ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Εργαστήριο

Ηλεκτρικών

Κυκλωμάτων Ενότητα 1η

Τσόρμπας Νικόλαος

27/10/2014

Άσκηση 1η: Τασιδιαιρέτης: ∆ιαίρεση τάσης – Κατανοµή αντιστάσεων – Ελάχιστη

κατανάλωση ισχύος.

Σκοπός της άσκησης ήταν η θεωρητική και πειραµατική µελέτη τασιδιαιρέτη για παροχή

επιλεγµένης τάσης σε δεδοµένο φορτίο. Στόχος της ανάλυσης ήταν η παροχή της

απαιτούµενης τάσης και ισχύος στο φορτίο µε κατάλληλη επιλογή των αντιστατών ώστε να

είναι εφικτό:

i. η επιθυµητή τασιδιαίρεση

ii. η ελάχιστη δαπάνη ισχύος

Άσκηση 2η: Προσδιορισµός συντελεστή ισχύος ηλεκτρικής διάταξης, βελτίωση

συντελεστή ισχύος, προσδιορισµός της µιγαδικής τιµής αγνώστου φορτίου.

Στόχοι της άσκησης ήταν:

i. η θεωρητική ανάλυση ενός κυκλώµατος εναλλασσόµενου ρεύµατος (νόµοι και

προσδιορισµός µιγαδικών τάσεων, ρευµάτων και αντιστάσεων)

ii. ορισµός και υπολογισµός της µιγαδικής ισχύος και του συντελεστή ισχύος µιας

διάταξης εναλλασσόµενου ρεύµατος καθώς και µεθοδολογία βελτίωσης του

συντελεστή ισχύος

iii. πειραµατικός προσδιορισµός του συντελεστή ισχύος διάταξης

iv. πειραµατική εφαρµογή της µεθοδολογίας βελτίωσης του συντελεστή ισχύος

v. πειραµατικός προσδιορισµός της µιγαδικής αντίστασης φορτίου

vi. επίλυση θεωρητικών ασκήσεων στα αντικείµενα της ενότητας

Άσκηση 1

1) Θεωρία:

Το παρακάτω κύκλωµα είναι γνωστό σαν κύκλωµα διαιρέτη τάσης:

Το κύκλωµα αυτό µπορεί να αναλυθεί µε άµεση εφαρµογή του νόµου του Ohm και των

νόµων του Kirchhoff. Θεωρώντας αρχικά ότι στα άκρα Α, Β δεν υπάρχει συνδεδεµένη

αντίσταση φορτίου, οπότε το ρεύµα i0 είναι µηδέν, και οι αντιστάτες R1 και R2 διαρρέονται

από το ίδιο ρεύµα. Εφαρµόζοντας τον νόµο των τάσεων του Kirchhoff κατά µήκος της

κλειστής διαδροµής:

1 2

1 2

s

s

iR iR

iR R

υ

υ

= + ⇒

=+

(1)

Η τάση υ0 υπολογίζεται εφαρµόζοντας τον νόµο του Ohm:

20 2

1 2

s

RiR

R Rυ υ= =

+ (2)

Αφού το κλάσµα της (2) είναι µικρότερο της µονάδας, η τάση εξόδου είναι µικρότερη της

πηγής.

Συνδέοντας, στη συνέχεια, µια αντίσταση RL παράλληλα µε την R2, όπως στο παρακάτω

σχήµα:

και ακολουθώντας την ίδια πορεία ανάλυσης, όπως προηγουµένως, βγαίνουν οι παρακάτω

τύποι:

( )

2

2

1 2

2 1 2

1 2

1

V IR

EV R

R R

E ER R m R

m R R

ΑΒ

ΑΒ

= ⇒

= ⇒+

= ⇒ = −+

Επιπλέον για το ρεύµα που διέρχεται τον παράλληλο συνδυασµό της R2 και RL, καθώς και

την τάση στα άκρα του συνδυασµού:

' ' ' 2

2 21

2

' '2 22

22

1

1

LAB AB

L L

L

AB AB L

L

L

R REV I R V

R R R RR

R R

ER RV V V R R

RRR

R

ΑΒ

ΑΒ

= ⇒ = ⇒++

+

= ⇒ → ⇒ << ⇒ <<

+ +

Επίσης:

'

