Lv ly thuyet truong va bai toan dung hinh bang thuoc ke va compa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Phạm Thị Lan

LÝ THUYẾT TRƯỜNG VÀ BÀI TOÁN DỰNG

HÌNH BẰNG THƯỚC KẺ VÀ COMPA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2010


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Phạm Thị Lan

LÝ THUYẾT TRƯỜNG VÀ BÀI TOÁN DỰNG

HÌNH BẰNG THƯỚC KẺ VÀ COMPA

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn

Thái Nguyên - 2010

Môc lôc

Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Lêi nãi ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 KiÕn thøc chuÈn bÞ vÒ më réng trêng 5

1.1 Trêng vµ trêng con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Më réng trêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 §a thøc bÊt kh¶ quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Më réng ®¹i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Dùng h×nh b»ng thíc kÎ vµ compa 17

2.1 Kh¸i niÖm ®iÓm dùng ®îc b»ng thíc kÎ vµ compa . . . . 17

2.2 TÝnh dùng ®îc cña to¹ ®é çc ®iÓm . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Mét ®iÒu kiÖn cÇn cho tÝnh dùng ®îc . . . . . . . . . . . 34

2.4 Mét ®iÒu kiÖn ®ñ cho tÝnh dùng ®îc . . . . . . . . . . . . 36

2.5 Nh÷ng bµi to¸n dùng h×nh cæ ®iÓn . . . . . . . . . . . . . . 38

PhÇn kÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1


2

Lêi c¶m ¬n

LuËn v¨n nµy ®îc thùc hiÖn t¹i trêng §¹i häc Khoa häc- §¹i

häc Th¸i Nguyªn vµ ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn vµ gióp ®ì tËn

t×nh chu ®¸o cña PGS. TS. Lª ThÞ Thanh Nhµn. T«i xin bµy tá lßng kÝnh

träng vµ biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn C« vÒ sù tËn t×nh híng dÉn trong suèt thêi

gian t«i lµm luËn v¨n.

T«i xin bµy tá lßng c¶m ¬n tíi çc thÇy c« gi¸o cña trêng §¹i häc

Khoa häc - §¹i häc Th¸i Nguyªn, çc thÇy c« cña ViÖn To¸n, ®· nhiÖt

t×nh gi¶ng d¹y t«i trong suèt 2 n¨m qua.

T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n Ban gi¸m hiÖu vµ tæ To¸n -Tin trêng

PT Vïng cao ViÖt B¾c n¬i t«i c«ng t¸c ®· gióp ®ì, t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi

®Ó t«i hoµn thµnh kho¸ häc.

T«i còng xin göi lêi c¶m ¬n tíi anh chÞ em líp cao häc K2 trêng

§¹i häc Khoa häc - §¹i häc Th¸i Nguyªn ®· trao ®æi kinh nghiÖm, ®éng

viªn, khÝch lÖ vµ gióp ®ì t«i trong suèt thêi gian häc tËp vµ nghiªn cøu

lµm luËn v¨n. Xin c¶m ¬n gia ®×nh cña t«i ®· th«ng c¶m vµ t¹o ®iÒu kiÖn

thuËn lîi gióp t«i hoµn thµnh kho¸ häc nµy.

T¸c gi¶


3

Lêi nãi ®Çu

§èi víi ngêi Hyl¹p cæ, mét phÐp dùng h×nh cña h×nh häc lµ phÐp dùng

h×nh mµ chØ sö dông thíc kÎ vµ compa. Trong lÞch sö to¸n häc, cã ba

bµi to¸n cæ næi tiÕng mµ sù ra ®êi cña chóng cã ¶nh hëng lín tíi sù ph¸t

triÓn cña to¸n häc, ®Æc biÖt lµ h×nh häc. §ã lµ çc bµi to¸n dùng h×nh b»ng

thíc kÎ vµ compa nh: '' CÇu ph¬ng mét h×nh trßn"; '' GÊp ®«i mét h×nh

lËp ph¬ng"; ''Chia ba mét gãc".

NhiÒu nhµ to¸n häc chuyªn vµ kh«ng chuyªn ®· ®a ra nhiÒu ph¬ng

ph¸p, nhiÒu tranh luËn kh¸c nhau ®Ó gi¶i quyÕt çc bµi to¸n trªn, vµ b»ng

trùc gi¸c hä thÊy r»ng b»ng thíc kÎ vµ compa kh«ng thÓ dùng ®îc.

§Õn tËn thÕ kû 19, ®iÒu kh«ng thÓ ®ã ®· ®îc çc nhµ to¸n häc nh P.

L.Wantzel, Carl Lindemann chøng minh dùa trªn çc lý thuyÕt c¬ b¶n cña

§¹i sè hiÖn ®¹i nh Lý thuyÕt më réng trêng, Lý thuyÕt Galois.

Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ tr×nh bµy l¹i tÝnh dùng ®îc b»ng thíc kÎ vµ

compa ®· ®îc tr×nh bµy trong çc cuèn s¸ch Lý thuyÕt Galois cña Joseph

Rotman [Rot] vµ Jean Pierre Escofier [Ese].

LuËn v¨n nµy tr×nh bµy çc kiÕn thøc vÒ Lý thuyÕt më réng trêng cña

§¹i sè hiÖn ®¹i, ®a ra kh¸i niÖm vÒ ®iÓm dùng ®îc b»ng thíc kÎ vµ

compa, ®iÓm l¹i mét sè bµi to¸n c¬ b¶n vÒ dùng h×nh b»ng thíc kÎ vµ

compa, vµ vËn dông lý thuyÕt më réng trêng ®Ó chøng minh mét ®iÒu

kiÖn cÇn vµ mét ®iÒu kiÖn ®ñ vÒ tÝnh dùng ®îc b»ng thíc kÎ vµ compa.

PhÇn ¸p dông çc ®iÒu kiÖn trªn lµ ®Ó gi¶i quyÕt mét sè bµi to¸n dùng

h×nh cæ næi tiÕng nh ''CÇu ph¬ng mét h×nh trßn", ''GÊp ®«i mét h×nh lËp

ph¬ng", ''Chia ba mét gãc",.

LuËn v¨n nµy ®îc chia lµm hai ch¬ng. Ch¬ng I: KiÕn thøc chuÈn

bÞ vÒ më réng trêng. Trong Ch¬ng I nµy chóng t«i ®Ò cËp ®Õn çc kiÕn


4

thøc c¬ b¶n trong lý thuyÕt më réng trêng phôc vô cho Ch¬ng II nh

kh¸i niÖm më réng trêng, më réng h÷u h¹n, më réng ®¬n, më réng ®¹i

sè, bËc cña çc më réng, ®a thøc bÊt kh¶ quy vµ tiªu chuÈn Eistenstein.

Ch¬ng II: Dùng h×nh b»ng thíc kÎ vµ compa. Trong Ch¬ng II chóng

t«i tr×nh bµy kh¸i niÖm ®iÓm dùng ®îc b»ng thíc kÎ vµ compa, ®a ra

mét sè bµi to¸n c¬ b¶n vÒ dùng h×nh b»ng thíc kÎ vµ compa nh bµi

to¸n: ''T×m h×nh chiÕu cña mét ®iÓm trªn ®êng th¼ng"; ''Dùng mét ®êng

th¼ng ®i qua mét ®iÓm vµ song song víi mét ®êng th¼ng cho tríc",....

Néi dung chÝnh cña Ch¬ng II lµ th«ng qua kiÕn thøc më réng trêng ë

Ch¬ng I ®Ó tr×nh bµy mét ®iÒu kiÖn cÇn vµ mét ®iÒu kiÖn ®ñ vÒ tÝnh dùng

®îc b»ng thíc kÎ vµ compa, tõ ®ã gi¶i quyÕt çc bµi to¸n dùng h×nh

cæ næi tiÕng nh: '' CÇu ph¬ng mét h×nh trßn", ''GÊp ®«i mét h×nh lËp

ph¬ng", ''Chia ba mét gãc".

§Ó hoµn thµnh ®îc luËn v¨n nµy t¸c gi¶ ®· rÊt nç lùc vµ cè g¾ng song

kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. KÝnh mong çc thÇy c« vµ b¹n ®äc gióp

®ì.

T¸c gi¶


Ch¬ng 1

KiÕn thøc chuÈn bÞ vÒ më réng trêng

Môc ®Ých cña Ch¬ng lµ nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc trong lÝ thuyÕt më réng

trêng cña §¹i sè hiÖn ®¹i nh kh¸i niÖm më réng trêng, më réng h÷u

h¹n, më réng ®¹i sè, më réng siªu viÖt, bËc cña më réng... §©y lµ nh÷ng

kiÕn thøc thùc sù cÇn thiÕt phôc vô cho chøng minh çc kÕt qu¶ chÝnh

ë Ch¬ng 2 vÒ çc ®iÒu kiÖn cÇn, ®iÒu kiÖn ®ñ liªn quan ®Õn tÝnh dùng

®îc b»ng thíc kÎ vµ compa. Çc kiÕn thøc vµ thuËt ng÷ trong toµn luËn

v¨n nµy ®îc tham kh¶o tõ çc cuèn s¸ch vÒ lÝ thuyÕt trêng vµ lÝ thuyÕt

Galois dµnh cho häc viªn sau ®¹i häc cña C. R. Hadlock 1978 [Had],

Joseph Rotman 2001 [Rot], Jean-Pierre Escofier 2004 [Esc], Jean-Pierre

Serre 1992 [Ser], Jean-PierreTignol 1987 [Tig] .

1.1 Trêng vµ trêng con

1.1.1 §Þnh nghÜa. Trêng lµ mét mét tËp hîp T ®îc trang bÞ hai phÐp

to¸n céng vµ nh©n tháa m·n çc tÝnh chÊt s©u ®©y:

(i) T lµ mét nhãm giao ho¸n víi phÐp céng: PhÐp céng cã tÝnh chÊt

giao ho¸n, kÕt hîp; T cã phÇn tö kh«ng (tån t¹i 0 ∈ T sao cho 0 + a = a

víi mäi a ∈ T ); mçi phÇn tö cña T ®Òu cã ®èi xøng (víi mçi a ∈ T , tånt¹i −a ∈ T sao cho a+−a = 0).

5


6

(ii) T lµ mét vÞ nhãm giao ho¸n víi phÐp nh©n: PhÐp nh©n cã tÝnh chÊt

giao ho¸n, kÕt hîp; T cã phÇn tö ®¬n vÞ (tån t¹i 1 ∈ T sao cho 1a = a víi

mäi a ∈ T ).(iii) PhÐp nh©n ph©n phèi hai phÝa ®èi víi phÐp céng.

(iv) Mçi phÇn tö kh¸c 0 cña T ®Òu cã nghÞch ®¶o (víi mçi 0 6= a ∈ T ,tån t¹i a−1 ∈ T sao cho aa−1 = 1).

1.1.2 VÝ dô. (i) TËp Z çc sè nguyªn víi phÐp céng vµ nh©n th«ng thêng

kh«ng lµ trêng. Çc tËp Q, R vµ C (víi phÐp céng vµ nh©n th«ng thêng)

®Òu lµ trêng.

