位相空間(phase space):Hamilton形式での正準変

数(q, p)による記述

注: 数学用語の位相空間（topological space)とは無関係

● 位相空間の一点→ある時刻における系の状態（代表点）

● 代表点は初期位置と初期運動量の情報を持つ→ある代表点の運動は(Hamiltonianによって）一意に決まる

例● 一次元調和振動子準

● 前章によると、任意の物理量Oに対して

● 陽に時間を含まないHamiltonianは保存する● H = E (定数）: 代表点が通る位相空間の軌道

（トラジェクトリ）は半径√2Eの円

変数変換

(6.2)

: 正準変換

HamiltonianをE、θで表す

(5.8)

θは循環座標

正準方程式:

角速度-1(右回り）で等速回転、Eに無関係

E

θ

0 2π

4章例2（p.67)のPoincare変換と同じ(sinとcosが逆になっているが)

微小面積要素● 点(q, p)でq、pをdq、dpだけ変化させる

(q, p)、(q+dq, p)、(q, p+dp), (q+dq, p+dp)がなす4角形の面積を考える

● 正準変換で対応する(E, θ)において、同じく上の4角形に対応する4角形の面積を考える

微小面積の計算● :pを固定してqをdqだけ変えたときの

(E, θ)の変化 ● : 同様にq固定、pをdpだけ変える● この傾いた長方形の面積を求める● この例では(q, p)も(E, θ)も局所的には直交座標● 一般には直交座標を正準変換で写すと曲線座標

であり、局所的には斜行座標となる

微小面積の計算(2)● 平行移動しても面積には影響がないので点A'を原

点に持ってくる

O

面積dS (一般の平行四辺形でも成立）

dq, dpとdE, dθの関係

:(q, p)→(E, θ)変換のJacobi行列

: 逆変換のJacobi行列

Jacobi行列の行列式: Jacobian(J)

逆変換のJacobianは1/Jになる

(q, p)と(E, θ)の関係は複雑な非線形関数だが、(dq, dp)と(dE, dθ)に注目すると線形な関係が成り立つことに注意

　　　　　　　　　の計算

写像によって面積要素を写すとJ倍に拡大される

Jacobi行列の計算● 逆変換の方が楽なのでそれで計算しておく

● 面積要素は正準変換に対して不変

Liouville(リウヴィユ)の定理

前節の結果を一般化● 位相空間の体積要素は正準変換に対して不変

→ Liouvilleの定理 正準変換ではJ=1

一般の次元でのJ = 1の証明

● まず位相空間に限らず、一般の座標空間での無限小座標変換x_i→X_iと、それに伴うJacobi行列を考える

一般の次元でのJ = 1の証明(2)

● 無限小正準変換に適用すると

非圧縮性流体との類似

● 時間発展も正準変換の一種（4章例5）

Hが正準変換の母関数Gの役割を果たす

● 位相空間内での各点(q, p)において、その点の移動速度 を考える…速度場

● 速度場の発散 →非圧縮性流体

非圧縮性流体との類似

● ある時刻にある点(q, p)に存在した微小面積は時間とともに位相空間内を移動し、形も正方形から平行四辺形に変形するが、面積は変わらない

● 有限領域→変形はするが体積は不変

作用積分

● 積分は運動の一周期にわたって行う● 位相空間での軌道が囲む面積● 調和振動子の例では 2πE● 前期量子論では、これを用いて「量子化規則」

を定式化した