1 2

1 2

1

1

AB AB

L

V V

R RR

R R

α µε α

αα

≥ < ⇒

≥− +

Τέλος ο τύπος για την ισχύ στην LR είναι : 2

L LP V R= ενώ ο αντίστοιχος τύπος για την

ολική ισχύ του τασιδιαιρέτη υπολογίζεται από τον τύπο:

2

22 1 1

L

PR

R RR

ολ

Ε=

+ +

2) Πειραµατική διαδικασία

1) Το πρώτο κύκλωµα που της πρώτης άσκησης είναι το παρακάτω:

1 210 10 3.3E Volts R K R K= = Ω = Ω

Πριν συνδεθεί το φορτίο RL, η θεωρητική τιµή της VAB, υπολογίστηκε, χρησιµοποιώντας τον

τύπο 2

1 2

EV R

R RΑΒ = +

ίση µε 2, 48ABV Volts= . Μετρώντας µε το πολύµετρο ή ίδια

ποσότητα βρέθηκε ίση µε 2,5ABV Volts=

Στη συνέχεια χρησιµοποιώντας το κιβώτιο των αντιστάσεων, συνδέθηκαν παράλληλα στην

R2 αντιστάσεις µε τιµές 100 R2, 10 R2, R2 και 270Ω. Για κάθε µία από αυτές τις αντιστάσεις

µετρήθηκε η αντίστοιχη '

ABV

Ταυτόχρονα υπολογίστηκε και η απόκλιση της '

ABV από την θεωρητική τιµή VAB για την

οποία σχεδιάστηκε ο τασιδιαιρέτης, σύµφωνα µε τον τύπο [ ]'

100 %AB

AB

ABV

V

Vασ

−= ⋅

Τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται συγκεντρωµένα στον παρακάτω πίνακα:

RL (KΩ) V’AB (Volts) σα

100 R2 2,48 0

10 R2 2,36 4,84

R2 1,46 41,13

0,27 0,25 89,92

Αυτό που παρατηρείται είναι ότι όσο µεγαλώνει η τιµή της αντίστασης RL τόσο πιο πολύ

µειώνεται η τάση '

ABV . Αυτό το γεγονός ήταν και το αναµενόµενο αφού σύµφωνα µε τον

τύπο ' 2

22 1

AB

L

ERV

RR

R

=

+ +

για να τείνει η '

ABV στην VAB πρέπει 2 LR R<<

Συµπερασµατικά τα αποτελέσµατα των µετρήσεων µας συµφωνούν µε την θεωρία αφού όταν

η RL είναι πολύ µεγαλύτερη της R2 η '

ABV τείνει στην VAB και αντίστροφα.

2α) Το δεύτερο κύκλωµα της άσκησης ήταν το εξής:

Οι τάσεις VAB πριν και µετά την σύνδεση του φορτίου RL µετρήθηκαν ίσες µε:

• Πριν: 2,54Volts

• Μετά: 2,47Volts

H ισχύς στην RL υπολογίστηκε σύµφωνα µε τον τύπο 2 0,06L LP V R mW= = ενώ η

συνολική βαττική ισχύς του κυκλώµατος υπολογίστηκε σύµφωνα µε τον τύπο 2

22 1

7,34

1L

P mWR

R RR

ολ

Ε= =

+ +

2β) Στο τρίτο κύκλωµα της άσκησης, όπως αυτό εµφανίζεται στην παρακάτω εικόνα:

Οι τάσεις VAB πριν και µετά την σύνδεση του φορτίου RL µετρήθηκαν ίσες µε:

• Πριν: 2,37Volts

• Μετά: 2,35Volts

H ισχύς στην RL υπολογίστηκε ίση µε 0,055P mW= ενώ η συνολική βαττική ισχύς του

κυκλώµατος υπολογίστηκε ίση µε 23,08P mWολ =

Συγκρίνοντας τις τιµές µεταξύ των κυκλωµάτων 2 και 3 παρατηρείται ότι η τάση του

τασιδιαιρέτη τόσο πριν όσο και µετά την σύνδεση του RL παρέµεινε σχεδόν σταθερή όταν

µειώσαµε τις αντιστάσεις R και R . Παρατηρώντας την ολική ισχύ των κυκλωµάτων

βλέπουµε ότι καθώς µειώσαµε τις αντιστάσεις R και R η συνολική ισχύς αυξήθηκε.

Εποµένως έχουµε ελάχιστη κατανάλωση ισχύος όταν οι αντιστάσεις είναι µεγαλύτερες.