(ii) TËp Z6 víi phÐp céng vµ nh©n çc sè nguyªn modunlo 6 kh«ng lµ

trêng v× 2 ∈ Z6 kh«ng kh¶ nghÞch. TËp Z7 víi phÐp céng vµ nh©n çc sè

nguyªn modunlo 7 lµ trêng. Mét çch tæng qu¸t, Zn lµ trêng khi vµ chØ

khi n lµ sè nguyªn tè.

(iii) TËp hîp Q[√2] = {a + b

√2 | a, b ∈ Q} ®ãng kÝn víi phÐp céng vµ

nh©n th«ng thêng, vµ cïng víi hai phÐp to¸n nµy, Q[√2] lµ mét trêng.

Chó ý r»ng nÕu 0 6= a+ b√2 ∈ Q[

√2] th×

a

a2 − 2b2− b

√2

a2 − 2b2lµ nghÞch

®¶o cña a+ b√2.

1.1.3 §Þnh nghÜa. Cho T lµ mét trêng. Mét tËp con L cña T ®îc gäi lµ

mét trêng con cña T nÕu çc phÐp to¸n céng vµ nh©n ®ãng kÝn trong L

vµ cïng víi hai phÐp to¸n nµy L lµm thµnh mét trêng.

Râ rµng Z kh«ng lµ trêng con cña trêng Q. Trêng Q lµ trêng con

cña trêng R vµ trêng C.Chó ý r»ng giao cña mét hä tuú ý nh÷ng trêng con cña mét trêng T

lµ trêng con cña T. V× thÕ, nÕu T lµ mét trêng th× giao cña tÊt c¶ çc

trêng con cña T lµ trêng con bÐ nhÊt cña T. Trêng con nµy ®îc gäi

lµ trêng nguyªn tè cña T. V× Q kh«ng cã trêng con thùc sù nµo, nªn Q


7

lµ trêng nguyªn tè cña Q. Râ rµng Q lµ trêng nguyªn tè cña trêng Rvµ trêng C.

1.2 Më réng trêng

1.2.1 §Þnh nghÜa. Cho K lµ mét trêng. Trêng L ®îc gäi lµ mét më

réng cña trêng K nÕu K lµ trêng con cña L. Trong trêng hîp nµy ta

kÝ hiÖu lµ L/K vµ ta gäi nã lµ mét më réng trêng.

Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô ®¬n gi¶n vÒ më réng trêng.

(i) Trêng R vµ C lµ hai më réng cña trêng Q.

(ii) Trêng Q[√2] = {a+ b

√2 | a, b ∈ Q} lµ më réng cña Q

1.2.2. §Þnh nghÜa. Cho K lµ mét trêng. Mét tËp V cã trang bÞ mét phÐp

céng vµ mét ¸nh x¹ K × V −→ V (gäi lµ tÝch v« híng) ®îc gäi lµ mét

kh«ng gian vÐc t¬ trªn trêng K hay mét K-kh«ng gian vec t¬ nÕu (V,+)

lµ mét nhãm giao ho¸n vµ tÝch v« híng tho¶ m·n çc tÝnh chÊt sau ®©y:

(i) Ph©n phèi: (x+ y)α = xα + yα vµ x(α + β) = xα + xβ;

(ii) KÕt hîp: x(yα) = (xy)α;

(iii) Unita: 1α = α

víi mäi x, y ∈ K vµ mäi α, β ∈ V .

Mét sè vÝ dô vÒ kh«ng gian vÐc t¬ thêng gÆp lµ:

(i) TËp R çc sè thùc víi phÐp céng vµ phÐp nh©n sè thùc víi sè h÷u

tØ lµ mét Q-kh«ng gian vÐc t¬.

(ii) TËp sè phøc C víi phÐp céng sè phøc vµ phÐp nh©n sè phøc lµ

mét C-kh«ng gian vÐc t¬. Trong khi ®ã C cïng víi phÐp céng sè phøc vµ

nh©n sè phøc víi sè thùc lµ mét R-kh«ng gian vÐc t¬.

Chó ý r»ng nÕu K lµ trêng con cña L th× L cã cÊu tróc tù nhiªn lµ

mét kh«ng gian vÐc t¬ trªn K. ViÖc nghiªn cøu chiÒu cña kh«ng gian vÐc

t¬ nµy lµ cÇn thiÕt cho viÖc tr×nh bµy çc kÕt qu¶ trong phÇn sau cña luËn


8

v¨n. Tríc khi tr×nh bµy çc kÕt qu¶ vÒ chiÒu, chóng t«i nh¾c l¹i mét sè

kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt cña kh«ng gian vÐc t¬.

1.2.3. §Þnh nghÜa. Gi¶ sö V lµ mét K-kh«ng gian vÐc t¬.

(i) Mét hÖ vÐc t¬ {vi}i∈I trong V ®îc gäi lµ mét hÖ sinh cña V nÕu

mäi phÇn tö x ∈ V ®Òu cã thÓ biÓu thÞ tuyÕn tÝnh theo hÖ ®ã, tøc lµ tån t¹i

h÷u h¹n phÇn tö vi1, . . . , vik cña hÖ {vi}i∈I vµ h÷u h¹n phÇn tö ai1, . . . , aik

cña K sao cho x =∑k

j=1aijvij. NÕu V cã mét hÖ sinh gåm h÷u h¹n phÇn

tö th× V ®îc gäi lµ K-kh«ng gian h÷u h¹n sinh.

(ii) Mét hÖ vÐc t¬ {vi}i∈I trong V ®îc gäi lµ mét hÖ ®éc lËp tuyÕn

tÝnh nÕu tõ mçi rµng buéc tuyÕn tÝnh cña hÖ∑k

j=1aijvij = 0 ta ®Òu cã

aij = 0 víi mäi j = 1, . . . , k.

(iii) Mét hÖ vÐc t¬ trong V ®îc gäi lµ mét c¬ së cña V nÕu nã lµ mét

hÖ sinh vµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh.

Chó ý r»ng mét hÖ vÐc t¬ cña V lµ mét c¬ së cña V nÕu vµ chØ nÕu mçi

vÐc t¬ cña V ®Òu cã thÓ biÓu thÞ tuyÕn tÝnh mét çch duy nhÊt qua hÖ ®ã.

Ta cã thÓ chØ ra r»ng mçi K-kh«ng gian vÐc t¬ V 6= 0 ®Òu cã Ýt nhÊt mét

c¬ së vµ çc c¬ së cña V ®Òu cã cïng lùc lîng. Lùc lîng chung nµy

®îc gäi lµ sè chiÒu cña V vµ kÝ hiÖu lµ dimK V. §Æc biÖt, nÕu V cã mét

c¬ së gåm n phÇn tö th× çc c¬ së kh¸c cña V còng cã n phÇn tö vµ ta cã

dimK V = n.

1.2.4. §Þnh nghÜa. Cho L lµ mét më cña trêng K.

(i) Sè chiÒu cña L, xÐt nh lµ mét K-kh«ng gian vÐc t¬, ®îc gäi lµ

bËc cña L trªn K vµ kÝ hiÖu lµ [L : K].

(ii) Më réng L/K lµ më réng h÷u h¹n nÕu [L : K] lµ h÷u h¹n.

(iii) Më réng cã bËc b»ng 2 ®îc gäi lµ më réng bËc 2.

Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô vÒ bËc cña më réng trêng.

(i) C lµ më réng bËc 2 cña R víi c¬ së lµ {1, i};


9

(ii) Trêng Q[√2] = {a + b

√2 | a, b ∈ Q} lµ më réng bËc 2 cña

trêng Q víi c¬ së lµ {1,√2};

(iii) Trêng R vµ C cã lùc lîng kh«ng ®Õm ®îc v× vËy chóng

kh«ng lµ më réng h÷u h¹n cña Q.

TiÕp theo lµ çc kÕt qu¶ vÒ bËc cña më réng trêng sÏ ®îc ¸p dông

cho nh÷ng chøng minh tiÕp theo.

1.2.5. MÖnh ®Ò. Cho L lµ më réng cã bËc h÷u h¹n cña trêng K vµ M

lµ më réng cã bËc h÷u h¹n cña L. Khi ®ã M lµ më réng cã bËc h÷u h¹n

cña trêng K vµ ta cã c«ng thøc bËc

[M : K] = [M : L].[L : K]

Chøng minh. §Æt n = [L : K] vµ p = [M : L]. Chän {l1, . . . , ln} lµ

mét c¬ së cña K-kh«ng gian vÐc t¬ L vµ {m1, . . . ,mp} lµ mét c¬ së cña

L-kh«ng gian vÐc t¬ M . XÐt hÖ {limj}16i6n,16j6p gåm np phÇn tö cña

M . Ta chøng minh hÖ nµy lµ mét c¬ së cña K-kh«ng gian vÐc t¬M . ThËt

vËy, gi¶ sö cã mét rµng buéc tuyÕn tÝnh∑16i6n,16j6p

xijlimj = 0,

trong ®ã xij ∈ K. Khi ®ã ta cã∑16j6p

( ∑16i6n

xijli

)mj = 0.

V× hÖ {mj}16j6p lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong L-kh«ng gian vÐc t¬ M nªn

ta ph¶i cã ∑16i6n

xijli = 0,∀j = 1, . . . , p.

Do hÖ {li}16i6n lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong K-kh«ng gian vÐc t¬ L nªn

ta cã xij = 0 víi mäi i = 1, . . . , n vµ mäi j = 1, . . . , p. Do ®ã hÖ


10

{limj}16i6n,16j6p lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Gi¶ sö v ∈M . Do {m1, . . . ,mp}lµ mét hÖ sinh cña L-kh«ng gian vÐc t¬ M nªn tån t¹i x1, . . . , xp ∈ L sao

cho v =∑p

j=1 xjmj. Víi mçi xj, v× {l1, . . . , ln} lµ mét hÖ sinh cña K-

kh«ng gian vÐc t¬ L nªn tån t¹i x1j, . . . , xnj ∈ K sao cho xj =∑n

i=1 xijli.

V× vËy

v =

p∑j=1

( n∑i=1

xijli

)mj =

∑16i6n,16j6p

xijlimj.

VËy, hÖ {limj}16i6n,16j6p lµ mét hÖ sinh cñaK-kh«ng gian vÐc t¬M . Do

®ã dimK M = np. �

C«ng thøc trªn cho phÐp chóng ta cã thÓ tÝnh bËc cña nh÷ng më réng

phøc t¹p. Ch¼ng h¹n, ta cã

[Q[√3,√2)] : Q] = [Q[

√3,√2] : Q[

√2]].[Q[

√2] : Q] = 4.

1.2.6. NhËn xÐt. Ta biÕt r»ng kh«ng gian con cña mét kh«ng gian vÐc

t¬ h÷u h¹n chiÒu lµ mét kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu. V× thÕ, nÕu M lµ më

réng cã bËc h÷u h¹n cña trêng K vµ L lµ trêng trung gian gi÷a K vµ

M th× L còng lµ më réng cã bËc h÷u h¹n cña K vµ M lµ më réng cã bËc

h÷u h¹n cña L.

KÝ hiÖu K[X] = K[X1, . . . , Xn] lµ vµnh ®a thøc n biÕn víi hÖ sè trong

mét trêng K. Ta kÝ hiÖu f(X) thay cho ®a thøc f(X1, . . . , Xn) ∈ K[X].

