PERTEMUAN - 3

Persamaan Diferensial Orde Pertama Linear

Persamaan Bernoulli

Persamaan Diferensial Orde 1 Linear

Persamaan Diferensial Orde Satu Linear memiliki bentuk :

𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞(𝑥)

Faktor Pengitegrasi untuk persamaan tersebut adalah :

𝐼 𝑥 = 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 Faktor Pengitegrasi tersebut bergantung pada x saja dan independen terhadap y.

𝐼(𝑥)𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝐼(𝑥)𝑦 = 𝐼(𝑥)𝑞(𝑥)

Adalah eksak diamana solusinya dapat dituliskan dalam bentuk :

𝑑(𝑦𝐼)

𝑑𝑥= 𝐼𝑞(𝑥)

Contoh

Persamaan Diferensial Orde 1 Linear

Tentukan solusi dari persamaan diferensial linier ordo 1 berikut :

𝑦′ − 3𝑦 = 6

Mencari faktor integrasi 𝑝 𝑥 = −3 𝑑𝑎𝑛 𝑞 𝑥 = 6

𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = −3 𝑑𝑥 = −3𝑥 𝐼 𝑥 = 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒−3𝑥

Mengalikan PDL-TK1 dengan faktor integrasi I(x)

𝑒−3𝑥𝑦′ − 3𝑒−3𝑥𝑦 = 6𝑒−3𝑥 𝑑

𝑑𝑥𝑦𝑒−3𝑥 = 6𝑒−3𝑥

Mencari Solusi 𝑑

𝑑𝑥𝑦𝑒−3𝑥 = 6𝑒−3𝑥

𝑦𝑒−3𝑥 = −2𝑒−3𝑥 + 𝑐

𝑦 = 𝑐𝑒3𝑥 − 2

Persamaan Diferensial Bernoulli

Persamaan Diferensial Bernoulli memiliki bentuk :

𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞(𝑥)𝑦𝑛

Dimana n adalah bilangan real. Substitusi :

𝑧 = 𝑦1−𝑛

Mengubah bentuk utama menjadi suatu persamaan diferensial linear dalam fungsi z(x) yang dicari.

Persamaan Diferensial Bernoulli

Contoh Tentukan solusi dari persamaan diferensial Bernoulli berikut : 𝑦′ + 𝑥𝑦 = 𝑥𝑦2

Substitusi z 𝑝 𝑥 = 𝑞 𝑥 = 𝑥 , 𝑛 = 2

𝑧 = 𝑦1−2 = 𝑦−1

𝑦 =1

𝑧 𝑑𝑎𝑛 𝑦′ =

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑𝑧

𝑑𝑦= −

𝑧′

𝑧2

Masukkan dalam persamaan soal −𝑧′

𝑧2 + 𝑥

𝑧=𝑥

𝑧2

𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 ; 𝑧′−𝑥𝑧 = −𝑥 PDL-TK1

𝐼 𝑥 = 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒−𝑥2/2 Solusi PDL-TK1

𝑧 = 𝑐𝑒𝑥2/2 + 1 𝑦 =

1

𝑐𝑒𝑥2/2 + 1

Soal 3.1

Tentukan solusi dari PDL-TK1 berikut :

𝑎 . 𝑦′ − 2𝑥𝑦 = 𝑥

𝑏 . 𝑦′ +4

𝑥𝑦 = 𝑥4

𝑐 . 𝑑𝑧

𝑑𝑥− 𝑥𝑧 = −𝑥; 𝑧 0 = −4

Tentukan solusi dari PD Bernoulli berikut :

𝑎 . 𝑦′ −3

4𝑦 = 𝑥4𝑦

13

𝑏 . 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥𝑦4

PERTEMUAN -3

Terima Kasih

Jawaban 3.1 Tentukan solusi dari PDL-TK1 berikut :

𝑎 . 𝑦′ − 2𝑥𝑦 = 𝑥

𝑏 . 𝑦′ +4

𝑥𝑦 = 𝑥4

𝑐 . 𝑑𝑧

𝑑𝑥− 𝑥𝑧 = −𝑥; 𝑧 0 = −4

Tentukan solusi dari PD Bernoulli berikut :

𝑎 . 𝑦′ −3

4𝑦 = 𝑥4𝑦

13

𝑏 . 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥𝑦4

𝑦 = ±(𝑐𝑥2 +2

9𝑥5)

32

1

𝑦3= 𝑥 +

1

3+ 𝑐𝑒3𝑥

𝑦 = 𝑐𝑒𝑥2−1

2

𝑦 =𝑐

𝑥4+1

9𝑥5

𝑧 𝑥 = 1 − 5𝑒𝑥2

2