Άσκηση 2

1) Θεωρία

Ένα ηλεκτρικό ρεύµα ονοµάζεται εναλλασσόµενο όταν περιγράφεται από µια περιοδική

συνάρτηση του χρόνου η οποία, µέσα σε µια περίοδο, έχει µέση τιµή µηδέν.

Οι αντίστοιχες εξισώσεις που περιγράφουν την εναλλασσόµενη τάση και το εναλλασσόµενο

ρεύµα είναι, αντίστοιχα:

( )( ) ( )

cos

cos

S m

S m

V t V t

I t I t

ω

ω θ

= ⇒

= ±

και tϕ ω∆ = ∆

Για την ωµική αντίσταση R ισχύει:

( ) ( ) 0cosR m R

V t I t R I t R V Rω= ⋅ = ⋅ = ⋅

∆ηλαδή, η τάση και το ρεύµα σε µια ωµική αντίσταση είναι συµφασικά.

Οµοίως για ένα πηνίο:

( ) sin cos2

L m m

dIV t L LI t L I t

dt

πω ω ω ω = ⋅ = − ⋅ = ⋅ +

∆ηλαδή η τάση και το ρεύµα σε ένα πηνίο έχουν διαφορά φάσης 2

π µε την τάση να

προηγείται του ρεύµατος.

Τέλος για τον πυκνωτή ισχύει:

( ) ( )1 1 1sin cos

2C m mV t I t dt I t I t

C C C

πω ω

ω ω = = = − ∫

Στον πυκνωτή η τάση και το ρεύµα έχουν διαφορά φάσης -2

πµε την τάση να έπεται του

ρεύµατος.

Όσον αφορά την ισχύς στο εναλλασσόµενο ρεύµα, αυτή υπολογίζεται από τους παρακάτω

τύπους:

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )0

cos

cos

cos cos cos sin2 2

1 1cos cos

2

S m

S m

m m m m

S S S m m

T

S m m rms rms

V t V t

I t I t

V I V IP t V t I t V t I t t

P P t dt V I V IT

αν

ω

ω θ

ω ω θ θ ω θ

θ θ

= ⇒

= ±

= ⋅ = ⋅ ± = ± ±

= = =∫

αφού 1

2rms mV V= και rms mI I

Το Ρ ονοµάζεται πραγµατική ισχύς

Ένα άλλο µέγεθος ισχύος που

Έστω i t

rmsV V e

ω= ⋅i

και I I e= ⋅i

*

2 2| |

i t i t i i

rms rms rms rms rms rms rms rmsS V I V I e e e V I e V I iV I

S P Q

ω ω θ θ−= ⋅ = = =

= +

ii i

i

Το | |Si

ονοµάζεται φαινόµενη

sinrms rmsQ V I θ= ονοµάζεται

µεγέθη σχεδιάζεται το τρίγωνο

Τέλος το cosθ ονοµάζεται συντελεστής

2) Πειραµατική διαδικασία

1) Στην παρακάτω εικόνα παρουσιάζεται

Συνδέοντας τα καλώδια του

ΑΒ πραγµατοποιήθηκε η µέτρηση

1

2rms mI I=

πραγµατική ισχύς και µετριέται σε Watt [W]

ισχύος που υπάρχει είναι η µιγαδική ισχύς για την οποία ισχύει

( )i t

rmsI I eω θ±= ⋅ . Τότε:

cos sini t i t i i

rms rms rms rms rms rms rms rmsS V I V I e e e V I e V I iV I

ω ω θ θ θ θ= ⋅ = = =∓ ∓∓

φαινόµενη ισχύς και µετριέται σε volt-ampere

ονοµάζεται αντιδρώσα ισχύς και µετριέται σε [VAR]. Με

τρίγωνο ισχύος του υπό µελέτη κυκλώµατος:

ονοµάζεται συντελεστής ισχύος.

διαδικασία

εικόνα παρουσιάζεται το πρώτο κύκλωµα της δεύτερης άσκησης

του παλµογράφου, το ένα στα άκρα της πηγής και το

η µέτρηση της διαφοράς φάσης µεταξύ πηγής και ρεύµατος

οποία ισχύει:

cos sinθ θ

[VA] ενώ το

Με τα τρία αυτά

δεύτερης άσκησης:

και το άλλο στα άκρα

και ρεύµατος.

Η διαφορά φάσης όπως µετρήθηκε µε τον παλµογράφο βγαίνει ίση µε ∆t=2·10-6

sec.