Cho L lµ më réng cña trêng K vµ α1, . . . , αn ∈ L. Ta kÝ hiÖu f(α) thay

cho gi¸ trÞ f(α1, . . . , αn) cña f(X) t¹i α1, . . . , αn. §Æt

K(α1, . . . , αn) = {f(α)/g(α) | f(X), g(X) ∈ K[X], g(α) 6= 0}.

Ta dÔ dµng kiÓm tra ®îc tÝnh chÊt sau.

1.2.7. Bæ ®Ò. K(α1, . . . , αn) lµ mét trêng chøa K vµ lµ mét trêng con

cña L. H¬n n÷a, K(α1, . . . , αn) lµ giao cña tÊt c¶ çc trêng con cña L

chøa K vµ chøa çc phÇn tö α1, . . . , αn.


11

NhËn xÐt r»ng K(α1, . . . , αn) x¸c ®Þnh nh trong Bæ ®Ò 1.2.7 lµ trêng

con bÐ nhÊt cña L chøa K vµ chøa α1, . . . , αn theo nghÜa nÕu trêng con

F cña L còng chøaK vµ chøa α1, . . . , αn th×K(α1, . . . , αn) ⊂ F . Trêng

K(α1, . . . , αn) ®îc gäi lµ më réng cña K b»ng çch ghÐp thªm çc phÇn

tö α1, . . . , αn.

1.2.8. §Þnh nghÜa. Mét më réng L/K ®îc gäi lµ më réng ®¬n nÕu tån

t¹i mét phÇn tö α ∈ L sao cho

L = K(α) = {f(α)/g(α) | f(x), g(x) ∈ K[X], g(α) 6= 0}.

Ta còng cã kh¸i niÖm më réng trêng b»ng çch ghÐp thªm mét tËp

tuú ý nh sau.

1.2.9. §Þnh nghÜa. Cho L lµ më réng cña trêng K vµ A lµ tËp con cña

L. Khi ®ã tån t¹i nh÷ng trêng con cña L chøa K vµ chøa A, ch¼ng h¹n

nh L. Giao cña tÊt c¶ trêng con cña L chøa K vµ chøa A ®îc gäi lµ

më réng cña K sinh bëi A hay më réng cña K b»ng çch ghÐp thªm tËp

A vµ ®îc kÝ hiÖu lµ K(A).

Nh vËy, K(A) lµ mét më réng cña trêng K chøa tËp A vµ lµ trêng

bÐ nhÊt cña L chøa K vµ A. KÝ hiÖu E lµ tËp

{f(α)/g(α) | α = (α1, . . . , αk) ∈ Ak, k ∈ N, f, g ∈ K[X], g(α) 6= 0}.

Khi ®ã ta dÔ kiÓm tra ®îc K(A) = E.

1.3 §a thøc bÊt kh¶ quy

Lu«n gi¶ thiÕt K lµ mét trêng.

1.3.1. §Þnh nghÜa. Mét ®a thøc f(X) ∈ K[X] ®îc gäi lµ bÊt kh¶ quy

trªn K nÕu deg f ≥ 1 vµ f kh«ng thÓ ph©n tÝch ®îc thµnh tÝch cña 2 ®a

thøc cã bËc bÐ h¬n.


12

Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô vÒ ®a thøc bÊt kh¶ quy.

(i) X2 + 1 lµ bÊt kh¶ quy trªn R nhng kh«ng bÊt kh¶ quy trªn C.(ii) Çc ®a thøc bËc nhÊt lµ bÊt kh¶ quy.

(iii) Çc ®a thøc f ∈ K[X] cã bËc 2 hoÆc bËc 3 lµ bÊt kh¶ quy nÕu vµ

chØ nÕu nã kh«ng cã nghiÖm trong K.

(iv) Trªn trêng C, çc ®a thøc bÊt kh¶ quy lµ vµ chØ lµ çc ®a thøc bËc

nhÊt.

(v) Trªn R, çc ®a thøc bÊt kh¶ quy lµ vµ chØ lµ çc ®a thøc bËc nhÊt

hoÆc bËc 2 cã biÖt thøc ©m.

§èi víi ®a thøc trªn Q, viÖc x¸c ®Þnh tÝnh bÊt kh¶ quy lµ v« cïng khã

kh¨n. Mét trong nh÷ng ®iÒu kiÖn ®ñ ®Ó mét ®a thøc trªn Q lµ bÊt kh¶ quy

lµ tiªu chuÈn Eisenstein sau ®©y.

1.3.2. Tiªu chuÈn Eisenstein. Gi¶ sö f = anXn + an−1X

n−1 + . . . +

a1X + a0 lµ ®a thøc víi hÖ sè nguyªn sao cho cã mét sè nguyªn tè p tho¶

m·n çc tÝnh chÊt:

(i) p kh«ng lµ íc cña hÖ sè cao nhÊt an.

(ii) p lµ íc cña çc hÖ sè cßn l¹i.

(iii) p2 kh«ng lµ íc cña hÖ sè tù do a0.

Khi ®ã f lµ bÊt kh¶ quy trªn Q.

Sö dông tiªu chuÈn trªn, ®a thøc X7 − 6 lµ bÊt kh¶ quy trªn Q (chän

p = 2 hoÆc p = 3).

1.3.3. §Þnh nghÜa. Cho K lµ mét trêng, L lµ më réng tuú ý cña trêng

K. PhÇn tö a ∈ L ®îc gäi lµ phÇn tö ®¹i sè trªn K nÕu a lµ mét nghiÖm

cña ®a thøc kh¸c kh«ng trong K[X]. NÕu a kh«ng ph¶i lµ phÇn tö ®¹i sè

trªn K th× ta nãi nã lµ phÇn tö siªu viÖt trªn K.

Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô vÒ phÇn tö ®¹i sè vµ phÇn tö siªu viÖt.

(i) Çc sè −√2, 3√2, e

2iπn lµ ®¹i sè trªn Q.


13

(ii) Çc sè π vµ e lµ siªu viÖt trªn Q.

Díi ®©y chóng ta nh¾c l¹i mét sè tÝnh chÊt quan träng cña phÇn tö ®¹i

sè liªn quan ®Õn ®a thøc bÊt kh¶ quy.

1.3.4. MÖnh ®Ò. Cho L/K lµ mét më réng trêng vµ α ∈ L.(i) Gi¶ sö α lµ phÇn tö ®¹i sè trªn K, gäi 0 6= f ∈ K[X] lµ ®a thøc cã

bËc bÐ nhÊt nhËn α lµm nghiÖm. Khi ®ã f lµ ®a thøc bÊt kh¶ quy.

(ii) NÕu α lµ ®¹i sè trªn K vµ f, g ∈ K[X] lµ 2 ®a thøc bÊt kh¶ quy cïng

nhËn α lµm nghiÖm th× deg f = deg g.

(iii) NÕu α lµ ®¹i sè trªn K th× tån t¹i duy nhÊt mét ®a thøc bÊt kh¶ quy

f ∈ K[X] nhËn α lµm nghiÖm vµ cã hÖ sè cao nhÊt b»ng 1.

§a thøc bÊt kh¶ quy trong ph¸t biÓu (iii) ë mÖnh ®Ò trªn ®îc gäi lµ ®a

thøc bÊt kh¶ quy cña α.

1.3.5. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö L/K lµ mét më réng trêng vµ α ∈ L. §Æt

K[α] = {f(α) | f(X) ∈ K[X]}.

Çc ph¸t biÓu sau lµ ®óng.

(i) NÕu α ®¹i sè trªn K th× K[α] = K(α).

(ii) NÕu α lµ siªu viÖt trªn K th× K[α] ®¼ng cÊu víi vµnh ®a thøc K[x],

trong trêng hîp nµy K[α] kh«ng lµ trêng vµ v× thÕ K[α] 6= K(α).

MÖnh ®Ò sau ®©y nãi vÒ bËc cña mét më réng ®¬n víi phÇn tö ghÐp

thªm lµ ®¹i sè.

1.3.6. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö α lµ phÇn tö ®¹i sè trªn mét trêng K. Gäi

f ∈ K[X] lµ ®a thøc bÊt kh¶ quy cña α. Khi ®ã ta cã c«ng thøc bËc cña

më réng trêng K(α)/K sau ®©y

[K(α) : K] = deg f.

Chøng minh. Gi¶ sö deg f = n. Ta kh¼ng ®Þnh hÖ {1, α, . . . , αn−1} lµ

mét c¬ së cña K-kh«ng gian vÐc t¬ K(α). ThËt vËy, β ∈ K(α). Khi


14

®ã β = g(α)/h(α), trong ®ã g, h ∈ K[X] vµ h(α) 6= 0. Do h(α) 6= 0

nªn ®a thøc h kh«ng chia hÕt cho ®a thøc f. Do f bÊt kh¶ quy nªn f

vµ h nguyªn tè cïng nhau. V× thÕ cã çc ®a thøc p, q ∈ K[X] sao cho

fp+ hq = 1. Thay α vµo ®¼ng thøc nµy, víi chó ý r»ng α lµ nghiÖm cña

f , ta cã h(α)q(α) = 1. Suy ra β = g(α)/h(α) = g(α)q(α). Chia ®a thøc

gq cho f ta ®îc gq = fs + r víi deg r < deg f = n. Thay α vµo ®¼ng

thøc nµy ta ®îc β = g(α)q(α) = r(α). V× deg r < n nªn thÕ β lµ tæ hîp

tuyÕn tÝnh cña hÖ {1, α, . . . , αn−1}. VËy hÖ nµy sinh ra K(α). Gi¶ sö hÖ

nµy kh«ng ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Khi ®ã cã çc phÇn tö a0, a1, . . . , an−1 ∈ Kkh«ng ®ång thêi b»ng 0 sao cho

∑n−1i=0 aiα

i = 0. Do ®ã α lµ nghiÖm cña

mét ®a thøc kh¸c 0 cã bËc nhá h¬n n, v« lÝ. �

1.4 Më réng ®¹i sè

1.4.1. §Þnh nghÜa. Mét më réng L cña trêng K ®îc gäi lµ më réng ®¹i

sè nÕu mäi phÇn tö cña L ®Òu lµ ®¹i sè trªn K. Trong trêng hîp ngîc

l¹i, ta nãi L lµ më réng siªu viÖt trªn K.

Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô vÒ më réng ®¹i sè vµ më réng siªu viÖt.

(i) C lµ më ®¹i sè cña R, bëi v× bÊt kú sè phøc cã d¹ng a+ bi víi a, b ∈ Rlµ mét nghiÖm cña ®a thøc X2 − 2aX + a2 + b2 = 0 trong R[X].

(ii) Q(√2) lµ më réng ®¹i sè cña Q.

1.4.2. MÖnh ®Ò. NÕu L lµ më réng h÷u h¹n bËc n cña trêng K th× L/K

lµ më réng ®¹i sè vµ ®a thøc bÊt kh¶ quy cña mçi phÇn tö cña L ®Òu cã

bËc kh«ng qu¸ n.