Εποµένως 0, 4 radϕ π∆ =

Άρα ο συντελεστής ισχύος είναι ίσος µε ( )cos 0,31ϕ∆ =

Επίσης θεωρητικά από τον τύπο ( )[ ]/arctan L Rθ ω= , ισχύει ότι 1,19radθ = . Με αυτήν

την τιµή ο συντελεστής ισχύος βγαίνει ίσος µε 0,37cosθ =

Οι δύο τιµές βρίσκονται κοντά µεταξύ τους, γεγονός που σηµαίνει ότι οι πειραµατικές τιµές

συµφωνούν µε τις αναµενόµενες θεωρητικές τιµές. Η απόκλιση που παρατηρήθηκε οφείλεται

σε πιθανά σφάλµατα την στιγµή που πραγµατοποιούνταν οι µετρήσεις.

2) Το δεύτερο κύκλωµα της άσκησης παρουσιάζεται στην παρακάτω εικόνα:

Με την προσθήκη ενός πυκνωτή µπορεί να γίνει η βελτίωση του συντελεστή ισχύος του

πρώτου κυκλώµατος της δεύτερης άσκησης. Η µεταβολή της τιµής της χωρητικότητας

µεταβλήθηκε, δίδοντας τιµές 0,5 10 / 0,5C nF nF nF= −

Για κάθε τιµή µετρήθηκε µε τον παλµογράφο η διαφορά φάσης ∆φ µεταξύ της πηγής και του

ρεύµατος.

Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται συγκεντρωµένες οι µετρήσεις της διαφοράς φάσης

µε την χωρητικότητα, καθώς και ο συντελεστής ισχύος:

C (nF) ∆t (µs) ∆φ (rad) cos(∆φ)

0,5 25 0,50π 0,011

1 22,5 0,45π 0,156

1,5 18 0,36π 0,426

2 16 0,32π 0,536

2,5 16 0,32π 0,536

3 16 0,32π 0,536

3,5 12 0,24π 0,729

4 10 0,20π 0,809

4,5 8 0,16π 0,876

5 4 0,08π 0,969

5,5 0 0,00π 1

6 2 0,04π 0,992

6,5 8 0,16π 0,876

7 10 0,20π 0,809

7,5 12 0,24π 0,729

8 14 0,28π 0,637

8,5 16 0,32π 0,536

9 18 0,36π 0,426

9,5 18 0,36π 0,426

Στη συνέχεια παρατίθενται τα διαγράµµατα |∆φ| - C:

και cos(∆φ) – C:

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0 2 4 6 8 10 12

∆ιαφορά

Φάσης

Χωρητικότητα πυκνωτή

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

0 2 4 6 8 10 12

Συντελεστής Ισχύος

Χωρητικότητα πυκνωτή

Η χωρητικότητα για την οποία

Για να υπολογιστεί η συνολική

σύνδεση του πυκνωτή, γνωρίζοντας

µε την χρήση του τύπου rms

I Z R L

Εποµένως:

3

3

3

3 10

cos 0,93 10

sin 2,85 10

rms rmsS V I VA

P S Watt

Q S VAR

θ

θ

−

−

−

= = ⋅

= = ⋅

= = ⋅

Το τρίγωνο ισχύος του κυκλώµατος

Μετά την σύνδεση του πυκνωτή

αντιστάσεων του πυκνωτή

' 66 10rmsI A= ⋅ και εποµένως

' ' 6

' ' 6

' '

12 10

cos 12 10

sin 0

rms rmsS V I VA

P S Watt

Q S VAR

θ

θ

= = ⋅

= = ⋅

= =

Παρατηρούµε ότι όταν ο συντελεστής

άεργη ισχύς µηδενίζεται, έτσι

όµως το γεγονός ότι πρακτικά

µονάδα. Στην περίπτωση αυτή

που µετρήθηκε κατά την διάρκεια

οποία ο συντελεστής γίνεται µέγιστος είναι η C=5,5

συνολική φαινόµενη ισχύς που δίνει η πηγή στο κύκλωµα

γνωρίζοντας το Vrms και υπολογίζοντας το Ζολ θα υπολογιστεί

( )23 210rmsrms

VI Z R L

Zολ

ολ

µε ω−= = = +

P S Watt

Q S VAR

κυκλώµατος είναι το παρακάτω:

πυκνωτή οµοίως βρίσκοντας το '

Z ολ ως την παράλληλη

πυκνωτή και της Zολ του προηγούµενου κυκλώµατος

εποµένως

S V I VA

P S Watt

ο συντελεστής ισχύος γίνεται ίσος µε την µονάδα, δηλαδή

µηδενίζεται, έτσι ακριβώς όπως προβλέπει η θεωρία. Πρέπει να

πρακτικά δεν µπορεί ο συντελεστής απόδοσης να γίνει

περίπτωση αυτή το αποτέλεσµα οφείλεται στην πολύ µικρή διαφορά

την διάρκεια εκτέλεσης των πειραµάτων.