Chøng minh. Cho v ∈ L. NÕu v = 0 th× v lµ nghiÖm cña ®a thøc X ∈K[X], ®a thøc nµy lµ bÊt kh¶ quy bËc 1. Râ rµng më réng L/K cã bËc Ýt

nhÊt lµ 1, v× thÕ ®Þnh lÝ ®óng trong trêng hîp nµy. Gi¶ sö v 6= 0. Khi ®ã

vi 6= vj víi mäi sè tù nhiªn i 6= j. V× thÕ hÖ {vk | 0 6 k 6 n} cã nhiÒu


15

h¬n n phÇn tö, do ®ã chóng kh«ng ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn K. §iÒu nµy

cã nghÜa lµ tån t¹i mét hä {λk | 0 6 k 6 n} çc phÇn tö cña K kh«ng

®ång thêi b»ng 0 sao cho∑n−1

k=0 λkvk = 0. V× thÕ ta cã ®a thøc kh¸c kh«ng

f(X) =∑n−1

i=0 λkXk thuécK[X] vµ ®a thøc nµy nhËn v lµm nghiÖm. VËy

L/K lµ më réng ®¹i sè vµ mçi phÇn tö cña L ®Òu lµ nghiÖm cña mét ®a

thøc bÊt kh¶ quy trªn K víi bËc kh«ng qu¸ n. �

1.4.3. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö L lµ më réng cña K sao cho cã mét d·y

K = K0 ⊂ K1 ⊂ . . . ⊂ Kr = L

çc më réng trêng víi tÝnh chÊt Ki = Ki−1[ai], trong ®ã ai lµ phÇn

tö ®¹i sè cã bËc ni trªn Ki−1. Khi ®ã L/K lµ më réng ®¹i sè bËc lµ

n = n1n2 . . . nr.

Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô vÒ më réng ®¹i sè thêng gÆp:

(i) Q[√2] lµ më réng ®¹i sè cña Q, v× [Q[

√2] : Q] = 2;

(ii) Q[√2,√3] lµ më réng ®¹i sè cña Q v× [Q[

√2,√3] : Q] = 4.

NhiÒu nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi quan t©m ®Õn tÝnh siªu viÖt cña çc sè

thùc (siªu viÖt trªn trêng Q). Ch¼ng h¹n, tÝnh siªu viÖt cña çc sè π vµ e

cã lÞch sö nh sau:

- N¨m 1844 Joseph Liouville ®· chøng minh lÇn ®Çu tiªn r»ng tËp çc sè

thùc ch¾c ch¾n chøa mét sè siªu viÖt.

- N¨m 1873 Hermite ®· chøng minh sè e lµ sè siªu viÖt.

- N¨m 1882 Carl Lindemann ®· chøng minh sè π lµ sè siªu viÖt, ®iÒu ®ã

dÉn ®Õn lµ c©u tr¶ lêi phñ ®Þnh cho bµi to¸n dùng h×nh cæ ''CÇu ph¬ng mét

®êng trßn": chØ sö dông thíc kÎ vµ compa, h·y dùng mét h×nh vu«ng

cã cïng diÖn tÝch víi mét h×nh trßn cho tríc.

- N¨m 1934 Alexandre Gelfond vµ Theodor Schneider ®· chøng tá r»ng

ab lµ sè siªu viÖt víi a lµ sè ®¹i sè bÊt kú, a 6= 0 vµ a 6= 1 vµ b lµ mét sè

®¹i sè v« tû (vÝ dô 2√2 lµ sè siªu viÖt). Alan Baker, ngêi ®· ®îc tÆng


16

huy ch¬ng Fields n¨m 1970, ®· cã nh÷ng ®ãng gãp lín trong viÖc ph¸t

triÓn çc kÕt qu¶ trªn, tuy nhiªn thêi ®iÓm ®ã vÉn cßn cha biÕt sè e + π

cã lµ sè siªu viÖt hay kh«ng.

HiÖn nay lý thuyÕt vÒ sè siªu viÖt vÉn ®ang lµ chñ ®Ò ph¸t triÓn nhanh

chãng cña §¹i sè hiÖn ®¹i.

Trªn ®©y lµ nh÷ng kiÕn thøc rÊt quan träng vÒ më réng trêng, lµ c¬ së

®Ó chøng minh çc kiÕn thøc cña Ch¬ng 2 vÒ ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®iÒu kiÖn

®ñ liªn quan ®Õn tÝnh dùng ®îc b»ng thíc kÎ vµ compa.


Ch¬ng 2

Dùng h×nh b»ng thíc kÎ vµ compa

Ch¬ng 2 dµnh ®Ó giíi thiÖu bµi to¸n dùng h×nh b»ng thíc kÎ vµ compa

vµ minh häa kh¸i niÖm nµy b»ng nh÷ng bµi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n nh:

"T×m h×nh chiÕu cña mét ®iÓm trªn mét ®êng th¼ng"; ``Dùng mét hÖ

trôc täa ®é vu«ng gãc tõ hai ®iÓm cho tríc"; ``Dùng mét ®êng th¼ng

song song víi mét ®êng th¼ng cho tríc vµ ®i qua mét ®iÓm cho tríc"...

Néi dung chÝnh cña Ch¬ng 2 lµ th«ng qua kiÕn thøc më réng trêng ë

Ch¬ng 1 ®Ó tr×nh bµy mét ®iÒu kiÖn cÇn vµ mét ®iÒu kiÖn ®ñ vÒ tÝnh dùng

®îc b»ng thíc kÎ vµ compa, tõ ®ã gi¶i quyÕt çc bµi to¸n dùng h×nh cæ

®iÓn næi tiÕng nh ``CÇu ph¬ng mét h×nh trßn", ``GÊp ®«i mét h×nh lËp

ph¬ng", ``Chia ba mét gãc cho tríc", ``Dùng mét ®a gi¸c ®Òu n c¹nh"

vµ mét sè bµi to¸n kh¸c.

2.1 Kh¸i niÖm ®iÓm dùng ®îc b»ng thíc kÎ vµ compa

Trong suèt ch¬ng nµy, cho E lµ mét tËp hîp ®iÓm trong mÆt ph¼ng. KÝ

hiÖu LE lµ tËp hîp çc ®êng th¼ng n»m trong mÆt ph¼ng ®i qua hai ®iÓm

ph©n biÖt cña E. KÝ hiÖu CE lµ tËp çc ®êng trßn trong mÆt ph¼ng cã

t©m lµ mét ®iÓm cña tËp E vµ cã b¸n kÝnh b»ng víi kho¶ng çch gi÷a hai

®iÓm ph©n biÖt nµo ®ã cña E.

17


18

Víi A,B ∈ E (®iÓm A kh¸c ®iÓm B), ta kÝ hiÖu L(A,B) lµ ®êng

th¼ng qua A,B, vµ víi O ∈ E (®iÓm O cã thÓ trïng víi mét trong hai

®iÓm A hoÆc B) ta kÝ hiÖu C(O,AB) lµ ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh AB.

Ch¼ng h¹n, nÕuE = {A,B,D} lµ tËp 3 ®iÓm ph©n biÖt trong mÆt ph¼ng

th× LE lµ tËp gåm 3 ®êng th¼ng L(A,B);L(A,D);L(B,D) vµ CE lµ tËp

gåm 9 ®êng trßn C(A,AB);C(A,AD);C(A,BD);C(B,BA);

C(B,BD);C(B,AD);C(D,AB);C(D,DB);C(D,DA).

2.1.1. §Þnh nghÜa.

a) §iÓm A trong mÆt ph¼ng ®îc gäi lµ dùng ®îc qua mét bíc tõ tËp E

nÕu A tho¶ m·n mét trong çc ®iÒu kiÖn sau:

(i) Lµ giao cña hai ®êng th¼ng trong LE;

(ii) Lµ giao cña mét ®êng th¼ng cña LE vµ mét ®êng trßn cña CE;

(iii) Lµ giao cña hai ®êng trßn trong CE.

b) Mét ®iÓm P trong mÆt ph¼ng gäi lµ dùng ®îc tõ E nÕu tån t¹i mét d·y

h÷u h¹n n ®iÓm P1, P2, . . . , Pn trong mÆt ph¼ng sao cho Pn = P vµ Pi lµ

®iÓm dùng ®îc qua mét bíc tõ tËp E∪{Pj, j < i} víi mäi i = 1, . . . , n.

Chó ý r»ng nÕu tËp E chØ cã mét ®iÓm th× kh«ng cã ®iÓm míi nµo dùng

®îc tõ E.

Sau ®©y lµ mét sè bµi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n sö dông thíc kÎ vµ compa.

2.1.2. Bµi to¸n: Dùng h×nh chiÕu cña mét ®iÓm M cho tríc trªn mét

®êng th¼ng d cho tríc.

Çch dùng: LÊy hai ®iÓm A,B kh¸c nhau trªn d. Ta sÏ dùng h×nh chiÕu

H cña M trªn d xuÊt ph¸t tõ tËp 3 ®iÓm cho tríc E = {A,B,M}.Bíc 1: VÏ ®êng trßn C(A,AM).

Bíc 2: VÏ ®êng trßn C(B,BM) c¾t C(A,AM) t¹i N .

Bíc 3: VÏ ®êng th¼ng L(M,N) c¾t ®êng th¼ng d t¹i H . Ta cã ®iÓm

H cÇn dùng.


19

H×nh vÏ 2.1.2

2.1.3. Bµi to¸n: Cho O vµ A lµ 2 ®iÓm kh¸c nhau trong mÆt ph¼ng víi ®é

dµi OA = 1. H·y dùng mét hÖ to¹ ®é trùc chuÈn tõ 2 ®iÓm ®ã.

Çch dùng: Ta sÏ dùng mét hÖ to¹ ®é trùc chuÈn OAB xuÊt ph¸t tõ tËp 2

®iÓm cho tríc {O,A}.Bíc 1: VÏ ®êng trßn C(O,OA), c¾t L(O,A) t¹i A′.

Bíc 2: VÏ ®êng trßn C(A,AA′).

Bíc 3: VÏ ®êng trßn C(A′, AA′), c¾t C(A,AA′) t¹i M vµ N .

Bíc 4: VÏ ®êng th¼ng L(M,N) c¾t C(O,OA) t¹i B vµ B′. Ta cã mét

hÖ to¹ ®é trùc chuÈn OAB cÇn dùng.

H×nh vÏ 2.1.3

2.1.4. Bµi to¸n: Dùng mét ®êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cho tríc vµ

song song víi mét ®êng th¼ng cho tríc.


20

Çch dùng: Gi¶ sö d lµ mét ®êng th¼ng cho tríc vµ M lµ mét ®iÓm

kh«ng thuéc d. LÊy A,B lµ 2 ®iÓm kh¸c nhau trªn d. Ta sÏ dùng mét

®êng th¼ng qua M vµ song song víi d xuÊt ph¸t tõ tËp gåm 3 ®iÓm cho

tríc {M,A,B}.Bíc 1: VÏ ®êng trßn C(A,AM), c¾t d t¹i 2 ®iÓm C vµ C ′.

Bíc 2: VÏ ®êng trßn C(C,AM).

Bíc 3: VÏ ®êng trßn C(M,AM), c¾t C(C,AM) t¹i A vµ N . §êng

th¼ng cÇn dùng chÝnh lµ L(M,N).

H×nh vÏ 2.1.4

2.1.5. Bµi to¸n: Cho M lµ mét ®iÓm thuéc ®êng th¼ng d. Dùng mét

®êng th¼ng vu«ng gãc víi d t¹i ®iÓm M .

Çch dùng: Gi¶ sö d lµ mét ®êng th¼ng cho tríc, ®iÓm M ∈ d. LÊy

A ∈ d, A kh¸c M . Ta sÏ dùng mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi d t¹i M

xuÊt ph¸t tõ tËp 2 ®iÓm {M,A}.Bíc 1: VÏ ®êng trßn C(M,AM), c¾t d t¹i A′ .

Bíc 2: VÏ ®êng trßn C(A,AA′).

Bíc 3: VÏ ®êng trßn C(A′, AA′) c¾t C(A,AA′) t¹i E vµ F .

Bíc 4: VÏ ®êng th¼ng L(M,E), ta cã ®êng th¼ng L(M,E) cÇn dùng

vu«ng gãc víi D t¹i M .


21

H×nh vÏ 2.1.5

2.1.6. Bµi to¸n: Dùng ®êng ph©n gi¸c cña mét gãc cho tríc.

Çch dùng: Gi¶ sö cho tríc gãc AOB. Ta sÏ dùng ®êng ph©n gi¸c cña

gãc AOB xuÊt ph¸t tõ tËp 3 ®iÓm cho tríc {A,O,B}.Bíc 1: VÏ ®êng trßn C(O,OA), c¾t L(O,B) t¹i B′.

Bíc 2: VÏ ®êng trßn C(A,OA).

Bíc 3: VÏ ®êng trßn C(B′, OA) c¾t C(A,OA) t¹i I .

Bíc 4: VÏ ®êng th¼ng L(O, I), ta cã ®êng th¼ng L(O, I) lµ ®êng

ph©n gi¸c cña gãc AOB.

H×nh vÏ 2.1.6

2.1.7. Bµi to¸n: Dùng ®êng trßn néi tiÕp cña mét tam gi¸c cho tríc.

Çch dùng: Gi¶ sö cho tríc mét4ABC. Ta sÏ dùng mét ®êng trßn néi

tiÕp 4ABC xuÊt ph¸t tõ tËp 3 ®iÓm cho tríc {A,B,C}.


22

Bíc 1: VÏ ®êng th¼ng d1 lµ ®êng ph©n gi¸c cña ABC (¸p dông Bµi

to¸n 2.1.6)

Bíc 2: VÏ ®êng th¼ng d2 lµ ®êng ph©n gi¸c cña BAC (¸p dông Bµi

to¸n 2.1.6), ®êng th¼ng d2 c¾t ®êng th¼ng d1 t¹i I.

Bíc 3: Dùng h×nh chiÕu H cña ®iÓm I trªn L(A,B) (¸p dông Bµi to¸n

2.1.2).

Bíc 4: VÏ ®êng trßn C(I, IH), ta cã ®êng trßn C(I, IH) lµ ®êng

trßn néi tiÕp 4ABC.

H×nh vÏ 2.1.7

2.1.8. Bµi to¸n: Dùng ®êng trßn ngo¹i tiÕp cña mét tam gi¸c cho tríc.

Çch dùng: Gi¶ sö cho tríc mét 4ABC. Ta sÏ dùng mét ®êng trßn

ngo¹i tiÕp 4ABC xuÊt ph¸t tõ tËp 3 ®iÓm cho tríc {A,B,C}.Bíc 1: Dùng ®êng d1 lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB (¸p dông

Bµi to¸n 2.1.3).

Bíc 2: Dùng ®êng d2 lµ ®êng trung trùc cña ®oµn th¼ng BC (¸p dông

Bµi to¸n 2.1.3). §êng th¼ng d2 c¾t ®êng d1 t¹i O.

Bíc 3: VÏ ®êng trßn C(O,OA), ta cã ®êng trßn C(O,OA) lµ ®êng

trßn ngo¹i tiÕp 4ABC .


23

H×nh vÏ 2.1.8

2.1.9. Bµi to¸n: T×m t©m cña mét ®êng trßn cho tríc.

Çch dùng: Gi¶ sö cho tríc mét ®êng trßn (C). LÊy A,B,C lµ 3 ®iÓm

ph©n biÖt trªn ®êng trßn (C). Ta sÏ dùng t©m cña ®êng trßn (C) xuÊt

ph¸t tõ tËp 3 ®iÓm {A,B,C}.Bíc 1: Dùng ®êng d1 lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB (¸p dông

Bµi to¸n 2.1.3)

Bíc 2: Dùng ®êng d2 lµ ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng BC (¸p dông

Bµi to¸n 2.1.3). §êng th¼ng d2 c¾t ®êng d1 t¹i O. §iÓm O lµ t©m cña

®êng trßn ®· cho.

H×nh vÏ 2.1.9


24

2.1.10. Bµi to¸n: Cho tríc mét ®êng th¼ng d vµ mét ®iÓm M kh«ng

thuéc d. Dùng ®êng trßn t©m M tiÕp xóc víi d.

Çch dùng: Gi¶ sö cho tríc mét ®êng th¼ng d vµ ®iÓm M /∈ d. LÊy Avµ B, lµ 2 ®iÓm ph©n biÖt thuéc d. Ta sÏ dùng ®êng trßn (C) xuÊt ph¸t

tõ tËp 3 ®iÓm {A,B,M}.Bíc 1: Dùng h×nh chiÕu H cña ®iÓmM trªn ®êng th¼ng d (¸p dông Bµi

to¸n 2.1.2).

Bíc 2: VÏ ®êng trßn C(M,MH), ®êng trßn C(M,MH) tiÕp xóc víi

d t¹i H .

H×nh vÏ 2.1.10

2.1.11. Bµi to¸n: Cho tríc mét ®o¹n th¼ng th¼ng cã ®é dµi 1. H·y dùng

çc ®o¹n th¼ng cã ®é dµi lµ 2, 3, 4, 5,...

Çch dùng: Cho ®êng th¼ng d. LÊy 2 ®iÓm ph©n biÖt A0, A1 ∈ d sao cho

A0A1 = 1. Ta sÏ dùng çc ®o¹n th¼ng cã ®é dµi lÇn lît lµ 2, 3, 4, 5,...

xuÊt ph¸t tõ tËp 2 ®iÓm A0, A1.

Bíc 1: VÏ ®êng trßn C(A1, A0A1) c¾t d t¹i ®iÓm thø hai lµ A2. Ta cã

A0A1 = 2 ..

Bíc 2: VÏ ®êng trßn C(A2, A1A2) c¾t d t¹i ®iÓm A3. Ta cã A0A3 = 2.

Bíc 3: TiÕp tôc chuçi lÆp ta thu ®îc çc ®o¹n th¼ng tuú ý cã ®é dµi lµ


25

béi sè cña 1 inch víi mét sè nguyªn d¬ng.

2.1.12. Bµi to¸n: Cho tríc mét ®o¹n th¼ng th¼ng cã ®é dµi 1. H·y dùng

çc ®o¹n th¼ng cã ®é dµi lµ1

2,1

4,1

8,....

Çch dùng: Cho ®êng th¼ng d. LÊy A,B lµ 2 ®iÓm ph©n biÖt thuéc d.

Sao cho AB = 1 . Ta sÏ dùng çc ®o¹n th¼ng cã ®é dµi lÇn lît lµ1

2,1

4,

1

8,... xuÊt ph¸t tõ tËp 2 ®iÓm {A,B}.

Bíc 1: VÏ ®êng trßn C(A,AB).

Bíc 2: VÏ ®êng trßn C(B,AB) c¾t C(A,AB) t¹i ®iÓm M,N .

Bíc 3: VÏ ®êng th¼ng L(M,N) c¾t d t¹i C (C lµ trung ®iÓm cña AB).

Ta cã AC = CB =1

2.

Bíc 4: Ta tiÕp tôc chia ®«i çc ®o¹n th¼ng AC, CB thu ®îc ®o¹n th¼ng

cã ®é dµi lµ1

4. T¬ng tù nh vËy ta thu ®îc çc kÕt qu¶ cÇn t×m.

H×nh vÏ 2.1.12

2.1.13. Bµi to¸n: Cho tríc mét ®o¹n th¼ng cã ®é dµi 1. H·y dùng ®o¹n

th¼ng cã ®é dµi√2.

Çch dùng: Cho ®êng th¼ng d, lÊy 2 ®iÓm ph©n biÖt tuú ý A,B ∈ d sao

cho AB = 1. Dùng mét ®o¹n th¼ng cã ®é dµi√2, xuÊt ph¸t tõ tËp 2 ®iÓm

A,B.


26

Bíc 1: Dùng ®êng th¼ng d′ ®i qua B vµ vu«ng gãc víi d t¹i B (t¬ng

tù Bµi to¸n 2.1.5).

Bíc 2: VÏ ®êng trßn C(B,AB) c¾t d′ t¹i E. Ta cã: AB = BE = 1 .

Bíc 3: Ta ¸p dông §Þnh lÝ Pitago: AB2+BE2 = AE2. Suy ra: AE =√2.

H×nh vÏ 2.1.13


th¼ng cã ®é dµi√x, biÕt tríc mét ®o¹n th¼ng cã ®é dµi x.

Çch dùng: Cho ®êng th¼ng d, lÊy 2 ®iÓm ph©n biÖt tuú ý A,B ∈ d sao

cho AB = x. Dùng mét ®o¹n th¼ng cã ®é dµi√x, xuÊt ph¸t tõ tËp 2 ®iÓm

A,B.

Bíc 1: Trªn ®êng th¼ng d lÊy ®iÓm C, (A,B,C th¼ng hµng vµ B n»m

gi÷a A vµ C) sao cho: BC = 1.

Bíc 2: Dùng trung ®iÓm D cña ®o¹n th¼ng AC.

Bíc 3: VÏ ®êng trßn C(D,DA).

Bíc 4: Dùng ®êng th¼ng d′ vu«ng gãc víi d t¹i B, (t¬ng tù Bµi to¸n

2.1.5), c¾t ®êng trßn C(D,DA) t¹i E.

Bíc 5: TÝnh to¸n: 4CEA lµ tam gi¸c vu«ng. 4ABE ®ång d¹ng víi

4AEC vµ4CBE ®ång d¹ng víi4AEC. Suy ra4ABE ®ång d¹ng víi


27

4CBE. V× thÕ ta cã tØ lÖ:

AB

EB=BE

BC⇔ x

BE=BE

1⇔ BE2 = x⇔ BE =

√x

§o¹n th¼ng BE ®îc dùng tho¶ m·n BE =√x.

H×nh vÏ 2.1.14


th¼ng cã ®é dµi√n víi n > 2 lµ mét sè nguyªn bÊt kú.

Çch dùng: Cho ®êng th¼ng d, lÊy 2 ®iÓm tuú ý A,B ∈ d sao cho

AB = 1. Dùng mét ®o¹n th¼ng cã ®é dµi n, xuÊt ph¸t tõ tËp 2 ®iÓm A,B.

BiÕt n lµ mét sè nguyªn bÊt kú tho¶ m·n n > 2.

Bíc 1: Dùng tam gi¸c ABC vu«ng t¹i B sao cho hai c¹nh kÒ AB = 1 ,

BC =√2.

Bíc 2: C¹nh huyÒn AC cña tam gi¸c vu«ng ABC cã ®é dµi lµ l. Theo

§Þnh lÝ Pitago ta cã l2 = 2 + 1 = 3. Suy ra l =√3.