=5,5 nF

στο κύκλωµα πριν την

θα υπολογιστεί το Ιrms

παράλληλη σύνδεση των

κυκλώµατος έχουµε

µονάδα, δηλαδή το ∆φ=0 η

Πρέπει να επισηµανθεί

να γίνει ίσως µε την

µικρή διαφορά φάσης

3) Το τρίτο κύκλωµα της δεύτερης άσκησης ήταν το παρακάτω:

Στο κύκλωµα χρησιµοποιήθηκε πυκνωτής και ή συχνότητα ήταν 0,8f kHz=

Η τάση VAB µετρήθηκε ίση µε 1,138V και η τάση VΒΓ ίση µε 1,285V. H διαφορά φάσης

µετρήθηκε µε τον παλµογράφο ίση µε 11.92 10 radθ π −∆ = ⋅

Το φορτίο είναι επαγωγικό.

Στη συνέχεια πραγµατοποιήθηκαν οι παρακάτω υπολογισµοί:

2 2 2

cos 0.36 68.92

oSV V V

V Vϕ ϕΑΒ ΒΓ

ΑΒ ΒΓ

− −= = ⇒ =

sin 1.062LLV V VϕΑΒ= =

cos 0.41RLV V VϕΑΒ= =

0.9RV

I mAR

= =

455.6RLL

VR

I= = Ω

0.235LL LLV V

L L HI I

ωω

= ⇒ = =

Εποµένως το φορτίο ΖL µπορεί να γραφεί ως 455.6 1.063L L

Z R iL iω= + = +

Θεωρητικές ασκήσεις:

1) Από τα 800VA που δίνονται από την άσκηση καθώς και τα 300Watt µπορούµε να βρούµε

τον συντελεστή ισχύος του κυκλώµατος. Πράγµατι:

300cos 0.375

800

P

Sθ = = =

Επίσης 2 2

S P Q Q VAR= + ⇒ =

Συνδέοντας στη συνέχεια το δεύτερο

' '

' '2 '2 '2

cos 0.8 5000.8

300

PS S VA

S P Q Q VAR

ϑ = ⇒ = ⇒ =

= + ⇒ =

Εποµένως

( )' '

' '750arctan 47 cos 0.68

700

o

S P P i Q Q iολ

θ θ

= + + + = +

= = ⇒ =

2) Ο συντελεστής του κυκλώµατος

εφόσον η φάση αυτή είναι η διαφορά

Έχουµε λοιπόν

1

2

10 3

25 16

Z i

Z i

= +

= −

και 1 2|| 0.53 0.08Z Z Z iολ = = −

εποµένως

0.08arctan 8.6

0.53

cos 0.99

oθ

θ

= =

=

Άρα

741.6S P Q Q VAR= + ⇒ =

το δεύτερο φορτίο έχουµε:

' 'cos 0.8 500

300

S S VA

S P Q Q VAR

= ⇒ = ⇒ =

' '

700 750

arctan 47 cos 0.68

S P P i Q Q i

θ θ

= + + + = +

= = ⇒ =

κυκλώµατος είναι το συνηµίτονο της φάσης της συνολικής

είναι η διαφορά φάσης της τάσης και του ρεύµατος.

|| 0.53 0.08Z Z Z i= = −

συνολικής αντίστασης

Για να βρεθεί η ισχύς του κάθε φορτίου:

1 2

11 21 1 1 1

2 2 22

2

1500

cos1023 477cos

2.14cos

cos

P P

V

P V P VP I Z

VP I

Z

θκαιθ

θ θ

+ = ⇒ = =

= = =

αφού 3 16

cos arctan 0.96 cos arctan 0.8410 25

και = =

Τέλος για να βρεθεί η τιµή της τάση της πηγής ξεκινώντας από τον τύπο

2

rms rms

rms rms rms

rms

V VS V I V

Z Z

V S Z

ολ ολ

ολ

= = ⋅ = ⇒

= ⋅

Οπότε 28,5rms

V Volts=