Bíc 3: TiÕp tôc ph¬ng ph¸p trªn sö dông lÇn lît cho çc cÆp c¹nh ®é

dµi lµ√3 vµ 1;

√4 vµ 1;

√5 vµ 1... ta thu ®îc mét ®o¹n th¼ng cã ®é dµi

lµ√n.


28

H×nh vÏ 2.1.15

2.1.16. Bµi to¸n: Cho tríc mét ®o¹n th¼ng cã ®é dµi 1 vµ cho thªm 2

®o¹n th¼ng kh¸c cã ®é dµi lÇn lît lµ x vµ y bÊt kú. H·y dùng ®o¹n th¼ng

cã ®é dµi x.y .


AB = 1 . Dùng mét ®o¹n th¼ng cã ®é dµi x.y, xuÊt ph¸t tõ tËp 2 ®iÓm

A,B víi x, y lµ ®é dµi cña çc ®o¹n th¼ng bÊt kú.

Bíc 1: Dùng tam gi¸c ABC vu«ng t¹i B víi AB = 1, BC = x (¸p dông

Bµi to¸n 2.1.14).

Bíc 2: KÐo dµi ®o¹n th¼ng AB vµ dùng ®iÓmD trªn ®ã sao cho AD = y.

Bíc 3: Dùng ®êng th¼ng d′ vu«ng gãc víi d t¹i ®iÓm D.

Bíc 4: KÐo dµi ®êng th¼ng AC c¾t d′ t¹i ®iÓm E.

Bíc 4: TÝnh to¸n ta cã:

4ABC ∼ 4ADE ⇔ AD

AB=DE

BC⇔ y

1=DE

x⇔ DE = x.y.

Nh vËy ta ®· dùng ®îc ®o¹n th¼ng DE = x.y tho¶ m·n yªu cÇu bµi

to¸n.

2.1.17. Bµi to¸n: Cho tríc ®o¹n th¼ng cã ®é dµi 1 vµ mét ®o¹n th¼ng


29

H×nh vÏ 2.1.16

cã ®é dµi lµ z. H·y dùng ®o¹n th¼ng cã ®é dµi b»ng 1/z.


AB = 1. Dùng mét ®o¹n th¼ng cã ®é dµi 1/z, xuÊt ph¸t tõ tËp 2 ®iÓm

A,B víi z lµ ®é dµi cña mét ®o¹n th¼ng bÊt kú. Bµi to¸n nµy dùng ngîc

l¹i víi Bµi to¸n 2.1.16

Bíc 1: Dùng tam gi¸c ABC vu«ng t¹i B víi AB = 1, BC = z (¸p dông

Bµi to¸n 2.1.14).

Bíc 2: T×m mét ®iÓm D trªn BC sao cho CD = 1

Bíc 3: Dùng ®êng th¼ng d′ vu«ng gãc víi BC t¹i ®iÓm D vµ c¾t AC

t¹i ®iÓm E .

Bíc 4: KÐo dµi ®êng th¼ng AC c¾t d′ t¹i ®iÓm E.

Bíc 4: TÝnh to¸n ta cã

4ABC ∼ 4EDC ⇔ ED

AB=CD

BC⇔ ED

1=

1

z⇔ ED = 1/z

Nh vËy ®o¹n th¼ng ED = 1/z tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n.

2.1.18. Bµi to¸n: Cho tríc ®o¹n th¼ng cã ®é dµi 1 . H·y dùng ®o¹n

th¼ng cã ®é dµi b»ng m/n víi m,n lµ çc sè nguyªn d¬ng tuú ý.


AB = 1 . Bíc 1: Dùng hai ®o¹n th¼ng cã ®é dµi lÇn lît lµ m vµ n (¸p


30

H×nh vÏ 2.1.17

dông Bµi to¸n 2.1.11).

Bíc 2: Sö dông kÕt qu¶ cña Bµi to¸n 2.1.16 vµ Bµi to¸n 2.1.17, dùng mét

®o¹n th¼ng cã ®é dµi lµ x/y víi x, y lµ 2 sè cho tríc.

Bíc 3: Cho x = m vµ y = n ta cã kÕt qu¶ cña bµi to¸n.

2.1.19. Bµi to¸n: Dùng mét ®a gi¸c ®Òu 12 c¹nh.

Çch dùng: Bíc 1: LÊy mét ®iÓm A tuú ý trªn mÆt ph¼ng.

Bíc 2: Dùng mét ®êng trßn (C) t©m A b¸n kÝnh R tuú ý.

Bíc 3: LÊy ngÉu nhiªn mét ®iÓm B trªn (C).

Bíc 4: Dùng ®êng trßn C(B,AB) c¾t ®êng trßn (C) t¹i 2 ®iÓm .

Bíc 5: TiÕp tôc dùng nh Bíc 4 t¹i hai ®iÓm míi nµy, cuèi cïng ta thu

®îc 6 ®iÓm kh¸c nhau trªn ®êng trßn (C) cã kho¶ng çch b»ng nhau.

Bíc 6: T×m trung ®iÓm cña c¹nh kÒ nhau vµ dùng çc ®êng th¼ng ®i qua

çc trung ®iÓm vµ t©m A lÇn lît c¾t ®êng trßn (C) t¹i 6 ®iÓm míi. Nh

vËy ta cã 12 ®iÓm trªn (C) cã kho¶ng çch b»ng nhau. Ta cã mét ®a gi¸c

®Òu 12 c¹nh.


31

H×nh vÏ 2.1.19

2.2 TÝnh dùng ®îc cña to¹ ®é çc ®iÓm

2.2.1. Bæ ®Ò. Cho E lµ tËp hîp nh÷ng ®iÓm trong mÆt ph¼ng gåm Ýt nhÊt

2 ®iÓm O vµ A. Cho B lµ ®iÓm tho¶ m·n R = OAB lµ mét hÖ to¹ ®é trùc

chuÈn. Cho K = Q(F ) lµ më réng trêng cña Q sinh sëi tËp F , trong ®ã

F ⊆ R lµ tËp çc sè thùc lµ hoµnh ®é hoÆc tung ®é cña çc ®iÓm trong

tËp E víi hÖ to¹ ®é R. Khi ®ã

i) Mäi ®êng th¼ng trong LE cã ph¬ng tr×nh trong hÖ to¹ ®é R d¹ng

ax+ by + c = 0 víi a, b, c ∈ K;

ii) Mäi ®êng trßn trong tËp CE cã ph¬ng tr×nh trong hÖ to¹ ®é R d¹ng

x2 + y2 + ax+ by + c = 0 víi a, b, c ∈ K.Chøng minh. (i). Gi¶ sö d ∈ LE. Khi ®ã cã 2 ®iÓm ph©n biÖt M,N ∈ Esao cho d = L(M,N). Gäi to¹ ®é trong R cñaM vµ N lÇn lît lµ (x1, y1)

vµ (x2, y2). Khi ®ã L(M,N) cã ph¬ng tr×nh

(x− x1)(y2 − y1)− (y − y1)(x2 − x1) = 0.


32

Do ®ã d cã ph¬ng tr×nh

(y2 − y1)x+ (x1 − x2)y + (x2 − x1)y1 + (y1 − y2)x1 = 0.

Chó ý r»ng x1, x2, y1, y2 ∈ F. V× thÕ ph¬ng tr×nh cña d lµ ax+by+c = 0

víi a = (y2 − y1), b = (x1 − x2), c = (x2 − x1)y1 + (y1 − y2)x1 lµ nh÷ng

phÇn tö thuéc K.

ii) XÐt ®êng trßn C(I,MN) ∈ CE. Gi¶ sö M,N, I cã to¹ ®é trong R

lÇn lît lµ (x1, y1), (x2, y2), (x0, y0). Khi ®ã xi, yi ∈ F víi mäi i = 0, 1, 2.

H¬n n÷a, C(I,MN) cã ph¬ng tr×nh lµ

(x− x0)2 + (y − y0)2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2.

Tõ ®ã ta cã thÓ biÕn ®æi ph¬ng tr×nh cña C(I,MN) vÒ d¹ng cÇn t×m.�

2.2.2. MÖnh ®Ò. Gi÷ nguyªn çc gi¶ thiÕt vµ kÝ hiÖu nh trong Bæ ®Ò 2.2.1.

Gi¶ sö P lµ mét ®iÓm trong mÆt ph¼ng víi to¹ ®é (p, q) trong R dùng ®îc

qua mét bíc tõ tËp E. Khi ®ã trêng më réng K(p, q) cña K hoÆc b»ng

víi K hoÆc lµ më réng bËc 2 cña K.

Chøng minh. V× P dùng ®îc qua m«t bíc tõ tËp E nªn cã 3 kh¶ n¨ng:

1) P lµ giao cña hai ®êng th¼ng trong LE. Theo Bæ ®Ò 2.2.1 ta cã thÓ

gi¶ thiÕt çc ®êng th¼ng nµy lÇn lît cã ph¬ng tr×nh:

ax+ by + c = 0,

a′x+ b′y + c′ = 0,

víi a, a′, b, b′, c, c′ ∈ K. Do hai ®êng th¼ng nµy c¾t nhau nªn ¸p dông ®Þnhthøc Cramer ta cã ab′− a′b 6= 0 vµ nghiÖm cña hÖ hai ph¬ng tr×nh nµy lµ

to¹ ®é cña P . Tõ c«ng thøc nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh ta cã

p =cb′ − c′bab′ − a′b

vµ q =ac′ − a′cab′ − a′b

. Do ®ã p, q ∈ K. V× vËy K(p, q) = K.

2) P lµ giao cña mét ®êng th¼ng trong LE vµ mét ®êng trßn trong

CE. Theo Bæ ®Ò 2.2.1 ta cã thÓ gi¶ thiÕt ®êng th¼ng vµ ®êng trßn nµy


33

lÇn lît cã ph¬ng tr×nh:

ax+ by + c = 0,

x2 + y2 + a′x+ b′y + c′ = 0,

víi a, a′, b, b′, c, c′ ∈ K. Chó ý r»ng mét nghiÖm cña hÖ hai ph¬ng tr×nh

nµy chÝnh lµ to¹ ®é cña P. V× thÕ ta cã hÖ

ap+ bq + c = 0,

p2 + q2 + a′p+ b′q + c′ = 0.

NÕu a 6= 0 th× tõ ®¼ng thøc thø nhÊt ta cã p = −(bq + c)/a. Do ®ã

p ∈ K(q), víi K(q) lµ më réng cña K b»ng çch ghÐp thªm phÇn tö q.

Thay p = −(bq + c)/a vµo ®¼ng thøc thø hai ta cã

(bq + c

a)2 + q2 − a′.bq + c

a+ b′q + c′ = 0.

BiÕn ®æi ta ®îc( b2a2

+ 1)q2 +

(2bc− a′ab+ b′a2

a2

)q +

c2 − a′ac+ c′a2

a2= 0.

V× a, b, c, a′, b′, c′ ∈ K vµ K lµ trêng nªnb2

a2+ 1,

2bc− a′ab+ b′a2

a2,

c2 − a′ac+ c′a2

a2®Òu thuéc K. Chøng tá q lµ mét nghiÖm cña ®a thøc

bËc hai thuéc K[X]. NÕu ®a thøc bËc hai nµy cã 1 nghiÖm trong K th×

nghiÖm cßn l¹i còng thuéc K, trong trêng hîp nµy ta cã q ∈ K. Do ®ã

K(p, q) = K. NÕu ®a thøc bËc hai nµy kh«ng cã nghiÖm trong K th× nã

bÊt kh¶ quy trªn K, do ®ã theo MÖnh ®Ò 1.3.6 ta suy ra K(q) lµ më réng

bËc 2 cña K. NÕu a = 0 vµ b 6= 0 th× b»ng nh÷ng lËp luËn t¬ng tù ta cã

kÕt qu¶.

3) P lµ giao cña hai ®êng trßn trong (CE). Theo Bæ ®Ò 2.2.1 ta cã thÓ


34

gi¶ thiÕt ph¬ng tr×nh cña hai ®êng trßn ®ã lÇn lît lµ

x2 + y2 + ax+ by + c = 0,

x2 + y2 + a′x+ b′y + c′ = 0,

víi a, a′, b, b′, c, c′ ∈ K. B»ng çch trõ ph¬ng tr×nh thø nhÊt cho ph¬ng

tr×nh thø hai, ta suy ra to¹ ®é cña P lµ nghiÖm cña hÖ 2 ph¬ng tr×nh sau

x2 + y2 + ax+ by + c = 0,

(a− a′)x+ (b− b′)y + c− c′ = 0.

Nh vËy ta cã thÓ ¸p dông Trêng hîp 2 ®Ó suy ra r»ngK(p, q) = K hoÆc

K(p, q)/K lµ më réng bËc 2.

2.2.3. VÝ dô. Cho tËp E = {(0, 0), (1, 0), (0, 1)}. Khi ®ã tËp çc hoµnh ®é

vµ tung ®é cña çc ®iÓm cña E lµ F = {0, 1}. V× thÕ K = Q(F ) = Q.XÐt ®iÓm P (1, 3

√2). Hoµnh ®é cña P lµ p = 1, tung ®é cña P lµ q = 3

√2.

Ta cã

K(p, q) = Q(1,3√2) = Q(

3√2).

®a thøc bÊt kh¶ quy cña 3√2 lµ x3 − 2. Do ®ã ¸p dông MÖnh ®Ò 1.3.6 ta

suy ra [K(p, q) : K] = 3. B©y giê ¸p dông tiªu chuÈn trong MÖnh ®Ò 2.2.2

ta suy ra P kh«ng thÓ dùng ®îc qua mét bíc tõ E.

MÆc dï ®iÓm P (1, 3√2) kh«ng dùng ®îc qua mét bíc tõE, nhng liÖu

®iÓm P (1, 3√2) cã thÓ dùng ®îc (qua nhiÒu bíc) tõ tËp E hay kh«ng?.

§Ó tr¶ lêi cho c©u hái nµy chóng ta sÏ xem xÐt çc ®iÒu kiÖn sau ®©y vÒ

tÝnh dùng ®îc.

2.3 Mét ®iÒu kiÖn cÇn cho tÝnh dùng ®îc

2.3.1. MÖnh ®Ò. Gi÷ nguyªn çc kÝ hiÖu cña Bæ ®Ò 2.2.1. Víi mçi ®iÓm

P (p, q) dùng ®îc tõ tËp E, çc ph¸t biÓu sau ®©y lµ ®óng.


35

(i) Cã mét d·y h÷u h¹n çc trêng (Ki)0≤i≤m, mçi trêngKi lµ mét më

réng bËc 2 cña mét trêng Ki−1, víi K0 = K vµ Km ⊂ R vµ p, q ∈ Km;

(ii) p vµ q lµ çc phÇn tö ®¹i sè trªn K; bËc cña chóng trªn K lµ luü

thõa cña 2.

Chøng minh. Chóng ta chøng minh (i), (ii) b»ng çch sö dông ph¬ng

ph¸p quy n¹p theo n, trong ®ã n lµ sè bíc ®Ó dùng ®iÓm P .

NÕu n = 0 th× p, q ∈ K nªn (i), (ii) hiÓn nhiªn ®óng.

Gi¶ thiÕt r»ng, mçi ®iÓmQ dùng ®îc qua n bíc tõ tËp E qua mét d·y

çc ®iÓm (Qj)1≤j≤n ®Òu cã mét d·y h÷u h¹n t¨ng çc trêng (Ks)0≤s≤r,

mµ K0 = K vµ Kr ⊂ R, mçi trêng lµ mét më réng bËc 2 cña trêng

®øng ngay ë tríc vµ to¹ ®é cña Qj, 1 ≤ j ≤ n, n»m trong Kr. Ta sÏ

chøng minh r»ng nÕu P lµ ®iÓm dùng ®îc qua n + 1 bíc tõ tËp E th×

(i) vµ (ii) tho¶ m·n.

ThËt vËy, tån t¹i mét d·y ®iÓm Pi, 1 ≤ i ≤ n+ 1 mµ Pn+1 = P vµ víi

i = 0, ..., n, Pi+1 lµ ®iÓm dùng ®îc qua mét bíc tõ tËpE∪{Pj; j ≤ i}.V×Pn lµ ®iÓm dùng ®îc qua n bíc nªn theo gi¶ thiÕt quy n¹p, tån t¹i mét

d·y h÷u h¹n t¨ng çc trêng (Ks)0≤s≤r mµ K0 = K vµ Kr ⊂ R, mçi

trêng lµ mét më réng bËc 2 cña trêng ®øng ngay ë tríc vµ to¹ ®é cña

Pi, 1 ≤ i ≤ n, ®Òu n»m trong Kr. Ta cã ®iÓm P lµ ®iÓm dùng ®îc qua

mét bíc tõ tËpE∪{Pi; i ≤ n}. Do ®ã theo MÖnh ®Ò 2.2.2,Kr(p, q) = Kr

hoÆcKr(p, q) lµ më réng bËc 2 cña Kr. Do ®ã nÕu Kr(p, q) = Kr th× ta

cã d·y K = K0 ⊂ K1 ⊂ ... ⊂ Kr tho¶ m·n (i), nÕu Kr(p, q) lµ më réng

bËc 2 cña Kr th× ta cã d·y K = K0 ⊂ K1 ⊂ ... ⊂ Kr ⊂ Kr+1 = Kr(p, q)

lµ d·y tho¶ m·n (i).

V× ta cã [Ki : Ki−1] = 2 víi mäi i nªn ¸p dông MÖnh ®Ò 1.2.5 suy ra

[Ki : K] = 2i. C«ng thøc nµy chøng tá r»ng bËc cña p vµ q trªn K ph¶i lµ


36

íc cña 2i víi mét i nµo ®ã. V× vËy bËc cña p vµ q trªn K lµ luü thõa cña

2 vµ p vµ q lµ ®¹i sè trªn K. �.

2.3.2. VÝ dô. XÐt tËp E = {(0, 0), (1, 0), (0, 1)}, ta cã tËp F = {0, 1} lµtËp çc hoµnh ®é, tung ®é çc ®iÓm cña tËp E vµ K = Q(F ) = Q.

1) XÐt ®iÓm P (1,√2) víi hoµnh ®é p = 1 vµ tung ®é q =

√2, ta cã

K(p, q) = Q(1,√2) = Q(

√2). §a thøc bÊt kh¶ quy cña

√2 lµ x2 − 2.

Do ®ã ¸p dông MÖnh ®Ò 1.3.6 ta cã [K(p, q) : K] = 2, ¸p dông tiªu chuÈn

cña MÖnh ®Ò 2.2.2 ta cã ®iÓm P (1,√2) dùng ®îc qua mét bíc tõ tËp

E.

2) XÐt ®iÓm Q(√2,√3). Ta cã K = Q ⊂ Q(

√2) ⊂ Q(

√2,√3) vµ

[Q(√2) : Q] = 2, [Q(

√2,√3) : Q(

√2)] = 2 lµ mét d·y çc trêng mçi

trêng lµ mét më réng bËc 2 cña trêng ®øng ngay tríc vµ tho¶ m·n√2,√3 ∈ Q(

√2,√3). DÔ thÊy çc sè

√2 vµ√3 ®Òu lµ ®¹i sè trªn K vµ

bËc cña chóng lµ luü thõa cña 2. Theo MÖnh ®Ò 2.3.1, ®iÓm Q(√2,√3)

dùng ®îc tõ E.

3) Theo tiªu chuÈn cña MÖnh ®Ò 2.3.1 ta cã ®iÓm L(1, 3√2) kh«ng thÓ dùng

®îc (qua nhiÒu bíc) tõ tËp E.

2.4 Mét ®iÒu kiÖn ®ñ cho tÝnh dùng ®îc

2.4.1 MÖnh ®Ò. Gi÷ nguyªn çc kÝ hiÖu cña Bæ ®Ò 2.2.1.

(i) Mäi ®iÓm víi to¹ ®é trongK = Q(F ) ®Òu lµ nh÷ng ®iÓm dùng ®îc

tõ tËp E.

(ii) Mäi ®iÓm mµ to¹ ®é cña chóng n»m trong mét më réng bËc 2 cña

K ®Òu lµ nh÷ng ®iÓm dùng ®îc tõ tËp E.

(iii) Mçi ®iÓm P cã to¹ ®é (p, q) mµ cã mét d·y h÷u h¹n t¨ng çc

trêng (Ki)0≤i≤m mçi trêng lµ mét më réng bËc 2 cña trêng ®øng tríc


37

víi K0 = K,Km ⊂ R vµ p, q ∈ Km, th× ®iÓm P lµ ®iÓm dùng ®îc tõ E.

Chøng minh. (i) Cho ®iÓm P (p, q) víi p, q ∈ K. Ta sÏ chøng tá r»ng

®iÓm P (p, q) lµ ®iÓm dùng ®îc tõ tËp E. §Ó chøng minh P (p, q) lµ dùng

®îc tríc hÕt ta chøng tá çc ®iÓm (p, 0) vµ (0, q) lµ dùng ®îc tõ E.V×

p ∈ K vµ K = Q(F ) nªn theo chó ý sau §Þnh nghÜa 1.2.9, p lµ phÇn tö

cã d¹ng f(a1, ..., ak)/g(a1, ..., ak), víi k ∈ N , f vµ g lµ çc ®a thøc trong

Q[X1, ..., Xk], g(a1, ..., ak) 6= 0 vµ a1, ..., ak ∈ F . §Ó dùng ®iÓm P (p, 0),

ta chó ý r»ng a1, ..., ak ∈ F nªn a1, ..., ak lµ çc phÇn tö dùng ®îc tõ E,

f, g lµ çc ®a thøc cã hÖ sè trong Q nªn çc hÖ sè ®ã còng dùng ®îc tõ

E, ta cã f(a1, ..., ak) vµ g(a1, ..., ak) lµ çc biÓu thøc gåm tæ hîp çc phÐp

to¸n céng, trõ, nh©n, chia, khai c¨n bËc hai cña çc hÖ sè trong Q vµ çc

a1, ..., ak nªn ¸p dông çc bµi to¸n tõ Bµi to¸n 2.1.11 ®Õn Bµi to¸n 2.1.18,

f(a1, ..., ak), g(a1, ..., ak) vµ f(a1, ..., ak)/g(a1, ..., ak) còng dùng ®îc tõ

E. Chøng tá p lµ phÇn tö dùng ®îc vµ ®iÓm P (p, 0) dùng ®îc tõ E.

T¬ng tù ®iÓm (0, q) còng dùng ®îc.

(ii) Cho p lµ phÇn tö ®¹i sè cã bËc 2 trªnK. Khi ®ã p lµ mét nghiÖm cña

®a thøc bÊt kh¶ quy bËc hai f víi hÖ sè trªnK. NÕu f(X) = X2+aX+b

víi a, b ∈ K th×

p =−a±

√a2 − 4b

2;

§Æt c = a2 − 4b, ®Ó dùng ®îc ®iÓm (p, 0) th× ta ph¶i ®îc dùng ®iÓm

(1,√c) víi ®iÓm (c, 0) ®· biÕt.

Tríc hÕt ta dùng ®iÓm C(c+1, 0) vµ trung ®iÓmM cña OC. Dùng ®iÓm

D lµ giao cña ®êng trßn t©m M b¸n kÝnh MO víi ®êng th¼ng vu«ng

gãc víi OA t¹i A. Khi ®ã ta cã ®îc D(1,√c).�

iii) DÔ dµng suy ra ®îc tõ 2 kÕt qu¶ trªn. �

2.4.2. VÝ dô. XÐt tËp E = {(0, 0), (1, 0), (0, 1)}, khi ®ã F = {0, 1} lµ tËp


38

H×nh 2.4.1

çc hoµnh ®é, tung ®é çc ®iÓm cña E.

i) Ta thÊy K = Q(F ) = Q(0, 1) = Q. Râ rµng mäi ®iÓm cã to¹ ®é h÷u tû

®Òu dùng ®îc tõ tËp E (theo MÖnh ®Ò 2.4.1 (i)).

ii) DÔ thÊy Q(√2) lµ mét më réng bËc 2 cña Q nªn mäi ®iÓm cã to¹ ®é

trong Q(√2) ®Òu dùng ®îc tõ E (theo MÖnh ®Ò 2.4.1 (ii)).

2.5 Nh÷ng bµi to¸n dùng h×nh cæ ®iÓn

Cã 3 bµi to¸n cæ vÒ dùng h×nh b»ng thíc kÎ vµ compa rÊt næi tiÕng trong

lÞch sö to¸n häc Hy L¹p vµ rÊt quan träng trong sù ph¸t triÓn cña h×nh

häc. §ã lµ çc bµi to¸n "CÇu ph¬ng mét h×nh trßn", "GÊp ®«i mét h×nh

lËp ph¬ng", "Chia ba mét gãc". Ngoµi ra cßn nhiÒu bµi to¸n kh¸c n÷a.

NhiÒu nhµ to¸n häc tªn tuæi ®· nghiªn cøu çch ®Ó gi¶i çc bµi to¸n trªn.

Cho ®Õn thÕ kû 19 víi quan ®iÓm cña ®¹i sè hiÖn ®¹i vÒ lý thuyÕt trêng

vµ lý thuyÕt më réng trêng, çc nhµ to¸n häc thu ®îc mét chøng minh

chÝnh x¸c cho çc bµi to¸n trªn. Sau ®©y lµ mét sè bµi to¸n dùng h×nh cæ

®iÓn næi tiÕng nhÊt trong lÞch sö to¸n häc.


39

2.5.1. Bµi to¸n. (CÇu ph¬ng mét h×nh trßn.) Dïng thíc kÎ vµ compa,

dùng mét h×nh vu«ng cã cïng diÖn tÝch víi mét h×nh trßn cã b¸n kÝnh b»ng

1.

PhÐp cÇu ph¬ng mét hinh trßn hay thêng gäi lµ "CÇu ph¬ng mét

h×nh trßn", lµ mét trong nh÷ng bµi to¸n cæ cña Hy L¹p vµ næi tiÕng cña

to¸n häc, ®Æc biÖt cña h×nh häc.

Bµi to¸n nµy ®· ghi l¹i niªn hiÖu vÒ sù ph¸t minh cña h×nh häc vµ sù

nan gi¶i cña nã ®îc chiÕm gi÷ trong ngµnh to¸n häc rÊt nhiÒu thÕ kû.

NhiÒu nhµ to¸n häc ®· cè g¾ng nghiªn cøu vµ ®a ra çc gi¶i ph¸p ®Ó gi¶i

quyÕt bµi to¸n nµy. Cho ®Õn tËn n¨m 1882 míi cã chøng minh chÝnh x¸c

r»ng bµi to¸n kh«ng thÓ dùng ®îc b»ng thíc kÎ vµ compa.

Bëi v× bµi to¸n ®ßi hái ph¶i cã mét gi¶i ph¸p ®Ó dùng ®îc sè√π mµ thùc

tÕ sè ®ã lµ sè siªu viÖt trªn Q (trong [Had], p.47), nã kh«ng ph¶i lµ sè ®¹i

sè v× thÕ nã kh«ng thÓ dùng ®îc b»ng thíc kÎ vµ compa. Sè π lµ sè siªu

viÖt ®· ®îc nhµ to¸n häc C. Lindemann chøng minh vµo n¨m 1882. V×

vËy√π còng lµ sè siªu viÖt trªn Q vµ nã kh«ng n»m trong bÊt kú mét më

réng h÷u h¹n nµo cña Q.

KÕt luËn: Kh«ng thÓ "CÇu ph¬ng mét h×nh trßn" b»ng thíc kÎ vµ compa.

2.5.2. Bµi to¸n. (GÊp ®«i mét h×nh lËp ph¬ng). Dïng thíc kÎ vµ compa,

dùng mét h×nh lËp ph¬ng cã thÓ tÝch b»ng 2 lÇn thÓ tÝch mét h×nh lËp

ph¬ng víi c¹nh b»ng 1.

§Ó gi¶i bµi to¸n nµy, ta cÇn dùng mét ®o¹n th¼ng cã ®é dµi lµ 3√2 vµ

chØ sö dông thíc kÎ vµ compa. §iÒu nµy t¬ng ®¬ng víi viÖc dùng mét

®iÓm cã to¹ ®é ( 3√2, 0) trong hÖ to¹ ®é trùc chuÈn R. §a thøc bÊt kh¶ quy

cña 3√2 lµ x3−2, do ®ã ¸p dông MÖnh ®Ò 1.3.6 ta suy ra [Q[ 3

√2] : Q] = 3,


40

bËc cña 3√2 lµ 3 kh«ng ph¶i lµ luü thõa cña 2. Sö dông tiªu chuÈn cña

MÖnh ®Ò 2.2.2 th× ®iÓm ( 3√2, 0) kh«ng thÓ dùng ®îc b»ng thíc kÎ vµ

compa. (§©y lµ kÕt qu¶ ®· ®îc P. L. Wantzel chøng minh ®Çu tiªn vµo

n¨m 1837.)

KÕt luËn: Kh«ng thÓ "GÊp ®«i mét h×nh lËp ph¬ng" b»ng thíc kÎ vµ

compa.

2.5.3. Bµi to¸n: (Chia ba mét gãc tuú ý). Cho tríc mét gãc, dïng thíc

kÎ vµ compa ®Ó chia ba gãc ®· cho.

§Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n nµy, ta cÇn dùng mét gãc θ khi biÕt tríc gãc

3θ. §iÒu nµy t¬ng ®¬ng víi viÖc dùng mét ®iÓm cã to¹ ®é (cos θ, sin θ)

trªn ®êng trßn ®¬n vÞ trong mÆt ph¼ng to¹ ®é R khi ®· biÕt tríc ®iÓm

cã to¹ ®é lµ (cos 3θ, sin 3θ).

Ta cã c«ng thøc: cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ, v× vËy cos θ lµ mét nghiÖm

cña ®a thøc 4X3 − 3X − cos 3θ.

Nh×n chung ®a thøc nµy lµ bÊt kh¶ quy trªn Q[cos 3θ]. V× thÕ kh«ng thÓ

dùng ®îc ®iÓm (cos θ, sin θ).

VÝ dô. Kh«ng thÓ chia ba gãc 1200 .

ThËt vËy, trong trêng hîp nµy ta cã θ = 400 vµ 4X3−3X−cos 1200 =4X3 − 3X − 1/2. DÔ thÊy r»ng ®a thøc 8X3 − 6X + 1 lµ bÊt kh¶ quy

trªn Q (v× nã kh«ng cã nghiÖm h÷u tØ). V× [Q(cos θ) : Q] = 3, bËc cña

cos θ kh«ng ph¶i lµ luü thõa cña 2 nªn cos θ kh«ng thÓ dùng ®îc. Suy ra

(cos θ, sin θ) kh«ng thÓ dùng ®îc. KÕt qu¶ nµy còng ®îc P. L. Wantzel

chøng minh vµo n¨m 1837.

KÕt luËn: Kh«ng thÓ "Chia ba mét gãc tuú ý" b»ng thíc kÎ vµ compa.


41

PhÇn kÕt luËn

Trong luËn v¨n nµy chóng t«i ®· hoµn thµnh çc c«ng viÖc sau:

- Nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc trong lý thuyÕt trêng, lý thuyÕt më réng

trêng cña §¹i sè hiÖn ®¹i nh kh¸i niÖm më réng trêng, më réng ®¬n,

më réng ®¹i sè,.. kh¸i niÖm vÒ phÇn tö ®¹i sè, siªu viÖt. Nh¾c l¹i kiÕn thøc

vÒ ®a thøc bÊt kh¶ quy,...

- Tr×nh bµy kh¸i niÖm ®iÓm dùng ®îc b»ng thíc kÎ vµ compa, ®a ra

çc vÝ dô minh ho¹ cho kh¸i niÖm b»ng nh÷ng bµi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n

nh "T×m h×nh chiÕu cña mét ®iÓm trªn ®êng th¼ng, dùng ®êng ph©n

gi¸c cña mét gãc, dùng ®êng trßn néi tiÕp, ngo¹i tiÕp tam gi¸c,....

- Tr×nh bµy vÒ mét ®iÒu kiÖn cÇn vµ mét ®iÒu kiÖn ®ñ vÒ tÝnh dùng ®îc

b»ng thíc kÎ vµ compa.

- Tr×nh bµy øng dông cña çc ®iÒu kiÖn vµo nh÷ng bµi to¸n dùng h×nh cæ

®iÓn nh: "CÇu ph¬ng mét ®êng trßn", "gÊp ®«i mét h×nh lËp ph¬ng",

"Chia ba mét gãc",...


Tµi liÖu tham kh¶o

[1] Robert Ash, Abstract Algebra - The Basic Graduate Year, Dover, New

York 2002.

[2] Jean-Pierre Escofier, Galois Theory, Springer-Verlag New York

(2004), Third Edition.

[3] C. R. Hadlock, Field Theory and its Classical Problems, Math. Assn.

Amer., 1978.

[4] Joseph Rotman, Galois Theory, Springer-Verlag New York (2001),

Second Edition.

[5] Jean-Pierre Serre, Topics in Galois Theory, Jones and Bartlett, Boston

Londres, 1992.

[6] Jean-PierreTignol, Galois's Theory of Algebraic Equations, Longman

Scientific and Technical, 1987.

42


Science

Lv ly thuyet truong va bai toan dung hinh bang thuoc ke va compa